1 MATEMÁTICA 2 IPA PROF: ADRIÁN MILANO

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(1)

1

MATEMÁTICA 2 IPA PROF: ADRIÁN MILANO

Profesorado de Física 2018

MATRICES

Informalmente podemos decir que una matriz de números es un conjunto de números ordenados por filas y columnas en una tabla rectangular.

Ejemplos de matrices son:





=

1

0

2

1

1

i

i

A

,





=

2

3

1

1

B

,

C

=

(

1

1

1

i

7

)

y





=

1

1

D

Las matrices tienen sus aplicaciones en la economía, ingeniería, medicina, sociología y otras ramas del conocimiento. Permiten organizar datos y sirven para esquematizar situaciones reales. Por ejemplo, las calificaciones obtenidas por Ana, Luis, José, Pedro y Lucía en matemática, física e historia en un curso de primer año de bachillerato, pueden formar una matriz cuyas columnas correspondan a las materias mencionadas y las filas a cada uno de los alumnos. En la intersección de una fila con una columna aparece la calificación obtenida por el alumno en la materia considerada.

Historia Física Ingles

     

 

     

 

9 12 8

12 8 9

7 5 3

10 8 4

3 7 8

Las matrices son muy útiles en la resolución de sistemas lineales de ecuaciones. Fue el matemático Arthur Cayley quien, en el siglo XIX, observó que las tablas numéricas podían ser miradas como objetos matemáticos. Definió matriz y estudió sus propiedades, contribuyendo al desarrollo del álgebra matricial, herramienta fundamental del álgebra lineal.

1. DEFINICIÓN DE MATRIZ

Sean

m

y

n

números naturales positivos,

K

un conjunto cualquiera y

D

el conjunto de todos los pares

(

i

,

j

)

de números naturales tales que

1

i

m

y

1

j

n

, es decir,

D

=

{

1

,

2

,

...,

m

} {

×

1

,

2

,...,

n

}

.

A cualquier función

A

de dominio

D

y codominio

K

se llama matriz de orden, tamaño o dimensión

m

×

n

definida sobre el conjunto

K

.

Dicho de otra forma, si

I

=

{

1

,

2

,

...,

m

}

y

J

=

{

1

,

2

,...,

n

}

, una matriz

A

de tamaño

m

×

n

es cualquier función de dominio

I

×

J

y codominio

K

.

La imagen del par

(

i

,

j

)

por la función

A

en vez de anotarse

A

((

i

,

j

))

se le suele anotar

a

i j. j

i

a

se llama elemento o entrada de la matriz en la posición ij.

Las entradas de una matriz pueden ser elementos de cualquier naturaleza, como por ejemplo, números, funciones, etc. Como la función

A

tiene

m

n

imágenes o entradas, esta se puede describir completamente escribiendo las entradas en un rectángulo de

m

filas y

n

columnas como el siguiente:

mn m

m m

n n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..

...

3 2 1

2 23

22 21

1 13

12 11

En esta forma de ordenar las entradas de una matriz, la entrada

a

i j es la que pertenece a la fila i y a la columna

j

de la matriz

A

.

(2)

2

Llamamos diagonal principal de la matriz

A

a los elementos de la forma

a

ii con

i

N

,

1

i

n

.

Haciendo abuso del lenguaje, en general identificamos la función

A

con el rectángulo donde se muestran sus imágenes

y escribimos:

=

mn m

m m

n n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..

...

3 2 1

2 23

22 21

1 13

12 11

o mas brevemente

A

=

(

a

ij

)

m×n o

A

=

(

a

ij

)

Como casos particulares de matrices tenemos:

1) Si

m

=

n

, decimos que

A

es una matriz cuadrada de tamaño

n

2) Si

m

=

1

, decimos que

A

es una matriz fila y

3) Si

n

=

1

, decimos que

A

es una matriz columna.

A lo largo de este material, el conjunto

K

será, salvo se mencione lo contrario, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos.

Utilizaremos la notación Mm×n(K) para indicar el conjunto de las matrices de tamaño

m

×

n

cuyas entradas

pertenecen al conjunto

K

.

2. IGUALDAD ENTRE MATRICES

Se consideran las matrices

A

=

(

a

ij

)

y

B

=

(

b

ij

)

de tamaño

m

×

n

con entradas en un cuerpo

K

.

Decimos que

A

y

B

son matrices iguales (y escribiremos

A

=

B

) si y sólo si

a

i j

=

b

ij para cada pareja

)

,

(

i

j

de números naturales con

1

i

m

y

1

j

n

.

Es decir, dos matrices son iguales cuando son del mismo tamaño y tienen las mismas entradas situadas en la misma posición. Esto es consecuencia de que las matrices son funciones y dos funciones

f

y

g

son iguales si tienen el mismo dominio

D

, el mismo codominio y

f

(

x

)

=

g

(

x

)

,

x

D

.

3. OPERACIONES CON MATRICES

3.1 SUMA DE MATRICES

Dadas las matrices

A

=

(

a

ij

)

y

B

=

(

b

ij

)

de tamaño

m

×

n

con entradas en un cuerpo

K

.

Llamamos matriz suma de

A

y

B

, a la matriz de tamaño

m

×

n

, que anotaremos

A

+

B

, y que está definida sobre el cuerpo

K

de la siguiente forma:

A

+

B

=

(

a

ij

+

b

ij

)

para cada pareja

(

i

,

j

)

de números naturales con

n

j

m

i

1

1

y .

La matriz

A

+

B

es de tamaño

m

×

n

y sus entradas se obtiene sumando las entradas de

A

y

B

que ocupan la misma posición.

(3)

3

Ejercicio 1

1) Hallar todas las sumas posibles que se pueden realizar entre las siguientes matrices.





=

1

2

0

1

1

1

A

,

=

1

1

2

0

1

1

B

,





=

1

2

3

0

1

1

C

,

=

3

1

2

0

0

1

D

y





=

2

1

E

2) Dadas las matrices





+

+

+

=

a

c

b

b

a

a

b

d

M

3

3

2

3

y





=

b

c

b

a

a

P

1

3

1

2

donde

a

,

b

,

c

y

d

son

números reales cualesquiera. Hallar

a

,

b

,

c

y

d

sabiendo que





+

+

=

+

3

2

6

2

1

4

b

a

c

b

a

P

M

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

Si

A

,

B

y

C

son tres matrices cualesquiera de tamaño

m

×

n

con entradas en un cuerpo

K

, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1) Conmutativa:

A

+

B

=

B

+

A

2) Asociativa:

A

+

(

B

+

C

)

=

(

A

+

B

)

+

C

3) Existencia de Neutro: Existe una matriz

O

de tamaño

m

×

n

, llamada matriz nula, tal que

A

+

O

=

O

+

A

=

A

La matriz nula de tamaño

m

×

n

es aquella matriz cuyas entradas son todas cero. Esta matriz se denota con el símbolo

O

o en el caso que se necesite aclarar su tamaño, se usa el símbolo

θ

mxn.

4) Existencia de Opuesto: Para cada matriz

A

, existe una matriz de tamaño

m

×

n

, que anotaremos

A

, llamada matriz opuesta de

A

, que cumple:

A

+

(

A

)

=

(

A

)

+

A

=

O

.

Si

A

=

(

a

ij

)

, entonces

A

=

(

a

ij

)

Las demostraciones de estas propiedades quedan a cargo del lector.

3.2 PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ

Sea

A

=

(

a

ij

)

una matriz de tamaño

m

×

n

con entradas en un cuerpo

K

y

λ

K

es un número.

La matriz producto de

λ

por

A

, es una matriz de tamaño

m

×

n

, que anotaremos

λ

A

o

λ

A

y que se define de la siguiente manera:

λ

A

=

(

λ

a

ij

)

, para cada pareja

(

i

,

j

)

de números naturales con

1

i

m

y

1

j

n

. La matriz

λ

A

es una matriz del mismo tamaño que la matriz

A

y se obtiene multiplicando las entradas de

A

por

λ

.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ

Si

A

y

B

son dos matrices cualesquiera de tamaño

m

×

n

con entradas en un cuerpo

K

y

λ

y

µ

son dos números cualesquiera pertenecientes a

K

, se cumplen las siguientes propiedades:

1) Neutro del producto

1

A

=

A

(4)

4

Ejercicio 2

1) Hallar dos matrices

A

y

B

que verifiquen simultáneamente





=

+

3

2

0

0

1

1

2

A

B

y





=

1

1

0

3

2

1

2

3

A

B

2) ¿Existen matrices

M

y

P

que verifiquen simultáneamente





=

4

0

0

0

2

2

2

M

P

y





=

1

1

0

3

2

1

2

1

P

M

?

3.3 PRODUCTO DE MATRICES

Ejercicio 3

Suponer que una empresa fabrica dos productos

p

1 y

p

2. Para la fabricación de cada uno de estos productos utiliza diferentes cantidades de tres materiales

A

,

B

y

C

. Las cantidades de estos materiales (expresadas en gramos) utilizadas para la fabricación de estos productos, esta dado por la siguiente matriz

M

.

M

C B A

=





4

2

1

4

2

3

Por ejemplo, la entrada

1

correspondiente a la segunda fila y primera columna de la matriz

M

nos indica que para la fabricación de cada producto

p

2 se necesita

1

gramo del producto

A

.

La empresa fabrica estos dos productos en dos plantas

X

e

Y

y los costos (en dólares) por gramo de cada uno de

estos materiales, están dados por la matriz

P

:

Y X

P

=

3

2

5

3

7

4

C

B

A

a) Hallar el costo total de materiales que se utiliza para la fabricación de una unidad del producto

p

1 en la planta

X

y luego calcularlo en la planta

Y

. Hacer lo mismo para el producto

p

2.

b) Hallar la matriz

C

, cuyas entradas sean los costos totales de materiales necesarios para la fabricación de cada unidad de los productos

p

1 y

p

2 en las plantas

X

e

Y

.

Y X

d

c

b

a

C





=

La matriz

C

, se llama matriz producto de la matriz

M

por la matriz

P

y escribimos

C

=

M

P

2

1

p

p

2 1

(5)

5

DEFINICIÓN DE PRODUCTO DE MATRICES.

Consideremos dos matrices

A

=

(

a

ij

)

y

B

=

(

b

ij

)

,

A

de tamaño

m

×

p

y

B

de tamaño

p

×

n

, ambas con entradas en un cuerpo

K

.

La matriz producto de

A

por

B

, es una matriz con entradas en

K

, de tamaño

m

×

n

, que anotaremos

A

B

o

AB

, en la cual la entrada situada en la fila

i

y columna

j

se obtiene sumando los productos de las entradas de la fila

i

de la matriz

A

por las entradas de la columna

j

de la matriz

B

de la siguiente forma:

(

)

i j i j ip pj

j p j j p i i i

i

a

b

a

b

a

b

b

b

b

a

a

a

a

=

+

+

+

..

...

.

.

...

2 11 2 2

1

3 2

1

Es decir, la matriz producto

AB

es la matriz

C

=

(

c

ij

)

de orden

m

×

n

cuyas entradas pertenecen a

K

y tal que

=

=

p k j k k i j

i

a

b

c

1

i

N

,

j

N

,

1

i

m

y

1

j

n

.

=

mn m m m j i n n pn j p p p p j i n j n j mp m m m p i i i i p p

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

...

.

...

...

...

...

...

...

...

...

..

...

...

...

....

...

...

...

...

...

...

...

...

...

....

...

...

...

...

...

...

...

...

.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..

...

3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 3 2 1 2 . 2 23 22 21 1 1 13 12 11 3 2 1 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 OBSERVACIONES

1) Para calcular

AB

se debe verificar que el número de columnas de

A

debe ser igual al número de filas de

B

. Cuando se cumple esta condición se dice que

A

es conformable con

B

o

A

y

B

son matrices conformables. 2) El número de filas de

AB

es igual al número de filas de

A

y el número de columnas de

AB

es igual al número de columnas de

B

.

Es aconsejable leer el anexo, al final de este material para poder entender mejor el porqué de esta forma de definir el producto de matrices.

EJEMPLO 1

Dadas las matrices





=

0

3

2

3

1

1

A

y

=

0

1

0

1

1

0

3

2

1

3

1

1

B

Observando que la matriz

A

tiene dos filas y tres columnas y que la matriz

B

tiene tres filas y cuatro columnas, podemos efectuar el producto

AB

. Este producto es una matriz de dos filas y cuatro columnas.





=





=

1

6

7

4

2

6

4

6

0

1

0

1

1

0

3

2

1

3

1

1

0

3

2

3

1

1

AB

(6)

6

Ejercicio 4

1) Dadas las matrices

=

2

1

1

0

2

1

4

1

2

A

,

=

1

1

2

0

2

1

B

,

=

2

2

1

C

,

=

1

3

1

1

1

0

0

2

1

D

e

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

I

Hallar

AB

,

AC

,

AA

=

A

2,

AD

,

DA

,

IA

y

AI

. 2) Dadas las matrices





=

1

1

0

1

3

2

M

,

=

0

1

1

N

y

P

=

(

2

0

)

Realizar todos los productos de dos factores distintos que se pueden realizar con las matrices

M

,

N

y

P

. 3) Sea

C

una matriz de tamaño

m

×

n

y

D

una matriz de tamaño

p

×

q

tales que es posible efectuar los productos

CD

y

DC

. ¿Qué relación deben cumplir

m

,

n

,

p

y

q

?

4) Sean

P

y

Q

dos matrices de tamaño

n

×

n

. ¿Se verificará

(

P

Q

)(

P

+

Q

)

=

P

2

Q

2? 5) Demostrar que existen matrices

A

de tamaño

2

×

2

no nulas tales que

A

2

=

O

.

El ejercicio 4 permite observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa. Es decir, cuando se trata de matrices, el orden de los factores

altera

el producto.

Ejercicio 5

1) Dada la matriz





=

1

1

0

1

A

a) Hallar todas las matrices

B

de tamaño

2

×

2

que cumplan

AB

=

BA

Cuando dos matrices cualesquiera

A

y

B

cumplen que

AB

=

BA

, se dice que conmutan o que

A

conmuta con

B

. b) Hallar una matriz

M

de tamaño

2

×

2

tal que

AM

MA

2) Dadas las matrices

C

,

D

y

E

. Si

C

conmuta con

D

y

D

conmuta con

E

¿es cierto que

C

conmuta con

E

? Demostrar o dar contraejemplo. (Sugerencia: Usar la matriz





1

0

0

1

)

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

1) Propiedad asociativa: Si

A

,

B

y

C

son tres matrices conformables, entonces

(

AB

)

C

=

A

(

BC

)

2) Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar:

Si

A

y

B

son matrices conformables, entonces

(

λ

A

)

B

=

λ

(

AB

)

, para todo

λ

K

. 3) Propiedades distributivas

a) Si

C

y

B

son matrices de igual tamaño y la matriz

A

es conformable con

C

y

B

, entonces se cumple que

A

(

B

+

C

)

=

AB

+

AC

(7)

7

Supongamos que

A

tiene tamaño

m

×

s

y

B

y

C

son ambas de tamaño

s

×

n

y llamemos

) ( , )

(dij E eij

D= = y F =(fij) a las siguientes matrices:

D

=

A

(

B

+

C

)

,

E

=

AB

y F= AC

Debemos probar que cualesquiera sean los naturales

i

,

j

se cumple: dij =eij+ fij

=

=

=

d s

d

j d d i j

i

a

b

e

1

,

=

=

=

d s

d

j d d i j

i

a

c

f

1

y

=

=

+

=

d s

d

j d j d d i j

i

a

b

c

d

1

)

(

Por lo tanto

(

)

[

(

)

]

=

=

=

= =

=

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

d s

d

s d

d

j d j d d i j

d d i j d d i s

d

d

s d

d

j d d i j d d i j i j

i

f

a

b

a

c

a

b

a

c

a

b

c

A

B

C

e

1 1

1 1

)

(

Ejercicio 6

a) Si





=

2

2

1

1

A

, demostrar que existen infinitas matrices

B

y

C

no nulas tales que

AB

=

CA

=

O

(Es decir el producto de dos matrices puede ser la matriz nula, sin ser ninguno de los factores la matriz nula) b) Investigar si la siguiente proposición es verdadera o falsa, justificando su respuesta.

Si

A

,

B

y

C

son matrices cuadradas del mismo tamaño,

A

O

y

AB

=

AC

, entonces

B

=

C

4. MATRIZ TRASPUESTA

Si

A

=

(

a

ij

)

es una matriz de tamaño

m

×

n

, se llama matriz traspuesta de

A

a la matriz, que anotamos

A

T, cuyo tamaño es

n

×

m

y que está definida por:

A

T

=

(

a

Tij

)

con

a

Tij

=

a

ji ,

i

N

,

j

N

,

1

i

m

y

1

j

n

. La matriz traspuesta de una matriz se obtiene cambiando las filas por las columnas en la matriz.

Por ejemplo, si





=

2

1

0

4

2

1

A

, entonces

=

2

4

1

2

0

1

T

A

Ejercicio 7

a) Dadas las matrices





=

1

3

2

1

A

y





=

2

1

1

0

B

.

Hallar

A

T

,

B

T

,

A

T

+

B

T

,

(

A

+

B

)

T

,

(

AB

)

T

,

(

BA

)

T

,

A

T

B

T y

B

T

A

T b) Hallar todas las matrices cuadradas

X

de tamaño dos que cumplen:





=

+

1

2

2

1

T

X

X

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRASPUESTA

Si AMm×n(K) y BMm×n(K) , entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1.

(

A

T

)

T

=

A

2.

(

A

+

B

)

T

=

A

T

+

B

T 3.

(

λ

A

)

T

=

λ

A

T ,

λ

K

(8)

8

5. MATRICES SIMÉTRICAS Y ANTISIMÉTRICAS

Sea

A

una matriz cuadrada con entradas en el cuerpo

K

. 1) Decimos que la matriz

A

es simétrica si y sólo si

A

=

A

T

(Es decir una matriz cuadrada es simétrica cuando coincide con su traspuesta) 2) Decimos que la matriz

A

es antisimétrica o hemisimétrica si y sólo si

A

=

A

T Es consecuencia inmediata de la definición que:

1) La matriz

A

=

(

a

ij

)

es simétrica si y solo si

a

ij

=

a

ji para todo par

(

i

,

j

)

de números naturales entre

1

y

n

. 2) La matriz

A

=

(

a

ij

)

es antisimétrica si y solo si

a

ij

=

a

ji para todo par

(

i

,

j

)

de naturales entre

1

y

n

.

Ejercicio 8 (PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIMÉTRICAS Y ANTISIMÉTRICAS) 1) Dar ejemplos de matrices simétricas y antisimétricas de tamaño dos y tres.

2) Sea A una matriz con entradas en un cuerpo

K

y de tamaño

n

×

n

.

a) Demostrar que si

A

=

(

a

i j

)

es antisimétrica, entonces

a

ii

=

0

para todo número natural

i

entre

1

y

n

. b) ¿Existe una matriz que sea simétrica y antisimétrica a la vez? Justificar su respuesta.

c) Demostrar que:

1) Si

A

es simétrica o antisimétrica, entonces

λ

A

es simétrica o antisimétrica, cualquiera sea el número

λ

K

2)

A

+

A

T es simétrica y

A

A

T es antisimétrica.

3) Deducir que cualquier matriz cuadrada se puede escribir como la suma de una matriz simétrica con una antisimétrica.

Como aplicación escribir

=

5

1

0

3

2

1

1

0

1

P

como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.

6. TRAZA DE UNA MATRIZ

Si

A

=

(

a

ij

)

es una matriz cuadrada de tamaño

n

con entradas en un cuerpo

K

, llamamos traza de

A

, al número

que anotamos

tr

(

A

)

y que se define por:

= =

=

+

+

+

+

=

k n

k kk n

n

a

a

a

a

a

A

tr

1 33

22

11

...

)

(

La traza de una matriz cuadrada es la suma de todos los elementos de su diagonal principal.

PROPIEDADES DE LA TRAZA DE UNA MATRIZ

Si

A

y

B

son matrices cuadradas de tamaño

n

con entradas en un cuerpo

K

y

λ

K

, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1)

tr

(

A

)

=

tr

(

A

T

)

2)

tr

(

A

+

B

)

=

tr

(

A

)

+

tr

(

B

)

3)

tr

(

λ

A

)

=

λ

tr

(

A

)

4)

tr

(

AB

)

=

tr

(

BA

)

Ejercicio 9

Hallar en cada caso dos matrices

A

y

B

que cumplan: a)

tr

(

AB

)

tr

(

A

)

tr

(

B

)

(9)

9

7. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Consideremos el sistema lineal

(

S

)

de

m

ecuaciones con

n

incógnitas

x

1

,

x

2

,

x

3

,

...

..,

x

n

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

m n n m m

m

n n

n n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

S

..

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

:

)

(

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

Llamamos matriz del sistema

(

S

)

a la matriz

=

mn m

m m

n n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..

...

3 2 1

2 23

22 21

1 13

12 11

y matriz incógnita a

=

n

x

x

x

x

X

....

....

3 2 1

La matriz

=

m

b

b

b

B

....

....

2 1

se llama matriz de los términos independientes del sistema

(

S

)

.

Observar que el sistema

(

S

)

se puede escribir de la forma

AX

=

B

. Cuando un sistema de ecuaciones se escribe de esta forma, decimos que está escrito en forma matricial.

Resolver la ecuación matricial

AX

=

B

donde

A

y

B

son matrices conocidas, es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones dado por su forma matricial

AX

=

B

.

Al intentar hallar la matriz

X

, conociendo las matrices

A

y

B

en la ecuación

AX

=

B

, lo primero que se nos viene a la cabeza es plantear

A

B

X

=

. Pero este planteo no tiene sentido en el contexto de las matrices.

Supongamos que en la ecuación

AX

=

B

,

A

y

B

son números reales o complejos y

A

0

. Dado que todo número real o complejo no nulo tiene un inverso

A

−1, podemos despejar

X

de la siguiente manera:

B

A

X

B

A

X

B

A

X

A

A

B

A

AX

A

1 1 1 1 1 1

1

)

(

)

(

− − − − −

=

=

=

=

Podríamos entonces intentar dar significado, en el contexto de las matrices, a las expresiones

A

−1 y

1

.

Como bien es sabido,

1

es neutro de la multiplicación habitual en

R

y

C

y cumple:

a

1

=

1

a

=

a

,

a

C

. La pregunta entonces es ¿existe una matriz que sea el neutro del producto de matrices? Es decir, ¿existe una matriz

I

tal que

A

I

=

I

A

=

A

, cualquiera sea la matriz

A

?.

La respuesta a esta pregunta se encontrará en el próximo ejercicio.

Ejercicio 10

Dada la matriz

=

1

0

0

1

2

1

A

Hallar todas las matrices

I

e

Y

que verifiquen

AI

=

A

y

YA

=

A

.

(10)

10

8. MATRIZ IDENTIDAD

Llamamos matriz identidad de tamaño

n

a la matriz de

n

×

n

, que anotaremos

I

n , definida mediante:

)

(

j i

e

I

n

=

tal que

=

=

j

i

j

i

e

ij

si si

0

1

Por ejemplo,





=

1

0

0

1

2

I

y

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

3

I

Si

A

es una matriz cualquiera de tamaño

n

×

n

, es sencillo demostrar que

AI

n

=

I

n

A

=

A

y que para cada

0

n

,

I

n es la única matriz que verifica dicha igualdad. Por tal motivo,

I

n es la matriz neutro del producto del conjunto de todas las matrices de tamaño

n

×

n

.

9. LA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ

Ya que sabemos que la matriz

I

n es la matriz neutro del producto del conjunto de las matrices de tamaño

n

×

n

es que daremos significado al símbolo

A

−1 para que de esta forma tenga sentido la igualdad:

X

=

A

−1

B

(en el universo de las matrices).

DEFINICIÓN DE MATRIZ INVERSA

Dada la matriz

A

de tamaño

n

×

n

con entradas en un cuerpo

K

, decimos que la matriz

A

es invertible o regular si y sólo si existe una matriz

B

de dimensión

n

×

n

tal que

AB

=

BA

=

I

n

Ejercicio 11

1) Investigar si las siguientes matrices son invertibles.





=

5

2

3

1

A

,





=

4

2

-2

1

-B

,

=

0

1

0

0

1

1

0

0

1

C

y

=

0

1

3

1

0

2

0

0

1

D

2) Sean

A

,

B

1 y

B

2 matrices de tamaño

n

×

n

con entradas en un cuerpo

K

.

Si

AB

1

=

B

1

A

=

I

n y

AB

2

=

B

2

A

=

I

n , demostrar que

B

1

=

B

2 (Sugerencia: Multiplicar a ambos lados de la igualdad

AB

1

=

I

n por

B

2)

Hemos demostrado que si existe una matriz

B

que cumple

AB

=

BA

=

I

n , es única. Por tal motivo llamaremos a la matriz

B

que cumple

AB

=

BA

=

I

n, matriz inversa de

A

y la anotaremos

A

−1

(11)

11

PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

Si

A

y

B

son matrices cuadradas de tamaño

n

con entradas en un cuerpo

K

y

λ

K

, se cumple: 1) Si

A

es invertible, entonces su inversa es única.

2) Si

A

es invertible, entonces

(

A

−1

)

−1

=

A

3) Si

A

es invertible, entonces para cualquier número

λ

0

,

λ

A

es invertible y

(

A

)

−1

=

1

A

−1

λ

λ

4) Si

A

y

B

son invertibles, entonces

AB

es invertible y

(

AB

)

−1

=

B

−1

A

−1 5) Si

A

es invertible, entonces

A

T es invertible y

(

A

T

)

−1

=

(

A

−1

)

T

Ejercicio 12

a) Demostrar las propiedades de la inversa de una matriz.

b) Si

A

y

B

son matrices cuadradas de tamaño

n

con entradas en un cuerpo

K

ambas invertibles, demostrar que no necesariamente

A

+

B

es invertible.

c) Sean AMn×n(K), BMn×m(K) y CMn×m(K).

1) Demostrar que si

A

es invertible y

AB

=

AC

entonces

B

=

C

2) Mostrar con un ejemplo, que la propiedad demostrada en la parte c) 1) es falsa si se elimina la hipótesis que

A

es invertible.

ALGORITMO PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ

Consideremos la matriz

A

de tamaño

n

×

n

y la matriz

B

de tamaño

n

×

1

ambas con entradas en un cuerpo

K

. Supongamos que queremos resolver el sistema

AX

=

B

.

Si

A

es invertible, podemos multiplicar a ambos lados de la igualdad

AX

=

B

por

A

−1 y usar a su vez el hecho que

I

AA

−1

=

para despejar

X

. Tenemos entonces:

B

A

X

B

A

IX

B

A

X

A

A

B

A

AX

A

B

AX

1 1 1 1 1

)

(

)

(

1 − − − −

=

=

=

=

=

Es decir, si

A

es invertible, entonces

=

n

x

x

x

X

.

.

2 1

es solución del sistema

AX

=

B

si y sólo si

A

B

x

x

x

n

1 2 1

.

.

=

Para poder hallar cada incógnita del sistema,

A

debe ser invertible.

(12)

12

EJEMPLO 2

Supongamos que queremos calcular la inversa de la matriz





=

3

4

1

2

A

La inversa de la matriz

A

, si existe, es una matriz





=

d

c

b

a

B

tal que

AB

=

BA

=

I

2

Escribimos





=

d

c

b

a

B

en la forma de columnas, es decir

B

=

(

B

1

B

2

)

donde la matriz





=

c

a

B

1 y





=

d

b

B

2 .

Dado que la primera columna de

AB

es igual al producto

AB

1 y a su vez

AB

=

I

2 concluimos que





=

0

1

1

AB

Razonando análogamente podemos decir que





=

1

0

2

AB

.

Por lo tanto, hallar la matriz

B

, implica resolver los siguientes sistema de ecuaciones:





=









=

0

1

3

4

1

2

:

)

(

1 1

c

a

AB

S

y





=









=

1

0

3

4

1

2

:

)

(

2 2

d

b

AB

S

Resolveremos simultáneamente ambos sistemas por el método de Gauss.

Primer sistema:





=













=

0

1

3

4

1

2

0

1

1

c

a

AB

Segundo sistema:





=













=

1

0

3

4

1

2

1

0

2

d

b

AB

2

1

0

0

1

4

2

1

0

1

0

3

4

1

0

3

4

1

1

2

1 1 2 2 1 2 3 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1

+

+

F

F

F

F

F

F

F

F

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

3

4

0

1

1

3

4

0

1

2

2 1 2 1 2 1 −

Al resolver los sistemas

(

S

1

)

y

(

S

2

)

se obtiene:

a

=

32 ,

c

=

2

,

b

=

−12 y

d

=

1

Observar que hemos realizado, en los sistemas

(

S

1

)

y

(

S

2

)

las mismas operaciones elementales, ya que éstas

dependen sólo de la matriz

A

y no de los términos independientes de los sistemas, es por tal motivo que podremos realizar simultáneamente la escalerización de ambos sistemas.

Para resolver los sistemas

(

S

1

)

y

(

S

2

)

a la vez, seguiremos los siguientes pasos:

1) colocamos la matriz identidad a la derecha de la matriz

A

, obteniendo una nueva matriz:





=

1

0

3

4

0

1

1

2

)

/

(

A

I

2) mediante operaciones elementales sobre las filas de

(

A

/

I

)

“transformamos” , en caso de ser posible, la matriz

A

en la matriz identidad





=

1

2

1

0

2

/

1

2

/

3

0

1

)

/

(

I

B

La matriz

B

obtenida de esta forma es la matriz inversa de

A

, es decir





=

=

1

2

2

/

1

2

/

3

1

A

B

En resumen, hallar la matriz inversa de una matriz

A

(cuando existe), se reduce a llevar la matriz

A

I

n a la matriz

B

I

n

mediante operaciones elementales. En el caso que esto sea posible tendremos que

1

=

A

B

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