Matrices y sistemas lineales

(1)

(2)

Christian Páez Páez

Escuela de Matématica, Instituto Tecnológico de Costa Rica

Este libro se distribuye bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento - No Comercial - Sin obra derivada 3.0 Unported License. Esta licencia permite copiado y distribución gratuita, pero no permite venta ni modificaciones de este material. Ver http://creativecommons.org/ Límite de responsabilidad y exención de garantía: El autor ha hecho su mejor esfuerzo en la preparación de este material. Esta edición se proporciona “tal cual”. Se distribuye gratuitamente con la esperanza de que sea útil, pero sin ninguna garantía expresa o implícita respecto a la exactitud o completitud del contenido.

(3)

Correo Electrónico: wmora2@gmail.com Escuela de Matemática

Instituto Tecnológico de Costa Rica Apdo. 159-7050, Cartago

Teléfono (506)25502225 Fax (506)25502493

Páez Páez Christian.

- Matrices y sistemas lineales/Christian Páez P. - 1ra ed.

- Escuela de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica. 2013. 92 pp.

ISBN Obra Independiente: 978-9968-641-15-9

(4)

Prólogo

Este libro de matrices y sistemas lineales surge de apuntes que se han utilizado en varias oportu-nidades en cursos que se imparten a nivel universitario, principalmente, en el curso álgebra lineal para Computación del Tecnológico de Costa Rica.

Gracias a sugerencias y observaciones que han realizado profesores y estudiantes, este libro pre-senta una estructura en el desarrollo de los contenidos con la que se espera ayudar a los estu-diantes de álgebra lineal, principalmente. El gran número de ejercicios resueltos con detallada explicación, las demostraciones de teoremas expuestas y justificadas en cada uno de sus pasos realizados y, además, los ejercicios propuestos en cada una de las secciones, pretenden que los estudiantes se apropien de destrezas y habilidades importantes en su formación académca. La teoría se desarrolla considerando aspectos de rigurosidad y formalidad, pero no alcanza el nivel de formalismo que en matemática pura se espera, sino que dicha rigurosidad va de la mano con la población a la que va dirigo lo desarrollado en el libro: estudiantes de Ingenierías y de enseñanza de la matemática.

(5)

Contenido

1 Introducción 2

2 Matrices 3

2.1 Conceptos básicos y definiciones . . . 3

2.2 Tipos de matrices y resultados. . . 8

2.3 Operaciones con matrices . . . 12

2.4 Matrices no singulares . . . 19

2.5 Matrices elementales . . . 24

2.6 Reducción de matrices . . . 29

2.7 Ejercicios . . . 35

3 Determinantes 38 3.1 Definiciones básicas. . . 38

3.2 Propiedades básicas. . . 43

3.3 Determinantes e inversas. . . 55

4 Sistemas lineales 60 4.1 Definiciones básicas. . . 60

4.2 Método de Gauss–Jordan . . . 66

4.3 Regla de Cramer. . . 71

5 Ejemplos (ejercicios resueltos) 75

(6)

1

Introducción

Asociados con las herramientas más importantes del Álgebra Lineal se encuentran los temas rela-cionados con matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales, que permiten estudiar con mayor detalle muchas áreas de las matemáticas.

(7)

2

Matrices

Las matrices, sus propiedades y aplicaciones, son de los temas más importante en el estudio del álgebra lineal. Este tipo de objetos matemáticos permiten representar en forma ordenada y con-veniente variada información con el fin de facilitar su lectura.

Por ejemplo, usualmente las calificaciones finales de los estudiantes en los diversos cursos del TEC son mostradas en forma tabular. En la tabla que se muestra se presentan las calificaciones de tres estudiantes del curso de álgebra lineal para computación impartido en algún semestre previo.

EP1 EP2 EP3 NF Ana Lucía 70 78 94 80

Ricardo 47 58 65 55

Ernesto 68 72 66 70

En esta tabulación de datos EP1, EP2, EP3 y NF significan, respectivamente, calificación del primer examen parcial, calificación del segundo examen parcial, calificación del tercer examen parcial y nota final.

Determinar la calificación de Ricardo en el tercer examen parcial o determinar la nota final de Ana Lucía sería muy sencillo con ayuda de esta tabulación. Si quedan claramente definidos los encabezados y el orden para los nombres de los estudiantes, el arreglo anterior se puede resumir mediante la representación de tres filas y cuatro columnas de números reales que se muestra a continuación:





70 78 94 80

47 58 65 55

68 72 66 70





Se definirán algunos conceptos básicos relacionados con el tema de matrices, tipos especiales de matrices, operaciones que se definen entre matrices; además, se estudiará el concepto de matriz inversa y se definirán las operaciones elementales sobre las filas de alguna matriz.

2.1 Conceptos básicos y definiciones

(8)

Una matriz enRes un arreglo rectangular de números reales distribuidos en filas y columnas. Definición 2.1(Matriz enR)

En general, una matriz real Aque tiene mfilas y ncolumnas es un ordenamiento de números reales de la forma:

A=



         

a11 a12 a13 · · · a1j · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2j · · · a2n

..

. ... ... ... ...

ai1 ai2 ai3 · · · ai j · · · ain

..

. ... ... ... ...

am1 am2 am3 · · · am j · · · amn



         

dondeai j∈R,∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n

Si una matrizAtienemfilas yncolumnas se dice queAes de tamañom×no queAes de ordenm×n. Sim=n, se dice queAes de ordenn

Cada número realai jdel ordenamiento es llamadoelemento deAoentrada deA

A(i)representa lai-ésima fila deA; así,

A₍_i₎= ai1 ai2 ai3 · · · ain

A(j)_{representa la} _j_{-ésima columna de}_A_{; así,}

A(j)=



      

a1j

a2j

a3j

.. .

am j



      

El elementoai j, entrada deAque está en lai-ésima fila y en la j-ésima columna,aes también

denotado comohAi_{i j}

El conjunto formado por todas las matrices de tamañom×ncon entradas reales es denotado como

Mm

×n(R). Sim=n, simplemente se escribe

Mn

(R)

a_{En casos de ambigüedad, con respecto al número de fila o de columna, es válida la notación}_a

(9)

Considere la matrizB, definida por

B=





−5 3 0 −7

1 0,75 −31 0,5

ln 2 e−7 4 cose





1 _{Determine el tamaño de}B

2 _{Enuncie, en caso de existir, el valor de}hBi₂₃,hBi₄₁,hBi₁₁,hBi₁₄,hBi₃₄yhBi₃₁, respectivamente.

3 _{Determine el valor de la expresión siguiente:}hBi₁₃· hBi₃₂+hBi33 hBi₂₂

Ejemplo 2.1

1 Bes de tamaño3×4, ya queBtiene tres filas y cuatro columnas.

2 hBi₂₃=−31

hBi₄₁no existe

hBi₁₁=−5

hBi₁₄=−7

hBi₃₄=cose

hBi₃₁=ln 2

3 hBi₁₃· hBi₃₂+hBi33 hBi₂₂ =

16

3 , ya que

hBi₁₃· hBi₃₂+hBi33

hBi₂₂ = 0·e −7₊ 4

0,75

= 0+16

3

= 16

3 Solución

La matrizD, definida por

D=



  

8 0

π

−7 

  

es una matriz de tamaño4×1en la que

hDi₁₁+hDi₄₁hDi₃₁

5+hDi₂₁ +2hDi31=

11π

(10)

hDi₁₁+hDi₄₁hDi₃₁

5+hDi₂₁ +2hDi31 =

8+−7·π

5+0 +2·π

= 1·π

5 +2π

= π

5+2π

= 11π

5 Ejemplo 2.2 - continuación

La matrizC, definida por

C= −7 21 −3 −1 0

es una matriz de tamaño1×5, en la quehCi₁₄=−1 Ejemplo 2.3

SeaA∈

M

3(R). Determine la matrizA, de manera explícita, si se tiene que:

hAi_{i j}=

   

  

(−1)j+12i si i=1,2,3, j=1 i(−1)i+j

i+j−1 si i=1,2,3, j=2,3 Ejercicio 2.1

SeanA,B∈

Mm

×n(R). Se dice queAyBson iguales, y se escribreA=B, si se cumple que

hAi_{i j}=hBi_{i j},∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤ j≤n Definición 2.2(Igualdad de matrices)

(11)

Determine, de ser posible, valores para las incógnitasx,y,z∈_Rde manera que se cumpla, respec-tivamente, la igualdad entre cada par de matrices.

1

E=





−5 −7

y 0,5

−√16 x−1 

 F=



 

z+1 −√49

1 cosπ

3

−lne4 y−2x 

 

2

A=

x2−1 92 −52 2

y z+y −3 −1

D=

3 (−3)4 −25 y+z

y 2 yz −1

Ejercicio 2.2

SeaA∈

_Mm

×n(R). La matriz transpuesta deA, denotada comoAt, es la matriz de tamañon×m, tal

que

At_{i j}=hAi_ji,∀i,j∈Ncon1≤i≤n,1≤ j≤m Definición 2.3(Matriz transpuesta de una matriz)

Con base en lo anterior, se puede asegurar que la matriz transpueta deAes aquella matriz que se obtiene a partir deAluego de escribir cada filaicomo columnai. En general, si

A=



   

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

..

. ... ... ...

am1 am2 am3 · · · amn



   

se tiene que

At=



      

a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2

a13 a23 · · · am3 ..

. ... ...

a1n a2n · · · amn



      

SiD∈

M

4×2(R), tal quehDii j=

(−1)i+j(2j−i)

Min(i,j) ,∀i,j∈Ncon1≤i≤4,j=1,2, determine lo que se

pide en cada caso.

1 D

2 Dt

3 Dtt

4 D₍₁₎

5 D(2)

6 D₍₂₎

7 Dt

(2)

8 Dt₍₁₎

(12)

Demuestre que siA∈

Mm

×n(R), entonces Att=A Ejemplo 2.4

Para demostrar que Att =A, con A∈

Mm

×n(R), basta demostrar (entrada por entrada) que D

AttE

i j=hAii j,∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n

Veamos:

∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤nse tiene que D

AttE

i j =

At_ji definición2.3

= hAi_{i j} definición2.3

Así,D AttE

i j = hAii j,∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n

∴ Att=A Solución

2.2 Tipos de matrices y resultados

Frecuentemente, se estará trabajando con matrices que presentan cierta particularidad; algunas de ellas se definen a continuación.

Una matrizAes una matriz cuadrada si, y solo si,A∈

Mn

(_R)

Definición 2.4(Matriz cuadrada)

La definición anterior indica que una matriz cuadrada es aquella que posee igual número de filas y de columnas; es decir, un arreglo de números de tamañon×n. SiAes una matriz de tamaño

n×n, se dice queAes de ordenn. Toda matriz cuadradaAde ordennes un arreglo de la forma

A=



   

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

..

. ... . .. ...

an1 an2 · · · ann



   

Los elementosa11,a22,a33, . . . ,annconforman lo que se denominadiagonal principal1deA.

1_{En adelante se empleará simplemente el término}_{diagonal de}_A_{para hacer referencia a estos elementos; note que este}

(13)

Se dice, además, que el elementohAi_{i j}está bajo la diagonal deAsi se cumple quei>j; similar-mente, sii< jse dice que el elementohAi_{i j}está sobre la diagonal deA.

Enuncie alguna matrizBque cumpla, simultáneamente, las condiciones siguientes: Los elementos de su diagonal son entradas de la forma2λ, conλ∈Z

Bes de orden6.

Los elementos sobre su diagonal son menores que la suma de los elementos de la diagonal. hBi_{i j}=j−i,∀i,jconi>j

Ejercicio 2.4

Una matrizAes una matriz columna si, y solo si,A∈

Mm

×1(R) Definición 2.5(Matriz columna)

En general, una matriz columna de tamañom×1es un arreglo demfilas y1columna de la forma



      

a11

a21

a31 .. .

am1



      

Una matrizAes una matriz fila si, y solo si,A∈

M

1×n(R) Definición 2.6(Matriz fila)

En general, una matriz fila de tamaño1×nes un arreglo de1fila yncolumnas de la forma

a11 a12 a13 · · · a1n

Una matrizAes una matriz identidad si, y solo si, los elementos de su diagonal son todos iguales a1y sus restantes elementos son iguales a0.

Definición 2.7(Matriz identidad)

La matriz identidad de ordennserá denotada como

In

; de esta manera, se tiene que

h

In

i_{i j}=

1 sii=j

(14)

1 La matriz identidad de orden5es la matriz

I

5=



     

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1



     

2 _{La matriz identidad de orden}2es la matriz

I

2=

1 0

0 1

Ejemplo 2.5

SeaA∈

Mm

×n(R). La matrizAes una matriz nula si, y solo si, todas sus entradas son iguales a0. Definición 2.8(Matriz nula)

La matriz nula de tamañom×nserá denotada como

Om

×n(sim=nse denota como

On

); de esta

manera, se tiene que

h

Om

×nii j=0,∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n

1 _{La matriz nula de tamaño}2×5es la matriz

O

2×5=

0 0 0 0 0

2 _{La matriz nula de tamaño}1×4es la matriz

O

1×4= 0 0 0 0

3 _{La matriz nula de orden}3es la matriz

O

3=





0 0 0



(15)

SeaA∈

Mn

(R). La matrizAes una matriz diagonal si, y solo si, todos los elementos deAque no

están en su diagonal son iguales a0.

Definición 2.9(Matriz diagonal)

Con base en la definición anterior, siAes una matriz diagonal de ordenn, se cumple que

hAi_{i j}=

aii sii=j

0 sii6=j dondeaii∈R,∀i∈Ncon1≤i≤n

Es decir,Aes de la forma

A=



      

a11 0 0 · · · 0

0 a22 0 · · · 0

0 0 a33 · · · 0 ..

. ... ... . .. ...

0 0 0 · · · ann



      

SeaA∈

_Mn

(_R). La matrizAes una matriz triangular superior si, y solo si,hAi_{i j}=0,∀i,jconi> j Definición 2.10(Matriz triangular superior)

De esta manera, siAes una matriz triangular superior todos los elementos deAque están bajo su diagonal son iguales a0; es decir,Aes de la forma

A=



      

a11 a12 a13 · · · a1n 0 a22 a23 · · · a2n 0 0 a33 · · · a3n

..

. ... ... . .. ...

0 0 0 · · · ann



      

SeaA∈

_Mn

(_R). La matrizAes una matriz triangular inferior si, y solo si,hAi_{i j}=0,∀i,jconi<j Definición 2.11(Matriz triangular inferior)

Así, siAes una matriz triangular inferior todos los elementos deAque están sobre su diagonal son iguales a0; es decir,Aes de la forma

A=



      

a11 0 0 · · · 0

a21 a22 0 · · · 0

a31 a32 a33 · · · 0 ..

. ... ... . .. ...

an1 an2 an3 · · · ann



(16)

Enuncie una matriz como ejemplo para cada uno de los primeros cuatro enunciados y responda la pregunta del último del ellos.

1 _{Matriz triangular superior de orden 5.} 2 _{Matriz diagonal de orden 4.}

3 _{Matriz triangular inferior de orden 2.}

4 _{Matriz triangular superior e inferior, simultáneamente, y de orden 3.} 5 _{¿Cuáles son los tipos en los que se puede clasificar la matriz}

O

_4?

Ejercicio 2.5

2.3 Operaciones con matrices

En esta sección se estudiarán las operaciones que se definen en el conjunto

Mm

×n(R)y algunas de

sus propiedades más relevantes.

SeanA,B∈

Mm

×n(R). Se define la suma deAyB, denotada comoA+B, como la matriz de tamaño m×ndada por

hA+Bi_{i j}=hAi_{i j}+hBi_{i j},∀i,j∈_Ncon1≤i≤m,1≤j≤n Definición 2.12(Adición de matrices)

En términos generales,2_si_A₌



   

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

..

. ... ...

am1 am2 · · · amn



   

yB=



   

b11 b12 · · · b1n

b21 b22 · · · b2n

..

. ... ...

bm1 bm2 · · · bmn



   

entonces

A+B=



   

a11+b11 a12+b12 · · · a1n+b1n

a21+b21 a22+b22 · · · a2n+b2n

..

. ... ...

am1+bm1 am2+bm2 · · · amn+bmn



   





2 −4 0 1

−1 3 5 −2

−8 −3 7 11 

+ 



13 −10 11 −1

4 15 10 8

7 0 4 −3



=





15 −14 11 0

3 18 15 6

−1 −3 11 8 

 Ejemplo 2.7

(17)

SeanA∈

Mm

×n(R)yλ∈R. Se define el producto deλyA, denotado comoλ·A, como la matriz de tamañom×ndada por

hλ·Ai_{i j}=λ· hAi_{i j},∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n Definición 2.13(Multiplicación de un número real por una matriz)

Así, siλ∈RyA= 

   

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

..

. ... ...



   

entonces3

λA=



   

λa11 λa12 · · · λa1n λa21 λa22 · · · λa2n

..

. ... ...

λam1 λam2 · · · λamn



   

Sik,r∈R

−5

−1 3 r

0 2+k −5

=

5 −15 −5r

0 −10−5k 25

Ejemplo 2.8

SeanA,B∈

Mm

×n(R). Se define la resta deAyB, denotada comoA−B, como la matriz de tamaño m×ndada porA−B=A+ (−1·B)

Definición 2.14(Sustracción de matrices)

En términos generales,hA−Bi_{i j}=hAi_{i j}− hBi_{i j},∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n; de esta manera, si

A=



   

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

..

. ... ...



   

yB=



   

b11 b12 · · · b1n

b21 b22 · · · b2n

..

. ... ...

bm1 bm2 · · · bmn



   

entonces

A−B=



   

a11−b11 a12−b12 · · · a1n−b1n

a21−b21 a22−b22 · · · a2n−b2n

..

. ... ...

am1−bm1 am2−bm2 · · · amn−bmn



   

(18)

Considere las matrices y realice, si está definida, la operación que se indica en cada caso.

A=





2 −1 5

0 3 4

1 −2 −6



 B=

7 −4 11

8 1 0

C=





−5 4

2 3

−1 −1 

 D=





−1 2 0

−4 5 −6

7 0 10





1 A+D

2 D+A

3 A+D+2C

4 A−5

I

3

5

O

_3×2+C

6

O

3×2+A

7 (A+D)t

8 At+Dt

9 D−D

10 D−2

I

3

11 B−B

12 2D−D

13 3B+C

14 5B−2B

15 B−2Ct

16 (3A)t+D

17 −2(A+D)

18 −2A−2D

19 C−

_I

2

20 Bt₋_C

21 C−Bt Ejercicio 2.6

Siα,β∈RyA,B,C∈

Mm

×n(R), entonces:

1 A+B=B+A la adición es conmutativa enMm×n(R)

2 A+ (B+C) = (A+B) +C la adición es asociativa enMm×n(R)

3 A+

Om

×n=

Om

×n+A=A Om×nes el elemento neutro aditivo enMm×n(R)

4 A+ (−A) = (−A) +A=

_Om

×n enMm×n(R)toda matriz posee matriz opuesta aditiva

5 α(βA) = (αβ)A

6 αA+αB=α(A+B)

7 αA+βA= (α+β)A

8 1A=A Teorema 2.1

Para demostrar queA+B=B+Abasta probar que, entrada por entrada, hA+Bi_{i j}=hB+Ai_{i j},∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n

Veamos:

(19)

hA+Bi_{i j} = hAi_{i j}+hBi_{i j} definición2.12

= hBi_{i j}+hAi_{i j} conmutatividad de la adición enR

= hB+Ai_{i j} definición2.12

Así, hA+Bi_{i j} = hB+Ai_{i j},∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n

∴A+B=B+A

Demostración resultado (1) - continuación

Para demostrar que se cumple la igualdad αA+αB=α(A+B)basta probar que, entrada por entrada,

hαA+αBi_{i j}=hα(A+B)i_{i j},∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n

Veamos:

∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤nse tiene que

hα(A+B)i_{i j} = αhA+Bi_{i j} definición2.13

= α

hAi_{i j}+hBi_{i j} definición2.12

= αhAi_{i j}+αhBi_{i j} distributividad de·respecto de+enR

= hαAi_{i j}+hαBi_{i j} definición2.13

= hαA+αBi_{i j} definición2.12

Así,hα(A+B)i_{i j} = hαA+αBi_{i j},∀i,j∈_Ncon1≤i≤m,1≤ j≤n

∴αA+αB=α(A+B)

Demostración resultado (6)

Demuestre los demás resultados del teorema2.1.

Ejercicio 2.7

SeanA,B∈

_Mm

×n(R)yα∈R. Demuestre las propiedades siguientes.

1 A−B=−B+A

2 αA−αB=α(A−B)

3 (αA)t=αAt

4 (A+B)t=At+Bt

(20)

SeanA∈

M

1×n(R)yB∈

Mn

×1(R). Se define el producto deAyB, denotado comoA·B, como el

número real dado por

AB=

n

∑

k=1

hAi₁_khBi_k₁

Definición 2.15(Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna)

En términos generales, siA= a11 a12 · · · a1n

yB=



   

b11

b21 .. .

bn1



   

entonces4

AB=a11b11+a12b21+· · ·+a1nbn1

SiA= 2 −7 0 −1 4 yB=



     

3 5 15

−2 0



     

entoncesAB=−27, ya que

AB = 2 −7 0 −1 4



     

3 5 15

−2 0



     

= (2) (3) + (−7) (5) + (0) (15) + (−1) (−2) + (4) (0)

= 6−35+0+2+0

= −27 Ejemplo 2.9

SeanA∈

Mm

×p(R)yB∈

Mp

×n(R). Se define el producto deAyB, denotado comoA·B, como la

matriz de tamañom×ndada por

hABi_{i j}=

p

∑

k=1

hAi_ikhBi_{k j},∀i,j∈_Ncon1≤i≤m,1≤j≤n Definición 2.16(Multiplicación de matrices)

Como el elemento deABque está en la filaiy columna jse obtiene multiplicando5lai-ésima fila deAcon la j-ésima columna deB, el producto de estas dos matrices existe si, y solo si, el número de columnas deAes igual al número de filas deB.

4_{Observe que la multiplicación de una matriz fila por una matriz columna (en ese orden) está definida, únicamente,}

cuando ambas matrices poseen el mismo número de elementos.

5_{Otra forma de escribir este resultado es}_h_AB_i

(21)

Considere las matricesA=

2 −1 4

3 5 −7

yB=





−3 4 1 −1

0 9 0 2

1 6 −2 5





ComoAtiene3columnas (Aes de tamaño2×3) yBtiene3filas (Bes de tamaño3×4), el producto

ABestá definido; además,ABes de tamaño2×4y se tiene queAB=

−2 23 −6 16

−16 15 17 −28

ya que

AB =





A₍₁₎B(1) A₍₁₎B(2) A₍₁₎B(3) A₍₁₎B(4)

A(2)B(1) A(2)B(2) A(2)B(3) A(2)B(4)





=





−6+0+4 8−9+24 2+0−8 −2−2+20

−9+0−7 12+45−42 3+0+14 −3+10−35 



=

−2 23 −6 16

−16 15 17 −28

Note que el productoBAno está definido en este caso, ya que el número de columnas deBno es igual al número de filas deA.

Ejemplo 2.10

Considere las matrices y realice, si está definida, la operación que se indica en cada caso.

A= −1 0 −2 B=





4 1 1

5 −3 0

1 2 0



 C=





2 1

1 2





D=





1 −3

−1 2

0 2



 F=

4

−4

G=



 2 1 0





1 CF−3G

2 D

I

2

3

I

₂D

4

I

₃D

5 (AD)t

6 AtDt

7 DtAt

8 GtD+2F

9 −2(BC)

10 (−2B)C

11 (C−D)F

12 CF−DF

13 AG

14 GA−Bt

15 2FA−(C+D)t

16 AC+AD

17 (C+D)A

18 A(C+D)

(22)

Axioma1 SiA,B,D∈

_Mm

×n(R),C∈

Mn

×p(R)yF∈

Mr

×m(R), entonces:

1 A=B⇒A+D=B+D

2 A=B⇒FA=FB

3 A=B⇒AC=BC

SiA,B∈

_Mm

×n(R),C∈

Mn

×p(R),D∈

Mp

×s(R)yF∈

Mr

×m(R), entonces:

1 FA+FB=F(A+B) distributividad de·respecto de+en matrices (por la izquierda)

2 AC+BC= (A+B)C distributividad de·respecto de+en matrices (por la derecha)

3 (AC)D=A(CD) asociatividad de la multiplicación de matrices

4

Im

A=A=A

In

Ies el elemento neutro multiplicativo en matrices

Teorema 2.2

Para demostrar que se cumple la igualdadFA+FB=F(A+B)es suficiente probar que, entrada por entrada,

hFA+FBi_{i j}=hF(A+B)i_{i j},∀i,j∈Ncon1≤i≤r,1≤j≤n

Veamos:

∀i,j∈Ncon1≤i≤r,1≤j≤nse tiene que

hFA+FBi_{i j} = hFAi_{i j}+hFBi_{i j} definición2.12

=

m

∑

k=1

hFi_ikhAi_{k j}+

m

∑

k=1

hFi_ikhBi_{k j} definición2.16

=

m

∑

k=1

hFi_ikhAi_{k j}+hFi_ikhBi_{k j} m ∑ k=1ak

+

m ∑ k=1bk

=

m ∑ k=1ak

+bk

=

m

∑

k=1

hFi_ikhAi_{k j}+hBi_{k j} dist. de·respecto de+enR

=

m

∑

k=1

hFi_ikhA+Bi_{k j} definición2.12

= hF(A+B)i_{i j} definición2.16

Así, hFA+FBi_{i j} = hF(A+B)i_{i j},∀i,j∈Ncon1≤i≤r,1≤j≤n

∴FA+FB=F(A+B)

Demostración resultado (1)

Demuestre los demás resultados del teorema2.2.

(23)

SeanA,B∈

Mm

×n(R),C∈

Mn

×p(R),D∈

Mr

×m(R)yα∈R. Demuestre las propiedades siguientes.

1

I

_nt=

In

2

Or

×mA=

Or

×n

3 A

_On

×p=

Om

×p

4 (AC)t=CtAt

5 DA−DB=D(A−B)

6 AC−BC= (A−B)C

7 (αA)C=A(αC) =α(AC)

Ejercicio 2.11

2.4 Matrices no singulares

Algunas matrices cuadradas cumplen con ciertas condiciones que nos dirigen hacia un estudio más detallado respecto de ellas y de algunas de las propiedades que satisfacen. Las matrices no singulares poseen una serie de aplicaciones sumamente importantes en el estudio de esta materia.

SeaA∈

Mn

(R). Si existe alguna matrizA0de ordenn, tal queAA0=

In

yA0A=

In

, entonces se dice

queAes una matriz no singular o invertible.

Definición 2.17(Matriz no singular)

Si Aes una matriz no singular de ordenn, toda matriz A0 que satisfagaAA0=

_In

y A0A=

_In

es llamadauna inversa deAy denotada comoA−1; de esta manera, siAes una matriz no singular de ordennse cumple queAA−1=A−1A=

In

SiAno posee matriz inversa alguna, se dice queAessingular.

Si se tiene queA=





3 3 −1

2 2 −1

3 2 −1



entoncesA

−1₌





0 −1 1

1 0 −1

2 −3 0



es una matriz inversa deA,

ya que

AA−1 =





3 3 −1

2 2 −1

3 2 −1



 



0 −1 1

1 0 −1

2 −3 0





=





0+3−2 −3+0+3 3−3+0

0+2−2 −2+0+3 2−2+0

0+2−2 −3+0+3 3−2+0



(24)

=





1 0 0

0 1 0

0 0 1





=

_I

3

y, además

A−1A =





0 −1 1

1 0 −1

2 −3 0



 



3 3 −1

2 2 −1

3 2 −1





=





0−2+3 0−2+2 0+1−1

3+0−3 3+0−2 −1+0+1

6−6+0 6−6+0 −2+3+0





=





1 0 0

0 1 0

0 0 1





=

I

3

es decir,AA−1=A−1A=

_I

₃

Ejemplo 2.11 - continuación

SiAes una matriz no singular de ordenn, entonces la matriz inversa deAes única.

Teorema 2.3(Unicidad de la matriz inversa de una matriz no singular)

Como la matrizAes no singular de ordenn, existe al menos una matriz de ordennque es inversa deA. Supongamos queByCson dos matrices inversas de la matrizA, tales queB6=C; es decir, se cumplen los resultados siguientes:

AB=BA=

In

(2.1)

AC=CA=

_In

(2.2)

Por otra parte, se tiene que:

B = B

In

Ies el elemento neutro multiplicativo

= B(AC) resultado (2.2)

= (BA)C asociatividad de la multiplicación de matrices

=

_In

C resultado (2.1)

(25)

Así,B = C (⇒⇐)

∴SiAes una matriz no singular,A−1es única.

Demostración - continuación

Determine, en caso de existir,A−1si se tiene queA=

2 −2

0 4

Ejemplo 2.12

Supongamos queAes no singular y queA−1=

a b

c d

ComoAes no singular, se debe cumplir queAA−1=

_I

2y queA−1A=

I

2 Veamos (considerando la primera de las igualdades):

AA−1=

I

2

⇔

2 −2

0 4

a b

c d

=

1 0

0 1

⇔

2a−2c 2b−2d

4c 4d

=

1 0

0 1

⇔

   

  

2a−2c=1 2b−2d=0 4c=0 4d=1

⇔

              

             

a=1

2

b=1

4

c=0

d=1

4

De esta manera, siA−1=



   

1 2

1 4

0 1

4 

   

entoncesAA−1=

_I

₂

(26)

Ahora, es necesario determinar si con la matrizA−1encontrada anteriormente se satisface la igual-dadA−1A=

I

2o no.

Veamos:

A−1A =



   

1 2

1 4

0 1

4 

   

2 −2

0 4

=





1 2

(2) + 1₄(0) 1₂(−2) + 1₄(4)

(0) (2) + 1₄

(0) (0) (−2) + 1₄

(4)





=

1+0 −1+1

0+0 0+1

=

1 0

0 1

=

I

2

Así,A−1A =

I

2

∴Aes no singular y, además,A−1=



   

1 2

1 4

0 1

4 

    Solución - continuación

Determine, en caso de existir, la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes.

1 D=

1 −1

3 0

2 F=





0 −1 1

1 0 −1

2 −3 0





3 G=

2 −1

4 −2

Ejercicio 2.12

SiA,B∈

Mn

(_R), tal queAyBson matrices no singulares, entoncesABes una matriz no singular y

(AB)−1=B−1A−1 Teorema 2.4

Demuestre el teorema2.4.

(27)

El teorema que se enuncia a continuación simplifica el proceso de comprobación relacionado con la no singularidad de toda matriz que sea invertible; su demostración requiere temas que se anali-zan posteriormente y está desarrollada en el Ejemplo5.16.

SeanA,B∈

Mn

(R), siBA=

In

necesariamenteAB=

In

Teorema 2.5

Anteriormente, para determinar si alguna matriz cuadradaAes no singular se debía encontrar una matrizBdel mismo orden queAtal que satisficiera las condicionesAB=

I

yBA=

I

; con este teorema, esta comprobación se reduce a considerar cualquiera de las dos igualdades, ya que con una de ellas se garantiza la otra.

SiA∈

Mn

(R), tal queAes una matriz no singular, entonces A−1−1=A Teorema 2.6

Ejercicio 2.14

SeaA∈

Mn

(_R). La matrizAes una matriz simétrica si, y solo si,A=At Definición 2.18(Matriz simétrica)

SeaA∈

Mn

(R). La matrizAes una matriz antisimétrica si, y solo si,A=−At Definición 2.19(Matriz antisimétrica)

SeanA∈

Mn

(R),B,C∈

Mn

×m(R)yD,F∈

Mr

×n(R), tal queAes una matriz no singular. Demuestre

las propiedades siguientes.

1

I

_n−1=

In

2 At−1= A−1t

3 AB=AC⇒B=C

(28)

Sea A∈

Mn

(R). La matriz Ak, con k∈N, representa lak-ésima potencia deA y se define de la

manera siguiente:

1 A0=

_Im

2 Ak=A·A·A· · ·A(kvecesA)

3 A−k= A−1k, siempre queAsea no singular

Definición 2.20(Potencia en matrices)

SeaA∈

Mn

(R). La matrizAes una matriz periódica si, y solo si,∃p∈Z+, tal queAp+1=A Definición 2.21(Matriz periódica)

SiAes una matriz periódica, el menor entero positivopcon el que se satisfaga la igualdadAp+1=A

se llama período deA

SeaA∈

_Mn

(_R). La matrizAes una matriz idempotente si, y solo si,A2₌_A

Definición 2.22(Matriz idempotente)

SeaA∈

_Mm

(_R). La matrizAes una matriz nilpotente si, y solo si,∃n∈_Z+_,_{tal que} _An₌

_Om

Definición 2.23(Matriz nilpotente)

SiAes nilpotente, el menor entero positivoncon el que se satisfaga la igualdadAn=

_Om

se llama índice de nilpotencia.

2.5 Matrices elementales

El procedimiento realizado en el ejemplo2.12para la obtención de la matriz inversa de alguna matriz no singular es, en muchas ocasiones, de manejo algebraico laborioso.

Se desarrollarán procedimientos que permiten obtener dicha matriz inversa de una forma más eficiente que la mencionada; además, se definirá el concepto de matriz equivalente que es de suma importancia en el desarrollo de temas posteriores.

SeaA∈

Mm

×n(R). Una operación elemental sobre las filas deAes cualquiera de las tres siguientes:

1 kFi Modificar la filaideAmultiplicándola por un número realk,k6=0

2 _F_i↔_F_j _{Intercambiar las filas}iy jdeA

3 kFj+Fi Modificar lai-ésima fila deAsumándolekveces la fila j

(29)

Una matrizBes equivalente por filas con una matrizA, siBse obtiene a partir deAmediante una secuencia finita de operaciones elementales sobre sus filas.

Definición 2.25(Matrices equivalentes por filas)

Si la matrizBes equivalente por filas con la matrizAse escribeA∼B.

Considere la matrizPdefinida como

P=





2 −5 1 −3

1 0 −1 5

−4 1 3 2 



Son equivalentes por filas conPlas matrices siguientes:

R=





−4 1 3 2

−2 0 2 −10

2 −5 1 −3



 Se realiza:PF1↔∼F3−2F∼2R

Z=





2 −5 1 −3

1 0 −1 5

−4 1 3 2 

 Se realiza:P4F∼2

1 4_∼F2

PF1↔∼F3F1↔∼F3Z=P B=





2 −5 1 −3

0 −9 5 −4

1 18 −11 13



 Se realiza:P2F1∼+F3−2F∼3+F2F2↔∼F3B

F=





2 −5 1 −3

1 0 −1 5

−4 1 3 2 

 Se realiza:P3F1∼+F2−3F∼1+F2F=P

H=





−10 1 9 −28

−3 0 3 −15

−2 −19 13 −40 

 Se realiza:PF1↔∼F3−3F∼22F2∼+F14F∼3F1+∼F3H Ejemplo 2.13

Con base en las operaciones realizadas en la matrizPdel ejemplo anterior para la obtención de las matrices Z y F, se puede definir un concepto importante para operaciones elementales: el concepto de operación elemental inversa.

Se dice que una operación elemental es inversa de otra si aplicando ambas operaciones a alguna matrizA, de manera secuencial, se obtiene como resultado la matrizA.

Definición 2.26(Operación elemental inversa)

(30)

1 kFi Operación elemental inversa: 1

kFi, conk6=0

2 _F_i↔_F_j _{Operación elemental inversa: F}_i↔_F_j

3 kFj+Fi Operación elemental inversa:−kFj+Fi

Considere las matricesR,ByHdel ejemplo2.13y, a partir de estas, obtenga la matrizPdel mismo ejemplo utilizando el resultado de la definición anterior.

Ejercicio 2.16

Una matriz elemental de ordenn, denotada comoE, es toda matriz que se obtiene de la matriz

In

después de aplicarle una, y solo una, operación elemental.

Definición 2.27(Matriz elemental)

Unamatriz elementalde ordennse dice que es deltipo a,tipo botipo csi se realiza, respectivamente, a la matriz

In

la operación elemental a, b o c de la definición2.24; asimismo, toda matriz elemental de ordennse denota, de manera más específica y basados en el tipo que sea, comoEa,EboEc

Son matrices elementales de orden 3 las matrices siguientes:

1 Ea=





1 0 0

0 −5 0

0 0 1





2 Eb=





0 0 1

0 1 0

1 0 0





3 Ea=





1 0 0

0 1 0

0 0 k





4 Ec=





1 0 0

0 1 0

−2 0 1 



5 Ea=



  

1 0 0

0 1 0

0 0 1

k 

  

6 Ec=





1 k 0

0 1 0

0 0 1



 Ejemplo 2.14

SiA∈

Mm

×n(R)yBse obtiene deAluego de efectuarle una operación elemental sobre sus filas,

entonces existe una matriz elemental E de ordenm, tal queB=EA, donde E se obtiene de

Im

después de efectuar la misma operación elemental realizada enApara la obtención deB.

(31)

Para demostrar lo que se enuncia, basta probar que las igualdades mencionadas son válidas para cada uno de los tres únicos casos que existen; específicamente, se deben contemplar los tres tipos de operaciones elementales definidas y verificar, respectivamente, la igualdad entre la matrizBy la matrizEA.

Se desarrollará el caso que contempla la operación elementalkFi

Veamos:

Seank∈R,k6=0yA,B∈

Mm

×n(R). Suponga que la matrizBse obtiene de la matrizAdespués de

realizar la operaciónkFr

En este caso,AyBdifieren únicamente en sur-ésima fila; específicamente,∀i,j∈Ncon1≤i≤m, 1≤j≤n, se tiene quehBi_{i j}=

(

hAi_{i j} sii6=r khAi_{i j} sii=r

SeaE∈

Mm

(_R)la matriz elemental que se obtiene de

Im

luego de efectuar la operación elemental

kFr; en este caso,∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤m,hEii j=

 



1 sii=j,i6=r k sii=j=r 0 sii6=j

Se quiere probar quehEAi_{i j}=hBi_{i j},∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n

Partiendo del primer miembro de la igualdad,∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n, se tiene que:

hEAi_{i j} =

m

∑

t=1

hEi_ithAi_{t j}

= hEi_i₁hAi₁_j+hEi_i₂hAi₂_j+· · ·+hEi_iihAi_{i j}+· · ·+hEi_imhAi_{m j}

= 0· hAi₁_j+0· hAi₂_j+· · ·+hEi_iihAi_{i j}+· · ·+0· hAi_{m j}

= hEi_iihAi_{i j}

=

(

1· hAi_{i j} sii6=r k· hAi_{i j} sii=r

=

(

hAi_{i j} sii6=r khAi_{i j} sii=r

= hBi_{i j}

Así, hEAi_{i j} = hBi_{i j},∀i,j∈Ncon1≤i≤m,1≤j≤n.

∴El resultado de efectuar la operación elementalkFisobre las filas de toda matrizA, es el mismo

que realizar la multiplicación EA, dondeE es la matriz elemental obtenida al aplicarle a

I

la operación elementalkFi

Demostración

Demuestre los dos casos restantes del teorema2.7.

(32)

Considere la matrizA definida comoA=





3 −2 0 −5

0 3 −3 2

1 5 4 −1



 y las matrices elementales de

orden3Ea,EbyEcdefinidas porEa=





1 0 0

0 1 0

0 0 −4



,Eb=





1 0 0

0 0 1

0 1 0



yEc=





1 0 −3

0 1 0

0 0 1





1 _{Determine las matrices}P,QyRque se obtienen a partir deA, después de realizar, respecti-vamente, la operación elemental−4F3, F2↔F3y−3F3+F1

2 _{Verifique que se cumplen las igualdades siguientes:}

P=EaA

Q=EbA

R=EcA

3 Con base en el teorema anterior, obtenga la matrizU que se obtiene de Adespués de re-alizarle, secuencialmente, las operaciones elementales sobre filas siguientes:A−3F∼3+F1 −4F3

∼

F2↔F3

∼ −2F1+F2

∼ U.

Ejercicio 2.18

SiA,B∈

Mm

×n(R)yBes equivalente por filas conA, entonces existe una matrizCde ordenm, tal

queB=CA, dondeCes la matriz producto de un número finito de matrices elementales de orden

m.

Teorema 2.8

Ejercicio 2.19

Toda matriz elementalE de ordennes invertible y su inversaE−1es una matriz elemental, que se obtiene aplicando a

In

la operación elemental inversa de la operación que le fue efectuada a

In

para determinarE.

Teorema 2.9

SiEes una matriz elemental de ordenn, entoncesEse obtiene de

In

después de efectuarle alguna operación elemental sobre sus filas.

SeaE0 la matriz que se obtiene de

In

después de realizarle la operación elemental inversa de la efectuada en

In

para la obtención deE.

(33)

Si a la matriz E0 se le realiza la operación elemental efectuada en

In

para la obtención de E, el resultado sería esta matriz identidad, ya que el efecto de realizar de manera simultánea una operación elemental y su operación elemental inversa es la obtención de una matriz sin cambio alguno.

De esta manera y basados en el teorema2.7,EE0=

In

, lo que nos indica queE0es la matriz inversa deE.

∴Toda matriz elementalEposee como inversa la matriz elementalE−1que se obtiene aplicando a la identidad la operación elemental inversa de la aplicada en dicha identidad para la obtención deE.

Demostración - continuación

Las matrices elementales de orden tresE0=





1 0 −3

0 1 0

0 0 1



yE00= 



1 0 3

0 1 0

0 0 1



son

mutua-mente inversas, ya que:

E0E00 =





1 0 −3

0 1 0

0 0 1



 



1 0 3

0 1 0

0 0 1





=





1+0+0 0+0+0 3+0−3

0+0+0 0+1+0 0+0+0

0+0+0 0+0+0 0+0+1





=





1 0 0

0 1 0

0 0 1





=

I

3

Note que para obtenerE00se aplica a la matriz

I

3la operación elemental inversa de la aplicada a la misma identidad para la obtención deE0.

Ejemplo 2.15

Demuestre que“es equivalente por filas con"es una relación de equivalencia.

Ejercicio 2.20

2.6 Reducción de matrices

(34)

los resultados mencionados y permite simplicidad en varios cálculos que se presentarán.

Sea A∈

Mm

×n(R). Se dice que A es una matriz escalonada reducida por filas, siA cumple,

si-multáneamente, las condiciones siguientes:

Cualquier fila que contenga entradas distintas de cero precede a toda fila nula (en caso de existir alguna).

La primera entrada distinta de cero de cada fila es el único elemento no nulo de su columna. El primer elemento no nulo de cada fila es1y se encuentra en alguna columna posterior a la que contiene la primera entrada no nula de la fila que le precede.

Definición 2.28(Matriz escalonada reducida por filas)

Son matrices escalonadas reducidas por filas las siguientes:

1





1 2 −3 0

0 0 0 1

0 0 0 0





2

0 0

3

1 0 −4 7 3

0 1 5 2 1

4





1 0 0

0 1 0

0 0 1





5



     

0 1 0 7 0

0 0 1 2 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0



      Ejemplo 2.16

El teorema que se enuncia a continuación muestra un resultado importante en el estudio del álge-bra matricial; se garantiza que toda matriz se puede llevar, con base en operaciones elementales sobre sus filas, a una matriz escalonada reducida por filas.

(35)

Ejercicio 2.21

La matriz escalonada reducida por filas que es equivalente por filas con la matrizAdefinida como

A=



  

1 2 −1 0 −7 5

−6 −12 0 1 19 −4

2 4 2 −1 1 −8

−8 −16 −6 3 3 22 

  

está dada porR=



  

1 2 0 0 −3 1

0 0 1 0 4 −4

0 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 0

    ya que: A=    

1 2 −1 0 −7 5

−6 −12 0 1 19 −4

2 4 2 −1 1 −8

−8 −16 −6 3 3 22 

  

6F1+F2 −2F1+F3

8F1+F4

∼



  

1 2 −1 0 −7 5

0 0 −6 1 −23 26

0 0 4 −1 15 −18

0 0 −14 3 −53 62



  

−1 6F2

∼



  

1 2 −1 0 −7 5

0 0 1 −1₆ 23₆ −13₃

0 0 4 −1 15 −18

0 0 −14 3 −53 62



  

F2+F1 −4F2+F3 14F2+F4

∼           

1 2 0 −1

6 − 19

6 2 3

0 0 1 −1

6 23

6 − 13

3

0 0 0 −1₃ −1₃ −2₃

0 0 0 2₃ 2₃ 4₃

          

−3F3

∼           

1 2 0 −1

6 − 19

6 2 3

0 0 1 −1

6 23

6 − 13

3

0 0 0 1 1 2

0 0 0 2₃ 2₃ 4₃

           1 6F3+F1 1 6F3+F2 −2

3F3+F4

∼



  

1 2 0 0 −3 1

0 0 1 0 4 −4

0 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 0

(36)

Demuestre que la única matriz de ordennescalonada reducida por filas que posee inversa es la matriz

In

Ejercicio 2.22

SiA∈

_Mn

(_R), entoncesAes equivalente por filas con la matriz

In

si, y solo si,Aes una matriz no singular.

Teorema 2.11

SeanA,R∈

Mn

(R), tales queA∼R, siendoRuna matriz escalonada reducida por filas.

ComoA∼R, existe un número finito de matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek, tales que

Ek·. . .·E2·E1·A=R

Con base en el teorema 2.9, las matrices E1,E2, . . . ,Ek son invertibles y sus inversas respectivas

E₁−1,E₂−1, . . . ,E_k−1son, también, matrices elementales; de esta manera:

Ek·. . .·E2·E1·A=R

⇒ E₁−1·E₂−1·. . .·E_k−1·Ek·. . .·E2·E1·A=E1−1·E −1 2 ·. . .·E

−1

k ·R

⇒ A=E₁−1·E₂−1·. . .·E_k−1·R

De la última implicación, se tiene que la matrizAes invertible si, y solo si, la matrizE₁−1·E₂−1·. . .·

E_k−1·Rtambién lo es.

Con base en el teorema2.4, dado que las matricesE₁−1,E₂−1, . . . ,E_k−1son invertibles, el producto

E₁−1·E₂−1·. . .·E_k−1·Res envertible si, y solo si,Res invertible; luego,Aes invertible si, y solo si,R

lo es.

ComoRes una matriz de ordennescalonada reducida por filas,Res no singular si, y solo si,Res la matriz

In

∴SiAes una matriz de ordenn,Aes no singular si, y solo si,A∼

In

Demostración

Observe que:

Ek·. . .·E2·E1·A=

In

⇒ A−1=Ek·. . .·E2·E1

⇒ A−1=Ek·. . .·E2·E1·

In

De esta manera, para obtener la matrizA−1se aplican a

In

las mismas operaciones elementales que se deben aplicar aApara la obtención de

In

(37)

Para determinar la matriz inversa, en caso de existir, de la matrizA=





3 1 2

2 −1 0

3 2 3



se pueden

seguir procedimientos similares al siguiente:





3 1 2 1 0 0

2 −1 0 0 1 0

3 2 3 0 0 1





−F2+F1

∼





1 2 2 1 −1 0

2 −1 0 0 1 0

3 2 3 0 0 1





−2F1+F2 −3F1+F3

∼





1 2 2 1 −1 0

0 −5 −4 −2 3 0

0 −4 −3 −3 3 1





−F2+F3

∼





1 2 2 1 −1 0

0 −5 −4 −2 3 0

0 1 1 −1 0 1





F2↔F3

∼





1 2 2 1 −1 0

0 1 1 −1 0 1

0 −5 −4 −2 3 0





−2F2+F1 5F2+F3

∼





1 0 0 3 −1 −2

0 1 1 −1 0 1

0 0 1 −7 3 5





−F3+F2

∼





1 0 0 3 −1 −2

0 1 0 6 −3 −4

0 0 1 −7 3 5





Como la matrizAes equivalente por filas con la matriz

I

3, entoncesAes una matriz no singular y su inversa es la matrizA−1=





3 −1 −2

6 −3 −4

−7 3 5 

, matriz que se obtuvo de

I

3después de realizar las mismas operaciones elementales que las efectuadas enApara la obtención de

I

3

Ejemplo 2.18

Utilizando operaciones elementales sobre filas determine, en caso de existir, la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes.

1 F=





1 0 4

0 −1 0

4 0 1



 2 Z=





1 1 1

2 1 −1

1 0 −2



(38)

3 H=





5 10 −25

2 −1 3

−4 2 −6 



4 B=

cosα senα

−senα cosα

5 A=

₋₂ ₋₁

1 3

6 J=





8 −1 −3

−5 1 2

10 −1 −4





7 G=



  

2 −6 12 16

−1 3 −3 −7

1 −2 6 6

0 4 3 −6



  

8 L=

a11 a12

a21 a22

9 P=





−5 4 −3

10 −7 6

8 −6 5



 Ejercicio 2.23 - continuación

SeaA∈

_Mm

×n(R). SiRes la matriz escalonada reducida por filas equivalente conA, se define el

rango deA, denotado comor(A), como el número de filas no nulas que posee la matrizR.

Definición 2.29(Rango de una matriz)

SiAes la matriz definida porA=



  

1 2 −1 0 −7 5

−6 −12 0 1 19 −4

2 4 2 −1 1 −8

−8 −16 −6 3 3 22 

  

se tiene quer(A) =3, ya

que su matriz escalonada reducida por filas equivalente por filas (ver ejemplo2.17) está dada por

R=



  

1 2 0 0 −3 1

0 0 1 0 4 −4

0 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 0



   Ejemplo 2.19

Verifique quer(A) =2, si se tiene queA=



  

3 −9 −4 6 −12

−2 6 5 −4 8

1 −3 0 2 −4

−1 3 3 −2 4 

(39)

A∈

Mm

×n(R), entoncesr(A)≤m Teorema 2.12

A∈

Mn

(_R)es no singular si, y solo si,r(A) =n Teorema 2.13

2.7 Ejercicios

2.25 Considere las matrices

A=

2 3 −1

−3 4 5

B=

0 −2 1

−5 0 3

C=

3 2

4 −1

De las dos operaciones que se enuncian, realice la única que es posible efectuar y, además, justifique por qué la otra no está definida.

1 −2C+AtB 2 ABt+3C

2.26 Seak6=0y seanA,B,CyDmatrices definidas por:

A=





1 0

0 1

3 0



 B=





−1 0 1

2 1 2



 C=

k 2 0

−1 0 3

D=

−k 1

0 3

De las operaciones que se enuncian, realice aquella que esté bien definida. Justifique por qué las otras tres no se pueden realizar.

1 (AC)t+B−1

2 (CB)t−D−1

3 (BA)−1+Ct

4 (CA)−1−Dt

2.27 Encuentre dos matrices cuadradasAyBno nulas de orden 2 tales queAB=

O

2

2.28 Considere las matrices siguientes:

A=





1 −1 0

3 2 1

−2 0 −1 

 B=





17 11 −24

−15 0 5

2 5 −9



 C=





5 −11 −2

5 4 −1

−3 −4 −4 



1 Calcule2A−C

2 Si se sabe que(2A−C)−1=





12 10 −27

5 4 −11

−4 −3 9 

, determine una matrizX de tamaño3×3 con

(40)

2.29 Considere las matrices siguientes:

A=

−2 1

0 3

, B=

3 1 4

2 0 −5

, C=





−3 2

0 1

1 −5





Calcule:

1 B−2Ct

2 AB

3 (AB)C

4 A(BC)

5 ACt

6 2

3A

2.30 Encuentre la matrizX que satisface la ecuaciónA Xt+C

=D, donde:

A=





1 −1 0

0 1 0

0 0 3



, C=   1 2 3 4 0 5 

, D=   1 1 3 0 1 3  

2.31 Para cada una de las matrices que se enuncian determine su inversa (si existe):

1 A=

2 −3

7 11

2 A=





4 3 3

−1 0 1

−3 −2 −2 



3 A=

a b

c d

conad−cb6=0

4 A=





2 −2 1

1 1 −2

−1 0 1 



5 A=

−1 6

2 −12

6 A=





−11 2 2

−4 0 1

6 −1 −1





7 A=





3 −2 −1

−4 1 −2

2 0 1





8 A=





1 2 3

2 5 7

−2 −4 −5 



9 A=





1 0 2

2 −1 3

4 1 8





10 A=





−1 2 −3

2 1 0

4 −2 5





11 A=





0 1 −1

4 −3 4

3 −3 4





12 A=



  

1 −2 1 0

1 −2 2 −3

0 1 −1 1

−2 3 −2 3 

  

13 A=



  

1 2 3 1

1 3 3 2

2 4 3 3

1 1 1 1



  

2.32 SeaAuna matriz cuadrada de ordenn tal queA2=

On

×n, demuestre que

In

−Aes una matriz no

singular.

2.33 SiA∈

Mm

×m(R), tal queA2=A, demuestre que∀k∈N,

(41)

2.34 Determine siA=





4 3 3

−1 0 −1

−4 −4 −3 

es involutiva o no.

2.35 Pruebe queA=





1 −3 −4

−1 3 4

1 −3 −4



es nilpotente y determine su índice de nilpotencia.

2.36 Verifique que las matricesMyNson idempotentes, con:

M=





2 −2 −4

−1 3 4

1 −2 −3



, N= 



−1 3 5

1 −3 −5

−1 3 5 



2.37 Dé un ejemplo de una matriz cuadrada de orden 3 que sea antisimétrica.

2.38 En

Mn

(R)se define una relación

R

de la siguiente manera:

∀A,B∈

_Mn

(_R),A

R

B⇔ ∃P∈

_Mn

(_R), tal queA=P−1BP

Demuestre que

R

es una relación de equivalencia.

2.39 SeanA,B∈

Mn

×n(R), tales queeAyBson simétricas. Demuestre que:

1 A+Bes simétrica.

2 ABno siempre es simétrica.

3 A2es simétrica.

(42)

3

Determinantes

Un concepto importante asociado con las matrices cuadradas es el concepto de determinante, concepto de mucha utilidad por sus variadas aplicaciones: cálculo de áreas, cálculo de matrices inversas, cálculo de volúmenes y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, entre otros. Dado que cada matriz cuadrada está relacionada con un único número real, el determinante puede ser considerado como una función que tiene como dominio el conjunto de la matrices cuadradas y cuyo codominio es el conjunto de los números reales.

3.1 Definiciones básicas

Algunos de los conceptos más relevantes en el estudio de los determinantes son enunciados a continuación. Las definiciones que se consideran son de suma importancia para el desarrollo de contenidos posterios, relacionados con ciertas propiedades que se cumplen cuando se calculan determinantes.

Si Aes una matriz de orden1, tal queA= (a11), su determinante, denotado como|A|,det(A)o |a11|, se define como|A|=a11

Definición 3.1(Determinante de una matriz de orden 1)

SiA∈

Mn

(_R), se define el menor del elementoai jdeA, denotado porMAi j, como el determinante

de la matriz que se obtiene a partir deAluego de eliminar sui-ésima fila y su j-ésima columna.

Definición 3.2(Menor de un elemento)

Considere la matrizAdefinida comoA=

a b

c d

Para la matrizAse tiene que:

(43)

SiA∈

Mn

(R), se define el cofactor del elementoai jdeA, denotado porAi j, como el número dado

por

Ai j= (−1)i+jMi jA

Definición 3.3(Cofactor de un elemento)

SiA∈

_Mn

(_R), se define la matriz de cofactores deA, denotada comoA, como la matriz de ordenn

dada por

A

i j=Ai j,∀i,j,con1≤i≤n,1≤j≤n

Definición 3.4(Matriz de cofactores)

Con base en la matriz del ejemplo3.1, se tiene que:

A11= (−1)1+1MA11= (−1) 2

d=1·d=d

A12= (−1)1+2MA12= (−1)

3_c₌₋₁_·_c₌₋_c

A21= (−1)2+1MA21= (−1)3b=−1·b=−b

A22= (−1)2+2MA22= (−1) 4

a=1·a=a

De esta manera,A=

A11 A12

A21 A22

=

d −c

−b a Ejemplo 3.2

SeaA∈

Mn

(_R)conn≥2, el determinante deAse define, de manera recursiva, como el número real dado por

|A|=

n

∑

j=1

hAi₁_jA1j

Definición 3.5(Determinante de una matriz de ordenn)

Considere la matriz del ejemplo3.1y verifique que el determinante de toda matriz de orden dos está dado por

a b

c d

(44)

Con base en la definición3.5se tiene que:

|A| =

2

∑

j=1

hAi₁_jA1j

= hAi₁₁A11+hAi12A12

= a·d+b· −c

= ad−bc

De esta manera,

a b

c d

=ad−bc Solución

Considere las matricesAyBdefinidas porA=

2 1

3 5

yB=

6 3

4 1

Para estas matrices se cumple que:

|A|=2·5−1·3

⇒ |A|=7

y

|B|=6·1−3·4

⇒ |B|=−6

Así,

|A|+|B|=7+−6

⇒ |A|+|B|=1

Por otra parte, se tiene que:

|A+B|=

2 1

3 5

+

6 3

4 1

⇒ |A+B|=

8 4

7 6

⇒ |A+B|=8·6−4·7

⇒ |A+B|=20

Observe que, para estas matrices,|A+B| 6=|A|+|B|

(45)

Para cada una de las matrices que se enuncian calcule, respectivamente, el valor de su determi-nante.

1 A=

2 −3

5 4

2 B=

5 4

2 −3

3 C=

₋

3 2

4 5

4 D=

₀ ₀

−6 4

5 E=

1 0

0 1

6 F=

α 0

0 α

7 G=

4 −6

5 4

8 H=

₂ ₋₃

15 12

9 I=

7 −13

0 −2

10 J=

2−x −3

5 4−x

11 K=

2α −3α

5 4

12 L=

₂

α −3α

5α 4α

Ejercicio 3.1

Considere la matrizA, definida porA=





3 −6 0

0 −3 −2

−1 1 −4 

y obtenga el valor de|A|

|A| =

3

∑

j=1

hAi₁_jA1j

= hAi₁₁A11+hAi12A12+hAi13A13

= 3·A11+−6·A12+0·A13

= 3·A11−6·A12

= 3·(−1)2MA₁₁−6·(−1)3M₁₂A

= 3·1·

−3 −2

1 −4

−6· −1·

0 −2

−1 −4

= 3(12+2) +6(0−2)

= 3·14+6· −2

= 42−12

= 30

(46)

Considere la matrizB, definida porB=





−2 −6 0

−5 −3 −2

−7 1 −4 

y obtenga el valor de|B|

|B| =

3

∑

j=1

hBi₁_jB1j

= hBi₁₁B11+hBi12B12+hBi13B13

= −2·B11+−6·B12+0·B13

= −2·B11−6·B12

= −2·(−1)2M₁₁B −6·(−1)3MB₁₂

= −2·1·

−3 −2

1 −4

−6· −1·

−5 −2

−7 −4

= −2(12+2) +6(20−14)

= −2·14+6·6

= −28+36

= 8

Así,|B| = 8 Ejemplo 3.6

Considere la matrizC, definida porC=



  

−3 2 0 0

3 −2 −6 0

0 −5 −3 −2

−1 −7 1 −4 

  

y calcule|C|

|C| =

4

∑

j=1

hCi₁_jC1j

= hCi₁₁C11+hCi12C12+hCi13C13+hCi14C14

= −3·C11+2·C12+0·C13+0·C14

= −3·C11+2·C12

= −3·(−1)2M₁₁C +2·(−1)3MC₁₂

= −3·1·

−2 −6 0

−5 −3 −2

−7 1 −4

+2· −1·

3 −6 0

0 −3 −2

(47)

= −3·8−2·30 (ver ejemplos3.5y3.6)

= −24−60

= −84

Así,|C| = −84 Ejemplo 3.7 - continuación

En el ejemplo3.7se observa que el cálculo de determinantes con base en la definición3.5puede ser, en gran número de casos, un proceso extremadamente tedioso; posteriormente, se estará enunciando un método más eficiente para la evaluación de determinantes.

Demuestre que|

In

|=1,∀n∈N Pista: utilice inducción matemática sobren Ejercicio 3.2

3.2 Propiedades básicas

En el estudio de determinantes se presentan gran número de propiedades que, en la mayoría de los casos, ayudan en los cálculos de estos valores.

A continuación, se enuncian algunos de los resultados más relevantes para la evaluación de de-terminantes.

Tal y como se evidenció en el ejemplo3.4, dadas dos matrices cualesquieraByCdel mismo orden y una matrizA, tal queA=B+C, no siempre se cumple que|A|=|B|+|C|.