– Paso de decimal exacto y decimal periódico a fracción

(1)

3 FRACCIONES Y DECIMALES

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

Comprueba de dos formas distintas si —

3 8

2

— y —

1 3

2

— son equivalentes.

1.ª forma: 8 12 96 32 3 → 3 8

2

y 1 3

2

son equivalentes.

2.ª forma: 3 8

2

₃8₂ 8₈ 1₄y 1 3

2

₁3₂ 3₃ ₄1→₃8₂y 1 3

2

son equivalentes.

Halla tres fracciones equivalentes ampliadas y la fracción irreducible de —1

3 8 0

—.

₃18₀ 1₃8₀ 2₂ 3₆6₀

₃18₀ 1₃8₀ 3₃ 5₉4₀

₃18₀ 1₃8₀ 4₄ ₁7₂2₀

1₃8₀ 1₃₀8 ₆6 3₅

Compara las siguientes fracciones.

a) —9

5— y — 9

8— b) —1

6 1

— y —1

1 0 1

— c) —3

7— y — 3 4—

a) Como tienen el mismo numerador:9 5

9 8

b) Como tienen el mismo denominador: 1 6

1

1₁0₁

c) 3 7

3 4

Ordena de menor a mayor estas fracciones.

—7

8— , — 5 4— , —

1 6— y —

2 9—

m.c.m. (8, 4, 6, 9) 72

7₈ 6₇3₂ 5₄ 9₇0₂ 1₆ 1₇2₂ 2₉ 1₇6₂

Como 1 7 2 2

1₇6₂ 6₇ ₂3 9₇0₂se tiene que:1 6

2 9

7 8

5 4

Calcula y simplifica el resultado.

a) —

1 5

8

— —

1 3

8

— b) —

2 9

0

— —

2 7

0

— c) —1

6— — 4 6— —

2 6—

a) 1 5

8

₁3₈ ₁8₈ 4₉

b) 2 9

0

₂7₀ ₂2₀ ₁1₀

c) 1 6

4 6

2 6

3 6

1 2 3.5

(2)

Opera y simplifica el resultado.

a) —

1 2

5

— —8

9— b) —1

7 2

— —

1 3

0

— c) —

1 5

8

— —3

4— — 2 3—

a) 1 2

5

8₉ m.c.m.(15, 9) 45 1 2

5

8₉ ₄6₅ ₄40₅ 4₄6₅

b) 1 7

2

₁3₀ m.c.m.(12, 10) 60 1 7

2

₁3₀ 3₆5₀ 1₆8₀ 1₆7₀

c) 1 5

8

3₄ 2₃ m.c.m.(18, 4, 3) 36 1 5

8

3₄ 2₃ 1₃0₆ ₃27₆ 2₃4₆ 1₃3₆

Calcula y simplifica el resultado.

a) —7

3— — 6

8— b) —1

1 2

— 9 c) —5

4— —1 8

0

—

a)7 3

6 8

4 2 2 4

7₄

b) 1 1

2 9 1 9

2

3₄

c) 5 4 1

8 0

4₄0₀ 1

Halla el triple y la tercera parte de —

1 9

1

—.

Triple: 3 1

9 1

3₁₁ 9 2₁7₁ Tercera parte: 1 9

1

3 1

9 1

1₃ ₃9₃ ₁3₁

Realiza estas divisiones y simplifica el resultado.

a) —1

3 6

— —4

6— b) 10 —

4

5— c) —

7 2— 14

a)1 3

6

4₆ 1₃ 6 6₄ 9₁6₂ 8

b) 10 4 5 10

5 4

0

2₂5

c) 7 2 14

7 2 1

1 4

₂7₈ 1₄

¿Qué fracción multiplicada por —

1 4

0

— da —9

5—?

La fracción es 9 5 1

4 0

9₅ 1₄0 9₂0₀ 9₂

Calcula.

a)

—

1 6

1

—

2

b)

—3

8—

3

—3

8—

2

c)

—9

5—

7

—6

5—

7

a)

1 6

1

2 ₁6₁ 22 ₁ 3 2

6 1

b)

3 8

3

3₈

2

3₈

5 3 8 5 5

₃₂24₇3₆₈

c)

9 5

7

6₅

7

9₅ 6₅

7

9₅ 5₆

7

9₆

7

3₂

7 2

1 1

2 8

8 7

(3)

Calcula.

a)

—

1 9

6

—

b)

—1

4—

c)

—8

4 1 9

—

d)

—5

2 0 —

a)

1 9 6

1 9

6

3₄ a)

8

4 1 9

8 4 1

9

9 7

b)

1 4

1

4

1₂ a)

5

2 0

25

5

Sustituye la letra por el número adecuado.

a) —6

9— —

a

4— — 1 3 8 6

— c) —

2

a

0

— —2

5 1 — — 4 5 20—

b)

—a

5—

3 — 1 2 2 7 5

— d)

—1

a—

4 — 1 1 6 —

a) 6 9

4 3

1₃8₆ a 3

b)

5 3

3 1 2 2 7 5 a 3 c) 2 1 0

2₅1 ₄5₂₀ a1

d)

2 1

4 ₁1₆ a2

Calcula y simplifica el resultado si es posible.

a) —3

8—

— 1 4—

2

b)

—3

2—

2

—1 2—

2

—1 6 0 4 0 —

a) 3

8

1 4

2

3₈ ₁1₆ ₁6₆ ₁1₆ ₁7₆

b)

3 2

2

1₂

2

1₆0₄0

3₂ 1₂

2

1 6 0 4

0

3 4

2 1 8 0

₁9₆ 1₈0 ₁9₆ 2₁0₆ 1₁1₆

Calcula y escribe el resultado como fracción irreducible.

a) 3 —8

7—

— 2 3—

3

c) —5

8—

— 3 2—

2

—7

2—

b) —5

9— — 3 2— —

1 4—

—

3

8—

d) —

1 7— —

1 5—

—

3 7—

2

a) 3 8 7

2 3

3

3 8

7

( 27

8)

3 8 7 (

27 8) 3

2 7

7

2₇1 2₇7 6₇

b) 5 9 3 2 1 4

3 8

1 1 5 8

₁8 ₂ 6₇0₂ 48₇₂ 10₇₂8 9₆ ₂3

c) 5

8

3 2

2 7 2 5 8 9 4 7 2 5 8 6 8 3

6₈8 1₂7

d) 1 7 1 5

3 7

2 5 7 4

9 9

3₄5₉ ₄9₉ 2₄6₉

(4)

Opera y simplifica.

a) —6

8— — 2 7—

—

5 4— —

3

2—

b) —1

9 2

—

—1

6— — 1 4—

—

5 2—

a) 6 8 2 7

5 4 3 2

6 8 2 7

5 4 6 4

6 8 2 7 1 4 6 8 2

2 8

4₅2₆ ₅4₆ 3₅8₆ 1₂9₈

b) 1 9 2

1 6 1 4

5 2

1

9

2

1 6

5 8

1

9

2

2 4

4

1₂5₄

₁9₂ 1₂ ₄1 1₂8₄ 1₂1₄ ₂7₄

Coloca los paréntesis en el lugar adecuado para que se cumplan las siguientes igualdades.

a) —1

2— — 4 5— —

4 3— —

3 4 9 0

— b) —1

5— — 3 4— —

1

2— 4 1

a)

1 2 4 5

4 3 3 4 9 0

b) 1

5

3 4

1

2

4 1

Calcula y expresa el resultado en forma irreducible.

a) —7

2— — 1

2—

3 — 1 1 2 0

—

c) —

1 4

8

—

1 —5

2—

— 3 7—

b) —

1 4

5

—

—7

6— — 1

2—

d) —

1

3—

2

— 6 4— —

5 3—

a)7 2

1 2

3

1 1 2 0

7₂ 1₂

3₁0₀ 1₁2₀

7₂ 1₂ 1₁ ₀8 7₂ 1₂8₀ 7₂0₀ 1₂8₀ 5₂2₀ 1₅3

b) 1 4 5

7 6 1

2

1 4

5

7 6

3

6

1 4

5

4₆ ₃8₀ 2₃ ₀0 2₃8₀ 1₁4₅

c) 1 4

8

1 5 2

3 7 1

4 8

2 2 5 2

3 7 1

4 8

(₂3) 3₇ (₃1₆2) 3₇ ₁₀8 ₈4 ₉7

d)1

3

2

6 4

5 3

1

3

2

1 1 8 2

2₁0₂

1₃

2 1

2 2

1₃

2₁4₂ ₁2₂

₃1 2₁6₂ ₃26₆ 1₁3₈

Clasifica las expresiones decimales e indica las partes periódica y no periódica.

a) 0,5 b) 0,555… c) 2,03434… d) 0,23456

a) 0,5 decimal exacto

b) 0,555… decimal periódico puro, período 5

c) 2,03434… decimal periódico mixto, parte decimal no periódica 0, período 34

d) 0,23456: decimal exacto

Halla las expresiones decimales equivalentes y clasifícalas.

a) —1

5 2

— b) —

1 8

5

— c) —7

3— d) —

3 8

8

—

a) 1 5

2

2,4 decimal exacto

b) 1 8

5 0,5333... decimal periódico mixto, parte decimal no periódica 5, período 3

c) 7

3 2,333... decimal periódico puro, período 3

d) 3 8

8

4,75 decimal exacto

Escribe una aproximación por defecto de los siguientes números con un error menor que una décima.

a) 2,32 b) 1,111 c) 0,4141 d) 1,2222…

a) 2,32 →2,3 c) 0,4141 →0,4

b) 1,111 →1,1 d) 1,2222 … →1,2

(5)

Halla una aproximación por exceso de los siguientes números con un error menor que una centésima.

a) 1,725 b) 0,9191… c) 1,08 d) 2,777…

a) 1,725 →1,73 c) 1,08 →1,08

b) 0,9191...→0,92 d) 2,777 … →2,78

Haz las siguientes operaciones.

a) 0,273 10,00375 e) 1,7 0,83 – 1,2

b) 1,00345 0,9905 f) 5,4 0,6 2,3

c) 0,0567 4,35 g) 3,8 2 0,85

d) 0,9 0,0805 h) 0,5 0,03 6,666…

a) 0,273 10,00375 10,27675 e) 1,7 0,83 1,2 2,53 1,2 1,33 b) 1,00345 0,9905 0,01295 f) 5,4 0,6 2,3 3,24 2,3 0,94 c) 0,0567 4,35 0,246645 g) 3,8 2 0,85 1,9 0,85 2,75

d) 0,9 0,0805 →9 000 805 11,180 h) 0,5 0,036,666 …→50 36,666 …16,666…6,666…10

Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) 0,32 _{c) 0,4}3 _{e) (}_1,4)1 _{g) (}_0,1)5

b) 0,012 _{d) 1,1}2 _{f) (}_0,1)4 _{h) (}_11,05)0

a) 0,32 _0,09 _{c) 0,4}3 _0,064 _{e) (}_1,4)1 _1,4 _{g) (}_0,1)5 _–0,00001 b) 0,012 _0,0001 _{d) 1,1}2 _1,21 _{f) (}_0,1)4 _0,0001 _{h) (}_11,05)0₁

Calcula las siguientes raíces con una cifra decimal y señala cuál es el resto.

a)

42,15

b)

50,8

c)

105,7

d)

10

a)

42,15

6 c)

105,7

10

6,12 _37,21 _42,15 _10,12_102,01_105,7 6,22 _38,44 _42,15 _10,22_104,04_105,7 6,32 _39,69 _42,15 _10,32_106,09_105,7

6,42 _40,96 _42,15 _Luego

105,7

10,2 6,52 _42,25 _42,15

Luego

42,15

6,4

b)

50,8

7 d)

10

3

7,12 _50,41 _50,8 _3,12 _9,61 ₁₀ 7,22 _51,84 _50,8 _3,22 _10,24 ₁₀

Luego

50,8

7,1 Luego

10

3,1

Halla, por aproximaciones, el valor de estas raíces con una cifra decimal.

a)

5

b)

24

c)

58

d)

105

a)

5

2 c)

58

7

2,12 _4,41 ₅ _7,12 _50,41 ₅₈

2,22 _4,84 ₅ _7,22 _51,84 ₅₈

2,32 _5,29 ₅ _7,32 _53,29 ₅₈

Luego

5

2,2 7,42 _54,76 ₅₈

b)

24

4 7,52 _56,25 ₅₈

4,12 _16,81 ₂₄ _7,62 _57,76 ₅₈

4,22 _17,64 ₂₄ _7,72 _59,29 ₅₈

4,32 _18,49 ₂₄ _Luego

58

7,6

4,42 _19,36 ₂₄ _d)

105

10

4,52 _20,25 ₂₄ _10,12_102,01₁₀₅ 4,62 _21,16 ₂₄ _10,22_104,04₁₀₅ 4,72 _22,09 ₂₄ _10,32_106,09₁₀₅

4,82 _23,04 ₂₄ _Luego

105

10,2 4,92 _24,01 ₂₄

Luego

24

4,8 3.26

(6)

Aproxima con dos cifras decimales

30

.

30

5 5,412_29,2681 ₃₀

5,12 _26,01 ₃₀ _5,422_29,3764 ₃₀

5,22 _27,04 ₃₀ _5,432_29,4849 ₃₀

5,32 _28,09 ₃₀ _5,442_29,5936 ₃₀

5,42 _29,16 ₃₀ _5,452_29,7025 ₃₀

5,52 _30,25 ₃₀ _5,462_29,8116 ₃₀

Luego

30

5,4 (con una cifra decimal). 5,472_29,9209 ₃₀

5,482_30,0304 ₃₀

Luego

30

5,47 (con dos cifras decimales).

¿Es posible que 3,25 sea el valor aproximado de

10

? Razona tu respuesta.

10

3 3,12 _9,61₁₀

3,22 _10,24 ₁₀

10

3,1

Esta raíz está entre 3,1 y 3,2. Por tanto, 3,25 no puede ser el valor aproximado de

10

con error menor que 1 centésima.

Escribe los siguientes números en notación científica.

a) 5 400 c) 6 570 000 e) 56 000 000

b) 12 300 d) 289,5 f) Dos mil millones

a) 5 400 5,4 103 _{c) 6 570 000}_6,57₁₀6 _{e) 56 000 000}_5,6₁₀7

b) 12 300 1,23 104 _{d) 289,5} _2,895₁₀2 _{f) 2 000 000 000} ₂₁₀9

Expresa los siguientes números en notación decimal.

a) 3,5 104 _{c) 1,1111} ₁₀2 _{e) 9,6589}₁₀12

b) 7,001 103 _{d) 9,9} ₁₀8 _{f) 3,207} ₁₀4

a) 3,5 104_{35 000} _{d) 9,9} ₁₀8_{990 000 000}

b) 7,001 103 _{7 001} _{e) 9,6589} ₁₀12 _{9 658 900 000 000}

c) 1,1111 102 _111,11 _{f) 3,207} ₁₀4 _{32 070}

Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales.

a) 0,77 c) 0,1 e) 0,04 g) 0,9

b) 0,77... d) 0,111... f) 0,044... h) 0,9...

a) 0,77 1

7 0

c) 0,1

1 1

0

e) 0,04

1 4 00 2

1 5

g) 0,9

1 9

0

b) 0,77... 7

9 d) 0,111... 1

9 f) 0,044... 04

9

0 0

₉4₀ ₄2₅ h) 0,9 ... 9 9 1

Calcula la fracción generatriz y simplifica si es posible.

a) 21,005 b) 3,121212… c) 2,075323232…

a) 21,005 21 10

5 00

210₁0₀0₀₀ 5 2₁1₀0₀ 0₀5 4₂2₀0₀1

b) 3,121212… 3 0,121212... 3 1 9 2

9 3 3 4

3

99₃₃ 4 1₃0₃3

c) 2,075323232… 2 075 9 3 9 2 0

00 075

2 9

7 9

4 0

5 0

7 0

198 0₉0₉0₀ ₀₀7 457 2₉0₉5₀4₀5₀7

(7)

Escribe la fracción que genera un número decimal cuya parte entera es nula, el anteperíodo son dos ce-ros y el período es 15.

El número decimal es: 0,00151515…

Fracción generatriz: 0,00151515… 001 9

5 90

0 00

₉1₉5 ₀₀ _{3 3}5 ₀₀ ₆1₆₀

Expresa con fracciones la diferencia que hay entre 1,7… y 1,7.

1,7… 1 7 9

9 9

7

1₉6

1,7 1 1

7 0

10₁₀ 7 1₁7₀

1₉6 1₁7₀ 160₉₀ 153 ₉7₀

Haz la división 7,2 11 y expresa el resultado con una fracción.

7,2 11 0,65454… 654 99

0 6

6₉4₉ 8₀ ₁7₁2 ₀ 3₅6₅

Expresa con una fracción el resultado de la operación —4

9— 0,0111...

4₉ 0,0111... 4 9

01 9

0 0

₉4 ₉1₀ 40₉ ₀ 1 3₉9₀ 1₃3₀

R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S

Si compramos siete botellas de un litro y medio de zumo a 1,70 euros por botella gastamos 1,75 euros menos que si compramos la misma cantidad de zumo en botes de 33 centilitros.

¿Cuántos botes tendríamos que comprar y cuál sería el precio de cada bote?

Cantidad de zumo comprada: 7 1,5 10,5 L

Coste total en botellas de 1,5 L: 7 1,7 11,90 €

Número de botes de 33 cL: 1050 33 31,8181…

Aproximamos: 32 botes

Coste en botes de 33 cL: 11,90 1,75 13,65 €

Cada bote cuesta: 13,65 32 0,43 €

Queremos pintar una pared de 340 centímetros de alto por 615 centímetros de largo. Cada kilogramo de pintura cubre 1,70 metros cuadrados y cuesta 8,20 euros.

¿Cuánto nos costará pintar la pared?

Medidas de la pared en metros: 340 cm 3,4 m de alto y 615 cm 6,15 m de largo

Área de la pared: 3,4 6,15 20,91 m2

Cantidad de pintura que se necesita: 20,91 1,7 12,3 kg

Pintar la pared cuesta 12,3 8,2 = 100,86 €

C Á L C U L O M E N T A L

Estudia si son equivalentes estas fracciones.

a) —1

1 4 0

— y —2

1 1 5

— b) —2

3 5 0

— y —

1 5

0

— c) —

1 8

2

— y —4

3—

a) 14 15 210 10 21 →1 1 4 0

y 2 1 1 5

son equivalentes.

b) 25 10 250 150 30 5 →2 3 5 0

y 1 5

0

no son equivalentes.

c) 8 3 24 48 12 4 → 1 8

2

y 4

3no son equivalentes. 3.39

(8)

Copia y escribe el signo “menor que” o “mayor que” entre las siguientes fracciones.

a) —

1 9

1

— —

2 9

0

— b) —

1 6

9

— —1

1 8 9

—

a) 1 9

1

₂9₀ b)

1 6

9

1₁8₉

Para cada fracción, escribe una menor y otra mayor que ella.

a) —5

2— b) —

1 1 3 6

— c) —3

8—

a) 3 2

5 2

7

2 b)

1 1 1 6

1₁3₆ 1₁5₆ c) 1 8

3 8

5 8

Ordena estas fracciones de mayor a menor.

—5

4— , — 3 8— , —1

9 6

— , —1

2—

m.c.m.(4, 8, 16, 2) 16

5₄ 2₁₆0 3₈ ₁6₆ ₁9₆ ₁9₆ 1₂ ₁8₆

Como 1 6

6

₁8₆ ₁9₆ 2₁0₆ → 3₈ 1₂ ₁9₆ 5₄

¿Cuál es la raíz cuadrada de las siguientes fracciones?

a) —

1 3

0 6

0

— b) —1

8 4

1 4

— c) —

6 9

4

—

a)

1

3 0

6 0

1 3

0 6

0

1

6 0

3₅ b)

1

8 4

1 4

1

8 4

1

4

1

9 2

4₃ c)

6 9

4

6 9

4

3₈

Expresa en unidades las siguientes expresiones.

a) 3 centésimas c) 2 decenas e) 450 centésimas g) 200 milésimas

b) 3 centenas d) 4 décimas f) 0,6 decenas h) 23,5 decenas

a) 3 centésimas 0,03 c) 2 decenas 20 e) 450 centésimas 4,50 g) 200 milésimas 0,200

b) 3 centenas 300 d) 4 décimas 0,4 f) 0,6 decenas 6 h) 23,5 decenas 235

Suma 4 centésimas a cada número.

a) 1,06 b) 0,15 c) 5,96 d) 0,009

a) 1,06 0,04 1,1 b) 0,15 0,04 0,19 c) 5,96 0,04 6 d) 0,009 0,04 0,049

Resta 5 décimas a cada número.

a) 0,5 b) 1,4 c) 53,7 d) 0,05

a) 0,5 0,5 0 b) 1,4 0,5 0,9 c) 53,7 0,5 53,2 d) 0,05 0,5 0,45

Calcula el cuadrado de cada número.

a) 0,1 b) 0,5 c) 0,05 d) 0,9

a) 0,12_0,01 _{b) 0,5}2_0,25 _{c) 0,05}2_0,0025 _{d) 0,9}2 _0,81 3.47

(9)

Copia y completa esta tabla.

Indica cuáles de los siguientes números tiene raíz cuadrada exacta y halla su valor.

a) 0,4 b) 0,04 c) 0,1 d) 0,09

a) 0,4 No tiene. c) 0,1 No tiene.

b) 0,04 →

0,04

0,2 d) 0,09 →

0,09

0,3

E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E

Fracciones equivalentes

Halla la fracción irreducible de cada una de las siguientes fracciones e indica luego cuáles son equiva-lentes.

—5

2 4 4

— —4

8 0 8

— —8

3 1 6

— —7

3 2 2

— —

1 7

8 5

5

— —

1 5

1 0

0

—

5₂4₄ 9₄ 8₃1₆ 9₄ ₁7₈5 ₅ 1₃5₇

4₈0₈ ₁5₁ 7₃ ₂2 9₄ ₁5₁0 ₀ ₁5₁

5₂4₄,8 3 1 6

y 7 3 2 2

son equivalentes. 4

8 0 8

y 1

5 1

0 0

son equivalentes.

Halla la fracción equivalente a —1

2 5 4

— con el denominador igual a 16.

1₂5₄ ₁x₆Para que sean equivalentes, se tiene que cumplir: 15 16 24 x

240 24 x

10 x

La fracción equivalente es 1 1 0 6

Comparación de fracciones

Escribe una fracción mayor que —2

5— y menor que — 3 5—.

2₅ 2₅0₀ 3₅ 3₅0₀

Como 2 5 0 0

2₅5₀ 3₅0₀ y 2 5 5 0

1₂ entonces 2 5

1 2

3 5

Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

—

1 6

8

—, —1

2 3 1

—, —

1 9

4

—, —4

6—

m.c.m.(18, 21, 14, 6) 126

₁6₈ ₁4₂2₆ 1₂3₁ ₁7₂8₆ ₁9₄ ₁8₂1₆ 4₆ ₁8₂4₆

Como 1

4 2

2 6

₁7₂8 ₆ ₁8₂ 1₆ ₁8₂4₆, entonces 1 6

8

1₂3₁ ₁9₄ 4₆

3.53 3.52 3.51 3.50 3.49 3.48

Número 1,4 45,2 0,2042

Número 0,01 0,014 0,452 0,002 042

(10)

Suma y resta de fracciones

Calcula, y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

a) —7

6— —1 8

2

— —1

3— c) —

5 3— —2

9 4 — — 1 3 2 —

b) —1

5 8 — — 1 3 0 — — 2 6 0

— d) —3

3 5 6

— —5

9— — 1 4—

a) 7 6 1

8 2

1₃ 14 ₁ ₂8 4 1₁8₂ 3₂ c) 5 3 2

9 4

₁3₂ 40₂ ₄96 2₂5₄

b) 1 5

8

₁3₀ ₂6₀ 72₂ 6₀6 7₂2₀ 1₅8 d) 3 3 5 6

₉5 1₄ 35 ₃2 ₆09 ₃6₆ 1₆

Multiplicación y división de fracciones

Realiza las siguientes operaciones y escribe el resultado como fracción irreducible.

a) —9

8— —1 2

5

— —1

6 0

— c) —1

2 2 1

— —4

7—

b) —8

5— — 1 4

0

— —1

3— d) —

1 1 0 8

— —2

3—

a) 9 8 1

2 5

1₆0 1₇8₂ 0₀ 1₄ c) 1 2 2 1

4₇ 1₂ ₁2 7₄ 8₈4₄ 1

b) 8 5

1 4

0

1₃ 8₆0₀ 4₃ d) 1 1 0 8

2₃ 1₁0₈ 3₂ 3₃0₆ 5₆

Calcula el triple y la cuarta parte de —1

9 6

—.

Triple:1 9

6

3 16 9

3

4₉8 1₃6

Cuarta parte:1 9

6

4 1

9 6

1₄ 1₃6₆ 4₉

Potenciación y raíz cuadrada de fracciones

Escribe en forma de producto y calcula.

a)

—7

9—

3

b)

—6

5—

2

c)

—2

3—

4

a)

7 9

3 7 9 3 3

3₇4₂3₉ b)

6 5

2 6 5 2 2

3₂6₅ c)

2

3

4 2 3 4 4

1₈6₁

Halla las siguientes raíces cuadradas exactas.

a)

—

1 3 4 6 4 —

b)

—

1 4 0 9 0 —

c)

—2

4 5 —

a)

1 3 4 6 4

1 3 4 6

4

1 6 2

1₂ b)

1 4 0 9 0

1 4 0 9

0

1 7 0

c)

2

4 5

2 4

5

5₂

Calcula el exponente en cada caso.

a)

—1

4—

a — 6 1 4

— b)

—2

5—

a — 6 1 2 6 5 —

a)

1 4

a

6 1

4

a 3

1 4

3 1 4 3 3

₆1₄ b)

2

5

a 6 1 2 6 5

a 4

2 5

4 2 5 4 4

₆1₂6₅

(11)

Operaciones combinadas

Realiza las siguientes operaciones.

a) —5

4—

— 3

2—

— 1 6—

—

3

7— c) —

1 2 1 4

—

—3

2—

2

1

b) —7

2— — 9 2—

—

8

3—

d)

—

1 2—

3

—4

3— —1 5

2

—

a) 5 4

3

2

1 6

3 7

1 8

5

₁7₈ 135₇₂ 28 1₇6₂3

b) 7 2

9 2

8

3

7 2

2 1 7 6

56₁₆ 27 2₁9₆

c) 1 2 1

4

3 2

2

1 1

2 1 4

9₄ 1 11 2

5 4

424

1₂9₄

d)

1 2

3 4 3 1

5 2

1₈ 4₃ ₁5₂ ₂4₄ ₁5₂ 4₂₄ 10 ₂6₄ 1₄

Calcula

—3

4— 1

2

—5

6—

— 7 8—

3₄ 1

2

5

6

7

8

3 4

4

2 3 4 5

8

1 4

2 3 4 5 8

₁1₆ 3₄5₈ 3₄₈ 35 ₄3₈ 2 2₃

Expresiones decimales de una fracción

Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones e indica cuáles son exactas y cuáles periódicas. En este caso señala el período.

a) —4

9— b) —

5

4— c) —2

6 2

— d) —3

9 7

0 1

0 5

— e) —

4 2

9 8

5

—

a) 4

9 0,4444... Periódica pura. Período 4

b) 5

4 1,25 Exacta

c) 2 6

2 0,272727... Periódica pura. Período 27

d) 3 9

7 0

1 0

5

4,127777... Periódica mixta. Período 7

e) 4

2 9

8

5 0,0565656... Periódica mixta. Período 56

Escribe la expresión decimal cuya parte entera es 23 unidades, la parte decimal no periódica 17 y el período 356.

23,17356356356…

Aproximaciones de un número decimal

Escribe la aproximación por defecto y por exceso con dos cifras decimales del número 1,044444 …

Aproximación por defecto: 1,04

Aproximación por exceso: 1,05 3.64

(12)

Halla la expresión decimal de —

1 7

5

— y escribe una aproximación decimal por defecto con tres cifras de-cimales.

— 1 7

5

— 0,46666...

Aproximación por defecto: 0,466

Operaciones con números decimales

Haz las siguientes operaciones. a) 10,05 0,09 310,25 b) 15,025 10,75 (3,2 1,8) c) 3,333 0,33 0,003

a) 10,05 0,09 310,25 320,39

b) 15,025 10,75 (3,2 1,8) 4,275 5 0,725 c) 3,333 0,33 0,003 3

Haz las siguientes multiplicaciones.

a) 1,75 0,9 c) 105,25 2,01

b) 5,08 3,5 d) 0,009 0,025

a) 1,75 0,9 1,575 c) 105,25 2,01 211,5525 b) 5,08 3,5 17,78 d) 0,009 0,025 0,000225

Realiza las siguientes divisiones.

a) 2,5 0,5 c) 13,83 1,27 e) 0,0283 5

b) 4,5 0,1 d) 6 0,04 f) 20,2 11

a) 2,5 0,5 →25 5 5 d) 6 0,04 →600 4 150 b) 4,5 0,1 →45 1 45 e) 0,0283 5 0,00566

c) 13,83 1,27 →1383 127 10,88976 f) 20,2 11 →202 110 1,83636…

Calcula las siguientes potencias.

a) 0,52 _{b) (}_0,1)4 _{c) 0,2}3 _{d) (}_0,2)3

a) 0,52_0,25 _{b) (}_0,1)4_0,0001 _{c) 0,2}3_0,008 _{d) (}_0,2)3 _0,008

Estudia si las siguientes afirmaciones son ciertas. a) 4,2 es una aproximación de

17

.

b) 2,23 es una aproximación de

5

.

a)

17

4

4,12_16,81₁₇ 4,22_17,64₁₇

Luego 4,2 es una aproximación por exceso de

17

b)

5

2 2,12_4,41 ₅ 2,22_4,84 ₅ 2,32_5,29 ₅

Luego 2,2 es una aproximación por defecto de

5

.

2,212_4,8841 ₅

2,222_4,9284 ₅

2,232_4,9729 ₅

2,242_5,0176 ₅

Luego 2,23 es una aproximación por defecto

5

. 3.70

(13)

Calcula mediante aproximaciones.

a)

18

b)

40

c)

75

a)

18

4 4,212 _17,7241

4,12 _16,81 _4,222 _17,8084

4,22 _17,64 ₁₈ _4,232 _17,8929 4,32 _18,49 ₁₈ _4,242 _17,9776₁₈

18

4,2 4,252 _18,0625₁₈

18

4,24

b)

40

6

40

6,3

6,12 _37,21 _6,312 _39,8161

6,22 _38,44 _6,322 _39,9424₄₀

6,32 _39,69 ₄₀ _6,332 _40,0689₄₀ 6,42 _40,96 ₄₀

40

6,32

c)

75

8 8,612 _74,1321

8,12 _65,61 _8,622 _74,3044

8,22 _67,24 _8,632 _74,4769

8,32 _68,89 _8,642 _74,6496

8,42 _70,56 _8,652 _74,8225

8,52 _72,25 _8,662 _74,9956₇₅

8,62 _73,96 ₇₅ _8,672 _75,1689₇₅ 8,72 _75,69 ₇₅

75

8,66

75

8,6

Notación científica

Escribe en notación científica los siguientes números.

a) 7 000 000 c) 3 525 000 000 e) 845 001,025

b) 7 500 000 d) 6 080,051 f) 56 000 000,0101

a) 7 000 000 7 106 _{d) 6 080,051} _6,080051₁₀3

b) 7 500 000 7,5 106 _{e) 845 001,025} _8,45001025₁₀5

c) 3 525 000 000 3,525 109 _{f) 56 000 000,0101}_{5,60000000101}₁₀7

Escribe en notación decimal los siguientes números.

a) 2,0000008 106 _{c) 1,00001} ₁₀4

b) 3,55555555 107 _{d) 9,9000000000009} ₁₀12

a) 2,0000008 106_{2 000 000,8} _{c) 1,00001}₁₀4_{10 000,1}

b) 3,55555555 107 _{35 555 555,5} _{d) 9,9000000000009}₁₀12 _{9 900 000 000 000,9}

Fracción de un número decimal

Halla la fracción irreducible correspondiente a los siguientes números decimales.

a) 0,8 b) 0,26 c) 0,04 d) 0,125

a) 0,8 1

8 0

4₅ b) 0,26 1

2 0

6 0

1₅3₀ c) 0,04 1

4 00 2

1 5

d) 0,125 1

1 0

2 0

5 0

1₈

Copia y completa.

a) 2,5 —2

5

— b) 0,25... —2

5

— c) 0,001222... —

— d) 3,303131313... ——

a) 2,5 2 1 5 0

b) 0,25... 2

9 5 9

c) 0,001222... 9

1 0 1 00

d) 3,303131313131... 3 9

2 9

7 0

0 0

1

(14)

Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales.

a) 0,66 c) 1,3333 …

b) 0,323232 … d) 2,00222 …

a) 0,66 1

6 0

3₅3₀ c) 1,3333...1 3

9 1 9

2

4₃

b) 0,323232... 3 9 2 9

d) 2,00222 ... 2

9 2 00

1 9

8 0

0 0

2

9₄0₅1₀

P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R

Una familia gasta —1

4— de sus ingresos en el alquiler de su vivienda, — 1

8— en alimentación y —1 1

2

— en las

fac-turas del gas y teléfono.

¿Qué fracción de los ingresos le queda para otros gastos?

1₄ 1₈ ₁1₂ 6₂3₄ 1 1₂1₄

La familia gasta 1 2 1 4

de sus ingresos en el alquiler, alimentación y facturas de gas y teléfono.

La fracción de los ingresos que queda para otros gastos es 1 1 2 1 4

24₂₄ 11 1₂3₄.

Andrés y Laura han plantado unos árboles. La tercera parte son almendros, y —2

9—, nogales. Si entre almendros y nogales suman 10 árboles, ¿cuántos árboles han plantado en total?

Número total de árboles plantados:x

1₃ 2₉

x 10 →

3 9

2

x 10 →

5

9

x 10 →x 10 5

9 →x 10 9 5→x

9 5

0 18

Andrés y Laura han plantado 18 árboles en total.

Para hacer un disfraz se necesita 3 1

6

de una pieza de tela. Después de hacer 20 disfraces aún quedan en la pieza 32 metros de tela.

a) ¿Qué fracción del total representan los metros que quedan? b) ¿Qué longitud tenía la pieza?

a) La fracción que representa los metros de tela usados es 20 3

1 6

2₃0₆ 5₉ .

La fracción que representa los metros de tela que quedan es 1 5 9

9 9

5

4₉.

b) Longitud de la pieza de tela:x

4₉ x 32 →x 32 4

9 →x 32 9 4

28 4 8

72. La pieza de tela medía 72 metros.

En un autobús están ocupados los —4

5— de las plazas. De ellas, la sexta parte la ocupan niños, y la mitad, adolescentes. Expresa con una fracción las plazas que ocupa el resto de viajeros. ¿Es mayor o menor que el número de plazas que ocupan los adolescentes?

El número de plazas ocupadas por el resto de los viajeros es:4 5

1 6

1

2

24 3

5 0

15

₃4₀ ₁2₅

Como 1 6

1

2, el número de plazas que ocupan los adolescentes es mayor que el que ocupan los niños.

Como 1 2

5

₃4₀ 1₃5₀ 1₂ , el número de plazas que ocupan los adolescentes es mayor que el número de plazas que ocupan

el resto de viajeros. 3.80

(15)

Una botella de 1,5 litros está llena de agua. Se han consumido 330 mililitros de agua. ¿Qué cantidad de agua queda en la botella?

330 mL 0,330 L

1,500 L 0,330 L 1,17 L En la botella quedan 1,17 litros.

El espesor de las monedas de dos euros mide 2,2 milímetros.

¿Cuántas monedas están apiladas si la altura del montón mide 2,2 centímetros?

Altura: 2,2 cm 22 mm

Espesor de cada moneda: 2,2 mm

Número de monedas apiladas: 22 2,2 10

La Tierra gira alrededor del Sol a 29,8 kilómetros por segundo. Marte lo hace a 0,81 veces la velocidad de la Tierra.

¿A qué velocidad gira Marte alrededor del Sol?

Velocidad de la Tierra alrededor del Sol: 29,8 km/s

Velocidad de Marte alrededor del Sol: 29,8 km/s 0,81 24,138 km/s

La barra de una cortina mide 1,83 metros de longitud y se quieren colocar 5 anillas a la misma distan-cia una de otra.

¿Cuál es la distancia aproximada entre una y otra dada con un error menor que un milímetro?

Al colocar 5 anillas a la misma distancia, la varilla queda dividida en 4 partes iguales. Cada parte mide 1,83 4 0,4575 m.

Luego la distancia aproximada entre una y otra anilla con error menor que un milímetro es 0,457 metros.

Cada 22 de marzo se celebra el Día Mundial del Agua. En clase de Educación Plástica se ha hecho un mural cuadrado formado por piezas cuadradas de 0,5625 metros cuadrados de superficie.

¿Cuántas piezas tiene el mural si su lado mide 1,5 metros?

Superficie del mural: 1,5 1,5 2,25 m2 Número de piezas cuadradas: 2,25 0,5625 4 El mural tiene cuatro piezas.

En una zona ajardinada se ha proyectado hacer esta distribución del terreno.

Calcula cuántos metros de valla se necesitan para cercar estas partes del jardín, teniendo en cuenta que la anchura de los caminos es de 2 metros.

El jardín es un cuadrado de 16,5 metros de lado.

La anchura de 3 caminos, de 2 metros cada uno, es 6 metros. Quedan 16,5 m 6 m 10,5 m.

Luego el lado de cada parte mide 10,5 m 2 5,25 m. Cada parte es un cuadrado de 5,25 metros de lado, luego su pe-rímetro mide: 5,25 4 21 m.

Para cercar una parte se necesitan 21 metros de valla.

Para cercar las cuatro partes se necesitan 21 m 4 84 metros de valla.

Un embalse tiene una capacidad de 3 160 hectómetros cúbicos. ¿Qué cantidad de litros de agua puede contener?

Expresa el resultado en notación científica y verbalmente.

Como 1 hm3₁₀9_L

3160 3160 109_L_3,16₁₀12_L

En el embalse caben 3,16 · 1012_{litros, que son tres billones ciento sesenta mil millones de litros.} 3.87

(16)

R E F U E R Z O

Operaciones con fracciones

Calcula y expresa el resultado con una fracción irreducible.

a) —7

6— — 5 8— —

2

3— c) —

5 4— —

1 5— —1

7 0

—

b) —1

6— —1 3

4

— —1

2 7 1

— d) —9

6— — 5 4— —

1 2—

a) 7 6

5 8

2

3 m.c.m.(6, 8, 3) 24 7 6 5 8 2 3

28 1 2 5 4

16

2₂7₄ 9₈

b) 1 6 1

3 4

1₂7₁ m.c.m.(6, 14, 21) 42 1 6 1

3 4

₂17₁ 79₄₂ 34 1₄8₂ 3₇

c) 5 4

1 5 1

7 0

m.c.m.(4, 5, 10) 20 5 4

1 5 1

7 0

25 ₂4 ₀ 14 3₂5₀ 7₄

d) 9 6

5 4

1

2 m.c.m.(6, 4, 2) 12 9 6 5 4 1 2 18 1 1 2

5 6

₁9₂ 3₄

Opera y simplifica.

a) —

1 3

0

—

—2

9 0

—

c) —1

4 8

—

—8

9—

— 1 2—

b) —1

1 6 5

—

—4

5—

d) —

1 2 4 0

—

—2

1 1 0 —

a) 1 3 0

2 9 0

6₉0₀ 2₃

b) 1 1 6 5

4₅

1₁6₅

5₄

8₆0₀ 4₃

c) 1 4

8

8₉

1₂ 1₇4₂ 4 2 d) 1

2 4 0

2₁1₀

1₂4₀ 1₂0₁ 1₄4₂ 0₀ 1₃

Halla el resultado de estas potencias.

a)

—5

7—

2

b)

—1

6—

4

c)

—4

5—

3

a)

5 7

2 5 7 2 2

2₄5₉

b)

1 6

4 1 6 4 4

₁₂₉1₆

c)

4 5

3

4₅33

₁ 6

2 4

5

Halla la raíz cuadrada exacta de las siguientes fracciones.

a) —4

1 0 2 0 1

— b) —1

8 6

1 9

— c) —

1 2 4 5 4 —

a)

4 1 0 2 0 1

4 1 0 2 0

1

2 1 0 1

(17)

Resuelve las siguientes operaciones.

a) —1

3— — 7 2—

—

6

9—

c) 2

—

7 4—

2

—5

8—

b) —2

5—

— 4 3—

—

1

9— d) —1

7 2

—

—3

2—

5

a) 1 3

7 2

6 9

1 3

7

2

9 6

1 3

6 1 3 2

4₁₂ 63 ₁₂67

b) 2

5

4 3

1

9 1 8

5

1₉ 24₄₅ 5 2₄9₅

c) 2

7 4

2

5₈

2 4 1 9 6

₈5 32 4₁ 9₆10 2₁7₆

d)

1 7

2

3 2

5

2 2 1 4 5

21 24

120

₂9₄ 9 3₈3

Calcula y simplifica el resultado si es posible.

a) —9

6—

— 3 5— —

7 4—

—

1

2— b) —

1

2—

— 1 4— —

5 2— —1

9 4

—

a) 9 6

3 5

7 4

1 2

9

6

12 2

0 35

1₂ 9₆

2₂3₀

1₂ 2₁0₂ ₀7 1₂ 207₁₂₀ 60 ₁14₂ 7₀ 4₄9₀

b) 1

2

1 4

5 2 1

9 4

1₂

5₈ ₁9₄

1₂

35₅₆ 36

1₂ ₅1₆ 28₅₆ 1 2₅9₆

Números decimales. Operaciones

Haz las siguientes sumas y restas:

a) 2,34 (1,3 0,7) b) 5,2 (5,7 2,1) 1,27

a) 2,34 (1,3 0,7) 2,34 2 0,34

b) 5,2 (5,7 2,1) 1,27 5,2 3,6 1,27 1,6 1,27 2,87

Haz las siguientes multiplicaciones.

a) 5,25 0,5 b) 4,008 0,13 c) 12,654 6,21 d) 0,0023 0,85

a) 5,25 0,5 2,625 c) 12,654 6,21 78,58134

b) 4,008 0,13 0,52104 d) 0,0023 0,85 0,001955

Realiza las siguientes divisiones.

a) 4,4 1,5 b) 5,28 0,06 c) 0,0067 0,45 d) 1 347 0,7

a) 4,4 1,5 2,933… c) 0,0067 0,45 0,01488…

b) 5,28 0,06 88 d) 1 347 0,7 1 924,285714…

Expresiones decimales y fracciones

Calcula la fracción generatriz correspondiente a cada número decimal:

a) 0,030303… b) 1,18 c) 0,2223131… d) 4,01555…

a) 0, 030303… 9

3 9

₃1₃ c) 0,2223131… 22 2 9

3 9 1 0

00 222

2₉2₉0₀0₀9₀

b) 1,18 1 1 1 0 8 0

5₅9₀ d) 4,01555… 4 15

90

0 1

1₄8₅0₀7

(18)

A partir de las siguientes fracciones, obtén el número decimal correspondiente y clasifícalo.

a)—2

2 1 5

— b) —

3 4

3

— c) —5

6— d) —2

5 4

0 7

3 5

—

a) 2 2 1

5 0,84. Exacto. c)

5

6 0,8333… Periódico mixto

b) 3 4

3 0,121212… Periódico puro. d) 2 5

4 0

7 3

5 0,20323232… Periódico mixto

¿Qué número es mayor, 0,25 ó 0,25_v? Razona tu respuesta.

El número 0,25 se puede escribir así: 0,250000…

El número 0,25_v se puede escribir así: 0,252525…

Vemos que las dos primeras cifras decimales coinciden en los dos números.

Pero en el número 0,250000… la cifra de las milésimas es 0, mientras que en 0,252525… la cifra de las milésimas es 2.

Luego 0,25_v 0,25.

Notación científica

Las siguientes expresiones representan el número 25 800 000. ¿Cuál está escrita en notación científica?

a) 25,8 106 _{c) 2,58} ₁₀7

b) 258 105 _{d) 0,258} ₁₀8

a) 25,8 106_{25 800 000} _{c) 2,58}₁₀7_{25 800 000}

b) 258 105 _{25 800 000} _{d) 0,258}₁₀8_{25 800 000}

La expresión en notación científica es la c.

A M P L I A C I Ó N

Escribe como resta de dos fracciones cuyos términos sean cuadrados perfectos la fracción —3

4—.

4₄ 1₄ 3₄

Los vecinos de una comunidad se reúnen para decidir si ponen ascensor. Hay 3

4 de ellos que están a favor, y la mitad de los restantes en contra. Hay 8 vecinos que se abstienen.

¿Cuántos vecinos hay en la comunidad?

Fracción del total que representa los vecinos a favor:3 4

Fracción del total que representa los vecinos restantes: 1 3 4

1 4

Fracción del total que representa los vecinos en contra:1 2 de

1 4

1 2

1 4

1 8

Vecinos que se abstienen: 8.

Fracción del total que representa los vecinos que se abstienen: 1 3 4

1

8

8 6 8

1

1₈

Como 8 vecinos son 1

8 del total, el número total de vecinos será 8

8, esto es, 8 8 64.

En la comunidad hay 64 vecinos. 3.102

(19)

Opera y simplifica. —9

4—

1 — 2 3—

—

1 5— —1

9 0

—

2

3 .

9₄

1 2

3

1 5 1

9 0

2

3

9 4

1

2

3

2 1

0 9

2

3

9 4

1

2 3 1

4 0

9 0

3 9

4

1 3 9

0 8

0

3

9

4

300 30

0 98

3 9₄

2₃0₀₀2

3 9₄

1₁0₅₀1

3 9₄ ₃10₃3₇₅03₀0₀1₀ _{3 375}7 593₀₀₀750

En un canal de televisión, un programa ha obtenido 8 456 200 espectadores, que representan el 45% de la audiencia. Otro programa tuvo un 38% de la audiencia a la misma hora.

¿Cuántos espectadores vieron este último programa?

45% de la audiencia 8 456 200

Si indicamos con xa la audiencia, tenemos: 1

4 0

5

0 x 8 456 200.

x 8 456 2 4

0 5

0100

18 791 556 aproximado a las unidades

La audiencia son 18 791 556 personas y el número de personas que vieron el otro programa:

38% de 18 791 556 0,38 18 791 556 7 140 791

El ancho de una cancha de tenis es aproximadamente la tercera parte del largo de la misma. La su-perficie de la cancha mide 198 metros cuadrados.

Calcula el largo y el ancho de la misma.

Largo de la cancha de tenis: x

Ancho de la cancha de tenis: x 3

Superficie de la cancha de tenis: x x 3 198 x2₁₉₈₃ ₅₉₄

x

594

24,37

El largo mide 24,37 metros, y el ancho, 24,37 3 8,12 metros.

Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. La velocidad de la luz en el vacío es de 300 000 kilómetros por segundo.

Calcula a cuántos kilómetros equivale un año luz. Expresa el resultado en notación científica y verbal-mente.

300 000 km/s 3 105_km/s

1 año 365 24 60 60 31 536 000 s 3,1536 107_s

La distancia es de 3 105_3,1536₁₀7 _9,4608₁₀12_{9 460 800 000 000 km.}

Un año luz equivale a nueve billones cuatrocientos sesenta mil ochocientos millones de kilómetros.

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Correspondencia

Coloca las siguientes fracciones y números decimales en el lugar correspondiente de la tabla para que muestre las partes de la figura que corresponden a cada una de las regiones coloreadas.

3.107 3.106 3.105 3.104

7 593 7501 030 301 3 375 000 3.103

Color Verde Gris Rojo Azul

Expresión decimal 0,25 0,28125 0,3125 0,15625

Fracción

3 8

2

₄1 ₃9₂ 1₃ 0₂ ₁5₆ ₃5₂

0,3125 0,15625 0,28125

0,25

9 32

1 4 5 16

(20)

Los dos trabajos.

Pepa y Juan tienen 3 semanas de plazo para elaborar un trabajo individual sobre la evolución de la población en Europa. El informe no debe ocupar más de 20 páginas ni menos de 15.

La tabla muestra el ritmo de trabajo de cada uno en las tres semanas.

a) Calcula el número de páginas de cada uno de los dos trabajos.

b) ¿Cuántas páginas preparó Pepa en cada una de las semanas? ¿Y Juan?

a) Pepa:

Fracción del total que representa el trabajo de la 1.ª semana:1

4 →queda: 1 1 4

3 4

Fracción del total que representa el trabajo de la 2.ª semana:2 3

3 4

1 2

Fracción del total que representa las últimas 5 páginas: 1 1 2

1