Soluciones__2ºCB___25/1/2019_
Departamento de Física y Química
OPCIÓN A
1.
a) Además de la periodicidad temporal, ¿qué otro tipo de periodicidad presentan las ondas armónicas? ¿Qué magnitud determina esa periodicidad, cómo se define y en qué unidades se mide? ¿Qué relación guarda esta magnitud con la magnitud que define la periodicidad temporal? (CE 3.4)Además de la periodicidad temporal, los movimientos ondulatorios armónicos presentan la denominada periodicidad espacial. Esto quiere decir que los valores de la perturbación o los estados de perturbación se repiten cada cierta distancia en cada instante de tiempo.
La magnitud que determina o mide esta periodicidad se denomina longitud de onda (λ). Se define como la distancia que en un instante determinado separa a dos puntos consecutivos del medio que se encuentran en el mismo estado de perturbación. Al tratarse de una distancia en el Sistema Internacional se mide en metros.
La magnitud que determina o mide la periodicidad temporal es el periodo (T) y se relaciona con la longitud de onda de un movimiento ondulatorio armónico a través de la velocidad de propagación o velocidad de fase del mismo (v). La relación matemática es la siguiente:
v =λ T
b) Una partícula de 20 g está unida a un resorte ideal (masa despreciable) y comienza a oscilar horizontalmente en el sentido positivo del eje OX desde su posición de equilibrio. Si efectúa 3,0 oscilaciones en un segundo y se le transmite una energía de 0,0089 J, escribe la ecuación del movimiento de la partícula y halla la constante elástica del muelle. (CE 3.1)
Estrategia de resolución. La ecuación del movimiento de una partícula que oscila unida a un resorte corresponde a un movimiento armónico simple, que se escribe en general como:
x(t) = A cos(ω t + φ) x(t) = A sen(ω t + φ) De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener A, y φ:
- La frecuencia angular, , se obtiene a partir de la frecuencia f (3,0 oscilaciones por segundo = 3,0 Hz): ω = 2πf = 2π · 3,0 Hz = 6,0π rad · s−1= 18,8 rad · s−1
- La amplitud la determinaremos a partir de la energía que se transmite al cuerpo, de su masa y de la frecuencia con la que oscila. Así:
Em=1 2 k · A
2=1
2 m · ω
2· A2 =1
2 m · (2π · f)
2· A2=1
2 m · 4 · π
2· f2· A2
De esta manera podemos hallar la amplitud, recordando que previamente debemos expresar las unidades en el SI, 20 g = 0,020 kg:
A = √ 2 Em
m · 4 · π2· f2= √
2 · 0,0089 J
0,020 kg · 4 · π2· (3,0 Hz)2= 0,050 m
- La constante de fase, φ, se obtiene a partir de las condiciones iniciales. Consideraremos que para t = 0, x = 0 y se mueve en el sentido positivo del eje OX (v > 0). Por tanto:
- para la función seno: x(t) = A sen(ωt + φ)
x(0) = 0 = A sen φ ⇒ sen φ = 0 ⇒ φ = { 0
π rad v(0) = A ω cos φ ⇒ φ = { 0 ⇒ v(0) = A ω cos 0 = A ω > 0
π rad ⇒ v(0) = A ω cos π = −A ω < 0 Luego debemos quedarnos con φ = 0 rad.
- para la función coseno: x(t) = A cos(ωt + φ)
x(0) = 0 = A cos φ ⇒ cos φ = 0 ⇒ φ = { π 2 rad 3π
2 rad ó − π 2 rad
v(0) = −A ω sen φ ⇒ φ = {
π
2 rad ⇒ v(0) = −A ω cos
π
2= −A ω < 0 3π
2 rad ó − π
2 rad ⇒ v(0) = −A ω cos ( 3π
2 rad ó − π
2 rad) = A ω > 0 Luego debemos quedarnos con φ =3π
2 rad = − π 2 rad. Así la ecuación del movimiento se puede expresar como:
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝟔𝛑 𝐭 −𝛑
𝟐) (𝐒𝐈) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝟔𝛑 𝐭 + 𝟑𝛑
𝟐 ) (𝐒𝐈) 𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐬𝐞𝐧(𝟔𝟎𝛑 𝐭) (𝐒𝐈)
También podríamos llegar a las mismas conclusiones a partir de las gráficas de la elongación en función del tiempo o del conocimiento de la circunferencia del movimiento circular uniforme que se relaciona con el movimiento armónico simple.
Soluciones__2ºCB___25/1/2019_
Departamento de Física y Química
k = m · ω2= 0,020 kg · (6π rad · s−1)2= 7,1 N · m−1
De este modo, la constante elástica del muelle es 𝟕, 𝟏 𝐍 · 𝐦−𝟏.
2.
a) The Flash es un superhéroe que posee súper velocidad, que incluye la habilidad de correr y moverse extremadamente rápido, gran fuerza, usar reflejos sobrehumanos, y aparentemente violar ciertas leyes de la física. ¿Física? ¿Eso qué es? Imagina que este personaje viene hacia ti a gran velocidad (V), gritando (sonido con una frecuencia f). ¿Cómo será la frecuencia que percibas, mayor o menor que la que emite nuestro héroe? ¿Qué sucederá cuando se aleje de ti? Explica brevemente en qué consiste el fenómeno que se está produciendo. Dato: c = velocidad del sonido en el aire. (CE 3.10) El fenómeno que se está produciendo se denomina efecto Doppler. Es un fenómeno que se produce como consecuencia del movimiento relativo de la fuente sonora y el observador por el que cambia la frecuencia que se percibe de un sonido. Esta propiedad de los movimientos ondulatorios explica el cambio, de más agudo a más grave, en el pitido de un tren o el sonido del claxon de un coche que se acerca, pasa a nuestro lado y luego se aleja. Y en este caso explica lo que sucede con The Flash: el grito emitido con una frecuencia f por el superhéroe lo percibirás con mayor frecuencia, f1 > f cuando se acerque a ti, mientras que lo percibirás conmenor frecuencia, f2 < f, cuando se aleje.
Matemáticamente podemos relacionar estas frecuencias, f1 y f2, con la frecuencia emitida (fórmula del efecto Doppler):
f′=vS− vO
vS− vE f
Donde f’ es la frecuencia percibida por el observador y f la frecuencia emitida por el emisor.
En nuestro caso, los módulos (tamaño del vector, valores positivos o sin signo) de las velocidades son c (velocidad del sonido), vO
(velocidad del observador) = 0 y V (velocidad del emisor, vE). De este modo:
f′= c
c − vE
f
La frecuencia que percibes es mayor, sonido más agudo, que la que se emite (f1 > f) si se acerca el emisor, The Flash, puesto que
vE= V > 0 ⇒ c − vE= c − V < c ⇒
c
c − V> 1 ⇒ f2= c
c − Vf ⇒ f2> f La frecuencia será menor, sonido más grave, (f2 < f) si el emisor, Flash, se aleja del observador, tu:
vE= −V < 0 ⇒ c − vE= c + V > c ⇒ c
c + V< 1 ⇒ f1= c
c + Vf ⇒ f1< f b) Una cuerda vibra según la ecuación: y(x, t) = 5,0 sen (π
3x) cos(40π t) (SI)
Calcula razonadamente: (i) La velocidad de vibración en un punto que dista 1,5 m del origen en el instante t = 1,25 s; (ii) la distancia entre dos nodos consecutivos y (iii) los nodos que contendrá una cuerda de 6 m de longitud con los extremos fijos que oscile con dicha vibración. (CE 3.7)
Estrategia de resolución. (i) La velocidad de vibración en un punto que dista 1,5 m del origen en el instante t = 1,25 s la obtendremos derivando la función de la onda para después sustituir los valores de x y t.
De este modo:
vp(x, t) =
dy(x, t)
dt =
d
dt[5,0 sen ( π
3x) cos(40π t)]
vp(x, t) = 5,0 · [sen (
π
3x)] · [−sen(40π t)] · 40π (SI) = −200 π sen ( π
3x) sen(40π t) (SI)
vp(x = 1,5 m; t = 1,25 s) = −200 π sen (
π
31,5 m) sen(40π 1,25) (SI) = 0
Es decir, la velocidad de vibración del punto x = 1,5 m en el instante t = 1,25 s es cero.
(ii) La distancia que separa dos nodos consecutivos es 𝜆2. De este modo, debemos hallar la longitud de onda y dividirla entre 2. Recordemos que la longitud de onda se relaciona con el número de onda k:
k =2 π
λ ⇒ λ =
2 π
k =
2 π π 3 m−1
= 6 m
Así la distancia solicitada es:
dN−N=
λ
2=
6 m
2 = 3 m
La distancia entre dos nodos consecutivos es de 3 m.
(iii) Para hallar los nodos que contendrá una cuerda de 6 m con los extremos fijos que oscile con la vibración indicada tendremos en cuenta su longitud, L = 6 m, la longitud de onda, λ = 6 m, y la situación de los extremos del tubo, que al estar fijos suponen dos nodos. En este caso:
L = n ·λ
2⇒ n =
2 · L
λ =
2 · 6 m
Soluciones__2ºCB___25/1/2019_
Departamento de Física y Química Por tanto, en la cuerda se pueden observar 3 nodos puesto que caben dos semilongitudes de onda en la cuerda y los extremos son nodos.
Esto quiere decir que oscila en el segundo modo normal de vibración y que posee tres nodos y dos vientres.
Esto quiere decir que el sistema, cuerda de 6 m de longitud con los extremos fijos, se encontrará en el segundo modo normal de vibración, es decir “ha seleccionado” una onda estacionaria que posee 3nodos(hay que tener en cuenta que los dos extremos lo son).
También podemos determinar todos estos detalles si representamos o dibujamos la onda estacionaria:
Podemos observar perfectamente los 3 nodos indicados (segundo modo normal de vibración).
3.
a) Explica qué diferencias hay entre las ondas longitudinales y las ondas transversales. Pon dos ejemplos de cada una de ellas y razona en qué tipos de medios se pueden propagar. (CE 3.2)Las ondas longitudinales se diferencian de las ondas transversales en la relación entre las direcciones de la perturbación y de propagación: para las primeras coinciden y en las segundas son perpendiculares. Además las ondas longitudinales se producen en cualquier medio y dependen de la compresibilidad del mismo, mientras que las ondas transversales sólo se producen en medios cuyas partículas están “fuertemente” ligadas (en sólidos o en la superficie de los líquidos debida a la tensión superficial).
Ejemplos de ondas longitudinales: el sonido, compresión de un muelle,...
Ejemplos de ondas transversales: elongación de una cuerda, ondas en la superficie del agua, ondas electromagnéticas,...
b) Una onda armónica de amplitud 0,50 m se propaga por una cuerda en el sentido negativo del eje OX con una velocidad de 4,0 m s-1 y un periodo de 0,25 s. Determina la función de la onda correspondiente sabiendo que el punto x = 0 m de
la cuerda se encuentra a la máxima altura para el instante inicial, justificando las respuestas. Calcula la velocidad de vibración del punto x = 6 m en el instante t = 10 s. (CE 3.3)
Estrategia de resolución. La expresión de la función de onda que se propaga por la cuerda sería: y(x, t) = A sen (ω t + k x + φ)
y(x, t) = A cos (ω t + k x + φ)
Hemos escrito + porque nos indican que el sentido de propagación del movimiento ondulatorio es el del eje OX negativo. La amplitud es A = 0,50 m.
La frecuencia angular es ω =2π
T; donde el periodo T es de 0,25 s. Así:
ω =2π
T =
2π
0,25 s= 8 π rad · s
−1
El número de onda k se puede hallar a partir de la velocidad de propagación v = 4,0 m·s-1. Teniendo en cuenta que v =ω
k:
k =ω
v =
8 π rad · s−1
4,0 m · s−1 = 2 π m−1
La fase inicial se obtiene considerando que el valor de la perturbación para x = 0 y t = 0 es máximo e igual a A = 0,50 m: y(0,0) = A cos φ = A → cos φ = 1 → φ = 0
y(0,0) = A sen φ = A → sen φ = 1 → φ =π
2 rad Por tanto, la función de la onda es:
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝟖 𝛑 𝐭 + 𝟐 𝛑 𝐱) (𝐒𝐈)
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟓𝟎 𝐬𝐞𝐧 (𝟖 𝛑 𝐭 + 𝟐 𝛑 𝐱 +𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
La velocidad de vibración del punto x = 6 m en el instante t = 10 s la hallaremos derivando la función de onda respecto del tiempo y sustituyendo en dicha derivada los valores indicados:
vP(x, t) =dy(x, t)
dt =
d
dt[0,50 cos (8 π t + 2 π x)] = 0,50 · [−sen (8 π t + 2 π x)] · 8 π (SI)
vP(x, t) = −4 π · sen (8 π t + 2 π x) (SI) -5,00
-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00
0 1 2 3 4 5 6
y (
m
)
Soluciones__2ºCB___25/1/2019_
Departamento de Física y Química
vP(x = 6 m; t = 10 s) = −4 π · sen (8 π · 10 s + 2 π · 6 m) = 0
De este modo, la velocidad de oscilación del punto solicitado, x = 6 m, en el instante t = 10 s es nula.
4.
a) ¿Cómo explica Christian Huygens la propagación de las ondas? ¿Cuáles son las leyes de la reflexión de los movimientos ondulatorios? (CE 3.6 y 3.8)El principio de Huygens dice que cada uno de los puntos de un frente de onda puede ser considerado como un nuevo foco emisor de ondas secundarias que avanzan en el sentido de avance de la perturbación (sentido de propagación), y cuya envolvente constituye el nuevo frente.
La reflexión de un movimiento ondulatorio aparece cuando el frente de onda llega a la interfase (límite de medios) y consiste en una inversión parcial de la dirección de propagación de una onda y regreso al medio inicial (onda reflejada). Como por ejemplo espejos, muelles, cuerdas,...
Las leyes de la reflexión son las siguientes:
- El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la interfase en el punto de incidencia se encuentran en el mismo plano. - El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión î = r̂.
b) Una onda electromagnética que se desplaza por un medio viene descrita por la siguiente ecuación: y(x, t) = 0,50 sen (3,0 · 1010 t − 175 x) (SI)
¿Qué características presenta esta onda? Calcula el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación. ¿Cuál es la aceleración del punto x = 150 m en el instante t = 0,010 s? (CE 3.3)
Estrategia de resolución. Las características de la onda las extraeremos de la función o ecuación de la misma. Podemos afirmar primero como dice el enunciado que se trata de una onda electromagnética.
De la expresión y(x,t) podemos deducir que se trata de una onda transversal, puesto que la dirección de la perturbación, y, es perpendicular a la dirección de la propagación, x.
La función trigonométrica “seno” y la presencia de las dos variables independientes en el interior de la fase (del seno) nos indican que se trata de una onda armónica y viajera.
El signo “–“ (la diferencia de términos, 3,0 · 1010 t − 175 x) y la presencia de la variable “x” que se observan en la fase de la onda nos informan de que se propaga en el sentido positivo del eje OX.
Las magnitudes solicitadas (el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación) las obtendremos de las magnitudes que se encuentran en la fase del movimiento ondulatorio: frecuencia angular, ω = 3,0 · 1010 rad · s−1, y número de onda, k = 175 m−1. De este modo:
𝐓 =𝟐𝛑
𝛚 =
𝟐𝛑
𝟑, 𝟎 · 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏= 𝟐, 𝟏 · 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝐬
𝛌 =𝟐𝛑
𝐤 =
𝟐𝛑
𝟏𝟕𝟓 𝐦−𝟏= 𝟎, 𝟎𝟑𝟔 𝐦
𝐯 =𝛚
𝐤 =
𝟑, 𝟎 · 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏
𝟏𝟕𝟓 𝐦−𝟏 = 𝟏, 𝟕 · 𝟏𝟎𝟖 𝐦 · 𝐬−𝟏
Para hallar la aceleración del punto x = 150 m en el instante t = 0,010 s tendremos que derivar dos veces la función o ecuación de la onda y sustituir después los valores dados.
Así:
vP(x, t) =
dy(x, t)
dt =
d
dt[0,50 sen (3,0 · 10
10 t − 175 x)] = 0,50 · [cos (3,0 · 1010 t − 175 x)] · 3,0 · 1010 (SI)
vP(x, t) = 1,5 · 1010 cos (3,0 · 1010 t − 175 x) (SI)
aP(x, t) =
dvP(x, t)
dt =
d
dt[1,5 · 10
10 cos (3,0 · 1010 t − 175 x)] = 1,5 · 1010· [−sen (3,0 · 1010 t − 175 x)] · 3,0 · 1010 (SI)
aP(x, t) = −4,5 · 1020 sen (3,0 · 1010 t − 175 x) (SI) Solamente nos resta sustituir:
𝐚𝐏(𝐱 = 𝟏𝟓𝟎 𝐦; 𝐭 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟎 𝐬) = −𝟒, 𝟓 · 𝟏𝟎𝟐𝟎 𝐬𝐞𝐧 (𝟑, 𝟎 · 𝟏𝟎𝟏𝟎· 𝟎, 𝟎𝟏𝟎 𝐬 − 𝟏𝟕𝟓 · 𝟏𝟓𝟎 𝐦) = −𝟐, 𝟗 · 𝟏𝟎𝟐𝟎 (𝐒𝐈)
OPCIÓN B
1.
a) ¿Qué es un movimiento ondulatorio? ¿Qué significa que dos puntos de la dirección de propagación de una onda armónica estén en fase o en oposición de fase? ¿Qué distancia les separaría en cada caso? (CE 3.2)Soluciones__2ºCB___25/1/2019_
Departamento de Física y Química
Dos puntos de la dirección de propagación de una onda armónica están en fase cuando se encuentran en el mismo estado de perturbación. En este caso la diferencia de fase que los separaría sería un múltiplo de 2π radianes (n · 2π rad; n ∈ ℕ; n = 1, 2, 3, … ). Desde el punto de vista de la distancia para dos puntos en fase sería un múltiplo de la longitud de onda (dos puntos consecutivos en fase estarían separados una distancia igual a la longitud de onda, dfase= n · λ; n ∈ ℕ; n = 1, 2, 3, … ).
Dos puntos de la dirección de propagación de una onda armónica están en oposición de fase cuando se encuentran en el estado de perturbación opuesto. En este caso la diferencia de fase que los separaría sería un múltiplo impar de π radianes ((2n − 1) · π rad; n ∈ ℕ; n = 1, 2, 3, … ). La distancia que separaría dos puntos en oposición de fase sería un múltiplo impar de la mitad de la longitud de onda (dos puntos consecutivos en oposición de fase estarían separados una distancia igual a la mitad de la longitud de onda, dopofase= (2n − 1) ·λ
2; n ∈ ℕ; n = 1, 2, 3, …).
b) La función de onda para un movimiento ondulatorio sinusoidal en una cuerda tensa es: y(x, t) = 0,80 sen (12π t − 3π x) (SI)
Indica sus características, su dirección y sentido de propagación, velocidad de propagación y longitud de onda. ¿Cuál es la velocidad del punto x = 5 m en el instante t = 10 s? (CE 3.3)
Estrategia de resolución. Las características de la onda las extraeremos de la función o ecuación de la misma. Podemos afirmar primero como dice el enunciado que se trata de una onda mecánica, puesto que se propaga por una cuerda tensa.
De la expresión y(x,t) podemos deducir que se trata de una onda transversal, puesto que la dirección de la perturbación, y, es perpendicular a la dirección de la propagación, x.
La función trigonométrica “seno” y la presencia de las dos variables independientes en el interior de la fase (del seno) nos indican que se trata de una onda armónica y viajera.
El signo “–“ (la diferencia de términos, 12π t − 3π x) y la presencia de la variable “x” que se observan en la fase de la onda nos informan de que se propaga en el sentido positivo del eje OX.
Las magnitudes solicitadas (la longitud de onda y la velocidad de propagación) las obtendremos de las magnitudes que se encuentran en la fase del movimiento ondulatorio: frecuencia angular, ω = 12π rad · s−1, y número de onda, k = 3π m−1.
De este modo:
𝛌 =𝟐𝛑
𝐤 =
𝟐𝛑
𝟑𝛑 𝐦−𝟏= 𝟎, 𝟔𝟕 𝐦
𝐯 =𝛚
𝐤 =
𝟏𝟐𝛑 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏
𝟑𝛑 𝐦−𝟏 = 𝟒 𝐦 · 𝐬−𝟏
Para hallar la velocidad del punto x = 5 m en el instante t = 10 s tendremos que derivar la función o ecuación de la onda y sustituir después los valores dados.
Así:
vP(x, t) =dy(x, t)
dt =
d
dt[0,80 sen (12π t − 3π x)] = 0,80 · [cos (12π t − 3π x)] · 12π (SI)
vP(x, t) = 9,6π cos (12π t − 3π x) (SI) Solamente nos resta sustituir:
𝐯𝐏(𝐱 = 𝟓 𝐦; 𝐭 = 𝟏𝟎 𝐬) = 𝟗, 𝟔𝛑 𝐜𝐨𝐬 (𝟏𝟐𝛑 · 𝟏𝟎𝐬 − 𝟑𝛑 · 𝟓 𝐦) = −𝟑𝟎 𝐦 · 𝐬−𝟏
2.
a) Explica en qué consiste el principio de Huygens y cuáles son las leyes de la refracción de las ondas. (CE 3.6 y 3.8) El principio de Huygens dice que cada uno de los puntos de un frente de onda puede ser considerado como un nuevo foco emisor de ondas secundarias que avanzan en el sentido de avance de la perturbación (sentido de propagación), y cuya envolvente constituye el nuevo frente.La refracción de un movimiento ondulatorio aparece cuando el frente de onda llega a la interfase (límite de medios) y consiste en un cambio de la dirección de propagación de una onda y transmisión en el segundo medio (onda refractada).
Las leyes de la refracción son las siguientes:
- El rayo incidente, el rayo refractado y la normal a la interfase en el punto de incidencia se encuentran en el mismo plano. - El ángulo de incidencia y el ángulo de refracción o transmisión se relacionan a través de la ley de Snell:
sen î sen r̂=
v v′
Donde î es el ángulo de incidencia (rayo incidente y la normal a la interfase en el punto de incidencia), r̂ es el ángulo de refracción (rayo refractado o transmitido y la normal a la interfase en el punto de incidencia), v es la velocidad de propagación de la onda en el medio de incidencia y v’ es la velocidad de propagación de la onda en el medio de refracción o tranmisión.
b) Escribe la ecuación de una onda armónica que se propaga en sentido positivo del eje X con velocidad de 600 m s-1,
frecuencia 200 Hz y amplitud 0,03 m, sabiendo que en el instante inicial la elongación del punto x = 0 m es y = 0 m. Calcula la velocidad de vibración de dicho punto en el instante t = 0 s. (CE 3.3)
Estrategia de resolución. La expresión de la función de onda sería:
Soluciones__2ºCB___25/1/2019_
Departamento de Física y Química
Hemos escrito – porque nos indican que el sentido de propagación del movimiento ondulatorio es el del eje OX positivo. La amplitud es A = 0,035 m.
La frecuencia angular es ω = 2π · f; donde la frecuencia f es de 200 Hz. Así:
ω = 2π · f = 2π · 200 Hz = 400 π rad · s−1
El número de onda k se puede hallar a partir de la velocidad de propagación v = 4,0 m·s-1. Teniendo en cuenta que v =ω
k:
k =ω
v =
400 π rad · s−1
600 m · s−1 =
2 π
3 m
−1
La fase inicial se obtiene considerando que el valor de la perturbación para x = 0 y t = 0 es cero, y = 0:
y(0,0) = A cos φ = 0 → cos φ = 0 → φ = { 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 3𝜋
2 𝑟𝑎𝑑
y(0,0) = A sen φ = 0 → sen φ = 0 → φ = {0 𝑟𝑎𝑑
𝜋 𝑟𝑎𝑑
Puesto que no tenemos más información para hallar la fase inicial, podemos escribir la función de onda como:
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 𝐜𝐨𝐬 (𝟒𝟎𝟎 𝛑 𝐭 −𝟐 𝛑
𝟑 𝐱 +
𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 𝐜𝐨𝐬 (𝟒𝟎𝟎 𝛑 𝐭 −𝟐 𝛑
𝟑 𝐱 +
𝟑𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 𝐬𝐞𝐧 (𝟒𝟎𝟎 𝛑 𝐭 −𝟐 𝛑
𝟑 𝐱) (𝐒𝐈)
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 𝐬𝐞𝐧 (𝟒𝟎𝟎 𝛑 𝐭 −𝟐 𝛑
𝟑 𝐱 + 𝛑) (𝐒𝐈)
La velocidad de vibración del punto x = 0 m en el instante t = 0 s la hallaremos derivando la función de onda respecto del tiempo y sustituyendo en dicha derivada los valores indicados (haremos uso de la primera ecuación, pero podríamos utilizar cualquiera de ellas):
vP(x, t) =dy(x, t)
dt =
d
dt[0,035 cos (400 π t − 2 π
3 x + π
2)] = 0,035 · [−sen (400 π t − 2 π
3 x + π
2)] · 400 π (SI)
vP(x, t) = −14 π · sen (400 π t −2 π 3 x +
π 2) (SI)
vP(x = 0 m; t = 0 s) = −14 π · sen (400 π · 0 −2 π 3 · 0 +
π
2) = −14 π m · s
−1
De este modo, la velocidad de oscilación del punto solicitado, x = 0 m, en el instante t = 0 s es −𝟏𝟒 𝛑 𝐦 · 𝐬−𝟏.
3.
a) Explica, ayudándote de esquemas en cada caso, la doble periodicidad espacial y temporal de las ondas, definiendo las magnitudes que las describen e indicando, si existe, la relación entreellas. (CE 3.4)
Los movimientos ondulatorios armónicos presentan doble periodicidad. Además de la periodicidad temporal, presentan la denominada periodicidad espacial. Esto quiere decir que los valores de la perturbación o los estados de perturbación que propaga la onda se repiten cada cierta distancia en cada instante de tiempo. Tenemos que recordar que la periodicidad temporal nos informa del tiempo que
transcurre entre dos estados iguales de perturbación de cada punto del medio por el que pasa la onda. La magnitud que determina o mide la periodicidad espacial se denomina longitud de onda
(λ). Se define como la distancia que en un instante determinado separa a dos puntos consecutivos del medio que se encuentran en el mismo estado de perturbación.
Soluciones__2ºCB___25/1/2019_
Departamento de Física y Química
La dos magnitudes que determinan la doble periodicidad de los movimientos ondulatorios armónicos se relacionan a través de la velocidad de propagación o velocidad de fase de los mismos (v). La relación matemática es la siguiente:
v =λ T
b) Un masa de 0,50 kg conectada a un resorte ligero de constante 200 N·m-1 oscila en una plano horizontal sin fricción.
Escribe la ecuación del movimiento de la partícula si lo inicia en su posición máxima (25 cm) negativa y calcula la energía potencial de la masa en los puntos en los que su velocidad es de 2,0 m·s-1. (CE 3.1)
Estrategia de resolución. La ecuación del movimiento de una partícula que oscila unida a un resorte corresponde a un movimiento armónico simple, que se escribe en general como:
x(t) = A cos(ω t + φ) x(t) = A sen(ω t + φ) De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener A, y φ:
- La frecuencia angular, , se obtiene a partir de la constante elástica y la masa que oscila, ω = √k
m:
ω = √k
m= √
200 N · m−1
0,50 kg = 20 rad · s
−1
- La amplitud o posición o elongación máxima es 25 cm, A = 0,25 m.
- La constante de fase, φ, se obtiene a partir de las condiciones iniciales. Si inicia el movimiento en su posición máxima negativa, debemos considerar que para t = 0, x = – A = – 0,25 m. Por tanto:
- para la función seno: x(t) = A sen(ωt + φ)
x(0) = −A = A sen φ ⇒ sen φ = −1 ⇒ φ =3π
2 rad - para la función coseno: x(t) = A cos(ωt + φ)
x(0) = −A = A cos φ ⇒ cos φ = −1 ⇒ φ = π rad Así la ecuación del movimiento se puede expresar como:
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟐𝟓 𝐬𝐞𝐧 (𝟐𝟎 𝐭 +𝟑𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟐𝟓 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝟎 𝐭 + 𝛑) (𝐒𝐈)
También podríamos llegar a las mismas conclusiones a partir de las gráficas de la elongación en función del tiempo o del conocimiento de la circunferencia del movimiento circular uniforme que se relaciona con el movimiento armónico simple.
Podemos representar gráficamente la ecuación del movimiento:
Para calcular la energía potencial de la masa en los puntos en los que su velocidad es de 2,0 m·s-1podemos relacionarla con la energía
total, Em=1
2 k · A
2, y la energía cinética, E c=
1 2 m · 𝑣
2, de tal modo que como sabemos la energía total del sistema es la suma de
las energías cinética y potencial:
Em= Ep+ Ec⇒ Ep= Em− Ec Así:
A
-A
T/2 T
x
t
-0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
0,00 0,06 0,12 0,18 0,25 0,31 0,37 0,43 0,50 0,56 0,62 0,69 0,75 0,81 0,87 0,94 1,00
x
(
m
)
Soluciones__2ºCB___25/1/2019_
Departamento de Física y Química
Ep= Em− Ec=
1 2 k · A
2−1
2 m · v
2
Ep=
1
2 200 N · m
−1· (0,25 m)2−1
2 0,50 kg · (2,0 m · s
−2)2= 5,25 J
Por tanto, la energía potencial solicitada es 5,25 J.
4.
a) ¿Qué es el efecto Doppler? ¿Por qué el sonido de la sirena de una ambulancia que se acerca a nosotros suena de forma diferente cuando se aleja? Si la sirena emite sonidos de frecuencia f, ¿qué relación guardan la frecuencia que percibimos al acercarse frente a la que percibimos al alejarse? (CE 3.10)El efecto Doppler es un fenómeno que se produce como consecuencia del movimiento relativo de la fuente sonora y el observador por el que cambia la frecuencia que se percibe de un sonido. Esta propiedad de los movimientos ondulatorios explica el cambio, de más agudo a más grave, en el pitido de un tren o el sonido del claxon de un coche que se acerca, pasa a nuestro lado y luego se aleja. En el caso de una ambulancia que se acerca a nosotros notaremos que la frecuencia que percibimos, f2, es mayor (sonido más agudo)
que el de la que emite la fuente, f (f2 > f), mientras que es inferior (más grave) la que percibimos cuando la ambulancia se aleja de
nosotros, f2 (f2 < f).
Matemáticamente podemos relacionar estas frecuencias, f1 y f2, con la frecuencia emitida (fórmula del efecto Doppler):
f′=vS− vO
vS− vE f
Donde f’ es la frecuencia percibida por el observador y f la frecuencia emitida por el emisor.
En nuestro caso, los módulos (tamaño del vector, valores positivos o sin signo) de las velocidades son c (velocidad del sonido), vO
(velocidad del observador) = 0 y V (velocidad del emisor, vE). De este modo:
f′= c
c − vE
f
La frecuencia que percibimos es mayor, sonido más agudo, que la que se emite (f1 > f) si se acerca el emisor, la ambulancia, puesto
que
vE= V > 0 ⇒ c − vE= c − V < c ⇒ c
c − V> 1 ⇒ f2= c
c − Vf ⇒ f2> f
La frecuencia será menor, sonido más grave, (f2 < f) si el emisor, ambulancia, se aleja del observador, nosotros:
vE= −V < 0 ⇒ c − vE= c + V > c ⇒ c
c + V< 1 ⇒ f1= c
c + Vf ⇒ f1< f
La relación que guardan la frecuencia que percibimos, f2, al acercarse frente a la que percibimos al alejarse, f1, sería:
f2=
c c − Vf
f1= c
c + Vf } ⇒f2
f1
= c c − V f
c c + V f
=c + V
c − V⇒
f2 f1
=c + V
c − V
b) Disfrutando de la película “Bohemian Rhapsody” pude ver cómo Freddie Mercury y Queen interpretaban la canción que da nombre al filme. Mientras Brian May tocaba una de las cuerdas de su guitarra me pareció que el tiempo se ralentizaba y observé cómo la onda en la cuerda se desplazaba a cámara lenta, se reflejaba en el otro extremo y volvía en sentido contrario interfiriendo con la primera. Incluso pude medir la amplitud de la perturbación (5,5 · 10-3 m), la
frecuencia de oscilación de uno de sus puntos (440 Hz) y su velocidad de propagación antes de reflejarse (110 m·s-1).
En ese momento me pregunté qué tipo de onda se ha producido en la cuerda de 0,50 m de longitud y extremos fijos. También a cámara lenta calculé (i) el número de vientres que presentaba y el modo normal en el que vibraba la cuerda, y (ii) la amplitud y la velocidad máxima de un punto de la misma que está a 0,35 m de uno de los extremos. (CE 3.7) Estrategia de resolución. La onda que se produce en la cuerda es una onda estacionaria, debida a la interferencia de dos movimientos ondulatorios idénticos (onda viajera y su onda reflejada en el extremo de la cuerda) que se propagan en sentidos contrarios. (i) Para determinar el número de vientres que presentaba y el modo normal en el que vibraba la cuerda, teniendo en cuenta que tiene los extremos fijos (nodos) en la que se genere una onda estacionaria se cumplirá que su longitud equivaldrá a:
L = n ·λ
2 donde n = 1, 2, 3, … Teniendo en cuenta que la longitud de onda con la que vibra la cuerda es
λ =v
f =
110 m · s−1
440 Hz = 0,25 m
Hallaremos n,
n = 2L
λ= 2
0,5 m
0,25 m= 4
Soluciones__2ºCB___25/1/2019_
Departamento de Física y Química
Esto quiere decir que el sistema, cuerda de 0,50 m de longitud con los extremos fijos, se encontrará en el cuarto modo normal de vibración, es decir “ha seleccionado” una onda estacionaria que posee 5nodos(hay que tener en cuenta que los dos extremos lo son) y cuatro vientres.
También podemos determinar todos estos detalles si representamos o dibujamos la onda estacionaria:
Podemos observar perfectamente los 4 vientres indicados.
(ii) La amplitud y la velocidad máxima de un punto de la cuerda que está a 0,35 m de uno de los extremos los determinaremos escribiendo la amplitud de vibración de los puntos de la cuerda en función de su posición respecto a uno de sus extremos:
A(x) = 2 A sen (k · x) Sabiendo que:
A = 0,0055 m
λ =2π
k ⇒ k =
2π
λ =
2π
0,25 m= 8 π m
−1
Así:
A(x) = 2 · 0,0055 sen (8 π · x) (SI) En el punto x = 0,35 m:
A(x = 0,35 m) = 2 · 0,0055 sen (8 π · 0,35 m) = 2 · 0,0055 sen (8 π · 0,35 m) = 0,0065 m
La velocidad máxima de vibración del movimiento de los puntos de la cuerda (movimiento armónico simple) es vPmáx= A · ω:
vPmáx(x) = A(x) · ω = A(x) · 2π · f
vPmáx(x = 0,35 m) = A(x = 0,35 m) · 2π · f = 0,0065 m · 2π · 440 Hz = 18 m · s −1
Por tanto, la amplitud del punto de la cuerda a 0,35 m de uno de sus extremos es de 0,0065 m y su velocidad máxima de vibración es de 18 m·s-1.
-0,0110 -0,0088 -0,0066 -0,0044 -0,0022 0,0000 0,0022 0,0044 0,0066 0,0088 0,0110
0 0,125 0,25 0,375 0,5
y (m)