MATEMÁTICAS
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CIENCIAS SOCIALES II
tetraedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro
17 de septiembre de 2014
Germán Ibáñez
Índice general
1. MATRICES. DETERMINANTES 1
1.1. Matriz . . . 1
1.2. Operaciones con matrices . . . 2
1.3. Determinante de una matriz cuadrada . . . 3
1.4. Aplicaciones de las matrices . . . 3
1.5. Problemas . . . 5
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7 2.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . 7
2.2. Resolución de un sistema por el método de Gauss . . . 8
2.3. Problemas de sistemas de ecuaciones lineales . . . 10
2.4. Problemas de sistemas de ecuaciones lineales . . . 12
2.5. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss . . . 14
2.6. Problemas . . . 16
3. PROGRAMACIÓN LINEAL 21 3.1. Desigualdades e inecuaciones . . . 21
3.2. Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Semiplanos. . . 22
3.3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. . . 22
3.4. Función lineal de dos variables . . . 23
3.5. Problemas de programación lineal con dos variables . . . 25
3.6. Problemas . . . 28
4. FUNCIONES 33 4.1. Función . . . 33
4.2. Gráfica de una función . . . 34
4.3. Gráfica de una función definida a trozos . . . 34
4.4. Función creciente, decreciente, máximos y mínimos . . . 35
4.5. Pendiente de una recta . . . 35
4.6. Función par y función impar . . . 37
4.7. Límite de una función . . . 37
4.8. Cálculo de límites de funciones . . . 39
4.9. Continuidad de funciones . . . 40
5.2. Función derivada . . . 46
5.3. Cuadro de derivadas . . . 46
5.4. Estudio local de una función . . . 48
5.5. Representación gráfica de funciones . . . 49
5.6. Problemas de máximos y mínimos . . . 53
5.7. Problemas . . . 55
6. INTEGRALES 61 6.1. Primitiva de una función . . . 61
6.2. Integración de funciones compuestas . . . 63
6.3. Noción de integral definida . . . 64
6.4. Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas . . . 65
6.5. Problemas . . . 67
7. PROBABILIDAD 71 7.1. Introducción . . . 71
7.2. Sucesos . . . 71
7.3. Frecuencia de un suceso . . . 72
7.4. Probabilidad . . . 72
7.5. Sucesos dependientes e independientes . . . 74
7.6. Sistema completo de sucesos . . . 77
7.7. Teorema de la probabilidad total . . . 77
7.8. Teorema de Bayes . . . 78
7.9. Problemas . . . 80
8. VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 87 8.1. Variable aleatoria. Función de distribución de probabilidad . . . 87
8.2. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta . . . 88
8.3. Relación entre variables estadísticas y aleatorias . . . 89
8.4. Parámetros de una variable aleatoria discreta . . . 89
8.5. Función de densidad de probabilidad de una v.a. continua . . . 90
8.6. Parámetros de una variable aleatoria continua: . . . 90
8.7. Distribución normal . . . 91
8.8. Problemas . . . 94
9. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL. ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA 97 9.1. Muestreo . . . 97
9.2. Distribución muestral de medias. Teorema Central del Límite. . . 98
9.3. Estimación estadística . . . 100
9.4. Estimas por intervalos de confianza . . . 100
9.5. Decisiones estadísticas. Hipótesis estadísticas . . . 102
9.6. Distribución muestral de proporciones . . . 104
Tema 1
MATRICES. DETERMINANTES
1.1.
Matriz
Matriz de orden m×n es un cuadro formado pormfilas y n columnas de números reales.
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
· · ·
am1 am2 . . . amn
Ejemplo
0 0 1 2 3 0 1 2 0 1 1 0 2 −5 2 2 −2 1 0 1 2 0 0 1 1 3 2 1 1 1
es una matriz 5×6
Observaciones
1. En un elemento de una matriz el subíndice primero indica su fila y el segundo su columna,
ahk es el elemento de la fila h, columna k.
2. Se llama diagonal principal a la formada por los elementos aii.
3. Se llama matriz fila si está formada por una sola fila (3,-2,0) Se llama matriz columna si está formada por una sola columna.
4. Llamaremos matriz triangular a aquella cu-yos elementos por debajo de la diagonal prin-cipal son 0
−3 0 1 2 3 0 0 0 1 1 0 2 0 0 2 2 −2 1 0 0 0 2 0 1
5. Matriz cuadrada es la que tiene igual número de filas que de columnas.
6. Matriz traspuesta de una dadaA, es la matrizA′ obtenida cambiando filas por columnas,
para obtenerla se escribe la 1a fila como 1a columna, la 2a fila como 2a columna, etc: A=
1 2 3 0 0 1 1 0 2 2 −2 1
3×4
A′ =
1 0 2 2 1 2 3 1 −2 0 0 1
4×3
1.2.
Operaciones con matrices
1)Suma: para sumar dos matrices del mismo orden se suman los elementos correspondien-tes
1 2 6 −4 8 −6
+
4 −5 2 −1 0 −7
=
5 −3 8 −5 8 −13
2)Producto por escalar: se multiplican
to-dos los elementos por el número (−3).
1 2 5 0
−6 0
=
−3 −6
−15 0
18 0
3) Producto de matrices: dos matrices son multiplicables si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. El producto de una matriz de orden m×n
por una matriz de orden n×p es una matriz de orden m×p, en la que el elemento del lugar
ij se obtiene operando la filai de la 1a matriz con la columna j de la 2a matriz. Ejemplo
2 1 −1 0 3 0
2×3
.
0 0 1 2 1 2 0 1 2 −5 2 2
3×4
=
2·0 + 1·1 + (−1)·2 2·0 + 1·2 + (−1)·(−5) 2·1 + 1·0 + (−1)·2 2·2 + 1·1 + (−1)·2 0·0 + 3·1 + 0·2 0·0 + 3·2 + 0·(−5) 0·1 + 3·0 + 0·2 0·2 + 3·1 + 0·2
= =
−1 7 0 3 3 6 0 3
2×4
Se verifican las propiedades y consecuencias de fácil comprobación:
1. AsociativaA.(B.C) = (A.B).C
observación El producto no es conmutativo, tampoco entre matrices cuadradas.
0 7 0 0 . 0 0 1 0 = 7 0 0 0 0 0 1 0 . 0 7 0 0 = 0 0 0 7
2. Se llama matriz unidad o identidad a aquella cuyos ele-mentos de la diagonal principal son 1 y los restantes 0. Al multiplicar una matriz por la matriz unidad se obtie-ne la misma matriz, es el obtie-neutro para el producto cuando se puede hacer éste.
I3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3. Es distributivo respecto de la suma de matrices. A.(B+C) =A.B+A.C
4. La traspuesta del producto es el producto de las traspuestas cambiadas de orden
(A.B)′ =B′.A′
Ejemplo Hallar la matriz Aen la siguiente ecuación matricial 3A−CB′ =DI
4 siendo B = 3 1 2 −1 6 0 0 −1
C =
2 −1 3 0
D=
5 2 1 −1
−2 0 3 0
1.4 Determinante de una matriz cuadrada 3
A= 1
3(DI4+CB
′)
CB′ =
5 5 12 1 9 6 18 0
; DI4 =D D+CB′ =
10 7 13 0 7 6 21 0
A=
10/3 7/3 13/3 0 7/3 2 7 0
5. Utilizando el producto de matrices un sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en
forma matricial:
3x+ 2y−5z = 4 6x−y= 7
3 2 −5 6 −1 0
x y z = 4 7 o
trasponien-do: x y z
3 6 2 −1
−5 0
= 4 7
1.3.
Determinante de una matriz cuadrada
Determinante de una matriz cuadrada A, que se representa |A|
Determinante de orden 2
a1 a2
b1 b2
=a1b2 −a2b1
Determinante de orden 3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2 −a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2
Ejemplos Calcular:
1 −3
−2 5
=−1;
2 −2 5
−3 4 0
6 −1 1
=−103;
1 2 3 4 5 6 7 8 9
= 0
Propiedades de los determinantes
1. Vemos que en cada sumando del desarrollo hay un elemento de cada fila y uno de cada columna.
2. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
3. El determinante de un producto de matrices cuadradas es el producto de los determinan-tes: |A.B|=|A|.|B|.
1.4.
Aplicaciones de las matrices
Matriz asociada a un grafo: Dada una relación binaria en un conjunto cuando un elemento
Consideremos el grafo de la figura:
M =
a a b c d e
dea 0 1 1 0 0
b 0 0 0 1 0
c 0 0 0 1 1
d 0 0 0 0 1
e 0 0 0 0 0
a
b
d
c
e
Se llama camino a una secuencia de arcos de tal manera que el vértice final de cada uno sirve de vértice inicial al siguiente. Un camino tiene longitudn si pasa porn arcos, y por tanto, recorre n+ 1 vértices.
Circuito es un camino cerrado en el que el vértice final coincide con el vértice inicial. Se detectan porque aparece 1 en algún elemento de la diagonal principal al hacer las sucesivas potencias de la matriz del grafo.
Ejemplo En el grafo anterior hallar si hay caminos de longitud ≥2y si existen circuitos
M2 =M.M =
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
.
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
=
0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
hay 2 caminos de longitud 2 entre a y d hay 1 camino de longitud 2 entre a y e
hay 1 camino de longitud 2 entre b y e
hay 1 camino de longitud 2 entre c y e
M3 =M2.M =
0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
=
0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
hay 2 caminos de longitud 3 entre a y e
M4 =M3.M =
0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
=
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1.5 Problemas 5
1.5.
Problemas
1. Calcular A′.B − C2. Siendo A =
1 0 1 0 2 0
, B =
1 3 0 4 0 −1
, C =
1 0 0 0 2 1 0 2 2
.
Solución:
0 3 0
8 −6 −6 1 −5 −6
.
2. Dadas las matrices A =
1 2 1 1 3 1 0 0 2
;
B =
1 0 1 2 2 2 0 0 6
Hallar la matriz P
que verifique
P −B2 =A.B Solución:
6 4 18 13 10 31 0 0 48
.
3. Calcular a)
2 1 3 1 −2 0 4 1 5
; b)
3 −2 1 3 1 5 3 4 5
; c)
1 3 −1 5 4 6 2 2 3
.
Solución: a) 2, b) -36, c) -11
4. Sabiendo que A=
1 0 1 1
Hallar A+A2+A3
Solución:A=
3 0 6 3
5. Resolver el sistema matricial:
2A−B =
1 −2 1 1 0 5
A+B =
2 2 2 5 3 4
Solución: A =
1 0 1 2 1 3
B =
1 2 1 3 2 1
6. Hallar la matriz M correspondiente al grafo
a) CalcularM2−M
b) hallar M3 y M4
A B D C Solución:
0 0 −1 1
0 1 0 −1
0 1 0 −1
0 −1 0 1
.
7. Un fabricante produce tres tipos de cla-vos, de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en lon-gitudes 1; 1’5; 2 y 2’5 centímetros con los precios respectivos siguientes:
Clavos A: 0’20 0’30 0’40 0’50 pts Clavos Q: 0’30 0’45 0’60 0’75 pts Clavos H: 0’40 0’60 0’80 1 pts
Sabiendo que en un minuto se producen: De 1 cm de longitud: 100 A 50 Q 700 H De 1’5 cm de longitud: 200 A 20 Q 600 H
De 2 cm de longitud: 500 A 30 Q 400 H De 2’5 cm de longitud: 300 A 10 Q 800 H
Se pide:
i) Resumir la información anterior en 2 matrices, M y N. M es una matriz 3×4
iii) Idem para la matriz N.M
Solución:
i)
1 1’5 2 2’5
A 100 200 500 300
Q 50 20 30 10
H 700 600 400 800
A Q H
1 0’20 0’30 0’40
1’5 0’30 0’45 0’60
2 0’40 0’60 0’80
2’5 0’50 0’75 1
ii) 430 precio de todos los clavos de aluminio, 49’5 de los de cobre, 1760 de los de acero (solo diagonal principal)
Tema 2
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
2.1.
Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación es una igualdad en la que aparece una o varias incógnitas:
1)x2−3x=−2
2)3x−2y+ 5z−3 = 0
Solución de una ecuación son los números que al sustituir en las incógnitas cumplen la igualdad: en el ejemplo 1) las soluciones son 1 y 2; en el ejemplo 2) x= 2, y = 4, z = 1 es una solución pero hay infinitas soluciones dependientes de dos parámetros, pasando por ejemplo la
y y la z como parámetros al segundo miembro quedaría:x= 2y 3 −
5z
3 + 1.
Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones.
Cuando las incógnitas no tienen exponente (o sea tienen exponente 1) se dice que es ecuación lineal.
Se llama sistema de m ecuaciones lineales conn incógnitas a un conjunto de expresiones de la forma:
a11x1 +a12x2+. . .+a1nxn=c1
a21x1 +a22x2+. . .+a2nxn=c2
. . .
am1x1+am2x2 +. . .+amnxn =cm
donde las ”x” son las incógnitas, y tanto los coeficientes ”a” como los términos independientes ”c” son números reales.
Consideraremos la matriz: A=
a11 a12 . . . a1n c1
a21 a22 . . . a2n c2
. . .
am1 am2 . . . amn cm
matriz asociada al sistema
Se llama solución del sistema a toda n-tupla de números que satisfaga las ecuaciones, es decir que al sustituir en el sistema verifica todas las ecuaciones.
2.2.
Resolución de un sistema por el método de Gauss
Dos sistemas son equivalentes si toda solución del primero lo es del segundo y viceversa. Teniendo en cuenta que al multiplicar los dos miembros de una igualdad por un número la igualdad subsiste, y de que si se suman varias igualdades resulta otra igualdad. Se tienen las siguientes reglas que permiten pasar de un sistema a otro equivalente más sencillo:
1) Se pueden intercambiar dos ecuaciones.
2) Se puede multiplicar (dividir) una ecuación por un número distinto de cero. 3) A una ecuación se le puede sumar (restar) otra.
4) Si hay dos ecuaciones iguales o proporcionales se puede eliminar una.
5) Se puede despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el resultado en las demás. 6) Es equivalente trabajar con las ecuaciones del sistema que trabajar con las filas de la matriz asociada.
El método de Gauss consiste en triangular la matriz asociada (conseguir ceros por debajo de la diagonal principal) mediante las operaciones arriba indicadas, de esta manera queda un sistema equivalente de cuya última ecuación se puede despejar una incógnita y luego ir sustituyendo los valores de las incógnitas de abajo arriba. Es un procedimiento particular de reducción.
Resultan las siguientes posibilidades al resolver un sistema: a) Sistema compatible determinado, es decir, con solución única. b) Sistema compatible indeterminado, es decir, con infinitas soluciones. c) Sistema incompatible, es decir, no tiene solución.
Ejemplo Resolver por el método de Gauss
x−2y =−5 2y+ 4z = 7
x+y−4z =−8 3y−4z=−3
−x−y+ 4z = 8
la matriz asociada es
1 −2 0 −5 0 2 4 7 1 1 −4 −8 0 3 −4 −3
−1 −1 4 8
se observa que la quinta fila es la 3a×(−1), la eliminamos
1 −2 0 −5 0 2 4 7 1 1 −4 −8 0 3 −4 −3
3afila−1a
1 1 −4 −8 1 −2 0 −5
=
1 −2 0 −5 0 2 4 7 0 3 −4 −3 0 3 −4 −3
suprimi-mos la última fila,
1 −2 0 −5 0 2 4 7 0 3 −4 −3
3a×2 + 2a×(−3)
0 6 −8 −6 0 −6 −12 −21
=
1 −2 0 −5 0 2 4 7 0 0 −20 −27
una vez triangulada volvemos a sistema
x−2y=−5 2y+ 4z = 7
−20z =−27
resulta despejando y sustituyendo de abajo hacia arriba
z = 27
20; y =
7−42720 2 =
4
5; x=−5 + 2 4 5 =
2.2 Resolución de un sistema por el método de Gauss 9
nota 1
En la práctica nos limitaremos a sistemas con tres incógnitas como máximo.
Ejemplos
1. Estudiar y resolver si es posible el sistema
4x+ 5y+ 3z =−4 4x+y+ 4z = 0 4x+ 3y+ 3z =−5 4x−3y+ 5z = 4
−2y+z = 5
formamos la matriz:
4 5 3 −4 4 1 4 0 4 3 3 −5 4 −3 5 4 0 −2 1 5
2a−1a
3a−1a
4a−1a
4 5 3 −4 0 −4 1 4 0 −2 0 −1 0 −8 2 8 0 −2 1 5
eliminamos la 4a fila que es
pro-porcional a la 2a
4 5 3 −4 0 −4 1 4 0 −2 0 −1 0 −2 1 5
3a(−2) + 2a
4a(−2) + 2a
4 5 3 −4 0 −4 1 4 0 0 1 6 0 0 −1 −6
eliminamos la 4a
fila
4 5 3| −4 0 −4 1| 4 0 0 1| 6
sistema compatible determinado
Para resolverlo queda el sistema equivalente:
4x+ 5y+ 3z =−4
−4y+z = 4
z = 6
que resuelto
susti-tuyendo da: x=−49/8;y= 1/2;z = 6
2. Estudiar y resolver si es posible el sistema
x+y−z = 4 2x−y+ 3z =−1
−4x+ 5y−11z = 11
1 1 −1 4 2 −1 3 −1
−4 5 −11 11
2
a+ 1a·(−2)
3a+ 1a·4
1 1 −1 4 0 −3 5 −9 0 9 −15 27
3a+ 2a ·3
1 1 −1 4 0 −3 5 −9 0 0 0 0
eliminamos la última ecuación,
sistema compatible indeterminado.
1
El método de Gauss-Jordan consiste en después de triangular la matriz asociada seguir consiguiendo ceros por encima de los elementos correspondientes a las incógnitas, y por último dividiendo por el coeficiente de cada incógnita conseguir que sea uno el coeficiente correspondiente a esa incógnita.
1 −2 0 −5
0 2 4 7
0 0 −20 −27
2a×5 + 3a
1 −2 0 −5
0 10 0 8
0 0 −20 −27
2a/2
1 −2 0 −5
0 5 0 4
0 0 −20 −27
1a×5 + 2a×2
5 0 0 −17
0 5 0 4
0 0 −20 −27
5x=−17 5y= 4
Dejandoxeyen el primer miembro y considerando la última matriz resulta:
x+y= 4 +z
−3y=−9−5z y= 9 + 5z
3 ; x=
3−2z
3 ; z ∈R
3. Estudiar y resolver si es posible el sistema
3x+ 3y+ 3z = 4 2x+y+ 2z = 2
x+ 2y+z= 1
3 3 3 4 2 1 2 2 1 2 1 1
reordenando
1 2 1 1 3 3 3 4 2 1 2 2
2
a+ 1a·(−3)
3a+ 1a·(−2)
1 2 1 1 0 −3 0 1 0 −3 0 0
3a−2a
1 2 1 1 0 −3 0 1 0 0 0 −1
queda 0z =−1 como última ecuación: sistema incompatible. 4. Resolver
x+y−z = 0 2x+ 3y+z = 0 4x+ 5y−z = 0
1 1 −1 0 2 3 1 0 4 5 −1 0
2
a+ 1a·(−2)
3a+ 1a·(−4)
1 1 −1 0 0 1 3 0 0 1 3 0
1 1 −1 0 0 1 3 0
x= 4z; y=−3z; z ∈R
(un sistema en el que los términos independientes son 0 se llamahomogéneo)
2.3.
Problemas de sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplos
1. Discutir según los valores dem la compatibilidad del sistema:
x+y−3z =−1
−2x−y+mz = 1 4x+my−9z =−3
1 1 −3 −1
−2 −1 m 1
4 m −9 −3
2
a+ 1a·2
3a+ 1a·(−4)
1 1 −3 −1 0 1 m−6 −1 0 m−4 3 1
3a−2a(m−4)
1 1 −3 −1 0 1 m−6 −1 0 0 3−(m−4)(m−6) m−3
= 1 1 0 1
0 0 −m2+ 10
Los elementos de la diagonal principal son los coeficientes de las incógnitas. Al despejarlas esos coeficientes pasan al denominador, por tanto:
para la discusión consideramos los valores que anulan a los elementos de la diagonal principal.
En nuestro caso:
−m2+ 10m−21se anula para a= 3, a= 7
2.3 Problemas de sistemas de ecuaciones lineales 11
Param 6= 3, m6= 7, es compatible determinado. param = 3, sustituyendo:
1 1 −3 −1 0 1 −3 −1 0 0 0 0
y==−1 + 3z;x=−266z
compa-tible indet.
para a=−1, sustituyendo:
0 −2 0 2 0 −1 1 0 0 0 0 4
De la última filas
”0z = 4” se concluye que es incompatible
2. Discutir según los valores dea la compatibilidad del sistema:
(a+ 1)x+ (a−1)y−(a+ 1)z = 2
ay+z = 0
(a+ 1)x+ (2a−1)y−(a−1)z = 1
a+ 1 a−1 −a−1 2 0 a 1 0
a+ 1 2a−1 −a+ 1 1
3a−1a
a+ 1 a−1 −a−1 2 0 a 1 0 0 a 2 −1
3a−2a
a+ 1 a−1 −a−1 2 0 a 1 0 0 0 1 −1
Los elementos de la diagonal principal son los coeficientes de las incógnitas. Al despejarlas esos coeficientes pasan al denominador, por tanto:
para la discusión consideramos los valores que anulan a los elementos de la diagonal principal.
En nuestro caso:
a+ 1 = 0 se anula para a=−1 y también consideramos a = 0
Discusión:
Paraa6= 0, a6=−1, es compatible determinado. para a= 0, sustituyendo:
1 −1 −1 2 0 0 1 0 0 0 1 −1
De las dos últimas filas
”z = 0;z =−1” se concluye que es incompatible para a = −1, sustituyendo:
0 −2 0 2 0 −1 1 0 0 0 1 −1
z = −1;y = −1; 0x = 0, x = α,
compatible indet.
3. Discutir y resolver en caso de indeterminación:
x+ 2y−kz= 1
−y+z = 0
kx+z =k
1 2 −k 1 0 −1 1 0
k 0 1 k
3a+ 1a· −k
1 2 −k 1 0 −1 1 0 0 2k −k2−1 0
3a+ 2a·2k
1 2 −k 1 0 −1 1 0 0 0 −k2+ 2k−1 0
Para la discusión consideramos los valores que anulan a los elementos de la diagonal principal
−k2 + 2k−1 = 0; k2−2k+ 1 = 0; k = 1 doble Discusión:
Parak 6= 1 es compatible determinado. Parak = 1, sustituyendo:
1 2 −1 1 0 −1 1 0 0 0 0 0
x+ 2y−z = 1
−y+z = 0
y=z;x= 1−2y+z = 1−3z; z ∈R compatible indeterminado.
2.4.
Problemas de sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplos
1. La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es 48. Dentro de 10 años, el doble de la suma de las edades de los hijos, excederá en 6 años a la edad del padre. Cuando nació el pequeño, la edad del padre excedía en 6 unidades al triple de la edad que tenía el hijo mayor. Calcula las edades de los tres.
x = edad actual del padre y = edad actual del hijo mayor z = edad actual del hijo menor
x+y+z = 48
2(y+ 10 +z+ 10)−6 =x+ 10 (x−z)−6 = 3(y−z)
x+y+z = 48
−x+ 2y+ 2z =−24
x−3y+ 2z = 6
x= 40;y= 10;z =−2
luego el problema no está correctamente planteado pues se habla de edades actuales y el hijo menor no existe.
2. En una reunión, cierta parte de los presentes están jugando, otra parte están charlando y el resto, que es la cuarta parte del total, bailando. Mas tarde, 4 dejan el juego por el baile, 1 la charla por el juego y 2 dejan el baile por la charla, con lo cual, el número de personas que está en cada grupo es el mismo. ¿Cuántas personas componen la reunión?
x juegan, y charlan, z bailan x+y+z
4 =z, x−4 + 1 =z+ 4−2 =y−1 + 2
x+y+z = 4z x−3 = y+ 1
x−3 = z+ 2
x+y−3z = 0
x−y= 4
x−z = 5
x= 11, y = 7, z= 6
3. Los grifos A y B llenan un depósito en 1h 10m. Los grifos A y C lo hacen en 1h 24m. Los B y C en 2h 20m. Calcula el tiempo que tardarán en hacerlo cada uno por separado y los tres a la vez.
x = parte del volumen que llena en un minuto el grifo A
y = id B z = id C
70(x+y) = V
84(x+z) =V
140(y+z) =V
70x+ 70y =V
84x+ 84z =V
2.4 Problemas de sistemas de ecuaciones lineales 13
70 70 0 V
84 0 84 V
0 140 140 V
2a(5) + 1a(−6)
70 70 0 V
0 −420 420 −V
0 140 140 V
3a(3) + 2a
70 70 0 V
0 −420 420 −V
0 0 840 2V
resulta: x= 105V , y = 210V , z = 420V
Ta.x=V;Ta = 105min, Tb = 210min, Tc = 420min;todos: T(x+y+z) =V, T = 60min.
4. Tenemos 3 lingotes, cada uno de ellos formado por oro, plata y cobre. El primero tiene 65 g de oro, 25 g de plata y 10 g de cobre; el segundo tiene 5 g de oro, 45 g de plata y 50 g de cobre; y el tercero 20 g de oro, 45 g de plata y 35 g de cobre. cada uno de los lingotes se funde teniendo 3 aleaciones. ¿Cuántos gramos de cada aleación debemos tomar para formar otra aleación de 60 g que contenga 15 % de oro, 40 % de plata y el 45 % de cobre?.
A1: 1a aleación, cada gramo tiene 0’65 oro, 0’25 plata y 0’1 cobre
A2: 2a aleación, cada gramo tiene 0’05 oro, 0’45 plata y 0’5 cobre
A3: 3a aleación, cada gramo tiene 0’2 oro, 0’45 plata y 0’35 cobre
necesitamos x gramos de A1,y gramos de A2, z gramos de A3,x+y+z = 60
veamos cuantos gramos de cada metal han de tener los 60 g de aleación final oro: 60.0’15 = 9, plata: 60.0’40 =24, cobre: 60.0’45 = 27
oro: x·0′65 +y·0′05 +z·0′2 = 9
plata: x·0′25 +y·0′45 +z·0′45 = 24
cobre: x·0′1 +y·0′5 +z·0′35 = 27
x+y+z = 60
65x+ 5y+ 20z = 900 25x+ 45y+ 45z = 2400 10x+ 50y+ 35z = 2700
Simplificamos
x+y+z = 60 13x+y+ 4z = 180 5x+ 9y+ 9z = 480 2x+ 10y+ 7z = 540
1 1 1 60 13 1 4 180 5 9 9 480 2 10 7 540
1 1 1 60 0 −12 −9 −600 0 4 4 180 0 8 5 420
dividimos 2a por 3
1 1 1 60 0 −4 −3 −200 0 4 4 180 0 8 5 420
1 1 1 60 0 −4 −3 −200 0 0 1 −20 0 0 −1 20
seríaz =−20el sistema es compatible pero la solución no tiene sentido con el enunciado, no es posible efectuar la aleación deseada.
x −1 1 2
y −6 4 3
Planteamos obtener una función polinómica de segundo grado
y=ax2+bx+c, resulta el sistema:
y(−1) = −6
y(1) = 4
y(2) = 3
−→
a−b+c=−6
a+b+c= 4 4a+ 2b+c= 3
-1 0 1 2 3 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
que tiene solución única y nos da la función y=−2x2 + 5x+ 1
2.5.
Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss
Dada una matriz A su inversa es la matriz A−1 que verifica A.A−1 =I
Una matriz cuadrada que tiene inversa se llama regular y se caracteriza porque su determi-nante no es cero.
Ejemplos
Hallar la inversa de: A=
3 5 2 −1
Adjuntamos a la derecha la matriz unidad
3 5 1 0 2 −1 0 1
2a·3+1a·(−2)
3 5 1 0 0 −13 −2 3
1a·13+2a·5
39 0 3 15 0 −13 −2 3
Ahora dividimos cada fila por su elemento de la diagonal principal:
1a/39
2a/(−13)
1 0 3 39
15 39 0 1 −2
−13 3 −13 A
−1 =
1 0 1 13
5 13 0 1 2
13 − 3 13
Hallar la inversa de:
0 1 1 3 1 1 1 4 3
Adjuntamos a la derecha la matriz unidad y para evitar el cero en la esquina le sumamos a la primera fila la segunda:
0 1 1 1 0 0 3 1 1 0 1 0 1 4 3 0 0 1
1a+ 2a
3 2 2 1 1 0 3 1 1 0 1 0 1 4 3 0 0 1
2
a−1a
3a·3−1a
3 2 2 1 1 0 0 −1 −1 −1 0 0 0 10 7 −1 −1 3
3a+ 2a·10
3 2 2 1 1 0 0 −1 −1 −1 0 0 0 0 −3 −11 −1 3
1
a·3 + 3a·2
2.5 Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss 15
9 6 0 −19 1 6 0 −3 0 8 1 −3 0 0 −3 −11 −1 3
1a+ 2a·2
9 0 0 −3 3 0 0 −3 0 8 1 −3 0 0 −3 −11 −1 3
dividiendo cada fila por su elemento de la diagonal principal:
1 0 0 −1/3 1/3 0 0 1 0 −8/3 −1/3 1 0 0 1 11/3 1/3 −1
las últimas tres columnas es la matriz inversa.
Resolver la ecuación matricial:
A·X =B siendo:
A=
3 1 1 2 5 2 3 −2 0
B =
3 1 2 5 3 −2
Multiplicando por la inversa a la izquierda: A−1
·A·X =A−1
·B, X =A−1
·B
La inversa de A es A−1 =
−4 2 3
−6 3 4
19 −9 −13
X =
−4 2 3
−6 3 4
19 −9 −13
· 3 1 2 5 3 −2
= 1 0 0 1 0 0
Resolver la ecuación matricial:
X·A=B−2X siendo:
A=
−1 −3 1 −2
, B =
4 6
−3 5
X·A=B−2X, X·A+ 2X=B, X(A+ 2I2) =B, X =B·(A+ 2I2)−1
(A+ 2I2) =
−1 −3 1 −2
+ 2 1 0 0 1 =
−1 −3 1 −2
+ 2 0 0 2 =
1 −3 1 0
(A+ 2I2)−1 = 0 1 −1 3 1 3 = 0 3
−1 1
1 3
X =B ·(A+ 2I2)−1 =
4 6
−3 5
0 3
−1 1
1 3 =
−6 18
−5 −4
1 3 =
−2 6
−5
3 −
4 3
2.6.
Problemas
1. Resolver por todos los métodos
5x−3y= 2
−3x+ 4y= 7
Solución:x= 29/11, y= 41/11
2. Halla la ecuación de la recta:
1 2
−1
1 2 3
−1 −2
Solución:3x+ 5y= 4
3. En una tienda de antigüedades tienen 2 cuadros y una jarra de porcelana. La ja-rra vale 50 e. Uno de los cuadros más
la jarra equivale al cuádruplo del precio del otro cuadro, mientras que este últi-mo cuadro y la jarra valen 40 emás que
el primer cuadro. ¿Cuánto vale cada cua-dro?
Solución:x= 30, y= 20
4. Un peón es contratado en una finca por 200 pesos diarios cuando trabaja mañana y tarde, dándole además de comer. Cuan-do sólo trabaja por la mañana le dan 125 pesos, ya que no come. Hallar cuántos días trabajó sólo por la mañana, sabien-do que al cabo de un mes recibió 5.100 pesos.
Solución: 12 días
5. Un muchacho dice ”Tengo tantos her-manos como hermanas”, y entonces una de sus hermanas dice ”tengo hermanos y hermanas en la razón de 3/2”. ¿Cuántos hermanos y hermanas son?
Solución:
(
x−1 =y x
y−1 = 3/2
x= 6, y= 5
6. Para pagar una cuenta de 2.400 rupias un extranjero entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares, recibiendo 75 rupias de vuelta. Y para pagar otra cuenta de 3.200 rupias, otro extranjero entrega 15 libras y 9 dó-lares y 35 rupias ¿A qué cambio en rupias se han cotizado las libras y los dólares?
Solución:
9x+ 15y= 2475
15x+ 9y= 3165 , x= 175 rupias
vale cada libra,y= 60rupias vale cada dólar.
Resolver por el método de Gauss
7.
3x+ 3y+ 2z = 4
−x+ 3y+ 2z = 0 2x+ 5y+ 6z =−2
Solución:x= 1, y= 7/4, z=−17/8
8.
−2x+ 3y+ 2z = 4
−x+ 3y+z = 0 2x+ 7y+ 6z =−2
Solución:x=−25/12, y=−4/3, z= 23/12
9.
3x+ 3y+ 2z = 1
−x+ 3y−z = 0 2x+ 5y+z =−2
Solución:x=−26, y= 3, z= 35
10.
−2x+y−2z= 3
−6x+ 6y= 6
−2x+ 3y+ 2z = 1
Solución:x=−2−2z, y=−1−2z
11.
2x−2y+z= 1 5x−4y+ 3z = 1
−5x+ 6y−2z =−4
Solución:x=−1−z, y=−3/2−z/2
12.
−2x−2y+ 2z = 3
−2x−4y+z = 8
−2x+ 2y+ 4z = 2
Solución: incompatible
13.
3x−4y+z=−4
−x−y+ 2z =−4 7x−7y=−4
Solución:x= 12/7 +z, y= 16/7 +z
14.
−5x−3y+z = 0 2x+ 3y−4z = 4 3x−4z =−3
2.6 Problemas 17 15.
−x+ 4y+ 4z = 3 6x−y=−4
−5x−3y−4z = 1
y+z = 0
Solución:x=−3, y=−14, z= 14
16.
3x−3y+ 4z =−3 2x−y+z =−4 3x+y+ 2z =−4
Solución:x=−5/2, y= 1/2, z= 3/2
17.
−2x−3y−3z = 1
−2x+ 4z = 4 3x+ 3y+z =−3
x+ 3y+ 5z = 1
Solución:x= 2z−2, y=3−7z 3 18.
2x+ 3y−z = 0 2x−3y+ 4z = 3 5x−4z = 2
x−y= 3
Solución: incompatible
19. Por un kg. de pescado, otro de legumbres y otro de fruta se han pagado 11’2e.
Ha-llar lo que cuesta cada cosa sabiendo que el kg de legumbres cuesta 0’8 emás que
el de frutas y que el kg de pescado vale tanto como uno de legumbres y otro de fruta juntos.
Solución:x= 5′6, y= 3′2, z= 2′4
20. Hallar las edades de tres hermanos sa-biendo que sumadas dos a dos dan 7, 10 y 13 años.
Solución: 2,5,8
21. Un señor tiene dos hijos, de los cuales uno tiene 6 años más que el otro. Después de 2 años la edad del padre será doble de la suma de las edades de sus hijos, y hace 6 años su edad era 4 veces la suma de las edades de sus hijos. ¿Cuál es la edad de cada uno?
Solución: padre: 54, hijo 10: 15, hijo 20: 9
22. Hallar un número de tres cifras, sabien-do que la diferencia entre este y el que
resulta de invertir el orden de sus cifras es 198, la cifra de las centenas más la ci-fra de las decenas y la de las unidades es 6.
Solución: indet, 240, 321, 402
23. Un peatón sube las cuestas a 3 km/h, ba-ja a 8 km/h y va por el llano a 6 km/h. Para ir de A a B, que distan 11 kms. tar-da 1 + 2324 h y en volver tarda 2 + 127 h. Hallar las longitudes de los tramos de ca-da tipo que hay entre A y B.
Solución: velocidad = espacio/tiempo
x 3+ y 8 + z 6 = 47 24 x 8+ y 3 + z 6 = 31 12 x+y+z= 11
,x= 2, y= 5, z= 4
24. El salario medio percibido por los em-pleados de una empresa es de 800 eEl
salario medio de los empleados varones de la misma es de 850 ey el salario
me-dio de las empleadas mujeres es de 780
e. Determinar la proporción de hombres
y mujeres que trabajan en la empresa.
Solución: proporcion 2h/5m
25. En un servicio de taxi se abona una can-tidad inicial fija (bajada de bandera) y un tanto por km recorrido. Si una carre-ra de 2 km cuesta 2’30 libcarre-ras y otcarre-ra de 5 km 4’25 libras, averiguar cuánto cuesta una carrera de 3 km y cuánto cuesta la bajada de bandera.
Solución: bajada bandera 1’00 libras, carrera 3 km 2’95 libras
26. Resolver el sistema
x+y+ 2z = 9 2x+ 4y−3z = 1 3x+ 6y−5z = 0
¿Es posible sustituir el término indepen-diente 9 de la primera ecuación por algún otro número de forma que el sistema ob-tenido no tenga solución?
27. Explicar en qué consiste el método de Gauss para la resolución de un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incóg-nitas.
28. Un estado compra 540.000 barriles de pe-tróleo a tres suministradores diferentes que lo venden a 27, 28 y 31 $ el barril, respectivamente, la factura total ascien-de a 16 millones ascien-de $. Si ascien-del primer su-ministrador recibe el 30 % del total del petróleo comprado. ¿Cuál es la cantidad comprada a cada suministrador?
Solución: 162000 barriles de 27 $, 30667 de 28 $, 347333 de 31 $
29. Hallar la inversa de la matriz:
A=
3 2 1 −1
A−1=
1/5 2/5 1/5 −3/5
30. Hallar la inversa de la matriz:
A=
1 1 2 2 0 −1 6 −1 0
A−1=
1/11 2/11 1/11 6/11 12/11 −5/11 2/11 −7/11 2/11
31. Hallar la inversa de la matriz:
A=
3 −1 2 2 1 1
−1 0 4
A−1=
4/23 4/23 −3/23
−9/23 14/23 1/23 1/23 1/23 5/23
32. En un hotel, al vender pesetas pagadas en francos, aplican una comisión fija por cada operación y un precio determinado de la peseta, expresado en francos. En una operación, por 5.772 rupias, cobran 300 francos en total. En otra, por 16.497 rupias cobran 850 francos. ¿Cuántas pe-setas darán por 1.245 francos?
Solución:y=ax+b, 24199’5 rupias
33. Dados los puntos (-1,4), (1,-2) y (5,3). Hallar y representar aproximadamente:
a) La recta que pasa por los puntos 10 y
30.
b) La parábola que pasa por los tres pun-tos.
Solución: a)y=−−1 6 x+
23 6 b)y=
17
24x2−3x+ 7 24
34. Discutir según los valores del parámetro:
2x+ 3y−4z = 1 4x+ 6y−tz = 2
x+y+tz = 10
Solución: t 6= 8 sist comp. det, solución única; t= 8 sist comp indet infinitas soluciones
35. Discutir y resolver según los valores del
parámetro:
2x−3y+z = 0
x−ay−3z = 0 5x+ 2y−z = 0
Solución: bajar parámetro a la última, a6=−8
sist comp det, solución trivial 0;a=−8, com-patible indetx=z/19, y= 7z/19
36. Discutir según los valores del parámetro y resolver en caso de indeterminación:
x+y= 1
ty+z = 0
x+ (1 +t)y+tz =t+ 1
Solución:t 6= 0,1 sist comp det; t= 0, compa-tible indetx= 1−y, z= 0;t= 1incompatible
37. Discutir según los valores del parámetro:
x+y+z = 3 2x+ 2y+ 2z = 6 3x+ 3y+tz = 9
Solución: t 6= 3 sist compatible indet; t = 3,
compatible indet
2.6 Problemas 19
ax+y= 2
y+z = 1
x+ay= 1
Solución:a6= 0,±1 sist comp det;a= 0,
com-patible indet z = −1, y = 2, x ∈ R; a = −1
incompatible ;a= 1incompatible
39. Discutir según los valores del parámetro:
x−y+z = 6
−x−y+ (a−4)z= 7
x+y+ 2z= 11
Solución:a6= 2sist comp det;a= 2 incompati-ble
40. Discutir según los valores del parámetro y resolver en caso de indeterminación:
3x−4y+z=−4
−x−y+ 2z =−4 7x−7y+az =−4
Solución:a6= 0sist comp det;a= 0, compatible
indetx=12 + 7z
7 , y=
16 + 7z
7 , z∈R
41. Resolver la ecuación matricial:
X·A+B =C siendo:
A=
−1 −3 1 −2
, B =
4 6
−3 5
C =
5 7
−3 6
Solución:
−3 5
2 5 −15 −
1 5
Tema 3
PROGRAMACIÓN LINEAL
3.1.
Desigualdades e inecuaciones
Las desigualdades son:
< ... menor que ... ≤... menor o igual que ...
> ... mayor que ... ≥ ... mayor o igual que ...
Propiedades de las desigualdades y aplicación a la resolución de inecuaciones:
1a Si se suma o se resta un número a los dos miembros de una desigualdad, resulta otra
desigualdad del mismo sentido.
Aplicación:Transposición de términos: un término con+, pasa con−, y un término con
−, pasa con +.
Ej. 2x−5<5x−2; 2x−5x <5−2
2a A) Si se multiplican o dividen los dos términos de una desigualdad por un número positivo,
resulta otra desigualdad del mismo sentido.
Ej. −5≤2; −5×3≤2×3; −15≤6
2a B) Si se multiplica o divide los dos miembros de una desigualdad por un número negativo,
resulta otra desigualdad de sentido contrario. Ej.−5<2; −5×(−7)<2×(−7); 35>
−14
Aplicación: Quitar denominadores, multiplicando por el m.c.m, de los denominadores.
Ej. 2x−3
5 ≤1− 7 2 +
x
10 multiplico por 10 (positivo ) y queda: 4x−6≤10−35 +x
Aplicación: Despejar lax pasando su coeficiente al otro miembro.
Ej. 5x <12 divido por 5 (positivo) x < 12
5
Ej −3x <−7 divido por −7(negativo) x > −7
−3
Inecuaciones lineales con una incógnita Ejemplo resolver:
x−1
−3 −
2x+ 3 2 ≤x
−x+ 1 3 −
2x+ 3 2 ≤x
−2x+ 2−6x−9≤6x
−2x−6x−6x≤9−2
−14x≤7
x≥ −7
14
x≥ −1
2
−1 2 0
3.2.
Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Semiplanos.
Son expresiones de la forma ax+by > c.
Su representación gráfica es un semiplano cuya frontera es la recta ax+by =c. Para ver cual de los dos semiplanos es el solución se estudia si un
punto es solución (por ejemplo el origen), en caso afirmativo su semiplano es el semimplano solución.
La frontera está incluida en la solución si la desigualdad es no es-tricta.
Ejemplo Resolver 3x−4y≤12
x 0 4
y −3 0
Probamos el origen: 3·0−4·0≤12 sí es solución.
3x−
4y=
12
3.3.
Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
La solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incóg-nitas vendrá dada por la intersección de los semiplanos solución de cada inecuación. Se llama Región factible.
Ejemplo 1 Resolver:
x+ 3y≤3 (1)
x≥2
x−y+ 1≥0 (2)
y≥0
1 2
3.4 Función lineal de dos variables 23
2
1
(1) :y=ax+b
f(−2) = 1
f(0) = 0 y=−
x
2 (2) :y=ax+b
f(−2) = 1
f(0) = 3 y=x+ 3
y ≤3
x≤2
y ≥ x
2
y ≤x+ 3
3.4.
Función lineal de dos variables
Es de la forma f(x, y) = ax+by.
El conjunto de los puntos(x, y)que verificanf(x, y) = c
es la recta ax +by = c, al variar c obtenemos rectas paralelas.
Si los valores dex eyestán restringidos a una cierta re-gión del plano, la función no podrá tomar cualquier valor y entonces cabe hablar de valores máximo y mínimo de
f(x, y)en esa región. Se tiene que:
c=
0
c=
−4
c=
2
f(x, y) =x+ 2y
El máximo o el mínimo de una función lineal se alcanza en puntos de la frontera
f(x, y) = 0
f(x, y) =c f(x, y)> c
(x,y)
Ejemplo Dado el conjunto solución del sistema:
2x+y≥2 (1)
−x+y≤1 (2) 2x−y≤2 (3)
hallar si la función
F = 2x+ 3y posee máximo y mínimo en él. Representamos el conjunto solución del sis-tema de inecuaciones y trazamos la recta:
F(x, y) = 0 2x+ 3y= 0 x 0 −3
y 0 2
Para hallar el máximo observamos cual es la paralela que pasa por un vértice que hace ma-yor el valor de ”F” es la que pasa por A. El valor máximo de F(x) = 2x+ 3y en la región factible se alcanza en el punto A(3,4)
y vale f(3,4) = 2·3 + 3·4 = 18
B(1,0)
A(3,4)
F( x,y
) = 0
F
(x,
y
) =
m in
F( x,y
) =
m ax
1
2
3
El valor mínimo de F(x) = 2x+ 3y en la región factible se alcanza en el punto B(1,0) y vale f(1,0) = 2·1 + 3·0 = 2
Ejemplo Maximizar y minimizar, si es posible, la función f(x, y) =x+y en la región dada por el sistema de ecuaciones:
x≥ −1 (1)
y≥ −2 (2)
y≥6−x (3)
Representamos la rectay= 6−x x 0 6 y 6 0 ,
y ya podemos dibujar la región factible: Ahora representamos la función de dos varia-bles igualada a 0.
f(x, y) =x+y= 0 x 0 −2
y 0 2
Observamos que ”f” crece hacia la derecha y hacia arriba, la región factible no está acota-da en esa zona. Por tanto la función ”f” no alcanza un máximo en un punto concreto.
A(−1,7)
B(8,−2)
F
(x
, y)
= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1 −2
Para el mínimo será lo más a la izquierda y abajo posible, vemos que f(−1,7) =−1 + 7 = 6; f(8,−2) = 8−2 = 6
Por tanto ”f” alcanza el mínimo en todos los puntos del segmento de extremos(−1,7),(8,−2
y vale 6.
Casos posibles al maximizar una función lineal
una solución infinitas soluciones no hay punto donde la fun-ción tenga máximo
f(x, y) = 0 f(x , y)
= 0
3.5 Problemas de programación lineal con dos variables 25
Según los signos de los coeficientes dexy deyse observa cual es al dirección en que aumenta la función: C aumenta para:
x +2y = C derecha arriba
x -2y = C derecha abajo
-x +2y = C izquierda arriba
3.5.
Problemas de programación lineal con dos variables
Estos problemas pretenden optimizar (buscar el máximo o mínimo) una función lineal
F(x, y) =ax+by, llamada función objetivo, cuando las variables están sometidas a restricciones dadas por inecuaciones lineales, llamada región factible.
Para ello representamos la región del plano determinada por las inecuaciones y buscamos el punto de la frontera para el que la función objetivo se optimiza. Esto se hace, bien analíticamente (sustituyendo los valores extremos en la función objetivo), bien gráficamente viendo la paralela a la recta F(x, y) = 0 que toca a un punto extremo para el que se optimiza.
Pueden tener solución única (un punto), múltiple (los puntos de un segmento) o no tener solución (cuando la región no está acotada por la parte que se quiere optimizar).
Ejemplos
1. Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1’5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 13’50 euros, respectivamente. ¿Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su venta?
1) Planteamos la función objetivo y las relaciones de ligadura:
x=n0 de cajas tipo A
y=n0 de cajas tipo B. Ganancia: F(x, y) = 13x+ 13′50y
chocolate:
3x+ 2y≤500 (1) x 0 166′6
y 250 0
almendras:
x+ 1′5y ≤100 (2) x 0 100
y 66′6 0
frutas: x+y≤85 (3) x 0 85
y 85 0
además: x≥ 0 y≥0 pues x e y no pueden ser negativas
A(55,30)
100 100
F
(x , y)
= 0
1
2) Representamos el conjunto solución del sistema de inecuaciones y trazamos la recta:
F(x, y) = 0 13x+ 13′50y= 0 x 0 −135
y 0 130
Buscamos la paralela que pasa por un vértice y da una ordenada mayor en el origen: es la que pasa por el vértice intersección de
x+ 1′5y= 100
x+y = 85 es (55,30)
Luego para obtener la mayor ganancia el fabricante deberá producir 55 cajas de tipo A y 30 de tipo B.
La ganancia será entonces: F(55,30) = 13,55 + 13′50,30 = 1120 euros.
2. El veterinario recomienda a un ciego que, durante un mes, el perro tome diariamente 4 unidades de hidratos de carbono, 23 de proteínas y 6 de grasas. En el mercado se encuentran dos marcas, M1 y M2, ajustadas a la siguiente distribución de principios
nutritivos:
H P G Precio M1 4 6 1 100
M2 1 10 6 160
¿Cómo deberá combinar ambas marcas para obtener la dieta deseada por el mínimo precio? (Problema de la dieta)
Sea x=n0 de latas tipo M 1
y=n0 de latas tipo M 2.
Planteamos la función objetivo y las re-laciones de ligadura:
Función objetivo a minimizar
precio: F = 100x+ 160y
hidratos: 4x+y≥4 (1) x 0 1
y 4 0
proteínas: 6x + 10y ≥
23 (2) x 0 3
′8
y 2′3 0
grasas: x+ 6y≥6 (3) x 0 6
y 1 0
además: x≥0 y ≥0
A
B
F( x,y
) = 0
2
1 3
Función objetivo: 100x+ 160y= 0 x 0 −160
y 0 100
Como no se ve con claridad en la figura en qué punto de la frontera corresponde el mínimo comprobamos el valor de F en los dos puntos extremos A y B
F(1
2,2) = 370, F(3, 1
2) = 380
luego la solución más barata es emplear media lata de la marca M1 combinada con dos
3.5 Problemas de programación lineal con dos variables 27
4.1
2 + 2 = 4≥4
6.12 + 10,2 = 23≥23
1
2 + 6,2 = 12′5≥ 6
3.6.
Problemas
1. Resolver a)5x−3≤ 14x+ 7 2
b)3−2x≥ 5−3x
4
2. Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las desigual-dades
x+y−3≤0
x≥0
y≥0
x−y+ 2 ≥0
3. Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las desigual-dades
2x−y≥ −2
x−y≥ −2
x≤1 2x−y≤3
4. Minimizar la función z = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones:
x+y≥2
x≤1/2
y≤4
x−y≤0
Solución:P(−2,4)
5. Maximizar la función z del ejercicio an-terior con las mismas restricciones.
Solución:P(1/2,4)
6. Hallar las parejas de valores no negati-vos (x,y) que minimizan la función z = 3x + 2y, con las siguientes restricciones:
7x+ 2y ≥14 4x+ 5y ≥20
Solución:Q(10/9,28/9), z(Q) = 86/9
7. Minimizar la función z = 500000x + 400000y, con las siguientes restricciones:
12x+ 5y≤120 6x+ 8y≤180 5x+ 10y≤100
x+y≥7
x≥0
y≥0
Solución:z(0,7) = 2,800000, infinitas
8. Maximizar y minimizar z = 100x−150y
en la región representada. Hallar el siste-ma de inecuaciones correspondiente.
Solución: min(−1,1)max(2,−2)
9. Se considera el recinto plano de vértices (0,0), (1,3), (3,3) en el que están inclui-dos los tres lainclui-dos y los tres vértices de las rectas asociadas a las desigualdades a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto.
b) Maximizar la función Z = 3x− 6y
sujeta a las restricciones del recinto.
Solución: Las inecuaciones son: y ≤ 3;y−x≥
0;y−3x≤0. La función es máxima para (0,0)
y el valor alcanzado es 0.
3.6 Problemas 29
ascienden a 150 $ y los de la mina B a 200 $. ¿Cuántos días deberán trabajar en cada mina para que la función de coste sea mínima?.
Solución: x = 60 días en A, y = 5 días en B,
coste mínimoF(60,5) = 10000$
11. Un frutero necesita 16 cajas de naran-jas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para sa-tisfacer sus necesidades, pero sólo ven-den la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en ca-da contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km, calcular cuantos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
Solución:x= 3 contenedores,y= 2
contenedo-res,F(3,2) = 1050km mínima distancia
12. Una persona puede invertir hasta 1 mi-llón de euros. Su asesor fiscal le sugie-re que invierta en dos tipos de acciones A y B. Las acciones A implican algo de riesgo, pero tienen un rendimiento anual del 10 %, mientras que las acciones B son más seguras pero su rendimiento es del 7 %. El inversor decide invertir como má-ximo 600000 euros en las acciones A y por lo menos 200000 euros en las accio-nes B. Además decide que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe realizar su inversión para que sus ganancias anuales sean má-ximas?.
Solución: 600000 euros en A, 400000 euros en B
13. Una fábrica de automóviles y camiones tiene dos talleres. En el taller A para hacer un camión deben trabajar 7 días-operario, en cambio para fabricar un au-tomóvil se precisa 2 días-operario. En el taller B invierten 3 días-operario tanto en la terminación de un camión como en la de un automóvil. Debido a las limi-taciones de hombres y maquinaria, el ta-ller A dispone de 300 días-operario, mien-tras que el taller B dispone de 270 días-operario. Si el fabricante obtiene una ga-nancia de 60000 euros en cada camión y 20000 euros en cada automóvil, ¿cuántas unidades de cada uno deberá producir la fábrica para maximizar su ganancia?
Solución: x = 24 camiones, y = 66 coches,
F(24,66) = 2′76millones de euros
14. Un artesano dispone de 6 unidades de mimbre y trabaja 28 horas a la semana. Fabrica sombreros y cestos. Cada som-brero necesita 1 u. de mimbre y 8 horas de trabajo, cada cesto 2 u. de mimbre y 7 horas de trabajo. Gana por cada som-brero 80 u. m. y por cada cesto 120 u.m. ¿Cuántas unidades de cada producto de-be fabricar a la semana si desea maximi-zar sus ingresos?
Solución: max para(14/9,20/9); 3 cestos, 0 som-breros
15. Un pintor necesita pintura para pintar como mínimo una superficie de 480 m2.
Puede comprar la pintura a dos provee-dores, A y B. El proveedor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6m2 por
kg y un precio de 1 euro por kg. La pintu-ra del proveedor B tiene un precio de 1,2 euros por kg y un rendimiento de 8 m2
pin-tor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese dicho coste mínimo.
Solución:
50 100
50 100
f(x) =
6x+ 8y≥480
x+ 1′2y≤120 f(0,60) = 72
16. Un pintor necesita pintura para pintar como mínimo una superficie de 480 m2.
Puede comprar la pintura a dos provee-dores, A y B. El proveedor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6m2 por
kg y un precio de 1 euro por kg. La pintu-ra del proveedor B tiene un precio de 1,2 euros por kg y un rendimiento de 8 m2
por kg. Ningún proveedor le puede pro-porcionar más de 75 kg y el presupuesto máximo del pintor es de 120 euros. Cal-cúlese la cantidad de pintura que el pin-tor tiene que comprar a cada proveedor para obtener máximo rendimiento. Cal-cúlese dicho rendimiento máximo.
Solución:
50 100
50 100
bC
f(x) =
6x+ 8y≥480
x+ 1′2y≤120 f(30,75) =
780m2
17. Dos pinturas A y B tienen ambas dos ti-pos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30 % de p y un 40 % de q, B está compuesto de un 50 % de p y un 20 % de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede su-perar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos.
a) ¿Qué mezcla contiene la mayor canti-dad del pigmento p?
b) ¿Qué mezcla hace q mínimo?
Solución: a) F (60, 30) = 33
b) F (20, 10) = 10 .
3.6 Problemas 31
Solución: x = gr de A, y = gr de B ,
con las siguientes restricciones:
x≤2y y−x≤2
x+y≤5
y >1
x >1
f(10/3,5/3) = 10millones
19. Un abono para jardines ha de tener como mínimo 15 gr de un componente químico líquido y 15 gr de otro componente sólido por m2. En el mercado se encuentran dos
clases de abono: el tipo A, que contiene 10 % del componente líquido y 50 % del sólido, y el tipo B, que contiene 50 % del componente líquido y 10 % del sólido. El precio del tipo A es de 10 euros y el ti-po B es de 30 euros. ¿Qué cantidades han de comprarse de cada tipo para cubrir las necesidades de un jardín de 500 m2 con
un coste mínimo?
Solución:x= 25gr/m2tipo A, y =25gr/m2tipo
B, 500 m2, 12500 gr para A, 12500 gr para B
20. Maximizar y minimizar la función
f(x, y) = 5x−4y en la región:
21. Dada la región del plano de vértices
A(3,2), B(4,2), C(4,−1)
a) Hallar el sistema de inecuaciones que la define.
b) Maximizar y minimizar la función
f(x, y) = 6x+ 2y en esa región.
Solución: El máximo se da en el puntoB y vale
28, El mínimo se da en el segmentoAC¯ y vale
Tema 4
FUNCIONES
4.1.
Función
Una función transforma números en números,
Dicho con más precisión, una función es una aplicación 1 en la que el conjunto original y el
conjunto final están formados por números.
Ejemplo
f : R −→R
x−→f(x) = 2x+ 1 Esta función de los números reales en los números reales le asocia
a cada número su doble más uno.
En general una función se representa : y=f(x)
x es un elemento cualquiera del conjunto original, se llama variable independiente;
y representa su correspondiente imagen en el conjunto final, se llama variable dependiente. Al conjunto de valores que tomax se le llamadominio D, es un subconjunto del conjunto original, si no se especifica, es el mayor posible.
Ejemplos
1. f : [−1,1] −→R
x −→f(x) = 1
x−2
, Dom(f) = [−1,1]
2. y= 1
x−2, Dom(f) =R−2
3. y=√x+ 3, ha de ser: x+ 3≥0, x≥ −3, Dom(f) = [−3,∞)
Al conjunto de valores que toma la y se le llama rango, recorrido ó imagen, (se deduce de la gráfica).
1aplicación quiere decir que un número no puede tener más de una imagen, por ejemploy2=xque equivale
a y=±√x, NO ES FUNCIÓN
4.2.
Gráfica de una función
Dada una función y=f(x) , los puntos de coordenadas
(x, f(x)) representan puntos del plano, el conjunto de
ellos es la gráfica de la función. b (x, f(x)) x
f(x)
4.3.
Gráfica de una función definida a trozos
f(x) =
4 si x≤ −2
x2 −2x−4 si −2< x≤1
2x+ 1 si 1< x
En las funciones definidas a trozos hay que dar también los valores de x en que cambia de expresión.
El primer trozo es una recta horizontal.
El segundo es una parábola:
y=x2−2x−4
x2−2x−4 = 0;x= (ejemplo anterior) ≈
3′23
−1′23
vértice: xv = −b 2a =
2 2 = 1
x y
3′23 0
−1′23 0
1 −5
−2 4
El tercer trozo2x+ 1 es una recta:
x y 1 3 2 5
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2
−1
−2
−3
−4
b