GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 2 UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES

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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 2

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES

Los elementos del conjunto IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} se denominan “Números Naturales”.

Los números cardinales corresponden a la unión del conjunto de los Números Naturales con el cero. IN0= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} IN0= IN {0}

NÚMEROS ENTEROS

Los elementos del conjunto = {…, -3,-2,-1, 0, 1, 2,…} se denominan “Números Enteros”.

OPERATORIA EN

ADICIÓN

 Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común.

 Al sumar dos números de distintos signos, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto. OBSERVACIÓN:El valor absoluto de un número es el valor numérico cuando se omite el signo. El valor absoluto de +5 o de -5 es 5.

MULTIPLICACIÓN

 Si se multiplican dos números de igual signo el resultado es siempre positivo.

 Si se multiplican dos números de distintos signo el resultado siempre es negativo.

OBSERVACION:En la división se cumple la regla de los signos de la multiplicación.

EJEMPLOS

1. Al calcular -9 + (-28) se obtiene

A) -37 B) -19 C) 19 D) 21 E) 37

+ · + = + + · – = – – · + = – – · – = +

(2)

2. Al calcular 18 + -27 se obtiene

A) -11 B) -9

C) 9

D) 11 E) 45

3. El cuociente entre -145 y -5 es

A) -29 B) -27 C) 27 D) 28 E) 29

4. Al calcular (-12.435 + 9.123) : 3 se obtiene

A) -7.186 B) -1.104 C) -114 D) 7.186 E) 9.936

5. Se define a  b = 2a + b – 5. Si m = 3n – 9 y n = 2 4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) m es un número natural. II) n es un número entero. III) m – n es un número natural. A) Solo I

B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

6. (-2) · 2 · 2 · (-2) · 2 · (-2) =

A) 26

B) 20

C) -23

(3)

Definición: seanun número entero, entonces:

 El sucesor de n es (n + 1).  El antecesor de n es (n – 1).  El entero 2n es siempre par.

 El entero (2n – 1) es siempre impar.  El entero (2n + 1) es siempre impar.  Son pares consecutivos 2n y 2n + 2.

 Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3.  El cuadrado perfecto de n es n2.

OBSERVACIÓN: Son cuadrados perfectos los enteros de la forma n2, con nlN: 1, 4 , 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …

EJEMPLOS

1. Si al antecesor de -3 se le resta el sucesor de -6, se obtiene

A) -9 B) -7 C) 1 D) 2 E) 3

2. Si al doble de 17 se le resta el antecesor del triple de 9, resulta

A) 6 B) 7 C) 8 D) 30 E) 60

3. La suma de tres números consecutivos es -60. ¿Cuál es el sucesor del número mayor?

(4)

4. Al dividir el antecesor del triple de -4 con el sucesor del doble de 6, resulta

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1

E) ninguna de las anteriores.

5. Joaquín debe resolver la siguiente situación: “Se sabe que p + 5 = 8, q – 6 = -1 y r – 9 = -15, entonces p + q + r =”

A) -34 B) -8 C) -4

D) 2

E) 14

6. El producto del cuadrado perfecto de 7 con el cuadrado perfecto de 2 es

A) 7 · 2 B) 72· 22

C) 4 · 7 D) 52

E) 22· 7

7. Si 7x + 2 = -5, entonces el cuádruplo de xes

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PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES

Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

 Resolver los paréntesis.  Realizar las potencias.

 Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.  Realizar adiciones y/o sustracciones.

EJEMPLOS

1. 4 · (-22) + 1=

A) -15 B) -12

C) 1

D) 15 E) 17

2. Al desarrollar 5 · (-12) : 4 + 6 · 3 se obtiene

A) -27 B) -18 C) -3

D) 3

E) 18

3. Al resolver (-2)4+ 5 – (12 – 14 : 2)2se obtiene

(6)

4. (-3)3 + 2 (5 – (-4))2 =

A) -27 B) -25 C) -9 D) 135 E) 153

5. -(22+ 3)2– 4 (1 + 2(-2 – 3)) =

A) -85 B) -43 C) -13 D) 11 E) 29

6. 6{-(2 – 9) – 2[5 - 8 – (-9 – 2)]} =

A) -210 B) -102 C) -54

D) 18

E) 240

7. Si a = 15 – 6 · 4 : 8 + 2 , b= -10 : 5 · 2 + 1 – 1 : 1 y c = -22+ (3 – 5)3. Al ordenar

en forma decreciente resulta

(7)

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

En la expresión a = b · cen que a, b yc son números enteros, a es múltiplo deb y de c o bienb ycson divisores o factores de a.

ALGUNAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un número entero es divisible:

POR CUANDO

2 Termina en cifra par.

3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres.

4 Las dos últimas cifras sean ceros o múltiplos de 4. 5 Termina en 0 o 5.

6 Es divisible por dos y por tres a la vez.

8 Las tres últimas cifras sean ceros o múltiplo de 8. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

EJEMPLOS

1. El triple de 146 es divisible por

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2. Si M(4) corresponde al conjunto de los múltiplos positivos de 4, M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, …}. La cuarta parte de la suma de los primeros cuatro múltiplos de cuatro es

A) 6 B) 10 C) 14 D) 18 E) 20

3. Para qué valor de m la expresión m2 m

3  es divisible por 6 I) 3

(8)

4. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar Z, para que el número 38Z6 sea divisible por 3?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

5. La suma de tres números múltiplos consecutivos de 3 es siempre un número divisible por

I) 3 II) 8 III) 9

Es (son) verdadera(s) A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

6. Si 4 · 3 · (x + 3) = 72, entonces xes divisor de I) 1

II) 2 III) 3 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas

7. ¿Cuál de los siguientes pares de números debe colocarse en los cuadrados vacíos, para que el número de 6 cifras 7 201 sea divisible por 9?

(9)

NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

 Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. (El 1 y el mismo número).

Los primeros números primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,…

 Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos, es decir, son aquellos que tienen más de dos divisores. Los primeros números compuestos son: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,…

Observación:El 1 no es número primo ni compuesto. TEOREMA FUNDAMENTAL

Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores de números primos.

EJEMPLOS

1. ¿Cuántos números primos son mayores que 8 y menores que 40?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

2. La diferencia entre el mayor número primo menor que 10 y el menor número compuesto, disminuido en 4 es

A) -7 B) -3 C) -1 D) 1 E) 3

3. Al sumar los 6 primeros números primos, se obtiene

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4. Al descomponer 540 en factores primos resulta

A) 2 · 33

B) 22· 3 · 5

C) 22· 32 · 5

D) 22· 32 · 52

E) 22· 33 · 5

5. Si p = -2, q = -1 y r = 1 entonces 3r – [r – (p – q)] representa un número

A) primo. B) compuesto. C) antecesor de 0. D) sucesor de 1. E) antecesor de 2.

6. El cuádruplo de la suma de dos números primos consecutivos es igual al doble de 10. Si uno de esos números es par, ¿cuál es el otro número?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 12

E) Falta información.

7. Al descomponer en un producto de factores primos el número 4.356 se puede afirmar que

I) tiene solo tres factores primos. II) es un cuadrado perfecto.

III) su raíz cuadrada es el antecesor par de 17 · 22.

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VALOR ABSOLUTO

Es la distancia que existe entre un número y el 0.

DEFINICIÓN:

EJEMPLOS

1. Si z = -6 entonces 2z +z–-z

A) -24 B) -12

C) 0

D) 12 E) 24

2. -3 · 5 – 4–-5=

A) -8 B) -2 C) 1 D) 2 E) 8

3. -4 – 9–-12+ -9=

A) 16 B) 8 C) 2 D) -2 E) -8

|n| =

n, si n 0 -n, si n < 0

-3= 3 3= 3

(12)

4. Dado los números enteros p = -12, q = -2, r = --8 y s = -(--6), el orden decreciente de ellos es

A) p, r, s, q B) q, r, s, p C) p, s, q, r D) p, s, r, q E) s, p, q, r

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s) con respecto a la expresión a> b?

I) a > b II) b > a

III) la distancia deaal cero es mayor que la distancia de bal cero.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

6. El valor de-9 – 3–-9–-6 es

A) -9 B) -3 C) 0 D) 3 E) 9

7. Si a = -2 y b = 3, entonces el valor de la expresión a – b––b·b – a+ -a es

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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)

Es el menor entero positivo que es múltiplo común de dos o más enteros.  MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Es el mayor entero positivo que es divisor común de dos o más enteros.

CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D. MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORESPRIMOS Se debe descomponer los números dados en factores primos.

El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos, en el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea elexponente menor.

EJEMPLOS

1. El m.c.m. entre 5 y 7 es

A) 1 B) 5 C) 7 D) 35 E) 70

2. El M.C.D. de 3 y 5 es

A) 1 B) 3 C) 5 D) 10 E) 15

3. Si A = 23 · 34 y B = 22 · 33 · 5, entonces el m.c.m y el M.C.D. de A y B son

respectivamente

A) 23· 33 y 22· 33 · 5

B) 22· 33 · 5 y 22 · 33

C) 23· 34 · 5 y 22 · 33

D) 22· 33 y 23· 34 · 5

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EJERCICIOS

1. 3 – 2(2 · 3 – 2 · 4) =

A) -29 B) -15 C) -2

D) 2

E) 7

2. Con respecto a |-18| se puede afirmar que

A) |-18| < 18 B) |-18| >18 C) |-18| = 18 D) |-18| = (-18) E) |-18| < -18

3. [-3 + (-5) · 6] : (-3) =

A) -16 B) -11

C) 9

D) 11 E) 16

4. -2 · {3 -4 – 1 –-2} =

A) -34 B) -26 C) -19 D) 26 E) 34

5. -1 + {2 [23 – (3 + 4)] – 8} =

(15)

6. En la siguiente secuencia numérica 1, -3, 5, -7, 9, -11, el duodécimo término es

A) -23 B) -21 C) -19 D) 19 E) 21

6. Si al cubo de -2 se le suma el cuádruplo de -3 y al resultado se le agrega el cuádruplo de 4, se obtiene

A) -4 B) -2 C) 22 D) 24 E) 36

7. Si r y sson dos números impares consecutivos tales que r < s,entoncesr – s es

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

8. Si (m – 7) es el antecesor de 12, entonces el antecesor de mes

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

9. Si p y q son números enteros y el sucesor de p es q y el antecesor de p es -9, entonces p + q =

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10. Si 2n representa un número par y m un número impar, ¿cuál de las siguientes opciones corresponde a un número par?

A) 2n + m B) 2n – m C) m – 2n + 2 D) 10n + 3m E) m – 1 + 2n

11. Si a y b son dos números enteros cuyas ubicaciones en la recta numérica están representados en la figura 1, entoncessiemprese cumple que

A) a · b > 0 B) -a : b < 0 C) a + b > 0 D) a – b > 0 E) a : -b > 0

12. Al descomponer el número 360 en sus factores primos se obtiene a3b2c. Entonces,

a + b – c es igual a A) -4

B) 0 C) 4 D) 6 E) 10

13. Siaes un número compuesto impar menor que 10, entonces a – 1 es I) primo.

II) compuesto. III) impar. Es (son) verdadera(s) A) Solo I

B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

14. La descomposición del número 2.160 en sus factores primos es A) 22· 32 · 5

B) 23· 32 · 52

C) 22· 33 · 5

(17)

15. Sixes un número primo menor que tres, entonces xes

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

E) ninguno de ellos.

16. Si a > 0 y a > b, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es siempreverdadera?

A) b > 0 B) a < b C) -a < -b D) b < 0 E) -a > -b

17. Las luces de una vitrina encienden en lapsos distintos de tiempo, las luces amarillas se encienden cada 24 segundos y las rojas cada 32 segundos. Si ambos colores se encuentran encendidos a las 10 horas y 15 minutos, ¿a qué hora se encuentran nuevamente ambos encendidos?

A) 10 hr, 15 min y 32 seg B) 10 hr, 16 min y 06 seg C) 10 hr, 16 min y 24 seg D) 10 hr, 16 min y 36 seg E) 10 hr, 17 min y 36 seg

18. Para que el número de cuatro cifras 6_22 sea divisible por 6, ¿cuál es el número que se debe colocar en el espacio en blanco?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

19. Sip es el menor número primo no par, q es el sucesor primo depyr es el antecesor de q, entonces el resultado de 2r + 3p – qes

(18)

E) 25

20. La suma de tres impares consecutivos es siempredivisible por I) 2

II) 3 III) 6

Es (son) verdadera(s) A) Solo I

B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

21. Sines un número natural impar, entonces el sucesor impar del sucesor den + 1está representado por

A) 2n + 4 B) 2n + 2 C) n + 2 D) n + 3 E) n + 4

22. Si p es un número entero impar y q es un número entero par consecutivo a p, entonces ¿cuál (es) de las siguientes aseveraciones es (son) siempreverdadera(s)?

I) p – 1 es impar. II) (p – q)2es igual a 1.

III) -q2es un número entero positivo.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

23. La figura 2 muestra una secuencia de diagramas en la cual el número de celdas negras (n) y blancas (b) están relacionadas por una fórmula. ¿Cuál es la fórmula que relaciona n con b?

A) b = 2n B) b = 2n – 1 C) b = n + 2

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24. El diagrama que se muestra en la figura 3 está formado por segmentos que van creando triángulos. ¿Cuántos segmentos se necesitan para formar el diagrama número 85?

A) 240 B) 329 C) 339 D) 340 E) 440

25. Se puede ordenar en forma creciente a, b y csi se sabe que : (1) a + 1 = b

(2) el antecesor decesb. A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

26. Sea run número primo comprendido entre 30 y 50. Se puede determinar el valor exacto de rsi:

(1) La suma de sus dígitos es menor a 10. (2) La suma de sus dígitos es un número primo. A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. Sean x e y números naturales distintos. Si (x + y) es un número par, entonces se puede determinar el valor de x eysi :

(1) x < y e y 4 (2) y – x = 2 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

fig. 3

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28. Sea nun numero entero, se puede determinar que n – 1es par si : (1) 2n es un número par.

(2) n + 2 es impar A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

29. Se puede determinar el valor numérico de (s – t) · (s – t) si : (1) (s + t) · (s – t) = 21

(2) s = 7 – t A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS

Ejemplo

Págs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 A B E B B E

3 y 4 C C E B D B A

5 y 6 A D C D C C C

7 y 8 C B E B D C E

9 y 10 C C D E E B E

11 y 12 B A E C C D C

13 D A C

1. E 11. E 21. B 2. C 12. E 22. E 3. D 13. B 23. B 4. B 14. B 24. C 5. B 15. E 25. C 6. A 16. C 26. C 7. A 17. C 27. E 8. A 18. D 28. E 9. A 19. C 29. B 10. B 20. A 30. C

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Referencias

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