ON DE LAS FBF

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Definici´on: Dada una f´ormulaA en el lenguajeL(P) de la l´ogica proposicional,una interpretaci´on paraA es cualquiera de las posibles asignaciones de valores de verdad a los ´atomos que aparecen enA.

Ejemplo: SiAes la f´ormulaA= (p ⇒q)∧(¬q∨r), una posible interpretaci´on es un caso en el que p represente una proposici´on verdadera,q una proposici´on falsa y r una proposici´on verdadera. La interpretaci´on se representa mediante la secuencia de valores de verdad del orden de las proposicionesp−q−r, es decir,

V −F −V.

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CLASIFICACI ´

ON DE LAS FBF

CLASIFICACI ´ON DE LAS FBF SEGUN SUS VALORES DE VERDAD

1 Una interpretaci´on para la cual una f´ormula dada es verdadera

es un modelopara la f´ormula.

2 Una f´ormula Aessatisfacible si y s´olo si existe alguna

interpretaci´on que la hace verdadera, es decir, si y s´olo si tiene alg´un modelo.

3 Una f´ormula es una tautolog´ıa, si y s´olo si es verdadera para

todas sus interpretaciones.

4 Unacontradicci´on o f´ormulainsatisfaciblees una f´ormula

que resulta falsa para todas sus interpretaciones.

5 Una FBF es unacontingencia si es verdadera para alguna

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CLASIFICACI ´

ON DE LAS FBF

CLASIFICACI ´ON DE LAS FBF SEGUN SUS VALORES DE VERDAD

1 Una interpretaci´on para la cual una f´ormula dada es verdadera

es un modelopara la f´ormula.

2 Una f´ormula Aessatisfacible si y s´olo si existe alguna

interpretaci´on que la hace verdadera, es decir, si y s´olo si tiene alg´un modelo.

3 Una f´ormula es una tautolog´ıa, si y s´olo si es verdadera para

todas sus interpretaciones.

4 Unacontradicci´on o f´ormulainsatisfaciblees una f´ormula

que resulta falsa para todas sus interpretaciones.

5 Una FBF es unacontingencia si es verdadera para alguna

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CLASIFICACI ´

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CLASIFICACI ´ON DE LAS FBF SEGUN SUS VALORES DE VERDAD

1 Una interpretaci´on para la cual una f´ormula dada es verdadera

es un modelopara la f´ormula.

2 Una f´ormula Aessatisfacible si y s´olo si existe alguna

interpretaci´on que la hace verdadera, es decir, si y s´olo si tiene alg´un modelo.

3 Una f´ormula es una tautolog´ıa, si y s´olo si es verdadera para

todas sus interpretaciones.

4 Unacontradicci´on o f´ormulainsatisfaciblees una f´ormula

que resulta falsa para todas sus interpretaciones.

5 Una FBF es unacontingencia si es verdadera para alguna

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CLASIFICACI ´

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CLASIFICACI ´ON DE LAS FBF SEGUN SUS VALORES DE VERDAD

1 Una interpretaci´on para la cual una f´ormula dada es verdadera

es un modelopara la f´ormula.

2 Una f´ormula Aessatisfacible si y s´olo si existe alguna

interpretaci´on que la hace verdadera, es decir, si y s´olo si tiene alg´un modelo.

3 Una f´ormula es una tautolog´ıa, si y s´olo si es verdadera para

todas sus interpretaciones.

4 Unacontradicci´on o f´ormulainsatisfaciblees una f´ormula

que resulta falsa para todas sus interpretaciones.

5 Una FBF es unacontingencia si es verdadera para alguna

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CLASIFICACI ´

ON DE LAS FBF

CLASIFICACI ´ON DE LAS FBF SEGUN SUS VALORES DE VERDAD

1 Una interpretaci´on para la cual una f´ormula dada es verdadera

es un modelopara la f´ormula.

2 Una f´ormula Aessatisfacible si y s´olo si existe alguna

interpretaci´on que la hace verdadera, es decir, si y s´olo si tiene alg´un modelo.

3 Una f´ormula es una tautolog´ıa, si y s´olo si es verdadera para

todas sus interpretaciones.

4 Unacontradicci´on o f´ormulainsatisfaciblees una f´ormula

que resulta falsa para todas sus interpretaciones.

5 Una FBF es unacontingencia si es verdadera para alguna

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Ejercicio: Muestre que la f´ormula

A= [{p ⇒(q∨r)} ∧(p∧ ¬q)]⇒r es una tautolog´ıa.

Definici´on: Dos f´ormulas AyB sonl´ogicamente equivalentes (o equivalentes)si y s´olo si tienen valor de verdad para cada posible interpretaci´on com´un. Si AyB son equivalentes escribimos

≡(el s´ımbolo ≡no forma parte deL(P)).

Ejercicio: Muestre que las f´ormulas A=p∧(q∨r) y B= (p∧q)∨(p∧r) son equivalentes.

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Ejercicio: Muestre que las f´ormulas A=p⇒q yB =¬q⇒ ¬p son equivalentes.

Preguntas importantes:

¿Qu´e se requiere para probar que dos f´ormulas son equivalentes?

Si, dadas dos f´ormulas AyB, se encuentra que v(A) =v(B) para alguna interpretaci´on, ¿puede concluir que son

l´ogicamente equivalentes?

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Ejercicio: Muestre que las f´ormulas A=p⇒q yB =¬q⇒ ¬p son equivalentes.

Preguntas importantes:

¿Qu´e se requiere para probar que dos f´ormulas son equivalentes?

Si, dadas dos f´ormulas AyB, se encuentra que v(A) =v(B) para alguna interpretaci´on, ¿puede concluir que son

l´ogicamente equivalentes?

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Ejercicio: Muestre que las f´ormulas A=p⇒q yB =¬q⇒ ¬p son equivalentes.

Preguntas importantes:

¿Qu´e se requiere para probar que dos f´ormulas son equivalentes?

Si, dadas dos f´ormulas AyB, se encuentra que v(A) =v(B) para alguna interpretaci´on, ¿puede concluir que son

l´ogicamente equivalentes?

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Ejercicio: Muestre que la f´ormulaA=¬(p∨q) es equivalente a una de las f´ormulas B =¬p∧ ¬q,C =¬p∨ ¬q. Seg´un su respuesta, ¿c´omo se niega la conjunci´on de dos proposiciones? ¿Cu´al es la negaci´on de ”Juan est´a en el cine o en el estadio”? ¿Cu´al es la forma correcta de negar la afirmaci´on ”Juanita es novia de Pedro o de Juan”?

RECUERDE QUE AHORA CUENTA CON CRITERIOS

FORMALES PARA RESPONDER EN FORMA CORRECTA LAS PREGUNTAS ANTERIORES.

Definici´on: El condicional ”siq, entoncesp”, es el rec´ıprocodel condicional ”sip, entoncesq”. Equivalentemente, la f´ormula B⇒A es el rec´ıproco de la f´ormulaA⇒B.

Ejercicio: Muestre queA⇒B y su rec´ıproco no son equivalentes. Ejercicio: Muestre que las f´ormulas A⇒B y¬A∨B, son

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ALGUNAS EQUIVALENCIAS

Leyes Nombre

A∨B≡B∨A Leyes conmutativas

A∧B≡B∧A

A∨ ¬A≡V Ley del tercio excluido

A∧¬A≡F Ley de contradicci´on

A∨F≡A Leyes de identidad

A∧V≡A

A∨V≡V Leyes de dominaci´on

A∧F≡F

A∨A≡A Leyes de idempotencia

A∧A≡A

¬(¬A)≡A Ley de doble negaci´on

(A∨B)∨C ≡A∨(B∨C) Leyes distributivas

(A∧B)∧C ≡A∧(B∧C)

(A⇒B)≡(¬B⇒ ¬A) Ley de transposici´on o

de la contrarrec´ıproca

A⇒(B⇒C)≡(A∧B)⇒C Ley de la deducci´on

Leyes de De Morgan ¬(A∧B)≡(¬A∨¬B)

¬(A∨B)≡(¬A ∧¬B)

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