Instituto Tecnologico de Tijuana
Ingeniería en Sistemas Computacionales
Algebra Lineal
Blas Gonzalez Michael
Matriz
! Una matriz es una ordenación rectangular que consta de “m” filas y “n”
columnas. Por lo general esta contiene de números en sus elementos los cuales son colocados en forma de subíndice. Una matriz es una realidad la fusión de algunos vectores de unidimensionales los cuales son colocados en dos dimensiones, de tal manera que toma la forma de un vector de dos dimensiones.
! ! ! (Figura 1. Representación de una matriz)
Casi todas las operaciones básicas pueden realizarse en matrices. Sin embargo, estas operaciones requieren comprobar el orden de la matriz ya que las matrices de ordenes diferentes, no pueden ser trabajadas, por ejemplo en las operaciones de suma y resta. Sin embargo , la operación de multiplicación es una excepción, ya que para multiplicar dos matrices tenemos que tener el vector fila de la primera matriz igual al vector
columna de la segunda matriz y el vector columna de la primera matriz igual al vector fila de la segunda. Por lo tanto, el orden de la matriz representa el tamaño de su vector fila y de su vector columna. En el caso que una matriz contenga “m” elementos en sus vectores fila y “n” elementos en sus vectores columna surge una matriz de orden ‘m x n’ , esto es la matriz representada como, Filas x Columnas.
También es posible calcular el inverso de una matriz dada. El inverso de una matriz tiene el vector fila igual al vector de la columna de la matriz actual y el vector columna igual al vector fila de la matriz actual. El inverso de una matriz A no singular se
representa por
A¬
−
1
y es igual a (adj A/ | A |).Usualmente indicamos una matriz con la ayuda de las letras mayúsculas, mientras que las letras minúsculas y los dígitos se utilizan para representar la entrada individual de la matriz.
Una matriz del orden ‘m x n’ se dice que tiene rango ‘r’ si, 1. Tiene al menos uno de orden r menor de cero.
2. Todos los otros menores de orden que r, en caso, son iguales a cero.
Obviamente, el rango de la matriz A de orden ‘m x n’ es menor o igual a ‘m’ o ‘n’ o ambas. El orden mas grande A que es menor a cero, determina el rango de matriz. El rango de una matriz se denota (A). Una matriz se dice que es de forma escalonada si,
1. En cada fila de la matriz A, en el cual todas sus entradas se producen por debajo de la fila la cual es una entrada no cero.
2. El primer elemento de cada fila que sea diferente de cero es igual a uno.
3. El numero de ceros anteriores al primer elemento disto de cero de cada fila es menor que el numero de ceros de la siguiente fila.
Operaciones con Matrices
Una matriz de tamaño m x n sobre un campo K, donde m y n son enteros positivos, es una matriz con m filas y n columnas, donde cada entrada es un elemento de K. Para 1\leq i\leq m \leq m y 1\leq j\leq n, la entrada en la fila i y la columna j de A esta denotado por Ai j, y es referida como la entrada (i,j) de A.
Definimos la suma y la multiplicacion de matrices de la siguiente manera.
(a)Sean A y B matrices del mismo tamaño m x n en K. Entonces, la suma de A + B se define mediante la adición de las entradas correspondientes: (A + B)i j = A i j + Bi j.
Solo podemos sumar o multiplicar matrices si sus tamano satisfacen las condiciones adecuadas. En particular, para un valor fijo de n, podemos sumar y multiplicar matrices n x n. Resulta que el conjunto Mn(K) de las matrices n x n sobre K es un anillo con la identidad. La matriz nula, lo cual se denota por O, es la matriz con entradas cero, mientras que la matriz identidad, que se denota por I, es la matriz con entradas de 1 en la diagonal principal y 0 en cualquier otro lugar. Toma en cuenta que la multiplicacion de matrices no es conmutativa: BA no suele ser igual a AB.
Operaciones de fila y columnas
Dada una matriz A m x n sobre un campo K, definimos ciertas operaciones en A llamadas operaciones fila y columna.
Operaciones elementales de columna: Existen tres tipos:
Tipo 1: Agrega un múltiplo de la columna fila jth al ith, donde j / neq i. Tipo 2: Multiplica la columna ith por un escalar distinto de cero. Tipo 3: Intercambia de la columna ith y jth, donde j /neq i.
Mediante la aplicación de estas operaciones, podemos reducir cualquier matriz a una forma particularmente simple: Sea A una matriz m x n sobre el campo K. Entonces es posible cambiar A en B mediante operaciones elementales de fila y columna, donde B es una matriz de igual tamaño satisfaciendo Bii = 1 para 0\leq i/neq r, para r/neq min {m,n}, y todas las demás entradas de B son cero.
Si A puede ser reducida a dos matrices tanto B y B0, de la forma anterior, donde !el numero de los elementos distintos de cero son r y r0, respectivamente, por diferentes secuencias de operaciones elementales, entonces r = r0, y por lo tanto, B = B0.
El numero r en el teorema anterior se llama rango de A; mientras que una matriz de la forma descrita para B, se dice que esta en la forma canónica de la equivalencia.
Clasificación de las Matrices
La matriz es un concepto principal, no solo en el campo de las matemáticas, sino en el de las Computadoras también. Una matriz puede definirse simplemente como una ordenación rectangular de números reales o complejos. Cada numero o entrada en una matriz es llamado un elemento de la matriz. Los elementos incluidos en la linea
horizontal forman una fila de la matriz. Los elementos incluidos en la linea vertical forman una columna de la matriz. Una matriz es de diversos tipos y formas. Se pueden clasificar en:
1) Matriz columna 2) Matriz fila
3) Matriz Cuadrada 4) Matriz Diagonal
5) Matriz identidad o unidad 6) Matriz cero o nula
7) Matriz simétrica 8) Matriz asimétrica
1). Matriz columna. Una matriz con n filas y 1 columna, se denomina matriz columna. Esta matriz es de tipo m x 1.
2). Matriz fila: Una matriz que tiene una fila y n columnas, se dice que es una matriz fila. Esta matriz es del tipo 1 x n.
(Figura 3. Ejemplo de matriz fila)
3). Matriz Cuadrada: Una matriz en la cual el numero de columnas es igual al numero de filas, se conoce como una matriz cuadrada. Una matriz de orden n es aquella que tiene n filas y n columnas. La propiedad aceptada en la matriz cuadrada es que dos o mas matrices cuadradas de orden idéntico, pueden multiplicarse, sumarse y restarse.
(Figura 4.Ejemplo de matriz cuadrada)
4). Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, los elementos para los cuales i = j, se denominan elementos diagonales. Una matriz cuadrada donde cada elemento, excepto los elementos diagonales, son iguales a cero, es llamada matriz diagonal. La matriz diagonal se denomina a veces matriz diagonal rectangular.
5). Matriz identidad o unidad: Se dice que una matriz es la matriz identidad o unidad, si cada elemento de la diagonal principal de la matriz particular es 1. La matriz identidad generalmente es denotada por “I”. Este tipo de matriz tiene la siguiente propiedad: AI = A y IA = A
(Figura 6. Ejemplo de matriz identidad o unidad)
6). Matriz cero o nula: Se trata de una matriz en la cual cada elemento es igual a 0. Se representa como ‘0’. Si ‘O’ es la matriz cero m x n y A es cualquier matriz m x n,
entonces A + O = O A . En consecuencia O es la identidad aditiva de la suma de matrices.
(Figura 7. Ejemplo de matriz cero o nula)
7). Matriz simétrica: Una matriz simétrica se refiere a la matriz cuadrada cuyo valores es igual al transpuesto de la matriz. Es decir, la simetría diagonal simétrica esta relacionada con la diagonal principal. Por otra parte, toda matriz diagonal es simetrica.
(Figura 8. Ejemplo de matriz simétrica)
8). Matriz asimétrica: La matriz asimétrica también es conocida como matriz antimateria o antisimetrica. Se trata de una matriz cuyo valor de transposición es negativo de su valor. Es decir,
Estos ocho tipos son la base de la clasificación de las matrices. Estos pueden utilizarse para generar una clasificación mas precisa. Sin embargo, el concepto básico y el
método de operación en las matrices son idénticos en todas las clasificaciones.
Transformaciones elementales por renglón
Transformaciones elementales en las filas, las frases de una matriz, rango de una matriz
Si se intercambian dos filas cualesquiera de una matriz dada, llamamos a esta operación una operación de transformación elemental en las filas de una matriz. Se denota por
R¬ij¬¬
, lo cual implica que se intercambian las filas i y j de la matriz dada. Esta operación también se denota porR¬i¬ <
→
R-j¬.
Un punto digno de notar es que esta operación no es de naturaleza singular. De hecho se ha transformado, que todas las matrices no singulares son el resultado de la
transformación elemental en la fila de una matriz. Si esto es cierto, entonces podemos concluir, que para todas las matrices no singulares también tenemos una matriz
inversa, la cual tampoco es singular y es también el resultado de la transformación elemental en la fila de una matriz. Esta matriz elemental se denomina la matriz identidad I y tenemos el resultado A x I = A -1.
Existen tres operaciones básicas que pueden realizarse para transformar la fila de una matriz dada:
1. Intercambiar dos filas de la matriz dada, es decir, poner los elementos de una fila en lugar del otro y viceversa.
2. Realizar la operacion de multiplicacion a cualquier fila de la matriz dada, multiplicando todas las entradas de esa fila con un elemento escalar.
3. Extraer un multiplo comun de todas las entradas de una fila y agregarlo a las entradas de la otra fila.
La transformación de fila es una operación básica importante de las matrices, la cual generalmente no altera el rango de la matriz dada. podemos continuar la
transformación de las filas de la matriz hasta que obtengamos una como la primera entrada diferente de cero apareciendo en cada fila.
Para que un sistema de ecuaciones u otros elementos representados a traves de una matriz para designar estos como linealmente dependientes debe existir un vector de elementos escalares tal que satisfaga la ecuacion dada,
distinto de cero, y que también es la submatriz mas grande para la matriz dada, puede determinar el rango de la matriz dado que su orden igual al rango de la matriz actual.
Tenemos como ejemplo la siguiente matriz:
(Figura 9. Ejemplo de matriz)
A continuación se muestra las posibles submatrices de la matriz, que tienen sus determinantes como cero,
(Figura 10. Ejemplo de submatrices)
Esto significa que no podemos tener un rango de tres asi que intentamos con la submatriz de orden dos, la cual da el rango de la matriz actual,
El determinante resulta ser 20, el cual es el mas grande y por lo tanto, el rango de la matriz dada es dos.
Calculo de la Inversa de una Matriz
deshaciendola produce el mismo resultado que deshacerla primero y realizarla
despues. De cualquier manera estas de nuevo en el punto de partida. Este concepto se denomina inverso de una matriz.
En otras palabras, imaginemos dos n x n matrices A y B, estas tienen la propiedad AB = BA = In. Entonces decimos que A es un inverso de B( y B es un inverso de A). Se dice que una matriz con inverso es invertible. Ademas, el inverso de una matriz siempre es unico.
Imagina que A Rn x n o A(F2) n x n y A tiene un inverso B. Entonces B es unico. Comprobemos este hecho. Imagina que A tiene dos inversos B y C. Entonces,
B = BIn = B (AC) = (BA) C = InC = C
En consecuencia B = C, por lo que el inverso es unico. El inverso de A siempre se denota como A-1, con la condicion de su existencia.
Por ejemplo, los inversos de las matrices elementales 2 x 2 son los siguientes:
(Figura 11. Inversos de matrices elementales 2 x 2)
Tenemos dos formas de encontrar el inversa de una matriz, tal que BA = In. La primera es simplemente multiplicar la secuencia de matrices elementales, lo cual reduce la fila A. Esto no es tan malo como parece, ya que la multiplicación de matrices elementales es esencial. El segundo método consiste en formar la matriz aumentada (A | In) y la fila reducida. El resultado final será la forma (In | B).
Dado que solo tenemos que resolver la ecuación matricial XA = I3, podemos reducir la fila (A | I3).
Entonces, por construcción BA = I3.
Existen una tercera técnica menos evidente la cual a veces también es útil. Si formamos la matriz de coeficiente aumentada (A | b), donde b representa el vector columna con los componentes b1, b2, ... b m y efectuando la reducción de filas de esta matriz aumentada, el resultado será en la forma (In | c), donde los componentes de c son combinaciones lineales de los componentes de b. Los coeficientes de estas combinaciones lineales nos dan las entradas de A-1.
Definición del Determinante de una Matriz
El Determinante de una matriz puede considerarse como las características escalares de una matriz determinada el cual es el volumen limitado por los vectores de matrices filas. La condición previa para la existencia del determinante de la matriz es que la matriz sea una matriz cuadrada. Con la ayuda del determinante se prueba si existe o no el inverso de la matriz particular.
|A| es el simbolo con el cual se representa el determinante de la matriz. La dimension de la matriz juega un papel esencial en la busqueda del valor del determinante. Por ejemplo:
| A | =
= ad – bc
Existen algunas propiedades esenciales de los determinantes que son dignas de consideración:
1) En caso de que las dos filas de un determinante sean iguales o, en otras palabras, una fila puede expresarse como la combinación lineal de dos filas, entonces |A| = 0. En el caso de las columnas es similar.
2) Cuando |A| = 0, entonces en este caso la matriz no puede ser invertida. 3) |A| = |A| T
4) |AB| = |A|*|B|= |BA| Sin embargo, tanto A como B deben ser matrices cuadradas. 5) El determinante de la matriz triangular es el producto de los valores de la diagonales
del trabajo.
6) Intercambiar las filas de la matriz conduce a la negación de su valor final. Esto es,
En general, para una matriz n x n, el determinante puede calcularse como: ai1Ci1 + ai2Ci2 + ***** + ainCin
Aqui Cij es el cofactor y puede calcularse como Cij = (-1) i+j det Mij
Mij es la matriz menor y puede obtenerse eliminando la fila ith y la columna jth de la matriz.
También, el valor del determinante permanece sin cambios si los elementos de una fila son alterados anadiendo, digamos, los multiplos constantes de los elementos
correspondientes en cualquier otra fila.
Del mismo modo, el valor del determinante no se altera si los elementos de una columna son cambiados agregandoles multiplos constantes de los elementos correspondientes en cualquier otra columna.
de algunas operaciones elementales. Multipliquemos los valores de la primera fila con la mitad y simemoslos con los valores de segunda fila. Con esto, obtenemos
Aqui usamos una de las propiadades del determinante la cual establece que el determinante de la matriz triangular es el producto de los valores de la diagonal del triangulo. Por lo tanto,
Por lo tanto, los determinantes tienen una diversidad de usos: 1) Para verificar si existe o no el inverso de una matriz.
2) Es util para el calculo de los valores y vectores propios.
3) El volumen o el area de la forma particular que son definidos por matrices fila mediante la ayuda de los determinantes. Por ejemplo:
|A| = representa el cuadrado en el plano 2D. El area y el determinante de la forma particular es 1.
Propiedades de los Determinantes
Toda matriz tiene un valor asociado con el algebra lineal. Este valor es denominado determinantes. Los Determinantes tienen una aplicacion en casi todos los conceptos de las Matematicas. El calculo de determinante puede hacerse para los valores de las filas y las columnas de una matriz, con la ayuda de expresiones aritmeticas.
Las propiedades de los determinantes nos ayudan a simplificar el calculo de los determinantes de cualquier orden, tomando el numero maximo de ceros en una fila o una columna.
La segunda propiedad de los determinantes establece, que si el final de las dos filas de un determinante se intercambia, entonces la suma de los determianntes cambia, o podemos decir que el valor del determinane se multiplica por el signo de menos. Del mismo modo, esta propiedad es cierta para dos columnas. Asi que podemos decir que el valor de los determinantes cambia cuando el final de las columnas de un
determinante cambia.
La siguiente propiedad establece que si el final de las dos filas los determinantes son iguales, entonces todos los elementos correspondientes de las dos filas son iguales, por lo que el valor del determinante es 0. Del mismo modo, si cualquiera de las dos columnas de los determinantes es identica, es decir, que todos los elementos correspondientes de las dos columnas son iguals, entonces el valor de las determinantes tambien viene siendo 0.
Las dos propiedades anteriores nos ayudan a probar que si los elementos correspondientes de las dos filas son proporcionales, entonces el valor del
determinante es 0. Del mismo modo, cuando los elementos correspondientes de las dos columnas son proporcionales, entonces el valor de nuevo viene siendo 0.
Si la suma de todos los elementos de las filas del determinente se expresan como la suma de dos o mas terminos, entonces el determinante puede expresarse como la suma d dos o mas determiantes. Del mismo modo, si la suma de todos los elementos de la columna del determinante se expresa como la suma de dos o mas terminos, en este caso, los determinantes pueden expresarse tambien como la suma de dos o mas determinantes.
El valor de determinante no cambia si los elementos de una fila son alterados al agregarles un multiplo constante de los elementos correspondientes en cualquier otra fila. Del mismo modo, el valor del determinante no cambia si los elementos de una columna se alteran mediante la adicion de un multiplo constante de los elementos correspondientes en cualquier otra columna.
Aquí utilizamos una de las propiedades del determinante en el cual se establece que el determinante de la matriz triangular es el producto de los valores de la diagonal del triángulo.
Por lo tanto,
Inverso de la matriz cuadrada por la matriz conjugada transpuesta
El transpuesto conjugado es una operación básica que sólo puede realizarse en una matriz compleja, que es aquella matriz cuyas entradas son números complejos. También es llamada por el nombre de conjugada hermitiano o transposición de
Hermítica. En este procedimiento, primero se toma el transpuesto de la matriz dada y luego se deriva el conjugado complejo de todos los elementos de la matriz dada. El conjugado complejo es una operación en la cual mantenemos intacto la parte real del número complejo y neutralizamos la parte imaginaria del número complejo. Por ejemplo, tenemos que el número complejo dado es x + iy, entonces el conjugado complejo del número es dado como x - iy, y si el número complejo dado es x - iy, entonces el conjugado complejo de la misma se da como x + iy.
La barra en la parte derecha denota la operación como una escalar del conjugado complejo. Aquí AH es la matriz hermética de la matriz actual. Ahora, la matriz dada puede ser de la forma de una matriz fila o de una matriz columna o una matriz
cuadrada o cualquier otra cosa. Aquí nos concentraremos en el caso de que la matriz dada sea una matriz cuadrada. Entonces,
En el diagrama anterior, det significa determinante de la matriz, y traza significa traza y
−1 denota la operación inversa.
Antes de entrar en detalles es importante entender el procedimiento inverso de la transposición de una matriz. La transposición de una matriz inversa de una matriz dada se determina, en primer lugar obteniendo la transposición de una matriz y luego
Digamos por ejemplo, que se nos da una matriz cuadrada compleja, entonces el conjugado transpuesto funciona de la misma manera como se ha mencionado anteriormente. Esto significa, que si realizamos la operación de transposición
conjugada en una matriz cuadrada, entonces estamos determinando la transposición inversa de la matriz actual.
Veamos un ejemplo para entender a profundidad este procedimiento. Digamos que tenemos una matriz cuadrada compleja de orden 3 x 3 como,
Para determinar el conjugado complejo de esta matriz, primero debemos buscar la transposición de esta matriz. Por lo tanto, la transposición de esta matriz es
representada como,
Esta es la respuesta necesaria. Finalmente para obtener el inverso de esta matriz cuadrada es necesario buscar el inverso de cada uno de los números complejos en la matriz.
