1.
1.
1.
1.
Determine la convergencia o divergencia de la sucesión =
sin .
SOLUCION SOLUCIONSOLUCION SOLUCION
Se tiene por comparación que: − ≤ sin ≤ y por el teorema del emparedado se tiene que los límites de las funciones a los extremos son iguales a cero. Lim→.− = lim→. = 0 por lo que podemos concluir que lim→. = 0, por lo cual la sucesión converge y su límite es cero 0 .
2.
2.
2.
2.
Determine la convergencia o divergencia de la sucesión; 2; 1;
3546;
3876;
3:96SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION
La sucesión es de la forma =3;6 ¿Por qué?. Deberá fijarse en el comportamiento de la sucesión para obtener la forma genérica de la misma. Ahora se toma el límite y no existe, por lo cual la sucesión diverge.
****....---- Establezca para que valores de I la sucesión
= I
Es monótona.
Solución. Solución. Solución.
Solución. Observamos para números negativos I < 0 , la sucesión cambia de signo para par o impar. Entonces no hay monotonía.
Para I = 0 la sucesión es constante a 0.
Para I > 0, estudiamos la monotonía creciente
MN > ⇒ I MN> I ⇒ I I > I ⇒ I > 1
Por lo cual se concluye que la función será monótona creciente para I > 1 y caso contrario
MN < ⇒ I MN < I ⇒ I I < I ⇒ I < 1 Es monótona decreciente para I < 1.
3.
3.
3.
3.---- Estudie la convergencia o divergencia y monotonía de la sucesión
=cos 3Q1
Solución. Tomamos el limite de la sucesión, dado a que se tiene una función trigonométrica, podemos usar el teorema de comparación
'1 ( cos 3Q 1 ( 1 ⇒ '1(cos 3Q 1 (1
Por lo que se tiene que lim→.'N lim→.N 0, lo que implica lim→.STUV 6MN W 0 Se concluye que la sucesión es convergente.
Analizamos la monotonía, para ello escribimos la sucesión en término de una función de “x” lo cual nos queda Z I STUV[[6MNW
Tomando la primera derivada,
Z\ I ' sin I3Q 1 2I I ' cos I3Q 1
I3 ⇒ Z\ I 'sin I
3Q 1 2I I Q cos I3Q 1
I3
4.
4.
4.
4.---- Demuestre que la sucesión
Q '1
Q '1
MNEs acotada pero no es monótona.
Solución. Solución. Solución.
Solución. Observamos los primeros términos de la sucesión.
N 0 ; 3 3 ; 5 12 ; 8 53 ; : 23 ; _ 75 ; …
Podemos concluir que para números pares es mayor que 1 y para números impares es menor que 1. Veamos
3 2 Q '1
3
2 Q '1 3 MN 2 Q '1 3
2 Q '1 '1 3 2 Q 12 ' 1 1 Q2 ' 1 ⇒ 2 3 L 1
3 MN V 2 Q 1 Q '1 3 MNW
2 Q 1 Q '1 3 M3 2 Q 2 1 '2 2 Q 2 ⇒ 2 3 MNK 1
Entonces comprobamos lo que se sospechaba, por lo tanto no es monótona. Veamos si es acotada. Para los pares.
3 1 Q2 ' 1 ; como L 1 ⇒ 2 ' 1 L 1 y 2 luego 3 ( 1 Q 2 ⇒ 3 ( 3
Para los impares.
3 MN 1 '2 Q 2 K 1 2
Luego concluimos que la sucesion es acotada a 3.
5.
5.
5.
5.---- Determine la suma de la serie.
c
3
'2
MN.
SOLUCION
Escribamos los primeros términos de la serie y observe.
c 3'2MN
. dN
'323Q '235 3Q '238 5Q '23_ 8Q ⋯
Se puede tomar factor común 563
c 3'2MN .
dN
'2
33 . f1 Q g'23h Q g'23h 3
Q g'23h5Q ⋯ i
Note que, se tiene otra serie que puede ser
c 3'2MN .
dN
'29 kc g'23h .
dl
m
La nueva serie es geométrica de n o'35o K 1 CONVERGE. Y además la suma es
c '29 . g'23h .
dl
'29 . p 1
1 Q 23q ' 2 15
6.-
Considere
r
1 ' s1 ' 1t
u
1 ' s1 ' 1t
vw , x yzz { x | 0
Determine si la sucesión es convergente o divergente.
SOLUCION
Tomamos límite a la sucesión
lim g1 ' s1 ' 1t u
h
} lim1 ' {uŠ} . .
Ya que x | 0, ‹ yzz , el límite está definido y es constante por lo tanto la sucesión CONVERGE. Reconozca el cambio de variable que se hizo.
7.-
Determine la convergencia, divergencia de la serie.
c
3 ' cos
1
.
dN
SOLUCION
Comparación, sabemos que
cos K 1 ⇒ ' cos L '1 ⇒ 3 ' cos L 3 ' 1 ⇒3 ' 1 L1 3 ' cos1
Aun con esta comparación no podemos resolver la serie x 5;NN, pero aun se puede comparar otra vez
2 K 3 ⇒ 2 K 3 ' 1 ⇒ 3 ' 1 K1 21
Note que para 1 ⇒ N3KN3 . NO WAY, por lo tanto el termino posición uno (1) no nos interesa para la
comparación, comenzando en 2 se garantiza la desigualdad, por lo tanto se tiene
c21 .
dN
L c3 ' 11 .
d3
L c3 ' cos1 .
dN
La serie mayor es una serie geométrica de n N3K 1 por lo tanto CONVERGE. De la comparación termino a
termino se tiene que la serie problema CONVERGE.
8.-
Determine la convergencia, divergencia de la serie
c sech
3.
SOLUCION
Recuerde que sech3 sƒ;Mƒ3Œ;t3 por lo tanto podremos realizar una comparación término a término
4 g Q1 3h 4 f 3 3Q 1 3i K 4 38 ¿ •Ž• •‘’?
Entonces analizamos la serie ∑ƒN6; ∑ sƒN6t SERIE GEOMETRICA con razón |n| ƒN6K 1 CONVERGE, por
comparación termino a termino la serie problema también converge.
9.-
Determine la suma de la serie
c
2
•MN' 1 2
2
• •' 1
.
•dN
SOLUCION
Recuerde procedimiento de fracciones simples (mate 2) por lo cual se tiene que:
2•
2•MN' 1 2•' 1 2•1' 1 '2•MN1' 1
Se logra reescribir la serie
c
2–1' 1'2–Q11' 1 .•dN
Reescriba los primeros tres primeros términos y los últimos tres términos. Determine que la suma de la serie se expresa
c
2–1' 1' 12–Q1' 1 .
•dN
1 ' 1
2 Q1' 1
10.-
Determine si converge o diverge la serie
c g
7
Q 1 Q
3
2
Nh
.dN
SOLUCION.
Ante todo aplicamos propiedades de la sumatoria sigma
c g 7Q 1 Q32Nh
. dN
Se hace presencia de las series c g 7Q 1 h .
dN
˜™™™™š™™™™›N
{ c32N .
dN ˜™š™›3
La serie (1), es una serie telescópica, se tiene que:
c g 7Q 1 h .
dN
7 c1' Q 11 .
dN
7 g1 '12 Q12 '13 Q13 '14 Q ⋯ Q ' 1 '1 1Q1' Q 1h1
c g 7Q 1 h .
dN
7 g1 ' Q 1h }1 →.7
La serie (2), reorganizamos un poco
c32N .
dN
2 c31N .
dN
2 c g13h N .
dN
2 1 1 ' 13 3
Se tiene una serie geométrica de razón n N5, converge y suma está dada por la forma ∑.dNn N N …N .
Luego ya que las dos convergen podemos escribir
c g 7Q 1 Q32Nh .
dN
c g 7Q 1 h .
dN
˜™™™™š™™™™›N
Q c32N .
dN ˜™š™›3
⇒ c g 7Q 1 Q32Nh .
dN
10
Concluimos que la serie problema converge y converge a 10.
11.-
Determine si la sucesión es decreciente o creciente, o no es monótona.
2 !
5
SOLUCION.
Escribimos los primero términos de la serie
2.1
5 ;4.3.2.153 ;6.5.4.3.2.155 ;8.7.6.5.4.3.2.158
Podemos suponer que es creciente.
MN > ⇒ V2 Q 1 W!5 MN > 2 !5 ⇒ 2 Q 2 !55 > 2 !5 ⇒ 2 Q 2 2 Q 1 2 !5 > 2 !
L 2 Q 2 2 Q 1 > 5 ⇒ 4 3Q 6 '3 > 0
Las raíces del polinomio son _±√5_M8¡¡ L 5±√3N8
p ' f'3 Q √214 iq p Q f−3 − √214 iq < 0
Para el valor positivo, ≈ 0,39 ≅1, y para el negativo ≈ −1,89 ≅ '2
Se concluye que es monótona creciente. A partir del termino 1. RECUERDE que los valore de n debe ser
enteros positivos. Por lo que se debe considerar el entero próximo a 0.39.
12.-
Determine la convergencia/divergencia de la sucesión
N
= 2
MN
1
4
3Q 3
CONVERGE, se prueba por inducción. Asumimos que la sucesión es monótona decreciente, es decir
MN K
Se demuestra por inducción que se cumple para 1 y además para Q1. Probemos,
1 ⇒ 3K N ⇒ 74 K2 ¦’•§¨§’•Ž
Ahora probemos que se cumple Q1
M3K MN ⇒ 14 s 3MN Q3 t <14 3+ 3
Resolviendo, tenemos 1
4 s 3MN Q3 t <14 3+ 3 ⇒ 3MN Q3 < 3+ 3 ⇒ 3MN K 3 ⇒ MNK Se demuestra por inducción que es monótona decreciente.
Y además el límite es
lim→. MN lim→. ª ⇒ lim→.14 3+ 3 = lim→. ⇒ 14 ª3+ 3 = ª ⇒ ª3' 4ª Q3 = 0
Luego, ª 3 ó ª 1