Este número, generalmente da nombre al sistema y nos indica la base en la que estamos trabajando,

(1)

Dra. Maricela Quintana López

Sistemas Numéricos

Conjunto de números que se relacionan para expresar la relación existente entre la cantidad y la unidad.

Características de los Sistemas

Numéricos

Número de símbolos o dígitos. Este número, generalmente da nombre al sistema y nos indica la baseen la que estamos trabajando, el símbolo de la base no se incluye. Base 5 = {0, 1, 2, 3, 4}

Binario (2) = {0, 1}

Octal (8) = {0,1,2,3,4,5,6,7} Hexadecimal = {0..9,A,B,C,D,E,F}

Sistemas Numéricos

Aditivos Híbridos Posicionales

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd 97/Otros/SISTNUM.html#E

Sistemas Posicionales

El valor de cada dígito está determinado por su posición relativay la basedel sistema

Ejemplo Base 10

Valor de un número

Numerar posiciones de derecha a izquierda. Inicia en 0 El valor de cada posiciónse calcula elevando la base al número correspondiente a la posición

El valor realse calcula multiplicando el dígito colocado por el valor posicional del lugar que ocupa.

Posición Valor P Dígito Valor

0 1 5 5

1 10 8 80

2 100 7 700

Valor Total : 785

Dra. Maricela Quintana López Representación Posicional y Polinomial

POSICIONAL : Consiste en poner un símbolo al lado de otro. Al final poner un subíndice de

la base 410710

POLINOMIAL: Se representar la cantidad usando un polinomio. Se pueden omitir los ceros.

4 x 103_{+ 1 x 10}2_{+ 0 x 10}1_{+ 7 x 10}0

(2)

Sistema Numérico Decimal

ENIAC

10 tubos de vacío para representar un número decimal.

El diseño de las capacidades lógicas era complejo

No se hacía un buen uso de los recursos

Sistema Numérico Binario

En 1945 Jhon Von Neumann sugiere usar las características físicas de los circuitos (on/off)

usando

un sistema binario

Computadoras como la UNIVAC operaban en binario y se comunicaban

con nosotros en decimal.

Dra. Maricela Quintana López Sistema Numérico Octal y Hexadecimal

En los 60´s y 70’s, los programadores examinaban la memoria para depurar sus programas (difícil)

0 0101 1010 1001 0100 0110

Para reducir la confusión se usan los sistemas octal (base 8) y

hexadecimal(base 16)

Simplificación, ya que con 3 bits se representa un dígito octal y con 4 bits uno hexadecimal.

Octal: 1324506 Hexadecimal: 5A946

Convertir el número N en

base 10 a otra base B

1. Determinar el número de dígitos que se requieren para representar el número N en la base B. Suponga N=26 y B=2

• Obtener los rangos usando potencias de la base • Equivale a obtener el logaritmo

#dígitos Se pueden representar Rango

1 21₌₂ _0..1

2 22₌₄ _0..3

3 23₌₈ _0..7

4 24₌₁₆ _0..15

5 25₌₃₂ _0..31

6 26₌₆₄ _0..63

n 2n _{0.. 2}n_-1

Se concluye que se necesitan 5 dígitos para representar el 26 en binario

log 26

Convertir el número N en

base 10 a otra base

2. Determinar el valor de cada posición

3. Se determina qué dígito poner en cada posición. Iniciando de izquierda a derecha, dividimos el número entre el valor de posición. El cocienteserá el dígito a colocar en la casilla y el

residuose usará más adelante. 4. Si el residuoes cero entonces

el proceso termina y las casillas restantes se llenan con ceros. De lo contrario se regresa al paso 3 con el residuo como nuevo número.

16 8 4 2 1

0 2 2 10

2 2 2 4 10 8 26 16

1 0 1 1

1 1 0 1 0

26

₁₀

=11010

₂

Convertir el número 44 en

base 10 a base 8

1. Determinar el número de dígitos que se requieren

# dígitos # representar Rango

1 81₌₈ _0..7

2 82₌₆₄ _0..63

3. Determinar qué dígito poner en cada posición.

8 1

0 4

4 1 44 8

4 5

(3)

Convertir el número 138 en

base 10 a base 16

#dígitos # representar Rango

1 161₌₈ _0..15

2 162₌₂₅₆ _0..255

3. Determinar qué dígito poner en cada posición. 16 1 0 10 10 1 138 16 10 8

138

₁₀

=8A

_H

Convertir el número 117 en

base 10 a base 5

#dígitos Se pueden representar Rango

1 51₌₅ _0..4

2 52₌₂₅ _0..24

3 53₌₁₂₅ _0..124

3. Determinar qué dígito poner en cada posición. 5 1 0 2 17 2 1 17 5 117 25 2 3 4

117

₁₀

=432

₅

25

Convertir el número N en

base 10 a base B usando divisiones

Realizando divisiones: Sea nel decimal que

debemos convertir a la base b 1. Dividir nentre b.

El residuo se guarda como cadena

2. Si el cociente es mayor a cero, entonces

n=cociente, ir al paso uno

3. Si el cociente es cero, entonces invertir la cadena de residuos.

Ejemplos

Representar en binario el número 96

0

Cadena de residuos

000

Cadena de residuos 00

Cadena de residuos

0000 Cadena de residuos

96

10

=1100000

2

Ejemplos

1 4 0 0 1 8 1 12 8 12 96 8

Representar en octal el número 96

041

Cadena de residuos

96

10

=140

8

Representar en hexadécimal el número 96

6 0 0 6 16 6 96 16 06

Cadena de residuos

96

10

=60

H

561

Cadena de residuos

96

10

=165

7

Representar en base 7 el número 96

(4)

Conversiones de cualquier base

a base 10

1. Se usa la representación polinomial. 2. Se realizan las operaciones.

Convertir a base 10 los siguientes: 245₇_→2 x 72_{+ 4x7}1_{+ 5 x 7}0₌

2 x 49 + 4x7 + 5 x 1 =

98 + 28 + 5 = 131

245

7

=131

10

Conversiones de base X

a base Y

La conversión de un número en baseXa base Yse puede realizar de la siguiente forma:

base X→base 10 →base Y.

Existen conversiones especiales entre la base binaria y las bases que son potencias de 2, por ejemplo: 22_{=4, 2}3_{=8, 2}4₌₁₆ Binario a octal, hexadecimal.

El binario se segmenta en grupos de g bits donde g es la potencia de 2 que genera a la base y se obtiene el valor de cada grupo.

Octal, Hexadecimal a Binario

Cada número en la base potencia se pasa a su correspondiente binario.

Binario a Octal

Binario →→→→Octal (23₌₈₎

Se fracciona el número binario en cifras de 3 bitsde derecha a izquierda, completando con ceros a la izquierda si es necesario.

1011101000101012

101,110,100,010,101

Se calcula el valor de cada terna en decimal.

4 2 1

1 0 1 = 5 1 1 0 = 6 1 0 0 = 4 0 1 0 = 2 1 0 1 = 5

1011101000101012 =564258

Binario a Hexadecimal

Binario →→→→Hexadecimal (24₌₁₆₎

Se fracciona el número binario en cifras de 4 bitsde derecha a izquierda, completando con ceros a la izquierda si es necesario.

1111101000101012

0111,1101,0001,0101

Se calcula el valor de cada terna en decimal.

8 4 2 1

0 1 1 1 = 7 1 1 0 1 = 13 = D 0 0 0 1 = 1 0 1 0 1 = 5

01111101000101012 =7D15H

Conversiones

Octal →→→→binario

La cifra se traduce a binario dígito por dígito.

4568→Binario

4 2 1 4= 1 0 0 5= 1 0 1 6= 1 1 0

Hexadecimal →→→→binario

La cifra se traduce a binario dígito por dígito.

A5CH→Binario

8 4 2 1 A=10= 1 0 1 0

5 = 0 1 0 1 C=12= 1 1 0 0

4568 =1001011102

(5)

Fracciones

Para convertir una fracción en binario se deben considerar las potencias de 2 negativas:

Ejemplo: 2.3125

.3125 = 0.25 + 0.0625 = 0 1 0 1 2.3125=10.0101

1 0 -1 -2 -3 -4

21 ₂0 ₂-1 ₂-2 ₂-3 ₂-4

2 1

0.5 0.25 0.125 0.0625

2 1

8 1 4 1

16 1

Fracciones

1. Sea F la fracción que se quiere convertir a binario. 2. R = Multiplicar F por 2.

3. El entero de R antes del punto es el bit a usar. Si R tiene la forma 1.bbb, eliminar el 1 y F=.bbb 4. Ir al paso 2 si F es diferente de 0.

Ejemplo:

F = 0.3125 R= 0.625 Bit: 0 F = 0.625 F = 0.625 R= 1.25 Bit: 1 F = 0.25 F = 0.25 R= 0.5 Bit: 0 F = 0.5 F = 0.5 R= 1.0 Bit: 1 F = 0.0

0.3125 = 0101

Ejercicios

DECIMAL BINARIO BASE 4 OCTAL BASE 11 HEXADECIMAL

253

11101

213

64

A75

5FC

DECIMAL BINARIO

5.65625