POLIGONOS CONCEPTO Y CLASES 4°

LUIS GONZALO PULGARÍN R

4°

Polígonos

Es la figura que está formada por segmentos de recta.

POLI significa MUCHOS Y GONOS significa Ángulos.

La interseción de dos segmentos de recta o lados de un Polígono determina el ángulo.

Es la figura que está formada por segmentos de recta.

POLI significa MUCHOS Y GONOS significa Ángulos.

La interseción de dos segmentos de recta o lados de un Polígono determina el ángulo.

Segmentos de recta

A

B

C D

Son cada uno de los segmentos que forman el Polígono.Es el punto de unión

de dos lados consecutivos.

Es el espacio que forman dos lados consecutivos.

2 cm 3 cm

5 cm

8 cm

EL PERÍMETRO

PERÍMETRO = 8cm + 5cm + 3cm + 2cm =

EL PERÍMETRO DE UN POLÍGONO ES LA SUMA DE TODOS SUS LADOS

5 cm

18 cm

Polígonos Regulares

Es aquella figura que tiene todos sus lados de igual

longitud(congruentes: iguales) y los ángulos

Polígonos Irregulares

Si los lados de un polígono tienen diferentes medidas y sus ángulos interiores no son congruentes(iguales) se

Clases de Polígonos

Podemos clasificar los polígonos por:

El número de lados que tiene.

Dibujar

cada figura según el número de sus lados: dejar 3 o 4 renglones para cada dibujo.

•3 lados – TRIÁNGULO

•4 lados – CUADRILÁTERO

•5 lados – PENTÁGONO

•6 lados – HEXÁGONO

•7 lados – HEPTÁGONO

•8..lados OCTÁGONO

•9 lados NONÁGONO

Clasificación de los polígonos

por el número de lados

•

_Triángulo

CUADRILATERO

PENTÁGONO

HEXÁGONO

HEPTÁGONO

OCTÁGONO

NONÁGONO

DECÁGONO

ENDECÁGONO

DODECÁGONO

PENTADECÁGONO

01.-Polígono convexo.-Las medidas de sus ángulos interiores son agudos.

02.-Polígono cóncavo.-La medida de uno o mas de sus ángulos interiores es cóncavo.

03.-Polígono equilátero.-Sus

Triángulo : 3 lados Cuadrilátero: 4

lados Pentágono: 5 lados

Hexágono: 6 lados Heptágono: 7

lados Octágono: 8 lados

Nonágono: 9 lados Decágono: 10 lados Endecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono: 15 lados Icoságono: 20 lados

05.-Polígono regular.-Todos sus lados y ángulos son iguales(congruentes) es equilátero y a su vez

equiángulo.

06.-Polígono irregular .-Sus lados tienen

El cuadrilátero.

Polígonos regulares

Definiciones:

•

_{Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.}

•

_{Dos lados son opuestos si no son consecutivos.}

•

_{Dos vértices son opuestos si no son consecutivos}

_.

a

b

d

c

A

B

C

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden

ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus

DENTRO DE LOS CUADRILÁTEROS

TENEMOS:

PARALELOGRAMOS

NO

DENTRO DE LOS PARALELOGRAMOS

HAY CUATRO TIPOS

:

ROMBOIDE

CUADRAD

_O

RECTÁNGUL

O

Clasificación De Los Cuadriláteros

C U A D R I L Á T E R O S PARALELOGRAMOS TRAPECIOS TRAPEZOIDES (Tienen sus lados Opuestos paralelos)

(Únicamente tiene Paralelas sus bases)

(No tiene lados Paralelos) RECTÁNGULOS ROMBO ROMBOIDE RECTANGULAR ISÓSCELES ESCALENO SIMÉTRICO ASIMÉTRICO CUADRADO CUADRILONGO (4 ángulos rectos)(4 lados iguales)

(lados opuestos iguales) (4 lados iguales, 2 ángulos agudos,

2 ángulos obtusos) (lados opuestos iguales, 2 Ángulos agudos 2 obtusos)

(2 ángulos rectos) (2 lados iguales)

(lados diferentes, no tine Ángulos rectos)

(tiene sus lados iguales 2

Perímetro De Un Polígono Regular

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes

de sus lados. Si representamos el Perímetro con la letra

P

,

el número de sus lados con la letra

L

y la longitud con la

letra

L. La fórmula es:

P L x L

Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera

debemos medir y sumar las longitudes de sus lados.

Hagamos un concurso por

grupos.

1. Tiene los cuatro lados iguales:

a) Sólo el cuadrado b) Algunos rectángulos c) El cuadrado y el rombo

2. Sólo tiene sus lados iguales dos a dos:

a) El cuadrado b) El rectángulo y el romboide c) El rombo

3 Sus cuatro ángulos son iguales :

a) El cuadrado b) El cuadrado, el rombo y el rectángulo

c) El cuadrado y el rectángulo

4. Sus diagonales son perpendiculares:

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO = BASE ∙ ALTURA

A VECES NO ES FÁCIL CALCULAR LA BASE Y LA ALTURA DE UN PARALELOGRAMO.

ASÍ QUE TRATAREMOS DE VER FÓRMULAS QUE NOS AYUDARÁN PARA CADA CASO.

¿BASE?

PARA FACILITARNOS EL TRABAJO MEMORIZAREMOS LA FÓRMULA DEL ÁREA DE CADA PARALELOGRAMO.

PERO ADEMÁS COMPRENDEREMOS DE DÓNDE SALE CADA FÓRMULA

COMPRENDEREMOS

Paralelogramo

Nombre

Área

cuadrado _{lado X lado}

rectángulo

rombo

romboide

base X altura

Diagonal X diagonal

2

Sabiendo que el área de un triángulo es:

AT = Base · altura

2

AC = 2 · AT = 2 ·

lado X lado

2 = lado X lado

= base X altura AR = 2 · AT = 2 ·

Área De Un Polígono Regular

A=NoT x AT AT=L x a

2 a

NoT=NoL A= NoL x L x a

2

Área De Un Círculo

Apr=P x a 2

Pc=2 x pi x R _R=a

Ac=2 x pi x R x R 2

Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.

Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras:

- Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares y

poliedros irregulares.

PRIMERA PROPIEDAD

Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales.

• Lados

• Vértices

SEGUNDA PROPIEDAD

A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3 ) diagonales.

Ejemplo:

TERCERA PROPIEDAD

El número total de diagonales que se puede trazar en un polígono: 2 ) 3 n ( n N_D  

Ejemplo: diagonales 5 2 ) 3 5 ( 5

CUARTA PROPIEDAD

Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n-2) triángulos

Ejemplo:

3

2

1

QUINTA PROPIEDAD

Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono:

S_i =180°(n-2)

Ejemplo:

180º

180º

180º

S_i = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º

Donde (n-2) es número de triángulos

SEXTA PROPIEDAD

Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º

S_e = 360°





 



 +  +  +  +  = 360º

SEPTIMA PROPIEDAD

Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se obtiene (n-1) triángulos

Ejemplo:

3

2

1

4

Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triángulos Punto cualquiera de

OCTAVA PROPIEDAD

Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se obtiene “n” triángulos

3

2

1

4

5

NOVENA PROPIEDAD

Número de diagonales trazadas desde “V” vértices consecutivos, se obtiene con la siguiente fómula.

2 ) 2 V )( 1 V ( nV

N_D     Ejemplo:

2 1

1ra. Propiedad 2da. Propiedad

3ra. Propiedad _{4ta. Propiedad}

Suma de las medidas de los ángulos centrales.

S_c = 360° Medida de un ángulo interior de

un polígono regular o polígono equiángulo. n ) 2 n ( 180 m i    

Medida de un ángulo exterior de un polígono regular o polígono equiángulo.

n 360 e

m  

Medida de un ángulo central de un polígono regular.

n 360 c

En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el total de diagonales de dicho polígono.

360° + 180°( n - 2 ) = 1980° Se + S_i = 1980°

Resolviendo: _{n = 11 n = 11 ladoslados}

Número de diagonales:

2 ) 3 n ( n

N_D   2 ) 3 n ( n

N_D  

2 ) 3 11 ( 11

N_D   NN_DD = 44 = 44

Del enunciado:

Luego, reemplazando por las propiedades:

Problema Nº 01

¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de cada uno de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo

m_i = 8(me )

Resolviendo: n = 18 n = 18 ladoslados

Polígono de 18 lados

Polígono de 18 lados Polígono es regular:

) n 360 ( 8 n ) 2 n ( 180    

Problema Nº 02

Del enunciado:

Reemplazando por las propiedades:

Luego polígono es regular se denomina:

Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75.

Resolviendo: n = 15 n = 15 ladoslados Luego, el número total de diagonales:

2 ) 3 n ( n

N_D   2 ) 3 n ( n

N_D  

2 ) 3 15 ( 15

N_D   NND_D = 90 = 90

2 ) 3 n ( n 

N_D = n + 75

= n + 75 n2 - 5n - 150 = 0

Problema Nº 03

Del enunciado:

Reemplazando la propiedad:

En un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 12°; entonces el número de vértices del polígono es:

Resolviendo: n = 5 _{n = 5 lados}lados

N_V= 5 vértices

N_V= 5 vértices

Polígono es regular:

Polígono original: n lados

Polígono modificado: (n+1) lados

1 n ) 2 1 n ( 180 12 n ) 2 n ( 180        

Número de lados = Número de vértices

Problema Nº 04

Del enunciado:

Reemplazando por la propiedad:

El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono.

Resolviendo: _{n = 9 n = 9 ladoslados}

m_c = 40° Polígono es regular:

2 ) 3 n ( n 

= 3n

Luego, la medida de un ángulo central:

n 360 m

_c

 

n 360 m

_c

 

9 360 m

_c

 

Problema Nº 05

Del enunciado:

RESOLUCIÓN

N_D = 3n