Autor: Eric Paredes V. Página 1
EJEMPLOS
FUNCIONES SENOIDALES
---1.- A partir de la siguiente gráfica de una senoide determine la función matemática senoidal correspondiente:
Solución:
La función senoidal debe ser de la forma f(x) = Asen(Bx +C ) + D, donde debemos determinar el valor de los parámetros A,B, C y D.
1.- Paso: Vemos que la línea de referencia (L.R.) de la función senoidal coincide con el eje x: Por lo anterior el parámetro D = 0.
Autor: Eric Paredes V. Página 2 3.- Paso: Vemos que la distancia de cresta a cresta es igual a 5π/2 – π/2 = 4π/2 = 2π. Por lo tanto, si x lo consideramos como si fuera tiempo, entonces el período seria T = 2π y a su vez el parámetro B tendría el valor de B = 2π/T = 2π/2π = 1, es decir el parámetro B = 1.
En este caso elegimos dos crestas sucesivas pero pudimos haber elegido dos valles o las intersecciones de la función en un ciclo completo con la línea de referencia de la función senoidal.
Otra forma podría haber sido ver cuantos ciclos completos existen de la función en 2π unidades del eje x.
4.- Paso: Vemos que la función “inicia” hacia arriba en la intersección de la línea de referencia de la función con el eje “y”. Por lo anterior el parámetro C = 0.
El resultado final es la función:
f(x) = A sen (Bx + C) + D = 1 sen (1x + 0) + 0 = sen(x).
f(x) = sen(x)
Autor: Eric Paredes V. Página 3 Solución:
La función senoidal debe ser de la forma f(x) = Asen(Bx +C ) + D, donde debemos determinar el valor de los parámetros A,B, C y D.
1.- Paso: Vemos que la línea de referencia (L.R.) de la función senoidal NO coincide con el eje x: Para determinar la posición de la línea de referencia de la función determinamos la posición de las crestas y la posición de los valles y obtenemos el promedio. Veamos: Posición de las crestas: 4.5 unidades. Posición de los valles: -1.5. El promedio o punto medio es: (4.5 + (-1.5))/2 = 1.5 unidades. Por lo anterior el valor del parámetro D = 1.5. Veamos la posición de la línea de referencia en la siguiente figura.
2.- Paso: Vemos que a partir de la línea de referencia (L.R.) la altura máxima es 3, o bien también a partir de la grafica vemos que es igual 4.5 – 1.5 = 3 por lo tanto el parámetro A = 3.
Autor: Eric Paredes V. Página 4 parámetro B = 2.
En este caso elegimos dos crestas sucesivas pero pudimos haber elegido dos valles o las intersecciones de la función en un ciclo completo con la línea de referencia de la función senoidal.
Otra forma podría haber sido ver cuantos ciclos completos existen de la función en 2π unidades del eje x. Aquí vemos que hay 2 ciclos completos de onda en 2π.
4.- Paso: Vemos que la función “inicia” hacia arriba en la intersección de la línea de referencia de la función con el eje “y”. Por lo anterior el parámetro C = 0.
El resultado final es la función:
f(x) = A sen (Bx + C) + D = 3sen (2x + 0) + 1.5 = 3sen(2x) + 1.5.
f(x) = 3sen(2x) + 1.5
---3.- A partir de la siguiente gráfica de una senoide determine la función matemática senoidal correspondiente:
Autor: Eric Paredes V. Página 5 La función senoidal debe ser de la forma f(x) = Asen (Bx +C ) + D, donde debemos determinar el valor de los parámetros A,B, C y D.
1.- Paso: Vemos que la línea de referencia (L.R.) de la función senoidal NO coincide con el eje x: Para determinar la posición de la línea de referencia de la función determinamos la posición de las crestas y la posición de los valles y obtenemos el promedio. Veamos: La posición de las crestas es: 4 unidades. Posición de los valles: 1.5.
El promedio o punto medio es: (4. + 1.))/2 = 2.5 unidades. Por lo anterior el valor del parámetro D = 2.5. Veamos la siguiente figura que muestra la línea de referencia.
2.- Paso: Vemos que a partir de la línea de referencia (L.R.) la amplitud de la función es igual a: 4. – 2.5 = 1.5 por lo tanto el parámetro A = 1.5.
3.- Paso: Vemos que de acuerdo a las escalas de x es difícil determinar la posición de dos crestas sucesivas en el eje x por que optaremos por otro criterio.
Vemos que en 2π unidades del eje x existen 3 ciclos completos existen de la función en 2π unidades del eje x si la observamos con la línea de referencia que tenemos. Por lo anterior entonces B = 3.
Autor: Eric Paredes V. Página 6 4.- Paso: Vemos que la función “inicia” hacia arriba en la intersección de la línea de referencia de la función con el eje “y”. Por lo anterior el parámetro C = 0.
El resultado final es la función:
f(x) = A sen (Bx + C) + D = 3sen (2x + 0) + 2.5 = 3sen(2x) + 2.5.
f(x) = 3sen(2x) + 2.5
--- 4.- Los datos de la siguiente tabla presentan una variación periódica senoidal. A partir de ellos construya su función senoidal. ¿Cuál es la función que se ajusta a los datos? Se te sugiere que ubiques los puntos de la tabla en un sistema cartesiano para que puedas obtener de la grafica los parámetros de la función.
x 0 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5.
f(x) 2.5 6. 2.5 -1 2.5 6. 2.5 -1 2.5 6. 2.5
Solución.
Autor: Eric Paredes V. Página 7 Ahora vamos a unir los puntos con una línea curva continua que forme una función senoidal.
La función senoidal debe ser de la forma f(x) = Asen (Bx +C ) + D, donde debemos determinar el valor de los parámetros A,B, C y D.
1.- Paso: Vemos que la línea de referencia (L.R.) de la función senoidal NO coincide con el eje x: Para determinar la posición de la línea de referencia de la función determinamos la posición de las crestas y la posición de los valles y obtenemos el promedio. Veamos: La posición de las crestas es: 6 unidades. Posición de los valles: -1.
El promedio o punto medio es: (6. + (-1))/2 = 2.5 unidades. Por lo anterior el valor del parámetro D = 2.5. Veamos la siguiente figura que muestra la línea de
Autor: Eric Paredes V. Página 8 2.- Paso: Vemos que a partir de la línea de referencia (L.R.) la amplitud de la función es igual a: 6. – 2.5 = 3.5 por lo tanto el parámetro A = 3.5.
3.- Paso:
Vemos que la distancia horizontal de cresta a cresta es igual a 2.5 - 0.5 = 2. Por lo tanto, si x lo consideramos como si fuera tiempo, entonces el período seria T = 2 y a su vez el parámetro B tendría el valor de B = 2π/2 = π , es decir el parámetro B = π.
En este caso elegimos dos crestas sucesivas pero pudimos haber elegido dos valles o las intersecciones de la función en un ciclo completo con la línea de referencia de la función senoidal.
4.- Paso: Vemos que la función “inicia” hacia arriba en la intersección de la línea de referencia de la función con el eje “y”. Por lo anterior el parámetro C = 0.
El resultado final es la función:
f(x) = A sen (Bx + C) + D = 3.5sen (πx + 0) + 2.5 = 3.5sen(πx) + 2.5.
f(x) = 3.5sen(πx) + 2.5
