PUBLICACIÓN DE TRABAJOS DE GRADO
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Diseño e Implementación de un Nuevo Controlador de Tres
Parámetros Usando Modelos de Alto Orden-Edición Única
Title
Diseño e Implementación de un Nuevo Controlador de
Tres Parámetros Usando Modelos de Alto Orden-Edición
Única
Authors
Salvador Eduardo Ramírez Brambila
Affiliation
Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey
Issue Date
2002-05-01
Item type
Tesis
Rights
Open Access
Downloaded
19-Jan-2017 01:53:10
SUPERIORES DE MONTERREY.
CAMPUS MONTERREY.
PROGRAMA DE GRADUADOS DE LA DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA.
"DISEÑO E IMPLEMENT ACIÓN DE UN NUEVO CONTROLADOR DE TRES PARÁMETROS USANDO MODELOS DE ALTO ORDEN"
TESIS
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS EN AUTOMATIZACIÓN CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA DE CONTROL.
POR
ING. SALVADOR EDUARDO RAMÍREZ BRAMBILA.
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS
SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA
"DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN NUEVO
CONTROLADOR DE TRES PARÁMETROS USANDO
MODELOS DE ALTO ORDEN"
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA
OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS EN AUTOMATIZACIÓN
CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA DE CONTROL
POR:
CAMPUS MONTERREY
DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA
Los miembros del comité de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por el Ing. Salvador Eduardo Ramírez Brambila sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado académico de Maestro en Ciencias en Automatización con Especialidad en Ingeniería de Control.
Comité de tesis:
ASESOR
Jorge Limón Robles, Ph. D. SINODAL
DEDICATORIA
A mis padres:
Filegonio Ramírez Catana.
María Isabel Brambila de Ramírez.
Por su ejemplo y apoyo en todo momento. Por el amor que me han brindado, la confianza y su motivación.
Agradezco al Dr. Carlos Narváez su apoyo, dedicación y consejos en la elaboración
de este trabajo; así como a mis profesores por proporcionarme las herramientas
formativas para la obtención del grado académico de Maestría en Automatización.
Mención especial para mi comité de tesis, quienes con sus comentarios han
enriquecido esta investigación.
Agradezco al Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Monterrey, y al comité de becas, por haberme brindado la oportunidad de realizar
mis estudios de posgrado.
Gracias a mi querida familia por estar conmigo en todo momento y por enseñarme a
seguir adelante. A mi hermana Rosalba Ramírez Brambila por su cariño, confianza,
ÍNDICE
ÍNDICE
i
RESUMEN iii
CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN.
1.1 Controladores automáticos. 1-1 1.2 Identificación de procesos. 1-1 1.3 Aproximación del tiempo muerto. 1-3
1.4 Robustez y sensibilidad. 1-3 1.5 Objetivo de la investigación. 1-4
CAPITULO 2. DISEÑO DEL CONTROLADOR.
2.1 Antecedentes. 2 -1
2.2 Características del IMC. 2-2 2.3 Proyección de dinámicas de modelos
de primer a segundo orden. 2-5 2.4 Aproximación del tiempo muerto. 2-7
2.5 índices de desempeño. 2-9 2.6 E s t r u c t u r a s analizadas. 2-10 2.7 Controlador propuesto. 2-19
CAPITULO 3. SENSIBILIDAD Y ROBUSTEZ.
3.1 Definición de sensibilidad y robustez. 3-1
3.2 Controladores a comparar. 3-3 3.3 P r u e b a s comparativas de robustez. 3-6
CAPITULO 4. EXPRESIÓN DISCRETA DEL CONTROLADOR.
4.1 Simulación contra realidad. 4-1 4.2 Proceso real a controlar. 4-1 4.3 Discretización del controlador. 4-1
CAPITULO 5. PRUEBAS EXPERIMENTALES.
5.1 Código del programa. 5-1 5.2 Resultados experimentales. 5-6
5.3 Observaciones. 5-25
CAPITULO 6. CONCLUSIONES.
ANEXO B. Tabla de r e s p u e s t a de p r u e b a s de simulación 3a
etapa. B - l
ANEXO C. R e s p u e s t a del controlador 4a
etapa de p r u e b a s . C-l
ANEXO D. Funciones de MATLAB. D - l
ANEXO E. Mascaras de SIMULINK - MATLAB. E-1
RESUMEN.
E n u n a investigación preliminar desarrollada por Narváez y Sánchez (1), sé
presentó u n a técnica de identificación de procesos en forma gráfica, con el objeto de obtener u n modelo de segundo orden con tiempo muerto. En esos estudios se observó que los procesos identificados como u n sistema de alto orden p r e s e n t a n mejores beneficios, a d e m á s se iniciaron los primeros desarrollos de u n
controlador que p u e d a aprovechar las ventajas del nuevo modelo.
Actualmente se c u e n t a con distintos algoritmos de control que van desde elementos t a n básicos como u n control proporcional h a s t a estrategias de control moderno como IMC o Espacio de Estados. E n cuanto m á s complejo es el algoritmo de control, las ventajas que presentan se van incrementando. Sin embargo, en m u c h a s ocasiones esta complejidad no es de la m i s m a proporción de las ventajas obtenidas, a d e m á s de la necesidad de contar con u n experto que desarrolle, modifique, ajuste e implemente el control.
E n este trabajo se p r e s e n t a el desarrollo de u n controlador a partir de los
p a r á m e t r o s obtenidos mediante u n a identificación gráfica con el método NS4 (1).
La e s t r u c t u r a de control que se utilizó se desarrolla a partir de la estrategia de u n Modelo de Control Interno "IMC", el cual se e s t r u c t u r a en u n algoritmo de u s o fácil y con tres parámetros adimensionales de ajuste, que inician en valores p r o p u e s t o s de operación con el objeto de incrementar s u sencillez.
CAPÍTULO
1.
INTRODUCCIÓN.
1.1 Controladores a u t o m á t i c o s .
Un controlador automático compara el valor real de la salida de u n a p l a n t a con la e n t r a d a de referencia (el valor deseado), determina la variación y produce u n a señal que reducirá la desviación a cero o a u n valor pequeño. E s t a dinámica h a sido u n objetivo c o m ú n p a r a distintas e s t r u c t u r a s que se h a n diseñado con el fin de cumplir con esta meta. La Figura 1.1 representa u n lazo de control automático en donde Ge representa al controlador, Gp corresponde al proceso, R es la referencia, Y es la salida del sistema y P son las perturbaciones que p u e d e n p r e s e n t a r s e en u n sistema.
Figura 1.1. Sistema de control automático estándar.
Actualmente se c u e n t a con distintos algoritmos de control que van desde elementos t a n básicos como u n control proporcional h a s t a estrategias de control moderno como IMC o Espacio de Estados. E n cuanto m á s complejo es el algoritmo de control, las ventajas que presentan se van incrementando. Sin embargo, en m u c h a s ocasiones esta complejidad no es de la m i s m a proporción de las ventajas obtenidas, a d e m á s de la necesidad de contar con u n experto que desarrolle, modifique, ajuste e implemente el control.
La sencillez de la e s t r u c t u r a de u n PID, a u n a d o a la gran variedad de técnicas de sintonización y modelos que se h a n desarrollado desde su origen, lo m a n t i e n e n como el controlador industrial mayormente utilizado.
El desempeño que proporciona el PID ante plantas con dinámicas de alto orden n o es óptimo en la mayoría de los casos y esto se debe a que sin importar cual sea la e s t r u c t u r a que utilicemos, t e n d r á n como p u n t o en común: La identificación del proceso, la cual en la mayoría de los casos corresponde a u n modelo de primer orden con tiempo muerto. La dinámica de los controladores p u e d e evaluarse formalmente bajo los criterios de sensibilidad y de robustez.
1.2 I d e n t i ń c a c i ó n de procesos.
Introducción
facilidad de implementación el método gráfico de lectura de dos p u n t o s es el m á s utilizado.
Narvaez y Sánchez [1] proponen u n procedimiento p a r a la obtención de u n modelo de segundo orden con tiempo muerto, utilizando u n a técnica gráfica que siga m a n t e n i e n d o la sencillez y la facilidad de implementación de este método. Además de incrementar la precisión en la representación de la dinámica del modelo con respecto al proceso real, al contar con u n a e s t r u c t u r a de segundo orden.
Y
— — • — \ — — i
/
/
/
/
/
/
/
/ /. 1
/
/
/
/ i
0 1 0 + 2 0 t 3 0 t 4 0 5 0 + 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 l0 . 3 k > . 6 K ) . 8 i
Figura 1.2. Respuesta de un proceso de segundo orden ante una entrada escalón.
La n u e v a p r o p u e s t a esta inspirada en el procedimiento de Smith p a r a modelos FOPDT y se denomina NS4 (Narváez - Sánchez 4 constantes). Consiste en:
1. Realizar u n a p r u e b a escalón de magnitud A. Registrando el tiempo de inicio del escalón como to y dibujando la r e s p u e s t a del proceso contra el
tiempo. Permitir al proceso estabilizarse y registrar y0, Yoo como se
m u e s t r a en la Figura 1.2.
2. Calcular y0. 3 = yo + 0.3Yoo y0.6 = yo + O.6Y00 y0.8 = yo + O.8Y00
3. E n la curva de respuesta, localizar yo.3, yo.6, yo.s. Leer los tiempos to.3,
to.6, to.s como se m u e s t r a en la Figura 1.2.
[image:12.612.85.527.184.481.2]5. Calcular las constantes de tiempo: n = 3.94157A2 - 2.98045Ai y X 2 =
6.80261Ai - 5.50026A2. Si 1 2 es negativo, hacerlo cero. Si X 2 > t i ,
calcular x = \v/r,r2 y hacer xi = X 2 = x.
6. Calcular el tiempo muerto de 6 = t0 3 - to - 0 . 3 9 4 2 3 n - 0.73313x2. Si 9 es
negativo, hacerlo cero.
7. Calcular la ganancia de:
K = Yoo/A.
8. Expresar el modelo como: Y,,, = , ^ ^
(S) (T
IS + \)(T2S + Í)
1.3 Aproximación del tiempo muerto.
El tiempo m u e r t o genera cierto grado de dificultad al ser utilizado en el diseño de controladores. Por esta razón existen algunas aproximaciones c o m ú n m e n t e u s a d a s p a r a aproximar el tiempo muerto. U n a s de las m á s u s a d a s son las aproximaciones de Padé de primer y de segundo orden, las cuales se m u e s t r a n en las ecuaciones 1.1 y 1.2 respectivamente.
1 - *
e ~a
= 2
Ecuación 1.1
2
, es e2s2
1 - + —
e"f t
= 2 V2
v Ecuación 1.2
, 0s 62s2
1 + +
2 12
Narvaez [3] propone aproximar el tiempo muerto con la siguiente ecuación:
A
1
e = Ecuación 1.3
1+
s n )Donde "n" p u e d e tomar el valor de u n n ú m e r o entero positivo a partir de 1. Sánchez [2] demostró que valores de n mayores de 3 no aportan beneficios adicionales significativos, por lo cual n=2 es el valor m á s pequeño que mejora los r e s u l t a d o s obtenidos al u s a r las ecuaciones 1.1 y 1.2.
1.4 Robustez y sensibilidad.
Introducción
e s t r u c t u r a podemos determinar s u robustez. Si u n sistema es m u y sensible al cambio entonces se considera poco robusto.
1.5 Objetivo de la investigación.
El objetivo de este trabajo es desarrollar la estructura de u n controlador a partir de u n modelo de segundo orden, cuyos parámetros son obtenidos mediante u n a identificación gráfica con el método NS4. La e s t r u c t u r a de control debe de ser de u s o fácil y con el menor n ú m e r o de parámetros de ajuste, con el objeto de incrementar s u sencillez.
CAPÍTULO
2 .
DISEŃO DEL CONTROLADOR.
2 . 1 A n t e c e d e n t e s .
Sánchez [2] presentó u n a aplicación de segundo orden, con las c o n s t a n t e s obtenidas a partir del método de identificación NS4, en u n controlador con filosofía IMC (ecuación 2.1). Su comportamiento fue comparado con otros tres controladores: u n PID (ecuación 2.2), u n IMC utilizando u n proceso de primer orden con tiempo muerto aproximando el tiempo muerto con dos retrasos de la mitad del tiempo m u e r t o (ecuación 2.3) y u n IMC utilizando u n proceso de segundo orden con tiempo muerto aproximando el tiempo muerto con la ecuación de Padé (ecuación 2.4).
e
sż +6s + \
„ T.+T2 (T,S + ÍÍT2S + l) 4 _
Ge = 7 \ — , — r — ^ ; Ecuación 2.1
K(X + 0) ( r 1 + r 2 > ^ w + 0^
4 S 2 + ± 5 + 1
A+0 Á+0
Gc = Kc T;S + 1
TS + l "a
Ecuación 2.2
Gc = (ra + l)
— 5 + 1
J k(a + 0) TS , e2
A
4 V +
Á0 + o
2 Ecuación 2.3
Á + 8 A + 0 5 + 1
5 + 1
X, + T7 (T.S + lĄ ? "75 + l ) 2
Gc= ) t ^ t Ecuación 2.4
k{á+e) ( r , +r2)s Á o
^ 5 + 1
A + 0
Diseńo del controlador
2 . 2 Características del IMC.
El controlador tipo IMC (Modelo de Control Interno) introducido por García y Morari (4) en el año de 1982, se b a s a en el conocimiento del modelo exacto del proceso a controlar, permitiendo u n sistema de control estable y robusto.
El Diagrama a bloques del sistema de control IMC se m u e s t r a en la Figura 2 . 1 , d o n d e Gp es la función de transferencia del proceso, Gi es la ecuación del controlador, Gm es el modelo del proceso y P es la perturbación introducida al sistema. La sección que se encuentra encerrada en líneas p u n t e a d a s es la parte que r e p r e s e n t a a todo el controlador (Ge).
Figura 2.1. Estructura básica del modelo de control interno.
El d i a g r a m a p u e d e simplificarse a la e s t r u c t u r a equivalente al de la figura 1.1, el cual r e p r e s e n t a la e s t r u c t u r a tradicional de u n sistema de control, en donde la ecuación del controlador corresponde a la siguiente expresión:
Gc = Ecuación 2.5
La r e s p u e s t a Y de la e s t r u c t u r a m o s t r a d a en la Figura 2.1 se m u e s t r a en la ecuación 2.6. Si el modelo del proceso es igual a la función de transferencia del
m i s m o (Gm = Gp), el denominador de la ecuación se hace u n o , q u e d a n d o como
resultado la ecuación 2.7.
G G
Y = P + — - — - - - - - (R p)
\ + GtGpGtGm K
Ecuación 2.6
Y = P + G,Gm(RP) Ecuación 2.7
E n este caso, el sistema se comporta como si no existiera retroalimentación, es decir, como si fuera u n lazo abierto, tal y como se m u e s t r a en la Figura 2.2 en
R
k . \ fe Gi fe Gp +
*(
w Gp
Figura 2.2 Estructura del controlador IMC cuando Gm Gp.
Idealmente sería adecuado tener u n a r e s p u e s t a Y sin retraso c u a n d o sólo ocurre u n cambio de referencia (es decir no hay perturbaciones). Para que lo anterior
p u e d a suceder es necesario que GˇGP=1 por lo tanto:
G,. = 1
G„ Ecuación 2.8
La ecuación 2.8 establece que la ecuación del controlador IMC debe de ser la inversa de la función de transferencia del proceso.
P a r a el caso de que se presente solamente u n a perturbación P, se desearía que la
salida Y no fuera afectada (Y=0). Para que esto ocurra debe darse que GiGp=l; lo
anterior conduce al mismo resultado de la ecuación 2.8.
Sin embargo, la aplicación de la ecuación 2.8 frecuentemente genera u n a función de transferencia que no puede ser implementada por ser impropia o de fase n o mínima. Por ejemplo, c u a n d o hay tiempo muerto, al ser invertido el termino implica predicción, por lo que no puede ser implementado.
P a r a evitar lo anterior u s u a l m e n t e se expresa Gm como:
Gm = Ge Ecuación 2.9
Donde G es u n término de fase mínima. De esta m a n e r a , Gi se aproxima como:
G, = 1
Ecuación 2.10
Diseńo del controlador
E n r e s u m e n , si no se tiene u n modelo exacto del proceso y ceros estables, se tiene que eliminar términos de la ecuación del controlador, lo cual repercutirá en u n pobre desempeño y no serán aprovechadas las ventajas que el IMC posee.
P a r a mejorar el desempeño del controlador IMC, García y Morari [4] recomiendan agregar u n filtro en la trayectoria, Figura 2.3.
P
R
Figura 2.3 Adecuación del control de modelo interno incorporando un filtro.
Con e s t a modificación se obtiene:
G,G„ = 1
e"f t Ecuación 2.11
' p
/Ls + l
Si i m p l e m e n t a m o s la e s t r u c t u r a IMC p a r a u n modelo de segundo orden, debemos de considerar las siguientes ecuaciones:
Ke*
Gn , x, r Ecuación 2.12
G. K
0 \2
s + l
Ecuación 2.13
Donde Gm representa el modelo del proceso con la aproximación del tiempo
m u e r t o expresada en la ecuación 1.3. Despejando Gi e introduciendo el valor de Gp en la ecuación 2.11 obtenemos la siguiente expresión:
(r^ + lX^s + l)
G = / ; \ Ecuación 2.14
Al introducir las ecuaciones 2.13 y 2.14 en la ecuación 2.5 y acomodando los términos de la ecuación, se obtiene u n modelo de u n controlador tipo IMC con e s t r u c t u r a de segundo orden, el cual se m u e s t r a en la ecuación 2.15.
@2 2 n 1
( i V , i \ • s + 6s + l
G c = r , ,/ V A
Ecuación 2.15
K[A + 0] {T1+T2)S w + 9
2
4
.v' + 4 - . + 1 A + 0 ż + 0
Este controlador fue probado por Sánchez [2], y presentó algunos beneficios. El
valor de X q u e propuso fue:
A = p(r, + T2 ) Ecuación 2.16
Donde (3 es u n a constante de suavizado. Por lo tanto el controlador propuesto es:
O2 2
ti +t7 ( v + Q f c j + l ) 4
S + l Ecuación 2.17
C=K\p(r
í+r2) + 0] (rˇ+r2)s fi( ^ ^ ^ j l
4 s2+ ,
^ ^ ^ + 1
Como podemos observar el controlador esta conformado por tres partes: La p r i m e r a es equivalente a u n a ganancia, la sección intermedia es similar a u n PID y el último término equivale a u n compensador de adelanto - atraso de segundo orden. A pesar de los beneficios que mostró este controlador, n o se evaluó si el
valor de X es el mejor o si la aproximación del tiempo muerto representa la mejor
aproximación p a r a obtener u n a b u e n a dinámica del controlador.
2 . 3 P r o y e c c i ó n d e d i n á m i c a s d e m o d e l o s d e p r i m e r a s e g u n d o o r d e n .
E n ocasiones n o s enfrentamos a situaciones donde, partiendo de u n modelo de segundo orden, requerimos evaluar s u comportamiento en relación con la dinámica de u n sistema de primero. Por ejemplo, u n PID requiere como p a r á m e t r o s datos obtenidos de u n modelo de primer orden, si contamos con el comportamiento del sistema expresado como u n segundo orden, n o es necesario realizar u n a n u e v a identificación del proceso p a r a obtener los p a r á m e t r o s de primer orden, ya q u e podemos proyectar las constantes del modelo de segundo a u n sistema de primer orden.
Diseńo del controlador
0.9
o . e
0.7
-0.5
0.3
0.2
0.1
-1
/
//
/
/
/
i
_ /
/
1 j
1 1 ts1
[image:20.612.119.518.353.598.2]0 10 20 30 40 50 GO 70 80 90 100
Figura 2.4. Respuesta de un sistema de primer orden sin tiempo muerto.
0.9
0.6
0.5
0.4
0.3
0.1
-—
/
/
// " '
/
/
/
/ '
/
ts240 50 GO 00 90 100
Figura 2.5. Respuesta de un sistema de segundo orden sin tiempo muerto.
P a r a a m b a s r e s p u e s t a s definimos sistemas sin tiempo muerto, p u e s p a r a la proyección de este parámetro, b a s t a con hacerlos equivalentes en a m b o s sistemas. Un modelo de segundo orden puede expresarse según la ecuación 2.13.
K
(TXS + l)(r25 + l)
P a r a este modelo, el tiempo de asentamiento (tS2), puede ser aproximado como se expresa en la ecuación 2.19.
ts2 « 4T] + 2r2 Ecuación 2.19
en donde r, > r2
El tiempo de asentamiento de u n modelo de primer orden (tsi) p u e d e ser aproximado mediante:
tsl = 4/1 Ecuación 2.20
Donde X es la c o n s t a n t e del tiempo del modelo. Si igualamos las dinámicas de los
dos modelos con respecto a su tiempo de asentamiento, obtenemos:
42 = (4r, + 2 r2) Ecuación 2.21
Donde:
X = r, +
v 2y
Ecuación 2.22
P a r a h a c e r m á s flexible la aproximación, se introduce la constante p y se obtiene:
Á = J3
f
r2
T, +
v 2
Ecuación 2.23
Donde (3 corresponde a u n a constante de suavizado, ya que al a u m e n t a r s u valor se h a c e m á s lenta la respuesta. Está ecuación puede ser u s a d a p a r a definir la c o n s t a n t e del filtro en la ecuación 2.15.
2 . 4 Aproximación del t i e m p o muerto.
El método NS4 es u n método sencillo p a r a la obtención de las c o n s t a n t e s de u n modelo de segundo orden. Por otra parte, la ecuación 1.3 es u n a expresión de fase m í n i m a que representa la dinámica del tiempo muerto. Debemos evaluar si dicha expresión no genera inestabilidades o expresiones impropias al ser u s a d o p a r a el control.
1
f,
oY'
1 + s \ n
)
Diseno del controlador
Sánchez [2] estudió el comportamiento de la ecuación 1.3 y obtuvo los resultados m o s t r a d o s en la Figura 2.6, en donde, p a r a fines de comparación se incluye las aproximaciones de Padé de primero y segundo orden.
0 10 20 30 40 50 G0 70 30 90
Figura 2.6 Serie de aproximaciones del tiempo muerto.
Al c o m p a r a r las aproximaciones, Sánchez [2] obtuvo las sumatorias de errores al c u a d r a d o SSE, m o s t r a d o s en la Tabla 2.1.
APROXIMACIÓN SSE
Padé 1er. Orden. 5.643
Padé 2o
. Orden. 3.5
n=l 4.842
n=2 3.341
n=3 2.684
n=4 2.243
n=5 2.033
Tabla 2.1. Aproximaciones y sus correspondientes SSE.
De estos resultados se puede concluir que: valores de "n" mayores de 3 no a p o r t a n beneficios adicionales significativos y por lo tanto, n = 2 es el valor m á s p e q u e ñ o que mejora las aproximaciones comúnmente u s a d a s . De esta m a n e r a se p u e d e obtener u n modelo de fase mínima p a r a procesos con tiempo m u e r t o como se m u e s t r a en la ecuación 2.27, donde G representa el modelo de fase m í n i m a del proceso sin tiempo muerto.
G =G • * Ecuación 2.24
í a V
2 . 5 Í n d i c e s de d e s e m p e ń o .
Narváez [3] h a propuesto índices de desempeño como indicadores de medición del comportamiento de u n controlador. Estos valores se establecen de m a n e r a comparativa y, dependiendo del porcentaje de variación o de magnitud, podemos conocer las características del desempeño del controlador.
Se utilizan cuatro índices, dos de ellos se definen p a r a cambios en referencia y los dos r e s t a n t e p a r a la presencia de perturbaciones. Para expresar las variables que intervienen en este análisis, podemos analizar u n modelo como el de la Figura 2.7.
D
+ R
O
^ fe Gc fe Gp fe/
)
p Gc w Gp+ (
—
O
Figura 2.7 Sistema retroalimentado para evaluación de índices de desempeńo.
Podemos observar en la Figura 2.7 que existen dos trayectorias de operación: Y/R,
Y/D. Si evaluamos el bloque del proceso, es decir en lazo abierto, y lo sometemos
a u n a e n t r a d a escalón, podemos definir dos parámetros: Yoo, que corresponde a la
m a g n i t u d que alcanza el proceso ante la presencia de la e n t r a d a escalón y t s p , que es el tiempo de asentamiento; tiempo que t a r d a en entrar a la b a n d a de ±2% de Yoo. Estos dos p a r á m e t r o s p r e s e n t a n u n equivalente ante cambios en referencia y a n t e perturbaciones.
De acuerdo a la gráfica de la figura 2.8, los cuatro índices que se utilizan p a r a evaluar el desempeño del controlador son:
• Ir. Corresponde al tiempo de asentamiento del lazo cerrado a n t e cambios de referencia con respecto al tiempo de asentamiento del lazo abierto ( t 2 r/ t ir) .
• Ip. Corresponde al tiempo de asentamiento del lazo cerrado a n t e presencia de perturbación con respecto al tiempo de asentamiento del
lazo abierto (t2d/ti<j).
• %Desv. Es la razón en porcentaje de los valores de Ym/Yoo. Es decir, la
m a g n i t u d alcanzada de u n a perturbación en lazo cerrado con respecto a la m a g n i t u d de r e s p u e s t a de la m i s m a perturbación en lazo abierto (C/D).
Diseno del controlador
La Figura 2.8, representa la r e s p u e s t a del proceso en lazo abierto y en lazo cerrado al aplicarle u n a perturbación del tipo escalón unitario.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
2.6 Es truc turas analizadas.
U n a de l a s primeras e s t r u c t u r a s que fueron evaluadas fue el controlador d e n o m i n a d o CNS42, Controlador Narváez Sánchez de cuatro lecturas y con aproximación de tiempo muerto de segundo orden, expresado en la ecuación 2.17.
r (r «._I.iV,. , + ú s2+0s + \ Ecuación 2.17
Gct_
Ti+T2 IV + 'X^ + lJ 4
4 s>
+ \
4
,
+l
P{t,+t2) + G fi{rl+T2) + 0
E n e s t a expresión se utilizan los parámetros obtenidos a partir de la identificación NS4 y c u e n t a con u n solo término de ajuste, el cual corresponde a:
P
Si se considera la ecuación 2.23 p a r a definir la constante de filtro, X, se obtiene u n a n u e v a e s t r u c t u r a , la cual se presenta en la ecuación 2.25. Este controlador tiene t a m b i é n u n solo parámetro adimensional de ajuste ((3).
Gc
K R,
( Y + L X R2S + L)
(R, + R2>
s2
+ds + \ Ecuación 2.25
P h+ 2)
P h+!
s + —
P\ e+
+e P\ rl + f\ + 0 5+ 1
Otra alternativa es hacer X = 0, que equivale a la m á x i m a velocidad de r e s p u e s t a
del lazo. Este nuevo controlador se define como la expresión 2.26
Gc = r, + r2 ( r ,J + Í){T2S +1)
^ 5 + 1^
l
2K0 ( T , +T2)S e
Ecuación 2.26
5 + 1
Debido a que la expresión en el compensador es impropia, el orden del n u m e r a d o r se tiene que reducir. Por otra parte, p a r a modular el término de g a n a n c i a se introduce la constante adimensional, a, y se obtiene el controlador expresado en la ecuación 2.27.
Ge = a r]+r2 (r^ + l\r2s + l)
ˇ3°S + \
V
K6 ( T , +T2)S 6
Ecuación 2.27
s + l
Un c u a r t o controlador se obtuvo al considerar que las c o n s t a n t e s de tiempo del
modelo de segundo orden eran iguales, con lo cual el valor de X se modificaba,
q u e d a n d o la expresión de la siguiente manera: 3
A = P r. Ecuación 2. 28
2
Y por consiguiente el controlador obtenido se presenta en la ecuación 2.29.
Gc =
fí2
H ± L _ ( M + I X V + I ) T *
2 + F T + 1 E C U A C I Ó N 2 ' 2 9
' 2 J
j i2 + ^ —
+ L
pr.+e s2
T.+o
Diseńo del controlador
Primera etapa de pruebas.
P a r a e s t a s cuatro p r o p u e s t a s se elaboraron p r u e b a s de desempeńo utilizando los controladores anteriormente mencionados, con u n proceso de segundo orden con tiempo m u e r t o con los parámetros que se m u e s t r a n en la siguiente expresión:
Las p r u e b a s consistieron en ejecutar los modelos en simulación en MATLAB SIMULINK, t a n t o p a r a cambios en referencia como p a r a presencia de u n a perturbación. Ambas seńales son de tipo escalón unitario. Los p a r á m e t r o s de ajuste, a y (3 se modificaron desde 0.1 h a s t a 1.2, con incrementos de 0 . 1 . E n total se realizaron 250 p r u e b a s entre los cuatro controladores.
E s t a s p r u e b a s demostraron los siguientes p u n t o s :
• La e s t r u c t u r a del controlador utilizando la estrategia IMC es en general estable y robusta, ya que no presenta cambios drásticos a n t e distintos valores de las constantes de ajuste.
• Existe u n compromiso entre el comportamiento del controlador p a r a seguimiento y p a r a regulación, por lo que no es posible obtener el mejor desempeńo p a r a a m b o s objetivos al mismo tiempo.
• Los controladores con A. = 0yA. = TI + X2/2, presentaron mejor r e s p u e s t a
alcanzando indicadores de desempeńo de: %Desv. = 14, %STL = 0, Ir = 0.52 e Ip=0.79 p a r a ciertos valores de ajuste, por lo que se sometieron a u n a s e g u n d a etapa de prueba.
Segunda etapa de pruebas.
P a r a la s e g u n d a etapa de p r u e b a s se utilizaron diez procesos p a r a evaluar el desempeńo de los dos controladores que fueron seleccionados. Los procesos tienen u n a dinámica de cuarto orden en el 90% de los casos y se simuló u n proceso de quinto orden, cabe hacer mención que algunos de estos procesos p r e s e n t a n d u r a n t e la identificación u n valor de tiempo muerto superior al valor de la c o n s t a n t e de tiempo m á s grande de la planta. Estos procesos p u e d e n observarse en el Anexo A.
P a r a el proceso con A,=ii + 12/2 se realizaron 14 p r u e b a s a cada proceso, a n t e
cambios en referencia y perturbación p a r a los valores de p que demostraron u n mejor desempeńo, p varió de 0.2 a 0.5 con incrementos de 0.05. E n u n a selección de los mejores casos p u n t u a l e s , los indicadores de desempeńo que se obtuvieron fueron: %Desv. = 29, %STL = 9.4, Ir = 0.739 e Ip=1.14. Sin embargo, de m a n e r a general n o se obtiene u n desempeńo óptimo. En la Tabla 2.2, se p r e s e n t a la r e s p u e s t a del controlador con el proceso:
Gp = 1 30s Ecuación 2.30
(l005 + lX505 + l)
Gp = 1 SOS
B E T A " T»I R E F I R T.I P E R T I P Y M % D E S V % S T L
0 . 2 1 6 6 5 . 8 6 1 . 6 2 7 7 5 4 1 5 3 1 . 5 7 1 . 4 9 6 5 3 6 0 . 5 1 0 8 0 . 5 1 0 8 2 8 . 4 3
0 . 2 5 1 7 0 5 . 5 3 1 . 6 6 6 5 1 7 1 5 6 6 . 9 1 1 . 5 3 1 0 6 8 0 . 5 2 5 7 0 . 5 2 5 7 2 6 . 8 7
0 . 3 1 7 2 6 . 6 8 1 . 6 8 7 1 8 3 1 5 9 9 . 4 1 . 5 6 2 8 1 5 0 . 5 3 9 2 0 . 5 3 9 2 2 5 . 3 9
0 . 3 5 1 4 7 9 . 6 4 1 . 4 4 5 7 9 4 1 6 3 4 . 5 5 1 . 5 9 7 1 6 0 0 . 5 5 1 6 0 . 5 5 1 6 2 3 . 2 4
0 . 4 1 5 0 4 . 1 4 1 . 4 6 9 7 3 4 1 6 6 8 . 0 4 1 . 6 2 9 8 8 4 0 . 5 6 3 1 0 . 5 6 3 1 2 1 . 1 1
0 . 4 5 1 5 1 9 . 0 4 1 . 4 8 4 2 9 3 1 7 0 2 . 2 7 1 . 6 6 3 3 3 1 0 . 5 7 2 2 0 . 5 7 2 2 1 9 . 2 1
0 . 5 1 5 2 8 . 5 7 1 . 4 9 3 6 0 5 1 7 3 3 . 7 2 1 . 6 9 4 0 6 2 0 . 5 8 2 9 0 . 5 8 2 9 1 7 . 3 9
Tabla 2.2. Respuesta del controlador con X = Xi + T2/2 para un proceso de quinto orden.
Como podemos observar, tenemos sobretiros de m á s del 10 % (Valor que utilizaremos como tolerancia) y los tiempos de establecimiento s u p e r a n al del proceso en lazo abierto.
P a r a el proceso con X = 0 se realizaron 40 p r u e b a s a cada proceso, a n t e cambios
en referencia y perturbación, p a r a los valores de a y P que demostraron u n mejor
desempeńo, a varió de 0.35 a 0.5 con incrementos de 0.05, mientras que P fue
evaluada de 2 a 4 con incrementos de 0.05. E n u n a selección de los mejores casos p u n t u a l e s , los indicadores de desempeńo que se obtuvieron fueron: %Desv. = 26.46, %STL = 0, Ir = 0.44 e Ip=1.38. Sin embargo, de m a n e r a general no se obtiene u n desempeńo óptimo.
E s t a s p r u e b a s demostraron los siguientes p u n t o s :
• La e s t r u c t u r a del controlador utilizando la estrategia IMC es en general estable y robusta, exceptuando el controlador con A,=0, que p a r a ciertos valores de ajuste, alcanza la inestabilidad.
• Existe u n compromiso entre el comportamiento del controlador p a r a seguimiento y p a r a regulación, por lo que no es posible obtener el mejor desempeńo p a r a a m b o s objetivos al mismo tiempo.
• Independientemente del algoritmo que se analice, no son suficientes las c o n s t a n t e s de ajuste en la ganancia o en el compensador de adelanto atraso, p u e s la dinámica de la estructura del PID permanece c o n s t a n t e evitando la adaptación del controlador a u n a nuev a dinámica.
• Ambos controladores en general no presentan u n desempeńo óptimo, por lo que se buscó u n a nueva propuesta.
Para obtener u n a mejor alternativa, se realizo u n a modificación al controlador cuyo desempeńo, h a s t a ahora, es el m á s estable. La modificación consiste en incorporar u n coeficiente de ganancia en las constantes de tiempo que conforman el PID, esto con el objeto de ajusfar los valores de los términos proporcional, integral y derivativo al mismo tiempo, dependiendo del proceso que se pretende controlar. El controlador obtenido se presenta en la ecuación 2.32. E n esta
e s t r u c t u r a c o n t i n u a m o s utilizando el coeficiente P del algoritmo inicial y se
incorpora u n a variable a en la sección del PID, a d e m á s de separar la dinámica en la e t a p a de ganancia, con respecto a la etapa de adelanto atraso, incorporando
Diseńo del controlador
Gc =
r h
(AR,_> + \%a,T2s +1)
a(rˇ + r2)s
Ecuación 2.32
R,+
s + \
P a r a evaluar el comportamiento de este controlador se utilizó el modelo de proceso c u y a ecuación equivalente (modelo identificado) tiene el valor del tiempo m u e r t o superior a la constante de tiempo m á s grande del sistema, este proceso es el m i s m o q u e se presentó en la ecuación 2 . 3 1 .
Se corrieron 40 simulaciones p a r a distintos valores de a y y; Para a se cubrieron valores de 0.4 a 1 con incrementos de 0.2, mientras y varió de 0.6 a 1 con intervalos de 0 . 1 . El valor de p se m a n t u v o constante en 0 . 1 , p u e s fue el valor q u e permitió u n comportamiento m e n o s violento del sistema, a d e m á s de m a n t e n e r el controlador con sólo dos p a r á m e t r o s de ajuste. Las conclusiones que obtuvimos con este algoritmo son:
• Para el coeficiente p utilizado en el compensador de adelanto atraso, se observó u n comportamiento m e n o s violento al utilizar valores m á s pequeńos.
• Es posible ajusfar el comportamiento del controlador al variar a l g u n a de las variables de sintonía (a o y), sin embargo el algoritmo es m u y sensible al cambio y en el 90% de los casos los indicadores obtenidos son superiores a la dinámica del proceso en lazo abierto.
• Sigue existiendo u n compromiso entre la dinámica de seguimiento y la dinámica de regulación.
• Existen tres constantes de sintonía, y no se observa en forma simple, u n procedimiento de ajuste.
• E s necesario evaluar u n a nueva e s t r u c t u r a de control.
Al independizar el módulo de ganancia con respecto al compensador de adelanto a t r a s o , observamos que p a r a valores pequeńos de p se p r e s e n t a u n comportamiento m á s estable del sistema, por lo que si proponemos que dicho valor t i e n d a a cero obtenemos la ecuación 2.33 p a r a el compensador.
a Ecuación 2.33
^ + 1 4
0 I 5 + 1
Ecuación 2.34
0 1
5 + 1
4
E s t a expresión fue modificada al incorporar u n coeficiente de ajuste "cp", tal y como lo m u e s t r a la ecuación 2.35. Por desgracia, desde las primeras p r u e b a s de simulación, s u comportamiento no se reflejó p a r a distintos valores de q> < 2; y c u a n d o se observó u n cambio significativo, la manipulación era violenta y la r e s p u e s t a general del sistema fue poco estable.
e . (p — 5 + 1
2
Ecuación 2.35
La siguiente p r o p u e s t a fue la de conservar el n u m e r a d o r como u n a expresión de segundo orden y por lo tanto incrementar el orden del denominador. El incremento de orden se hizo mediante la aproximación:
0
5 + 1 5 + 1
8 J Ecuación 2.36
Además de e s t a modificación, se propone incrementar la razón del n u m e r a d o r
con respecto al denominador, con el objeto de hacer m á s representativo la acción del c o m p e n s a d o r de adelanto atraso. La expresión resultante se m u e s t r a en la ecuación 2.37.
(
ń,Y
5 + 1
02
52 +0S + 1
(0
5 + 1
02
64'
2 0 T
r + —5 + 1
Ecuación 2.37
Además de e s t a s modificaciones, se incorporó u n a constante, pe, que permitiera variar la acción del compensador, esta variable se observa en la ecuación 2.38.
r 0 ^
2V ż (0
J
Y Ecuación 2.38
V 8
Diseno del controlador
Al p r o b a r este compensador de adelanto atraso en el controlador de la ecuación 2.25. se observó que s u aportación es significativa por lo que se decidió realizar u n a tercera serie de p r u e b a s .
Tercera etapa de pruebas.
D u r a n t e el desarrollo de esta etapa de p r u e b a s se buscó analizar el comportamiento de controlador con u n máximo de dos parámetros de sintonía, por lo que se realizó u n a serie de combinaciones de las e s t r u c t u r a s h a s t a a h o r a p l a n t e a d a s , obteniendo cuatro n u e v a s estructuras. Para observar la dinámica y el d e s e m p e ń o de estos algoritmos se utilizó el proceso de la ecuación 2 . 3 1 .
La p r i m e r a e s t r u c t u r a que se obtuvo fue utilizando la expresión de g a n a n c i a que resultó de proponer 1 = 0, a d e m á s utiliza el compensador de adelanto atraso obtenido en la ecuación 2.38. El algoritmo se expresa en la ecuación 2.39.
„ r
l +r
2(r
1,
+lXr
2,
+l
) ^ T
í 2 +
^
+ 1.
Gc = y 1
— ' —= Ecuación 2.39
K0 (r,+T2)s G
2
2 0 .
v 1 2 / —s +—s + \
64 4
Donde p y y son constantes adimensionales de sintonía.
La s e g u n d a e s t r u c t u r a que se propuso, ecuación 2.40, es similar a la ecuación anterior, con la variante de que el parámetro de sintonía se p r e s e n t a en la e s t r u c t u r a PID y se elimina del compensador adelanto atraso.
9 2 n t
Gc = p 1 2
^ r— \ ż
4 Ecuación 2.40
K0 a(t,+T2)s 0
2
2 0 ,
v 1 2' s +S + 1
64 4
Aquí las c o n s t a n t e s de sintonía de a y p son también adimensionales.
La tercera e s t r u c t u r a evaluada, utiliza en la parte de ganancia, el valor de X
definida en la ecuación 2.23.
A = /3 TT + Ecuación 2.23
e2
Gc =
K r, + í
(
V +lXr
25
+ l ) ^ ^2
+ ^ c f t +
l
+ 9
(r, +r
2>
— s +—s + l64 4
Ecuación 2.41
El cuarto controlador a evaluar es similar al anterior, con la variante de que el p a r á m e t r o de sintonía del compensador de adelanto atraso se suprime y se incorpora u n a constante de ajuste en la estructura PID. Este algoritmo se p r e s e n t a en la ecuación 2.42.
6
Gc =
K r, +
(at^s + \\GCT2S + l) 4
s2 +0S + 1
+ 0 e
2
64
2 e 1
s + — s + l
Ecuación 2.42
C a d a controlador se evaluó en 56 simulaciones. El coeficiente de sintonía de la sección de ganancia se varió de 0.3 a 0.9 con incrementos de 0 . 1 , mientras que el coeficiente de sintonía del compensador de adelanto atraso o el PID varió de 0.1 a 0.9 con incrementos de 0.1 a 0.2 tal y como se m u e s t r a en las tablas de r e s p u e s t a del anexo B.
Si analizamos las tablas de respuesta de cada controlador podemos concluir lo siguiente:
• Sin importar cual sea el controlador. Existe u n compromiso entre el desempeńo y la regulación del sistema.
• Los controladores cuyo valor de X es diferente de cero, tienen u n
comportamiento m á s acotado. S u s indicadores se mueven en u n rango
m e n o r que los controladores con X = 0. Esto permite m a n t e n e r el
sistema en u n nivel de operación, con la seguridad que no se alcanzaran respuestas a b r u p t a s o fuera de los valores de tolerancia que se especifiquen al sistema.
• Los controladores con constante de sintonía en el PID alcanzan indicadores m á s atractivos, a u n q u e p a r a algunos valores de dichas constantes el sistema se comporta de m a n e r a inestable.
• Los controladores con constante de sintonía en el compensador de adelanto atraso, se comportan de m a n e r a m á s estable y la seńal de manipulación que generan es menos violenta.
• El controlador m á s estable y con u n a manipulación menos violenta fue el de la ecuación 2 . 4 1 , sin embargo, s u s valores de operación, a u n q u e aceptables, son superados por los controladores con constante de suavizado en el PID.
• Se requiere analizar si los beneficios observados en c a d a controlador puede ser integrados en u n a sola estructura por lo que se inicio u n a
Diseńo del controlador
Cuarta etapa de pruebas.
Debido a que el controlador de la ecuación 2.41 presentó u n mejor comportamiento en cuanto a estabilidad, a d e m á s de evitar cambios violentos en la seńal de manipulación, fue esta la estructura seleccionada p a r a incorporarle la sección de PID con constante de ajuste, esto con el objeto de evaluar la posibilidad de integración en u n a e s t r u c t u r a de las ventajas anteriormente analizadas. Sin embargo, esta modificación nos genera u n a e s t r u c t u r a con tres p a r á m e t r o s de ajuste, tal y como se m u e s t r a en la ecuación 2.43.
20 2
Gc =
K P r, + + 0 a{rl + r2 )s O
2 i 0 .
— s + s + l
64 4
Ecuación 2.43
Utilizando el proceso de la ecuación 2 . 3 1 , se realizaron diversas simulaciones variando los p a r á m e t r o s del controlador de 0.1 a 2.0 con incrementos de 0 . 1 . Al evaluar los resultados observamos que los valores que demostraron u n a r e s p u e s t a óptima fueron los siguientes:
0.8 < p < 1.2 a = 0.6 pe = 1.1
Con el objeto de mejorar el desempeńo del controlador se evaluaron incrementos de 0.01 alrededor de los parámetros anteriores. Esto permitió definir que los valores de operación que mejoraban cualquier desempeńo h a s t a a h o r a obtenido, se lograban con las siguientes variables:
0.8 < p < 1.2 a = 0.62 pc = 1.13
Los valores de p varían en u n rango, debido al compromiso entre regulación y seguimiento. A valores menores de 1 se obtiene mejor r e s p u e s t a p a r a rechazar perturbaciones, mientras que p a r a valores superiores a 1 se obtiene mejor r e s p u e s t a p a r a seguimiento.
Con el objeto de evaluar si estos valores son válidos p a r a diferentes sistemas se realizaron simulaciones con procesos de segundo, tercero, cuarto y quinto orden, los cuales se m u e s t r a n en el Anexo A. Los resultados obtenidos, los cuales se p r e s e n t a n en el Anexo C, fueron satisfactorios. Por lo que podemos afirmar que el controlador de la ecuación 2.43 es el algoritmo que proporciona el mejor desempeńo a partir de los parámetros obtenidos con el método de identificación NS4.
2.7Controlador propuesto.
Con el objeto de facilitar la utilización del algoritmo de control definido en la ecuación 2.43 y a partir de las p r u e b a s en simulación que se realizaron, definimos la siguiente estructura:
Gc = r , + r ,
8
Ur,c ^ , , \ , T / n c n , , \ , 1 {ar + 0. 1 3 )
2 —s2 +{a
v + 0. 1 3 V & + 1
[(0.5aF + 0 . 1 2 ^ , 5 + 11(0.50,, +0.\2}t2s + \\
7 4 K_ [ R
K ( 0 . 7 ^ + 0 . 3
( 0 . 5 aF + 0 . 1 2 X r , +t2)s 6 2
_
64
2 & , s +—s + \
Ecuación 2.44
Como podemos observar, en este nuevo acomodo del algoritmo, se incorporan tres p a r á m e t r o s independientes de los obtenidos en el procedimiento de
identificación NS4. Estos parámetros son: ak, a F y av.
La e s t r u c t u r a que se proporcionó a cada u n a de estas variable es con el objeto de utilizar a la u n i d a d como valor de default y con ello proporcionar de m a n e r a a u t o m á t i c a los valores de las constantes que nos proporcionan u n mejor desempeńo:
• Constante de la sección de ganancia ak = 1 • Constante de la sección de PID aF = 1 • Constante de la sección adelanto atraso av = 1
Las p r u e b a s desarrolladas a este controlador n o s permiten distinguir el comportamiento del sistema al manipular algunas de las variables, a d e m á s de permitirnos definir u n nombre p a r a cada u n a de ellas. La descripción de e s t a s variables se p r e s e n t a a continuación. Su funcionamiento se analiza con apoyo del proceso de la ecuación 2 . 3 1 .
Gp= •——1
e~sos
Ecuación 2.31
(100s + l)3
(80s + l)(60.s + i)
Factor de suavizado de ganancia ak
Diseńo del controlador
E n caso de requerir a u m e n t a r la ganancia debemos disminuir el valor de ak, el rango de operación p a r a esta acción se limita de 1 a 0. E n este caso el controlador p u e d e tolerar el valor de cero, ya que la e s t r u c t u r a c u e n t a con u n a protección. Para modificar el factor de suavizado de ganancia en este rango, r e c o m e n d a m o s iniciar con el valor propuesto de 1 e ir disminuyendo en decrementos de 0 . 1 .
La r e s p u e s t a a distintos valores de factor de suavizado de ganancia, m a n t e n i e n d o las otras dos c o n s t a n t e s en s u s valores propuestos se presentan en la Figura 2.9 y Figura 2.10.
Como podemos observar en la figura anterior, al incrementar el factor de
suavizado de ganancia, a.K, disminuimos el sobretiro y mejoramos el tiempo de
establecimiento. El valor propuesto de 1, proporciona u n sobretiro en el rango del 10% y u n tiempo de establecimiento menor al del proceso en lazo abierto.
P a r a el caso de la r e s p u e s t a ante u n a perturbación, podemos observar que al
incrementar el factor de suavizado de ganancia, BLK, incrementamos el tiempo de
establecimiento y disminuimos la acción de rechazo al a u m e n t a r s e el porcentaje de desviación. Debemos de hacer mención de que a pesar de que a valores m á s p e q u e ń o s del factor de suavizado, el rechazo de la perturbación es mayor, n o p o d e m o s asegurar que la b a n d a de 2% se alcance en la primera e n t r a d a de la seńal a e s a zona, como ejemplo específico p a r a este proceso podemos observar la
1.2
0.6
0.2
0
0.2
!
: y
7 \ \
.. X 2 5
/ : 0 \ X
.y • \ ^
2 . 0
0 500 1000 1500
Figura 2.10 Respuesta del sistema ante una perturbación de tipo escalón para distintos valores de a * . .
Debemos enfatizar que existe u n compromiso entre cambios de referencia y presencia de perturbaciones, ya que al incrementar el factor de suavizado de g a n a n c i a podemos mejorar significativamente la r e s p u e s t a p a r a cambios en referencia, pero reducir el desempeńo en presencia de perturbaciones. El valor
p r o p u e s t o de 1 p a r a &K, n o s permite operar el controlador en u n p u n t o intermedio
y es decisión del u s u a r i o definir la dinámica deseada.
Factor de suavizado de frecuencia a F
Este p a r á m e t r o se d e n o m i n a factor de suavizado de frecuencia debido a q u e al a u m e n t a r s u m a g n i t u d disminuimos la frecuencia del lazo. El rango de operación
p a r a e s t a acción se propone de 1 a 3. El valor inicial propuesto es a F = 1, que fue
el q u e presentó el mejor comportamiento, y d u r a n t e las p r u e b a s no h u b o necesidad de modificar s u magnitud p a r a mejorar el desempeńo del sistema. R e c o m e n d a m o s utilizar el valor propuesto de 1 y, si h a y necesidad de suavizar la frecuencia, se realicen incrementos de 0 . 1 .
E n caso de requerir a u m e n t a r la frecuencia debemos disminuir el valor de a F , el
Diseńo del controlador
La r e s p u e s t a a distintos valores de factor de suavizado de frecuencia, m a n t e n i e n d o las otras dos constantes en s u s valores propuestos, se p r e s e n t a n en la Figura 2.11 y Figura 2.12.
Figura 2.11. Respuesta del sistema para distintos valores de aFante un cambio de
referencia de tipo escalón unitario.
Como p o d e m o s observar, a d e m á s de modificarse la frecuencia del sistema, se p r e s e n t a u n a disminución del sobretiro, a u n q u e esta disminución es m á s drástica y m e n o s controlable que si utilizamos el factor de suavizado de ganancia p a r a mejorar el desempeńo del sistema a partir de este criterio. Para este caso en particular no se incluyó la r e s p u e s t a de aF = 0, debido a que su comportamiento fue inestable, por lo que enfatizamos iniciar operando el controlador en los valores p r o p u e s t o s y a partir de ahí hacer los ajustes que requiera el sistema.
0.5
PROCESO
\ \ '• 2 . 0
\ \ X : , 5 /
_ , v y x J
\ " K . ^
1 ^ —
0 500 1000 1500
Figura 2.12. Respuesta del sistema para distintos valores de aF ante una perturbación de
tipo escalón unitario.
Los tiempos de establecimiento varían en forma m á s drástica en a m b o s casos, por lo que r e c o m e n d a m o s que el factor de suavizado de frecuencia sea exclusivo p a r a e s t a variable, frecuencia, y que se utilice el factor de suavizado de g a n a n c i a p a r a cumplir con la tarea de modificar el tiempo de asentamiento.
Factor de velocidad ay
Este p a r á m e t r o se denomina factor de velocidad debido a que al a u m e n t a r s u m a g n i t u d se observa u n a mayor rapidez en la r e s p u e s t a inicial del lazo. El rango de operación p a r a este parámetro difiere de los p a r á m e t r o s anteriores, p u e s si observamos las gráficas de r e s p u e s t a del controlador a distintos valores del factor de velocidad, podemos apreciar que existe u n mínimo o límite de la dinámica, ocurriendo este cambio en el valor propuesto como inicial, el cual corresponde a:
av = 1.
Respecto a la dinámica de velocidad, esta característica permanece c o n s t a n t e en todo el rango de operación, incrementándose la velocidad de r e s p u e s t a si
a u m e n t a m o s el factor de velocidad, y si disminuimos av h a c e m o s m á s lenta la
Diseńo del controlador
P a r a cambios en referencia, el sobretiro se incrementa tanto al disminuir como al a u m e n t a r el factor de velocidad, siendo su p u n t o de quiebre o de menor valor el
q u e se p r e s e n t a en el dato propuesto. El menor valor que acepta ave s cero, ya que
la e s t r u c t u r a del controlador c u e n t a con u n a protección p a r a aceptar este dato.
El valor máximo de av que permitió el controlador a n t e s de generar inestabilidad
en el lazo es de 1.6, enfatizamos que este valor se obtuvo p a r a este proceso en particular y p u e d e existir a l g u n a e s t r u c t u r a que requiera u n a configuración igual o mayor a este valor.
Por e s t a s razones r e c o m e n d a m o s que el factor de velocidad av tenga u n rango de
operación de 1 a 0, t o m a n d o el valor inicial como 1 y realizando, en caso de ser necesario, decrementos de 0 . 1 . Durante las p r u e b a s no h u b o necesidad de
modificar la m a g n i t u d de av = 1, p a r a mejorar el desempeńo del sistema.
Las r e s p u e s t a s a distintos valores de suavizado de velocidad, m a n t e n i e n d o las otras dos c o n s t a n t e s en s u s valores propuestos se presentan en las Figura 2.13 y 2.14. 1.4 1.2 0.6 0.4 0.2 0 I
: / " \
1.6 / \ V / ,1* / / \ i i" J
/ X * s r }
Á.2/ / • , \ 1
1
.0/ / :\ V /
,(/.... Í 0 R /. \ /; : : : : : : : : : ± ^ 3
— ' v / / /
: _ ^ ^ í s w ^
t í r ,
.. / / . . / / ; / / / V . , 7
v
ˇI 1 / i PROCE
\\\ˇi\ / SO
L A
1
V '
s I
I - , * Í E — = ^ J 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Figura 2.13. Respuesta del sistema para distintos valores de av ante un cambio de
referencia de tipo escalón unitario.
P a r a el caso de perturbaciones, el suavizado de factor de velocidad opera de la m i s m a m a n e r a : al a u m e n t a r s u valor, a u m e n t a m o s la velocidad del sistema. E n este caso, la variación del porcentaje de desviación se modifica significativamente a distintos valores de suavizado de velocidad, pero no tenemos u n control del tiempo de establecimiento, a d e m á s de presentarse l a dinámica descrita con respecto al límite o cambio d e comportamiento. De t a l m a n e r a que
r e c o m e n d a m o s utilizar el dato propuesto p a r a av, así como d e ajustar el
porcentaje de desviación con el factor de suavizado de ganancia.
1.2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
PROCESO
. Á
L
^^C^,..X
N'O.6
? X 1.0
" ~ ż " _
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^^^^^
• • •_• v •:.J..:..:..:.:.::.:.:..:.:.5
i
[image:39.612.84.534.176.462.2]0 500 1000 1500
Figura 2.14. Respuesta del sistema para distintos valores deav ante una perturbación de
tipo escalón unitario
Observaciones
El controlador que proponemos en este trabajo p r e s e n t a tres p a r á m e t r o s de ajuste: factor de suavizado de ganancia, factor de suavizado de frecuencia y factor de velocidad. Los valores propuestos de las tres constantes es la u n i d a d y se recomienda operarlas en u n rango de 0 a 3 p a r a las dos primeras y de 0 a 1 p a r a factor de velocidad.
Diseńo del controlador
CAPÍTULO
3 .
SENSIBILIDAD Y ROBUSTEZ.
3.1 Definición de sensibilidad y robustez.
La eficiencia de u n controlador puede evaluarse de acuerdo a criterios de estabilidad, desempeńo, sensibilidad, reducción de error, ancho de b a n d a , c o n s u m o de energía, economía, etc. En el capítulo 2, se realizaron p r u e b a s de desempeńo del controlador propuesto, que demostraron u n b u e n comportamiento del algoritmo, s u p e r a n d o a u n controlador de tipo PID sintonizado por criterios ITAE tradicionales.
El criterio que deseamos evaluar en forma comparativa, con el objeto de determinar las ventajas de n u e s t r a propuesta, es el de sensibilidad. La sensibilidad es u n a medición de la dependencia de las características de u n sistema de control con base a elementos particulares.
La sensibilidad diferencial, S, de la función de transferencia de lazo cerrado de u n sistema de control H(s) con respecto a las características de u n elemento dado K(s) se define como:
, „ d\nH(s) %changeinH(s) „ ., „„
5 " (s) = v
= — Ecuación 3.1
d\nK(s) %change in K(s)
Donde H(s) esta definida en términos de la e n t r a d a del sistema de control R(s), y de la salida, Y(s), esto también puede obtenerse como:
o W, , clH(s)/H(s)
S" 0) = v
' v
— Ecuación 3.2 K
dK{s)IK{s)
E n donde podemos decir que la sensibilidad diferencial de H(s) con respecto a K(s) se define como el porcentaje de cambio en H(s) dividido entre el porcentaje de cambio en K(s). Si acomodamos la ecuación 3.2 y la escribimos n u e v a m e n t e t e n e m o s que:
„ K(s)^dH(s)
.v (.v) = * Ecuación 3.3
H(s) dK{s)
Si observamos u n proceso y su controlador como el de la Figura 3.1, podemos
Sensibilidad y Robustez
S"K ( 5 ) =
K(s) Gc(s)K(s)
1 + (ic(s)K(s) dK(s)
Gc(s)K{s)
l + Gc(s)K(s) Ecuación 3.4
Por lo que
„ = K(s)[\ + Gc(s)K(s)\, [1 + Gc(s)K(s)}[Gc(s)] [Gc(s)K(s)}[Gc(s)] 3 g K
Gc(s)K(s) [\ + Gc(s)K(s)]2
Si resolvemos esta expresión obtenemos la ecuación 3.6, la cual se d e n o m i n a función de sensibilidad.
S"(s)= Ecuación 3.6
1 + Gc(s)K(s)
R(s) Gc(s) Gc(s) K(s) K(s) Y(s)
Figura 3.1. Proceso y controlador en lazo cerrado.
Como podemos observar, la ecuación 3.6 es la m i s m a que presenta Rivera y Morari(4), quienes describen también el concepto de sensibilidad complementaria y el cual podemos analizar si observamos la ecuación 3.7.
T + S = ' + = 1 Ecuación 3.7
1 + Gc(s)K(s) 1 + Gc(s)K(s)
El indicador de robustez utilizando el concepto de sensibilidad, se aprecia al aplicar la h e r r a m i e n t a de Bode y de n o r m a infinita, como ejemplo podemos
observar la Figura 3.2, en donde la distancia desde el eje de cero decibeles h a s t a el
valor de m a g n i t u d m á x i m a se denomina modulo Margin. La m a g n i t u d de los m ó d u l o s Margin (MM) debe de estar entre 4 y 8 decibeles. Superior a 8 n o s indica u n controlador malo y menor a 4 es u n controlador m u y robusto en lo que a sensibilidad se refiere, pero con u n sacrificio del desempeńo.
3.2 CONTROLADORES A COMPARAR.
Con el objeto de evaluar la robustez del controlador propuesto en la ecuación 2 . 4 3 , se propone realizar u n análisis comparativo de dicho algoritmo con respecto al controlador tradicional, PID. Además, en las p r u e b a s se incluirá otro algoritmo de control de segundo orden. Las e s t r u c t u r a s y criterios de c a d a controlador q u e se utilizarán s e r á n los siguientes.
Controlador PID.
Existen diversos criterios de sintonía p a r a obtener los p a r á m e t r o s de u n controlador PID, cuya e s t r u c t u r a se m u e s t r a en la ecuación 3.8. Para sintonizar este controlador utilizaremos el criterio ITAE p a r a perturbaciones, debido a que es el q u e proporciona u n a mejor dinámica ante presencia de perturbaciones, a d e m á s de u n comportamiento b a s t a n t e aceptable p a r a cambios en referencia.
GcPID = Kc
r:s +1