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(1)

TEMA 2 – MATRICES

OPERACIONES CON MATRICES

EJERCICIO 1 : Dada la matriz

1 4 4

1 1 2

2 4 5

A , comprueba que A2 = 2A – I, siendo I la matriz identidad. Usando la

fórmula anterior, calcula A4.

Solución: Comprobamos que A2 = 2A - I: Son iguales.

3 8 8

2 3 4

4 8 9

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 8 8

2 2 4

4 8 10

I A 2

3 8 8

2 3 4

4 8 9

1 4 4

1 1 2

2 4 5

1 4 4

1 1 2

2 4 5 A2

    

     

 

  

 

  

 

 

     

 

  

     

 

  

 

 

   

  

 

  

 

 

     

 

  

 

  

  

 

  

 

 

  

Utilizando que A2 = 2A  - I, calculamos A4:

A4 = (A2)2 = (2A - I)2 = 4A2 - 4AI + I2 = 4(2A - I) - 4A + I = 8A - 4I +  4A - I = 4A - 3I

Por tanto: 

  

 

  

     

 

  

 

 

 

   

 

  

     

 

  

 

 

 

  

3 0 0

0 3 0

0 0 3

4 16 16

4 4 8

8 16 20

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

1 4 4

1 1 2

2 4 5

4 I 3 A 4 A4

  

 

  

 

 

 

7 16 16

4 7 8

8 16 17

EJERCICIO 2 :

4 3

2 1 A matriz la

Si 



Satisface la igualdad A2 + xA + yI = 0, halla los valores numéricos de x e y (I representa la matriz identidad de orden 2.

Solución:

: Calculamos 2

A 

  

  

                

10 15

10 5

4 3

2 1

4 3

2 1 A2

Así: 

         

 

  

 

                     

  

   

0 0

0 0

y x 4 10 x 3 15

x 2 10 y x 5

1 0

0 1 y 4 3

2 1 x 10 15

10 5 yI xA A2

Luego, ha de ser:

 

10 20 10 x 4 10 y

5 x

5 x

10 5 5 x 5 y

0 y x 4 10

0 x 3 15

0 x 2 10

0 y x 5

      

 

 

     

   

      

  

  

 

   

Por tanto: x = 5; y = 10

EJERCICIO 3 : Si I es la matriz identidad de orden 2 y A =  

2 1 3 2

, halla el valor que deben tener “x” para que A2 - xA + yI = 0

Solución:

: 0 a igualamos e

Calculamos A2xAyI

   

 

                  

5 6

9 2

1 2

3 2

1 2

3 2 A2

          

 

   

 

                     

 

     

0 0

0 0

y x 5 x 2 6

x 3 9 y x 2 2

1 0

0 1 y 1 2

3 2 x 5 6

(2)

Así, tenemos que ha de ser:

8 3 5 x 5 y

3 x

3 x

8 6 2 x 2 2 y

0 y x 5

0 x 2 6

0 x 3 9

0 y x 2 2

        

 

 

        

      

   

  

 

   

Por tanto: x = 3, y = 8

EJERCICIO 4 : Dada la matriz:  

1 0 1

0 1 0 A

. A de traspuesta matriz

la denota A donde , AA y A A Calcula

a) t t t

X X AA : que tales , y x X forma la de matrices las

Encuentra

b)  t



Y AY A : que tales , c b a Y forma la de matrices las

todas Encuentra

c) t

Solución:

a) La matriz transpuesta de A es:

: Por tanto

. 1 0

0 1

1 0 At

  

 

  

  

  

 

  

      

 

  

 

  

  

1 0 1

0 1 0

1 0 1 1 0 1

0 1 0 1 0

0 1

1 0 A At

         

 

  

 

   

  

2 0

0 1 1 0

0 1

1 0 1 0 1

0 1 0 AAt

b) Imponemos la condición dada:

  

                                       

0 y y

y 2

x x

y x

y 2

x

y x

y x

2 0

0 1 X

X AAt

. x donde , 0 x X :

Por tanto R

     

    

   

       

 

  

     

 

  

 

     

 

  

 

  

 

  

   

0 a c

c a

b b

0 c a

c a

c b a

c a

b c a

c b a

1 0 1

0 1 0

1 0 1 Y

AY A

c) t , donde b .

0 b 0 Y :

Por tanto R

  

 

  

  

PROBLEMAS CON MATRICES

EJERCICIO 5 : Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La evolución de los precios de los años 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B.

a) Hallar, si es posible, A · B y B · A e indicar que información proporciona el producto matricial. producto?

matriz la de elemento el

da nos n informació ¿Qué

b) c34

80 75 72 70

35 30 30 28

95 90 90 85

600 500 200

620 810 500

650 800 450

LECHE AGUA PAN

2000 1999 1998 1997 LECHE

AGUA PAN

3 2 1

B F

F F A

Solución:

a) La matriz A es 3  3 y la B es 3  4. Para poder efectuar el producto de dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

(3)

   

 

  

     

 

  

   

80 75 72 70

35 30 30 28

95 90 90 85

600 500 200

620 810 500

650 800 450

F F F

B A

LECHE AGUA PAN

2000 1999 1998 1997 LECHE

AGUA PAN

3 2 1

  

 

  

  

500 84 000 78 200 76 000 73

450 125 800 115 140 113 580 108

750 122 250 113 300 111 150 106

F F F

3 2 1

2000 1999

1998 1997

La matriz A · B nos da el gasto anual de cada familia en el total de los tres productos durante los años 1997 a 2000. decir,

es 2000; año el en tercera familia la a e correspond ,

500 84

elemento El

b) c34 

nos indica el gasto total de esta familia en los tres productos durante ese año.

EJERCICIO 6 : En una acería se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se obtienen a partir de chatarra, carbón mineral y ciertas aleaciones metálicas, según la tabla adjunta, que representa las unidades de cada material necesaria para fabricar una unidad de producto:

Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones necesarias para la producción de 6 unidades de A, 4 de B y 3 de C.

Solución:

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:

  

 

  

  

  

 

  

     

 

  

 

25 72 90

3 4 6

C B A

3 1 2

4 6 6

6 6 8

ALEACIONES CARBÓN CHATARRA

ALEACIONES CARBÓN CHATARRA

C B A

Es decir, necesitaremos 90 unidades de chatarra, 72 de carbón mineral y 25 de aleaciones.

EJERCICIO 7 : En una compañía se utilizan tres tipos de materiales (madera, plástico y aluminio) para fabricar tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás, según la tabla:

Obtén, matricialmente, las unidades de madera, de plástico y de aluminio que se han utilizado para fabricar 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.

Solución:

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:

  

 

  

  

  

 

  

 

  

 

  

 

500 1

600 400

200 100 100

5 3 2

2 1 1

1 1 1

ALUMINIO PLÁSTICO MADERA

SOFÁS MECEDORAS

SILLAS

ALUMINIO PLÁSTICO MADERA

SOFÁ MECED. SILLA

Es decir se han utilizado 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1 500 de aluminio.

EJERCICIO 8 : Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1; 1,5 y 2 cm con los precios respectivos siguientes:

Clavos A: 0,20 0,30 0,40 céntimos de euro Clavos Q: 0,30 0,45 0,60 céntimos de euro Clavos H: 0,40 0,60 0,80 céntimos de euro Sabiendo que en un minuto se producen:

De 1 cm de longitud: 100A 50Q 700H

De 1,5 cm de longitud: 200A 20Q 600H

De 2 cm de longitud: 500A 30Q 400H

(4)

a) Resume la información anterior en dos matrices: M y N. M que recoja la producción por minuto, y N que recoja los precios.

b) Calcula el elemento a11 de la matriz M · N y da su significado. c) Calcula el elemento a11 de la matriz N · M y da su significado. Solución:

a) Unidades producidas por minuto:

M

400 600 700

30 20 20

500 200 100

H Q A

2 5 , 1 1

   

 

  

 

Precios (en céntimos de euro):

N

80 , 0 60 , 0 40 , 0

60 , 0 45 , 0 30 , 0

40 , 0 30 , 0 20 , 0

2 5 , 1

1

H Q

A

   

 

  

 

b) a11 = 100 · 0,20  200 · 0,30  500 · 0,40 = 280 céntimos. Producen 280 céntimos de euro de clavos de aluminio por minuto. c) a11 = 0,20 · 100  0,30 · 50  0,40 · 700 = 315 céntimos.

Producen 315 céntimos de euro de clavos de 1cm por minuto.

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Buscar alguna sin inversa EJERCICIO 9 : Calcula la inversa de las siguientes matrices:

. 1 2 1

7 1 2

6 3 1 A

B =

2 5 0

2 1 2

0 2 1

0 2 0

1 1 2

1 3 2 C

Solución:

 La inversa de A: 

  

 

  

 

  

   

  

 

  

 

 

 

1 0 1 7 5 0

0 1 2 5 5 0

0 0 1 6 3 1

1 0 0 1 2 1

0 1 0 7 1 2

0 0 1 6 3 1

a a

a a

a

1 3

1 2 2

1

   

 

  

 

 

   

 0 0 2 1 1 1

0 1 2 5 5 0

0 0 1 6 3 1

a a

a a

2 3

2 1

   

 

  

 

 

 

   

 

1 1 1 2 0 0

5 7 9 0 10 0

3 3 4 0 3 1

a a a

a a

3 3 5 2 2

3 3 1

   

 

  

 

 

 

 

  

1 1 1 2 0 0

5 7 9 0 10 0

15 9 13 0 0 10

a a

a a

3 2

2 3 1 10

     

 

     

 

 

 

 

 

2 1 2 1 2 1 1 0 0

10 5 10

7 10

9 0 1 0

10 15 10

9 10 13 0 0 1

a a a

3 2 1

2 10

1 1 10

1

. 5 5 5

5 7 9

15 9 13 10

1

tanto,

Por 1

  

 

  

 

 

  

A

 La inversa de B:

  

 

  

 

 

1 0 0 2 5 0

0 1 0 2 1 2

0 0 1 0 2 1

  

 

  

 

  

    

 

  

 

  

 

 

1 1 2 0 0 0

0 1 2 2 5 0

0 0 1 0 2 1 F F F 1 0 0 2 5 0

0 1 2 2 5 0

0 0 1 0 2 1 F 2 F

F2 2 1 3 3 2

No tiene inversa porque la tercera fila es nula.

 La inversa de C: 

  

 

  

 

   

  

 

  

 

 

1 0 0 0 2 0

0 1 1 2 4 0

0 0 1 1 3 2

1 0 0 0 2 0

0 1 0 1 1 2

0 0 1 1 3 2

a a a

a

3 1 2

(5)

   

 

  

 

    

 0 0 2 1 1 2

0 1 1 2 4 0

0 0 1 1 3 2

a a

a a

2 3 2

2 1

   

 

  

 

 

 

  

2 1 1 2 0 0

2 0 0 0 4 0

0 3 1 2 0 8

a a a

a a

3 3 2

2 3 1 4

   

 

  

 

 

2 1 1 2 0 0

2 0 0 0 4 0

2 2 2 0 0 8

a a

a a

3 2

3 1

     

 

     

 

 

  

1 2 1 2 1 1 0 0

2 1 0 0 0 1 0

4 1 4 1 4 1 0 0 1

a a a

3 2 1

2 4 1

1 8 1

. 4 2 2

2 0 0

1 1 1 4 1 C Así, 1

  

 

  

 

 

CALCULAR LA POTENCIA N-ÉSIMA DE UNA MATRIZ

EJERCICIO 10 : Se considera la matriz: , donde , y sontresnúmerosrealesarbitrarios. 0

0 0

0 0 0

c b a c

b a A

  

 

  

  

a) Encuentra An para todo natural n.

35

2.

Calcula

b) AA

Solución: A A1 a)

  

 

  

     

 

  

 

  

 

  

  

0 0 0

0 0 0

ac 0 0

0 0 0

c 0 0

b a 0

0 0 0

c 0 0

b a 0 A2

  

 

  

     

 

  

 

  

 

  

   

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

c 0 0

b a 0

0 0 0

0 0 0

ac 0 0 A A

A3 2

. 3 n para 0 A que tenemos ,

0 A como

Por tanto, 3 n  

b) Teniendo en cuenta lo obtenido en a):

  

 

  

        

0 0 0

0 0 0

ac 0 0 A A A

0 A

A35 2 2 2 2

RESOLVER ECUACIONES MATRICIALES

EJERCICIO 11 : Dadas las matrices:

3 0

1 2

1 1 = B y 3 1 5

0 3 1

1 0 2 A

6 2 14

1 1 3

3 1 9 4 1 A que Comprueba

a) 1 b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.

Solución:

: producto el

Efectuamos .

3 orden de identidad matriz

la es I donde , I A A que probar de

trata Se

a) 1

   

 

  

     

 

  

 

 

  

 

  

     

 

  

 

 

 

  

 

  

 

4 0 0

0 4 0

0 0 4 4 1 6 2 14

1 1 3

3 1 9

3 1 5

0 3 1

1 0 2 4 1 6 2 14

1 1 3

3 1 9 4 1 3 1 5

0 3 1

1 0 2

demostrar. queriamos

como , 1 0 0

0 1 0

0 0 1

  

 

  

  

: por izquierda la

por ndo multiplica

,

igualdad la

en Despejamos

b) 1

B A

AX X

B A X B

A IX B

A AX

A1 1 1 1

  

 

: luego ; A conocemos a),

apartado el

Por 1 

  

 

  

 

     

 

  

     

 

  

 

 

 

2 18

1 1

1 11 4 1 3 0

1 2

1 1

6 2 14

1 1 3

3 1 9 4 1 X

  

 

  

 

 

2 / 1 2 / 9

4 / 1 4 / 1

(6)

EJERCICIO 12 : Halla la matriz X que verifica BX = A, siendo . 4

2 1 A y 0 1 0

2 0 1

1 0 3 B

Solución: Despejamos X multiplicando por la izquierda por B-1: B1BXB1AXB1A

: Hallamos 1

B

  

 

  

     

 

  

 

0 1 0 2 0 1

1 0 0 0 1 0

0 0 1 1 0 3

1 0 0 0 1 0

0 1 0 2 0 1

0 0 1 1 0 3

a a a

2 3 1

   

 

  

 

 

 0 0 5 1 3 0

1 0 0 0 1 0

0 0 1 1 0 3

a a

a a

1 3 3

2 1

   

 

  

 

  

 

0 3 1 5 0 0

1 0 0 0 1 0

0 3 6 0 0 15

a a

a a

3 2

3 1 5

  

 

  

 

  

     

 

     

 

 

 

 

0 9 3

15 0 0

0 3 6 15

1 B 0

5 3 5 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0

0 15

3 15

6 0 0 1

1

a a

a

3 5 1 2

1 15

1

. 4

2 1

0 9 3

15 0 0

0 3 6 15

1 ,

0 9 3

15 0 0

0 3 6 15

1

Como 1

  

 

  

     

 

  

 

  

  

 

  

 

  

X

B Así:

  

 

  

      

 

  

 

 

5 / 7

4 5 / 4

21 60 12 15

1

X X

EJERCICIO 13 : Resuelve la ecuación matricial XA = B, siendo . 2 0

1 3 B y 1 0

2 1

A 



 

Solución: Despejamos X multiplicando por A-1 por la derecha: 1 1 1

 

BA X BA

XAA

: Hallamos 1

A 

   

 

 

   

 

    

  

1 0

2 1 A 1

0 1 0

2 1 0 1

1 0 1 0

0 1 2

1 1

2 2 1

F F 2 F

Así: 

   

 

      

 

    

 

2 0

7 3 X 1

0 2 1

2 0

1 3 X

EJERCICIO 14 : Halla la matriz X que verifica AX + B = 0, siendo

1 2 5 B , 2 5 3

3 4 2

1 2 1

A y 0 la matriz nula.

Solución: Despejamos X:AX B A1AX A1

B

IX A1B X A1B

   

    

 

Calculamos la inversa de A:

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

 

 

1 0 3 1 1 0

0 1 2 1 0 0

0 0 1 1 2 1

1 0 0 2 5 3

0 1 0 3 4 2

0 0 1 1 2 1

a a

a a

1 3 3

1 2 2

: 3 y 2 filas las amos

Intercambi a a

   

 

  

 

 

  

 

  

 

  

   

a a

a a a

2 2 1

3 2 1

0 1 2 1 0 0

1 0 3 1 1 0

0 0 1 1 2 1

0 1 2 1 0 0

1 0 3 1 1 0

0 0 1 1 2 1

  

 

  

 

   

  

 

  

 

 

 

0 1 2 1 0 0

1 1 5 0 1 0

2 1 7 0 0 1

0 1 2 1 0 0

1 0 3 1 1 0

2 0 5 1 0 1

a a a

a

3 3 2

3 1a

. 0 1 2

1 1 5

2 1 7

tanto,

Por 1

  

 

  

 

   

A

  

 

  

       

 

  

      

 

  

     

 

  

 

    

12 26 35

12 26 35

1 2 5

0 1 2

1 1 5

2 1 7

(7)

RESOLVER SISTEMAS MATRICIALES

EJERCICIO 15 : Resuelve el siguiente sistema matricial:

2 5 10

7 6 6

2 1 7 2

; 4 4 15

0 9 5

4 5 0 2

3X Y X Y

Solución:

Llamamos:

  

 

  

 

    

 

 

  

 

  

2 5 10

7 6 6

2 1 7 B y 4 4 15

0 9 5

4 5 0

A Así, el sistema queda:

2 2

2 3

X B X B X X

A X X

      

 

 

B X

A X B X A X A B X

A B

X 2

7 1 2

7 4

2 3 2

2

3             

A B

B A B B A

B A

B X B

Y 3 2

7 1 7 2 7 3 7 4 7 2 2

7 2

2          

 

Por tanto:

  

 

  

 

     

 

  

 

  

 

  

 

      

 

  

 

  

 

0 14 35

14 21 7

0 7 14

7 1

2 5 0

7 6 6

2 1 7

2

4 4 15

0 9 5

4 5 0

7 1 B 2 A 7 1 X

  

 

  

 

  

0 2 5

2 3 1

0 1 2

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

  

 

  

 

     

14 7 0

21 0 28

14 7 21

7 1

4 4 15

0 9 5

4 5 0

2

2 5 10

7 6 6

2 1 7

3 7 1 A 2 B 3 7 1 Y

  

 

  

 

  

 

2 1 0

3 0 4

2 1 3

EJERCICIO 16 : Halla la matriz X 2 + Y 2, donde X e Y son dos matrices cuadradas de orden dos,

verificando: 

  

  

 

 

  

    

9 2

1 1 2 3 15

4 0 2 3

5X Y X Y

Solución:

: sistema el resolver que

Tenemos

. 9 2

1 1 B y 15 4

0 2 A

Llamamos 

  

  

 

   

   

 

A 3 B 5 Y

B 5 Y 10 X 15

A 3 Y 9 X 15

: Sumando B

Y 2 X 3

A Y 3 X 5

a a

2 5

1 3

   

      

   

 

  

B 3 A 2 X

B 3 Y 6 X 9

A 2 Y 6 X 10

: Sumando

a a

2 3

1 2

 

   

  

 

Por tanto:

           

  

 

   

       

  

 

   

   

3 2

3 1

27 6

3 3

30 8

0 4

9 2

1 2 3 15 4

0 2 2 X

   

 

    

       

  

 

   

       

  

 

0 2

5 1

45 12

0 6

45 10

5 5

15 4

0 2 3 9 2

1 1 5 Y

: e

Calculamos 2 2

Y X

   

 

       

 

   

 

 

  

                   

10 2

5 9

0 2

5 1

0 2

5 1 Y ; 3 8

12 5

3 2

3 1

3 2

3 1

X2 2

Luego: 

  

 

       

 

       

     

7 10

17 14

10 2

5 9

3 8

12 5 Y

X2 2

HALLAR LAS MATRICES QUE COMUTAN CON UNA DADA EJERCICIO 17 :

a) Dada ,

0 1

0 2

 

A hallar las matrices que conmutan con A. b) Escribe una matriz que conmute con A.

(8)

   

 

      

                           

0 d c 2

0 b a 2

b a

b 2 a 2

0 1

0 2

d c

b a

d c

b a

0 1

0 2 a)

R

    

 

 

 

      

   

 

d , c d c

0 d c 2 X Por tanto, d

c 2 a

0 b

0 b

d c 2 a

0 b 2

b a 2 a 2

        

1 1

0 3 X : 1 d y 1 c si ejemplo, Por

b)

COMBINACIÓN LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES EJERCICIO 18 : Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores:

1, 1, 1, 1

; u

2, 3, 2, 1

; u

1, 3, 1, 1

u1  2   3   

 

Solución:

Estudiemos el rango de la matriz cuyas filas son los tres vectores dados. El rango coincide con el número de vectores linealmente independientes.

  

 

  

 

  

  

 

  

 

   

  

 

  

 

   

  

 

0 0 0 0

1 0 1 0

1 1 1 1

2 0 2 0

1 0 1 0

1 1 1 1

1 1 3 1

1 2 3 2

1 1 1 1

a a

a a

a a

a a

a

2 2 3

2 1

1 3

1 2 2

1

Por tanto, el rango de la matriz es 2. Luego, hay dos vectores linealmente independientes; el tercero se puede escribir como combinación lineal de los otros dos.

es. dependient e

linealment son

u , u , u vectores tres

Los 1 2 3

  

RANGO DE UNA MATRIZ

EJERCICIO 19 : Halla el rango de las siguientes matrices:

a)

1 2 1 3

19 6 8 1

1 0 1 1

5 2 4 1

M b)

6 15 10 5

6 9 8 1

2 1 2 1

0 3 1 2

A c)

2 1 7 1

2 2 7 2

0 1 0 1

2 0 7 4 A

d)

0 2 1 2

1 3 2 1

1 1 1 1

1 1 0 3

A e)

4 1 9 7

1 7 9 4

1 2 0 1

1 1 3 2 M

Solución:

a) 

    

 

    

 

 

 

    

 

    

 

  

    

 

    

 

 

 

 

 

2 2 4 0

18 6 9 0

6 2 3 0

1 0 1 1

1 2 1 3

19 6 8 1

5 2 4 1

1 0 1 1

1 2 1 3

19 6 8 1

1 0 1 1

5 2 4 1

a a

a a

a a

a

a a a a

1 3 4

1 3

1 2

1

4 3 1 2

 

M 3. ran Por tanto, .

30 14 0 0

0 0 0 0

6 2 3 0

1 0 1 1

a a

a a

a a

2 4 4 3

2 3 3

2 1

    

 

    

 

  

  

 

b) 

    

 

    

 

 

 

 

    

 

    

 

 

 

 

    

 

    

 

 

 

 

 

  

16 20 20 0

8 10 10 0

4 5 5 0

2 1 2 1

6 15 10 5

6 9 8 1

0 3 1 2

2 1 2 1

6 15 10 5

6 9 8 1

2 1 2 1

0 3 1 2

a a

a a

a a

a

a a a a

1 5 4

1 3

1 2 2

1

(9)

 

A 2. ran Por tanto, . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 5 0 2 1 2 1 a a a a a a 2 4 4 2 2 3 2 1                       

c) 

                                                           2 0 7 0 2 4 7 0 2 4 7 0 0 1 0 1 2 1 7 1 2 2 7 2 2 0 7 4 0 1 0 1 2 1 7 1 2 2 7 2 0 1 0 1 2 0 7 4 a a a a a a a a a a a 1 4 1 2 3 1 4 2 1 4 3 1 2

 

A 3. ran Por tanto, . 0 4 0 0 0 0 0 0 2 4 7 0 0 1 0 1 a a a a a a 2 4 2 3 2 1                    

d) 

                                                                    2 4 3 0 2 4 3 0 2 4 3 0 1 1 1 1 0 2 1 2 1 3 2 1 1 1 0 3 1 1 1 1 0 2 1 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 3 a a a a a a a a a a a 1 2 4 1 3 1 3 2 1 4 3 1 2

 

A 2. ran Por tanto, . 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 3 0 1 1 1 1 a a a a a a 2 4 2 3 2 1                       e)                                                             3 15 9 0 3 15 9 0 1 5 3 0 1 2 0 1 4 1 9 7 1 7 9 4 1 1 3 2 1 2 0 1 4 1 9 7 1 7 9 4 1 2 0 1 1 1 3 2 a a a a a a a a a a a 1 7 4 1 4 3 1 2 2 1 4 3 1 2

 

M 2. ran Por tanto, . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 3 0 1 2 0 1 a a a a a a 2 3 4 2 3 3 2 1                     

EJERCICIO 20 : Halla el rango de las siguientes matrices:

2 1 3 6 8 1 0 1 1 2 4 1 A 6 9 8 1 2 1 2 1 0 3 1 2 B 1 7 1 2 7 2 1 0 1 0 7 4 C 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 3 D 1 7 9 4 1 2 0 1 1 1 3 2 E Solución:

 A

                                                         2 4 0 6 9 0 2 3 0 0 1 1 2 1 3 6 8 1 2 4 1 0 1 1 2 1 3 6 8 1 0 1 1 2 4 1 a a a a a a a a a a a 1 3 4 1 3 1 2 1 4 3 1 2                       14 0 0 0 0 0 2 3 0 0 1 1 a a a a a a 2 4 4 3 2 3 3 2 1

ran (A) = 3.

 B 

                             6 9 8 1 0 3 1 2 2 1 2 1 6 9 8 1 2 1 2 1 0 3 1 2 a a a 3 1 2                                   0 0 0 0 4 5 5 0 2 1 2 1 8 10 10 0 4 5 5 0 2 1 2 1 a a a a a a a a a 2 2 3 2 1 1 3 1 2 2 1 

(10)

 C      

 

    

 

   

    

 

    

 

  

    

 

    

 

 

  

 

0 7 0

4 7 0

4 7 0

1 0 1

1 7 1

2 7 2

0 7 4

1 0 1

1 7 1

2 7 2

1 0 1

0 7 4

a a

a a

a a

a

a a a a

1 4

1 2 3

1 4 2

1

4 3 1 2

    

 

    

 

  

0 7 0

0 0 0

4 7 0

1 0 1

a a a

a a

4 2 3

2 1

ran (C) = 3.

 D

  

 

  

 

  

 

   

 

  

 

 

 

   

 

  

 

  

  

2 4 3 0

2 4 3 0

1 1 1 1

1 3 2 1

1 1 0 3

1 1 1 1

1 3 2 1

1 1 1 1

1 1 0 3

a a

a a

a

a a a

1 3

1 3 2

1

3 1 2

  

 

  

 

 

 

 0 0 0 0

2 4 3 0

1 1 1 1

a a

a a

2 3

2 1

Por tanto, ran (D) = 2.

 E 

  

 

  

   

  

 

  

 

  

   

 

  

 

 

 

 

3 15 9 0

1 5 3 0

1 2 0 1

1 7 9 4

1 1 3 2

1 2 0 1

1 7 9 4

1 2 0 1

1 1 3 2

a a

a a

a

a a a

1 4 3

1 2 2

1

3 1 2

  

 

  

   

 0 0 0 0

1 5 3 0

1 2 0 1

a a

a a

2 3 3

2 1

Por tanto, ran (E) =2. EJERCICIO 21 :

a) Halla el rango de la matriz:

1 2 4

4 1 3

3 1 1

1 0 2 A

b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores:

2, 1, 3, 4

;u

0, 1, 1, 2

y u

1, 3,4, 1

u1  23  

 

Solución:

    

 

    

  

    

 

    

 

 

    

 

    

  

 

 

 

13 6 0

13 4 0

5 2 0

3 1 1

1 2 4

4 1 3

1 0 2

3 1 1

1 2 4

4 1 3

3 1 1

1 0 2 a)

a a

a a

a a

a

a a a

1 4 4

1 3 3

1 2 2

1

4 3 1 2

a

 

A 3. ran Por tanto, .

0 0 0

3 0 0

5 2 0

3 1 1

2 0 0

3 0 0

5 2 0

3 1 1

a a

a a

a a

a a

a a

3 2 4 3

3 2 1

2 3 4

2 2 3

2 1

a 

    

 

    

  

    

 

    

 

 

   

  

. u , u , u vectores los

con coinciden

A matriz la de columnas las

que Observamos

b) 123

El número de vectores linealmente independientes es el rango de A. Por tanto, los vectores son linealmente independientes. EJERCICIO 22 : Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores

u12,1, 0, 1; u2  1, 0, 2, 1; u35,4, 6, 7

 

. u , u , u son filas cuyas matriz la de rango el es cuál di

y 1 2 3

  

Solución:

: u , u , u son filas cuyas matriz la de rango el

Estudiamos 123

   

 

  

 

   

  

 

  

 

      

 

  

 

 

 

 

12 16 4 0

3 4 1 0

1 2 0 1

7 6 4 5

1 0 1 2

1 2 0 1

7 6 4 5

1 2 0 1

1 0 1 2

a a

a a

a

a a a

1 5 3

1 2 2

1

3 1 2

2. es matriz la de rango el Por tanto, .

0 0 0 0

3 4 1 0

1 2 0 1

a a

a a

2 4 3

2 1

  

 

  

 

  

 

Esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Hay dos vectores linealmente independientes y el tercero depende de ellos.

EJERCICIO 23 : Calcula el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente independientes:

6 5 6 1

2 1 1 1

2 1 2 3 A

(11)

Calculamos el rango de la matriz dada:

   

 

  

 

 

  

   

 

  

 

 

 

   

 

  

 

 

 

  

4 4 5 0

4 4 5 0

2 1 1 1

6 5 6 1

2 1 2 3

2 1 1 1

6 5 6 1

2 1 1 1

2 1 2 3

a a

a a

a

a a a

1 3

1 3 2

1

3 1 2

 

A 2. ran Por tanto,

. 0 0 0 0

4 4 5 0

2 1 1 1

a a

a a

2 3

2 1

 

 

 

  

 

  

Esto significa que hay dos columnas linealmente independientes en A; las otras dos dependen linealmente de ellas. EJERCICIO 24 : Estudiar el rango de las siguientes matrices, en función de los valores de los parámetros:

2 4 a

1 a a 1

A 



a 2 3

1 a 2

3 0 1

B

1 a 1

0 2 3

a 1 1 C





1 a 2

3 a

D .

1 a 0

1 a 1

a 2 E

Solución:

 A: Aplicamos el método de Gauss:

    

  

   

 

   

 

0 4 a a a 2

1 a a

1 2

4 a

1 a a 1

2 2

a a

a

1 a 2

1

  

    

2 2 0 4

Hacemos 2

a a a

o ranA 1

0 0 0

1 2 1 , 2 a

Si   

  

  

o ranA 2

4 0 0

3 2 1 , 2 a

Si   

  

 

   

o Si a  2, ranC = 2.

 B: Aplicamos el método de Gauss:

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

 

 

  

 

  

 

 

   

  

14 a 9 a 0 0

7 a

0

3 0

1

9 a 2 0

7 a 0

3 0 1

a 2 3

1 a 2

3 0 1

2

a a

a a

a a

a a

a

2 2 3 a

2 1

1 3 3

1 2 2

1

  

     

2 7 0 14 9

Hacemos 2

a a a

a

o Si a 7 y a 2, ranB = 3

o 2

0 0 0

7 7 0

3 0 1 , 7

Si  

  

 

  

 

ranB

a 2

0 0 0

7 2 0

3 0 1 , 2

Si  

  

 

  

 

ranB

a

 C: Aplicamos el método de Gauss:

 

 

  

 

  

 

   

 

  

 

 

  

  

 

  

 

  

 

1 a 2 a 3 0 0

a 3 1

0

a 1

1

a 1 1 a 0

a 3 1 0

a 1 1

1 a 1

0 2 3

a 1 1

2

a a

a a

a a

a a

a

2 1 a 3

2 1

1 3

1 3 2

1

0 1 a 2 a 3

Hacemos  2     

  

3 / 1 a

1 a

o ranC 2

0 0 0

3 1 0

1 1 1 , 1 a

Si  

  

 

  

 

 

 ranC 2

0 0 0

1 1

0 3

1 1 1 , 3 1 a

Si  

    

 

    

 

 

 

o , ranC 3. 3

1 a y 1 a

Si   

 D: Aplicamos el método de Gauss: 

  

 

  

   

 

    0 6

3 1

2 3

2

a a

a

1 2 2

1

a a a a

a

a

  

 

 

 

2 3 0

6

Hacemos 2

a a a

(12)

o ranD 1 0

0 3 3 , 3 a

Si   

    

 ranD 1

0 0

3 2 , 2 a

Si   

       

o Si a  3 y a 2, ran D = 2.

 E: Aplicamos el método de Gauss:

  

 

  

 

  

  

 

  

 

  

1 0

2 0

2

1 0

1 1

2

a a a

a

3 1 2 2

1

a a a

a a a

La tercera fila se anula si a = 1 y la segunda, si a = 2. Estudiamos estos dos casos:

o ranE 2

0 0

3 0

1 2 , 1 a

Si  

  

 

  

 

 ranE 2

3 0

0 0

2 2 , 2 a

Si  

  

 

  

 

  

Figure

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