PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO - 2002 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Texto completo

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES

JUNIO - 2002

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

El alumno deberá contestar de manera clara y razonada a una de las dos opciones propuestas que a continuación se proponen.

Cada una de las cuatro cuestiones del repertorio elegido puntuará 2'5 puntos como máximo.

OPCIÓN A

1º) Se considera la función f

( )

x =−xLx. Se pide:

a ) Calcular ( ) ( )

0 x f x

lím y x f x

lím

∞ →

→ .

b ) Demostrar que f(x) presenta un máximo relativo para

e x= 1. c ) Hacer una gráfica de esta función.

--- a )

(

)

( )

0 0 1

1

0 '

.

0 1 1

0 min

det ·

0 0

) ( 0

2

= → = −

− →

⇒ ⇒

∞ ∞ =

= ∞ = − →

⇒ ⇒

∞ − − = −

→ = →

x x

lím

x x x

lím Hopital

L Ind

x x L x

lím ado

er In x

L x x

lím x

f x

lím

(

)

=−∞

( )

−∞ =∞ =∞ ∞

→ = ∞

2

· )

( xLx

x lím x

f x

lím

b )

( )

( )

e x Lx

Lx x

f x

L x x x L x

(2)

( )

( )

0 1, . . . 1

1 '

' 1

'

' 1

d q c e x para relativo Máximo

e

e f

x x

f =− ⇒ e =− =− < ⇒ =

c )

Para hacer una gráfica de f(x), además de los datos facilitados por los apartados anteriores conviene tener en cuenta lo siguiente.

La función está definida solamente para valores de x mayores que cero. (Los nú-meros negativos no tienen logaritmo y el logaritmo de cero es menos infinito, que no es real).

Se anula para x = 1, por lo tanto pasa por el punto A(1, 0). El máximo relativo es el siguiente punto:

( )

(

)

(

)

  

  ⇒

= − −

= − −

= −

=

e e P e

e e

L L e e L e

f e

1 , 1 1

1 0 · 1 1

· 1 1 · 1 ' 1

( )

f

( )

x x R

x x

f'' =−1 ⇒ '' ≠0, ∀ ∈ y también f''

( )

x <0, ∀xR, lo cual significa que la función no tiene puntos de inflexión; que es creciente en el intervalo 

    

e

1 ,

0 y

decreciente en    

 

∞ +

, 1

e y que es cóncava

( )

∩ en su dominio.

De los límites de los apartados anteriores se deduce que no tiene asíntotas.

Con los razonamientos y datos anteriores podemos esbozar con bastante exactitud la gráfica de la función, que es la que sigue.

**********

X Y

O

f(x)

-2

A P

-1

1 2

(3)

2º) Se considera el conjunto M de las matrices 3x3 tales que en cada fila y en cada co-lumna tienen dos ceros y un 1. Se pide:

a ) Escribir todas las matrices del conjunto M. b ) Ver que todas estas matrices tienen inversa.

--- a )

Por seguir un orden he partido de la matriz I y he mantenido el primer uno en el elemento a11 y he completado los dos casos posibles; después he repetido en proceso con los elementos a12 y a13.

  

 

  

 

=

  

 

  

 

=

  

 

  

 

=

  

 

  

 

=

  

 

  

 

=

  

 

  

 

=

0 0 1

0 1 0

1 0 0 ;

;

0 1 0

0 0 1

1 0 0 ;

;

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1

0 1 0

; ; 0 1 0

1 0 0

0 0 1

; ; 1 0 0

0 1 0

0 0 1

6 5

4

3 2

1

M M

M

M M

M

b )

1 ;

; 1 ;

; 1 ;

; 1 ;

; 1 ;

;

1 2 3 4 5 6

1 = M =− M = − M = M = M =−

M

En efecto, todas las matrices tienen su determinante distinto de cero, por lo tanto, todas son inversibles, como teníamos que ver.

(4)

3º) Enunciar el Teorema de Bolzano. ¿Puede aplicarse este teorema a la función trigo-nométrica f

( )

x =sen

( )

2x +cos

( )

3x si el intervalo es

[

0, π

]

? Encontrar, si existe, un pun-to de

[

0, π

]

en el cual se anule esta función.

---

El teorema de Bolzano se puede enunciar de la siguiente forma:

“Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y en los extremos de éste toma valores de distinto signo, entonces existe al menos un valor c

(

a, b

)

tal que

( )

c =0

f ”.

La función f(x) es continua en su dominio, que es R, por tanto lo será en cualquier intervalo finito que se considere.

Se trata de encontrar dos valores reales a, b

(

0, π

)

, tales que: f(a) < 0 y f(b) > 0: Por ejemplo:

( )

( )

0

2 2 2 2 2 1 º 135 cos º 90 4 3 cos 2 4 0 2 2 3 1 2 3 º 180 cos º 120 cos 3 2 3 4 3 > − = − = + = + = ⇒ = < − = − = + = + = ⇒ = sen sen f x sen sen f x π π π π π π π π

Según el teorema de Bolzano, se puede afirmar que la función f(x) tiene al menos un punto de corte con el eje OX en el intervalo

(

0, π

)

.

Vamos a determinar, al menos un punto:

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

[

]

2 ; ; 0 cos 0 2 2 cos 2 · cos ; ; 0 · cos · 2 cos · 2 cos cos · 2 ; ; 0 · 2 cos · 2 cos cos · 2 ; ; 0 2 cos 2 ; ; 0 3 cos 2

2 = = =π

− + = − + = − + = + + = + = x x x sen x x sen x x sen x x sen x x x x sen x sen x sen x x x x sen x x x sen x x sen x f

Otras soluciones se obtienen de la ecuación: 2sen x+cos

( )

2x −2sen2x=0

(5)

4º) Decir para que valor de k el sistema

   

= + = + = +

0 0

1

t ky

z kx

kt kz

es compatible. Resolverlo en el

ca-so de k = 1.

--- Las matrices de coeficientes y ampliada son:

  

 

  

 

=

  

 

  

 

=

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0

0 ' ; ; 1 0 0

0 1 0 0 0

k k

k k M

k k

k k M

Como se trata de un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas, el sistema será compatible cuando ambas matrices tengan por rango tres o dos, que es el mínimo que pueden tener, ya que existe el menor 1 0

1 0

0 1

≠ = .

Veamos el rango de M en función de k:

{

}

{

}

{

}

   

   

=

=

=

      

       

 

      

       

 

= =

− =

= =

=

= =

=

3 0

2 0

0 ;

; 0 1

0 0 1 0 0

, ,

0 ;

; 0 1

0

0 0 0 0 ,

,

0 ; ; 0 0

0

1 0 0 0 ,

,

2 4

3 2

3 4

2 1

3 3

2 1

M Rango k

M Rango k

k k

k

k k

C C C

k k

k k

k C

C C

k k

k k

k C

C C

M Rango

Veamos el rango de M’ para k = 0, donde las dos primeras columnas tienen todos sus elementos cero, por lo tanto:

{

}

1 0 3

0 1 0

0 0 1

1 0 0 ,

,

' ⇒ C3 C4 C5 ⇒ = ≠ ⇒ Rango M =

M Rango

le Incompatib M

Rango M

Rango k

Para =0 ⇒ ≠ ' ⇒

(6)

El sistema resultante es

   

= + = + = +

0 0 1

t y

z x

t z

.

Considerando una de las incógnitas como parámetro, por ejemplo t, resulta:

( )

   

− ==−

+ − =

⇒ 

  

=− =− − =− + = −

=

t z

t y

t x

Solución t

y

t t

z x

t z

1 1 :

1 1

1

(7)

OPCIÓN B

1º) Encontrar todas las matrices reales 2x2 tales que la suma de los elementos de cada fila sea igual a 1 y la suma de los elementos de la primera columna sea igual a cero.

---

R a a a

a a

M  ∀ ∈

  

 

+ −

= ,

1 1

(8)

2º) Hacer un dibujo de la región limitada por la función y = x3

(

x+2

)

y la recta y = 0. Calcular el área de esta región.

---

Se trata de una función polinómica, por lo cual es continua en su dominio, que es R. Para su dibujo vamos a determinar los máximos y mínimos, puntos de inflexión y cortes con los ejes.

Los puntos de corte de la curva con el eje de abscisas son para x = 0 y x = -2.

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

( )

.

2 3 0

4 2 1 · 8 1 2 3 · 3 3 · 12 '

'

0 , 0 .

. 0 12 0 ' ' ' ; ; 12 24 ' ' ' . inf

0 0 ' '

' ' 1 12

12 12

' '

2 3 ;

; 0 ;

; 0 3 2 2 0 '

' 3 2 2 6 4 ' ; ; 2 2

2 3

2

2 1

2

2 2

3 3

4 3

− =

> =

     

− − =

   

 

+ −

     

− =

⇒ ⇒

≠ = +

= →

=

= + =

+ =

− = =

= +

=

= + =

+ = +

= + =

x para relativo Máximo

y

O I P y

x y

lexión de

punto Para

y

y x

x x x

y

x x

x x y

y x

x x x y x x x

x y

   

 

− −

⇒ ⇒

− = −

=

   

 

+ −

     

− =

4 27 , 2 3 .

4 27 2

1 · 4 27 2

2 3 2

3 3

A Máx

y

La representación gráfica de la situación es, aproximadamente, la siguiente:

Para −2< x<0 resulta que y < 0, por lo tanto el valor del área resultará negativa; para evitarlo, cambiamos los límites de integración.

Y

X

S

A

P

2 O

(

2

)

3 +

= x x y

(9)

(

)

(

)

( ) ( )

S u

x x x

x dx x x dx

x x S

= =

− = − = + − = −

   

+ − =

=

   

 

+ =

   

 

+ =

+ =

+ =

− −

− −

2 4

5

2

0 4 5 2

0 4 5

2

0

3 4 2

0 3

5 8 5

32 40 5 32 8 2 16 5 32 0

2 2 5

2

2 5 4

2 5 ·

2 ·

2

(10)

3º) Encontrar la ecuación de la recta tangente la función

( )

x x L x

f = en el punto de in-flexión. Hacer una gráfica de la función en un entorno de este punto, donde aparezca también dibujada la recta tangente encontrada anteriormente.

---

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

f

( )

x

x x L x x L x x L x x x L x x x f x f x x L x x L x x L x x x L x x x f x f x x L x x L x x x f ' ' ' 6 11 9 6 2 3 2 3 2 3 · 3 2 · 2 ' ' ' ' ' 3 2 2 2 1 1 2 1 2 · 1 · 1 ' ' ' 1 1 · · 1 ' 4 4 4 6 2 3 3 3 3 4 2 2 2 = − = + − = − − = − − = = − = + − − = − − − = − − − = = − = − =

( )

( )

( )

1 . , 1

(

2'72, 0'34

)

0 1 3 2 3 2 ' ' ; ; 1 ; ; 0 1 ; ; 0 1 0 ' 3 3 3 2 A e e A Máx e e e L e f e x para relativo Máximo e e e e L e f e x x L x L x x L x f ≈       ⇒ ⇒ = = = ⇒ < − = − = − = = = = − = − ⇒ =

( )

( )

( ) ( )

(

4'48, 0'33

)

2 3 , . . 2 3 2 3 2 3 inf 0 2 9 11 2 3 · 6 11 ' ' ' ; ; 2 3 ; ; 0 3 2 ; ; 0 3 2 0 ' ' 2 2 3 3 3 2 3 3 B e e e e B I P e e e e e e e e e e L e e f e e x para lexión de Punto e e e e e f x e e e x x L x L x x L x f ≈       ⇒ ⇒ = = = = = ⇒ ≠ = − = − = = = = = = − = − ⇒ =

La ecuación de la recta tangente tiene como pendiente el valor de la derivada en ese punto:

( )

( )

( )

m

e e e e e e e L e e f

m = − =

− = − = − =

= 2 3 3 3

2 1 2 1 2 3 1 1 '

(11)

apli-cada a este caso sería:

(

)

;; 2 3 ;; 2 4 0

2 1 2

3 3 3

3

2 − − = − + ≡ + − =

− =

x e e e y e e x e e t x e y e e

e e

e y

Para facilitar la expresión de la tangente, la expresamos en forma explícita y de-terminamos dos puntos de la misma:

(

)

      ⇒

= − ≅ − =

=

≅ =

= +

− = +

− =

8 , 4 1 8

10 18 2 4

4 1

74 ' 0 , 0 74

' 0 2

0 ;

; 2 2

1 2

4 2

1

3

2 2

3 3

3

C e

e e x y

B e

e y

x e

e x

e e

e e x e y

Teniendo en cuenta que el dominio de definición de la función es

(

0, +∞

)

y que tiene por asíntotas los ejes de coordenadas, la representación gráfica de la situación es, aproximadamente, la siguiente:

**********

2 3 4 5

1

-1

Detalle M

A P

Y

X P

f(x) 1

t B

M

O

(12)

4º) Encontrar la ecuación general del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 3). Encontrar los puntos de la recta x = y = z que están a distancia

7 1

=

d de este plano.

---

(

) (

) (

)

(

0, 0, 3

) (

1, 0, 0

) (

1, 0, 3

)

0 , 2 , 1 0

, 0 , 1 0 , 2 , 0

− = −

= − = =

− = −

= − = =

A C AC v

A B AB u

E plano π viene determinado por los vectores u y v y cualquiera de los tres puntos, por ejemplo, el A(1, 0, 0):

(

)

0 ;; 6

(

1

)

2 3 0 ;; 6 6 2 3 0

3 0 1

0 2 1

1 ,

; = − + + = − + + =

− − −

x z y x z y

z y x

v u A

π

0 6 2 3

6 + + − =

x y z

π

Los puntos de la recta r tienen por expresión general P(x, x, x).

La distancia de un punto a una recta es

(

)

2 2 2

0 0 0

,

C B A

D Cz By Ax P

d

+ +

+ + + =

π .

Aplican-do esta fórmula al plano π y al punto P, resulta:

(

)

   

  ⇒

= →

   

  ⇒

= →

   

= =

   

− = −

= −

= −

− =

− =

+ +

− =

+ +

− + + = =

11 5 , 11

5 , 11

5 11

5

11 7 , 11

7 , 11

7 11

7

5 11

7 11

1 6 11

1 6 11

1 6 11 7

6 11

49 6 11

4 9 36

6 11

2 3 6

6 2 3 6

7 1 ,

2 1 2 2 2

B x

A x

x x

x x

x x

x x

x x x P

d π

Figure

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Referencias

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