Genius límites de funciones 2020 L1

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Bachillerato/High School

37 Ejercicios propuestos

Genius, ¡ el secreto de los mejores !

Genius, ¡ el secreto de los mejores !

Genius, ¡ el secreto de los mejores !

Genius, ¡ el secreto de los mejores !

X.B.

Apuntes

Genius

Cuadernos Genius : LÍMITES

Presentación

La coleccion de cuadernos Genius Sucesiones/Límites/Derivación/Integración, ha sido diseñada íntegramente por nosotros, en base a la experiencia adquirida durante varios años explicando las técnicas más habituales de cálculo de límite/derivada/primitiva de una función, incidiendo, especialmente, en aquellos aspectos que mayor dificultad presentan para la mayoría de nuestros alumnos. Consta de tres cuadernos el Genius de derivadas, cinco cuadernos el curso de primitivas y tres cuadernos el curso de cálculo de límites funcionales, cada uno de los cuales lleva algo más de una hora de elaboración. La filosofía de estos cuadernos es muy sencilla, hacer fácil lo difícil.

Lógicamente, para poder realizar los cuadernos son necesarios ciertos conocimientos elementales del cálculo de límites..

Comencemos...

;

Leemos: Límite cuando x tiende a “a” de f(x), límite cuando x tiende a “+ infinito” de f(x).

No es sencilla la tarea del cálculo del límite de una función real de variable real, en adelante, función simplemente, cuando la variable ‘tiende’ hacia un determinado valor, sea éste finito o no.

Una propiedad fundamental del cálculo de límites:

El límite de una función para un valor de la variable o cuando ésta tiende a infinito, es ÚNICO.

La mejor manera de comenzar será, cuando sea posible, reemplazar la variable por dicho valor en toda la expresión de la función correspondiente al límite, en cualquier caso, obtendremos:

i) Un valor, sea finito o no, en cuyo caso habremos obtenido el valor del límite propuesto.

ii) Una indeterminación, en cuyo caso tendremos que acudir a alguna de las técnicas adecuadas para resolver la indeterminación, es decir, obtener el valor del límite, si existe.

X.B.

Apuntes

Genius

generación de recursos que aporta el cálculo de límites son insustituibles.

Recordemos, para empezar, algunas de las situaciones de indeterminación más frecuentes,

Comencemos

En este primer cuaderno, la variable tenderá hacia cualquier valor real. En principio, una simple sustitución en la expresión de la función correspondiente al límite, nos puede dar el valor de éste, por ejemplo:

,

por tanto,

a menos que:

No se pueda sustituir directamente, o bien se genere una situación de indeterminación.

Funciones definidas ‘a trozos’ o mediante intervalos (Necesidad, en ocasiones, de obtener límites laterales)

Sea . Hallar , ,

X.B.

Apuntes

Genius

Observamos que, "alrededor" de x = 2 tenemos dos expresiones distintas de la función, obtengamos para x = 2 los límites laterales de la función.

[ Al ser los límites laterales distintos, no existe el límite, pues tal como establecimos, el valor del límite es ÚNICO ]

"Alrededor" de x = 0 tenemos una única expresión de la función [f(x)=2x+3], sustituiremos directamente

Como en el caso anterior, sustituimos x = 4 en la expresión de la función [f(x)=x2_+3x+1].

[ Fundamentos para decidir cuando es necesario,o no, hallar límites laterales en una función definida a trozos o mediante intervalos] .

Bueno, a calcular límites:

1. Hallar , , , ,

X.B.

Apuntes

Genius

3. Hallar , , , , .

;

Límites laterales (...)

Encontramos otras situaciones en el cálculo ordinario de límites funcionales, en las cuales se hace necesaria la obtención de los límites laterales.

Más difíciles de identificar que en las funciones anteriores, debemos obtener límites laterales cuando el comportamiento de la función a ambos lados del valor en cuestión, modifique, o pensemos que modifique, el comportamiento de ésta en el límite. Veamos dos gráficas de apoyo:

Gráfica de la función f(x)=1/x

X.B.

Apuntes

Genius

Gráfica de la función f(x)=1/x2

También aquí, una simple interpretación de la gráfica nos proporciona los siguientes resultados:

Con ayuda de los resultados anteriores y un poco de intuición, calcula: 4.

5.

6.

7.

X.B.

Apuntes

Genius

9.

10.

11.

12.

13.

INDETERMINACION

Veamos algunos recursos para resolver esta indeterminación, sin utilizar en ningún momento, el teorema de L'Hôpital

a)

. Indeterminación (Cociente de polinomios)

X.B.

Apuntes

Genius

Sustituimos...y simplificamos:

Así pues

[ Observa que, el hecho de obtener cuando sustituimos x = 1, nos asegura el

factor (x - 1) tanto en la factorización del polinomio del numerador como en la del polinomio del denominador. Si x

6

Y

…

simplificar ambos factores ]

b)

Indeterminación.

Operemos como en el problema anterior x2 _{+ x - 2 = 0}

_Y

c)

Indeterminación.

X.B.

Apuntes

Genius

x3 - 5x2 + 8x - 4 = ( x - 2 )2

A

x2 _{- 4x + 4 = ( x - 2 )}

_A

[ Bueno, también se veía enseguida como identidad notable ]

Y

¡Llegó tu hora!

14.

15.

X.B.

Apuntes

Genius

19. ¡¡¡ Ojo !!!

20.

21.

Seguimos ... d)

Indeterminación.

Ya que x

6

Y

Resolver 22.

23.

24.

25.

X.B.

Apuntes

Genius

e)

Indeterminación.

Ya que el cero del numerador lo obtenemos como diferencia de raíces

cuadradas, multipliquemos numerador y denominador de la fracción por la

expresión conjugada del numerador de la fracción. ¡Uf! Utilizaremos la identidad notable: ( A - B )

A

f)

Indeterminación.

Operemos como en el problema anterior introduciendo una variante : Como ( A - B )

A

Y

X.B.

Apuntes

Genius

[ Agilizando cálculos, generando recursos ]

g)

Indeterminación.

De nuevo vamos a emplear la técnica del problema anterior

[ Seguro que a más de uno le "suena" esta fórmula ]

26.

27.

28.

29.

X.B.

Apuntes

Genius

31.

32.

33. ¡¡Ah!!

34.

h)

Indeterminación.

Dos formas de resolverlo : 1ª) Utilizando la expresión :

An _{- B}n _{= ( A - B )}

_A

_A

_A

Para n = 3

Y

A

A

X.B.

Apuntes

Genius

i)

Indeterminación.

Vamos a desarrollar el cubo, sin más.

j) n

0

0

0

0

Indeterminación. Vamos a aprovechar este límite para

explicar de nuevo un cambio de variable.

Tomemos x - a = t

Y

Y

Y

Y

X.B.

Apuntes