TEMA 5
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Que el alumno logre:
Calcular el trabajo realizado por fuerzas constantes.
Aplicar el concepto de potencia.
Diferenciar fuerzas conservativas y no conservativas.
Reconocer las formas de energía mecánica y su
relación con las fuerzas actuantes.
Aplicar correctamente el principio de conservación de
la energía a distintas situaciones concretas
Aplicar los principios de conservación a las
situaciones de choque de cuerpos.
TRABAJO MECANICO
r
d
F
dT
F
.
dr
.
cos
dT
dr
.
F
dT
T
dr
r
d
x
z
y
A
B
r
A
r
B
F
r
d
F
T
TRABAJO
dr
.
F
dT
T
B
A
T
B
A
T
B
A
B
A
dT
F
.
dr
F
.
r
r
T
F
T
dT
En función de las componentes
k
.
F
j
.
F
i
.
F
F
x
y
z
k
.
dz
j
.
dy
i
.
dx
r
d
1
k
k
j
j
i
i
0
...
i
k
k
j
j
i
Recordando
F
x
.dx+0+0
0+0+F
z
.dz
0+F
y
.dy+0
dz
.
F
dy
.
F
dx
.
F
dT
x
y
z
TRABAJO REALIZADO POR UNA
FUERZA CONSTANTE
m
m
F
F cos
F
d
x
F
.
dx
.
cos
dT
dx
F cos
= Cte
m
F
m
dx
F = Cte
dx
.
F
x
d
F
dT
=0 » cos
= 1
F
d
x
F
.
dx
.
cos
dT
TRABAJO
Es una magnitud escalar.
Depende de:
La componente de la fuerza en la
dirección del desplazamiento
Del desplazamiento operado.
Dimensión:
Unidades:
SIMELA:
N.m = Joule (J)
Sistema c.g.s:
din.cm=ergio (erg)
Kgr.m= Kgrm
Sistema Técnico
Trabajo de varias fuerzas concurrentes
F
R
F
1
F
3
F
2
dr
i
3
2
1
dT
dT
...
dT
dT
dT
...
dr
F
dr
F
dr
F
dT
1
2
3
F
F
F
...
dr
F
dr
dT
n
1
i
i
3
2
1
dr
F
dT
R
El trabajo de la resultante de varias fuerzas aplicadas a
un mismo cuerpo es igual a la suma de los trabajos de
POTENCIA
dt
dT
P
Representa la rapidez en que se
efectúa el trabajo
dt
dr
F
Dimensión:
2
2
1
2
3
T
.
L
.
M
T
.
T
.
L
.
M
P
Unidades:
SIMELA:
Sistema c.g.s:
Kgrm/s
Sistema Técnico
Watt
s
J
erg/s
Otras Unidades:
Múltiplos del
SIMELA:
MW = 10
6
W
Sistema Inglés:
HP= 745,7 W
KW = 10
3
W
1 CV = 0,9863 HP
TRABAJO Y ENERGÍA
Por la Segunda ley de Newton F = m.a
dt
dv
.
m
F
x
dx = dx
dt
dv
.
dx
.
m
dx
.
F
dv
.
v
.
m
dx
.
F
dT
dT=dE
2
v
.
m
.
2
1
d
dv
.
v
.
m
dT
2
1
2
2
v
v
2
.
m
.
v
1
v
.
m
.
2
1
dv
.
v
.
m
T
2
1
c
c
c
E
E
E
T
1
2
El trabajo realizado sobre una
partícula es la medida del cambio
Energía cinética
Es propia de los cuerpos en
movimiento.
Depende de la velocidad del móvil.
Es una magnitud escalar.
Tiene la misma dimensión y unidades
que el Trabajo.
Representa la capacidad de producir
trabajo que tiene un cuerpo en
movimiento.
Energía potencial gravitatoria
x
y
dz
.
F
dy
.
F
dx
.
F
dT
x
y
z
dy
.
F
dx
.
F
dT
x
y
2
1
2
1
m
.
g
.
dy
(
m
.
g
.
y
2
m
.
g
.
y
1
)
dr
.
cos
.
P
T
2
1
y
2
1
x
2
1
F
.
dx
F
.
dy
T
m
.
g
.
y
2
m
.
g
.
y
1
T
2P
E
1P
E
E
P
E
P
E
P
T
1
2
2
m
P
1
Energía Potencial
Es una energía que depende de la posición.
Es función de las coordenadas
Depende del sistema de referencia
No es absoluta, es relativa.
Tiene las misma dimensión y unidades que
el trabajo.
Representa la capacidad de realizar
trabajo que posee un cuerpo cuando varía
de nivel.
FUERZAS CONSERVATIVAS
T = -
E
P(x,y,z)
Las fuerzas que cumplen con esto se
denominan
FUERZAS CONSERVATIVAS.
Consecuencias
x
y
2
1
El trabajo efectuado por
fuerzas Conservativas
es independiente
Una fuerza es conservativa si su
dependencia de las coordenadas x, y, z de
la partícula es tal, que el trabajo realizado
por dicha fuerza para llevar la partícula
desde un punto A a un punto B es
r
F
T
r
x
y
A
F
dr
F
dr
0
T
A
A
Cuando la trayectoria es
cerrada el trabajo es nulo
Una fuerza conservativa, cuando el
trabajo realizado por ella puede ser
expresado como la diferencia entre
los valores de una cantidad E
P
(x,y,z)
evaluada en los puntos inicial y final
de su trayectoria.
)
z
,
y
,
x
(
P
)
z
,
y
,
x
(
P
)
z
,
y
,
x
(
P
B
A
AB
F
d
r
E
E
E
T
B A
)
z
,
y
,
x
(
P
)
z
,
y
,
x
(
P
)
z
,
y
,
x
(
P
AB
E
E
E
T
Trabajo nulo
Trabajo nulo
0
dr
F
dT
F = 0
=
/2
dT = F . dr. cos
dr = 0
Caso
trivial
Caso en que la
trayectoria es
cerrada.
Desplazamiento nulo
Caso en que la
fuerza es
normal al
desplazamiento
Si las fuerzas que actúan
son conservativas
Principio de conservación de la energía
T =
E
c
T= -
E
P
.
Cte
E
E
E
E
2
2
1
1
P
C
P
C
C
P
E
E
E
P
2
E
P
1
E
C
2
E
C
1
1
2
1
2
P
C
C
P
E
E
E
E
.
Cte
E
E
E
M
C
P
La Energía Mecánica
permanece constante
cuando el sistema es
E
0
SISTEMAS NO CONSERVATIVOS
Para las fuerzas conservativas:
P
C
E
T
E
T
Para las fuerzas NO conservativas:
C
E
T
NC
C
F
F
Total
T
T
T
NC
F
P
C
E
T
E
NC
F
P
C
E
T
E
NC
F
Mecánica
T
E
Resumiendo:
Para sistemas NO Conservativos:
NC
F
.
Sist
.
Mec
T
E
E
Mec
.
Sist
.
0
Para sistemas conservativos:
T
total
=
E
C
=-
E
P
(E
C
+E
P
)
sist.
=Cte
Análisis de sistemas
conservativos
Tiro Vertical
v
o
v
f
=0
h
gh
2
v
v
2
o
2
2
m
2
m
x
h
.
g
.
2
.
m
2
1
v
.
m
2
1
v
.
m
2
1
2
o
2
2
2
v
.
m
1
h
.
g
.
m
v
.
m
1
Movimiento parabólico
x
y
A
v
ov
oyv
ox
E
C
v
=v
oxg
H
X m/2
H
.
g
.
2
v
v
v
v
2
o
2
y
2
o
2
x
y
x
H
.
g
.
2
.
m
2
1
v
.
m
2
1
v
.
m
2
1
v
.
m
2
1
v
.
m
2
1
2
o
2
y
2
o
2
x
y x
+
2
o
2
o
2
y
2
x
m
.
v
xv
y2
1
H
.
g
.
m
v
v
.
m
2
1
v
2
v
o
2
E
c
+E
p
=E
co
+E
po
Calcular la altura máxima de un tiro oblicuo
conociendo la velocidad inicial y el ángulo de tiro
y
A
v
ov
o yv
ox
E
C
v
=v
oxg
H
Datos: v
0
,
Incógnita: H
C
A
M
M
E
E
C
C
A
A
P
c
P
c
E
E
E
E
C
2
y
2
1
A
2
o
2
1
m
.
v
m
.
g
.
h
m
.
v
m
.
g
.
h
C
A
y
0
0
C
2
y
2
1
v
g
.
h
A
v
.
sen
g
.
H
2
2
o
2
1
sen
.
v
2
o
2
TRABAJO Y POTENCIA EN EL
MOVIMIENTO CIRCULAR
r
F
r
C
A
B
d
AB = dS
r
d
F
dT
F
.
ds
.
cos
dT
1
dS = d
.r
F
.
r
.
d
dT
M
.
d
dT
2
1
d
.
M
T
dt
dt
M
.
P
)
.(
M
T
2
1
Colisiones o
choques
Elásticas
Inelásticas
COLISIONES O CHOQUES
m
2
m
1
m
2
m
1
v
’
1
v
’
2
m
1
m
2
v
1
v
2
Antes
Durante
Después
'
2
'
1
2
1
p
p
p
p
m
1
v
1
m
2
v
2
m
1
v
'
1
m
2
v
'
2
'
p
'
c
p
c
E
E
E
E
Q
E
E
E
E
'
c
c
p
'
p
= 0
< 0
Es un sistema aislado, se conserva la cantidad de movimiento
Por el Ppio de conservación de la energía:
Elástico
Endoérgico
Choque elástico
En el sistema se cumple:
•El Principio de Conservación de la Energía mecánica
•El Principio de Conservación de la Energía cinética
•El Principio de Conservación de la Cantidad de
movimiento
2
'
2
2
2
1
2
'
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
m
v
m
v
m
v
m
v
)
v
v
(
m
)
v
v
(
m
1
1
2
1
'
2
2
2
2
'
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
v
m
v
m
v
'
m
v
'
m
)
'
v
v
(
m
)
'
v
v
(
m
1
1
1
2
2
2
)
v
v
)(
v
v
(
m
)
v
v
)(
v
v
(
m
1
1
1
'
1
'
1
2
2
'
2
2
'
2
(1)
(2)
Por conservación de la Energía cinética
)
v
v
)(
v
v
(
m
)
v
v
)(
v
v
(
m
1
1
1
'
1
'
1
2
2
'
2
2
'
2
)
'
v
v
(
m
)
'
v
v
(
m
1
1
1
2
2
2
'
2
2
'
1
1
v
v
v
v
2
'
1
1
'
2
v
v
v
v
)
'
v
v
(
m
)
'
v
v
(
m
1
1
1
2
2
2
(2)
2
1
1
2
2
1
1
1
(
v
v
'
)
m
v
v
v
'
v
m
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
.
v
m
m
m
m
v
.
m
m
m
.
2
'
v
2
1
2
1
1
2
1
1
.
v
m
m
v
.
m
2
m
m
'
v
Reemplazando en
(3)
CASOS PARTICULARES
Si las masas son iguales:
m
1
=m
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
.
v
m
m
m
m
v
.
m
m
m
.
2
'
v
2
1
2
1
1
2
1
1
.
v
m
m
v
.
m
2
m
m
'
v
0
1
2
v
'
v
0
2
1
v
'
v
Intercambian
velocidades
Si
m
1
=m
2
y
una de ellas está en reposo
0
0
0
'
v
v
'
v
Intercambian
v
1
= 0
'
2
2
'
1
1
v
v
v
v
v
2
v
1
v
'
2
v
'
1
2
1
'
1
'
2
v
v
v
v
e
Coeficiente de
restitución
0
e
1
Choque
perfectamente
elástico
Choque
perfectamente
plástico
Coeficiente de restitución
Retomando la
(3)
velocidades relativas después
Es el cociente de las
de la colisión y las
velocidades relativas antes
del choque, cambiado de
Caso de una pelota que cae sobre la Tierra.
h
1
h
2
v’
2
= 0
M
m
v
2
= 0
v
2
2
v
1
1
'
v
'
v
e
v
2
2
v
1
1
'
v
'
v
e
1
1
2
.
g
.
h
v
v
'
1
2
.
g
.
h
2
Velocidad de la
pelota antes de
tocar el suelo
Velocidad de la
pelota después de
tocar el suelo
2
h
1
2
h
.
g
.
2
h
.
g
.
2
CHOQUE INELÁSTICO O PLÁSTICO
e = 0 Q ≠0
En el sistema se cumple:
•El Principio de Conservación de la
Cantidad de movimiento
Péndulo balístico
L
M
m
v
m
M
L
'
s
s
p
p
m
M
.
V
v
.
m
1
1
2
V
.
M
m
2
1
h
.
g
.
M
m
h
.
g
.
2
V
x
h
L-h
m
m
M
2
2
2
L
x
h
L
L
2
x
h
h
2
2
2
2
2
2
L
x
L
.
h
.
2
h
L
0
L
.
2
x
2
m
M
.
V
v
.
m
1
1
0
V
.
M
v
.
m
1
1
v
MV
m
M
m
2
.
2
g
.
L
.
x
2
1
L
g
m
x
.
M
v
1
Movimiento en una circunferencia
vertical
v
1
v
2
A
B
T
2
T
1
P
P
En A:
R
v
.
m
mg
T
2 1 1
m
.
g
R
v
.
m
T
2 1 1
En B:
T
mv
2
2
mg
g
.
m
R
v
.
m
0
T
2
c
1
v
1
v
c
g
.
R
Ec
E
p
2
1
2
2
mv
2
1
mv
2
1
mgR
2
v
g
.
R
m
2
1
mgR
2
2
2
v
2
5
.
g
.
R
g
.
m
R
.
g
.
5
.
m
5
m
.
g
m
.
g
6
mg
R
45
