4. Sistemas de Ecuaciones Lineales. - 6. Sistemas de Ecuaciones Lineales. Métodos Directos

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(1)

M´odulo 6

Prof. M.Ang´elica Vega U.

4.

Sistemas de Ecuaciones Lineales.

4.1.

etodos directos

Estos m´etodos consisten en sustituir la matriz A por una sucesi´on de matrices elementales, de manera que se obtiene un sistema sea m´as f´acil de resolver.

4.1.1. M´etodo de Gauss.

El m´etodo deeliminaci´on gaussianaes uno de los m´etodos directos cl´asico para resolver el sistema

Ax=b, consiste de dos etapas. Etapa 1. Triangularizaci´on.

Para efectos de la operatoria, resulta m´as simple, efectuar las operaciones sobre la matriz aumen-tada ˜Aen lugar deA.

El m´etodo consiste en obtener una sucesi´on de sistemas equivalentes

A(k)x=b(k), (k= 1,2, ... , n)

mediante operaciones elementales de fila, tal que para cadak= 2,3, . . . , n.

˜

A(k)=

                

a(1)11 a(1)12 . . . a(1)1n ... a(1)1n+1

0 a(2)22 . . . a(2)2n ... a(2)2n+1

0 0 . .. ... ... ...

0 0 . . . a(k)kk a(k)k k+1 . . . a(k)k n ... a(k)k n+1

0 0 . . . a(k)k+1k a(k)k+1k+1 . . . a(k)k+1n ... a(k)k+1n+1

..

. ... . . . ... ... . . . ... ...

0 0 . . . a(k)n k a(k)n k+1 . . . a(k)n n ... a(k)n n+1.

                

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donde,

b(k)=

       

a(1)1n+1

.. .

a(k)n n+1

.. .

a(k)n n+1.

       

(36)

con

(2)

˜

A(k)= (a(k)

ij ) se obtiene de la siguiente manera:

a(k)ij =

   

  

a(kij−1) si, i= 1,2, . . . k−1 ; j= 1,2, . . . n+ 1 0 si, i=k, k+ 1, . . . n; j= 1. . . k−1, a(kij−1)− a

(k−1)

i k−1 a(k−k−11)k−1a

(k−1)

k−1j sii=k, k+ 1. . . n; j=k, k+ 1. . . n+ 1..

(37)

El proceso termina cuando ˜A(n)es triangular superior, teni´endose el sistemaA(n)x=b(n). N´otese que en esta etapa s´olo se obtiene una matriz triangular superior. En la etapa siguiente, se resuelve el sistema.

Etapa 2. Retrosustituci´on. Resolvemos lan-´esima ecuaci´on

xn=

a(n)n n+1 a(n)n n

.

Usandoxn se puede despejarxn−1 de lan−1-ecuaci´on

xn−1=

a(nn11),n+1−a(nn11)n xn

an−1n−1

;

continuando con este proceso, se tiene que, para cada

i=n−1, n−2, . . . ,2,1,

xi=

ai

i ,n+1−aii nxn−aii n−1xn−1 − · · · −aii i+1xi+1

aii

=a i i ,n+1−

Pn

j=i+1a i ijxj

aii

(38)

Nota 4.1 Denotaremos por :

mi k=

ai k

ak k

al n´umero que produce un cero en la fila icolumnak, denominado multiplicador y a los elementos ai i le llamaremos elementos pivotes.

Observemos que,a(k)i j, se obtiene de :

ai j(k)=a(ki j−1)−mki k11·a(kk11)j

Actividades 4.1

i) Ejemplo 4.1 Use eliminaci´on de Gauss para resolver:

3x1−0,1x2−0,2x3 = 7,85, 0,1x1+ 7x2−0,3x3 = −19,4, 0,3x1−0,2x2+ 10x3 = 71,4,

(3)

Soluci´on : la matriz aumentada es

˜

A=

3 −0,1 −0,2 7,85 0,1 7 −0,3 −19,4 0,3 −0,2 10 71,4

luego,los multiplicadores que producen ceros en la primera columna son :

m2 1=

a2 1

a1 1 =0,1

3 = 0,03333333

y

m3 1=

a3 1

a1 1 =0,3

3 = 0,09999999

ii) Ejemplo 4.2 Use eliminaci´on de Gauss para resolver los siguientes sistemas: a)

0,0003x1+ 3,0000x2 = 2,0001, 1,0000x1+ 1,0000x2 = 1,0000,

b)

1,0000x1+ 1,0000x2 = 1,0000, 0,0003x1+ 3,0000x2 = 2,0001,

c) Compare los resultados de a) y b) al considerar 3, 4 y 5 cifras significativas. ¿A qu´e con-clusi´on llega ?

4.1.2. Eliminaci´on gaussiana con y sin pivoteo.

De la Actividad I.ii), se observa que pueden surgir dificultades en algunos casos, como cuando el pivote es peque˜no en relaci´on a los otros elementos de la columna a la que pertenece el elemento pivote. Una forma de mejorar las soluciones se usa como estrategia pivotear. El llamadopivoteo parcialconsiste en seleccionar el elemento de mayor valor absoluto ubicado en la misma columna que el pivote, bajo la diagonal e intercambiar filas. Al procedimiento de buscar el elemento de mayor valor absoluto tanto en las columnas como en las filas y luego intercambiar se conoce como pivoteo total.

El pivoteo completo o total no es muy usado puesto que el intercambio de columnas implica un intercambio de las inc´ognitas, lo que agrega complejidad injustificada.

Actividades 4.2 1. Use eliminaci´on de Gauss para resolver el sistema : x1+x2−x3 = −3,

6x1+ 2x2+ 2x3 = 2,

−3x1+ 4x2+x3 = 1,

(4)

Gauss simple.

Eliminaci´on gaussiana con pivoteo parcial.

Eliminaci´on gaussiana con pivoteo total.

2. Parak= 0,1,2, ..., seax(k)= [x

k, yk, zk]T generada por : 4xk+1 = −xk−yk+ 2,

6yk+1 = +2xk+yk−zk−1,

−4xk+1 = −xk+yk−zk+ 4,

a) Demuestre que la sucesi´on de vectores {x(k)}

k=1 es convergente para cualquier vector

inicial x(0).

b) Determine el vectorx al cu´al converge usando Gauss con pivote parcial. c) Encuentre el vectorxiterando el sistema dado.

3. Suponga que trabaja con una m´aquina que redondea a dos decimales para resolver el siguiente sistema :

0,10·10−1x+y = 1

x−y = 0

Use el m´etodo de eliminaci´on de Gauss para encontrar la soluci´on.

(5)

4.2.

Factorizaci´

on LU

A=LU

Una primera interrogante es ¿Existe tal factorizaci´on? . Un primer resultado que garantiza la existencia de esta factorizaci´on dice,

Teorema 4.1 Si puede aplicarse la eliminaci´on gaussiana al sistema Ax=bsin intercambio de filas, entonces la matrizA puede factorizarse como

A=LU ,

donde

U =

       

a(1)11 a(1)12 . . . a(1)1n

0 a(2)22 . .. ... ..

. . .. . .. a(nn11)n1

0 . . . 0 a(n)nn

y

       

L=

    

1 0 . . . 0

m21 1 . .. ...

..

. . .. . .. 0

mn1 . . . mn n−1 1

    

(39)

N´otese que al factorizarAenLU,

Ax=b ⇔ L(Ux) =b

entonces, es posible resolver el sistema utilizando dos sistemas que involucran matrices triangulares, se resuelve primero Ly = b y luego Ux = y. De modo que si L = (lij), entonces se obtiene el vectory por sustituci´on hacia adelante,

y1=

b1

l11 y losyi para cadai= 2,3, . . . n,mediante

yi= 1

lii

bi− i−1

X

j=1

lijyj

.

As´ı conociendo el vectorypodemos obtener en el sistemaUx=yel vectorxpor retrosustituci´on. El Teorema 1 proporciona una factorizaci´on de la matrizA, observe que los elementos de la matriz

L son los elementos multiplicadores mi j que se obtuvieron al realizar la eliminaci´on gaussiana, excepto los elementos de la diagonal principal que son 1. Esta factorizaci´on se conoce como Fac-torizaci´on de Doolitle.

(6)

Analicemos el problema general, el factorizarAcomoLU, significa que hay que resolver las ecua-ciones     

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n ..

. ... . .. ...

an1 an2 . . . ann

     =       

l11 0 0 . . . 0

l21 l22 0 . . . 0

l31 l32 l33 . . . 0 ..

. ... ... . .. ...

ln1 ln2 ln3 . . . lnn

       ·       

u11 u12 u13 . . . u1n 0 u22 u23 . . . u2n 0 0 u33 . . . u3n

..

. ... ... . .. ... 0 0 0 . . . unn.

       (40) Notemos que las ecuaciones anteriores, no determinan aL y a U en forma ´unica. Para cadai se puede asignar un valor no nulolii o uii (pero no a ambos). ¿Porqu´e ? Justifique . Por ejemplo, si

lii = 1 parai= 1,2, . . . , n, es la descomposici´on de Doolitle que se obtiene como vimos al aplicar eliminaci´on gaussiana. Otra elecci´on simple es uii = 1 para cadaien este caso la factorizaci´on es la deCrout, o bi´en asumir quelii=uii en cu´al caso tenemos la factorizaci´on deCholeski Actividades 4.3

i) Descomponer la matriz Ausando la factorizaci´on de Crout, en el sistema :

x1+x2−x3 = −3, 6x1+ 2x2+ 2x3 = 2,

−3x1+ 4x2+x3 = 1,

ii) Problema N◦3de la PEP1 (Sem II-2000) Para determinar la temperatura en cuatro puntos interiores equidistantes de una barra, hay que resolver la ecuaci´on :

Atk+1=tk , k= 0,1,2, ... donde, A=    

3 −1 0 0

−1 3 −1 0 0 −1 3 −1 0 0 −1 3

  

, t0=

    10 12 12 10     (41)

(tk es la distribuci´on de la temperatura en los puntos interiores de la barra en el instantek.

a) Mediante el m´etodo de Gauss (sin pivote) determine t1. b) Obtengat2 yt3, usando una descomposici´onA=LU.

iii) Resolver el sistema

  

−x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 1 2x1 − 4x2 − 5x3 − x4 = 0

−3x1 + 8x2 + 8x3 + x4 = 2

x1 + 2x2 − 6x3 + 4x4 = −1

  

(42)

(7)

4.2.1. Matrices definidas positivas.

Definici´on 4.1 Una matriz Asim´etrica esdefinida positiva si y s´olo si

xTAx>0 ,∀x∈ Rn− {0} (43)

Ejemplo 4.3 Verifique si la matriz dada es definida positiva.

2 −1 0

−1 2 −1 0 −1 2

 (44)

En la pr´actica puede resultar dif´ıcil determinar si una matriz es definida positiva a partir de la definici´on, el siguiente resultado constituye un criterio de gran utilidad para este prop´osito.

Teorema 4.2 A es sim´etrica y definida positiva, si y s´olo siDk>0, ∀k= 1, ..., n, dondeDk es

el determinante:

Dk =

a11 · · · a1k

..

. . .. ... ak1 · · · akk

Dem.Consultar, Introduction to Numerical Analysis de Stoer - Bulirsch.

Teorema 4.3 Si Aes sim´etrica y definida positiva, entonces : i)Aes no singular

ii)aii>0, para cadai= 1,2, ..., n. Dem.

i) Supongamos A no invertible, entonces exite x6= 0 tal que el sistema Ax = 0, de donde

xTAx= 0, lo que contradice el hecho de Adefinida positiva. Por tanto, A es no singular. ii) Ejercicio

Teorema 4.4 Si A es una matriz real, sim´etrica y definida positiva, entoncesA=LLT, dondeL

es una matriz triangular inferior con diagonal positiva.

Dem.Consultar An´alisis Num´erico de Burden - Faires o Kincaid - Cheney

4.2.2. Matrices diagonal dominante.

Definici´on 4.2 SeaA una matriz cuadrada de ordenn, diremos queAes diagonal dominante

si

|aii| ≥ n

X

j=1

j6=i

|aij|,∀i,1≤i≤n (45)

(8)

Teorema 4.5 Si Aes diagonal dominante, entoncesA es invertible.

Teorema 4.6 SiAes diagonal dominante y todos los elementos de la diagonal son reales positivos , entonces la parte real de cada valor propio es positiva.Dem.Algebra Lineal. Grossman. Mc Graw´ Hill.

Teorema 4.7 Si A es sim´etrica, diagonal dominante, con los coeficientes diagonales positivos, entoncesA es definida positiva.

Dem. Usando el teorema anterior, siλi >0 deduciremos que xtAx> 0. Como A es sim´etrica,

tiene un conjunto de autovectores ortonormales (teorema espectral), entonces cualquier vector x

puede escribirse como una combinaci´on lineal de ellos,

x=c1x1+c2x2+...+cnxn,

entonces

Ax=c1Ax1+c2Ax2+...+cnAxn =c1λ1x1+c2λ2x2+...+cnλnxn.

De la ortogonalidad y la normalizaci´onxt

ixi= 1. Luego,

xtAx= (c1xt1+c2xt2+...+cnxnt)(c1λ1x1+c2λ2x2+...+cnλnxn) =c21λ1x1+c22λ2x2+...+c2nλnxn

comoλi>0, se tiene que∀i xtAx>0.

Figure

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Referencias

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