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Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

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(1)

BL

OQUE

Competencias a desarrollar

OBJE

TO

S DE

APRENDIZAJE

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE

5

Tiempo asignado: 12 horas

Utilizas funciones

factorizables en la

(2)

BL

OQUE

Competencias a desarrollar

OBJE

TO

S DE

APRENDIZAJE

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE

Utiliza consecutivamente los

teoremas del factor y del residuo,

y la división sintética, para hallar

los ceros reales de funciones

polinomiales.

Emplea la división sintética para

obtener en forma abreviada el

cociente y el residuo de la división

de un polinomio entre un binomio

de la forma x- a.

Emplea la prueba del cero

racional, el teorema fundamental

del álgebra y el teorema de la

factorización lineal para hallar los

ceros de una función polinomial

factorizable.

Aplica y combina las técnicas

y procedimientos para la

factorización y la obtención

algebraica y gráfica de ceros de

funciones polinomiales, en la

resolución de problemas teóricos

y/o prácticos.

Ceros y raíces de la función

Teoremas del factor y del

residuo

División sintética

Teorema fundamental del

álgebra

Teorema de factorización lineal

Gráficas de funciones

polinomiales factorizables

Construye e interpreta modelos matemáticos

mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y

textos con símbolos matemáticos y científicos. Argumenta la solución obtenida de un

problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.

Analiza las relaciones entre dos o más variables

(3)

B5

INTRODUCCIÓN

En este bloque aplicarás tus conocimientos del álgebra para factorizar expresiones de todo tipo. Además, diseñarás estrategias de solución a problemáticas específicas de las funciones de grado dos, tres y cuatro; en general, polinomiales para hallar sus ceros y relacionarlos con las gráficas de las funciones.

Áreas de oportunidad: (temario en donde se encontró la mayor cantidad de dificultades).

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

(conceptos básicos)

I. Contesta brevemente las siguientes preguntas

1. ¿Qué es un producto?

2. ¿Qué es factorizar?

3. ¿Qué es un factor?

4. ¿Cuáles son los métodos de factorización que conoces?

II. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas 1. x2 - 121 =

2. x3 - 81 =

3. x4 - 16 =

4. x3 - 27 =

Actividad introductoria

(4)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

(Tercera parte del proyecto de clase la matemática en la fisica).

El tiro parabólico

Debido a la atracción gravitatoria sobre los cuerpos, cuando tú lanzas un objeto, éste tiene una trayectoria parabólica. El récord de lanzamiento de jabalina es de 72.28 m. Si la velocidad con la que se lanza es de 80.798 km/hr con un ángulo de inclinación de 45°, determina la ecuación de la parábola altura- tiempo, a partir de los datos que puedas obtener al utilizar las ecuaciones del movimiento parabólico. Una vez hallada la ecuación determina su directriz, su lado recto, su foco y realiza una tabulación de la altura de la parábola conforme se aleje del punto de lanzamiento en el transcurso del tiempo. Construye una gráfica del desplazamiento horizontal de la jabalina con respecto al tiempo. Posteriormente, realiza su gráfica y comenta con tus compañeros tus resultados.

CEROS O RAÍCES DE LA

FUNCIÓN

Ceros o raíces de una función cuadrática

Los ceros o raíces de una función cuadrática son aquellos valores reales donde la función “corta” al eje de las “x”.

Dicho de otra manera, son aquellos valores donde f(x) = 0 (y = 0). De ahí el nombre de ceros de la función. Éstos se encuentran limitados por el grado de la expresión algebraica, es decir, una función cuadrática tiene como máximo dos ceros o raíces de la función. Para determinar el número de raíces reales que tiene una función cuadrática, se realiza el análisis del discriminante; éste se toma de la fórmula general de segundo grado:

Proyéctate

(5)

B5

2

1,2

4 2

b b ac x

a

− ± −

=

Donde el discriminante es:

2 4

D b= − ac

Si: D > 0, entonces, la función tiene dos ceros o raíces. D = 0, entonces, la función tiene un cero.

D = 0, entonces, al función no tiene ceros.

Para hallar los ceros podemos usar la fórmula general de segundo grado que es el método más efectivo de factorización y, en el caso de que la función cuadrática esté en su forma pura, usaremos el despeje. Para ahorrar operaciones después del análisis del discriminante, la fórmula general de segundo grado puede simplificarse:

1,2

2

b D x

a

− ± =

Ejemplo:

Halla los ceros reales de la funcióny x= 218x+81 y comprueba con su gráfica.

Localizamos los valores de a, b, c: a = 1 b = -18 c = 81

Como buscamos los valores de “x” donde y = 0, igualamos con cero la función:

2 18 81 0

xx+ =

Hacemos el análisis del discriminante:

Por lo tanto, nuestra función tiene una raíz real y calculamos la raíz o cero de la función:

2

( 18) 4(1)(81)

324 324 0

D D D

= − −

= −

=

Por lo tanto, la función cuadrática tiene un cero en x = 9.

1,2

( 18) 0

2(1) 18

x

x

− − ± =

(6)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Como forma alternativa de solución, podemos usar el método de factorización:

Primeramente obtenemos la raíz del primero y tercer términos, suponiendo que se trata de un trinomio cuadrado perfecto (tcp):

2

81 9

x =x

=

Después de verificar si cada uno de los términos tiene una raíz cuadrada exacta, multiplicamos por dos el producto de éstos, para ver si obtenemos el segundo término:

2( )(9) 18x = x

Como el resultado es parecido, pero le falta el signo negativo, concluimos que se trata de un trinomio cuadrado perfecto y que su factorización corresponde a la de dos negativos iguales:

2

(x−9)(x− = −9) (x 9)

Ahora, igualamos con cero cada factor:

9 0 9 0

x x

− = − =

(7)

B5

Ejemplo:

Halla los ceros reales de la función f x( ) 7= x2+27x4 y comprueba con su

gráfica:

a = 7, b = 27, c = −4. Igualamos con cero:

2

7x +27x− =4 0

Hacemos el análisis del discriminante:

2

(27) 4(7)( 4)

729 112 841

D D D

= − −

= +

=

Como D > 0, la función tiene dos ceros reales; hallemos esos ceros:

1,2

1,2

1

2

(27) 841

2(7) 27 29

14

27 29 2 1

14 14 7

27 29 56 4

14 14

x

x

x

x

− ±

=

− ± =

− +

= = =

− − −

= = = −

La función tiene ceros reales en: 1

7

x= y, x = –1 Y su gráfica es:

Cero en

X = -4

(8)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Por el método de factorización, buscamos dos números que al multiplicarlos su producto sea el término independiente, en este caso -4; ahora hacemos una tabla con los resultados obtenidos:

-1 4

-4 1

-2 2

Elegimos el número que más se repite y formamos un binomio de la forma x + a y lo dividimos entre nuestra expresión:

Para este caso, seleccionamos −1, de tal manera, que nuestro binomio es x – 1.

2

4 7 27 4

x+ x + x

Se toma el valor de “x” del dividendo con mayor exponente y se divide por el elemento del divisor con mayor exponente; en este caso son x2 y x,

respectivamente:

2

7x 7x

x =

Y se coloca en el cociente. Este procedimiento se repite hasta que en el dividendo no queden x con exponente mayor o igual al del divisor, o hasta que el residuo sea cero1:

7 1

2

4 7 27 4

x

x x x

+ + −

-7x2 -28x

0 -1x - 4 x + 4 0 0

Si el residuo es cero, entonces, tenemos la certeza de que hemos factorizado la expresión; la factorización es el producto del cociente y el divisor:

(

)(

)

2

7 27 4 0

7 1 4 0

x x x x

+ − =

− + =

Igualamos con cero cada factor y resolvemos:

(9)

B5

(

)

(

)

7 1 0

7 1 1 7 4 0 4 x x x x x − = = = + = = −

Los ceros de la función son los siguientes:

1 7 4 x x = = −

Existen otras formas de factorizar, ésta es una entre varias. En equipos de cuatro integrantes discute y encuentra otras formas más simples o distintas a las aquí propuestas; puedes apoyarte en algún libro de álgebra o en tus apuntes.

Ejemplo:

Halla los ceros reales de la función cuadrática f(x) = 4x2 - 16, y comprueba con su

gráfica.

Igualamos con cero:

2

4x −16 0=

a = 4, b = 0, c = 16 Analizamos el discriminante

2

(0) 4(4)( 16)

0 256 256 D D D = − − = + =

Como el discriminante D > 0, nuestra función tiene dos ceros o raíces reales y podemos constatar que la función es pura, por lo que podemos utilizar la fórmula general de segundo grado o simplemente despejar el valor de x. Para fines prácticos, despejemos la x:

Actividad

Al obtener la raíz cuadrada de un número, adquieres dos valores: uno positivo y uno negativo. Lo anterior es así, porque si realizas la operación inversa –que es elevar al cuadrado– existen dos números que cumplen con esta condición, precisamente uno positivo y uno negativo:

(10)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

2

2

4 16

16 4

4 2

x

x

x x

=

=

= ± = ±

Por lo tanto, la función tiene ceros en x = 2 y x = −2. Veamos su gráfica y su dominio, al igual que la polinomial es:

Ejemplo:

Halla los ceros reales de la función f x( )=x2+5x y comprueba con su gráfica.

Igualamos con cero: x2+5x=0

a = 1, b = 5, c = 0

Analizamos el discriminante:

2

(5) 4(1)(0)

25 0 25

D D D

= −

= −

=

El discriminante D > 0 de la función tiene dos ceros o raíces reales.

Factorizamos la función utilizando el método de factorización por factor común; debido a que ambos términos de la expresión tienen “x”, podemos “sacar” como factor común la “x” de menor exponente:

2 5 0

( 5) 0

x x x x

+ =

+ =

Igualamos con cero cada factor.

0 5 0

x x

= + =

Actividad

Cero en x = 2 Cero en

(11)

B5

Resolvemos:

0 5

x x

= = −

Concluimos que la función tiene ceros reales en x = 0 y x = −5. Comprobamos con su gráfica.

Ejemplo

Halla los ceros reales de la función y x= 24x+6, y comprueba con su grafica.

Igualamos con cero:

2 4 6 0

xx+ =

A = 1, b = -4, c = 6

Analizamos el discriminante:

2

( 4) 4(1)(6)

16 24 8

D D D

= − −

= −

= −

Como el discriminante D < 0, concluimos que la función no tiene ceros o raíces reales.

Cero en x = -5

(12)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Comprobamos con su gráfica y observamos que la función no “toca” ni “corta” el eje x.

Ejemplo:

Halla los ceros reales de la función f x( )= − + +x2 x 6, y comprueba con su gráfica

tus resultados. Igualamos con cero.

2 6 0

x x

− + + =

a = -1, b = 1, c = 6

Analizamos el discriminante:

2

(1) 4( 1)(6)

1 24 25

D D D

= − −

= + =

Como el discriminante D > 0, la función tiene dos ceros o raíces reales. Usemos el método de factorización:

2 6 0

x x

− + + =

“Sacamos” el signo negativo:

2

(x x 6) 0

− − − =

Buscamos dos números cuyo producto sea −6 y cuya suma sea −1. Los números que cumplen con esta condición son: −3 y +2, entonces, la factorización queda:

(x 3)(x 2) 0

(13)

B5

Igualamos con cero cada factor y resolvemos las ecuaciones resultantes:

3 0 2 0 3

2

x x x x

− = + = = = −

La función tiene ceros reales en x = 3 y x = −2. Además, como el coeficiente principal de la función es −1, podemos saber que la parábola abre hacia abajo. Comprobamos con su gráfica:

También es posible hallar los ceros de una función cuadrática a partir de su forma estándar.

Veamos:

2

( ) ( )

f x =a x h− +k

Igualamos con cero la función:

2

( ) 0

a x h− + =k

Despejamos x:

2

(x h) k

a

− =

k x h

a

− − = ±

k x = ± − +h

Cero real en x = 3

(14)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Halla los ceros de la función:

2

3 25

( )

2 4

f x =x− 

  , y comprueba con su gráfica.

Igualamos con cero la función:

2

3 25 0

2 4

x

=

 

 

a = 1, h = 3/2, K = −25/4

Sustituimos en la expresión y resolvemos:

1,2

1,2

1,2

1

2

25 3 4

1 2

25 3

4 2

5 3 2 2

5 3 8 4

2 2 2

5 3 2 1

2 2 2

x

x

x

x

x

 

− −

 

= ± +

= ± +

= ± +

= + + = =

= − + = − = −

En conclusión, la función cuadrática tiene sus ceros o raíces reales en x = 4 y x = −1:

Comprobando con su gráfica:

Cero en x = 4

(15)

B5

Trabajo en binas.

Hallar los ceros reales de las siguientes funciones. Incluyan el análisis del discriminante, sólo cuando se trate de funciones cuadráticas en su forma general; comprueben graficando la función con ayuda de algún software y entreguen a su profesor. Pueden comparar sus resultados con los de otras parejas.

2 2 2 2 2 2 2 2

1. y = x + 16x + 63 2. f(x) = x 3x + 10 3. y = 4x 36x 32 4. f(x) = x + 14x + 49

5. y = x 64

6. f(x) = x + 16

7. y = 2x 2x + 5

8. f(x) = 2x 13x + 15

− − − − − − − − 2 2 2 2 2

9. f(x) = (x-3) + 8

1 2

10. y = -4(x ) +

4 3

1

11. f(x) = (x+7) 16 2

1 12. y = 11(x 1) +

16

3 3

13. f(x) = 3(x )

4 7 − − − − − − − −

Conociendo los ceros y, a veces, cuando es necesario algunos parámetros de la función cuadrática, es posible construir su expresión algebraica; es decir, podemos invertir el proceso que acabamos de realizar.

Ceros de una función de grado tres

Debido a su grado, esta función puede tener como máximo 3 ceros reales y como mínimo uno. Su gráfica es una parábola cúbica.

Funciones cúbicas con una raíz

Función cúbica con función cúbica con dos ceros o raíces reales con tres ceros o raíces reales

Para realizar un bosquejo de la gráfica de la función real, debemos observar principalmente sus ceros reales.

Ejemplo:

Realiza la gráfica de la función cuyos ceros están localizados en: x = −3, x = −2 y x = 3.

a) Considerando que el coeficiente principal es positivo. b) Considerando que el coeficiente principal es negativo.

(16)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

a) Como tiene tres ceros reales y nos especifican que el signo del coeficiente principal es positivo, entonces, se trata de una función de grado tres positiva y el bosquejo de su gráfica se construye así:

Primero localizamos sus ceros en el eje coordenado

Al tener coeficiente positivo, su gráfica comienza en las ordenadas más negativas, es decir, en la parte inferior del plano, y a partir de la raíz más negativa.

(17)

B5

b) Como tiene tres ceros reales y el signo del coeficiente principal es negativo, entonces, se trata de una función de grado tres negativo y el bosquejo de su gráfica se construye empezando por las ordenadas más positivas:

Para fines prácticos, sólo se muestran estos dos casos. Sin embargo, más adelante retomaremos este tema.

Ceros de una función de grado cuatro

Como ya lo mencionamos en el bloque anterior, debido a su grado, esta función puede tener como máximo 4 ceros reales y como mínimo cero. Su gráfica tiene la forma de una parábola con variantes en las proximidades de su vértice. El bosquejo de este tipo de funciones sigue las mismas reglas que las de grado tres, y la forma que las caracteriza la tomarán a partir, tanto de los ceros reales, como de las raíces complejas. Si su coeficiente principal es positivo, su gráfica iniciará por las ordenadas positivas y terminará por el mismo lado, es decir, hacia las ordenadas positivas; si su coeficiente principal es negativo, entonces, su gráfica iniciará por las ordenadas negativas y terminará del mismo lado.

Ceros y raíces reales

Para obtener los ceros reales de una función, es recomendable el método de factorización; para ello, podemos utilizar el método del factor común, la división de expresiones algebraicas y la división sintética. Anteriormente, hemos hallado los ceros de la función cuadrática y de la función lineal empleando diversos métodos.

(18)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

determina su expresión algebraica y realiza un bosquejo de su gráfica.

Como x = −2 y x = 3 son ceros de la función, pero también son ecuaciones, entonces:

Igualamos a cero cada ecuación.

x + 2 = 0

x − 3 = 0

Ahora los multiplicamos: (x − 3)(x + 2) = 0

Lo igualamos a la función:

( ) ( 3)( 2)

f x = −x x+

Desarrollamos y tenemos la expresión algebraica:

2

( ) 6

f x =x − −x

Y hacemos el bosquejo de una parábola que pase por x = −2 y x = 3:

Como podrás observar, el bosquejo es un poco irregular, pero su finalidad es dar una idea general de la gráfica de la función.

Ejemplo:

Determina la expresión algebraica de la función cuyos ceros son 4

3

x= y x= −2; se sabe que la parábola abre hacia abajo. Realiza un bosquejo de la función. Igualamos con cero cada ecuación:

4 3

3 4

3 4 0

x x x

=

= − =

y

2 2 0

x x

= − + =

(19)

B5

(x 2)(3x 4) 0

− + − =

Lo igualamos a f(x):

( ) ( 2)(3 4)

f x = − +x x

Y desarrollamos:

2

( ) (3 4 6 8)

f x = − xx+ x

Simplificamos:

2

2

( ) (3 2 8)

( ) 3 2 8

f x x x f x x x

= − + −

= − − +

Y obtenemos la expresión algebraica. Ahora hacemos el bosquejo:

Halla la expresión algebraica a partir de los ceros de las siguientes funciones cuadráticas y realiza el bosquejo correspondiente a su gráfica:

(20)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

2. x = 5, x = 8; la parábola abre hacia arriba. 3. x = –1, 1;

3

x= la parábola abre hacia arriba.

4. x = –9, x = 7; la parábola abre hacia arriba. 5. x = 0, x = –4; la parábola abre hacia arriba. 6. x = 0, x = 3; la parábola abre hacia abajo.

7. x = 2; la parábola abre hacia abajo. 8. x = 7, 9;

4

x= la parábola abre hacia abajo. 9. x = –8, x = 5; la parábola abre hacia abajo. 10. x = –8, x = 8; la parábola abre hacia abajo.

11. x = 5, 4; 5

x= la parábola abre hacia abajo.

12. 3

7

x= − la parábola abre hacia abajo.

Muchas de las soluciones que formules a los problemas aquí propuestos, dependerán de tu creatividad y de los conocimientos que hayas obtenido.

División sintética

La división sintética es una variante de la división algebraica, aunque está limitada ya que el divisor debe tener la formax a± donde a puede ser cualquier constante.

Sabemos que una función polinomial de grado n tendrá n + 1 términos, al igual que como máximo tendrá n + 1 coeficientes; esto es importante, ya que nos permitirá desarrollar el método adecuadamente.

Para poder explicar adecuadamente la división sintética, tomemos el siguiente ejemplo, el cual desarrollaremos por pasos: 3 5 2 2 24

4

x x x x

+ − −

(21)

B5

Paso 1.

Se observa el grado de la función y se sabe que debe tener n + 1 términos. En este caso, la función en el numerador es de grado 3, por lo tanto, debe tener como máximo 3 + 1 términos, es decir 4, efectivamente, tiene cuatro términos. Paso 2.

Se escribe cada coeficiente.

1 5 –2 –24

Paso 3.

Del denominador se toma el valor de “a”, pero con signo contrario y se escribe al lado de cada coeficiente; es decir, en el lugar que ocupa el divisor. En este paso, se genera automáticamente el cambio de signo que se debe hacer en la división algebraica, en este caso el valor de a = 4, por lo tanto, escribimos -4:

1 5 –2 –24 –4

Paso 4.

Se baja el coeficiente principal al cociente y se multiplica por el valor de −a; y el resultado se coloca abajo del segundo coeficiente, 1 por −4 igual a −4:

1 5 –2 –24 –4 –4

1

Paso 5.

Se realiza la suma o resta y el resultado se coloca en el cociente; 5 – 4 = 1.

1 5 –2 –24 –4

–4

1 1

Paso 6.

divisor dividendo

(22)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

1 5 –2 –24 –4

–4 -4

1 1 –6

1 5 –2 –24 –4

–4 -4 24

1 1 –6 0

Paso 7.

Al dividir entre una expresión lineal el grado del cociente, será menor en una unidad que el coeficiente principal que tenía el numerador al iniciar el problema. Asimismo, se interpreta disminuyendo de uno en uno el exponente a cada valor del residuo; es decir, el primer uno corresponde ahora al valor cuadrático, el segundo uno corresponde al valor lineal y, finalmente, el -6 corresponde al término independiente:

3 2

2

5 2 24 6

4

x x x x x x

+ − − = + −

+

Si el residuo es cero, nuestra división es exacta, como en este caso ocurrió. Efectuemos la siguiente división:

3 9

3

x x x

− +

Ejemplo:

Paso 1

La función a dividir es nuevamente una expresión cúbica. Además, sabemos que debe tener n + 1 términos; es decir, 4 términos. Nos damos cuenta que le faltan el término cuadrático y el independiente, por consiguiente, en su lugar colocamos ceros, en donde van los coeficientes correspondientes a dichos términos. Paso 2.

Se escribe cada coeficiente:

1 0 –9 0

Paso 3.

Del denominador, se toma el valor de “a”, pero con signo contrario y se escribe al

(23)

B5

lado de cada coeficiente; es decir, en el lugar que ocupa el divisor; en este caso, el valor de a = 3. Por lo tanto, escribimos −3.

1 0 –9 0 –3

Paso 4.

Bajamos el coeficiente principal al cociente y lo multiplicamos por el valor de –a; el resultado se coloca abajo del segundo coeficiente, 1 por –3 igual a–3:

1 0 –9 0 -3

–3 1

Paso 5.

Se realiza la suma o resta y el resultado se coloca en el cociente; 0 −3 = 0:

1 0 –9 0 –3

–3 9

1 –3

Paso 6.

Se efectúa este procedimiento cuantas veces lo permitan las funciones:

1 0 –9 0 –3

–3 9

1 –3 0

Paso 7.

Del resultado, tomamos el 1 que corresponde a x2 y −3 que corresponde a −3x,

quedando así:

3

2

9

3 3

x x

x x x

=

(24)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Actividad

Realiza las siguientes operaciones utilizando la división sintética:

2 2 3 2 3 2 2 2 3 1. 1 7 10 2. 2

2 17 15

3.

- 3

3 16 48

4.

4

2 23 63

5. 2 9 x x x x x x

x x x x x x x

x x x x − − + + + + + − + − − + − − + − 2 4 3

4 3 2

2

3 2

28 31 5

6.

4 5

5 20 16

7.

4

3 8 12 16

8. 2 2 3 9. 2 3 2 10. 2 1 x x x x x x

x

x x x x x x x x x x x + − + − + − − − − + + − + − + − −

Un factor es un elemento de la multiplicación, y al resultado de la multiplicación de dos o más cantidades se le llama producto.

Si al efectuar una división, el residuo es igual a cero, el cociente y el divisor son factores del dividendo.

En la división de estas expresiones: 3 9 2 3

3

x x

x x x

=

+ , el residuo fue cero y,

por tanto, podemos decir que: (x+3)(x23 )x =x39x.

Todo lo anterior se basa en el teorema del factor, que dice:

Cuando un polinomio f(x) se divide entre un binomio x – c y su residuo es cero, entonces, podemos afirmar que c es raíz del polinomio. Con este teorema, nosotros podemos hallar las raíces o ceros de cualquier función, siempre y cuando al efectuar la división, el residuo sea cero. También podremos construir

(25)

B5

racionales; las raíces racionales son aquellas que pueden representarse por medio de una división.

Encuentra el cociente y el residuo de las siguientes expresiones; utiliza la división sintética: 2 2 3 2 3 7 1. 1

5 27 10

2.

5

10 3

3.

4

2 11 12

4. 1 7 6 5. 4 x x x x x x x x

x x x x x x x + + + + − − + + + − − + + − + − − + 3 2 3 2 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2 19 6

6.

3

2 3 5 6

7.

-1

10 31 30

8.

5

11 41 61 30

9.

4

6 61 196 211 30

10.

4

x x x x x x x

x x x x

x

x x x x x

x x x x x − − − + + − − + + + − + + + + + + + + + +

Teorema de las raíces racionales:

Si tenemos un polinomio de la f orma:

1 2 1

1 2 1

( ) n n n ...

n n n o

f x a x a xa xa x a

− −

= + + + + + , es posible encontrar los cocientes formados por los factores del coeficiente an y los factores del coeficiente a0 para encontrar una raíz racional del polinomio, si p es factor del coeficiente a0 y q es un factor del coeficiente principal an, entonces, los ceros racionales del polinomio son:

p q

Para verificar que encontramos el cero racional del polinomio al sustituir el cociente p en el polinomio, se debe cumplir:

Actividad

(26)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

( ) 0

P x =

Es decir, que al sustituir los cocientes p

q en el polinomio, el resultado de esta sustitución deberá ser cero. Sólo si se cumple esta condición podemos decir que hemos hallado el cero racional de la función.

Ejemplo

Encuentra los ceros racionales del siguiente polinomio:

2

( ) 2

P x =x − −x

Los posibles factores de 1 que es el coeficiente principal, son: q = 1

Los posibles factores de –2 que es el término independiente, son: p = 1, −1,2,-2

Con estos números, formamos los cocientes que nos permitirán encontrar los factores del polinomio:

1 -1 2 -2

, , , 1, -1, 2 - 2

1 1 1 1

p

q= =

Ahora debemos probar cada uno de ellos en el polinomio, para ver cuál cumple con la condición P(x) = 0:

2

2

2

2

(1) (1) (1) 2 1 1 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 2 1 1 2 0

(2) (2) (2) 2 4 2 2 0

( 2) ( 2) ( 2) 2 4 4 2 2

P P P P

= − − = − − = − − = − − − − = + − =

= − − = − − =

− = − − − − = − − = −

Los valores que hacen cero al polinomio son: x = −1 y x = 2, podemos decir que ambos son raíces del polinomio y que, por lo tanto, x + 1 y x − 2 son factores del polinomio:

Comprobamos:

2 2

2 1

x x x x

− − = − +

(27)

B5

Nota: No es necesario que pruebes todos los cocientes en el polinomio, sólo hazlo hasta que encuentres uno que haga cero al polinomio y los demás factores los puedes localizar por división sintética o simplemente mediante división algebraica.

Ejemplo:

Encuentra los ceros racionales del siguiente polinomio: P x( ) 7= x2+19x6.

Los posibles factores del coeficiente principal, 7, son: q = +7,+1.

Los posibles factores del término independiente, –6, son: p=±1, ±2, ±3, ±6. Con estos números, formamos los cocientes que nos permitirán encontrar los factores del polinomio: 1 1 2 2 3 3 6 6, , , , , , ,

7 7 7 7 7 7 7 7

p q

− − − −

=

2

2

2

1 7 1 19 1 6 1 19 6 22

7 7 7 7 7 7

1 1 1 1 19 60

7 19 6 6

7 7 7 7 7 7

2 2 2 4 38

7 19 6 6 0

7 7 7 7 7

P

P

P

−  =   +  − = + − =

     

     

=+− = − − = −

     

     

 =   +  − = + − =

     

     

Encontramos que 2

7

x= es cero racional del polinomio.

Si 7

2

x=

7 2

7 2 0

x x

=

− =

entonces, 7x − 2 es un factor del polinomio:

2

7 19 6 3

7 2

x x x x

+ − = +

Si x + 3 es un polinomio, entonces x = −3 es otro cero del polinomio. Por lo tanto,

concluimos que la función tiene ceros racionales en 2

7

(28)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Ejemplo:

Dados los ceros de la función: x = 4, x = 2, x = −1, se sabe que el coeficiente principal es positivo. Halla la expresión algebraica y dibuja su gráfica.

Primero despejamos cada cero y lo igualamos con cero:

4 0 2 0 1 0

x x x

− = − = + =

Ahora, cada expresión la multiplicamos con la otra e igualamos con cero:

(x−4)(x−2)(x+ =1) 0

Lo igualamos con la variable dependiente:

( 4)( 2)( 1)

y= −x xx+

Desarrollamos:

2

2

3 2 2

3 2

3 2

( 2 4 8)( 1)

( 6 8)( 1)

6 6 8 8

5 2 8

( ) 5 2 8

y x x x x y x x x

y x x x x x y x x x

f x x x x

= − − + +

= − + +

= + − − + +

= − + +

= − + +

(29)

B5

Ejemplo:

Dados los ceros de la función: x = −2, x = −1, x = 1, x = 2, se sabe que el coeficiente principal es negativo. Halla la expresión algebraica y dibuja su gráfica:

Se igualan con cero:

2 0 1 0 1 0 2 0

x x x x

+ = + = − = − =

Se multiplican y se agrega al inicio el signo negativo, ya que el coeficiente principal es negativo:

2

2

3 2 2

3 2

4 3 3 2 2

4 2

4 2

( 2)( 1)( 1)( 2) 0

( 2)( 1)( 1)( 2)

( 2 2)( 1)( 2)

( 3 2)( 1)( 2)

( 3 3 2 2)( 2)

( 2 2)( 2)

( 2 2 4 2 2 4)

( 5 4)

( ) 5 4

x x x x y x x x x y x x x x x y x x x x

y x x x x x x y x x x x

y x x x x x x x y x x

f x x x

− + + − − =

= − + + − −

= − + + + − −

= − + + − −

= − − + − + − −

= − + − − −

= − − + − − + − +

= − − +

= − + −

(30)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

I. En equipos de cuatro integrantes, hallar los ceros de las siguientes funciones, utilizando el método del cero racional y la división sintética. Construyan un bosquejo de su gráfica:

3 2

3 2

3 2

4 3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

4 3 2

1. ( ) 4 4

2. ( ) 22 40

3. ( ) 21 45

4. ( ) 4 26 60 225

5. ( ) 2 5 11 14

6. ( ) 3 5 12 20

7. ( ) 7 8 16

8. ( ) 14 24

9. ( ) - 2 35 36 180

f x x x x f x x x x f x x x x

f x x x x x f x x x x f x x x x f x x x x f x x x x

f x x x x x

= + − − = + − − = + − − = − − + + = + − − = + − − = + + − = − − + = + + − −

4 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

4 3 2

3 2

3 2

3 2

10. ( ) 3 6 28 24

11. ( ) 2 23 24 144

12. ( ) 3 7 71 175 100

13. ( ) -5 6 27

14. ( ) 4 21

15. ( ) 8 32 168

16. ( ) 7 9 63

17. ( ) 8 5 57

18. (

f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x

f x x x x f x x x x f x x x x f x x x x f x = − − + + + = − − + + − = − − + + + = + + = − − + = + − = + + + = − + + 3 2

)= −2x −10x −6x+20

II. Dados los ceros de la función, halla su expresión algebraica. Además, realiza un bosquejo de su gráfica o, en su defecto, grafica utilizando un software para el efecto.

1. x=0,x=3,x=4, coeficiente principal positivo. 2. x=2,x= −2,x=2, coeficiente principal negativo. 3. x=1,x= −5,x=3, coeficiente principal positivo. 4. x=0,x=8,x=2, coeficiente principal negativo. 5. x=3,x=3,x=3, coeficiente principal positivo. 6. x=2,x=3,x=4,x=1, coeficiente principal positivo. 7. x= −1,x= −3,x=2,x=4, coeficiente principal negativo. 8. x=4,x=4,x=4,x=4, coeficiente principal positivo. 9. x=0,x= −3,x= −3,x=2, coeficiente principal negativo. 10. x=4,x=7,x=7,x=7, coeficiente principal positivo.

(31)

B5

Ceros y raíces complejas

Hasta este momento, hemos determinado las raíces o ceros reales de una función; sin embargo, existen algunas que, por sus características específicas, no tienen ceros reales, es decir, no presentan intersecciones con el eje de las abscisas (x). Al resolver funciones con estas características, encontramos que se presentan raíces de números negativos y sabemos que estos números no son reales, por consiguiente, les llamamos imaginarios.

La unidad imaginaria es:

1 i

− = , de tal manera, que se cumple que: i2 = −1.

Con los números imaginarios se forman otros números, a los cuales llamamos complejos y los representamos con la letra z. Éstos se encuentran formados por un número real y un número imaginario; en general, tenemos:

z = a + bi

Donde a y b son reales.

Si tenemos por ejemplo −16, entonces, para transformarlo a imaginario hacemos lo siguiente: factorizamos el número de tal manera que quede como factor de −1.

16 16 * 1

− = −

Ahora aplicamos las propiedades de los radicales:

16 − =1 4 − =1 4i

y tenemos al número imaginario:

4i

Calculemos las raíces imaginarias de algunas funciones:

Ejemplo

Determina las raíces de la función f x( )=x2+9. Comprobamos, con su gráfica, si es que

(32)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Se comprueba que sí tiene sus ceros complejos; los calculamos:

1, 0, 9

(0) 4(1)(9) 36

a b c D

D

= = =

= −

= −

Concluimos que nuestra función tiene ceros complejos:

1,2

0 36 36 * 1 36 1 6

3

2(1) 2 2 2

i x = ± − =± − = ± − = ± = ± i

La función tiene ceros complejos o imaginarios en: x1=3iy x1= −3i

Ejemplo:

Determina las raíces de la siguiente función:

f(x) = x2 – 8x + 18

(33)

B5

Busquemos las raíces de la función para ver qué obtenemos:

2

1, 8, 18

( 8) 4(1)(18) 64 72

8

a b c D

D

= = − =

= − − = −

= −

Al hacer el análisis del discriminante, nos damos cuenta que en verdad nuestra función no tiene ceros reales. Sin embargo, al resolver la ecuación obtenemos:

1,2

1

2

( 8) 8

2(1)

8 8 8 4 * 2 * 1 8 2 2 1 8 2 2 1 4 2 1 4 2

2 2 2 2 2

8 8 8 4 * 2 * 1 8 2 2 1 8 2 2 1

4 2 1 4 2

2 2 2 2 2

x

x i

x i

− − ± − =

+ + − + + − + − −

= = = = + = + − = +

+ − − + − − − − −

= = = = + = − − = −

Por lo tanto, la función tiene raíces complejas en:

x1=4+ 2i x2=4− 2i

Ejemplo:

Determina los ceros de la función:f x( )=x3+x2+2x+2

3 2 2 2 0

x +x + x+ =

Utilizando la división sintética, obtenemos:

1 1 2 2 –1

–1 0 –2

1 0 2

La factorización de la función es: x3+x2+2x+ = +2 (x 1)(x2+ =2) 0. Tiene un

cero real en x = −1.

Ahora resolvemos la cuadrática:

2

2

2 0 2

x x

(34)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Concluimos que la función tiene un cero real en x = -1 y dos ceros complejos

2

x= i y x= − 2i; veamos su gráfica:

Determina los ceros de las siguientes funciones, incluyendo el cálculo de aquellos que sean complejos; grafica y observa su comportamiento. Entrega un reporte escrito de tus observaciones a tu profesor.

2

2

2

2

3 2

1. 2( 4) 1

2. ( 5) 3

3. ( 3) 2

4. ( 6) 4

5. 14 60 77

y x y x y x y x

y x x x

= − +

= + +

= − − − = − + −

= + + +

3 2

3 2

3 2

3

3

6. ( ) 9 9

7. ( ) 5 5

8. ( ) 9 9 81

9. ( ) 27

10. ( ) 8

f x x x x f x x x x f x x x x f x x

f x x

= + + +

= + + +

= + + +

= −

= +

Teorema fundamental del álgebra

Teorema: Toda función polinomial de grado n tendrá n ceros.

En general, el número máximo de ceros de cualquier función polinomial estará dado por el grado de la función. Es decir, si se trata de una función de grado seis, ésta tendrá como máximo seis ceros; si se trata de una función de grado

(35)

B5

tres, tendrá como máximo tres ceros. Ahora, el número mínimo de ceros se determina al clasificar a la función polinomial en grado par o impar; si la función es de grado impar, tendrá como mínimo una raíz o cero real; sin embargo, si la función es de grado par, puede no tener ningún cero o raíz real. Por ejemplo, si se trata de una función de grado siete, tendrá como mínimo un cero y si es una función de grado seis, puede no tener ningún cero o raíz real.

Teorema del factor lineal multiplicidad

Teorema: un polinomio de grado n tiene exactamente n factores lineales.

Si al factorizar un polinomio, alguno de los factores lineales se repite una o más veces, entonces tendremos una multiplicidad. Si un factor se repite una vez, entonces tenemos multiplicidad dos; si se repite dos veces, entonces decimos que tenemos multiplicidad tres, y así sucesivamente. Veamos:

Ejemplo

I. Factorizar x2+8x+16

Su factorización es: (x + 4)(x + 4). Vemos que el factor se repitió una sola vez, por lo tanto esta expresión presenta multiplicidad dos.

II. Factorizar x4+13x3+63x2+135x+108

La factorización de esta expresión es (x + 3)(x + 3)(x + 3)(x + 4). Observemos que un factor se repite dos veces, por lo que decimos que esta expresión tiene multiplicidad tres.

Ejercicio:

De los ejercicios realizados anteriormente, verifica cuáles presentan multiplicidad, dos, tres o cuatro.

(36)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Función cúbica con dos ceros o raíces reales.

Función cúbica con tres ceros o raíces reales.

Gráficas de funciones cúbicas con coeficiente negativo

(37)

B5

Funciones cúbicas con una raíz.

Función cúbica con dos ceros o raíces reales.

(38)

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Autoevaluación

Verificando tus desempeños.

El objetivo de esta autoevaluación es que verifiques en forma individual tus avances durante este bloque detectando tus áreas de oportunidad; es por ello que primero encontrarás los desempeños que se esperan de ti. Cada problema que implique una dificultad es un área de oportunidad, pues deberás centrar tu atención y tus estudios en ella.

Con ayuda de tu maestro, escribe aquí tus áreas de oportunidad:

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, asimismo, la división sintética, para hallar los ceros reales de funciones polinomiales.

I. Determina los ceros reales de la función f x( )=x4+11x39x299x

Emplea la división sintética para obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x - a. II. Utilizando la división sintética, efectúa la siguiente división:

4 5 3 10 2 80 96

3

x x x x x

− − + −

Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la factorización lineal para hallar los ceros de una función polinomial factorizable.

III. Aplicando el cero racional halla los ceros de la siguiente función:

4 3 2

( ) 4 4 39 36 27

f x = xxx + x+

Aplica y combina las técnicas y procedimientos para la factorización y la obtención algebraica y la gráfica de ceros de funciones polinomiales, en la resolución de problemas teóricos y/o prácticos.

Referencias

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