ABEL VALDÉS ENRIQUE PÉREZ MARIO MONDRAGÓN

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Texto completo

(1)

2011

ECUACIONES

DIFERENCIALES

APLICADAS

PROBLEMARIO

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BASICA

ABEL VALDÉS

ENRIQUE PÉREZ

(2)

2

Capitulo 1.

Introducción EDO Primer orden

1. Pruebe que es solución de la EDO .

2. Pruebe que es solución de la EDO .

3. Pruebe que es solución de la EDO

.

4. Pruebe que es solución de la EDO .

5. Pruebe que es solución de la EDO

.

6. Pruebe que es solución de la EDO

7. Pruebe que es solución de la EDO .

8. Pruebe que es solución de la EDO .

9. Pruebe que es solución de la EDO

.

10. Pruebe que es solución de la EDO .

EDO Segundo orden

11. Pruebe que es solución de la EDO .

12. Pruebe que es solución de la EDO .

13. Pruebe que es solución de la EDO .

14. Pruebe que es solución de la EDO .

15. Pruebe que es solución de la EDO

.

16. Pruebe que es solución de la EDO

.

17. Pruebe que es solución de la EDO

18. Pruebe que es solución de la EDO

(3)

3 EDP

19. Pruebe que es solución de la EDP.

20. Pruebe que es solución de la EDP.

21. Pruebe que es solución de la EDP.

22. Pruebe que es solución de la EDP.

23. Pruebe que es solución de la EDP.

24. Pruebe que es solución de la EDP.

Solución particular de una ED

25. Considera que es la solución general de la

EDO , si muestra que la solución particular es

.

26. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular es .

27. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular

es .

28. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular es

(4)

4

29. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular es

.

30. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular es

.

31. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular es

.

32. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular es

.

33. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular es

.

34. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular es

.

35. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular es .

36. Considera que es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particular es

(5)

5 Isoclinas

37. Considera la ecuación diferencial determina las isóclinas.

Sol. Familia de rectas

38. Considera la ecuación diferencial determina las isóclinas.

Sol. Familia de rectas

39. Considera la ecuación diferencial determina las isóclinas.

Sol. Familia de rectas

40. Considera la ecuación diferencial determina las isóclinas.

Sol. Familia de rectas horizontales

41. Considera la ecuación diferencial determina las isóclinas.

Sol. Familia de rectas

42. Considera la ecuación diferencial determina las isóclinas.

Sol. Familia de rectas verticales

Plantea el modelo matemático correspondiente al problema siguiente.

43. Un termómetro que señala se lleva a una sala cuya temperatura es

de , un minuto después el termómetro marca .

44. Un termómetro que señala se lleva al aire libre, donde la

temperatura es de , la lectura en el termómetro es de , cuatro

minutos después.

45. A las 13:00 horas un termómetro que marca es llevado al aire libre,

donde la temperatura es de , a las 13:02 la lectura es de , a las

13:05 el termómetro es llevado al interior, donde la temperatura sigue siendo la misma.

46. A las 9:00 horas un termómetro que señala es llevado al exterior,

donde la temperatura es de , a las 9:05 horas el termómetro marca

,a las 9:10 horas es llevado nuevamente al interior, donde la

(6)

6

47. Suponga que se desarrolla una reacción química simple. Si la mitad de la

sustancia A fue convertida al cabo de 10segundos.

48. La conversión de una sustancia A en otra sustancia B se transforma

conforme una reacción química simple. Si al cabo de 10 segundos apenas una cuarta parte de la sustancia ha sido transformada.

49. Para una sustancia A, la velocidad de conversión es proporcional al

cuadrado de la cantidad de la sustancia no transformada. Si es la

constante de proporcionalidad y es la cantidad de sustancia no

transformada en el tiempo

50. Se sabe que el radio se desintegra a una velocidad igual a la cantidad de

radio presente. suponga que se verifica que en 25 años aproximadamente 1.1% de cierta cantidad de radio se ha desintegrado.

51. Cierta sustancia radioactiva tiene un periodo de semivida de 38 hora, si

al tiempo se tiene una masa .

52. Un tanque contiene galones de agua pura, una solución que contiene

libras de sal por galón entra a razón de galones por minuto en ese

tanque y la solución perfectamente mezclada sale del tanque a la misma velocidad.

53. Un tanque contiene litros de una mezcla que contiene kilogramos

de sal. Entra una solución de kilogramos de sal por litro a razón de litros por minuto y la solución perfectamente mezclada sale del tanque a

razón de litros por minuto.

54. Un tanque contiene litros de una mezcla que contiene kilogramos

de sal, entra una solución de kilogramo de sal por litro a razón de 4

litros por minuto y la solución homogénea sale del tanque con un gasto de litros por minuto.

55. Un tanque contiene galones de agua pura, una solución que contiene

libras de sal por galón entra a razón de galones por minuto y la solución

perfectamente mezclada sale del tanque a razón de galones por

(7)

7 Ecuaciones diferenciales ordinarias

Separación de Variables

56. (4xxy2 )dx(yx2y)dy0 Sol. (1x2 )(4y2 )c

57.

2 2

x 1 y

y 1 x

dx dy

 

Sol. 1x21y2c

58. x(y 1)

dx dy ) 1 x

(   2Sol. tan1 yxln(x1)c

59. (2xy3x)dx(x21)dy0 Sol. (x21)(2y3)c

60. y dx 0

1 x dy xe

2

y

Sol. ln(x) c

2 x e ) 1 y (

2

y

Homogéneas

61. (x2y2 )dx2xydy0 Sol. x(x23y2 )c

62. (x2y2 )dxxydy0 Sol. x2(x22y2 )c

63. (xe x y)dx xdy 0

y

 

Sol. lnx e x c

y

 

64. x

x y cos x y dx

dy

 

Sol. lnxln(sec( xy1))tan( xy1)c

65. ydxx(lnxlny1)dy0 Sol.

c y x ln

y

Exactas

66. (3x2ycosx)dx(senx4y3 )dy0 Sol. x3ysenxy4c

67. (yexey )dx(xeyex )dy0 Sol.

ye

x

xe

y

c

68. 2 2

2

y 6 y x 4

xy 4 3 dx dy

  

si y(1) =-1 Sol. 2x2y23x2y3 3

69. x)dx ( 1 lnx)dy 0

y x ln 1

(      

Sol.yylnxxlnxc

(8)

8 Lineales

71. dx 2y x cos4x

dy

x   3

Sol.

2 2

cx x 4 sen x 4 1

y 

72. dx 3( y 2x) 1

dy

  

si y(0) = 0 Sol. ye3x2x1

73. 2

x senx y

3 dx dy

x  

Sol. x3yccosx

74. xdyydxydy Sol.

y c 2 y

x 

75. x 1

1 x y 1 x

2 dx dy

2

   

Sol. (x1)yx(x1)c(x1)

Problemas de aplicación. Reacción química

76. El radio decae a una tasa proporcional a la cantidad instantánea en

cualquier momento. Si la mitad de la vida del radio es de T años,

determina la cantidad presente después de t años.

Sol.

 

T

t

2 1 0

A

A

77. Después de 2 días están presentes 10 gramos de un producto químico,

tres días después hay 5 gramos. ¿Qué cantidad del producto químico

estará presente inicialmente suponiendo que la velocidad de reacción es proporcional a la cantidad instantánea presente?

Sol. 21.54 g.

Enfriamiento de Newton

78. La ley de Newton del enfriamiento establece que la temperatura de un

objeto varía en forma proporcional con la diferencia de temperatura

entre él y el medio ambiente. Si un objeto se enfría desde 80°C hasta

60°C en 20 minutos, determina la temperatura en 40 minutos si la

temperatura ambiente es de 20°C.

Sol. 46.7°C.

(9)

9

mantiene a 80°F. ¿Cuál será la temperatura a las 2:00 P.M.?. ¿En cuánto tiempo la temperatura será de100°F?

Sol. 133.3°F, 3.12 P.M.

80. La rapidez a la que se multiplican las bacterias es proporcional al número instantáneo presente. Si el número original se duplica en 2 horas. ¿En cuántas

horas se triplicará?

Sol. 3.17 horas.

81. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en un instante cualquiera con una rapidez proporcional al número de personas en dicho instante. Si en 40 años la población aumenta de 40000 a 90000 habitantes. ¿Cuál será el número de pobladores en 60 años?

Sol. 135000 habitantes

82. Un tanque contiene 100 galones de agua. Una solución salina con una

concentración de 2 libras de sal por galón entra en el tanque a razón de 3 galones por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma rapidez.

a).- ¿Cuánta sal hay en el tanque en cualquier momento? b).- ¿Cuándo habrá en el tanque 100 lb de sal?

Sol. 200(1e.03t ), 23.1 minutos

83. Un tanque contiene una mezcla de 100 galones en la cual están disueltas 10 libras

de sal. Se bombea al tanque una salmuera con una concentración de 0.5 libras de

sal por galón a una rapidez de 6 galones por minuto. La solución bien agitada se

bombea fuera del tanque con una rapidez de 4 galones por minuto. ¿Cuántas

libras de sal habrá en el tanque cuando han transcurrido 10 minutos?

Sol. 32.2 Libras

84. Un tubo que conduce vapor tiene radios interno y externo de 5 y 10 cm

respectivamente, si la temperatura de la superficie interior es de 100°C

mientras que la exterior es de 80°C, encuentra la temperatura medida a 8 cm.

Sol. 86.57°C

85. Encuentra el número de calorías por hora que pasan a través de 1 metro cuadrado de la pared de una habitación frigorífica de 125 cm de espesor,

considerando que k = 0.0025, si la temperatura de la cara interior es de -5°C y

la de la exterior es de 75°C.

(10)

10 Ecuaciones Diferenciales Reducibles

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales, reduciéndolas a separación de variables, homogéneas, exactas o lineales según corresponda.

86. (3xy22y)dx(2x2yx)dy0 Sol. x2yx3y2c

87. ( yx4 )dxxdy0 Sol.

c 3 x x

y 3

  

88.

3

xy y dx dy

x  

Sol.

2 2

cx x 2

1 y

 

89. y 2x 3

4 y 2 x dx dy

 

  

Sol. (x2)24(x2)(y1)( y1)2c

90. x y 1

1 y x dx dy

 

  

Sol. x22xyy22x2yc

91. 2

2

x y x

y 2 dx dy

 

Sol. x2xycy

92. (2ysenx3y4senxcosx)dx(4y3 cos2 xcosx)dy0

Sol. ycos2 xy4cos3 xc

93.

2

y y ) x 1 1 ( dx dy

 

Sol.

x 1

e x c x 1 1

y    

94. x y 1

1 dx

dy

  

Sol. y1ln(xy1)c

95.

2

) y x ( 1 dx dy

  

Sol. x c

y x

1

   

96. dx 2xy(y 1)

dy ) x 1 (

323

Sol. y31c(1x2 )

97. (2xy3)dx(x2y3)dy0

Sol. x2xy3xy23yc

98. y(xy1)dxx(x3y2)dy0

Sol. 2 xy xy c

y

x2 2 3 2

(11)

11 99. (4xy3y2x)dx(x22xy)dy0

Sol.

c 4 x y x y x

4 2 3

4

100. x y

y x 1 dx dy

   

Sol. (xy)22xc

101.

2 y e y dx

dy x

 

Sol.

x x

1

ce e 2 1

y   

Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias pueden resolverse por dos o más métodos.

102. (yx2 )dxxdy0 exacta, lineal

Sol. 3 c

x xy

3

 

103. (2xy3)dx(x2y3)dy0 exacta, reducible a homogénea

Sol. x2xy3xy23yc

104.

1 y x

1 dx

dy

 

 reducible a variables separables

Sol. y1ln(xy1)c

105.

3 x 2 y

4 y 2 x dx dy

 

 

 exacta, reducible a homogénea

(12)

12

Capitulo 2

Ecuaciones Diferenciales de segundo orden

Ecuaciones Homogéneas

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden

106. dx 3y 0

dy

dx y d

2 2

  

Sol. 2x

2 x 1e c e

c

y  

107. dx 2y 0

dy 2 dx

y d

2 2

  

Sol. x

2

1cosx c senx)e

c (

y  

108. dx 4y 0

dy 4 dx

y d

2 2

  

Sol. 2x

2 1 c x)e

c (

y  

109. dx ω y 0,w R

y

d 2

2 2

  

Sol. yc1cosωxc2senωx

110. dx 9y 0

dy 6 dx

y d

2 2

  

Sol. 3x

2 1 c x)e

c (

y  

Operador anulador

Determina el operador anulador de las siguientes funciones

111. F(x)x2ex Sol. P(D)D4D3

112. F(x)xsenx Sol. P(D)D4D2

113. F(x)e2xcosx Sol. P(D)D32D2D2

114. F(x)4xcosx Sol. P(D)D52D3D

(13)

13 Variación de Parámetros

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden por el método de variación de parámetros

116. dx 3y 6

dy 2 dx y d 2 2   

Sol. yc1e3xc2ex2

117. dx y senx

y d 2 2  

Sol. xcosx

2 1 senx c x cos c

y12

118. x 2 2 e y dx dy 2 dx y d   

Sol. x 2 x

2

1 x e

2 1 e ) x c c (

y    

119. x 3 2 2 e y 9 dx dy 6 dx y d   

Sol. 3x 2 3x

2

1 x e

2 1 e ) x c c (

y  

120. dx y tanx

y d 2 2  

Sol. yc1cosxc2senxcosxln(secxtanx)

Coeficientes Indeterminados

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden por el método de los coeficientes indeterminados

121. dx 8e 4senx

dy 3 dx

y

d 3x

2 2

 

Sol. 5 senx

2 x cos 5 6 xe 3 8 e c c

y12 3x3x  

122. dx 2senx

dy dx y d 2 2  

Sol. yc1c2excosxsenx

123. x 3 2 2 e y 9 dx dy 6 dx y d    Sol. 10 3 e c e c

y12x2 5x

124. x 2 2 2 e x y dx y d   

Sol. x 2 x

2 x 1 xe 2 1 2 x e c e c

y     

125. dx y senx

y d 2 2  

Sol. xcosx

2 1 senx c x cos c

(14)

14 Sistemas de

EcuacionesDiferenciales Lineales Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales 126. Resuelva. 0 dt dy x 0 y dt dx     Sol. sent c t cos c y sent c t cos c x 4 3 2 1     127. Resuelva. dt dx y 2 dt dy dt dy x 2 dt dx     

si x(0) = 2 y y(0) = 0

Sol. sent e 2 y t cos e 2 x t t     128. Resuelva. t dt dy x e y dt dx t     Sol. 1 e 2 1 t cos c sent c y t e 2 1 sent c t cos c x t 2 1 t 2 1         129. Resuelva. t 2 t 2 e sent 5 t cos 3 y ) 1 D ( Dx e 5 t cos 3 sent 2 Dy x ) 2 D (             si 4 ) 0 ( Dy , 0 ) 0 ( Dx 3 ) 0 ( y , 2 ) 0 ( x      Sol. t t e 2 t cos sent 2 y e sent t cos x         130. Resuelva x sent 2 dt dz te y dt dy y x 2 dt dx t        0 ) 0 z( ) 0 y( ) 0

x(   

(15)

15 134. 2 t 4 2 t 2 1 2 t 4 2 t 2 1 2 t 4 3 e C e C ) t ( y t 4 1 e C e C ) t ( x 5 t y x 3 t d y d t 2 y 3 x t d x d                 135. t t 7 2 t 3 1 t t 7 2 t 3 1 t t e 4 19 e C 9 e C 3 ) t ( y e 36 55 e C e C ) t ( x e 10 y 6 x 9 t d y d e 3 y 3 1 x 4 t d x d              136. 3 4 e C e C ) t ( y 3 4 t 12 e C 2 e C 4 ) t ( x t 12 y x t d y d t 12 y 8 x t d x d t 3 2 t 3 1 t 3 2 t 3 1                137. t 3 t 2 t 1 t 3 t 2 t 1 t 3 t 2 e ) t ( Sen C e ) t ( Cos C e C ) t ( z e ) t ( Sen C e ) t ( Cos C e C 2 ) t ( y e ) t ( Cos C e ) t ( Sen C ) t ( x z x 1 t d z d y x t d y d z 2 y x t d x d                  138. t 4 t 5 3 ) t ( t 4 t 4 t 5 3 t 2 2 ) t ( t 4 t 4 t 5 3 t 2 2 t 1 ) t ( t 4 e 2 e C 2 z e 2 z 5 t d z d e 2 7 e C 2 e C y e z 3 y 2 t d y d e 2 3 e C e C e C x e z y x t d x d                  

139. Utilice la información proporcionada en la siguiente figura para construir un modelo matemático para resolver las ecuaciones diferenciales para x(t)

y y(t), que proporcionen las libras de sal que existen en un instante cualquiera en los tanques A y B, respectivamente. Sol. )) C C 2 ( e C C 2 e 4000 ( 2 e ) t ( y )) C C 2 ( e C C 2 e 8000 ( 4 e ) t ( x 2 1 25 / t 2 2 1 25 / t 3 25 / t 3 2 1 25 / t 2 2 1 25 / t 3 25 / t 3            

140. Utilice la información proporcionada en la siguiente diagrama para construir un modelo matemático para resolver las ecuaciones diferenciales para x(t), y(t) y z(t), que proporcionen las libras de sal que existen en un instante cualquiera en los tanques A, B y C, respectivamente Sol. 100 z 5 100 y 5 t d z d 100 z 100 y 7 100 x 3 t d y d 100 x 3 100 y 4 t d x d        Tanque A Tanque B Mezcla 12 lts / min

Mezcla

4 lts / min Mezcla

12 lts / min

10 g / lt

Mezcla 16 lts / min

200 lts 200 lts

Agua 16 lts. / min.

Tanque A

Tanque B

Mezcla 8 lts. / min Mezcla 24 lts. / min 400 lts 400 lts

Tanque C

(16)

16

Capitulo 3

Solución en series de potencias.

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando una solución en serie de potencias.

Alrededor de puntos ordinarios

141.

Sol.

142.

Sol.

143.

Sol.

144.

Sol.

145.

Sol.

146.

Sol.

147.

Sol.

148.

Sol.

149.

Sol.

(17)

17 Alrededor de puntos singulares

150.

Sol.

151.

Sol.

152.

Sol.

153.

Sol.

154.

Sol.

155.

(18)

18

Capitulo 4.

Ecuaciones diferenciales Parciales.

Resuelva los siguientes EDP por el método de separación de variables.

156.

Donde

Sol.

157.

Donde

Sol. si ,

si

si

158. Donde

Sol.

159. Donde

Sol.

160. Donde

Sol.

161. Donde

(19)

19 162. Donde

Sol.

163. Donde considera que Sol.

164. Donde considera que Sol.

165. Donde considera que.

Sol.

166.

Donde

Sol. si ,

si

si

167.

Donde

Sol. si ,

si

(20)

20

Capitulo 5

Transformada de Laplace

Transformada directa de Laplace de funciones elementales. 168.

169.

170.

171.

172.

173.

Transformada inversa de Laplace de funciones elementales.

174.

175.

176.

177.

178.

179.

Transformada directa de funciones definidas por pedazos. 180. Calcula si sol.

181. Calcula si sol.

182. Calcula si sol.

Efectúa una DFP y calcula las transformadas inversas siguientes.

183.

184.

185.

186.

(21)

21

188.

189.

190.

191.

Primer teorema de translación.

Resuelve las siguientes transformaciones directas, utilizando el primer teorema de translación.

192. 193.

194.

195.

196.

197.

Resuelve las siguientes transformaciones inversas, completando el TCP

198.

199.

200.

201.

202.

203.

no se requiere TCP

Segundo teorema de translación.

Resuelve las siguientes transformadas directas, utilizando el segundo teorema de translación.

204.

205.

206.

207.

208.

(22)

22 Resuelve las siguientes transformadas inversas, utilizando el segundo teorema

de translación.

210.

211.

212.

hacer una DFP

Derivada de una transformada

Calcula las transformadas directas e inversas, utilizando la derivada de una transformada.

213.

214.

215.

216.

217.

218.

Transformada de derivadas

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales, determina la solución en utilizando la transformada de Laplace, considera que las condiciones iniciales son cero para todas las EDO.

219. Donde es la cuarta derivada

Sol.

220. Donde

Sol.

221. Donde

Sol.

222. Donde

Sol.

223. Donde

Sol.

224. Donde

(23)

23 Teorema de convolución.

225.

226.

227.

228.

229.

230.

Transformada de funciones periódicas. 231.

Sol.

232.

Sol.

Aplicaciones.

Resuelva las siguientes EDO para las condiciones iniciales dadas. 233. si

Sol.

234. si

Sol.

235. si

Sol. 236. si

Sol. 237. si

Sol. 238. si

(24)

24 Sistemas de ecuaciones diferenciales

239.

si Sol.

240.

si Sol.

241.

si Sol.

242.

si Sol.

Problemas de valores en la frontera.

243. Resuelve el siguiente PVF.

Donde

Si

Sol.

244. Resuelve el siguiente PVF.

Donde

Si

Sol.

245. Resuelve el siguiente PVF.

Donde

Si

,

Sol.

246. Resuelve el siguiente PVF.

(25)

25 Si ,

,

Sol.

247. Resuelve el siguiente PVF.

Donde

Si , para

Si , para

Sol.

248. Resuelve el siguiente PVF.

Donde

Si , para

Si , para

Sol.

249. Resuelve el siguiente PVF.

Donde

Si ,

para Si , para

Sol.

250. Resuelve el siguiente PVF.

Donde

Si ,

para

Si , para

Sol.

251. Resuelve el siguiente PVF.

Donde

Si para

Figure

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Referencias

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