UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

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(1)

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.

CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER:

Ejercicios resueltos y propuestos.

Prof. Jorge Inostroza L.

1.- Hallar el período de la función: x a b Sen x

f( ) ( 2 )

S

.

Solución:

Si ( 2S ) Ÿ ( 2S)

a x Senu Senu Sen u b

Sen Si T es el período

) 2 ( ) 2 2

( )) ( 2 ( )

2

( S S S S S

a x Sen b a x T Sen b ax b aT Sen u b

Sen ?

S S

2 2

aT

b a bien T (ba) el período buscado. Por ejemplo si f x Sen )x

5 3 ( )

( S y como

3 10 2 )

(x Sen S

f el período será

3 10

.

2.- Probar que si f(x) ,tiene período p; f(Dx) tiene período

D p .

Solución:

p T p x f T x f x

f(D ) (D( )) (D )ŸD ó

D p

T .

Del mismo modo entonces ( )

E x

f tendrá período T pE (Basta cambiar

E

D por 1 ).Entonces

el período de x

a b Sen

S

2

será

S S

2

2 b a

(2)

Y el período de l

x

CosS será l

l 2 2

S S

.

3.- Pruebe que la función :

x Sen x

Sen x

Sen x

f 5

5 1 3 3 1 )

( , es de período 6S

Solución.

x

Sen , tiene periodo 2k1S x

Sen3 “ “ 3 2k2S

x

Sen5 “ “ 5 2k3S

haciendo k1 3 k2 9 y k3 15 cada una será de período 6S. Y por lo tanto la función dada.

4.- Pruebe la ortogonalidad de la base:

^

1;Cosx;Senx;...Coskx;Senkx...

`

Solución:

0

1

³

S

S

Coskxdx Coskx

$

³

S

S

0 1$Senkx Senkxdx

³

˜

S

S

0 ... mxdx

Sen Cosnx mx

Sen nx Cos $

0 ...

˜

³

S

S

mxdx Cos nx Cos mx

Cos nx Cos $

0 ...

˜

³

S

S

mxdx Sen nx Sen mx

Sen nx

Sen $ .

5.- Si la función :f(t) CosD t CosEt es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n enteros tal :

n m E D

(3)

S D

D

Dt Cos t p p m

Cos ( )Ÿ 2

S E

E

Et Cos t p p n

Cos ( )Ÿ 2 .Luego el cuociente

n m

Ÿ

E D

.

6.- Pruebe que la función f(t) Cos(10t)Cos(10S)t , no es periódica.

Solución.

Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos:

n m

S

10 10

S

Ÿ10(m n)

Ÿesto no es posible pues el primer miembro es un entero .

7.- Pruebe que la función :f(t) 102Cos2t, es de período S.

Solución.

) 2

2 1 ( 10 )

( 2 Cos t

t

f =50(1Cos2t),Como Cos 2t tiene período 2S

2 1

, la función lo es.

8.- Encontrar el período de la función:

4 3

)

(t Cost Cos t

f .

Solución.

3 t

Cos es de período 6S

4 t

Cos es de período 8S, luego ambas lo son de período 24S

9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:

° ¯ ° ® ­

d

S S

S S

S

x x

x x

f

2 / 0

2 / 0

2 /

0 0

(4)

Solución.

Los coeficientes serán:

³

S

S

S f x dx

a0 1 ( ) =

³

2 /

2 1S

S S

S dx=……….=4

S

.

2 2

1 ... 2

1 )

(

1 /2

0

S S

S S

S S

S

Senk k Coskxdx

Coskxdx x

f

ak

³

³

=

) 2 1

( 2

1 ... 2

1 )

(

1 /2

0

S S

S S

S

S

S

Cosk k

Senkxdx Senkxdx

x f

bk

³

³

=

° ° °

¯ ° ° °

® ­

16 , 12 , 8 , 4 ... 0

... 14 , 10 , 6 , 2 ... 1

... 2

1

k k k

impar k k

10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función:

¯ ® ­

d d

d d

S S S

x x

x x

x f

0 .... ...

0 ...

) (

Solución.

Como lo muestra el gráfico es una función par luego su Serie será :

¦

f

1 0

2 a Coskx a

k , con

³

S

S S 0

0 2

xdx a

°¯ ° ® ­

³

k impar

k

par k Cosk

k xCoskxdx

ak

.... 2 ... 0 ) 1 (

1 ... 2

2 0

2 S

S S

La S de F será:

¦

f

1 (2 1)2 ) 1 2 ( 2

2 k

x k Cos S

11.- Si f(x) = Cos (Dx), S d xdS;D una constante no entera. Probar que a partir de su Serie de Fourier.

..) ... 3

1 2

1 1 1 2

1 (

2 2 2 2 2 2 2

D D

(5)

Solución.

Se trata de una función par ,luego bk 0 y

DS

DS

D

S

S

S

Sen

xdx

Cos

a

³

2

1

0

³

˜

S D S 0

2

kxdx Cos x Cos

ak =

³

S

D D

S 0 ( ) ( )

1

dx x k Cos x k Cos

¸ ¹ · ¨

© §

¸

¹ · ¨

© §

k k Sen k

k Sen k

x k Sen k

x k Sen ak

D S D D

S D S

D D D

D S

S

) ( )

( 1 )

( )

( 1

0

¸ ¹ · ¨

© §

˜

˜

k Cosk Sen

k Cosk Sen

ak

D

S DS

D

S DS

S

1

= ¸

¹ · ¨

© §

k k

Sen

k

D D

S

DS 1 1

1

D

S DS D

Sen k

a

k k 2 2

1 2

.

Luego la representación quedará:

¸¸ ¹ · ¨¨

© §

¦

¦

f

) (

) 1 ( 2 1 )

( ) 1 ( 2

2 2 1

2 2

k Coskx Sen

k Sen Sen

x Cos

k k

D D D S

DS D

S

DS D

DS DS

D ; si x = 0

¸¸ ¹ · ¨¨

© §

¦

) (

) 1 ( 2

1

2 2 2 2

k Sen

k

D D

D DS S

.

12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función

¯ ® ­

S S

x x

x x

f

0

0 0

) (

Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que:

¦

f

1

2 2

) 1 2 (

1

8 k

S

.

Solución.

(6)

La serie debe ser de la forma:

¦

f

1 0

2 a Coskx b Senkx a

k

k ; donde :

³

S

S S 0

0

2 1

xdx

a

³

S

S 0

1

xCoskxdx ak

°¯ ° ® ­

impar k

k

par k Cosk

k 2... ....

... .... ... 0 ) 1 (

1

2 2

S S

S

³

S

S 0

1 ) 1 ( 1

1 k

k

k xSenkxdx

b .Luego la representación será:

¦

2

) 1 2 (

) 1 2 ( 2

4 ) (

k x k Cos x

f

S S

+ Senkx

k

k

2 ) 1 ( S

.

En x = 0 la serie converge al valor de la función, por ser continua Ÿ

¦

f

1

2 ) 1 2 (

1 2

4 0

k S S

. ) 1 2 (

1

8 1

2 2

¦

f

Ÿ

k S

Sin embargo en x S converge al valor promedio de los limites laterales o sea a 2

S

y el resultado es el mismo.

Fig

13.- Hallar la Serie de Fourier parta la función

¯ ® ­

2 / 3 2

/

2 / 2

/ )

(

S S

S

S S

x x

x x

x

f .

Solución.

Fig.

(7)

Senkx b Coskx a a

k

k

¦

2

0 , siendo

¸ ¸ ¹ · ¨

¨ © §

³

³

2 /

2 /

2 / 3

2 /

0 ( )

1 S

S

S

S S

S xdx x dx

a = 0

³

³

³

2 /

2 /

2 / 3

2 /

2 / 3

2 / (

1 S

S

S

S

S

S S

S xCoskxdx Coskxdx xCoskxdx

ak ) = 0

³

³

³

2 /

2 /

2 / 3

2 /

2 / 3

2 / (

1 S

S

S

S

S

S S

S xSenkxdx Senkxdx xSenkxdx

bk ) =

=

¯ ® ­

¯

®

­

par k k

impar k k

par k

impar k k

k

... ) 1 (

... ... 0 2

1 ...

... 0

... )

1 (

3 1

2 S

Luego la serie de Fourier para esta función queda:

. 2 4

) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 2 (

) 1 ( 3

2 Sen kx

k x k Sen k

k k

¦

S

Observación.

Nótese que al trasladar el gráfico de la función dada hacia la izquierda en S/2 se transforma en una función par cuya serie no es la misma.

14.- Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función:

¯ ® ­

d

d d

2 1

... ... 2 / 3

1 0

... ... 2

/ 1 ) (

x x

x x

x f

Fig.

Solución.

a) Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma:

¦

a Cosk x b Senk x a

ki

k S S

2

(8)

con

³

³

³

2

0

1

0

2

1

0 f(x)dx (1/2 x)dx (x 3/2)dx

a 0

³

³

1

0

2

1

) 2 / 3 ( )

2 / 1

( x Cosk xdx x Cosk xdx

ak S S =………

°¯ ° ® ­

impar k k

par k .... 4

. ... 0

2 2

S

³

³

1

0

2

1

) 2 / 3 ( )

2 / 1

( x Senk xdx x Senk xdx

bk S S =………..

°¯ ° ® ­

k impar k

par k ... 3

. ... 0

S

Así la S de F quedará:

¦

¦

) 1 2 (

) 1 2 ( 3

) 1 2 (

) 1 2 ( 4

2 2

k

x k k Sen k

x k k

Cos S

S S S

b)La extensión par de la función hace que la Serie sea

:a

¦

akCosk x 2 2

0 S con (b-a) = 4

Donde ˜

³

2

0

0 ( )

2 1

2 f x dx

a 0 y ˜

³

2

0 2

) ( 2 1

2 f x Cosk xdx

ak S

xdx k Cos xdx

k xCos dx

x k xCos dx

x k Cos

ak

³

³

³

³

2

1 2

1 1

0

1

0 2 2

3 2

2 2

2

1 S S S S

=

……….= 162 2 si .k

2,6,10...(4k2)

. k S

La Serie:

¦

2 2

) 2 4 (

2 ) 2 4 ( 16

k

x k

Cos S

S .(¿)

15.- Sea la función f(x) Senx a) determine el período. b) Pruebe que es par c) encuentre la S de F. en

>

S/2,S /2

@

.

(9)

Solución.

Senx Senx

CosxSen SenxCos

x

Sen( S) S S ,período S,que el gráfico

también confirma.

b) Sen(x) Senx Senx par.

c) La S de F. será : a

¦

akCos2kx 2

0 ; pues el intervalo es de magnitud S,donde

S S

S

1 2

2 2 /

0

0 ˜

³

Senxdx

a

³

˜

2 /

0 (4 1).

2 2

1S

S

S k

k kxdx

Cos Senx

ak quedando .

¦

) 1 4 (

2 2

2 1

k kx kCos S

S . Como la serie pedida.

16.- Sea la función y = f(x) seccionalmente continua, par y de período 4l e impar respecto a la recta x l .Determinar que su Serie de Fourier para f(x) está dada por:

x l n Cos a n

2 ) 1 2 ( 1

1 2

S

¦

f con x

l n Cos x f l a

l n

³

0 1 2

2 ) 1 2 ( ) (

2 S

Fig.

Solución.

0

n

b

³

³

l l

l

dx x f l dx x f l a

2

0 2

2

0 ( )

1 ) ( 2

1

. Pero

³

³

l l

dx x f dx x f 2

0 0

) ( )

(

³

l

l

dx x f 2

) (

=

³

³

l l

dx x f dx x

(10)

¿ ¾ ½ ¯ ® ­

³

³

³

x l n Cos x f x l n Cos x f l x l n Cos x f l a l l l l n 2 0 2 0 2 ) ( 2 ) ( 1 2 ) (

1 S S S

Si x 2lu.

n

a ( )( )

2 ) ( 2 ) ( 1 0 0 du u l n Cos u f x l n Cos x f l l l ¯ ® ­

³

S

³

S ¿¾½

³

³

¿¾½ ¯ ® ­ 0 0 ) )( 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 1 l l

n l x dx

l n Cos x l f x l n Cos x f l

a S S ; f(2lx) f(x)

¿ ¾ ½ ¿ ¾ ½ ¯ ® ­ ¯ ® ­

³

³

x dx

l n lSen l n Sen x l n lCos l n Cos x f dx l n Cos x f l a l l n 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( 1 0 0 S S S S S dx x l n Cos x f l a l n ¯ ® ­

³

0 2 ) ( 1 S + x l n Cos x f l n 2 ) ( ) 1 ( 0 1 S

³

dx

¿ ¾ ½ n a = ° ¯ ° ® ­

³

l impar n si dx l n Cos x f l par n si 0 2 ) ( 2 0

S ? dx

l n Cos x f l a l n

³

0 1 2 2 ) 1 2 ( ) ( 2 S

17.- Sea

¦

f 1 0 ) (

2 a Coskx b Senkx a

k

k , la Serie de Fourier de f(x).Si g(x) f(xS),

mostrar que la Serie de Fourier de g(x) es ( 1) ( ) 2

0 a Coskx b Senkx a k k k

¦

Solución. Fig

Nótese que el gráfico de g(x) se obtiene desplazando el de f(x) a la derecha en S,entonces:

Si g x A

¦

AkCoskxBkSenkx 2

)

( 0 donde 0<x<

S

(11)

³

³

S S

S S

S

2

0 2

0

0 ( )

1 ) ( 1

dx x f dx

x g

A , si hacemos u=xS ŸS uS , luego

³

S

S

S 0

0 ( )

1

a du u f

A

³

³

S S

S S

S

2

0 2

0

) ( 1 )

( 1

Coskxdx x

f Coskxdx

x g Ak

³

S

S

S S f u Cos u du Ak 1 ( ) ( )

Ak

³

f u

^

Cos u Cos SenuSen

`

du

S

S

S S

S ( ) ( )

1

³

S

S

S S f u Cos u Cos du

Ak 1 ( ) ( ) =1

³

(1)k f(u)Cos(u)du (1)kak

S

S

S .

Igualmente para Bk.

18.- Sea tR y f(x) Cos(tSenx). a) Probar que f(x) es par y de período S

b) Escriba los coeficientes y la Serie de Fourier si x

>

0,S

@

c) Probar que para a0(t) se tiene : ta0 ''a0'ta0 0.

Solución.

a) f(x) par sii f(x) f(x) x

>

S;S

@

) ( )) ( ( ) ( ( )

( x Cos tSen x Cos tSen x Cos tSenx

f luego es par.

? ) ( ) (

¿f x f xS

). ( ) ( ) (

)) (

( ))

( ( )

(x Cos tSen x Cos t Senx Cos tSenx Cos tSenx f x

f S S

b)

³

S

S 0

0 ( )

2

dx tSenx Cos

a

³

S

S 0

2 ) ( 2

kxdx Cos tSenx Cos

ak

(12)

c) Si

³

Ÿ

³

˜

S S

S

S 0 0 0

0 ( ( ))

2 ) ( ' )

( 2 )

(t Cos tSenx dx a t Sen tSenx Senxdx a

³

˜

S

S 0

2

0 ( ) .

2 ) (

'' t Cos tSenx Sen xdx a

Luego:

`

^

tCos tSenx Sen x Sen tSenx Senx tCos tSenx dx ta

a

ta'' ' 2 ( ) 2 ( ) ( )

0 0 0

0

³

˜ ˜

S

S .

Pero como: Si u Sen(tSenxdu Cos(tSenxtCosxdx Cosx

v Senxdx

dv Ÿ Entonces:

xdx Cos tSenx tCos xdx

Cos tSenx tCos Cosx

tSenx Sen Senxdx

tSenx

Sen 2

0 0

2

0

) ( )

( )

( )

( ˜ ˜

³

˜

³

˜

³

S S

S

Reemplazando se cumple.

19.- Si f(x) ex 0d xd2

. Obtener la Serie de Fourier de g(x) ,función par de período 8 tal que g(x) = f(x) en 0dxd2.

Solución.

Fig.

Hacemos g(x) como la extensión par de la función f(x) extendida al 0dxd4

¯ ® ­

d

d d

4 2

0

2 0

) (

x x e

x f

x e

Así g(x) es la extensión par de fe(x), por lo tanto:

x k Sen b x k Cos a a

x

g k k

4 4

2 )

( 0 S S

¦

(13)

Con

³

³

4

0

2

0

2

0 ( 1)

2 1 2

1 ) ( 2 1

e dx e dx x f

a x

° ¯ ° ® ­

³

k k impar

par k k

e xdx

k Cos e

a k

k x

k

4 ) 1 (

1 ) 1 ( 16

8 . ... 4

2 1

1 2

2 2 2

0

S S

S

20.- Probar la relación de Parseval:

) (

2 )

(

1 2 2

2 0 2

k k p

p

b a a

dx x f

p

³

¦

.

Solución.

Si f(xSC

>

p;p

@

y

¦

xŸ

p k Sen b x p k Cos a a

x

f k k

S S

2 )

( 0

) (

) (

) 1 ( 2 ) ( )

( )

( 2 0

f x p k Sen b f x p k Cos a f

a dx x f x f x

f k

p

p

k $ $

$

$

³

¦

S S

Pero1 f f(x)dx pa0

p

p

³

$ k x pbk

p k Sen f pa

x p k Cos

f $ S $ S

¿ ¾ ½ °¯

° ® ­

¦

³

2 2 2

0 2

2 )

( k k

p

p

b a a

p dx x f

21.- Hallar la Serie de Fourier de solo cosenos para la función: f(x)= x en

> @

0,2 y mediante la relación de Parseval, probar que :

¦

f

1

4 2

) 1 2 (

1

96 k

S

.

Solución.

(14)

0 a

³

2

0

2 xdx

°¯ ° ® ­

³

k impar

k

par k xdx

k xCos ak

2 2 2

0

8 0 2

2 1

S S

Aplicando Parseval:

³

³

?

p

p

dx x f p dx

x

3 8 ) ( 1 3

16 2

2

2 2

y

¦

¦

¦

Ÿ

4

4

4 4

2 2

0

) 1 2 (

1 96

) 1 2 (

64 2

4

2 a k k

a

k

S S

22.- Si ak y bk son los coeficientes de Fourier para f(x) .Entonces: 0

lim lim

f o f

o k k k

k a b

Solución.

Siendo:

³

¦

p

p

k k b

a a

dx x f

p ( ) 2 ( )

1 2 0 2 2 y que la serie es convergente, entonces su

termino general tiende a cero o sea lim( 2 2) 0œ o0š o0. f

o k k k k

k a b a b

Ejercicios propuestos.

1.- Escribir la Serie de Fourier de las funciones:

a) f(x) ex S dxdS b) f(x) SenSx 0x1

c)

¯ ® ­

d d

S S

S S

x x

x x

x f

0

0 )

( Graficar la extensión periódica d) f(x) ex -1<x<1

e)

° ¯ ° ® ­

S S

S S

S

x x

x x

f

2 / 0

2 / 0

2 /

0 0

) (

f)

¯ ® ­

S S

x x

x x

f

0

0 0

)

(15)

2.- Si f(x) 1 x 1dxd1 ,hallar su Serie de Fourier y deducir la convergencia de la serie numérica:

¦

f

1

2 ) 1 2 (

1 k

3.- Determinar la Serie de Fourier para la función f(x) x 4dxd4con ello deducir la convergencia numérica del ejercicio anterior.

4.- Desarrollar en serie de cosenos la función f(x)= Sen x y analizar su convergencia para x = 0.

5.- Desarrollar en Serie de Fourier f(x) = x2 0d xd2S , y con ello pruebe que

¦

2

2 1

16 k

S

6.- Dada la función de impulso unitario:

° ° °

¯ ° ° °

® ­

d d

d d

S S

S S

x x

x x

f

2 1

2 0

1

0 1

) (

¿Cuál es el valor de la serie si a) x kS b) x=

2 ) 1 2

(16)

CALCULO AVANZADO: INTEGRAL DE FOURIER.

Ejercicios resueltos y propuestos.

1.-Encontrar la integral de Fourier para la función:

° ¯ ° ® ­

!

0

0 2

/ 1

0 0

) (

x e

x x x

f

x

Solución.

Si la integral converge, escribimos:

³

^

`

f

0

) ( )

( 1 )

(x A w Coswx B w Senwx dw f

S donde :

³

³

f

f

f

f

dv wv Sen v f w B dv

wv Cos v f w

A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1

) (

) ( )

( 2

0

f

f

³

e Cos wv dv e Coswvw wSenwv w

A

v v

= 2

1 1

w

2 0

2

1 0 1

) (

) ( )

(

w w w

wCoswv Senwv

e dv wv Sen e w B

v v

f

³

f

Luego:

³

f

0

2 1 1

)

( dw

w wSenwx Coswx

x f

S Si x = 0

³

w dw

f

Ÿ

0 2 1

1 2

S

2.- Demostrar que :

° ¯ ° ® ­

! d

³

f

1 0

1 4

/ 1

1 0

2 / 1 1

0 x

x x Coswxdw

w Senw S

Solución.

La integral corresponde a una función par puesto que B(w) 0, luego consideremos la

función extendida par:

° ¯ ° ® ­

! d

1 0

1 4

/ !

1 0

2 / 1 ) (

x x

x x

f

Así

³

³

f 

Ÿ

0 0

1 ) ( 2

/ 1 2 )

( Coswxdw

w senw x

f w Senw Coswvdv

w A

(17)

3.- Demostrar que:

¯ ® ­

!

³

f

S S S

S x

x Senx

Senwxdw w

w Sen

0 2 / 1 1

1 0

2 .

Solución.

La integral representa a una función impar, pues A(w) 0y 2 1 ) (

w w Sen w B

S

, luego debemos

considerar la extensión impar :

¯ ® ­

! d d

S S S

x x Senx

x fi

0 2 / 1 ) (

De ese modo

³

³

f

f

S

S

v SenvSenwvd Senwvdv

v f w B y

w

A( ) 0 ( ) ( ) 1/2 Ÿ

³

³

S S

0 0

) 1 ( )

1 ( 2

1 )

(w SenvSenwvdv Cos w v Cos w v dv B

¿ ¾ ½

¯ ® ­

1 (1 ) 0

1 ) 1 ( 1

1 2 1 )

( Sen w vS

w v

w Sen w w

B

^

`

2

2

1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2

1 )

(

w Senw w

Sen w w

Sen w w

w B

S S

S

Así

³

f

0 2 1 1 )

( Senwxdw

w Senw x

fi S

S y corresponde con f(x)si x(0,S)

4.- Representar mediante una integral de Fourier del tipo

³

f

0 ) ( 1

Coswxdx w

A

S a la función:

° ¯ ° ® ­

!

2 0

2 1

2

1 0 )

(

x x x

x x

x f

Solución .

Lo que se pide es representar a una función par por lo que hacemos la respectiva extensión de la función dada. Así

½ ­

³

³

³

(18)

¿ ¾ ½ ¯

®

­

2

1 2 2

2 ) (

w w Cos Cosw w

A y por lo tanto:

Coswxdw w

w Cos Cosw x

f

³

f

¿ ¾ ½ ¯

®

­

0

2

1 2 2

2 ) (

S

5.- Si f(x) es una función par con su integral

³

f

0 ) ( 1 )

(x A wCoswxdw f

S .Demostrar

que:

³

f

0

2 2

2 ( )

) ( * )

( ) ( * 1 ) (

dw w A d w A donde dw

wx Cos w A x

f x

S

Solución.

Como

³

f

0

2f(x) 1 A*(w)Cos(wx)dw x

S pues es una función par y como

³

³

f f

0 0

) ( ) ( 2 ) ( )

( 1 )

(x Cos wx dw con A w f v Cos wv dv

f

S Entonces

³

³

f f

0 0

2 2

2

) ( ) ( 2 )

( ) (

2 v f v Cos wv dv

dw A d dv

wv Sen v vf dw

dA

, comparando con

) ( * w

A

³

f

0 2

) ( ) (

2 v f v Cos wv dv 2

2 ) ( )

( *

dw w A d w

A

Ÿ .

Observación:

Para representar la función:

¯ ® ­

!

a x

a x x

x f

0

0 )

(

2

Consideramos la extensión par de

¯ ® ­

!

a x

a x x

f

0

0 1

)

( y aplicamos lo anterior en que

w Senwa w

A( ) 2

6.- Sea

³

f

0

) ( ) ( 1 )

(x B w Sen wx dw f

S . Hallar la integral de Fourier de la función Senx

x f x

g( ) ( ) .

(19)

Como f(x) es una función impar, g(x) es par ,luego:

³

f

0

) ( ) ( 1

dw wx Cos w A Ig

S donde

³

f

0

) ( ) ( 2 )

(w g v Cos wv dv

A

³

f

0

) ( )

(

2 f v SenvCos wv dv

³

^

`

f

0

) 1 ( )

1 ( )

(v Sen w v Sen w v dv f

`

^

³

³

f f

0 0

) 1 ( ) 1 ( 2 1 )

1 ( ) ( )

1 ( ) ( )

(w f v Sen w vdv f v Sen w vdv B w B w

A .Luego

bastaría con conocer el coeficiente B(w).

7.- Si f(x) es una función par con integral:

³

f

0

. ) ( ) ( 1 )

(x A wCos wx dw

f

S Entonces

dw wx Sen dw dA x

xf( ) 1 ( )

0

³

f

¸ ¹ · ¨ © §

S .

Solución

Para

³

f

0

) ( ) ( * 1 )

(x B w Sen wx dw

xf

S donde

³

f

0

) ( ) ( 2 ) (

* w vf v Sen wv dv

B .Pero como

³

f

0

)( (

2 vf v Senwvdv dw

dA

pues

³

f

0

) ( ) ( 2 )

(w f v Cos wv dv

A ŸB*(w)

dw dA

.

8.- Probar que si

³

f

0

) ( ) ( ) ( ) ( 1 )

(x A wCos wx B w Sen wx dw f

S . Entonces se cumple:

( ) ( )

. 1

) (

0

2 2

2

dw w B w A dx

x

f

³

³

f f

f

S

Solución.

^

Cos wx f

`

B w

^

Sen wx f

`

dw

w A dx

x f f

f $ ( ) 1 ( ) ( )$ ( ) ( )$

0 2

³

³

f

f

f

S

1

^

A (w) B2(w)

`

dw 0

2

³

f

S .

(20)

Solución.

Si tomamos: f(x) S adxda, función par entonces:

0 ) ( 2 ) ( 2

) (

0

a wv Sen w dv wv Cos w

A

a

³

S S = 2 Sen(wa) w

S

? ( ) 4 2 2( ) 2

2

wa Sen w w

A S

Por otra parte:

³

³

a

a

a

a

a dx dx

x

f2( ) 2 2 2 S S

Luego: dw

w wa Sen dw

w A

a

³

³

f f

0 0

2 2 2 2

2 1 4 ( )

) ( 1

2 S

S S

S ? dw

w wa Sen a

³

0 2 2

) ( 2

S

o bién

dw w

wa Sen a

³

f

f

2 2

) (

S

10.-Probar que : S S S S

S ¿¾

½ ¯

®

­

³

f

x dw

wx Sen w

w Cos w

w Sen

x 2 ( ) ( ) ( ) 0

0

2

Solución.

Como se puede apreciar se trata de una función impar o sea

°¯ ° ® ­

!

S S

x x x

x f

0 ) (

³

f

?

0

) ( ) ( 1 )

(x B w Sen wx dw f

S donde

) ( 2 ) ( 2 )

( 2 )

( 2

0

S S

S

w Sen w w Cos w dv wv vSen w

B

³

f

?

dw wx Sen w

w Cos w

w Sen x

x

f( ) 2 ( ) ( ) ( )

0

2

³

f

¿ ¾ ½ ¯

®

­ S S

S

11.- Utilizar la función: f(x) xex xt0, para deducir que

dw wx Sen w

w dw

wx Cos w

w

) ( ) 1 (

2 )

( ) 1 (

1

0

2 2 0

2

2

³

³

f f

.

Usar además esta igualdad y la convergencia para deducir que:

³

³

f f

0 0

2 2 2

2 2

) 1 ( ) 1

( w

dw w w

dw

(21)

.-Solución.

a)Considerando la extensión par de la función dada:

³

f

0

) ( ) ( 1 )

(x A w Cos wx dw

fp

S

con:

³

³

f f

0 0

2 2

2

) 1 (

) 1 ( .. ... )

( 2

) ( ) ( 2 ) (

w w dv

wv Cos ve dv

wv Cos v f w

A p v Ÿ

dw wx Cos w

w x

fp ( )

) 1 (

) 1 ( 1 ) (

0

2 2

2

³

f

S .

b) Considerando la extensión impar de la función dada.

³

f

0

) ( ) ( 1 )

(x B w Sen wx dw fi

S

donde

³

f

0

2 2

) 1 (

2 ... ... )

( 2

) (

w w dv

wv Sen ve w

B v luego

³

f

0

2

2) ( ) 1

( 2 1 )

( Sen wx dw

w w x

fi

S

Entonces ambas funciones coinciden en x>0 o sea son iguales las integrales.

³

³

f f

0

2 2 0

2 2

2

) ( ) 1 (

2 )

( ) 1 (

) 1 (

dw wx Sen w

w dw

wx Cos w

w

En a) si x = 0

³

f

Ÿ

0

2 2

2

0 )

1 (

) 1 ( 1

dw w

w

S

³

³

f f

?

0 0

2 2 2

2 2

) 1 ( ) 1

( w

dw w w

(22)

Ejercicios propuestos.

1.-Sea: f(x) xex. Pruebe que: 2 2

) 1 (

4 )

( 0

) (

w w w

B w

A

S

2.- Sea

°¯ ° ® ­

!

1 0

1 1

) (

x x x

f Verifique que

w Senw w

A w

B

S

2 ) ( 0

) (

y que

³

f

0

) ( 2

dw wx Cos w Senw

S converge a ½ si x =1 ó x = -1.

3.- Represente la función como una Integral de Fourier y discuta su convergencia en cada punto.

a)

°¯ ° ® ­

!

S S

x x x

x f

0 )

( b)

°¯ ° ® ­

!

10 0

10 )

(

x x k

x f

c)

° ¯ ° ® ­

! d d

d

5 0

5 1

1

1 5 2 / 1 ) (

x x

x x

f d) f(x) xex

4.- Haciendo la extensión adecuada encontrar la Integral de Fourier de Senos y de Cosenos para:

a)

¯ ® ­

! d d

10 0

10 0

) (

2

x x x

x

f b)

¯ ® ­

!

d d

5 0

5 0

) ( )

(

x

x x

Cosh x

f

5.- Para ( ) ; !0

x e

x

f kx , Hallar las Integrales de Senos y de Cosenos.

Figure

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Referencias

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