TEMA 9.-
Funcions logarítmiques i
exponencials
9.1. Definició de logaritme. • Logaritme decimal. • Logaritme neperià.
• Càlcul de logaritmes amb la calculadora. • Canvi de base
9.2. Propietats dels logaritmes: • Logaritme de la unitat • Logaritme de la base. • Logaritme del producte. • Logaritme de la divisió. • Logaritme d’una potència. • Logaritme d’un arrel.
9.3. Resolució de equacions exponencials. • Factoritzant.
• Prenent logaritmes. Deducció de la fórmula de canvi de base. 9.4. Resolució de equacions logarítmiques.
• Aplicant la definició
• Agrupant i llevant els logaritmes 9.5. Escales logarítmiques.
9.6. Contextos modelitzats amb funcions logarítmiques i exponencials 9.7. Funció logarítmica
• Domini
• Expressió gràfica 9.8. Funció exponencial
• Domini
• Expressió gràfica
Què has de saber fer en aquesta unitat
Competències curriculars
• Calcular un logaritme en base decimal • Calcular un logaritme en base no decimal • Aplicar les propietats dels logaritmes • Resoldre equacions exponencials
• Identificar la incompatibilitat d’una equació exponencial
TEMA 9. FUNCIONS LOGARÍTMIQUES
En aquest tema anem a definir uns nous objectes matemàtics, uns operadors que anomenarem logaritmes. Els definirem, estudiarem les seues propietats i els utilitzarem per a resoldre un tipus d’equació que fins ara no sabíem resoldre. Vorem com s’utilitzen en diferents contextos y com les funcions exponencial i logarítmiques modelitzen situacions reals.
9.1. Definició de logaritme.
Per a introduir la definició de logaritme començarem recordant que equacions sabem resoldre, o millor dit, quan sabem aïllar la indeterminada d’una equació:
o A l’equació x+3=7, aïllem x=7−3, resultant la solució x=4
o A l’equació 4x=20, aïllem 4 20 =
x , resultant la solució x=5
o A l’equació x2 =25, aïllem x=± 25, resultant les solucions
x
1=
5
ix
2=
−
5
o A l’equació x5 =32, aïllem x=5 32, resultant la solució x=2
I si la indeterminada estiguera a l’exponent?
Com aïllarem
x
en una expressió com 3x =81?És cert que per a resoldre aquesta equació, no és precís aïllar
x
, si noconèixer les potències de 3. Fàcilment podem adonar-nos que 81=34 i per tant la solució d’aquesta equació és x=4. Tan mateix, si volguerem aïllar
x
, com ho fariem?Si tenim 3x =81, aleshores segons hem vist abans x
81
3= . Això és cert, però no és aïllar
x
, és aïllar 3. Es a dir, no sabem aïllarx
.L’expressió 4 81
3x = ⇒ x=
Podríem traduir-la com:
A quin exponent s’ha d’elevar 3 per a que done 81? a 4
Aquesta pregunta es resumeix amb una nova terminologia:
A quin exponent s’ha d’elevar 3 per a que done 81? ⇔
81 log3
(logaritme en base 3 de 81)
I com la resposta és 4, direm log381=4
Exemples.- a)
log
28
=
A quin exponent s’ha d’elevar el 2 per a que done 8?
3 2 2 2 2
a
X
X
b b a
log
log
log
=
b) log525=
A quin exponent s’ha d’elevar el 5 per a que done 25?
2 5
25= L’exponent buscat és 2 ⇒ log525=2
Definició de logaritme.-
x
a
y
x
y
a
=
⇔
=
log
On
x
, y són nombres reals, ia
és un nombre real positiu, que s’anomena la base del logaritme.En moltes ocasions, treballarem amb dos tipus de logaritmes que es denoten amb certes peculiaritats:
Logaritme decimal.
Quan la base dels logaritmes amb els que treballem és 10, estos logaritmes s’anomenen logaritmes decimals, i aleshores no és precís indicar que la base és 10:
[ ]
log[ ]
log10 =
Logaritme neperià.
En aquest punt presentem el número
e
. És un nombre irracional, que ix de manera natural en multitud de situacions, i al igual que el númeroπ
, com té infinits decimals no periòdics a la seua expressió decimal, se li assigna un símbol per a identificar-ho. En aquest cas el símbol és la lletrae
.527... 3602874713 8459045235
2,71828182 =
e
Be, doncs quan la base dels logaritmes amb els que treballem és el número
e
, estos logaritmes s’anomenen logaritmes neperians. Es denoten de forma diferent:[ ] [ ]
ln loge =Càlcul de logaritmes amb la calculadora.
En les calculadores científiques normalment sols es poden calcular logaritmes decimals i neperians. Es calculen directament amb les tecles:
Amb les funcions inverses de estes tecles, podem respectivament calcular potències de 10 (10x) i de
e
(ex). Podem per exemple veure en pantalla el valor dee
fent amb la calculadora e1Fórmula de canvi de base
Amb aquesta fórmula podem calcular amb la calculadora logaritmes en qualsevol base, i no només en base 10 i
e
, per exemple:( )
2,8614 5log 100 log 100
log5 = =
9.2. Propietats dels logaritmes:
• Existència:
Existeix el logaritme de qualsevol valor real?, la resposta podem deduir-la ràpidament d’alguns exemples:
a) log20=¿? ⇔ 2¿? =0
Però cap potencia de 2 pot ser mai 0. b) log7(−49)=¿? ⇔ 7¿? =−49
No se deixeu enganyar, 7−2 no és −49, és 49
1 .
No hi ha cap potència de 7 que done negatiu.
Com aquestes conclusions no depenen de la base del logaritme, podem concloure que només existeixen els logaritmes de nombres positius, es a dir no existeix el logaritme de cero, ni de cap nombre negatiu en qualsevol base.
• Logaritme de la unitat
0
1
log
a=
És evident, donat que a0 =1 essent a>0
• Logaritme de la base.
1
log
aa
=
És evident, donat que a1 =a essent a>0
• Logaritme del producte.
)
(
log
)
(
log
)
(
log
aX
⋅
Y
=
aX
+
aY
Aquesta propietat no és més que l’expressió amb la terminologia dels logaritmes, de cóm es multipliquen potències de igual base (per a multiplicar potències de igual base, es deixa la mateixa base i es sumen els exponents):
Y
X
X
⋅
Y
n
X
a
=
log
m
Y
a
=
log
(
X
Y
)
n
m
a
⋅
=
+
log
m n m na
a
a
⋅
=
+)
(
log
)
(
log
)
(
• Logaritme de la divisió.
)
(
log
)
(
log
log
X
Y
Y
X
a a
a
=
−
Com abans, aquesta propietat no és més que l’expressió amb la terminologia dels logaritmes, de cóm es divideixen potències de igual base (per a dividir potències de igual base, es deixa la mateixa base i es resten els exponents):
• Logaritme d’una potència.
( )
log
(
)
log
aX
n=
n
⋅
aX
Aquesta propietat ve de la potència d’un altra potència (multiplicant els exponents)
• Logaritme d’un arrel.
( )
n
X
X
n
X
a a n a)
(
log
)
(
log
1
log
=
⋅
=
En aquest cas, només és precís adonar-nos de que un arrel no és més que una potència de exponent fraccionari, i com ja tenim la propietat del logaritme d’una potència:
( )
n
X
X
n
X
X
a a n a n a)
(
log
)
(
log
1
log
log
1=
⋅
=
=
( )
m n mna
a
=
⋅X
X
n( )
X
m
a
=
log
log
a( )
X
n=
m
⋅
n
( )
log
(
)
log
aX
n=
n
⋅
aX
Y
X
Y
X
n
X
a=
log
m
Y
a=
log
m
n
Y
X
a
=
−
log
m n m na
a
a
−=
)
(
log
)
(
log
log
X
Y
Y
X
a a
a
=
−
La conclusió final que podem extraure de aquestes quatre últimes propietats, és que el logaritmes redueixen en un grau les operacions, transformant potències i arrels en multiplicacions i divisions, i del multiplicacions
i divisions en sumes i restes.
⇒ divisió producte resta suma LOGARITME arrel potència quocient producte Exemple.-
Troba l’expressió algebraica equivalent a cadascuna de les següents:
(es a dir, lleva els logaritmes)
a) logA+logB=5logC
(
)
( )
5 5log log
log 5 log
logA+ B= C⇔ A⋅B = C ⇔ A⋅B=C
b) 2+logA=logB−2logC
( )
⇔ − = + ⇔ − = + 2 log log log 100 log log 2 log log2 A B C A B C
(
100)
log 2 100 2 log C B A C BA ⇔ =
= ⇔
9.3. Resolució de equacions exponencials.
Són equacions, la incògnita de les quals es troba en un exponent. Veurem dues formes de “baixar-la” de l’exponent, per a poder resoldre aquestes equacions:
• Factoritzant:
Exemple.-
19 5 2
3⋅ 4x−1− =
En primes lloc, aïllem la potència on es troba la incògnita:
⇒ = + =
⋅2 − 19 5 24
3 4 x 1 − = ⇒
3 24
24 x 1 24x−1=8
A continuació expressarem com a potència de 2, el segon membre:
3 1 4
2 2 x− =
Si dues potències són iguals, i tenen la mateixa base, aleshores els seus exponent també han de ser iguals
3 1 4x− =
Donant lloc a una equació lineal que sabem resoldre
1 4 4 4 1 3 4 3 1
4x− = ⇒ x= + = ⇒x= ⇒ x=
• Prenent logaritmes.
Exemple.-
Si al aïllar la potència com acabem de fer, ens haguera quedat una expressió com 24x−1 =9, en lloc de 24x−1 =8, no hauríem pogut continuar perquè el 9 no és cap potència de 2. En aquestos casos podem gastar la eina algebraica que hem descobert aquest tema: els logaritmes.
a
X
X
b b a
log
log
log
=
no podem aïllar-la, a un exponent. Si recordem les propietats del logaritmes, trobarem una manera de transformar potències en multiplicacions, i d’aquesta manera fer desaparèixer els exponents:
9 24x−1 =
Prenem logaritmes als dos membres de l’equació, per exemple en base decimal, que està a la calculadora:
( )
2 log( )
9 log 4x−1 =Apliquem les propietats dels logaritmes:
(
4
x
−
1
)
log
2
=
log
9
Obtenint una equació lineal, on log2 i log9 són dos nombres reals, que en qualsevol moment podem obtenir amb la calculadora.
⇒ =
−
2 log
9 log 1
4x 1,0425
4 1 2 log
9 log
= + =
x
Fórmula de canvi de base:
Aquest mètode ens serveix per a deduir l’anomenada fórmula de canvi de base.
( )
a( )
X Y a XX a Y
X Y b Y b b b
a log log log log
log = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ =
⇒ =
⇒
a X Y
b b
log log
Amb aquesta fórmula podem, en particular, calcular amb la
calculadora logaritmes en qualsevol base, i no només en base 10 i
e
,per exemple:
( )
2,86145 log
100 log 100
log5 = =
9.4. Resolució de equacions logarítmiques.
Una equació logarítmica és una equació on hi ha logaritmes. Per a resoldre equacions logarítmiques el que farem és llevar-los. Podem llevar els logaritmes principalment de dues formes:
• Aplicant la definició Exemple:
a) log2
(
3x−1)
=4(
3 1)
4 2 3 1 16 3 1 log2 x− = ⇒ 4 = x− ⇒ = x−−3x=−1−16
3 17 =
x
b)
2 1 log4x=
( )
4 4 2 21
log 2
2 1
4x= ⇒ =x ⇒ x= =
• Agrupant i llevant els logaritmes Exemple:
log
2( )
x
+
log
2( )
3
=
log
2(
x
+
6
)
( )
log
( )
3
log
(
6
)
log
( )
3
log
(
6
)
log
2x
+
2=
2x
+
⇒
2x
⋅
=
2x
+
3x−x=6 6 2x=
x=3
9.5. [...]
9.6. [...]
9.7. [...]
Exercicis complementaris
1.- Calcula utilitzant la definició de logaritme y las propietats de las potències, los següents logaritmes:
a)
log
264
b) log381 c) log5625d) log1000 e) ln
( )
e3 f)8 1 log2
g)
27 1
log3 h)
125 1
log5 i)
1000 1 log
j) log0,0001 k) 4
1 ln
e
l) log 16 2 1
m) log 49 7
1 n) 4
2 2
log o)
log
3427
p) log5 10000000 q)
ln e
3 2 r)32
1
log
2s)
5 7
49 1
log t) 5
6
1296
1
log
u) ln413e
v)
001 ' 0
1
log w)
2 1
log4 x) log 2
(
0,25)
y)
( )
51 ln −
e z)
2
3 0,001 1 log
−
2.- Troba l’expressió algebraica equivalent a cadascuna de les següents:
a) logA+logB=5logC b) A B lnC
2 1 ln 3 ln
2 + =
e)
2
(
log
A
+
log
B
)
−
log
A
=
3
log
A
−
2
log
B
f)3
+
log
2A
=
log
2B
−
2
log
2C
g)
(
log A 3log B 2log C)
log(
A 3B 2C)
3 2
4 4
4
4 + − = + − h)
(
) (
)
(
)
2 2 ln ln
ln A+B + A−B = A −B
3.- Resol les següents equacions exponencials:
a) 32x =27 b)
125 1
5x = c) 123x−2 =35
d) 2·33x−4 =8 e) 3·22x+1 =3 9 f)
( )
3,15 7x−2 =18,36g)
27 1
3x2+2x= h)
4 3
5 1 125
−
=
x
i) 7x =−49
4.- Resol les següents equacions logarítmiques:
a)
log
4(
3
x
−
2
)
=
−
2
b) log5(
0.008)
=7x+4 c) log13(
28561)
= x−1d)
2 1
log 2 x= e) logx=3log100−log10 f) 2lnx=ln(4x−3)
g) 2+logx=log70 h)
1
+
log
2x
=
3
log
25
i) log(
2 1)
2 32
log3 = 3 + −
−
x x
Exercicis per a entregar
1.- Calcula raonadament, utilitzant la definició de logaritme y les propietats de les potències, els següents logaritmes:
a)
625 1 log5
b) log2 8 c) log 27
3
1 d)
3 5
25 1 log
e)
2 1 ln
e f)
0
,
01
1
log
g)e e
ln h) log7
(
−49)
2.- Resol les següents equacions:
a) 25x−1 =1024 b)
(
7,35)
x−3 =105,46 c) 5⋅47x+2 =175 d) 3·103x =0,3 e) 3⋅53x−7 −13=283 f) log3(2x+1)=2 g) log7(13)=5x−4 h) logx(4−2x)=1Solucions:
a) b) c) d) e) f) g) h)
Exercici 1 −4
2 3
3 −
3 2
− −2 1
e
1 No
existeix
Exercici 2
5 11
33 ,
5 0,08
3 1
− 3,27 4 1,06
Curiositats matemàtiques
L’inventor dels logaritmes
John Napier, baró de Merchiston(1550 - 1617), matemàtic escocès inventor de los logaritmes.
A pesar de haver passat a la posteritat por les seues contribucions en el camp de las matemàtiques, per a Napier era aquesta una activitat de distracció essent la seua preocupació fonamental la exegesis del Apocalipsis a la que es consagrà des de la seua estància en el col·legi. Fruit d’aquesta labor fou la seva publicació.
Descobriments de tots els secrets del Apocalipsis de San Juan, por dos tractats: un que busca y prova la verdadera interpretació, y altre que aplica al text aquesta
interpretació parafràsticament e històricament .L’originalitat del seu estudi és l’aplicació
del formalisme matemàtic en la argumentació, de manera que admetent certs postulats, arriba a demostrar les seves proposicions.
Entre elles, Napier predigué el fi del mon per als anys 1668 a 1700; per fortuna per a la seua glòria i per a la del curiós lector, la profecia no se complí.
En 1614 Napier publica su obra
Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usus in utroque
Trigonometria; ut etiam in omni logistica mathematica, amplissimi,
facillimi, et expeditissimi explicatio,
en la que dona a conèixer los logaritmes que ell cridà nombres artificials. En eixa obra promet una explicació que la mort l’impedí publicar, però que fou afegida pel seu fill Roberto en la segona edició publicada en 1619.
Mercè a estos nombres les multiplicacions poden substituir-se por sumes, las divisions por restes, les potencies por productes y els arrels por divisions, lo que no sòls simplificà enormement la realització manual dels càlculs matemàtics, si no que va permetre realitzar d’altres que sense la seua invenció no hagueren segut possibles.
El número e
Es un nombre irracional i s’utilitza como base de los logaritmes neperians. Aquest nombre fou introduït por Leonhard Euler (1707-1783), matemàtic suís y un dels mes importants de la història de las matemàtiques (junt amb Arquímedes, Newton, Gauss y d’altres)
Pots acostarte al valor del número e fent la suma:
... 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2
1 6
· 5 · 4 · 3 · 2
1 5
· 4 · 3 · 2
1 4 · 3 · 2
1 3 · 2
1 2 1
2+ + + + + + +
=
