Cálculo de perfiles transitorios a lo largo de sistemas de transmisión aplicando la transformada numérica de Laplace

Texto completo

(1)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y

ELÉCTRICA

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

Cálculo de Perfiles Transitorios a lo Largo de Sistemas de

Transmisión Aplicando la Transformada Numérica de Laplace

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELÉCTRICA

P R E S E N T A

Rodrigo Nuricumbo Guillén

(2)
(3)
(4)

Agradecimientos

 A Dios por todas las bendiciones que me ha dado durante mi vida, darme

salud, felicidad y la sabiduría para poder concluir mis estudios de maestría.

 A mis directores de tesis: Dr. Pablo Gómez Zamorano y Dr. Fermín Pascual

Espino Cortés, por todo el apoyo, consejos y conocimiento que me brindaron durante esta etapa de mi vida, sin los cuales hubiera sido imposible la terminación de este trabajo.

 A la comisión revisora, por sus valiosos comentarios y sugerencias que

permitieron mejorar la calidad de este trabajo.

 A mis amigos y compañeros, por su apoyo y por todas las experiencias que

vivimos juntos.

 Al Instituto Politécnico Nacional y al Conacyt por el apoyo económico

(5)

Dedicatoria

 A mi Madre Ma. Concepción del Socorro, por su apoyo incondicional

durante no solo esta etapa, sino en toda mi vida, que con su ejemplo y enseñanzas me permitido ser una mejor persona y alcanzar mis metas y objetivos.

 A mi hermana Leticia del Carmen, por el apoyo y cariño mostrado, y de

quién he aprendido mucho.

 A Xiuling Yuan González, por todo este tiempo juntos, por su apoyo

(6)

i

Resumen

Las líneas de transmisión son elementos de gran importancia en la red eléctrica, ya que se encargan de llevar la energía eléctrica desde los centros de generación a los centros de consumo. Por lo tanto, es necesario contar con un buen diseño de éstas para reducir la probabilidad de falla, ya que esto significaría una interrupción en el suministro de energía eléctrica.

Los transitorios electromagnéticos son una de las causas principales de falla de una línea de transmisión. Estos fenómenos se deben generalmente a maniobras de interruptores o a descargas atmosféricas. En consecuencia, es necesario tener herramientas de análisis para poder estudiar de manera adecuada el comportamiento de las líneas de transmisión ante estos eventos. Adicionalmente, otros elementos de la red eléctrica como transformadores y cables subterráneos también son susceptibles a sufrir fallas debido a transitorios electromagnéticos.

En este trabajo se aplica de manera sucesiva (dos veces) la transformada de

Laplace a las Ecuaciones del Telegrafista en el dominio espacio-tiempo (z-t) para

obtener un modelo de línea de transmisión en el dominio frecuencia

espacial-frecuencia temporal (q-s). De esta forma, las Ecuaciones del Telegrafista pasan de

ecuaciones diferenciales parciales en el dominio z-t a ecuaciones algebraicas en

el dominio q-s, las cuales se pueden resolver de manera sencilla para obtener las

tensiones y corrientes a lo largo de la línea. Posteriormente, por medio de la aplicación sucesiva de la transformada numérica de Laplace inversa se obtienen los perfiles de tensión y corriente a lo largo de la línea en el dominio del tiempo.

El método propuesto también se aplica al cálculo de perfiles transitorios a lo largo de otros elementos de la red eléctrica representados mediante modelos de parámetros distribuidos, tales como devanados de transformadores, redes de transmisión o sistemas de cables subterráneos.

Adicionalmente, el modelo propuesto se emplea en el cálculo de perfiles transitorios de tensión y corriente a lo largo de líneas de transmisión iluminadas por campos electromagnéticos incidentes generados por descargas atmosféricas indirectas. El efecto de estos campos incidentes se representa por medio de fuentes de tensión y corriente distribuidas a lo largo de la línea.

(7)

ii

Abstract

Transmission lines are elements of great importance in the electrical network, since they transport electric energy from the power plants to the demand centers. Therefore, it is necessary to design them correctly to avoid any possible failure, since this would mean an interruption of the electrical energy supply.

Electromagnetic transients are among the main causes of failure in a transmission line. These phenomena are generally due to lightning or switching operations. In consequence, it is necessary to have suitable tools to analyze the behavior of transmission lines during these events. In addition, other elements of the electrical network, such as transformers and cables, are also susceptible to damage produced by transients.

In this work, the Laplace transform is applied successively (twice) to the

Telegrapher Equations in the space-time (z-t) domain to obtain a transmission line

model in the spatial frequency-temporal frequency (q-s) domain. In this way,

Telegrapher equations are transformed from partial differential equations in the z-t

domain to algebraic equations in the q-s domain, which can be easily solved for the

voltages and currents along the line. Then, by means of the successive application of the numerical inverse Laplace transform the voltage and current profiles in the time domain are obtained.

The proposed method is also applied to other elements of the electrical system represented by means of distributed parameter models, such as transformers windings, transmission networks and underground cables.

Additionally, the proposed model is used in the computation of transient profiles along transmission lines excited by incident electromagnetic fields generated by indirect lightning strokes. The effect of these electromagnetic fields is taken into account by means of distributed voltage and current sources connected along the transmission line.

(8)

iii

Índice

AGRADECIMIENTOS ... II

DEDICATORIA ... V

RESUMEN ... I

ABSTRACT ... II

ÍNDICE ... III

LISTA DE FIGURAS ... VI

LISTA DE TABLAS ... X

SIMBOLOGÍA ... 11

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN ... 1

1.1 GENERALIDADES ... 1

1.2 OBJETIVO ... 3

1.3 ANTECEDENTES ... 3

1.4 ESTADO DEL ARTE ... 5

1.5 JUSTIFICACIÓN ... 7

1.6 LIMITACIONES Y ALCANCES ... 8

1.6.1 Limitaciones ... 8

1.6.2 Alcances ... 9

1.7 ESTRUCTURA DE LA TESIS ... 9

CAPÍTULO 2 LA TRANSFORMADA NUMÉRICA DE LAPLACE ... 11

2.1 INTRODUCCIÓN ... 11

2.2 TRANSFORMADA NUMÉRICA DE LAPLACE ... 11

2.2.1 Transformada de Laplace ... 11

2.2.2 Errores de la Transformada Numérica de Laplace ... 12

2.2.2.1 Función Ventana ... 13

2.2.2.2 Factor de amortiguamiento ... 14

2.2.3 Discretización ... 14

2.2.3.1 TNL Inversa ... 14

(9)

iv

2.2.4 Validación Mediante Comparación con una Expresión Analítica ... 16

2.3 APLICACIÓN SUCESIVA DE LA TNL INVERSA ... 16

2.3.1 Transformación de q a z ... 18

2.3.2 Inversión Numérica Parcial Sucesiva ... 18

2.4 VALIDACIÓN MEDIANTE COMPARACIÓN CON EXPRESIONES ANALÍTICAS ... 19

2.4.1 Caso A ... 19

2.4.2 Caso B ... 21

CAPÍTULO 3 MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN EL DOMINIO Q-S ... 23

3.1 INTRODUCCIÓN ... 23

3.2 CÁLCULO DE PERFILES DE TENSIÓN Y CORRIENTE A LO LARGO DE LA LÍNEA ... 23

3.2.1 Solución de las Ecuaciones del Telegrafista en el Dominio q-s ... 23

3.2.2 Cálculo de Tensiones y Corrientes al Inicio de la Línea ... 24

3.2.2.1 Tensiones al Inicio de la Línea ... 24

3.2.2.2 Corrientes al Inicio de la Línea ... 25

3.3 APLICACIONES ... 26

3.3.1 Aplicación a Devanados de Transformadores ... 26

3.3.2 Aplicación a Redes de Transmisión ... 28

3.3.3 Descargas Atmosféricas Directas ... 29

3.4 CASOS DE PRUEBA ... 29

3.4.1 Línea de Transmisión Aérea Multiconductora ... 30

3.4.2 Devanado de un Transformador ... 36

3.4.3 Arreglo Trifásico de Cables ... 40

3.4.4 Red de Transmisión ... 40

CAPÍTULO 4 MODELADO DE LA LÍNEA ILUMINADA EN EL DOMINIO Q-S ... 48

4.1 INTRODUCCIÓN ... 48

4.2 CÁLCULO DE PERFILES DE TENSIÓN Y CORRIENTE A LO LARGO DE LA LÍNEA ILUMINADA ... 48

4.2.1 Inclusión de los Campos Electromagnéticos Incidentes ... 48

4.2.2 Cálculo de las Tensiones y Corrientes al Inicio de la Línea ... 49

4.2.2.1 Tensiones al Inicio de la Línea ... 51

4.2.2.2 Corrientes al Inicio de la Línea ... 52

4.2.3 Obtención de los Perfiles de Tensión y Corriente en el Dominio del Tiempo ... 52

(10)

v

4.4 CASOS DE PRUEBA ... 54

4.4.1 Validación Mediante Comparaciones con ATP/EMTP ... 55

4.4.1.1 Caso A: Fuentes Distribuidas de Tensión. ... 55

4.4.1.2 Caso B: Fuentes Distribuidas de Corriente ... 57

4.4.2 Implementación de Campos Electromagnéticos Incidentes ... 58

4.4.2.1 Caso A ... 58

4.4.2.2 Caso B ... 60

4.4.2.3 Caso C ... 62

CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES ... 64

5.1 CONCLUSIONES ... 64

5.2 APORTACIONES ... 66

5.3 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS ... 66

REFERENCIAS ... 67

APENDICE A. CÁLCULO DE LA CORRIENTE EN LA BASE DEL CANAL DE DESCARGA. .... 73

(11)

vi

Lista de Figuras

Figura 2.1. Ventana de Hanning ... 13

Figura 2.2. Gráfica obtenida al aplicar la TNL inversa a la ecuación (2.17). ... 17

Figura 2.3. Error relativo obtenido al comparar la TNL inversa con la evaluación de la función analítica. ... 17

Figura 2.4. Gráfica en tres dimensiones obtenida con la aplicación sucesiva de la TNL inversa. ... 20

Figura 2.5. Diferencia relativa entre las definiciones numérica y analítica. ... 20

Figura 2.6. Gráfica en tres dimensiones obtenida con la aplicación sucesiva de la TNL inversa. ... 21

Figura 2.7. Diferencia relativa entre las definiciones numérica y analítica. ... 21

Figura 3.1. Circuito utilizado para el cálculo de . ... 26

Figura 3.2. Cálculo de a partir del circuito π equivalente de la línea. ... 26

Figura 3.3. Conexión en zig-zag de un modelo de línea multiconductora para un devanado de tres vueltas. ... 27

Figura 3.4. Vista transversal de la línea de transmisión considerada. ... 30

Figura 3.5. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase A. ... 32

Figura 3.6. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase B. ... 32

Figura 3.7. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase C. ... 32

Figura 3.8. Simulación realizada en ATP/EMTP. ... 33

Figura 3.9. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase A. La línea está dividida en 32 segmentos en ATP/EMTP. ... 33

Figura 3.10. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase B. La línea está dividida en 32 segmentos en ATP/EMTP. ... 33

(12)

vii Figura 3.12. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase A. La línea está dividida en 4 segmentos en

ATP/EMTP. ... 35

Figura 3.13. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase B. La línea está dividida en 4 segmentos en ATP/EMTP. ... 35

Figura 3.14. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase C. La línea está dividida en 4 segmentos en ATP/EMTP. ... 35

Figura 3.15. Esquemático del devanado utilizado en el caso de prueba [48] ... 36

Figura 3.16. Perfil de tensión a lo largo de la primera vuelta del devanado. ... 38

Figura 3.17. Perfil de tensión a lo largo de la sexta vuelta del devanado. ... 38

Figura 3.18. Perfil de tensión a lo largo de la última vuelta del devanado. ... 39

Figura 3.19. Comparación entre la aplicación sucesiva (líneas continuas) y el análisis en el dominio de la frecuencia (líneas punteadas) al inicio de las vueltas. ... 39

Figura 3.20. Comparación entre la aplicación sucesiva (líneas continuas) y el análisis en el dominio de la frecuencia (líneas punteadas) a la mitad de las vueltas. ... 39

Figura 3.21. Vista transversal del arreglo utilizado. ... 40

Figura 3.22. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo del conductor de la fase A. ... 41

Figura 3.23. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo del blindaje de la fase A. ... 41

Figura 3.24. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo del blindaje de la fase B. ... 41

Figura 3.25. Gráfica en tres dimensiones del perfil de corriente a lo largo del conductor de la fase C. ... 42

Figura 3.26. Comparación entre la TNL inversa (línea continua) y PSCADEMTDC (líneas punteadas) para los conductores a la mitad del cable. ... 42

Figura 3.27. Comparación entre la TNL inversa (línea continua) y PSCADEMTDC (líneas punteadas) para los blindajes a la mitad del cable. ... 42

(13)

viii Figura 3.29. Comparación entre la TNL inversa (línea continua) y PSCADEMTDC

(líneas punteadas) para los blindajes a la mitad del cable. ... 43

Figura 3.30. Red de transmisión utilizada para el caso de prueba. ... 44

Figura 3.31. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase A de la línea 2. ... 45

Figura 3.32. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase B de la línea 2. ... 45

Figura 3.33. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase C de la línea 2. ... 45

Figura 3.34. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase A de la línea 2. ... 46

Figura 3.35. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase B de la línea 2. ... 46

Figura 3.36. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase C de la línea 2. ... 46

Figura 3.37. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la línea 3. ... 47

Figura 4.1. Configuración geométrica de la interacción entre el canal de descarga y la línea de transmisión [36]. ... 50

Figura 4.2. Representación de los efectos de los campos electromagnéticos incidentes por fuentes de tensión y corriente al final de la línea. ... 51

Figura 4.3. Perfil de tensión a lo largo de la fase A con excitación de fuentes de tensión distribuidas. ... 55

Figura 4.4. Modelo de ATP utilizado para simular una línea iluminada. ... 56

Figura 4.5. Comparación del modelo de línea iluminada entre la aplicación sucesiva de la TNL inversa (línea continua) y ATP/EMTP (línea punteada). ... 56

Figura 4.6. Perfil de tensión a lo largo de la fase A con excitación de fuentes de corriente distribuidas. ... 57

Figura 4.7. Comparación del modelo de línea iluminada entre la aplicación sucesiva de la TNL inversa (línea continua) y ATP/EMTP (línea punteada). ... 57

Figura 4.8. Configuración geométrica para el caso A. ... 59

Figura 4.9. Perfil de tensión en la fase A ... 59

(14)
(15)

x

Lista de Tablas

Tabla 1.1 Clasificación de transitorios electromagnéticos por su origen e intervalo

de frecuencia [2]. ... 2

Tabla 2.1. Ventanas utilizadas para evaluar la aplicación sucesiva de la TNL. .... 13

Tabla 3.1. Características de la línea ... 31

Tabla 3.2. Longitud de las líneas y radio de los conductores. ... 44

Tabla 3.3. Posición de los conductores. ... 44

Tabla 4.1. Datos de la línea de transmisión para los casos de prueba. ... 58

(16)

11

Simbología

Campo magnético incidente en dirección x

Constante de amortiguamiento (espacial)

Constante de amortiguamiento (temporal)

Matriz de capacitancias

Capacitancia entre vueltas separadas por una vuelta

Capacitancia entre vueltas separadas por dos vueltas

Capacitancia entre una vuelta y tierra

Capacitancia entre discos adyacentes

Capacitancia entre vueltas

Capacitancia entre los devanados de alta y baja tensión

Campo eléctrico en la dirección r

Campo eléctrico en la dirección y

Función en el dominio q-s

Función en el dominio z-t

Altura de la nube

Altura de la línea

Vector de fuentes de corriente distribuidas

Fuente de corriente equivalente conectada en el extremo emisor

Fuente de corriente equivalente conectada en el nodo receptor

Fuente de corriente en el nodo emisor

Fuente de corriente en el nodo receptor

Corriente a lo largo de la i-ésima línea de una red de transmisión en el

dominio q-s

(17)

12

Corriente en la base del canal de descarga

Corriente a lo largo del canal de descarga

Perfil de corriente a lo largo de la línea en el dominio del tiempo

Longitud de la línea

LCC Módulo Line/Cable Constants del ATP/EMTP

Número de muestras en el espacio

Número de muestras en el tiempo

p.u. Valor por unidad referido a la fuente de excitación

Variable de la frecuencia espacial

Frecuencia angular espacial

Variable de la frecuencia temporal

TNL Transformada numérica de Laplace

Tiempo

Matriz unidad

Vector de fuentes de tensión distribuidas

Tensión en el nodo emisor de la línea

Tensión en el nodo receptor de la línea

Tensión de la fuente de alimentación

Tensión a lo largo de la i-ésima línea de una red de transmisión en el

dominio q-s

Tensión en el i-ésimo nodo de una red de transmisión en el dominio s

Tensió a lo largo de la línea en el dominio q-s

Perfil de tensión a lo largo de la línea en el dominio del tiempo

Matriz de admitancias

Matriz de admitancias características

(18)

13 Admitancia del nodo receptor

Admitancia del nodo emisor

Matriz de impedancias

Matriz de impedancias características

Factor de reflexión de la línea

Paso de tiempo discreto

Segmento de longitud

Discretización del espectro de frecuencia temporal

Permitividad del vacío

Permitividad relativa del terreno

Φ Matriz cadena

Función ventana en el espectro de la frecuencia espacial

Función ventana en el espectro de la frecuencia temporal

Ω Valor truncado del intervalo de integración

(19)

1

Capítulo 1

Introducción

1.1 Generalidades

La energía eléctrica se ha convertido en un recurso vital para la sociedad actual, ya que es un recurso indispensable tanto en zonas rurales, como urbanas e industriales. Sin embargo, los centros de generación de energía generalmente se encuentran muy alejados de estos centros de consumo, por lo que es necesario conectar de alguna manera estas dos ubicaciones; este objetivo lo cumplen las líneas de transmisión, las cuales se extienden desde las plantas de generación hasta las subestaciones donde se realiza la distribución de la energía eléctrica.

Debido a que las líneas de transmisión cubren grandes distancias para cumplir con su propósito, son propensas a experimentar perturbaciones que pueden generar fallas en la red eléctrica e interrumpir el suministro de energía. Estas perturbaciones comúnmente se presentan en la forma de transitorios electromagnéticos. Un transitorio electromagnético se puede definir como el cambio repentino de estado de las condiciones del sistema eléctrico, debido a fenómenos como descargas atmosféricas o maniobras en la red [1].

Los transitorios electromagnéticos ocurren en periodos de tiempo extremadamente cortos (en el orden de microsegundos para descargas atmosféricas o milisegundos para maniobras). Los modelos existentes para representar los sistemas de transmisión pueden ser de parámetros concentrados o de parámetros distribuidos. Para el análisis de transitorios electromagnéticos generalmente se prefiere utilizar modelos de parámetros distribuidos, ya que estos se encuentran basados en las Ecuaciones del Telegrafista, las cuales toman en consideración el fenómeno de propagación de ondas a lo largo de la línea.

Los transitorios electromagnéticos pueden clasificarse de diferentes maneras. En la Tabla 1.1 se presenta una clasificación de acuerdo al origen del transitorio y al intervalo de frecuencia del frente de onda.

En el caso de transitorios debidos a descargas atmosféricas, estas pueden ser directas o indirectas:

- Una descarga es directa cuando impacta sobre la línea de transmisión,

(20)

2

- Las descargas indirectas se refieren al caso en el cual la descarga

atmosférica impacta el terreno cercano a la línea de transmisión. En esta situación se dice que la línea de transmisión se encuentra iluminada por los campos electromagnéticos incidentes generados por la descarga. Los transitorios electromagnéticos producidos por descargas indirectas no son tan severos como en el caso de las directas; sin embargo, el estudio de este fenómeno es de igual o mayor importancia que el de las descargas directas, debido a que sucede con una frecuencia mucho mayor. Las descargas atmosféricas indirectas tienen un mayor impacto en los sistemas de distribución, donde los sistemas de aislamiento se encuentran diseñados para soportar tensiones menores a las generadas por los campos incidentes. Debido a esto, los estudios relacionados con líneas iluminadas generalmente se hacen con líneas relativamente cortas en comparación con las de sistemas de transmisión.

Tabla 1.1 Clasificación de transitorios electromagnéticos por su origen e intervalo de frecuencia [2].

Origen Intervalo de

frecuencia

Ferrorresonancia 0.1 Hz a1 kHz

Rechazo de carga 0.1 Hz a 3 kHz

Liberación de falla 50 Hz a 3 kHz

Maniobra de interruptores 50 Hz a 20 kHz

Tensiones transitorias de recuperación 50 Hz a 100 kHz

Descargas atmosféricas 10 kHz a 3 MHz

Maniobras en subestaciones aisladas en

gas (GIS) 100 kHz a 50 MHz

En el caso de las maniobras en la red eléctrica, se originan transitorios que generalmente tienen frentes de onda más lentos que los de descargas atmosféricas. Debido a que las sobretensiones alcanzadas por estos transitorios dependen directamente de la tensión de operación del sistema, generalmente su análisis no es de mucha importancia para sistemas de distribución, pero para sistemas de alta tensión (230 kV o mayores) su estudio toma precedencia sobre el de descargas atmosféricas.

(21)

3 transformadores, redes de transmisión subterránea, máquinas rotatorias, entre otros.

Los transitorios pueden tener efectos negativos en la red eléctrica; por ejemplo, las tensiones tan elevadas que se llegan a alcanzar pueden ocasionar la ruptura en el sistema de aislamiento de los elementos que forman parte de la red. Por otro lado, las altas corrientes alcanzadas sobrecalientan los conductores, lo que puede causar un envejecimiento prematuro de los dieléctricos causando una falla temprana en estos. Además, las corrientes altas pueden causar deformaciones en el devanado de transformadores.

De acuerdo con lo anterior, conocer las tensiones y corrientes que pueden causar los diversos tipos de transitorios electromagnéticos es de suma importancia para el diseño de los elementos que forman parte de la red eléctrica, así como para el diseño y la coordinación de sus protecciones.

1.2 Objetivo

El objetivo de este trabajo es desarrollar un algoritmo basado en la aplicación sucesiva de la transformada numérica de Laplace para el cálculo de perfiles transitorios de tensión y corriente a lo largo de sistemas de transmisión, como lo son líneas de transmisión aéreas y subterráneas, devanados de transformadores y redes de transmisión, ante dos condiciones:

- Excitación mediante fuentes concentradas (maniobra de interruptores y

descarga atmosférica directa).

- Excitación mediante fuentes distribuidas (campos electromagnéticos

incidentes debidos a una descarga atmosférica indirecta).

1.3 Antecedentes

El estudio de transitorios electromagnéticos es de gran importancia para el diseño de las líneas de transmisión que forman parte de la red eléctrica. Los primeros métodos utilizados para este tipo de estudio consistían en métodos gráficos, entre los que destacan el método de Bergeron y el método de Bewley [3]. Sin embargo, estos métodos no toman en cuenta la dependencia de la frecuencia de los parámetros de la línea. Esta dependencia se debe al efecto piel en los conductores y en el retorno por tierra.

A partir del método de Bergeron y la regla de integración trapezoidal, Dommel desarrolló un programa computacional para el análisis de transitorios

(22)

4

Program” (EMTP). A partir del EMTP surgieron otros programas computacionales para el análisis de transitorios, como lo son el “Alternative Transient Program

(ATP) desarrollado por Meyer en 1974 y el “Electromagnetic Transients for Direct

Current” (EMTDC) desarrollado por Woodford en 1975.

Budner [5] y Snelson [6] fueron los primeros en proponer modelos que consideran la dependencia de la frecuencia de los parámetros de la línea en 1970 y 1972, respectivamente. En 1974, Meyer y Dommel aplicaron la técnica de Snelson para incluir la dependencia frecuencial de la línea en el EMTP [7], donde las convoluciones se resuelven por medio de la regla trapezoidal. En 1975, Semlyen y Dabuleanu propusieron un método para la solución recursiva de las convoluciones [8]. En 1982, J. Martí propuso un modelo en el que la impedancia característica se representa por medio de una red para un intervalo de frecuencias [9]. En 1988, L. Martí desarrolló una técnica que toma en cuenta la dependencia de la frecuencia de las matrices de transformación [10]. En 1988, Gustavsen y Semlyen desarrollaron un método en el dominio de fases de la admitancia característica y la función de propagación utilizando el método de ajuste vectorial, en donde los elementos de cada columna de la matriz de transformación se ajustan usando los mismos polos [11]. En 1999, Morched et al. propusieron un modelo en el dominio de fases capaz de simular sistemas con alta dependencia de

la frecuencia, el cual se conoce como “Modelo Universal de la Línea de

Transmisión”, el cual hace un ajuste adecuado de la impedancia característica y la función de propagación por medio de una aproximación racional.

Todos estos modelos trabajan en el dominio del tiempo, y por lo tanto no pueden incluir de manera directa la dependencia de la frecuencia de los parámetros de la línea; para tomar en cuenta esta dependencia, se utilizan aproximación y consideraciones que pueden producir errores al aplicarse a sistemas altamente dependientes de la frecuencia [12].

Debido a lo anterior, se desarrolló un enfoque alterno para el análisis de transitorios electromagnéticos, donde los modelos se implementan en el dominio de la frecuencia y los resultados se convierten al dominio del tiempo aplicando la transformada numérica de Laplace inversa. Al trabajar en este dominio se tiene la ventaja de que la dependencia de la frecuencia de los parámetros se toma en cuenta de manera directa y sencilla sin la necesidad de aproximaciones numéricas.

(23)

5 Posteriormente, Wedepohl aplicó la MFT para el análisis de líneas multiconductoras [16] y sistemas de cables subterráneos [17]. En 1965, Cooley y Tukey implementaron el algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT) [18], y en 1973, Ametani utilizó este algoritmo para el análisis transitorio, reduciendo considerablemente el tiempo de cómputo utilizado por la MFT [19].

Posteriormente, Wilcox explicó la MFT en términos de la teoría de Laplace, e introdujo el término transformada numérica de Laplace [20]. A partir de estas aportaciones se han hecho desarrollos en el área de estudio de transitorios electromagnéticos en líneas de transmisión y otros elementos de la red eléctrica.

Por otro lado, también se han hecho avances importantes en el estudio de los campos electromagnéticos incidentes en una línea de transmisión debidos a una descarga atmosférica indirecta. Para el cálculo de estos campos, Master y Uman propusieron en 1978 una formulación que considera al terreno como un conductor perfecto, y toma en cuenta variables como el punto de impacto de la descarga respecto a la línea y la corriente de retorno en la base del canal de la descarga [21].

En 1985, Heidler propuso una expresión analítica para la corriente de retorno en la base del canal de descarga [22], la cual consiste en la superposición de dos funciones tipo Heidler. Se prefiere utilizar esta expresión en lugar de la función doble exponencial tradicional, ya que permite el ajuste de algunos componentes de la forma de onda [23].

En 1996, Rachidi et al. evaluaron la aplicación de la fórmula de Cooray-Rubinstein al método de cálculo de campos electromagnéticos de Master y Uman para la consideración del terreno con una conductividad finita [24].

La combinación de los desarrollos en las áreas de modelado de líneas de transmisión y cálculo de campos electromagnéticos incidentes han permitido avances en el análisis de los transitorios electromagnéticos de líneas de transmisión debidos a descargas atmosféricas indirectas, lo cual es de gran importancia para el diseño y coordinación de aislamiento.

1.4 Estado del Arte

El campo del análisis transitorio de líneas de transmisión iluminadas ha tenido avances considerables en los últimos años. A continuación se presentan algunos de los trabajos más destacados respecto a este tema. En esta sección también se presentan algunos de los trabajos realizados en el estudio de transitorios en líneas

(24)

6 En 1978, Taylor et al. desarrollaron un método en el que se aproximan los campos electromagnéticos incidentes en la línea de transmisión por medio de fuentes de tensión y corriente distribuidas a lo largo de la línea [25].

En 1980, Agrawal et al. propusieron un modelo en donde se consideran fuentes equivalentes al valor neto de la componente horizontal del campo eléctrico para el cálculo de la función de excitación de la línea [26].

En 1993, Rachidi propuso una formulación para el cálculo de las tensiones en una línea iluminada por campos incidentes donde solamente se consideran las componentes del campo magnético. Este método resulta interesante cuando el campo incidente se determina experimentalmente, ya que solamente se necesita la medición del campo magnético [27].

En 1994 y 1995 C. Paul desarrolló un modelo para la inclusión de campos electromagnéticos incidentes en circuitos electrónicos, donde los campos se representan por medio de fuentes de corriente y de tensión conectadas al final de la línea [28], [29].

En 1997, Omid et al. estudiaron la respuesta en el tiempo de la línea de transmisión iluminada uniforme y no uniforme. En este trabajo se llegó a una solución de las corrientes en los extremos de la línea, en función de los parámetros y de las tensiones en los extremos de la misma. La no uniformidad se tomó en cuenta aplicando la conexión en cascada de matrices cadena [30].

En 2001, Erdin et al. implementaron un modelo para el análisis de campos incidentes en líneas de transmisión en el dominio del tiempo. Este modelo se basa en la aproximación racional de la matriz exponencial descrita por las ecuaciones del telegrafista y en la aproximación racional de las funciones de convolución [31]. En 2003 Brancik presentó un método para la simulación de circuitos de transmisión electrónicos excitados por fuentes concentradas mediante la transformada de Laplace en dos dimensiones. Este método utiliza la transformada rápida de Fourier en conjunto con el algoritmo de diferencia de cocientes para obtener la solución en el dominio del tiempo. En este trabajo no se considera la dependencia de la frecuencia de los parámetros de la línea [32].

En 2005 Gómez et al. presentaron dos métodos en el dominio de la frecuencia para el análisis de una línea de transmisión no uniforme e iluminada. En el primero se utiliza la conexión cascada de matrices cadena, y en el segundo se resuelve por medio de un sistema lineal variante en el espacio. Los campos electromagnéticos incidentes se representan por fuentes concentradas de tensión y corriente conectadas en los extremos de la línea [33].

(25)

7 frecuencia par el análisis de circuitos electrónicos. Los campos incidentes se representan por medio de fuentes de corrientes y tensión en los extremos de la línea [34], [35].

En 2008, Escamilla implementó un modelo de parámetros distribuidos en el dominio de la frecuencia para el análisis de sobretensiones transitorias en líneas de transmisión monofásicas no uniformes debidas a campos electromagnéticos incidentes [36].

En 2009 y 2013, Gómez y Escamilla presentaron un modelo para el análisis de sobretensiones transitorias en líneas de transmisión multiconductoras no uniformes e iluminadas. El modelo de la línea excitada por un campo externo se basa en las formulaciones de Taylor, y los campos incidentes debidos a la descarga atmosférica se calculan con las expresiones definidas por Master y Uman. También se implementa la inclusión de elementos no lineales en la línea por medio de una combinación de aproximaciones piezolineales y el principio de superposición [37] [38].

En 2011, Borghetti et al. presentaron los efectos que pueden tener edificios cercanos en las tensiones inducidas por campos incidentes en líneas de transmisión. En este trabajo se muestra que la presencia de edificios cercanos al canal de descarga puede causar una reducción en las tensiones inducidas en la línea de transmisión. El trabajo se realizó utilizando el método del elemento finito en una geometría en tres dimensiones [39].

En 2013, Sheshyekani y Akbari hicieron un estudio para analizar la influencia de la dependencia de la frecuencia de la conductividad y la permitividad del terreno en las tensiones inducidas en líneas de transmisión iluminadas. Se mostró que las tensiones inducidas pueden variar significativamente cuando la conductividad del terreno es de baja a moderada. Sin embargo, para terrenos con alta conductividad puede tomarse en cuenta al terreno como conductor perfecto. El trabajo se realizó mediante modelos implementados empleado el método del elemento finito [40].

1.5 Justificación

(26)

8 alcanzar debido a estos fenómenos pueden causar una falla en algún elemento de la red eléctrica afectando el suministro de energía.

Conocer las sobretensiones que pueden alcanzar estos elementos ante transitorios electromagnéticos permite una mejor coordinación de aislamientos, de manera que disminuya la posibilidad de una falla ante este tipo de fenómenos.

Los programas de simulación para el análisis transitorio más populares que existen en la actualidad son ATP/EMTP, PSCAD/EMTDC y EMTP-RV. Sin embargo, los modelos que utilizan estos programas solamente proporcionan mediciones de tensión y corriente en los extremos de la línea de transmisión, y no proporcionan información sobre el comportamiento en puntos internos de la línea. Para obtener información sobre el comportamiento interno es necesario dividir la línea en diferentes segmentos y colocar elementos de medición entre cada segmento; si se requiere la generación de un perfil de tensión o corriente a lo largo de la línea es necesario dividirla en una gran cantidad de segmentos, lo cual requiere una cantidad considerable de tiempo por el usuario para la generación del modelo y, si los datos de la línea se modifican, es necesaria la modificación de todos los segmentos, lo cual también consume una cantidad considerable de tiempo. Es por esto que estos programas de cómputo no son alternativas viables para el análisis transitorio de puntos internos a lo largo de líneas de transmisión.

Por otro lado, estos programas no cuentan con modelos que consideren líneas de transmisión iluminadas por campos electromagnéticos incidentes, por lo que es muy complicado realizar un estudio del comportamiento transitorio de las líneas debido a descargas atmosféricas indirectas.

Debido a lo anterior, en este trabajo se plantea la implementación de un método que aplica la transformada de Laplace de manera sucesiva para resolver las Ecuaciones del Telegrafista, y con esto obtener los perfiles de tensión y corriente a lo largo de las líneas de transmisión en el dominio del tiempo de manera sencilla. Además, se aplica el método propuesto para el análisis transitorio de líneas iluminadas por campos electromagnéticos incidentes.

1.6 Limitaciones y Alcances

1.6.1 Limitaciones

- El modelo implementado en este trabajo es para una línea uniforme, ya

(27)

9

- El modelo no considera la inclusión de elementos no lineales ni

variantes en el tiempo, tales como apartarrayos o interruptores.

1.6.2 Alcances

- El método implementado permite obtener los perfiles de tensión y

corriente a lo largo de una línea de transmisión en el dominio del tiempo, lo cual es muy difícil de calcular con el software de análisis transitorio actual.

- El modelo desarrollado toma en cuenta transitorios debidos a maniobras

en la red, descargas atmosféricas directas y transitorios debidos a campos incidentes producidos por descargas atmosféricas indirectas.

- Se realizó la implementación del modelo desarrollado para obtener

perfiles transitorios de tensión o corriente en otros elementos de la red eléctrica, tales como devanados de transformadores y sistemas de transmisión subterráneos.

- Debido a que el modelo de línea utilizado se desarrolló en el dominio de

la frecuencia, es posible incluir de manera sencilla la dependencia frecuencial de los parámetros eléctricos. Además, el uso de la transformada de Laplace permite convertir las Ecuaciones del Telegrafista, que consisten en ecuaciones diferenciales parciales, en ecuaciones algebraicas, las cuales se pueden resolver de una manera sencilla, y posteriormente se aplica la transformada numérica de Laplace

inversa para obtener la solución en el dominio z-t.

1.7 Estructura de la Tesis

- Capítulo 1 Introducción. Consiste en la presente introducción; contiene

el objetivo, la justificación, los antecedentes, alcances y limitaciones, y estado del arte del presente trabajo.

- Capítulo 2 La Transformada Numérica de Laplace. Presenta la

implementación de la transformada numérica de Laplace inversa y su

aplicación sucesiva para la obtención de soluciones en el dominio z-t a

partir de funciones en el dominio q-s.

- Capítulo 3 Modelado de Líneas de Transmisión en el Dominio q-s. Se

aplica de manera sucesiva la transformada de Laplace en el dominio z-t

para obtener ecuaciones algebraicas en el dominio q-s; se desarrolla la

(28)

10 dominio del tiempo. En este capítulo también presenta la aplicación del método desarrollado a transformadores y líneas de transmisión subterráneas.

- Capitulo 4 Modelado de Líneas de Transmisión Iluminadas. Se

implementa el método desarrollado en el Capítulo 3 para obtener los perfiles de tensión y corriente transitorios de una línea de transmisión iluminada por campos electromagnéticos incidentes debidos a una descarga atmosférica indirecta.

- Capítulo 5 Conclusiones. Se presentan las conclusiones del trabajo

(29)

11

Capítulo 2

La Transformada Numérica de Laplace

2.1 Introducción

La transformada de Laplace es una herramienta utilizada en el análisis y solución de ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones integrales, ya que al llevar este tipo de ecuaciones al dominio de Laplace, se simplifican convirtiéndose en operaciones algebraicas, las cuales son más sencillas de resolver. Una vez resueltas, se pueden llevar al dominio de las variables originales a través de tablas de transformaciones o analíticamente.

Por lo anterior, la transformada de Laplace es muy útil en diversas áreas de la Ingeniería en donde se requiere encontrar la solución de sistemas de ecuaciones que modelan fenómenos reales. Sin embargo, en estos casos las soluciones obtenidas en el dominio de Laplace son muy complicadas, y es muy difícil o imposible transformar las soluciones a su dominio original con los métodos tradicionales. Es por esto que es necesario apoyarse de herramientas numéricas para poder llevar dichas soluciones a su dominio original. Una herramienta que ha demostrado buenos resultados para este propósito es la transformada numérica de Laplace (TNL).

En este capítulo se describe brevemente el funcionamiento e implementación de la TNL. Para una revisión más detallada de este método se puede consultar [41], [42] y [43]. Adicionalmente, se describe la aplicación de la TNL de manera sucesiva para el caso de ecuaciones dependientes de espacio y tiempo.

2.2 Transformada Numérica de Laplace

2.2.1 Transformada de Laplace

Sea una función en el dominio del tiempo; su imagen en el dominio de la

frecuencia al aplicarle la transformada de Laplace se define como:

(2.1)

y la transformada de Laplace inversa se obtiene de una integral evaluada en

(30)

12

(2.2)

Al sustituir en (2.1):

(2.3)

Para (2.2) se cambia la variable de integración de a , tomando en cuenta que

es constante, por lo que , quedando la transformada de Laplace inversa

como:

(2.4)

donde c es una constante de amortiguamiento y es la frecuencia angular. Se

puede observar que si c es igual a cero, las ecuaciones (2.3) y (2.4) corresponden

a la transformada de Fourier para causal.

Para causal y real, la transformada de Laplace inversa se puede escribir

como:

(2.5)

2.2.2 Errores de la Transformada Numérica de Laplace

Para poder evaluar numéricamente a (2.5) es necesario el truncamiento de la frecuencia de integración a un valor finito, así como la discretización de la variable

continua . Estas acciones dan lugar a dos tipos de errores numéricos:

- Oscilaciones de Gibbs. Aparecen debido al truncamiento del rango de

integración. Este tipo de oscilaciones aparecen en las discontinuidades de las funciones analizadas, y se deben al hecho de que se trata de aproximar una función discontinua a través de una serie finita de suma de ondas seno y coseno. Estos errores se pueden reducir con la

introducción de una función ventana .

- Errores de discretización. Se deben a la discretización de la variable

continua . Este tipo de error se reduce suavizando la respuesta del

sistema en la frecuencia mediante el uso de un factor de

(31)

13

2.2.2.1Función Ventana

Para reducir los errores que aparecen por las oscilaciones de Gibbs se emplean funciones de peso conocidas como “ventanas” o filtros. Existen diferentes tipos de funciones ventana que se pueden aplicar en la TNL inversa.

Las funciones ventana consideradas inicialmente para el desarrollo de este trabajo fueron la de Lanczos, de Hamming y de Hanning, las cuales se presentan en la Tabla 2.1.

Tabla 2.1. Ventanas utilizadas para evaluar la aplicación sucesiva de la TNL.

Función ventana Ecuación

Ventana de Lanczos Ω

Ω

Ventana de Hamming

Ω

Ventana de Hanning

Ω

De la tabla 2.1, es la frecuencia angular, es el valor truncado del intervalo

de integración y vale 0.54.

Al implementar las funciones ventana mencionadas en la aplicación sucesiva de la TNL, la ventana de Hanning es la que presentó mejores resultados, por lo que es la que se utiliza a lo largo de este trabajo. En la Figura 2.1 se presenta la

gráfica de la ventana de Hanning para un muestreo de 210.

Figura 2.1. Ventana de Hanning

0 200 400 600 800 1000 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Muestras

A

m

p

lit

u

(32)

14

2.2.2.2Factor de amortiguamiento

Para disminuir los errores por discretización o aliasing se utiliza un factor de

amortiguamiento c. Al igual que la función ventana, existen diferentes valores de c

que se pueden elegir para aplicarse en la TNL inversa. Generalmente este factor se determina de manera heurística. Para este trabajo el factor de amortiguamiento

c con el que se obtuvieron mejores resultados se obtiene definiendo el error como

[43]:

(2.6)

donde T es el tiempo de observación de la función y es el error deseado. Al

resolver (2.6) para c, se tiene:

(2.7)

Este criterio da buenos resultados utilizando valores de entre 1x10-3 y 1x10-5

[43]. Sin embargo, se ha observado que la reducción del error también depende del número de muestras empleado al momento de la discretización.

2.2.3 Discretización

En esta sección se obtienen las formas discretas de la TNL (inversa y directa) a partir de la definición analítica de la transformada de Laplace.

2.2.3.1TNL Inversa

Partiendo de (2.5), si se considera un intervalo finito de integración y se

introduce la función ventana , se tiene:

Ω (2.8)

La discretización de (2.8) puede hacerse de dos maneras, ya sea empleando un muestreo convencional o un muestreo impar. En este trabajo se obtuvieron mejores resultados empleando el muestreo convencional, que al aplicarlo a (2.8) se obtiene la siguiente forma discreta:

(2.9)

(33)

15

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

La expresión dada en (2.9) es el algoritmo de la TNL inversa, el cual puede codificarse de manera sencilla en un programa de cómputo. Además, el término entre corchetes corresponde a la Transformada Rápida de Fourier Inversa, lo que simplifica notablemente la implementación del algoritmo de la TNL inversa.

Con la aplicación de este algoritmo es posible transformar soluciones de ecuaciones en el dominio de Laplace a su dominio original, donde es más fácil interpretarlas y estudiarlas.

2.2.3.2TNL Directa

Al igual que para la transformada de Laplace inversa, también existe un algoritmo para realizar la transformada de Laplace directa numéricamente. El uso de este algoritmo no es tan amplio como el de la transformada inversa, ya que generalmente lo que se requiere es obtener soluciones en el tiempo a partir de funciones en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, la importancia de este algoritmo se encuentra en el hecho de que permite la transformación al dominio de Laplace de expresiones no analíticas, las cuales se pueden utilizar como entradas en funciones que se encuentran en el dominio de la frecuencia. Esta aplicación se presenta posteriormente en este trabajo.

La forma de evaluar en forma discreta a (2.3) con un intervalo finito de integración y aplicando un muestreo convencional es:

(2.14)

donde está definida en (2.10).

(34)

16 2.2.4 Validación Mediante Comparación con una Expresión Analítica

Con propósitos de validación, se hace la comparación entre el resultado obtenido al aplicar la TNL inversa a una expresión en el dominio de la frecuencia y el resultado obtenido al evaluar la función directamente en el dominio del tiempo.

Se considera la expresión:

(2.15)

Cuyo equivalente en el dominio de la frecuencia es:

(2.16)

donde , teniendo un tiempo de observación de 20 ms, y utilizando 1024

muestras.

Al aplicar la TNL inversa a (2.16) se obtiene la gráfica que se presenta en la Figura 2.2.

En la Figura 2.3 se presenta la diferencia relativa entre el resultado obtenido al aplicar la TNL inversa y la solución obtenida al evaluar la función analítica, la cual se calcula como:

(2.17)

donde corresponde al resultado obtenido numéricamente y es el

valor analítico de la función.

Se puede observar que el nivel del error se mantiene en niveles muy pequeños en casi toda la curva, y sólo existe un pico al inicio de la gráfica, el cual corresponde a la discontinuidad existente de la función, y es de esperarse al evaluar numéricamente expresiones con tales discontinuidades.

De acuerdo con lo presentado en esta sección se puede ver que la aplicación de la TNL inversa permite obtener funciones en el tiempo a partir de expresiones en la frecuencia con un nivel aceptable de exactitud.

2.3 Aplicación Sucesiva de la TNL Inversa

En la sección anterior se presenta la aplicación de la TNL inversa para la

transformación de expresiones del dominio s (frecuencia temporal) al dominio t

(35)

17

expresiones en el dominio q (frecuencia espacial) al dominio z (espacio). También

se hace la implementación de la aplicación sucesiva de la TNL inversa, lo cual permite trabajar con funciones que dependen de más de una variable. En este trabajo la aplicación sucesiva de la TNL inversa permite la transformación de

expresiones en el dominio q-s al dominio z-t. Por motivos de simplicidad, cuando

se hable del dominio de la frecuencia en este trabajo se estará refiriendo al

dominio de la frecuencia temporal (s), y cuando se hable de la frecuencia espacial

(q), se indicará explícitamente.

Figura 2.2. Gráfica obtenida al aplicar la TNL inversa a la ecuación (2.17).

Figura 2.3. Error relativo obtenido al comparar la TNL inversa con la evaluación de la función analítica.

0 0.005 0.01 0.015 0.02

-1 -0.5 0 0.5 1

Tiempo (s)

f(

t)

0 0.005 0.01 0.015 0.02

10-6 10-4 10-2 100

Tiempo (s)

lo

g

1

0

d

e

l e

rr

o

(36)

18 2.3.1 Transformación de q a z

El proceso para obtener la TNL inversa respecto a la coordenada z es

completamente análogo al que se sigue para la transformación de s a t. La

expresión analítica para la transformada de Laplace inversa correspondiente es:

(2.18)

La forma discreta de (2.18) es:

(2.19)

donde M es el número de muestras, b es el factor de amortiguamiento, es la

función ventana, L la longitud a evaluar y

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

Las modificaciones aplicadas a la TNL inversa para transformar expresiones del

dominio q al dominio z se puede generalizar para cualquier par de dominios. La

TNL directa se puede modificar de una manera similar para la transformación de

expresiones del dominio z al dominio q.

2.3.2 Inversión Numérica Parcial Sucesiva

En esta sección se plantea la teoría que permite la aplicación sucesiva de la TNL inversa, lo que hace posible llevar a su dominio original a expresiones a las que se les ha aplicado dos veces la transformada de Laplace respecto a diferentes variables.

Para empezar, se define la transformada de Laplace parcial inversa como:

(2.24)

(2.25)

y dado que la transformada de Laplace es un operador lineal, se puede aplicar esta propiedad para obtener:

(37)

19 De (2.26) se tiene que es posible, por medio de la aplicación sucesiva de la

transformada de Laplace inversa, obtener funciones en el dominio z-t a partir de

expresiones en el dominio q-s. Si la expresión en el dominio q-s no tiene una

transformación sencilla al dominio z-t, se puede aplicar la TNL inversa de manera

sucesiva para obtener el resultado en el dominio z-t. Este hecho es de gran

importancia, ya que es la base para los desarrollos presentados más adelante en este trabajo.

2.4 Validación Mediante Comparación con Expresiones Analíticas

En esta sección se hace la validación de la aplicación sucesiva de la TNL inversa mediante comparaciones con expresiones analíticas. Se presentan dos casos de prueba. Para estas comparaciones se presenta una expresión analítica en el

dominio z-t, a la cual se le aplica dos veces la transformada de Laplace (una vez

respecto a cada parámetro) y se muestra la expresión resultante en el dominio q-s.

A esta última expresión se la aplica la TNL inversa de manera sucesiva como se presenta en (2.26), y se compara el resultado obtenido con la expresión original.

En ambos casos se utilizan 1024 muestras para ambos parámetros (t y z). Sin

embargo, esto no es un requerimiento del método, pudiéndose utilizar otro número de muestras para cualquiera de los parámetros siempre y cuando se cumpla con la condición de Courant-Friedrichs-Lewy [44]. Esta es una condición necesaria para la estabilidad de los métodos numéricos y establece que, para una onda que se propaga a lo largo de un mallado en el espacio, los pasos de tiempo utilizados deben ser iguales o menores al tiempo que le toma a la onda viajar de un punto del mallado al siguiente, y se define como:

(2.27)

donde es el paso de tiempo, es el paso espacial y es la velocidad de

propagación de la onda.

2.4.1 Caso A

Se considera la siguiente expresión:

(2.28)

cuya definición en el dominio q-s es:

(2.29)

En la Figura 2.4 se presenta la gráfica obtenida en el dominio z-t tras aplicar de

(38)

20

corresponden a los parámetros de la función (en este caso z y t), y el eje vertical

representa la magnitud que alcanza la función en el punto z,t.

En la Figura 2.5 se muestra la comparación entre los resultados numérico y analítico mediante el cálculo de la diferencia relativa. Se puede observar que la diferencia se encuentra por debajo del 0.18% para toda la gráfica.

Figura 2.4. Gráfica en tres dimensiones obtenida con la aplicación sucesiva de la TNL inversa.

(39)

21 2.4.2 Caso B

Para este caso se considera la expresión:

(2.30)

donde = = 2.014, = 0.287 y = 1.250, estos valores

corresponden a una función tipo doble exponencial tanto en z como en t.

La definición de (2.30) en el dominio q-s es:

(2.31)

La gráfica en tres dimensiones obtenida al aplicar de manera sucesiva la TNL inversa a (2.31) se muestra en la Figura 2.6. La comparación entre los resultados numérico y analítico por medio del cálculo de la diferencia relativa se muestra en la Figura 2.7. Se puede observar que la diferencia se encuentra por debajo del 0.03% para toda la gráfica.

Figura 2.6. Gráfica en tres dimensiones obtenida con la aplicación sucesiva de la TNL inversa.

(40)
(41)

23

Capítulo 3

Modelado de Líneas de Transmisión en el Dominio

q-s

3.1 Introducción

Las líneas de transmisión son elementos críticos en los sistemas eléctricos actuales, ya que son utilizadas extensivamente en estos sistemas y conforman una gran parte de los mismos. Es por esto que es de gran importancia el análisis de las sobretensiones transitorias que se pueden presentar en las líneas debido a fenómenos como el impacto de una descarga atmosférica o la operación de un interruptor.

Las Ecuaciones del Telegrafista definen la propagación de las ondas de tensión y corriente a lo largo de las líneas de transmisión. Cuando se encuentran definidas

en el dominio z-t para un caso de n conductores, consisten en un conjunto de 2n

ecuaciones que contienen derivadas parciales de primer orden. Si se toma en cuenta la dependencia de la frecuencia de los parámetros de la línea, aparecen convoluciones, y las ecuaciones resultantes son conocidas como ecuaciones de Radulet [45]. Sin embargo, si se aplica la transformada de Laplace, el problema se reduce a derivadas ordinarias de primer orden (sin convoluciones) en el

dominio z-s. Al aplicar una segunda vez la transformada de Laplace a las

Ecuaciones del Telegrafista (ahora respecto al espacio), éstas se convierten en

ecuaciones algebraicas en el dominio q-s, las cuales pueden resolverse de

manera sencilla para obtener los perfiles de tensión y corriente a lo largo de la línea de transmisión. Posteriormente se aplica la transformada numérica de Laplace inversa, dando como resultado los perfiles de tensión y corriente de la línea en el dominio del tiempo. Adicionalmente, dado que los parámetros de la línea se encuentran definidos en el dominio de la frecuencia, la dependencia de la frecuencia de estos parámetros se puede incluir de manera sencilla.

3.2 Cálculo de Perfiles de Tensión y Corriente a lo Largo de la Línea

3.2.1 Solución de las Ecuaciones del Telegrafista en el Dominio q-s

Las Ecuaciones del Telegrafista para una línea de transmisión multiconductora uniforme se encuentran definidas en el dominio de la frecuencia de forma matricial como sigue:

(42)

24

donde e son los vectores de tensiones y corrientes a lo largo del eje

de propagación en el dominio de la frecuencia; y son las matrices de

impedancia serie y admitancia en derivación de la línea, por unidad de longitud.

Aplicando la transformada de Laplace con respecto a la coordenada , se tiene:

(3.2)

donde e son la tensión y la corriente al inicio de la línea,

respectivamente, y es una matriz identidad de dimensiones . Se puede

observar que en (3.2) las derivadas se han transformado a operaciones algebraicas y las Ecuaciones del Telegrafista se encuentran en una forma

algebraica sencilla de resolver en el dominio q-s. Resolviendo (3.2) para

:

(3.3)

La ecuación (3.3) es la solución para las tensiones y corrientes a lo largo de la

línea en el dominio q-s, la cual se encuentra en función de , que son

las tensiones y corrientes al principio de la línea, con lo que ahora el problema se reduce a calcular estos valores.

3.2.2 Cálculo de Tensiones y Corrientes al Inicio de la Línea

3.2.2.1Tensiones al Inicio de la Línea

El cálculo de las tensiones al inicio de la línea puede realizarse a partir de la matriz de admitancia de la línea (modelo de 2 puertos) en el dominio de la frecuencia:

(3.4)

donde

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(43)

25

e corresponden a las fuentes de corriente conectadas en los

extremos de la línea; y corresponden a las tensiones medidas en los

extremos de la línea, y corresponden a las admitancias conectadas al inicio y

final de la línea. Si se excita a la línea por medio de un equivalente de Norton

conectado en , se tiene que:

(3.9)

(3.10)

Substituyendo (3.9) y (3.10) en (3.4), y resolviendo para , se tiene:

(3.11)

donde:

(3.12)

3.2.2.2Corrientes al Inicio de la Línea

El cálculo de las corrientes al inicio de la línea puede realizarse de dos maneras: una es a partir de la representación de dos puertos de la línea y la otra es

utilizando el circuito π equivalente.

Si se parte de la representación de dos puertos de la línea, se considera que la

corriente inyectada por la fuente se divide en dos partes, como se muestra

en la Figura 3.1; una circula a través de (con valor ) y la otra

corresponde a . Resolviendo para y aplicando (3.9) y (3.11) se tiene:

(3.13)

Utilizando el circuito π equivalente de la línea, puede calcularse como la

suma de dos corrientes, como se muestra en la Figura 3.2. En este caso se

encuentra en función de las tensiones en los extremos de la línea y se define como:

(3.14)

(44)

26

Figura 3.1. Circuito utilizado para el cálculo de .

Figura 3.2. Cálculo de a partir del circuito π equivalente de la línea.

Por medio de la aplicación sucesiva del algoritmo de la transformada numérica de Laplace inversa, como se describe en el Capítulo 2, (3.3) puede llevarse al

dominio z-t para obtener v(z,t) e i(z,t), que son los perfiles de tensión y corriente a

lo largo de la línea multiconductora. Se puede observar que, dado que y están

definidos en el dominio de la frecuencia, la ecuación (3.3) puede incorporar parámetros dependientes de la frecuencia de una manera sencilla.

3.3 Aplicaciones

Además de la aplicación a líneas de transmisión aéreas, la técnica presentada al inicio del capítulo también puede ser implementada para el análisis transitorio de otros elementos, tales como devanados de transformadores y redes de transmisión. En esta sección se describe la manera en que se puede aplicar el método desarrollado para obtener los perfiles de tensión y corriente de los elementos mencionados.

3.3.1 Aplicación a Devanados de Transformadores

(45)

27 Este problema se puede resolver con el uso de un modelo de línea de multiconductora, donde cada conductor representa una sección del devanado (disco o vuelta) [2], y de esta manera se pueden tomar en cuenta las inductancias entre vueltas del devanado. En este modelo es necesario establecer la continuidad entre secciones del devanado, lo cual se logra aplicando una conexión tipo zig-zag,

en la cual una admitancia alta Ycon conecta el final de un conductor con el inicio del

siguiente, como se ve en la Figura 3.3.

Figura 3.3. Conexión en zig-zag de un modelo de línea multiconductora para un devanado de tres vueltas.

Esta conexión entre vueltas se implementa en la matriz nodal de la línea en el dominio de la frecuencia. La representación de dos puertos se define como:

(3.15)

donde:

(3.16)

(46)

28 (3.18) (3.19)

y pueden calcularse al resolver (3.15), mientras que se calcula a

partir de (3.14). Las soluciones para las tensiones y corrientes en el dominio q-s se

obtienen a partir de (3.3). Finalmente, aplicando (2.9) y (2.19) se pueden obtener

los perfiles de tensión y corriente, v(z,t) e i(z,t), a lo largo de cada vuelta.

3.3.2 Aplicación a Redes de Transmisión

El método descrito en la sección 3.2 puede expandirse y aplicarse al análisis de transitorios en redes de transmisión. Para esto, es necesario calcular las tensiones y corrientes al inicio de cada línea que forma parte de la red.

Las tensiones en cada nodo de la red se pueden calcular a partir de la matriz nodal de la red en el dominio de la frecuencia:

(3.20)

donde es la matriz de admitancias de la red e representa la corriente

inyectada en el i-ésimo nodo de la red. Una vez que las tensiones se han

calculado, las corrientes al inicio de las líneas pueden obtenerse aplicando (3.14) a cada línea de la red. Posteriormente, es posible obtener las tensiones y

corrientes de cada línea en el dominio q-s:

Figure

Tabla 1.1 Clasificación de transitorios electromagnéticos por su origen e intervalo de frecuencia [2]

Tabla 1.1

Clasificación de transitorios electromagnéticos por su origen e intervalo de frecuencia [2] p.20
Figura 2.2. Gráfica obtenida al aplicar la TNL inversa a la ecuación (2.17).

Figura 2.2.

Gráfica obtenida al aplicar la TNL inversa a la ecuación (2.17). p.35
Figura 2.3. Error relativo obtenido al comparar la TNL inversa con la evaluación de la función analítica

Figura 2.3.

Error relativo obtenido al comparar la TNL inversa con la evaluación de la función analítica p.35
Figura 2.6. Gráfica en tres dimensiones obtenida con la aplicación sucesiva de la TNL inversa

Figura 2.6.

Gráfica en tres dimensiones obtenida con la aplicación sucesiva de la TNL inversa p.39
Figura 3.4. Vista transversal de la línea de transmisión considerada.

Figura 3.4.

Vista transversal de la línea de transmisión considerada. p.48
Figura 3.8. Simulación realizada en ATP/EMTP.

Figura 3.8.

Simulación realizada en ATP/EMTP. p.51
Tabla 3.2. Longitud de las líneas y radio de los conductores.

Tabla 3.2.

Longitud de las líneas y radio de los conductores. p.62
Figura 3.31. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase A de la línea 2

Figura 3.31.

Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase A de la línea 2 p.63
Figura 3.32. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase B de la línea 2

Figura 3.32.

Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase B de la línea 2 p.63
Figura 3.33. Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase C de la línea 2

Figura 3.33.

Gráfica en tres dimensiones del perfil de tensión a lo largo de la fase C de la línea 2 p.63
Figura 3.35. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase B de la línea 2

Figura 3.35.

Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase B de la línea 2 p.64
Figura 3.36. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas)  para la fase C de la línea 2

Figura 3.36.

Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase C de la línea 2 p.64
Figura 3.34. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase A de la línea 2

Figura 3.34.

Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la fase A de la línea 2 p.64
Figura 3.37. Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas)  para la línea 3

Figura 3.37.

Comparación entre la TNL inversa (líneas continuas) y ATP/EMTP (líneas punteadas) para la línea 3 p.65
Figura 4.1. Configuración geométrica de la interacción entre el canal de descarga y la línea de transmisión [36]

Figura 4.1.

Configuración geométrica de la interacción entre el canal de descarga y la línea de transmisión [36] p.68
Figura 4.2. Representación de los efectos de los campos electromagnéticos incidentes por fuentes de tensión y corriente al final de la línea

Figura 4.2.

Representación de los efectos de los campos electromagnéticos incidentes por fuentes de tensión y corriente al final de la línea p.69
Figura 4.3. Perfil de tensión a lo largo de la fase A con excitación de fuentes de tensión distribuidas

Figura 4.3.

Perfil de tensión a lo largo de la fase A con excitación de fuentes de tensión distribuidas p.73
Figura 4.4. Modelo de ATP utilizado para simular una línea iluminada.

Figura 4.4.

Modelo de ATP utilizado para simular una línea iluminada. p.74
Figura 4.5. Comparación del modelo de línea iluminada entre la aplicación sucesiva de la TNL inversa (línea continua) y ATP/EMTP (línea punteada)

Figura 4.5.

Comparación del modelo de línea iluminada entre la aplicación sucesiva de la TNL inversa (línea continua) y ATP/EMTP (línea punteada) p.74
Figura 4.6. Perfil de tensión a lo largo de la fase A con excitación de fuentes de corriente distribuidas

Figura 4.6.

Perfil de tensión a lo largo de la fase A con excitación de fuentes de corriente distribuidas p.75
Figura 4.7. Comparación del modelo de línea iluminada entre la aplicación sucesiva de la TNL inversa (línea continua) y ATP/EMTP (línea punteada)

Figura 4.7.

Comparación del modelo de línea iluminada entre la aplicación sucesiva de la TNL inversa (línea continua) y ATP/EMTP (línea punteada) p.75
Tabla 4.1. Datos de la línea de transmisión para los casos de prueba.

Tabla 4.1.

Datos de la línea de transmisión para los casos de prueba. p.76
Figura 4.9. Perfil de tensión en la fase A

Figura 4.9.

Perfil de tensión en la fase A p.77
Figura 4.8. Configuración geométrica para el caso A.

Figura 4.8.

Configuración geométrica para el caso A. p.77
Figura 4.10. Distribución de tensión a lo largo de la fase A.

Figura 4.10.

Distribución de tensión a lo largo de la fase A. p.77
Figura 4.11. Modelo utilizado en PSCAD/EMTDC para la validación del método.

Figura 4.11.

Modelo utilizado en PSCAD/EMTDC para la validación del método. p.78
Figura 4.12. Comparación entre los resultados de la aplicación sucesiva de la TNL inversa (línea sólida) y PSCAD/EMTDC (línea punteada)

Figura 4.12.

Comparación entre los resultados de la aplicación sucesiva de la TNL inversa (línea sólida) y PSCAD/EMTDC (línea punteada) p.78
Figura 4.13. Configuración geométrica para el caso B.

Figura 4.13.

Configuración geométrica para el caso B. p.79
Tabla A..1. Parámetros de las funciones Heidler.

Tabla A..1.

Parámetros de las funciones Heidler. p.91
Figura A.1. Forma de onda de la corriente en la base del canal de descarga.

Figura A.1.

Forma de onda de la corriente en la base del canal de descarga. p.92

Referencias

Actualización...