Apuntes de L´
ogica Matem´
atica
2. L´
ogica de Predicados
Francisco Jos´
e Gonz´
alez Guti´
errez
Lecci´
on 2
L´
ogica de Predicados
Contenido
2.1 Definiciones . . . 27
2.1.1 Predicado . . . 28
2.1.2 Universo del Discurso . . . 28
2.1.3 Predicados y Proposiciones . . . 28
2.2 Cuantificadores . . . 35
2.2.1 Cuantificador Universal . . . 35
2.2.2 Valor de Verdad del Cuantificador Universal . . . 37
2.2.3 Cuantificador Existencial . . . 37
2.2.4 Valor de Verdad del Cuantificador Existencial . . . 37
2.2.5 Alcance de un Cuantificador . . . 38
2.3 C´alculo de Predicados . . . 44
2.3.1 Implicaci´on L´ogica . . . 46
2.3.2 Equivalencia L´ogica . . . 46
2.3.3 Leyes de De Morgan Generalizadas . . . 46
2.3.4 Regla general . . . 48
2.3.5 Proposiciones al Alcance de un Cuantificador . . . 49
2.3.6 Predicados al Alcance de un Cuantificador . . . 52
2.3.7 Asociatividad y Distributividad . . . 52
2.1
Definiciones
Cualquier teor´ıa cient´ıfica aspira a enunciar leyes, postulados, definiciones, teoremas, etc... con una validez m´as o menos universal y, en cualquier caso, bien precisada. A menudo interesa afirmar que todos los individuos de un cierto campo tienen la propiedadpo que algunos la tienen.
El c´alculo proposicional no es suficientemente fuerte para hacer todas las afirmaciones que se necesitan en matem´aticas. Por ejemplo, afirmaciones como “x = 5” ´o “x > y” no son proposiciones ya que no son necesariamente verdaderas o falsas. Sin embargo, asignando valores concretos a las variablesx
e y, las afirmaciones anteriores son susceptibles de ser verdaderas o falsas, es decir, se convierten en proposiciones.
Ella es alta y rubia.
El vive en el campo.
Ella, ´el y el campo se utilizan como variables,
xes alta y rubia.
xvive eny
2.1.1
Predicado
Es una afirmaci´on que expresa una propiedad de un objeto o una relaci´on entre objetos. Estas afirmaciones se hacen verdaderas o falsas cuando se reemplazan las variables (objetos) por valores espec´ıficos.
Ejemplo 2.1 La afirmaci´on “p(x) :xes alta y rubia” es un predicado que expresa la propiedad del objetoxde ser “alta y rubia”. Si sustituimos la variablexpor un valor determinado, por ejemplo Laura, entonces el predicado se transforma en la proposici´on “Laura es alta y rubia” que podr´a ser verdadera o falsa. El predicado “q(x) :xvive en y” expresa una relaci´on entre los objetosxey. Si sustituimosx
por Pedro eypor Madrid, obtendremos la proposici´on “Pedro vive en Madrid”.
Ejemplo 2.2 Los predicados se usan frecuentemente en sentencias de control en lenguajes de progra-maci´on de alto nivel. Por ejemplo, la sentencia
Six >5, entoncesz:=y
incluye el predicado “x >5”. Cuando se ejecuta la sentencia, el valor de verdad de la afirmaci´on “x >5” se determina usando el valor que tenga la variablexen ese momento. El predicado se convierte en una
proposici´on cuyo valor verdadero es verdad o falso.
Ejemplo 2.3 El predicado “p(x, y) :x+y >5” tiene dos variables.
2.1.2
Universo del Discurso
Llamaremos de esta forma al conjunto al cual pertenecen los valores que puedan tomar las variables. Lo notaremos porU y lo nombraremos por conjunto universal o, simplemente, universo. Debe contener, al menos, un elemento.
Ejemplo 2.4 En una posible evaluaci´on del predicado “p(x) :x >5”, elegir´ıamos probablemente un conjunto num´erico, por ejemplo los n´umeros enteros, como universo del discurso. No tendr´ıa sentido elegir el conjunto de los colores del arco iris ya que podr´ıamos encontrarnos con situaciones tales como
“azul>5”.
2.1.3
Predicados y Proposiciones
Si p(x1, x2, . . . , xn)es un predicado constante con n variables y asignamos los valoresc1, c2, . . . , cn a
cada una de ellas, el resultado es la proposici´onp(c1, c2, . . . , cn).
Ejemplo 2.5 Consideremos el predicadop(x, y) :x+y= 5 en el universo de los n´umeros enteros. En principio las variablesxey pueden tomar cualquier valor entero, es decir est´an “libres”.
Si asignamos a xel valor 2 y a la y el valor 3, entonces el predicado p(x, y) se transforma en la proposici´onp(2,3) : 2 + 3 = 5 que esverdad.
Si hubi´eramos asignado los valores 1 y 2 a las variablesxey, respectivamente, entonces resultar´ıa la proposici´onp(1,2) : 1 + 2 = 5 que esfalsa.
En ambos casos, las variablesxeyhan pasado de estarlibresa estarligadas. Hemos ligado las variables
asign´andoles unos valores determinados del universo del discurso.
Ejemplo 2.6 Las variables enterasxeytienen los valores iniciales 3 y 8, respectivamente. Determinar los valores dexey despu´es de la ejecuci´on de cada una de las proposiciones siguientes. (El valor dex
despu´es de la ejecuci´on de (a) se convierte en el valor de xpara la proposici´on del apartado (b) y as´ı sucesivamente). (La operaci´on Div devuelve la parte entera de un cociente; por ejemplo, 8 Div 4=2 y 9 Div 2=4).
(a) Siy−x= 5, entoncesx=x−2;
(b) Si [(2y=x) y (xDiv 4 = 1)], entoncesx= 4y−3;
(c) Si [(x <8) ´o (y Div 2 = 2)], entoncesx= 2y, de lo contrarioy= 2x;
(d) Si [(x <20) y (xDiv 6 = 1)], entoncesy=y−x−5;
(e) Si [(x= 2y) ´o (xDiv 2 = 5)], entoncesy=y+ 2;
(f) Si [(xDiv 3 = 3) e (y Div 36= 1)] entoncesy=x;
(g) Siyx6= 35, entoncesx= 3y+ 7;
Soluci´on
Los valores iniciales son
x:=3, y:=8
(a) y−x= 5−→x:=x−2;
y−x= 8−3 = 5, es decir la hip´otesis es verdadera. Consecuentemente se sigue la conclusi´on y
x:=x−2 = 3−2 = 1. Los nuevos valores dexeyson, por tanto,
x:=1, y:=8
(b) (2y=x)∧(xDiv 4 = 1)−→x:= 4y−3;
2y=xes falsa yxDiv 4 tambi´en (1 Div 4 = 0), luego
(2y=x)∧(xDiv 4)
es falsa y, consecuentemente, no se sigue la conclusi´on. Los valores de x e y siguen siendo los mismos que en el apartado anterior.
(c) (x <8)∨(y Div 2 = 2)−→x:= 2y, de lo contrarioy:= 2x;
x <8 es verdadera yy Div 2 = 2 es falsa (8 Div 2 = 4) luego
(x <8)∨(yDiv 2 = 2)
es verdad y, consecuentemente, se sigue la primera de las dos conclusiones, de aqu´ı que los nuevos valores de xey sean
(d) (x <20)∧(xDiv 6 = 1)−→y:=y−x−5;
x <20 es verdad yxDiv 2 = 5 es falsa, luego
(x <20)∧(xDiv 6 = 1)
es falsa y, consecuentemente, no se sigue la conclusi´on, es decir, los valores dexey no var´ıan.
(e) (x= 2y)∨(xDiv 2 = 5)−→y:=y+ 2;
x= 2y es verdad y xDiv 2 = 5 es falsa, luego la hip´otesis,
(x= 2y)∨(xDiv 2 = 5)
es verdadera y, consecuentemente, y :=y+ 2 = 8 + 2 = 10. Los nuevos valores dexey son, por tanto,
x:=16, y:=10
(f) (xDiv 3 = 3)∧(y Div 36= 1)−→y:=x;
xDiv 3 = 3 es falsa ey Div 36= 1 es verdadera, por lo tanto la hip´otesis
(xDiv 3 = 3)∧(y Div 36= 1)
es falsa y los valores dexey no cambian.
(g) yx6= 35 =⇒x:= 3y+ 7;
Como yx = 10·16 = 160 6= 35, la hip´otesis es verdadera de aqu´ı que se siga la conclusi´on y
x:= 3y+ 7 = 3·10 + 7 = 37. Los valores finales dexey son, por tanto,
x:=37, y:=10
Nota 2.1 En los lenguajes de programaci´on, aparecen estructuras de decisi´on del tipo “Si...Entonces”. En este contexto, el condicional “sipentoncesq” significa que se ejecutar´aqunicamente en caso de que´
psea verdadera. Si pes falsa, el control pasa a la siguiente instrucci´on del programa.
Ejemplo 2.7 Para cada segmento de programa contenido en los apartados siguientes, determinar el n´umero de veces que se ejecuta la sentencia x:=x+ 1
(a) y:= 1
Si y <2 ´oy >0 entonces
x:=x+ 1
de lo contrario
x:=x+ 2
(b) y:= 2
Si (y <0 ey >1) ´oy= 3entonces
x:=x+ 1
de lo contrario
x:=x+ 2
(c) y:= 1
Hacer mientrasy <3
Comienzo
y:=y+ 1
Fin
(d) y:= 1
Hacer mientras(y >0ey <3)´oy= 3
Comienzo
x:=x+ 1
y:=y+ 1
Fin
(e) y:= 1
Hacer mientrasy >0 ey <4
Comienzo
Siy <2entonces
y:=y+ 1
de lo contrario
y:=y+ 2
x:=x+ 1
Fin
Soluci´on
(a) Sean
p(y) :y <2
q(y) :y >0
Otra forma de escribir el segmento de programa propuesto ser´ıa
y:=1
Si p(y)∨q(y) es verdadentonces
x:=x+ 1
Si p(y)∨q(y) es falsoentonces
x:=x+ 2
Como el valor dey es 1, ambos predicados se convierten en proposiciones verdaderas, por lo tanto
p(y)∨q(y) es verdad y la sentenciax:=x+ 1 se ejecuta una vez.
(b) Sean
p(y) :y <0
q(y) :y >1
r(y) :y= 3
Otra forma de escribir el segmento de programa propuesto ser´ıa:
y:= 2
Si [p(y)∧q(y)]∨r(y) es verdadentonces
x:=x+ 1
Si [p(y)∧q(y)]∨r(y) es falsoentonces
Pues bien, para que [p(y)∧q(y)]∨r(y) sea una proposici´on verdadera, bastar´a con que lo sea una de las dos. Como el valor de y es 2, r(y) ser´a una proposici´on falsa, de aqu´ı que tenga que ser verdad la conjunci´on p(y)∧q(y) para lo cual lo tendr´an que serlo ambas, lo cual es imposible ya que cuandop(y) sea verdad,q(y) ser´a falsa y viceversa. Consecuentemente, la sentenciax:=x+ 1 no se ejecuta ninguna vez.
(c) Seap(y) :y <3. Entonces, el segmento de programa propuesto ser´a
y:= 1
Hacer mientrasp(y) sea verdad
Comienzo
x:=x+ 1
y:=y+ 1
Fin
El predicadop(y) ser´a una proposici´on verdadera para aquellos valores deyque sean estrictamente menores que 3 y dado que el valor inicial de yes 1 y aumenta en una unidad (y:=y+ 1) cada vez que se ejecutan las sentencias entrecomienzoyfin, la sentenciax:=x+ 1 se ejecutar´a dos veces. (d) Sean
p(y) :y >0
q(y) :y <3
r(y) :y= 3
Utilizando notaci´on l´ogica, el segmento de programa propuesto se escribir´a:
y:= 1
Hacer mientras[p(y)∧q(y)]∨r(y) sea verdad
Comienzo
x:=x+ 1
y:=y+ 1
Fin
Pues bien, los valores dey que hacen del predicado [p(y)∧q(y)]∨r(y) una proposici´on verdadera ser´an aquellos que conviertan en proposiciones verdaderas, al menos, a uno de los dos predicados, [p(y)∧q(y)] ´or(x).
Los valores de la variabley que hacen dep(y)∧q(y) una proposici´on verdadera son aquellos que hacen proposiciones verdaderas a los dos predicadosp(y) yq(y), es deciry >0 ey <3, o lo que es igual y= 1 ´oy= 2.
Para que el predicador(y) sea una proposici´on verdadera, la variabley ha de valer 3.
Consecuentemente, [p(y)∧q(y)]∨r(y) es verdad para
y= 1∨y= 2∨y= 3
Dado que el valor inicial deyes 1 y aumenta en una unidad cada vez que se ejecutacomienzo...fin, la sentenciax:=x+ 1 se ejecutar´a tres veces.
(e) Sean
p(y) :y >0
q(y) :y <4
r(y) :y <2
y:= 1
Hacer mientrasp(y)∧q(y) sea verdad
Comienzo
Sir(y) es verdadentonces
y:=y+ 1
Si¬r(y) es verdadentonces
y:=y+ 2
x:=x+ 1
Fin
El primer y el segundo condicional entre comienzo y fin se ejecutar´an para los valores de la variable y que hagan de los predicadosp(y)∧q(y)∧r(y) y p(y)∧q(y)∧ ¬r(y), respectivamente, proposiciones verdaderas. Pues bien,
p(y)∧q(y)∧r(y) : (y >0)∧(y <4)∧(y <2)
es decir,
p(y)∧q(y)∧r(y) :y= 1
y
p(y)∧q(y)∧ ¬r(y) : (y >0)∧(y <4)∧(y>2)
o sea,
p(y)∧q(y)∧ ¬r(y) : (y= 2)∨(y= 3)
Como el valor inicial esy= 1, se ejecutar´a el primer condicional y el valor deyser´a 2. La segunda vez se ejecutar´a el segundo condicional, la sentenciax:=x+ 1 y la variabley toma el valor 4 que ya no verifica la condici´on inicial, con lo que el programa termina.
Consecuentemente, la sentenciax:=x+ 1 se ejecuta una vez.
Ejemplo 2.8 ¿Cu´antas veces se imprime el valor dexen el siguiente programa?
x:= 10
y:= 1
Hacer mientrasy67
Comienzo
z:= 1
Hacer mientrasz6y+ 3
Comienzo
Si[(x >8) ´o ((y >5)y (z <10))]entoncesimprimirx z:=z+ 1
Fin
x:=x−1
y:=y+ 1
Fin
Soluci´on
Sean
q(z, y) :z6y+ 3
r(x) :x >8
s(y) :y >5
t(z) :z <10
los predicados cuyas variables sonx, y, zperteneciendo las tres al universo de los enteros positivos.
Utilizando estos predicados, el programa podr´a escribirse en la forma:
x:= 10
y:= 1
Hacer mientrasp(y) sea verdad
Comienzo
z:= 1
Hacer mientrasq(z, y) sea verdad
Comienzo
Si[r(x)∨(s(y)∧t(z))] es verdadentoncesimprimirx z:=z+ 1
Fin
x:=x−1
y:=y+ 1
Fin
La variablexse imprimir´a para los valores de x, y, zque hagan que el predicado
[p(y)∧q(z, y)]∧[r(x)∨(s(y)∧t(z))]
sea una proposici´on verdadera. Aplicando la distributividad de∧respecto de∨, obtendremos
[p(y)∧q(z, y)∧r(x)]∨[p(y)∧q(z, y)∧s(y)∧t(z)]
que ser´a una proposici´on verdadera para los valores de las variables que hagan verdadera, al menos, a una de las dos. Pues bien,
p(y)∧q(z, y)∧r(x) ser´a verdad ´unicamente para aquellos valores de x, y, z que hagan de los tres predicados, tres proposiciones verdaderas.
Si observamos los valores iniciales de las tres variables, p(y) ser´a verdad siete veces y por cada una de ellas,q(z, y) ser´a verdady+ 3 veces. Sin embargo, la variablexs´olo puede tomar dos valores. En efecto, como su valor inicial es 10, tendremos
x:= 10 ∧r(x) :x >8
de donde resulta que
r(x) : (x= 9)∨(x= 10)
Por lo tanto,
p(y)∧q(z, y)∧r(x)⇐⇒[p(y)∧q(z, y)∧(x= 10)]∨[p(y)∧q(z, y)∧(x= 9)]
Ahora bien, parax= 10 y parax= 9, la variabley toma los valores 1 y 2, respectivamente, luego
p(y)∧q(z, y)∧r(x)⇐⇒[p(1)∧q(z,1)∧(x= 10)]∨[p(2)∧q(z,2)∧(x= 9)]
Como p(1) : 167 y p(2) : 267 son verdad siempre, las dos proposiciones entre corchetes ser´an verdad cuando lo sean q(z,1) yq(z,2), respectivamente. Resumiendo
Por otra parte, p(y)∧q(z, y)∧s(y)∧t(z) al igual que la anterior, ser´a verdad ´unicamente para los valores de las variables que hagan de los cuatro predicados, cuatro proposiciones verdaderas. Ahora bien, observemos lo siguiente:
p(y)∧s(y)⇐⇒(y67)∧(y >5)⇐⇒(y= 6)∨(y= 7)
luego,
p(y)∧q(z, y)∧s(y)∧t(z) ⇐⇒ [(y= 6)∧q(z, y)∧t(z)]∨[(y= 7)∧q(z, y)∧t(z)]
⇐⇒ [q(z,6)∧t(z)]∨[q(z,7)∧t(z)]
⇐⇒ [q(z,6)∧(z <10)]∨[q(z,7)∧(z <10)]
⇐⇒ [(z69)∧(z <10)]∨[(z610)∧(z <10)]
⇐⇒ (z69)∨(z69)
En definitiva,
[p(y)∧q(z, y)∧r(x)]∨[p(y)∧q(z, y)∧s(y)∧t(z)] =⇒(z64)∨(z65)∨(z69)∨(z69)
Luegoxse imprime un total deveintisiete veces.
2.2
Cuantificadores
Otra forma deligar las variables individuales es cuantificarlas.
2.2.1
Cuantificador Universal
Sip(x)es un predicado cuya variable es x, entonces la afirmaci´on
“para todox, p(x)”
es una proposici´on en la cual se dice que la variablexest´a universalmente cuantificada.
La frase “para todo” se simboliza con∀, s´ımbolo que recibe el nombre de“cuantificador universal”.
As´ı pues, “para todox, p(x)” se escribe “∀x, p(x)”. El s´ımbolo ∀xpuede interpretarse tambi´en como “para cadax”, “para cualquierx” y “paraxarbitrario”.
Ejemplo 2.9 En el universo del discurso de los n´umeros enteros, la proposici´on “todo n´umero es estrictamente menor que el siguiente” puede escribirse en la forma∀x, x < x+ 1.
Ejemplo 2.10 Seanp(x, y, z) :xy=z, q(x, y) :x=y yr(x, y) :x > yy sea el universo del discurso
U, el conjunto de los n´umeros enteros. Transcribir las siguientes proposiciones a notaci´on l´ogica.
(a) Siy= 1, entoncesxy=xpara cualquier x.
(b) Sixy6= 0, entoncesx6= 0 ey6= 0.
(c) Sixy= 0, entoncesx= 0 ´oy= 0.
(d) 3x= 6 si, y s´olo six= 2.
(e) No existe soluci´on parax2=y, a menos quey
>0.
(g) x6y ey6xes una condici´on suficiente para quey=x.
(h) Six < yyz <0, entoncesxz > yz.
(i) No es cierto quex=y yx < y.
(j) Six < y, entonces para alg´unz tal quez <0,xz > yz.
(k) Existe unxtal que para caday yz, esxy=xz.
Soluci´on
(a) Siy= 1, entoncesxy=xpara cualquier x.
∀y[q(y,1)−→ ∀x, p(x, y, x)]
(b) Sixy6= 0, entoncesx6= 0 ey6= 0.
∀x,∀y[¬p(x, y,0)−→ ¬q(x,0)∧ ¬q(0, y)]
(c) Sixy= 0, entoncesx= 0 ´oy= 0.
∀x,∀y[p(x, y,0)−→q(x,0)∨q(0, y)]
(d) 3x= 6 si, y s´olo six= 2.
∀x[p(3, x,6)←→q(x,2)]
(e) No existe soluci´on parax2=y, a menos quey
>0.
∀y[r(0, y)−→ ¬∃x: p(x, x, y)]
(f) x < z es una condici´on necesaria para quex < y ey < z.
∀x,∀y,∀z[r(y, x)∧r(z, y)−→r(z, x)]
(g) x6y ey6xes una condici´on suficiente para quey=x.
∀x,∀y[¬r(x, y)∧ ¬r(y, x)−→q(x, y)]
(h) Six < yyz <0, entoncesxz > yz.
∀x,∀y,∀z[r(y, x)∧r(0, z)−→ ∀u,∀v(p(x, z, u)∧p(y, z, v))−→r(u, v)]
(i) No es cierto quex=y yx < y.
∀x,∀y[¬q(x, y)∧r(y, x)]
(j) Six < y, entonces para alg´unz tal quez <0,xz > yz.
∀x,∀y[r(y, x)−→ ∃z: (r(0, z)∧ ∀u,∀v(p(x, z, u)∧p(y, z, v)−→r(u, v)))]
(k) Existe unxtal que para caday yz, esxy=xz.
∃x: [∀y,∀z,∀u,∀v(p(x, y, u)∧p(x, z, v)−→q(u, v))]
2.2.2
Valor de Verdad del Cuantificador Universal
Seap(x)un predicado cuya variable xtoma valores en un universo del discurso U.
∀x, p(x)es verdad si el predicado p(x)es una proposici´on verdadera para todos los valores dex
en el universo U.
∀x, p(x) es falsa si hay, al menos, un valor de x en U para el cual el predicado p(x) sea una proposici´on falsa.
Ejemplo 2.11 Estudiar en el universo de los n´umeros enteros, el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
(a) ∀x, x < x+ 1
(b) ∀x, x= 5
Soluci´on
(a) ∀x, x < x+ 1
El predicadop(x) :x < x+ 1 es una proposici´on verdadera si sustituimos xpor cualquier n´umero entero, luego la proposici´on cuantificada∀x, x < x+ 1 es verdad.
(b) ∀x, x= 5
Esta proposici´on dice que “todos los n´umeros enteros son iguales a 5”. Pues bien, el predicado
p(x) : x= 5 es una proposici´on falsa, por ejemplo, parax= 1, luego la proposici´on cuantificada
∀x, x= 5 es falsa.
2.2.3
Cuantificador Existencial
Sip(x)es un predicado cuya variable es x, entonces la afirmaci´on
“existe unxtal quep(x)”
es una proposici´on en la que diremos que la variable xest´a existencialmente cuantificada.
La frase “existe [al menos]” se simboliza con∃, s´ımbolo que recibe el nombre decuantificador existencial.
Por tanto, “existe unx, tal quep(x)” se escribe “∃x: p(x)” y puede leerse tambi´en como “para alg´un
x, p(x)” o “existe, al menos, unx, tal quep(x)”.
2.2.4
Valor de Verdad del Cuantificador Existencial
Seap(x)un predicado de variable xque toma valores en un universo del discursoU.
∃x:p(x)es verdadera, si el predicado p(x)es una proposici´on verdadera para, al menos, uno de los valores de xenU.
∃x:p(x)es falsa, si el predicadop(x)es una proposici´on falsa para todos los valores dexenU.
Nota 2.2 Un cuadro resumen de los valores de verdad de los cuantificadores podr´ıa ser el siguiente:
Verdad Falso
∀x, p(x) p(x) es verdad para cadax p(x) es falsa para, al menos, unx
Ejemplo 2.12 Estudiar en el conjunto de los n´umeros enteros, el valor de verdad de las afirmaciones siguientes:
(a) ∃x:x < x+ 1
(b) ∃x:x= 5
(c) ∃x:x=x+ 1
Soluci´on
(a) ∃x:x < x+ 1
La proposici´on es “existe, al menos, un entero que es menor que el siguiente”.
El predicadop(x) :x < x+ 1 es una proposici´on verdadera para cualquier enterox, por tanto, la proposici´on cuantificada es verdad.
(b) ∃x:x= 5
La traducci´on de la proposici´on al lenguaje ordinario es “existe, al menos, un entero igual a 5”.
El predicado p(x) : x = 5 es una proposici´on verdadera cuando x toma el valor 5, luego la proposici´on cuantificada es verdad.
(c) ∃x:x=x+ 1
La proposici´on es “existe, al menos, un n´umero entero que es igual al siguiente”
El predicado p(x) :x=x+ 1 es una proposici´on falsa para cualquier n´umero entero x, por tanto
la proposici´on cuantificada es falsa.
2.2.5
Alcance de un Cuantificador
En una expresi´on∀x[p(x). . .] o∃x: [p(x). . .], la porci´on de la expresi´on a la que se aplica ∀x´o∃x
se llama alcance del cuantificador y se indicar´a entre corchetes a menos que sea evidente.
Ejemplo 2.13 En cada una de las expresiones simb´olicas siguientes, describir el alcance de cada cuantificador y decir que variables est´an ligadas y cu´ales est´an libres.
(a) ∀x[p(x)∧ ∃y: (t(x, y)∧r(x))]
(b) ¬∃x: [p(x)∧ ∃y: (t(x, y)∨r(z))]
(c) ¬∃x: [p(x)∧ ∃y: (t(x, y)∨r(y))]
Soluci´on
(a) El alcance de∀es toda la f´ormula. El alcance de∃es la f´ormula (t(x, y)∧r(x)). La variablexest´a ligada por el cuantificador∀y la y por el∃, luego no hay variables libres.
(b) El alcance de¬∃es el resto de la f´ormula y el alcance de∃est(x, y)∨r(z). La variablezest´a libre, peroxey est´an ligadas por el cuantificador ∃.
(c) Los alcances son los mismos que en (b). Lay enr(y) est´a libre, pero ent(x, y) est´a ligada.
(a) Para cadaxey, existe alg´unztal quex−y=z.
(b) Para cadaxey, existe alg´unztal quex−z=y.
(c) Existe unxtal que para todoy,y−x=y.
(d) Cuando el 0 se resta de cualquier entero, el resultado es el entero original.
(e) 3 restado de 5 da 2.
Soluci´on
(a) Para cadaxey, existe alg´unztal quex−y=z.
∀x[∀y(∃z:p(x, y, z))]
(b) Para cadaxey, existe alg´unztal quex−z=y.
∀x[∀y(∃z:p(x, z, y))]
(c) Existe unxtal que para todoy,y−x=y.
∃x: [∀y, p(y, x, y)]
(d) Cuando el 0 se resta de cualquier entero, el resultado es el entero original.
∀x, p(x,0, x)
(e) 3 restado de 5 da 2.
p(5,3,2)
Ejemplo 2.15 Seanp(x, y, z), q(x, y, z) y r(x, y) los predicados “x+y =z”, “x·y =z” y “x < y”, respectivamente.
Expresar en el universo de los n´umeros enteros no negativos las afirmaciones siguientes:
(a) Para cadaxey, existe unz tal quex+y=z.
(b) Ning´unxes menor que cero.
(c) Para todoxesx+ 0 =x.
(d) Para todox, x·y=ypara todoy.
(e) Existe unxtal quex·y=y para caday.
Soluci´on
(a) ∀x[∀y(∃z:p(x, y, z))]
(b) ∀x[¬r(x,0)] o bien,¬∃x:r(x,0)
(c) ∀x, p(x,0, x)
(d) ∀x[∀y, q(x, y, y)]
Ejemplo 2.16 Determinar cu´ales de las siguientes proposiciones cuantificadas son verdad si el universo es el conjunto de los n´umeros enteros.
(a) ∀x[∃y: (x·y= 0)]
(b) ∃y: [∀x(x·y= 1)]
(c) ∃y: [∀x(x·y=x)]
Soluci´on
(a) ∀x[∃y: (x·y= 0)]
“Dado cualquier n´umero entero, existe otro tal que el producto de ambos es cero”
La proposici´on
∃y:x·y= 0
es verdad para cualquier entero xya que bastar´ıa tomary= 0. Por lo tanto,
∀x[∃y: (x·y= 0)]
es una proposici´on verdadera.
(b) ∃y: [∀x(x·y= 1)]
“Puede encontrarse un n´umero entero tal que su producto por cualquier entero sea 1”
La proposici´on
∀x, x·y= 1
es falsa ya que bastar´ıa tomar x6= 1 para quex·y6= 1 cualquiera que sea ely que se elija. Por lo tanto, la proposici´on
∃y: [∀x(x·y= 1)]
es falsa.
(c) ∃y: [∀x(x·y=x)]
“Existe, al menos, un n´umero entero tal que al multiplicarlo por cualquier entero lo deja igual”.
La proposici´on
∀x, x·y=x
ser´a verdadera o falsa dependiendo del y que elijamos. En particular, si tomamos y = 1, la proposici´on∀x, x·y=xes verdad para todos los enteros. Consecuentemente,
∃y: [∀x(x·y=x)]
es una proposici´on verdadera.
Nota 2.3 Una afirmaci´on con variables cuantificadas se puede expresar mediante las proposiciones que se obtienen asignando valores a las variables de los predicados que ocurren en la afirmaci´on.
− Si el universo del discurso es finito esta relaci´on puede hacerse expl´ıcita. Por ejemplo, supongamos que el universo consiste en los enteros 1,2,3 y 4, entonces la proposici´on:
∀x, p(x)
equivale a la proposici´on
p(1)∧p(2)∧p(3)∧p(4)
y la proposici´on
∃x:p(x)
es equivalente a la
− Si el universo del discurso es infinito una proposici´on con cuantificadores no puede representarse siempre por un n´umero finito de conjunciones o disyunciones de proposiciones sin cuantificadores. Sin embargo, podemos extender el concepto y a veces es conveniente expresar una afirmaci´on universal o existencialmente cuantificada como una conjunci´on o disyunci´on infinita, respectiva-mente. Por ejemplo, consideremos como universo del discurso el conjunto de los n´umeros enteros no negativos y sea p(x) el predicado “x >4”. Entonces, la proposici´on,
∀x, p(x)
puede interpretarse como la conjunci´on infinita
p(0)∧p(1)∧p(2)∧p(3)∧p(4)∧ · · ·
la cual es falsa ya que, por ejemplo,p(0) es falsa.
Asimismo, la proposici´on
∃x:p(x)
puede interpretarse como la disyunci´on infinita
p(0)∨p(1)∨p(2)∨p(3)∨p(4)∨ · · ·
la cual es verdad, ya que al menos uno de los operandos, por ejemplop(5), es verdad.
Ejemplo 2.17 Sea el universo del discursoU ={0,1}. Encontrar conjunciones y disyunciones finitas de proposiciones que no usen cuantificadores y que sean equivalentes a las siguientes:
(a) ∀x, p(0, x)
(b) ∀x[∀y, p(x, y)]
(c) ∀x[∃y:p(x, y)]
(d) ∃x: [∀y, p(x, y)]
(e) ∃y[∃x:p(x, y)]
Soluci´on
(a) ∀x, p(0, x)
La forma equivalente pedida es
p(0,0)∧p(0,1)
(b) La proposici´on cuantificada∀x[∀y(p(x, y))] puede expandirse en la forma:
[∀y, p(0, y)]∧[∀y, p(1, y)]
la cual puede interpretarse como
[p(0,0)∧p(0,1)]∧[p(1,0)∧p(1,1)]
que por la asociatividad de∧equivale a
p(0,0)∧p(0,1)∧p(1,0)∧p(1,1)
(c) Expandimos la proposici´on∀x[∃y:p(x, y)] a
la cual equivale a
[p(0,0)∨p(0,1)[∧[p(1,0)∨p(1,1)]
y aplicando la distributividad de ∧respecto de∨,
[(p(0,0)∨p(0,1))∧p(1,0)]∨[(p(0,0)∨p(0,1))∧p(1,1)]
es decir,
(p(0,0)∧p(1,0))∨(p(0,1)∧p(1,0))∨(p(0,0)∧p(1,1))∨(p(0,1)∧p(1,1))
(d) ∃x: [∀y, p(x, y)] se expande en la forma:
[∀y, p(0, y)]∨[∀y, p(1, y)]
la cual equivale a la proposici´on
[p(0,0)∧p(0,1)]∨[p(1,0)∧p(1,1)]
y por la distributividad de ∨respecto de∧,
[(p(0,0)∧p(0,1))∨p(1,0)]∧[(p(0,0)∧p(0,1))∨p(1,1)]
es decir,
(p(0,0)∨p(0,1))∧(p(0,1)∨p(1,0))∧(p(0,0)∨p(1,1))∧(p(0,1)∨p(1,1))
(e) La proposici´on con cuantificadores∃y[∃x:p(x, y)] puede expandirse a:
[∃x:p(x,0)]∨[∃x:p(x,1)]
que es equivalente a la proposici´on,
p(0,0)∨p(1,0)∨p(0,1)∨p(1,1)
En el ejemplo siguiente veremos como el orden en que se ligan las variables es vital y puede afectar profundamente el significado de una afirmaci´on.
Ejemplo 2.18 Si el universo del discurso es el conjunto de las personas casadas, evaluar las afirmaciones siguientes:
(a) ∀x[∃y: (xest´a casada cony)]
(b) ∃y: [∀x(xest´a casada cony)]
Si el universo es el conjunto de los n´umeros enteros, evaluar:
(c) ∀x[∃y: (x+y= 0)]
(d) ∃y: [∀x(x+y= 0)]
Soluci´on
(a) ∀x[∃y: (xest´a casada cony)]
La transcripci´on de la proposici´on es “para cada persona que elijamos en el universo del discurso, existe otra que est´a casada con ella”.
Pues bien, dada una persona cualquiera x, la proposici´on
∃y:xest´a casada cony
es verdadera, por lo tanto,
∀x[∃y: (xest´a casada cony)]
es verdad.
(b) ∃y: [∀x(xest´a casada cony)]
La transcripci´on es “Existe una personay del universo del discurso tal que todas las dem´as est´an casadas con ella”.
Pues bien, la proposici´on
∀x(xest´a casada cony)
es falsa para cualquiery que tomemos en el universo, por tanto,
∃y: [∀x(xest´a casada cony)]
es una proposici´on falsa.
(c) ∀x[∃y: (x+y= 0)]
“Dado cualquier n´umero entero, existe otro tal que la suma de ambos es cero”.
Pues bien, dado cualquier n´umero enterox, la proposici´on
∃y:x+y= 0
es verdad ya que siempre puede encontrarse otro enteroyque cumpla la ecuaci´onx+y= 0 (bastar´ıa tomary=−x). Por lo tanto la proposici´on
∀x[∃y: (x+y= 0)]
es verdad.
(d) ∃y: [∀x(x+y= 0)]
“Existe, al menos, un n´umero enteroytal que su suma con cualquier otro n´umero entero es cero”.
La proposici´on
∀x, x+y= 0
es falsa para todos los y del universo del discurso. En efecto, bastar´ıa tomar un x6= 0 y x6=−y
para quex+y6= 0. Por lo tanto,
∃y: [∀x(x+y= 0)]
es una proposici´on falsa.
Obs´ervese que las dos parejas de proposiciones se diferencian ´unicamente en el orden de los cuantificadores universal y existencial y, sin embargo, sus valores de verdad son distintos.
Nota 2.4 Cuando se asignan valores a las variables de un predicado para transformarla en una proposici´on, los valores de verdad de ´esta pueden cambiar dependiendo del universo del discurso que se elija. Por ejemplo, la proposici´on “∀x, xes negativo” ser´a verdad si el universo del discurso son los n´umeros enteros negativos y falsa si son los enteros positivos. En el ejemplo siguiente buscamos universos
que hagan que determinadas proposiciones sean verdaderas.
(a) ∀x, x >0
(b) ∀x, x= 3
(c) ∀x[∃y: (x+y= 248)]
(d) ∃y: [∀(x, x+y <0)]
Soluci´on
(a) La proposici´on ∀x, x >0 significa que xsea mayor que cero, cualquiera que seax, luegoU es el conjunto de los enteros positivos.
(b) ∀x, x= 3, significa que cualquiera que sea x, valga 3, luego U es el subconjunto de los enteros formado ´unicamente por el 3.
(c) ∀x[∃y(:x+y= 248)]. El universo del discurso que hace que esta proposici´on sea verdad es el conjunto de los enteros, ya que dado cualquier entero x, bastar´ıa tomar y = 248−xpara que la proposici´on∃y:x+y= 248 fuese verdad.
(d) ∃y: [∀x(x+y <0)]. El universo que hace verdadera esta proposici´on es el de los enteros negativos, ya que fijando uny en ´el la proposici´on∀x(x+y <0) es verdad.
2.3
C´
alculo de Predicados
La versi´on de la l´ogica que trata con proposiciones cuantificadas se llama l´ogica de predicados. La introducci´on de cuantificadores no s´olo ampl´ıa la fuerza expresiva de las proposiciones que se pueden construir, sino que tambi´en permite elaborar principios l´ogicos que explican el razonamiento seguido en casi todas las demostraciones matem´aticas.
Una transcripci´on cuidadosa de los desarrollos matem´aticos incluyen, a menudo, cuantificadores, predi-cados y operadores l´ogicos.
Ejemplo 2.20 Consideremos como universo del discurso el conjunto de los n´umeros enteros y sean
p(x) :xes no negativo.
q(x) :xes par.
r(x) :xes impar.
s(x) :xes primo.
Expresar en notaci´on l´ogica las siguientes afirmaciones:
(a) Existe un entero par.
(b) Todo n´umero entero es par o impar.
(c) Todos los n´umeros primos son no negativos.
(d) El ´unico n´umero primo par es el 2.
(e) No todos los enteros son pares.
(f) No todos los primos son impares.
Soluci´on
(a) Existe un entero par.
∃x:q(x)
(b) Todo n´umero entero es par o impar.
∀x[q(x)∨r(x)]
(c) Todos los n´umeros primos son no negativos.
∀x[s(x)−→p(x)]
(d) El ´unico n´umero primo par es el 2.
∀x[s(x)∧q(x)−→x= 2]
(e) No todos los enteros son pares.
¬[∀x, q(x)]
(f) No todos los primos son impares.
¬∀x,[s(x)−→r(x)]
(g) Si un entero no es impar, entonces es par.
∀x[¬r(x)−→q(x)]
Obs´ervese que en el ejemplo anterior, los cuantificadores est´an al comienzo de cada afirmaci´on. Sin embargo, no siempre es as´ı, los cuantificadores pueden ir en cualquier parte y su situaci´on es importante.
Ejemplo 2.21 Consideremos en el universo de los n´umeros enteros el predicado p(x, y, z) :xy =z. Transcribir a notaci´on l´ogica las afirmaciones siguientes:
(a) Six= 0, entoncesxy=xpara todos los valores dey.
(b) Sixy=xpara caday, entonces x= 0.
(c) Sixy6=xpara alg´unx, entoncesx6= 0.
Soluci´on
Seap(x, y, z) : xy=z, entonces
(a) Six= 0, entoncesxy=xpara todos los valores dey.
∀x[x= 0−→ ∀y, p(x, y, x)]
(b) Sixy=xpara caday, entonces x= 0.
∀x[∀y(p(x, y, x)−→x= 0)]
(c) Sixy6=xpara alg´unx, entoncesx6= 0.
La proposici´on (b) afirma que sixy=xpara todos los valores dey, entoncesxvale cero. Si en su lugar escribimos
∀x[∀y(p(x, y, x)−→x= 0)]
la transcripci´on no es correcta, ya que en tal caso estar´ıamos afirmando que si xy=x, entonces x= 0 para cadaxy para caday, lo cual es falso ya que, por ejemplo, tomandox=y= 1, tendremos quexy=x
y, sin embargo,xno es cero. Por tanto, el lugar en el que se coloca el cuantificador es fundamental.
Los ejemplos anteriores ilustran la gran variedad de formas en las que pueden hacerse afirmaciones que contengan predicados, cuantificadores y operadores l´ogicos.
Nota 2.5 El valor de verdad de una proposici´on compuesta depende, generalmente, del conjunto universal donde las variables ligadas est´an cuantificadas. Sin embargo, existen ejemplos importantes donde el valor de verdad no depende ni del universo del discurso ni de los valores que las variables tomen en el mismo.
2.3.1
Implicaci´
on L´
ogica
SeanA1y A2 dos afirmaciones que contienen predicados. Diremos queA1implica l´ogicamenteA2 si
para cualquier universo del discurso que elijamos y para cualquier valor de las variables en el mismo,
A2 es verdad cuando A1 lo sea.
2.3.2
Equivalencia L´
ogica
Sean A1 y A2 dos afirmaciones que contienen predicados. Diremos que A1 equivale l´ogicamente a
A2 si para cualquier universo del discurso que elijamos y para cualquier valor de las variables en el
mismo, A1 y A2 tienen los mismos valores de verdad.
Obs´ervese que las definiciones son an´alogas a las dadas para la implicaci´on y equivalencia l´ogica de proposiciones. Ahora se exige que las condiciones se verifiquen para cualquier universo del discurso y cualquier valor de las variables en el mismo.
2.3.3
Leyes de De Morgan Generalizadas
Constituyen una clase importante de equivalencias l´ogicas y son las siguientes:
1. ¬∀x, p(x)⇐⇒ ∃x:¬p(x)
2. ¬∃x:p(x)⇐⇒ ∀x,¬p(x)
3. ∀x, p(x)⇐⇒ ¬∃x:¬p(x)
4. ∃x:p(x)⇐⇒ ¬∀x,¬p(x)
Demostraci´on
SeaU un universo del discurso arbitrario,p(x) un predicado cualquiera, yxcualquiera deU.
Veamos que en todos los casos las dos proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
1. ¬∀x, p(x)⇐⇒ ∃x:¬p(x)
Si ¬∀x, p(x) es verdad, entonces ∀x, p(x) es falso, luego existe, al menos, un xenU para el cual
Si ¬∀x, p(x) es falso, entonces∀x, p(x) es verdad, luego p(x) es verdad para cualquier valor de xy ¬p(x) falso. Por lo tanto, ∃x:¬p(x) es falso.
2. ¬∃x:p(x)⇐⇒ ∀x,¬p(x)
Si ¬∃x:p(x) es verdad, entonces∃x:p(x) es falso, luegop(x) es falso para todos los valores dex, es decir¬p(x) es verdad para cualquierxdeU y, consecuentemente, ∀x,¬p(x) es verdad.
Si ¬∃x:p(x) es falso, entonces∃x:p(x) es verdad, luego p(x) es verdad para alg´un valor dex, de aqu´ı que exista unxpara el cual¬p(x) es falso y, por lo tanto,∀x,¬p(x) es falso.
3. ∀x, p(x)⇐⇒ ¬∃x:¬p(x)
Si∀x, p(x) es verdad, entoncesp(x) es verdad para cualquierxo lo que es igual¬p(x) es falso para todo xdeU, es decir∃x:¬p(x) es falso y, por tanto, ¬∃x:¬p(x) es verdad.
Si ∀x, p(x) es falso, entonces hay, al menos, un valor dexpara el cualp(x) es falso o para el que ¬p(x) es verdad, es decir∃x:¬p(x) es verdad y, consecuentemente,¬∃x:¬p(x) es falso.
4. ∃x:p(x)⇐⇒ ¬∀x,¬p(x)
Si∃x:p(x) es verdad, entoncesp(x) es verdad para alg´un valor dexenU, luego existe unxenU para el cual ¬p(x) es falso, es decir,∀x,¬p(x) es falso y, consecuentemente,¬∀x,¬p(x) es verdad.
Si ∃x : p(x) es falso, entonces p(x) es falsa para todos los valores de x en U, es decir ¬p(x) es verdad, luego ∀x,¬p(x) es verdad y, por lo tanto,¬∀x¬p(x) es falso.
Tenemos, pues, que cada una de las proposiciones anteriores son verdaderas independientemente del conjunto universal que elijamos y las variables de predicado que utilicemos, por lo tanto de acuerdo con
la definici´on, son l´ogicamente equivalentes.
Nota 2.6 Obs´ervese que seg´un lo que acabamos de probar, la equivalencia 1. es cierta para cualquier predicado luego ser´a cierto para¬p(x). Entonces,
¬∀x,¬p(x)⇐⇒ ∃x:¬¬p(x)
y si sustituimos¬¬p(x) porp(x), resulta
¬∀x,¬p(x)⇐⇒ ∃x:p(x)
que es la cuarta ley de De Morgan, de la cual, negando ambos miembros, y en virtud de la equivalencia l´ogica entre una proposici´on y su contrarrec´ıproca, obtenemos,
¬¬∀x,¬p(x)⇐⇒ ¬∃x:p(x)
es decir,
∀x,¬p(x)⇐⇒ ¬∃x:p(x)
que es la segunda ley de De Morgan. Si ahora se la aplicamos a¬p(x), obtendremos
∀x,¬¬p(x)⇐⇒ ¬∃x:¬p(x)
o sea,
∀x, p(x)⇐⇒ ¬∃x:¬p(x)
que es la tercera ley de De Morgan.
Nota 2.7 Las leyes de De Morgan generalizadas pueden utilizarse repetidamente para negar cualquier proposici´on con cuantificadores.
Por ejemplo, podemos utilizarlas para negar la proposici´on
En efecto,
¬∃w: [∀x(∃y : (∃z:p(w, x, y, z)))] ⇐⇒ ∀w[¬∀x(∃y: (∃z:p(w, x, y, z)))] {Segunda ley}
⇐⇒ ∀w[∃x: (¬∃y: (∃z:p(w, x, y, z)] {Primera ley}
⇐⇒ ∀w[∃x: (∀y(¬∃z:p(w, x, y, z)))] {Segunda ley}
⇐⇒ ∀w[∃x: (∀y(∀z,¬p(w, x, y, z)))] {Segunda ley}
2.3.4
Regla general
La negaci´on de una proposici´on con cuantif icadores es l´ogicamente equivalente a la proposici´on que se obtiene sustituyendo cada∀ por∃, cada ∃por∀ y reemplazando el predicado por su negaci´on.
Ejemplo 2.22 Construir la negaci´on de la proposici´on ∀x[∀y(∃z:x < z < y)]
Soluci´on
De acuerdo con laregla general, la negaci´on de la proposici´on anterior es:
∃x: [∃y: (∀z,¬(x < z < y))]
si ahora aplicamos las leyes de De Morgan del c´alculo proposicional a la proposici´on ¬(x < z < y), tendremos
¬(x < z < y) ⇐⇒ ¬[(x < z)∧(z < y)]
⇐⇒ ¬(x < z)∨ ¬(z < y)
⇐⇒ x>z∨z>y
Por tanto, la negaci´on de∀x[∀y(∃z: (x < z < y))] es l´ogicamente equivalente a
∃x: [∃y: (∀z, x>z∨z>y)]
Ejemplo 2.23 Negar la afirmaci´on “todas las empresas fabrican alg´un componente de todos los orde-nadores”.
Soluci´on
Sean los predicados
p(x, y): la empresaxproduce el componentey
y
q(y, z): y es un componente del ordenadorz
La afirmaci´on propuesta escrita en lenguaje simb´olico ser´ıa
∀x[∀z(∃y: (p(x, y)∧p(y, z)))]
y su negaci´on, de acuerdo con laregla general ser´a:
la cual, a su vez, es l´ogicamente equivalente a
∃x: [∃z: (∀y:¬p(x, y)∨ ¬q(y, z))]
que podemos escribir en forma de condicional sin m´as que utilizar la implicaci´on l´ogica conocida como implicaci´on,
∃x: [∃z: (∀y:p(x, y)−→ ¬q(y, z))]
cuya interpretaci´on es
“pueden encontrarse una empresa y un ordenador tales que si un componente cualquiera est´a fabricado por la empresa, entonces no pertenece al ordenador”.
Obs´ervese que tambi´en pod´ıamos haber escrito
∃x: [∃z: (∀y:q(y, z)−→ ¬p(x, y))]
cuya interpretaci´on es
“pueden encontrarse una empresa y un ordenador tales que si un componente cualquiera pertenece al ordenador, entonces no est´a fabricado por la empresa”.
Obs´ervese tambi´en que otra forma equivalente de la negaci´on es
∃x: [∃z: (¬∃y:p(x, y)∧q(y, z))]
cuya interpretaci´on es
“existen una empresa y un ordenador tales que la empresa no fabrica ning´un componente del ordenador”
o tambi´en
“existen una empresa y un ordenador tales que el ordenador no tiene ning´un componente fabricado por la empresa.”
Ahora estudiaremos de que forma afectan a los cuantificadores lo conectores l´ogicos conjunci´on y disyunci´on.
2.3.5
Proposiciones al Alcance de un Cuantificador
Si una proposici´on est´a dentro del alcance de un cuantificador mediante una conjunci´on o una disyunci´on, entonces puede situarse fuera del alcance del mismo.
(a) ∀x[p(x)∨q]⇐⇒[∀x, p(x)]∨q
(b) ∃x: [p(x)∨q]⇐⇒[∃x:p(x)]∨q
(c) ∃x: [p(x)∧q]⇐⇒[∃x:p(x)]∧q
(d) ∀x[p(x)∧q]⇐⇒[∀x, p(x)]∧q
Demostraci´on
(a) ∀x[p(x)∨q]⇐⇒[∀x, p(x)]∨q.
Veamos que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
Si ∀x[p(x)∨q] es verdad, entoncesp(x)∨qes verdad para todos los valores dexenU luego una de las dos proposiciones ha ser verdad para todox.
− Sip(x) es verdad para todos los valores dexenU, entonces∀x, p(x) es verdad y, consecuente-mente [∀x, p(x)]∨qes verdad.
− Si qes verdad, entonces [∀x, p(x)]∨qes verdad.
luego en ambos casos, [∀x, p(x)]∨q es verdad.
Si ∀x[p(x)∨q] es falso, entonces existe al menos un xpara el cual p(x)∨q es falso de aqu´ı que
p(x) sea falso para ese x y q tambi´en, luego [∀x, p(x)] es falso, q es falso y, consecuentemente, [∀x, p(x)]∨q es falso.
(b) ∃x: [p(x)∨q]⇐⇒[∃x:p(x)]∨q.
Veamos si ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
Si ∃x:p(x)∨q es verdad, entonces existe unx, para el cual p(x)∨qes verdad, luego una de las dos proposiciones ha de ser verdad.
− Sip(x) es verdad para alg´unx, entonces∃x:p(x) es verdad y, consecuentemente, [∃x:p(x)]∨q
tambi´en lo es.
− Si qes verdad, entonces [∃x:p(x)]∨qtambi´en lo es.
es decir, en cualquier caso [∃x:p(x)]∨qes verdad.
Si ∃x: [p(x)∨q] es falso, entoncesp(x)∨qes falso para todos los valores dex, luegop(x) es falso para cualquierxdeU yqtambi´en, es decir∃x:p(x) es falso yqfalso, luego [∃x:p(x)]∨qes falso.
(c) ∃x: [p(x)∧q]⇐⇒[∃x:p(x)]∧q.
Si∃x: [p(x)∧q] es verdad, entoncesp(x)∧qes verdad para alg´un valor de la variablex, luegop(x) yqhan de ser verdad para estexde aqu´ı que∃x:p(x) sea verdad yqtambi´en y, consecuentemente, [∃x:p(x)]∧qes verdad.
Si [∃x:p(x)∧q] es falso, entoncesp(x)∧qes falso para todos los valores de la variablex, luegop(x) yq han de ser, ambos, falsos para todos esos valores, de aqu´ı que∃x:p(x) sea falso yqtambi´en. Consecuentemente, [∃x:p(x)]∧qes falso.
Tambi´en podemos probarlo de otra forma. En efecto, en el apartado (a) hemos visto que
∀x[p(x)∨q]⇐⇒[∀x, p(x)]∨q
de aqu´ı que sustituyendo los predicados por sus negaciones, tengamos
∀x[¬p(x)∨ ¬q]⇐⇒[∀x,¬p(x)]∨ ¬q
y negando ambos miembros,
¬∀x[¬p(x)∨ ¬q]⇐⇒ ¬[(∀x,¬(p(x))∨ ¬q]
y aplicando las leyes de De Morgan en el segundo miembro
¬∀x[¬p(x)∨ ¬q]⇐⇒[¬∀x,¬p(x)]∧q
y por las leyes de De Morgan generalizadas,
∃x:¬[¬(p(x)∨ ¬q]⇐⇒[∃x:¬¬p(x)]∧q
es decir,
∃x: [¬¬p(x)∧ ¬¬q]⇐⇒[∃x:p(x)]∧q
y, consecuentemente,
(d) ∀x[p(x)∧q]⇐⇒[∀x, p(x)]∧q.
Si ∀x(p(x)∧q) es verdad, entonces p(x)∧q es verdad para todos los valores de xen U de aqu´ı quep(x) yqsean, ambos, verdad para cualquierx. Por lo tanto,∀x, p(x) es verdad yqtambi´en y, consecuentemente, [∀x, p(x)]∧qes verdad.
Si ∀x[p(x)∧q] es falso, entonces hay alg´un valor de la variable xpara el cualp(x)∧q es falso, de aqu´ı que una de las dos proposiciones sea falsa.
− Sip(x) es falsa para alg´un valor de la variablex, entonces∀x, p(x) es falsa y, consecuentemente, [∀x, p(x)]∧q ser´a falsa, independientemente del valor de verdad deq.
− Si qes falsa, entonces [∀x, p(x)]∧q es falsa.
Al igual que el apartado anterior, lo probaremos de otra forma. En efecto, en el apartado (b) vimos que
∃x: [p(x)∨q]⇐⇒[∃x:p(x)]∨q
luego si sustituimos cada proposici´on por su negaci´on, tendremos
∃x: [¬p(x)∨ ¬q]⇐⇒[∃x:¬p(x)]∨ ¬q
y negando ambos miembros,
¬∃x: [¬p(x)∨ ¬q]⇐⇒ ¬[(∃x:¬p(x))∨ ¬q]
es decir,
¬∃x: [¬p(x)∨ ¬q]⇐⇒[¬∃x:¬p(x)]∧q
de aqu´ı que, por las Leyes de De Morgan generalizadas, tengamos
∀x,¬[¬p(x)∨ ¬q]⇐⇒[∀x,¬¬p(x)]∧q
o sea,
∀x[¬¬p(x)∧ ¬¬q]⇐⇒[∀x, p(x)]∧q
y, consecuentemente,
∀x[p(x)∧q]⇐⇒[∀x, p(x)]∧q
Ejemplo 2.24 Probar las siguientes equivalencias:
(a) ∀x[p−→q(x)]⇐⇒p−→[∀x, q(x)]
(b) [∀x, p(x)]−→q⇐⇒ ∃x: [p(x)−→q]
Soluci´on
(a) ∀x[p−→q(x)]⇐⇒p−→[∀x, q(x)]
En efecto,
∀x[p−→q(x)] ⇐⇒ ∀x[¬p∨q(x)] {Implicaci´on}
⇐⇒ ∀x[q(x)∨ ¬p] {Conmutatividad de∨}
⇐⇒ [∀x, q(x)]∨ ¬p {2.3.5 (a)}
⇐⇒ ¬p∨[∀x, q(x)] {Conmutatividad de∨}
(b) [∀x, p(x)−→q]⇐⇒ ∃x: [p(x)−→q]
En efecto,
[∀x, p(x)]−→q ⇐⇒ [¬∀x, p(x)]∨q {Implicaci´on}
⇐⇒ [∃x:¬p(x)]∨q {Leyes de De Morgan}
⇐⇒ ∃x: [¬p(x)∨q] {2.3.5 (a)}
⇐⇒ ∃x: [p(x)−→q] {Implicaci´on}
2.3.6
Predicados al Alcance de un Cuantificador
Los predicados con variables no ligadas por un cuantificador que est´en dentro del alcance del mismo mediante una conjunci´on o una disyunci´on pueden situarse fuera del alcance del cuantificador.
(a) ∀x[p(x)∨q(y)]⇐⇒[∀x, p(x)]∨q(y)
(b) ∀x[p(x)∧q(y)]⇐⇒[∀x, p(x)]∧q(y)
(c) ∃x: [p(x)∨q(y)]⇐⇒[∃x: p(x)]∨q(y)
(d) ∃x: [p(x)∧q(y)]⇐⇒[∃x: p(x)]∧q(y)
Demostraci´on
La demostraci´on es id´entica a la hecha en la proposici´on anterior.
2.3.7
Asociatividad y Distributividad
(a) ∀x[p(x)∧q(x)]⇐⇒[∀x, p(x)]∧[∀x, q(x)]
(b) ∃x: [p(x)∧q(x)] =⇒[∃x:p(x)]∧[∃x:q(x)]
(c) ∃x: [p(x)∨q(x)]⇐⇒[∃x:p(x)]∨[∃x:q(x)]
(d) [∀x, p(x)]∨[∀x, q(x)] =⇒ ∀x,[p(x)∨q(x)]
Demostraci´on
Sea U un universo del discurso cualquiera y p(x), q(x) dos predicados arbitrarios, siendo xcualquier elemento deU
(a) ∀x[p(x)∧q(x)]⇐⇒[∀x, p(x)]∧[∀x, q(x)]
Veamos que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
Si ∀x[p(x)∧q(x)] es verdad, entonces p(x)∧q(x) es verdad para todos los valores de x en U, luegop(x) yq(x) son, ambas, verdad para cualquierxdeU, es decir∀x, p(x) es verdad y∀x, q(x) tambi´en, luego [∀x, p(x)]∧[∀x, q(x)] es verdad.
Por otra parte, si ∀x[p(x)∧q(x)] es falso, entonces existe, al menos, un valor dexen U para el cualp(x)∧q(x) es falsa luego una de las dos ha de ser falsa.
− Si p(x) es falsa para alg´un valor de x, entonces ∀x, p(x) es falsa y, consecuentemente, la proposici´on [∀x, p(x)]∧[∀x, q(x)] es falsa.
− Si q(x) es falsa, el razonamiento es id´entico al anterior.
La relaci´on anterior suele enunciarse informalmente diciendo que “el cuantificador universal es distributivo respecto del conectivo l´ogico conjunci´on.”
(b) ∃x: [p(x)∧q(x)] =⇒[∃x:p(x)]∧[∃x:q(x)]
Veamos que si la primera de las proposiciones es verdad, entonces la segunda tambi´en lo es. En efecto si∃x: [p(x)∧q(x)] es verdad, entoncesp(x)∧q(x) es verdad para alg´unxenU, luegop(x) y q(x) son verdad, ambas, para ´ese x, de aqu´ı que∃x: p(x) sea verdad y ∃x: q(x) tambi´en y, consecuentemente, [∃x:p(x)]∧[∃x:q(x)] es verdad.
Veamos que, sin embargo, no se da la equivalencia l´ogica como en el apartado anterior.
En efecto, la afirmaci´on∃x: [p(x)∧q(x)] nos dice que existe un valor dexen el universo para el cualp(x) yq(x) son, ambas, verdad.
Por otra parte, [∃x:p(x)]∧[∃x:q(x)] afirma que existe un valor de xen el universo tal quep(x) es verdad y que existe un valor dexpara el cual es verdadq(x).
Veamos un contraejemplo que pone de manifiesto lo que decimos. Supongamos queU es el conjunto de los n´umeros enteros y seap(x) :xes un n´umero par yq(x) :xes un n´umero impar. Entonces, “existe, al menos, un n´umero entero par y existe, al menos, un n´umero entero impar”, luego
[∃x:p(x)]∧[∃x:q(x)]
es una proposici´on verdadera, en tanto que “existe, al menos, un n´umero entero que es, al mismo tiempo, par e impar”, es decir,
∃x: [p(x)∧q(x)]
es una proposici´on falsa, luego no se verifica la implicaci´on contraria.
(c) ∃x: [p(x)∨q(x)]⇐⇒[∃x:p(x)]∨[∃x:q(x)]
Veamos que si la segunda es falsa, entonces la primera tambi´en lo es (equivale a probar que si la primera es verdad, la segunda tambi´en). En efecto, si [∃x:p(x)]∨[∃x:q(x)] es falsa, entonces ∃x:p(x) es falsa y∃x:q(x) tambi´en, luegop(x) yq(x) son, ambas, falsas para todos los valores de x en U, de aqu´ı que para cualquier valor de x, p(x)∨q(x) sea falsa y, consecuentemente, ∃x: [p(x)∨q(x)] es una proposici´on falsa.
Por otra parte, si∃x: [p(x)∨q(x)] es falsa, entoncesp(x)∨q(x) es falsa para todos los valores dex
enU, luegop(x) es falsa yq(x) es falsa para cualquierx, de aqu´ı que∃x:p(x) sea falsa,∃x:q(x) tambi´en y, consecuentemente, [∃x:p(x)]∨[∃x:q(x)] sea una proposici´on falsa.
Veamos otra forma de demostrar lo mismo. En el apartado (a), hemos visto que
∀x[p(x)∧q(x)]⇐⇒[∀x, p(x)]∧[∀x, q(x)]
siendo cierto este resultado para cualquier predicado, luego tambi´en lo ser´a para sus negaciones, es decir,
∀x[¬p(x)∧ ¬q(x)]⇐⇒[∀x,¬p(x)]∧[∀x,¬q(x)]
negando ahora ambos miembros, resulta
¬∀x[¬p(x)∧ ¬q(x)]⇐⇒ ¬[(∀x,¬p(x))∧(∀x,¬q(x))]
as´ı pues,
∃x:¬([¬p(x)∧ ¬q(x)]]⇐⇒[¬∀x,¬p(x)]∨[¬∀x,¬q(x)]
es decir,
∃x: [¬¬p(x)∨ ¬¬q(x)]⇐⇒[∃x:¬¬p(x)]∨[∃x:¬¬q(x)]
de aqu´ı que
∃x: [p(x)∨q(x)]⇐⇒[∃x:p(x)]∨(∃x: q(x)]
(d) [∀x, p(x)]∨[∀x, q(x)] =⇒ ∀x,[p(x)∨q(x)] En efecto, si [∀x, p(x)]∨[∀x, q(x)] es verdad, entonces una de las dos proposiciones ha de ser verdad.
Si∀x, p(x) es verdad,p(x) ha de ser verdad para todos los valores dex, luegop(x)∨q(x) es verdad y, consecuentemente, ∀x[p(x)∨q(x)] es verdad.
Si ∀x, q(x) es verdad, se razona exactamente igual.
Otra forma de demostrar lo mismo es la siguiente: en el apartado (b) vimos que
∃x: [p(x)∧q(x)] =⇒[∃x:p(x)]∧[∃x: q(x)]
Si ahora sustituimos los predicados por sus negaciones,
∃x: [¬p(x)∧ ¬q(x)] =⇒[∃x:¬p(x)]∧[∃x:¬q(x)]
negamos ambos miembros, y aplicamos la “contrarrec´ıproca”, resulta
¬[∃x:¬p(x)]∧[∃x:¬q(x)] =⇒ ¬∃x: [¬p(x)∧ ¬q(x)]
luego,
[¬∃x:¬p(x)]∨[¬∃x:¬q(x)] =⇒ ∀x¬[¬p(x)∧ ¬q(x)]
es decir,
[∀x,¬¬p(x)]∨[∀x,¬¬q(x)] =⇒ ∀x[¬¬p(x)∨ ¬¬q(x)]
de donde se sigue que
[∀x, p(x)]∨[∀x, q(x)] =⇒ ∀x[p(x)∨q(x)]
