Propuesta sobre didáctica de las matemáticas en el área de la Química

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(2) RESUMEN La Matemática adquiere cada vez una mayor importancia en la formación del químico. Los Químicos que trabajan en la industria deben reconocer que la relación entre las matemáticas y la Química ha cambiado drásticamente durante las últimas décadas. Algunos profesionistas del área de la Química muestran una falta de habilidad o conocimiento de las matemáticas elementales más importantes para comprender muchos problemas de la Química. La misión de los profesores es preparar a las nuevas generaciones de profesionistas para el mundo en que tendrán que desenvolverse. Esto implica impartir las enseñanzas necesarias para que adquieran las destrezas y habilidades que van a necesitar para desempeñarse con comodidad y eficiencia en el seno de la sociedad con que se van a encontrar. Lo primero que deben tener los profesores es un buen conocimiento del mundo exterior y de su posible evolución en los próximos años, para luego ver cómo sus enseñanzas pueden ayudar a una mejor manera de actuar en él, lo que será provechoso no sólo para los alumnos, futuros interesados, sino para el conjunto de la sociedad. El ideal sería que la escuela pudiera influir sobre ese mundo exterior para moldearlo según criterios bien estudiados científica y moralmente, pero en cualquier caso su conocimiento previo es indispensable, y lo peor que se puede hacer es ignorarlo y seguir educando de la forma habitual. Por esta razón es que aquí se presentan propuestas de la didáctica de las matemáticas en el área de la Química basándose en ejemplos reales de aplicación en el campo laboral, con la finalidad de hacer más interesantes estas materias y sean aceptadas por los estudiantes, principalmente por aquellos que ven a las matemáticas como algo no útil en su vida. Se trabajó con un grupo de alumnos de las primeras materias de la carrera de Químicos que son Cálculo Diferencial y Algebra y se les aplicó un cuestionario sobre su opinión sobre las matemáticas antes y después de una clase con ejemplos químicos y su opinión sobre las matemáticas mejoró y con esto se comprobó que les gustan más la materias de matemáticas cuando ven su aplicación real. (Palabras clave: Didáctica matemática, Química Matemáticas, Quimiometría) i.

(3) SUMMARY Mathematics is becoming increasingly important in the formation of the chemical. Chemists that work in the industry must recognize that the relationship between mathematics and chemistry has changed dramatically in recent decades. Some professionals in the area of chemistry show a lack of skill or knowledge of the most important for understanding many problems of chemical elementary mathematics. The mission of teachers is to prepare new generations of professionals for the world they will have to cope. This means imparting necessary to acquire the skills and abilities they will need to perform with comfort and efficiency within the company that they will find teachings. The first thing he should have professors is a good knowledge of the outside world and its possible evolution in the coming years, only to see his teachings can help a better way to act on it, which will be helpful not only for students , futures concerned but for the whole society. Ideally, the school could influence the outside world to mold as well studied scientifically and morally criteria, but in any case prior knowledge is essential, and the worst thing you can do is ignore it and continue educating the usual way. For this reason it is here proposed the teaching of mathematics are presented in the area of chemistry based on real examples of application in the workplace, in order to do more interesting these matters and are accepted by students, mainly by those who see mathematics as something not useful in their life. It worked with a group of students of the first subjects of the race of chemicals that are Differential Calculus and Algebra and answered a questionnaire on their views on the math before and after a class with chemical examples and their opinions about mathematics improved and it was found that more subjects like math when they see their actual application.. (Keywords: Mathematics Teaching, Mathematics Chemistry, Chemometrics). ii.

(4) INDICE. Página Resumen. i. Summary. ii. Índice general. iii. Índice de Cuadros. iv. Índice de Figuras. iv. I. Introducción. 1. II. Revisión de literatura. 3. III. Hipótesis. 13. IV. Objetivo General. 13. V. Metodología. 14. VI. Resultados y discusión. 15. VII. Conclusiones. 53. VIII. Bibliografía. 56. Anexos. 59. iii.

(5) INDICE DE CUADROS. Cuadro. Página −𝐴. 1. Ejemplos de la función:. 2. Recomendaciones didácticas de la Estadística en las carreras de Química. log y =. 𝑥. +B. 29. 45. INDICE DE FIGURAS. Figura. Página. 1. Espectro de absorción de un compuesto cuya longitud de onda de máxima absorción es de 524 nm. 23. 2. Curva de calibración de un analito (A vs C). 23. 3. Espectros de dos compuestos cuyas longitudes de onda de máxima absorción son 440 y 508 nm. 26. 4. Gráficas típicas de relaciones funcionales (todas las constantes se consideran positivas).. 31. 5. Espectro normal y de primera derivada. 34. iv.

(6) 6. Aplicación de la técnica del zero crossing para la obtención de la señal analítica utilizable en la cuantificación. a) Espectros solapados de orden cero. b) Espectros de primera derivada de los dos componentes. c) Espectro de primera derivada de la mezcla de los dos componentes. 36. 7. a) Separación de una mezcla por cromatografía; b) Cromatograma (los tres componentes separados). 39. v.

(7) I. INTRODUCCIÓN. Un fenómeno habitual en las aulas es el desinterés de los alumnos ante el material de estudio que se les presenta. En el caso de las Matemáticas (debido a que es una materia que suele ser considerada como especialmente difícil de aprender y de enseñar), su aprendizaje en muchas ocasiones origina sentimientos de desinterés, lo que genera frustraciones y una actitud negativa hacia la misma, fruto no pocas veces de la práctica de una enseñanza inadecuada. Lo que puede ser un placer intelectual proporcionado desde la asimilación de un nuevo saber, muchas veces se convierte en un calvario para remontar. O puede ser que la presentación que se hace de las Matemáticas no incita la avidez por su conocimiento. Si se acepta que lo que impulsa al ser humano a aprender es el deseo de conocer y que el motor para que esto suceda es la satisfacción de la curiosidad, entonces, lo importante es saber cómo hacer de la matemática, a pesar de su abstracción, un motivo de aprendizaje. Como lo indica Rojano C (2013), en el Siglo XX las corrientes educativas recibieron una atención especial con base en el desarrollo de la psicología; así pusieron énfasis en la necesidad de conocer las capacidades intelectuales individuales y compartidas de los estudiantes para, a partir de ese conocimiento, garantizar las condiciones mínimas de acceso a la educación a todos los miembros de la sociedad. De esta manera se hace manifiesto el compromiso de la educación con las sociedades democráticas y con los avances científicos y tecnológicos. Dabdoub A (2008) indica que hacia mediados del Siglo XX, tuvieron lugar los primeros encuentros internacionales que se proponían discutir los resultados de la investigación psicológica en el campo de la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas; en su inicio, esta nueva investigación se orientó hacia los errores de comprensión. Los resultados, obtenidos mediante la antigua tradición normativa de la didáctica, condujeron a la decisión de tratar de modificar, no las estrategias de. 1.

(8) aprendizaje, sino las estrategias de enseñanza que permitieran superar las deficiencias. Es por esto que en el presente trabajo se presentan ejemplos adecuados para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en el área de la Química ya que presentando estos ejemplos se mejoraría la atención de los alumnos en el aula y, por lo tanto, el entendimiento y aceptación de los conceptos vistos en clase y. de esta forma, el alumno va construyendo su aprendizaje y, a la vez, el alumno adquiere las competencias en matemáticas para químicos.. 2.

(9) II. REVISIÓN DE LITERATURA. Las instituciones educativas de educación superior enfrentan, a diferencia de las de educación básica, un problema de raíz en relación con su planta docente. Mientras que los profesores del nivel básico tuvieron que realizar, durante cuatro o cinco años, estudios que los formaran como profesores en las escuelas normales, en el nivel superior se reclutan continuamente como docentes a pasantes o egresados de diversas licenciaturas: Ingenieros, Médicos, Sociólogos, Químicos, Antropólogos, Biólogos, Comunicólogos, Administradores, etc., sin ninguna formación específica para la docencia. En efecto, más del 90 por ciento de los profesores de las instituciones de educación superior son profesionistas, egresados de alguna licenciatura o carrera técnica, que nunca realizaron estudios especiales que los capacitaran para ejercer la docencia, es decir, que los formaran como profesores. Esta situación específica tiene su origen en el convencimiento de que, para poder enseñar leyes, hay que ser Licenciado en Derecho; para poder enseñar cálculo de materiales, hay que ser Ingeniero Civil, etc. Es decir, que lo que se necesita para ejercer la docencia es ser experto en el área o materia que se va a impartir. Sin embargo, la experiencia misma ha enseñado que, sin negar la verdad de esta afirmación, se le debe considerar como relativa. El ser experto en el área o materia que se imparte es, evidentemente, una condición necesaria para ser buen profesor, pero de ninguna manera es una condición suficiente. Es decir, el dominio de la materia, aunque necesario, no certifica por sí mismo que uno la pueda enseñar eficaz y adecuadamente. Esta verdad la expresan muy acertadamente los estudiantes cuando afirman de un profesor: sabe mucho, pero no sabe cómo enseñar. Mientras que el ser experto en un área remite a que uno fue capaz de aprender sobre el tema, el ser profesor implica que uno sea capaz de enseñar esa materia o, más profundamente, que uno sea capaz de propiciar que sus alumnos aprendan lo que uno ya aprendió o conoce bien. St-Pierre y Zarzar (2004) indican que el aprendizaje y la enseñanza son dos procesos diferentes que, al hablar de la 3.

(10) docencia institucionalizada, se trata de integrar en uno solo: el proceso de enseñanza-aprendizaje. A cualquier persona estudiosa de la educación matemática le parece evidente que la enseñanza de las Matemáticas escolares ha evolucionado en los últimos años, ya que se han introducido contenidos novedosos, reorganizando el currículo, etc. Sin embargo, el día a día en el aula, la forma en que el conocimiento matemático llega al alumnado no ha mejorado gran cosa en los últimos años. Todo esto es a pesar de las aportaciones de la investigación (Psicológica, Didáctica, etc); a pesar de los cursos de educación matemática que se han venido impartiendo al profesorado, del cúmulo de material didáctico comercializado, del descenso de la relación maestro/número de alumnos, etc. (D´amore, 2005) Dienes (1970) escribió la siguiente frase: “Actualmente son muy pocos los profesores de Matemáticas, cualquiera que sea el nivel en que trabajan, que se encuentren honestamente satisfechos del modo como transcurre su enseñanza”. Etimológicamente la palabra educación viene de los vocablos latinos “educare” que significa nutrir, alimentar, y “educere”, que quiere decir extraer de. Por lo tanto, por un lado representa proveer de conocimientos y, por otro, extraer del alumno actitudes, capacidades y destrezas, es decir, potenciar y desarrollar facultades. Todas las opiniones sobre el significado de educación coinciden en que no sólo es provisión de conocimientos sino, esencialmente, desarrollo y perfeccionamiento de los valores intelectuales y humanos. En consecuencia, es indispensable que el profesor conozca qué capacidades tiene el alumno, cuales y como deben ser estimuladas. La segunda opción del término educación ha sido, no obstante, prácticamente ignorada en la enseñanza tradicional, que se caracteriza por ser el profesor el eje de la actividad escolar, relegando al alumno a una posición pasiva. Otra concepción más actual de la educación es, sin embargo, la que considera al alumno como su eje más importante, atribuyéndose al profesor el papel de guía o conductor del aprendizaje. En este tipo de educación, el profesor precisará detectar las dificultades que existen en dicho aprendizaje, mediante una 4.

(11) observación minuciosa y atenta; adoptar una disposición abierta y flexible para rectificar el camino emprendido, si fuera necesario; y estimular, mediante una motivación adecuada, los pasos para que el alumno desarrolle sus propias capacidades. De este modo, el libro o la exposición íntegra de una lección por parte del profesor perderían el papel relevante que tenían y la memoria, aun siendo importante, no lo sería tanto. La educación que se propugna actualmente persigue más la formación íntegra del alumno mediante la potenciación de sus facultades ya que es preferible una cabeza bien hecha que una cabeza llena. La finalidad principal de la educación es la formación integral del alumno, que se logrará mediante el desarrollo de sus aptitudes. (Peralta, 1995; Woolfolk, 1999). Los sistemas educativos tienen un gran desafío: lograr la transformación de sus estructuras curriculares, entendiendo que éstas ya no pueden depender en su totalidad de los contenidos temáticos tradicionales, sino de un desarrollo cognoscitivo en sus individuos que incorpore el fortalecimiento de actividades como la generalización, la sistematización y la abstracción. Cada vez más, los estudiantes tienen necesidad de enfrentarse con la resolución de problemas, no sólo en el ámbito escolar, sino en sus futuros lugares de trabajo, en donde la creatividad y la innovación serán la moneda de cambio. Los estudiantes necesitan instrumentos de aprendizaje, es decir, estructuras cognoscitivas con alto grado de adaptabilidad a lo nuevo. Esta necesidad refleja una dimensión central del proceso de educación continua en el que cada día estarán inmersos. (Moreno y Waldegg, 2004). Alcalá (2002), indicó que a pesar de las aportaciones de la psicología, de los intentos de maestros por explicarlo, de las muchas evidencias recopiladas, nadie puede responder al interrogante de cómo se aprenden las Matemáticas con total confianza y seguridad. El sentido de la educación está cambiando; ya no se concibe la escuela únicamente como transmisora de conocimientos. Se habla cada vez más de que la educación tiene por objetivo el desarrollo integral del alumno en sus aspectos cognitivo, emocional y social. En consecuencia, tanto el currículum escolar como. 5.

(12) la metodología empleada deberían adecuarse a las características psicológicas del alumno. Si bien esta adecuación es necesaria en general, en el área de Matemáticas se hace imprescindible. La introducción en los últimos años de la llamada Matemática moderna en la Educación General Básica, especialmente en preescolar y ciclo inicial, se justificaba por la necesidad de una enseñanza de las Matemáticas más lógica y razonada que la impartida tradicionalmente, más mecánica y memorística. Lo que conduce a ayudar al estudiante en el proceso de formación de su pensamiento lógico, no es sólo el cambio de los contenidos de los programas de Matemáticas, sino que se debe poner mayor énfasis en el cambio de la metodología y de la actitud del profesor ante el proceso de aprendizaje (Ortiz, 2001; Amaya y Prado, 2011). Por bueno que sea un programa de Matemáticas en cuanto a sus contenidos, los resultados que se obtengan dependerán en gran medida de la metodología empleada en su aplicación. Si un profesor presenta un programa de Matemáticas como conjunto de conocimientos acabados y si los alumnos son receptores pasivos de sus explicaciones verbales, probablemente conseguirá que los alumnos memoricen algunas cosas y que mediante la ejercitación se entrenen en dar respuestas correctas, pero difícilmente contribuirá a un mayor y mejor desarrollo del pensamiento lógico de sus alumnos. Ortiz (2001) afirmó que es preciso que el profesor cree situaciones educativas que faciliten al alumno el llegar a soluciones propias de los problemas matemáticos y contrastar sus ideas con las de otros compañeros, para que a partir de sus estructuras lógicas actuales construya otras nuevas más avanzadas. El campo de la educación matemática es un complejo universo caracterizado, entre otras cosas, por la variedad de interpretaciones que se confieren a los términos mismos que se emplean en él, por la multiplicidad de enfoques metodológicos, por el inabarcable abanico de materiales y recursos que lo componen. 6.

(13) En educación las concepciones y propuestas de enseñanza en el presente son consecuencia del pasado y condición del porvenir. Nada surge por generación espontánea, sino que está determinado por el pasado. Así, revisando la historia reciente se puede llegar a comprender mejor las ideas actuales. Actualmente, debe pensarse en una enseñanza basada en competencias y por esto es importante darle el enfoque adecuado de acuerdo a la formación del alumno. Masterton y Slowinski (1976); Martínez (2001) y Martínez (2008) coincidieron en que es adecuado dedicarse a las técnicas Matemáticas empleadas para obtener respuestas a problemas de química. Cantoral (2001) indicó que hay que tener cuidado con las tecnologías, debido a que, en la actualidad, a menudo se usa el concepto de nuevas tecnologías de la información y de la comunicación (NTIC); algunos las consideran una panacea, otros un peligro. Cualquiera que sea la actitud adoptada, conviene destacar que estas nuevas tecnologías ya han modificado en mucho los hábitos de vida fuera de la escuela y seguramente van a modificarlas aún radicalmente. Las tecnologías evolucionan muy rápido. Esto puede suscitar cierto desconcierto entre los individuos que no conocen los principios básicos subyacentes (St-Pierre y Zarzar, 2004). Comunicar, enseñar y/o aprender Matemáticas tiene hoy un significado diferente. La fuerza motriz de las Matemáticas se constituye por los problemas, los ejemplos y el contexto. Se considera un buen problema aquel cuya resolución, en vez de limitarse a poner orden en lo que no era sino un callejón sin salida, abre perspectivas totalmente nuevas. La matemática, para su transmisión o socialización, sufre una serie de adecuaciones,. ya que de ser un objeto de. conocimiento se transforma en objeto de enseñanza. La transformación está mediada por complejos mecanismos ideológicos, sociológicos y epistemológicos que influyen primero en la conformación del currículo y después en su puesta en marcha por el docente. El profesor genera una práctica docente a la que le imprime su sello personal, ya que está dirigida por sus creencias, saberes, certezas y valores; es decir, por 7.

(14) aquellos elementos teórico-experienciales que lo caracterizan como profesor. Su práctica docente adquiere ciertas formas, ya estudiadas teóricamente, que lo sitúan en los modelos siguientes: . La enseñanza tradicional. . La enseñanza tecnológica. . La enseñanza espontaneísta. . La enseñanza centrada en la investigación. Estos modelos no son puros en el contexto escolar, sino que el docente transita en ellos. Sin embargo, uno se hace más visible y desde él se establece la relación con la matemática, con el alumno y con el contexto considerando los diversos componentes de la práctica educativa –metodología, sentido de la asignatura, concepción de aprendizaje, papel del alumno, papel del profesor y evaluación- y adquiriendo características específicas en cada una. En la enseñanza tradicional, la actividad en el aula se caracteriza por la repetición ininterrumpida de ejercicios tipo. La exposición es la técnica habitual, uso de libro de texto y el pizarrón. El profesor sigue una programación ya formulada, externa a él y rígida, sin plantearse para qué y sin relaciones entre los contenidos de las unidades programáticas. La asignatura se orienta, exclusivamente, a la adquisición de conceptos y reglas. La finalidad de la asignatura es exclusivamente informativa: dar a conocer a los alumnos un cierto panorama matemático que se espera aprendan. El aprendizaje es sinónimo de memorización; esto se logra con la superposición de unidades de información. El alumno no participa ni activa ni pasivamente en el diseño de las actividades de enseñanza. El profesor transmite verbalmente los contenidos de aprendizaje. La enseñanza tecnológica trata más de la docencia por medio de la tecnología y la espontaneísta de la práctica docente de forma espontánea, por lo tanto se pasa directo a la última en la lista, la enseñanza centrada en la investigación: solución de problemas, se considera mejor ya que los alumnos se enfrentan a situaciones para las que no poseen soluciones dadas. Los objetivos marcan con claridad la dirección educativa, pero están sujetos a cambios debidamente fundamentados. El. 8.

(15) profesor elabora una propuesta organizativa de los componentes del programa, pero sin una vinculación rígida. El interés se centra en la adquisición de conceptos, procesos y actitudes de la propia materia y el trabajo escolar en general. La matemática escolar, de diferente naturaleza que la matemática formal, tiene su punto de despegue en la etnomatemática del contexto de los alumnos y recoge sus necesidades sociopolíticas, culturales, etc., Se hacen Matemáticas con un carácter más formal, desde el análisis de lo concreto; la finalidad última es dotar al alumno de instrumentos que le posibiliten un aprendizaje autónomo. Los objetos de aprendizaje, además de significado, cuentan también con la capacidad de ser utilizados en contextos diferentes de los de la escuela, adquiriendo así un carácter móvil a través de una red conceptual. El aprendizaje comienza con la observación de regularidades que permiten construir una conjetura; pero a ésta ha de seguir una comprobación razonable y, en la medida de lo posible, una generalización adecuada. El aprendizaje se produce a través de investigaciones que han sido planificadas por el profesor. La forma de organizar el grupo para operar dicha producción, depende de la actividad a desarrollar. El móvil ideal del aprendizaje es el equilibrio entre los intereses y la estructura mental de los alumnos y los contenidos de la matemática. El alumno participa directa o indirectamente en el diseño didáctico de la actividad docente. Para que haya aprendizaje se necesita que el alumno de significado a lo que aprende y tenga conciencia de su proceso de aprendizaje. El alumno se concientiza sobre lo que hace ante la información que se dinamiza en el aula (Ortiz, 2001; D´amore, 2005; Sánchez, 2012). García (2000) propone la solución de problemas como una estrategia didáctica pero el trabajó con Química. Da importancia a la inclusión de las habilidades de pensamiento, indica que la enseñanza problemática es un proceso en el cual se desarrollan formas de pensamiento, es decir, formas de realidad, y en el que interviene y se desarrolla la creatividad. Este proceso consiste en un sistema de procedimientos y métodos basado en la modificación del tipo de actividad a la cual se enfrenta el alumno, para producir la activación del pensamiento, en el que se proponen al alumno situaciones problemáticas que lo conduzcan a la construcción 9.

(16) del conocimiento y al desarrollo de sus habilidades de pensamiento básicas y superiores, en lugar de ejercicios de mecanización y aplicación de fórmulas; y se le exige pensar, participar, proponer y diseñar, es decir, activar su mente en lugar de callar, oir, escribir y memorizar, que es lo usual en la enseñanza tradicional. En el campo de la didáctica de las ciencias, la resolución de problemas ha sido estudiada desde diferentes enfoques, como estrategia para generar cambios conceptuales, metodológicos y actitudinales y para superar la metodología del sentido común. En su trabajo se presentan, en primer lugar, los fundamentos de una estrategia didáctica basada en el modelo de enseñanza basada en problemas y en los enfoques que estudian la resolución de problemas como una forma de desarrollar la creatividad y como un proceso que puede ser enseñado a través del diseño de heurísticos y herramientas heurísticas adecuadas; y, en segundo lugar, los resultados de su aplicación en la enseñanza de la química. Propone que para una buena estrategia didáctica basada en la solución de problemas hay que tener en cuenta cuatro elementos básicos: a) Diseño de situaciones problemáticas creativas b) Diseño de un ambiente creativo en el aula c) Diseño y utilización de un heurístico general d) Utilización de un sistema de autodirección En el primer caso, las situaciones problemáticas se diseñan de acuerdo con los siguientes criterios: -. Correspondencia entre las situaciones problemáticas y los conceptos a enseñar. -. Diseño y resolución inicial de problemas cualitativos, cuya resolución exija la elaboración de modelos y explicaciones, para luego así proponer problemas cuantitativos, concibiendo la ciencia como un proceso de constante construcción de modelos con diferentes grados de poder de explicación cuyo método por excelencia es la idealización. -. Carácter creativo, lúdico, imaginativo y contextualizado de los problemas. Para cumplir con este último requisito, los problemas diseñados deben. 10.

(17) estar relacionados con el medio socionatural y tecnológico en el cual viven los alumnos. Diseño de un ambiente creativo en el aula, el cual está caracterizado por un clima de seguridad cognitiva para el alumno, en el que se apoya la crítica, la reflexión y la expresión y en el cual se concibe el error como una oportunidad, más que como una dificultad. Un ambiente creativo en el aula contempla las siguientes condiciones: . Condiciones comunicacionales que posibilitan la argumentación, el libre debate de las ideas, el desarrollo de la imaginación y de la percepción, además de facilitar los procesos de autoevaluación.. . Condiciones organizacionales que contemplan el trabajo de aula por equipos reemplazando las tareas repetitivas por actividades creativas e innovadores; la posibilidad de decidir acerca de los temas y problemas a estudiar y el establecimiento de relaciones con el trabajo y el juego, el arte y la ciencia.. . Condiciones espaciotemporales que implican la flexibilización del tiempo, la asignación de espacios físicos y de recursos para el trabajo autónomo del estudiante y la utilización de modalidades de tutoría y orientación guiada.. Diseño y utilización de un heurístico general. Un heurístico es un método que conduce al estudiante en el proceso de resolución del problema y que le ofrece probabilidades razonables de solución, método compuesto por procesos problemáticos secuenciales llevados a cabo con la ayuda de herramientas heurísticas, que son instrumentos técnicos que facilitan la resolución del problema a través de la transformación de una entidad en otra (García, 2000) Özsoy-Günes y col (2012) y. Günes y col (2015) reportan estudios sobre la. resolución de problemas de Química y Física por medio de las Matemáticas. La investigación fue sobre la inclinación de los profesores para usar las Matemáticas al resolver estos problemas y dan la conclusión de que los profesores están conscientes del conocimiento conceptual y de la relación del conocimiento de las Matemáticas en la Física y en la Química. 11.

(18) Aydin-Güc y col (2014) hicieron un estudio sobre la enseñanza con el uso de las Matemáticas en la vida diaria. Ellos mencionan la importancia del uso de modelos matemáticos en muchas áreas de la vida cotidiana, e indican que hay estrecha relación de las Matemáticas con otras áreas de estudio o disciplinas e ideas de los profesores potenciales que se sometieron con cambios positivos. Al final del estudio ellos sugieren que el curso de Matemáticas debe ser enseñado en relación con un enfoque interdisciplinario Comúnmente los cursos de Matemáticas en carreras de Química son muy ajenos a las materias de Química o de Fisicoquímica. Esto provoca que el alumno vea a las Matemáticas como materias aisladas y que solo las tiene como de relleno en la carrera. En cambio, si ve la utilidad de estas materias en el área en la que se está desarrollando comenzará a despertar el interés por las Matemáticas y a comprender más al aplicarlo en casos reales a su carrera. Por esto es necesario hacer una revisión y proponer el procedimiento en algunos temas de las materias de Álgebra, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Ecuaciones Diferenciales y métodos estadísticos para relacionarlos con el área de Química Este estudio se desarrolló considerando algunos temas de cada materia, no es con todos los temas de las materias, sino con algo representativo de cada caso. Se consideraron los temas relacionados entre las Matemáticas y la Química directamente. También hay materias como la Ingeniería Química, Fisicoquímica, etc que es una mezcla de Química con Matemáticas y es parte de la formación de los alumnos. Al abordar estos temas en clase, se debe considerar que los alumnos no llegan a la Licenciatura con la misma preparación y, debido a esto, se debe tener cuidado en la forma de impartir los temas. Por lo tanto, aquí se propone un diseño didáctico de estas materias de Matemáticas para las carreras de Química.. 12.

(19) III. HIPÓTESIS Es posible desarrollar una metodología didáctica de las Matemáticas adecuada a la carrera de Química, de tal manera que el alumno desarrolle un mayor interés y potencie su capacidad de aplicar sus conocimientos matemáticos en la Química.. IV. OBJETIVOS. General: Proponer un esquema didáctico de las Matemáticas enfocadas en el área de la Química, con la finalidad de transformarlas en unas materias de mayor interés para los estudiantes.. Específicos: -. Revisar el contenido temático de materias del área de las Matemáticas que. se imparten en la Facultad de Química -. Indentificar los temas enfocados al área de la Química en estos programas. -. Proponer un plan didáctico a la materia relacionada con el área de Química. 13.

(20) V. METODOLOGÍA. 1. Se llevó a cabo una revisión de los contenidos mínimos propuestos para las materias de Matemáticas en la carrera de Química y de los programas de las materias que actualmente se imparten.. 2. Se revisaron los temas en las áreas de Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra, Ecuaciones Diferenciales y Métodos Estadísticos (Estadística descriptiva e inferencial) seleccionando los que son de mayor aplicabilidad en el área de Química o que son base para temas futuros en su profesión.. 3. En cada una de estas materias investigadas, se buscaron ejemplos de la Química donde se aplican estos conocimientos, de esta forma se logró tener una propuesta didáctica de las Matemáticas en el área Química. Se hicieron algunas recomendaciones didácticas en cada caso para que el tema estuviera enfocado en su trabajo habitual y así no lo vean como algo ajeno a la carrera. Es importante relacionar las Matemáticas con la Química y hacer lo mismo con las Matemáticas en cada área y así el alumno demostrará la destreza en su área y con esto también se logrará despertar el interés y por ende, una aceptación de las Matemáticas.. Se enfatizó en la importancia del conocimiento de las bases de cada tema, debido a que en la actualidad hay profesores que todo lo quieren resolver a través de la tecnología y enseñar así a los alumnos sin considerar que primero deben conocer bien las bases antes de aplicar la tecnología en la resolución de problemas, considerando el modelo de Educación Basada en Competencias.. 14.

(21) VI. RESULTADOS Y DISCUSIÓN. I. Programas de las materias del área de Matemáticas en la Facultad de Química Las materias que se imparten son: Cálculo Diferencial-Álgebra, Cálculo Integral, Ecuaciones Diferenciales, Métodos Estadísticos I y II (Estadística Descriptiva e Inferencial). Estas son las materias comunes en todas las áreas de Química que hay en la Facultad y otras materias no comunes a todas las áreas son Bioestadística y Diseño de Experimentos (Los programas de cada una están en el Anexo I) que solo están en la currícula de algunas carreras. A los profesores de Matemáticas corresponde seleccionar entre toda la matemática existente, la clásica y la moderna, aquella que puede ser útil a los estudiantes en cada uno de los niveles de la educación. Para la selección hay que tener en cuenta que la matemática tiene un valor formativo, que ayuda a estructurar todo el pensamiento y a agilizar el razonamiento deductivo, pero que también es una herramienta que sirve para el accionar diario y para muchas tareas específicas de casi todas las actividades laborales. La enseñanza de las Matemáticas debe ser un constante equilibrio entre la matemática formativa y la matemática informativa. La primera más estable y la segunda muy variable con el tiempo y aun con el lugar y la finalidad perseguida para los alumnos. Hay que formar, pero al mismo tiempo informar de las cosas útiles adecuadas a las necesidades de cada día y de cada profesión. Cada aspecto informativo tiene un substrato formativo, de manera que la regla puede ser “formar informando” o “informar formando” Es fundamental que los encargados de diseñar los planes de estudio tengan en cuenta el valor formativo de la matemática y también los temas de los que es necesario informar en cada ciclo de la enseñanza y en cada particular carrera profesional. Como regla general, se puede recomendar que siempre es preferible saber poco y bien que mucho y mal.. 15.

(22) II. Identificación de los temas que se tienen en las materias del área de Matemáticas que están relacionados con la Química. Una vez revisados los programas, se seleccionaron los temas que pueden estar relacionados y así buscar ejemplos que podrían aplicarse o relacionarse con el área de Química. La finalidad de esto es que el alumno lo asocie con los conocimientos de otras materias y así lograr un mejor aprovechamiento del conocimiento. Es muy común en los laboratorios de Análisis Químico utilizar parámetros estadísticos pero con nombres químicos y los alumnos están desconcertados porque no saben del tema y al hacer el procedimiento es cuando se dan cuenta que lo estudiaron en una materia del área de Matemáticas pero no lo relacionaban con la Química o también en casos en que se presenta una mezcla de analitos que no se pueden separar químicamente pero después se dan cuenta que también hay una parte matemática para lograr la separación y fácil cuantificación de los analitos. Ante esto, es necesario que el profesor esté preparado en una buena didáctica de las Matemáticas aplicadas en el área de interés, en este caso, la Química. Sin embargo, hay algunos temas que no se pueden relacionar directamente con la Química, como por ejemplo, en Cálculo Integral en el tema de métodos de integración, aquí solo se ven las estrategias para poder calcular las integrales de una forma más fácil y ya después, en las aplicaciones de la integración, es donde se pueden ver ejemplos en el área de Química, es por esto que no todos los temas pueden verse con ejemplos reales. En la actualidad los motivos son las necesidades prácticas de poder entender y utilizar con provecho las modernas tecnologías. Debido a ello, parece unánimemente aceptado que la enseñanza de la matemática debe seguir prescrita para todos, tanto en los niveles superiores como para los creadores en el mundo de las ideas o en la esfera tecnológica. Es importante que al impartir una materia, no se haga uso de la tecnología hasta que los alumnos tengan buenos conocimientos de las bases de la misma, después las aplicaciones tecnológicas para hacer los cálculos necesarios. 16.

(23) El hombre común, sin ser creador, necesita los conocimientos matemáticos para su. actuación. en. el. campo. laboral. y. para. comprender,. aunque. sea. superficialmente, las bases y las posibilidades de la moderna tecnología. Las aplicaciones de la matemática han invadido campos que antes eran considerados ajenos a ella, principalmente en la Biología y en las ciencias del hombre, por lo cual la escuela no puede desentenderse de esas aplicaciones tanto por su valor informativo como motivador. Cuando se habla de matemática y de la necesidad de su enseñanza, hace falta puntualizar a qué matemática se hace referencia. En la época de los griegos se podía hablar del cálculo y de la geometría como partes únicas de un cuerpo de conocimientos bien delimitado y no muy extenso. Hoy día, en cambio, la cantidad de matemática que se conoce es inmensa y crece constantemente, por lo cual no es cosa fácil decidir cuál debe ser la matemática que se recomiende enseñar y cómo debe ser presentada para su mejor comprensión y su mejor utilidad para el futuro de los alumnos. Es necesario tener habilidad y conocimiento de las Matemáticas elementales más importantes para comprender muchos problemas de la química.. III. Ejemplos de Química para aplicar en los conocimientos de las materias de Matemáticas. Solo son ejemplos de algunos temas de Química resolviéndolos con las Matemáticas pero hay muchos temas que se pueden trabajar así.. Algebra Un ejemplo muy básico de Química en la materia de Algebra es el balanceo de reacciones. Este es un ejemplo adecuado pues tanto el álgebra como el balanceo de reacciones químicas son temas desde el primer semestre y de los que más se aplican durante toda la carrera y la vida profesional. Aunque también hay. 17.

(24) aplicaciones de álgebra para temas de Química más avanzados y todo siempre se aplica en diferentes situaciones. Hay diferentes métodos de balanceo de reacciones químicas: por tanteo, redox y algebraico. Este último se aplica en los casos en que las reacciones contienen fórmulas donde es difícil determinar los números de oxidación, también en reacciones que no son redox y en las que son demasiado largas para hacer tanteos. El método algebraico aplica un sistema de ecuaciones a resolver y es aquí donde se emplea el álgebra. Un ejemplo para explicar este método y, principalmente, para que los alumnos vean la aplicación de Algebra en la Química es el siguiente: Balancear la siguiente reacción. KHSO3 + S. K2S3O6 + K2S2O3 + H2O. Como primer paso se asigna a cada compuesto (en reactivos y productos) una variable (a, b, c, d, etc):. KHSO3 + S a. b. K2S3O6 + K2S2O3 + H2O c. d. e. Como segundo paso se establecen las igualdades en función de cada elemento, anotando a cada lado de la igualdad la cantidad de cada elemento en cada compuesto:. K. a = 2c + 2d. (Ecuación 1). H. a = 2e. (Ecuación 2). S. a + b = 3c + 2d. (Ecuación 3). O. 3a = 6c + 3d + e. (Ecuación 4). El siguiente paso es resolver las 4 ecuaciones algebraicas como un sistema de ecuaciones lineales que puede resolverse por los diferentes métodos como, por 18.

(25) ejemplo, sustitución o en algunos casos las m ecuaciones con n incógnitas se pueden resolver por eliminación de Gauss-Jordan o también podría utilizarse el método de determinantes para conocer el valor de las incógnitas (a, b, c, etc). Cuando no se puede resolver porque hay. más variables que ecuaciones, se. puede dar un valor arbitrario a una de las variables y a partir de éste calcular los valores de las otras variables al sustituir en las ecuaciones, todos los valores deben ser enteros y si alguno es fracción, se multiplican todos por un factor adecuado para que se tengan números enteros y con esto ya se tiene balanceada la reacción que, en este caso sería:. 6KHSO3 + 2S. 2K2S3O6 + K2S2O3 + 3H2O. Puede haber casos en que los valores si sean enteros pero números múltiplos, éstos se pueden reducir a su mínima expresión. Por ejemplo, podría haberse obtenido los valores a= 12, b= 4, c= 4, d=2 y e= 6, todos son divisibles por 2 y se reducen, obteniendo los siguientes valores: a= 6, b= 2, c= 2, d=1 y e= 3.. Otra aplicación muy básica tanto en Algebra como en Química es en el tema de exponentes y logaritmos. La aplicación de los logaritmos en algo básico de Química es en el cálculo del pH a partir de la concentración de los iones H +, pH = - log [. ]. (Ecuación 5). o también calcular la concentración de los iones al despejar [. ] =. a partir del pH y esto se logra. .. (Ecuación 6). En temas intermedios de Química está el Equilibrio Químico y en éste son de gran aplicación los cálculos con una expresión logarítmica o exponencial.. Para la reacción general:. 19.

(26) La constante de equilibrio (K) se calcula con el cociente entre las actividades de los productos y las actividades de los reactivos. (. )(. ). (. )(. ). (Ecuación 7). Y en ocasiones, en tablas, no reportan el valor de k sino el de pK, el cual se obtiene con expresiones logarítmicas:. pK = - log K. (Ecuación 8). El cambio de energía libre viene dado por: =. + nRT ln Q,. donde. Q=. (Ecuación 9). donde a es el coeficiente de actividad de cada uno de los compuestos que participan en la reacción. Este coeficiente de actividad está directamente relacionado con la concentración del compuesto en solución. Al hacer cálculos de la constante (Q) o de la Energía libre (. ) a partir de la concentración o viceversa,. se hace uso de cálculos algebraicos entre ecuaciones exponenciales y logarítmicas. En el cálculo de pH de ácidos débiles monopróticos, se utilizan funciones de varias variables y solución numérica de ecuaciones algebraicas. Los ácidos débiles monopróticos y sus sales son ampliamente utilizados en Química Analítica y determinar el pH de una solución que contiene estos compuestos químicos es un problema laborioso. En efecto, se trata de hallar raíces de ecuaciones polinómicas de grado superior a dos y que, además, poseen parámetros que ofrecen un amplio grado de variación.. 20.

(27) Un ejemplo común de ácido débil monoprótico es el ácido acético (HOAc) y para calcular el pH se necesita conocer la concentración del ion [. ] y para esto es. necesario hacer cálculo de concentraciones al equilibrio con la Ecuación 10. HOAc (. =. [. ][ [. +. – X). (X). (X). ]. (Ecuación 10). ]. donde se conocen los valores de Ka y de. y al resolver la ecuación se. conocerá el valor de X y, con esto, se tendrá el valor de [. ] para calcular el pH.. En temas más avanzados de Química se puede utilizar la Quimiometría. Se tiene por ejemplo, en los cursos prácticos de Análisis Químicos en los que se analiza contenido de cierto analito y una aplicación práctica es la Espectrometría Ultravioleta-visible (UV-vis) para el análisis cuantitativo de un analito que está solo o en mezclas. La espectrometría UV-Vis se utiliza con mayor frecuencia en forma cuantitativa para determinar las concentraciones de especies absorbentes en solución, usando la Ley de Lambert–Beer. En este análisis, se registra el espectro de un compuesto marcando la longitud de onda de máxima absorción (Figura 1) y a esta longitud de onda ( ) se toma la lectura de Absorbancia (A) de la solución y, conociendo el coeficiente de absortividad molar ( ) se puede calcular la concentración aplicando la Ley de –Lambert-Beer o Ley de Beer (Ecuación 11). A = bC. (Ecuación 11). donde b es el recorrido en cm de la radiación a través de la muestra (1 cm) y C es la concentración molar (mol/L) de la solución. Para análisis cuantitativos se recomienda elaborar curvas de calibración, las cuales se construyen al trabajar con soluciones de concentración conocida y se. 21.

(28) grafica concentración vs señal analítica (Figura 2). que, en este caso, es. Absorbancia (A) y se obtiene una recta (Ecuación 12).. A = mC + e. (Ecuación 12). donde A es la señal analítica (Absorbancia) y C es la concentración, m es la pendiente de la recta y e es el intercepto de la calibración lineal. Y después, la solución de concentración desconocida se prepara, se toma la lectura de absorbancia y se sustituye en la Ecuación 12 para conocer la concentración del analito. Todo esto se trabaja con la longitud de onda de máxima absorción del analito de interés. Cuando se tienen analitos en mezcla y se deben cuantificar, se puede utilizar este caso pero si ambos coinciden en una zona de longitud de onda, no se puede cuantificar directamente uno cuando hay presencia de otro compuesto, ya que se tiene una interferencia y el resultado no sería confiable. En la Figura 3 se tiene uno de estos casos y los espectros están solapados y uno hace interferencia al cuantificar el otro. En este caso, si se traza una línea vertical a la longitud de onda de 440 nm (longitud de onda de máxima absorción de uno de los componentes de la mezcla), se tiene lectura de Absorbancia para el compuesto de línea contínua pero también cruza la línea punteada dando lectura para el otro analito, con lo cual uno hace interferencia en la cuantificación del otro ya que los espectros están solapados y en este caso se utiliza la Quimiometría para resolver la mezcla.. 22.

(29) 1.000. 524 nm 0.800. A b s o 0.600 r b a n c 0.400 i a 0.200. 0.000 400. 440. 480. 520. 560. 600. Longitud de onda (nm). Figura 1. Espectro de absorción de un compuesto cuya longitud de onda de máxima absorción es de 524 nm (fuente: González, 2000). 1.000. Absorbancia. 0.800. 0.600. 0.400. 0.200. 0.000 0.0. 2.0. 4.0. 6.0. 8.0. 10.0. Concentración (ppm). Figura 2. Curva de calibración de un analito (A vs C) (fuente: González, 2000). 23.

(30) Un método quimiométrico para la resolución de mezclas binarias con espectros de absorción solapados, es el método de calibración bivariante, cuyo algoritmo es el siguiente (Ecuación 13): AAB = AbCA + BbCB. (Ecuación 13). donde AAB es el valor de la absorbancia de la mezcla AB a cierta longitud de onda, A, B son los coeficientes de absortividad molar de los componentes A y B a la misma longitud de onda. CA y CB son las concentraciones molares de ambos componentes y b es la longitud de la celda. Sin embargo, en condiciones reales, cuando las respuestas individuales AA y AB están afectadas por los errores analíticos y de medida, las ecuaciones que rigen a las curvas de calibración para cada componente a una longitud de onda seleccionada (i), son (Ecuaciones 14 y 15):. AAi = mAi CA + eAi. (Ecuación 14). ABi = mBi CB + eBi. (Ecuación 15). donde mAi y mBi son los valores de las pendientes de la curva respectiva. C A, CB son las concentraciones de ambos componentes y e Ai, eBi son los valores de los interceptos, los cuales reflejan las diferencias entre el sistema modelo y el sistema real. Si las medidas de las mezclas binarias son desarrolladas a dos longitudes de onda seleccionadas (λ1 y λ2), se tienen dos Ecuaciones (16 y 17): AAB1 = mA1 CA + mB1 CB + eAB1. (Ecuación 16). AAB2 = mA2 CA + mB2 CB + eAB2. (Ecuación 17). donde, eAB1 y eAB2 son la suma de los interceptos de la calibración lineal a las dos longitudes de onda (eABi = eAi+ eBi). Al resolver estas dos ecuaciones con dos 24.

(31) incógnitas, se pueden conocer los valores de CA y CB a través de las expresiones siguientes:. CB = [mA2(AAB1 - eAB1) + mA1 (eAB2 - AAB2)]/(mA2mB1 - mA1mB2). (Ecuación 18). CA = [AAB1 - eAB1 - mB1CB]/mA1. (Ecuación 19). Este algoritmo matemático simple permite la resolución de mezclas binarias midiendo la absorbancia de la mezcla a dos longitudes de onda seleccionadas y utilizando los parámetros de las funciones de regresión lineal evaluados individualmente para cada componente a estas mismas longitudes de onda. En este procedimiento, la situación determinante para un análisis exacto de la mezcla es saber cual es el par de longitudes de onda que se deben seleccionar para asegurar la mejor sensibilidad y selectividad de la determinación. Para seleccionar el par de longitudes de onda, se aplica el método de Kaiser. Este consiste en establecer una matriz de sensibilidad, K, para cada mezcla binaria:. donde mA1, mA2, son los parámetros de sensibilidad del componente A en las dos longitudes de onda (λ1 y λ2), y mB1, mB2 son estos parámetros para el componente B, a las mismas longitudes de onda anteriores. Como factor de sensibilidad se utilizan las pendientes de la calibración lineal para los componentes a las i estudiadas. Se resuelven estas matrices y los valores obtenidos se utilizan como el criterio de optimización: El par de longitudes de onda que se selecciona es aquel en el cual se obtiene el valor más alto de la matriz.. 25.

(32) 0.800. Amarillo 5 Rojo 40. 508 nm 440 nm. Absorbancia. 0.600. 0.400. 0.200. 0.000 400. 500. 600. Longitud de onda (nm). Figura 3. Espectros de dos compuestos cuyas longitudes de onda de máxima absorción son 440 y 508 nm. (fuente: González, 2000). Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Las ecuaciones de este tipo se resuelven con facilidad. Muchos problemas de Química General pueden resolverse introduciendo números directamente en una ecuación algebraica de primer grado y efectuando una o más de las operaciones sencillas.. Ejemplos:. 1. La relación entre la temperatura expresada en grados Fahrenheit (°F) y grados Celsius (°C) es. °F = 1.8°C + 32. 2. La relación entre la presión (P), volumen (V), número de moles (n) y temperatura absoluta (T) de un gas ideal se expresa por la ecuación PV = nRT 3. Cálculos de concentración en soluciones como puede ser molaridad: Molaridad =. = 26.

(33) 4. Cálculos con densidad.. Densidad =. Relaciones funcionales. Funciones: Una variable y es función de otra variable x si es posible establecer para diversos valores de x los valores correspondientes de y. y = f(x) Los diversos tipos de relaciones funcionales que surgen en Química General y su expresión algebraica son:. a) Ejemplos de proporcionalidades directas en química general: a. Volumen (V) de un mol de un gas ideal a 1 atm en función de la temperatura absoluta, T b. Velocidad de descomposición de N2O5 a 45. en función de la. concentración de N2O5 c. La solubilidad de un gas en un líquido está en razón directa de su presión parcial. La solubilidad de O2 en agua a 25. es 0.085 mol. por litro a una atmósfera. Calcular su solubilidad a una presión parcial de 0.20 atm. Representando por S y P la solubilidad y la presión, respectivamente, se tiene la siguiente ecuación:. =. b) Ejemplos de proporcionalidades inversas en química general: y está en razón inversa de x si su producto es el mismo para todos los valores de x, esto es. xy = a, donde a es una constante. a. Con la ley general de los gases ideales. PV = nRT, calcular el. volumen de un gas ideal a cierta temperatura, en función de la presión. 27.

(34) b. Cálculo de la concentración de H+ en solución acuosa a cierta temperatura en función de la concentración de OH- considerando que el producto de las dos concentraciones es igual a una constante. Funciones lineales. Son de la forma. y = ax + b, donde a y b son constantes.. Ejemplos: 1. Las temperaturas expresadas en °F son una función lineal de la temperatura expresada en °C 2. Una de las ecuaciones fundamentales de la termodinámica, la ecuación de Gibbs-Helmholtz, puede considerarse como una función lineal que relaciona el cambio de energía libre, G, de una reacción con la temperatura absoluta G = H - TS. Como otro tema de funciones el ejemplo puede ser en Estequiometría. Con reacciones químicas balanceadas y con cálculos estequiométricos se puede saber la cantidad a obtener de un producto a partir de una cantidad conocida de un reactivo y como todo es utilizando la relación estequiométrica y los pesos moleculares, se puede establecer una relación de la cantidad de producto a obtener en función de la cantidad de reactivo o se puede calcular la función inversa si se quiere calcular la cantidad necesaria de un reactivo para obtener una cantidad fija de producto. Con esto se puede tener un ejemplo de funciones y sus funciones inversas. Funciones logarítmicas. En muchas de las relaciones funcionales con las que se trabaja en Química General, una de las variables es un término logarítmico. Quizá la función logarítmica más común en química es de la forma que se muestra en la Ecuación 20.. log y =. +B. (Ecuación 20). 28.

(35) Cuadro 1. Ejemplos de la función:. Función. A. log P =. +B. log K =. +B. log k =. +B. log y =. +B. Significado de los términos P= presión de vapor del líquido T = temperatura absoluta (K) R = constante de los gases (1.987 cal/mol K) H = calor de vaporización (cal/mol) K = constante de equilibrio para reacción a la temperatura absoluta T H = cambio de entalpía en la reacción (calorías) k = constante de velocidad a T Ea = energía de activación (calorías). Funciones y sus gráficas: El tipo más común de gráfica en Química es una bidimensional, empleada para mostrar la relación funcional entre dos variables x y y. En todas las gráficas bidimensionales los valores de la variable independiente x se muestran en el eje horizontal, aumentando en magnitud de izquierda a derecha. Los valores de la variable dependiente y se indican en el eje vertical, aumentando de abajo hacia arriba. Mediante gráficas se pueden representar ecuaciones. Ejemplos de tipos de gráficas y sus respectivas ecuaciones están en la Figura 4. En forma experimental se obtienen datos y con éstos se tienen que calcular algunas constantes que se tienen en la ecuación. La forma más fácil de calcular constantes es cuando la gráfica es una recta y, siendo así, fácilmente se calcula la pendiente de la recta para de ahí conocer el valor de las constantes que sean necesarias. En la Figura 4 se tienen diferentes ejemplos de las mismas, en los casos en que la gráfica no es una recta se puede cambiar el tipo de datos que se grafican para poder convertirla en una recta. Ejemplo: en las gráficas a y b de la Figura 4 no hay problema porque 29.

(36) ya son rectas. Pero en los casos c al f se tiene que cambiar la forma de los datos, por ejemplo, en la Figura 4c, un ejemplo es la Ley de Boyle, en la que el volumen es inversamente proporcional a la Presión cuando la temperatura es constante y si se grafica P vs V se obtiene la curva de la Figura pero si se grafica P (eje vertical) y 1/V (eje horizontal), se obtendrá una recta cuya pendiente es la constante nRT. En la gráfica 4.d, si se grafican los datos de la variable independiente (x) en el eje horizontal y la variable dependiente (y) en el eje vertical, se obtendrá la curva de la Figura pero si se grafica log y en el eje vertical y 1/x en el eje horizontal, se obtendrá una recta cuya pendiente es igual a –A y el valor de la ordenada al origen es igual a B y así se puede trabajar con gráficas de los datos obtenidos experimentalmente para obtener rectas y poder calcular las constantes necesarias. Una aplicación de la gráfica 4d con transformación a una recta, es con datos cuyo comportamiento esté en uno de los ejemplos del Cuadro 2.. Con esto se tienen ejemplos de aplicación de Matemáticas en el área de Química, y poner estos ejemplos sería una buena estrategia didáctica para la clase de Álgebra, lo cual estimula el interés en los alumnos.. 30.

(37) Figura 4. Gráficas típicas de relaciones funcionales (todas las constantes se consideran positivas). (Masterton y Slowinski, 1976). 31.

(38) Cálculo Diferencial. Para el caso de las derivadas la parte química es la espectrometría de derivadas y éste es otro método quimiométrico para resolver mezclas. Esta técnica permite incrementar considerablemente dos aspectos básicos en cualquier técnica analítica: la sensibilidad y la selectividad; simplificando con ello notablemente la metodología analítica (química) para muchos problemas, pues permite su resolución de forma directa, esto es, sin tener que efectuar previamente separaciones químicas complicadas de los analitos. Consiste en calcular la primera, segunda o derivada de orden superior de la absorbancia respecto a la longitud de onda. La diferenciación de espectros de absorción presenta considerables ventajas para la espectrometría en la zona UV-Vis, pues permite extraer información tanto cualitativa como cuantitativa de los espectros. Se da la denominación de espectro derivado a la representación gráfica, en un intervalo dado de longitudes de onda, del cociente diferencial dA/d, donde "A" representa la absorbancia de un espectro normal y " " la longitud de onda. Se trata de la representación gráfica de la pendiente del espectro normal a cada longitud de onda en el intervalo medido. Una banda de absorción simple posee dos puntos de inflexión y un máximo de absorción a longitudes de onda características que son independientes de la concentración. Por consiguiente, la función dA/d pasa por un máximo y un mínimo en los puntos de inflexión y vale cero en el máximo. La distancia vertical entre el máximo y el mínimo de la derivada se denomina "amplitud" y constituye el parámetro analítico que suele utilizarse para relacionarlo de forma lineal con la concentración. La utilización de espectros derivados tiene gran utilidad tanto con fines cualitativos como cuantitativos. Una banda de absorción de un espectro de orden cero, permite la identificación de la sustancia sólo a través de la posición del máximo de absorción como único punto de referencia; máximo que, en bandas de absorción anchas, sólo puede ser fijado de una manera aproximada. Ese punto de referencia único que posee un pico de absorción normal, contrasta con los tres puntos de 32.

(39) referencia de un espectro de primera derivada (máximo, mínimo y cruce en abscisas) (Figura 5). Para una especie absorbente dada, la relación entre los valores de los extremos (máximo y mínimo consecutivos) es una magnitud característica de la sustancia e independiente de la concentración, disponiendo en consecuencia de más datos para las identificaciones cualitativas. Es posible la representación de derivadas de orden superior de A respecto a , originándose así los espectros de segunda derivada y en general, espectros de nésima derivada o de orden "n" (dnA/dn). Desde el punto de vista cuantitativo, el hecho de que en la derivada del espectro, la señal dA/d a cualquier longitud de onda es proporcional a la concentración, puede ser ventajosa respecto a la aplicación de la Ley de Lambert-Beer en la espectrometría de absorción directa, principalmente en muestras donde la matriz presenta una absorción neta elevada. La primera derivada se utiliza mucho para la determinación exacta del máximo de absorción, especialmente cuando se trata de picos anchos. Se han empleado diversos métodos con objeto de resolver mezclas. En unos casos se ha propuesto medir a una longitud de onda a la cual no contribuya el compuesto interferente, tal es el caso de la técnica de medida de "zero-crossing" (cruce en cero). Esta técnica de medida utiliza el valor absoluto del espectro derivado del orden que se esté utilizando, a un valor de abscisa correspondiente a una longitud de onda a la que presente valor cero el espectro derivado del componente cuya interferencia se desee evitar. Las medidas realizadas a esa longitud de onda en el espectro mezcla serán función solamente de la concentración del componente que se analiza.. 33.

(40) Figura 5. Espectro normal y de primera derivada. En la Figura 6, para una mezcla de dos componentes 1 y 2 que se encuentran en concentración C1 y C2, de acuerdo a la propiedad aditiva de la absorbancia, (Ecuaciones 21 y 22) se cumplirá que: A = 1 C1 + 2 C2. Si A1. = 1 C1 y A2 = 2 C2. (Ecuación 21). cuando b = 1. (Ecuación 22). siendo 1 y 2 las absortividades molares de las sustancias respectivas. Si se derivan respecto a la longitud de onda, se obtiene la primera derivada del espectro suma (Ecuación 23): d1 d 2 dA = C1 × + C2 × d d d. (Ecuación 23). Es decir, la pendiente de la curva espectral de la mezcla, es la suma de las pendientes individuales de cada componente. Si se opera a una longitud de onda tal que se verifique que d/d = 0, es decir, a la longitud de onda correspondiente al máximo de absorción del componente 1, se. 34.

(41) podrá determinar la concentración del componente 2 (Figura 6b). En efecto, en este caso se cumplirá que:. dA d. = C2 ×. d 2 d. (Ecuación 24). El único requisito para la determinación, es que las longitudes de onda correspondientes a los máximos de absorción de los dos componentes estén suficientemente diferenciados (Figura 6a). Operando a la longitud de onda 1, la medida de la distancia AB permite determinar la concentración C 1 (Figura 6c). Un razonamiento análogo, permite determinar la concentración C2, o bien, utilizar la segunda derivada del espectro suma. La exactitud conseguida en la mezcla de componentes, depende de los parámetros siguientes: a) Relación de la altura de la banda que interfiere y de la banda de interés analítico. b) Lo mismo respecto a la anchura medida. c) Separación entre los máximos de absorción de los componentes.. 35.

(42) Figura 6. Aplicación de la técnica del zero crossing para la obtención de la señal analítica utilizable en la cuantificación. a) Espectros solapados de orden cero. b) Espectros de primera derivada de los dos componentes. c) Espectro de primera derivada de la mezcla de los dos componentes. (Fuente: González, 2000). 36.

(43) Cálculo Integral. La derivada es el límite de la razón de dos cantidades pequeñas, la integral es el límite de una suma en la forma que la concibió Leibnitz y, de hecho esta es la razón por la que eligió una  estilizada como su símbolo para la integral (Ecuación 25). F(x) = ∫ ( ). (Ecuación 25). Un ejemplo Químico para este caso es en la Cromatografía, ya que al trabajar en esta técnica, se obtiene un cromatograma, el cual es el resultado de graficar la respuesta del detector contra el tiempo y puede ser utilizado para información cualitativa y cuantitativa; esto último se aplica en cromatografía de gases y en cromatografía líquida de alta resolución (Figura 7). Mediante la cromatografía se separa una determinada mezcla de sustancias (Figura 7a); en el cromatograma (Figura 7b), aparecen 3 picos claramente separados (de una mezcla de 3 sustancias). Una medición de sus perfiles en función del tiempo de elusión suministra los datos que pueden ser útiles para calcular la concentración. Para ésto, se trabaja con concentraciones conocidas para cada componente (A, B, etc) y se calcula el área bajo la curva utilizando la Regla de Simpson (Ecuación 26).. A=. ∑. [ ( )+. ( )+2 ( )+…+. ( )+2 ( )+. (. )+ (. )]. Con. (Ecuación 26). 37.

(44) Siendo a y b, los valores en tiempo desde el inicio al final (respectivamente) del pico en el cromatograma. Para esto se elabora una tabla de datos (para cada componente) con dos columnas, en la primera es el valor x (tiempo) y en la segunda f(x) respuesta (altura) y se calcula el área bajo la curva utilizando la Ecuación 26. y con esto se tienen datos de área para cada concentración,. después se hace lo mismo para la muestra problema y de acuerdo al área obtenida se puede ver a que concentración corresponde y se hace lo mismo para cada componente en la mezcla.. 38.

(45) Figura 7. a) Separación de una mezcla por cromatografía; b) Cromatograma (los tres componentes separados) (Fuente: López y Valadez, 2008). 39.

(46) Ecuaciones diferenciales En el caso de la modelación por medio de ecuaciones diferenciales hay muchos ejemplos del área de Química. La parte más difícil al usar las Matemáticas para estudiar una aplicación es la conversión de los fenómenos de la vida real al formalismo matemático. Algunas sugerencias para la construcción de modelos son las siguientes: 1) Establecer claramente las hipótesis en que se basará el modelo. Éstas deben describir las relaciones entre las cantidades por estudiarse 2) Definir completamente las variables y parámetros que se usarán en el modelo. 3) Usar las hipótesis formuladas en el paso 1 para obtener ecuaciones que relacionen las cantidades del paso 2 Algunos ejemplos de aplicación de modelado son: 1. Modelar la desintegración radiactiva usando la notación t = tiempo r(t) = cantidad del isótopo radiactivo particular presente en el tiempo t (variable dependiente) -λ = tasa de desintegración (parámetro). El signo menos se usa para que λ>0 a) Usando esta notación, escribir un modelo para la desintegración de un isótopo radiactivo particular b) Si la cantidad del isótopo presente en t=0 es r0, establecer el problema de valor inicial correspondiente para el modelo en la parte (a). 2. La vida media de un isótopo radiactivo es la cantidad de tiempo que toma a una cantidad de material radiactivo desintegrarse a la mitad de su cantidad original a. La vida media del carbono 14 (C-14) es de 5 230 años. Determinar el parámetro λ de tasa de desintegración del C-14 b. La vida media del yodo 131 (I-131) es de 8 días. Calcular el parámetro de tasa de desintegración del I-131 40.

(47) c. ¿Cuáles son las unidades de los parámetros de tasa de desintegración en las partes (a) y (b)? d. Para estimar la vida media de un isótopo, se puede iniciar con 1000 átomos del isótopo y medir la cantidad de tiempo que le toma a 500 de ellos desintegrarse o se podría comenzar con 10 000 átomos del isótopo y medir la cantidad de tiempo que le toma desintegrarse a 5000 de ellos. ¿Se obtendría la misma respuesta? Explicarlo. 3. El fechado por carbono es un método para determinar el tiempo transcurrido desde la muerte del material orgánico. Las hipótesis implícitas en el fechado por carbono son que -. El carbono 14 (C-14) constituye una proporción constante del carbono que la materia viva ingiere según una base regular, y. -. Una vez que la materia muere, el C-14 presente se desintegra, pero ningún átomo nuevo es agregado a la materia Entonces, al medir la cantidad de C-14 que aún permanece en la materia orgánica y al compararla con la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva, se puede calcular el tiempo desde la muerte. Usando el parámetro de la tasa de desintegración calculado en el ejercicio anterior, determinar el tiempo desde la muerte si a. 88% del C-14 original aún está presente en el material b. 12% del C-14 original aún está presente en el material c. 2% del C-14 original aún está presente en el material d. 98 % del C-14 original aún está presente en el material Observación: Se ha especulado que la cantidad de C-14 disponible en los. seres vivos no ha sido exactamente constante durante largos periodos (miles de años). Esto hace que un fechado preciso sea mucho más difícil de determinar.. 41.