Teoría de Determinantes

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(1)

Determinantes Bachillerato 2º

- 1/15 - A.G.Onandía

Determinantes

1

Introducción:

Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado

relegados a un 2º plano.

El uso de los determinantes nos permitirá:

 Calcular la inversa de una matriz

 Determinar el rango de una matriz

 Expresar la solución de un sistema de ecuaciones lineales

 Resolver situaciones diversas de medidas en geometría

2

Determinantes de orden 2 y 3

Dada una matriz cuadrada A de dimensión nxn le podemos asociar un número real que denominaremos

determinante de A de orden n y lo denotaremos por det(A) ó A. La obtención de este número se efectúa a

partir de los elementos de la matriz y exige el conocimiento de una reglas cuyo fundamento no es trivial,

pero de aplicación relativamente sencilla.

2.1 Orden 2

Sea A una matriz de dimensión 2x2 definimos

 

11 22 12 21

22 21

12 11

det a a a a

a a

a a A

A    

Este resultado se corresponde con la suma de todos los posibles productos de dos elementos que se

pueden formar tomando un elemento y solo uno de cada fila y un elemento y solo uno de cada columna

afec-tado cada producto por el signo + ó -, según unas determinadas propiedades ( inversión par o impar).

Ejemplo: 2 4 7 1 1

4 7

1 2

(2)

Determinantes Bachillerato 2º

- 2/15 - A.G.Onandía

2.2 Orden 3

Sea A una matriz de dimensión 3x3 definimos

 

Sarrus de Regla

det 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a A

A        

Este número también se obtiene realizando todos los productos posibles de 3 factores talque en cada

producto entran a formar parte un elemento y solo unos de cada fila y un elemento y solo uno de cada

co-lumna afectado cada producto por el signo + ó -, según unas determinadas propiedades ( inversión par o

im-par).

Ejemplos

6 4 1 2

0 5 3

2 1 1

 

16 9

5 6

4 0 2

1 3 5

 

 15

1 0 0

0 5 0

0 0 3

  

4 2 0 0

1 2 0

1 3 1

   

Nota: Por la propia definición de determinante, es evidente, que en el caso de matrices triangulares o

diago-nales el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

“Enseñar a calcularlos de forma práctica añadiendo las dos primeras filas al final ….”

Ejemplo:

Resolver la ecuación 0

7 0 1

9 3 4

2 5

  

x

5 2

4 3 9 37 111 0 3

1 0 7

x

x x

      

Ejercicios:

1.- Calcular:

 

18

7 5 4

1 0 1

7 2 1

 

18

1 3 2

12 7 5

3 1 2

  

3 2 1

1 2

 

 

2

2 1 3 2

3 2 2 1

  

(3)

Determinantes Bachillerato 2º

- 3/15 - A.G.Onandía

2.- Resolver las ecuaciones: 0

7 2 21 70 0 2 5

25 4

5 2

1 1 1

2

       

x x x x

x x

2 0 0 1

0 1 2 0

1 2 0

1 1 1

     

 

  

x x x

x x

x

3

Determinantes de orden superior a 3

La aplicación del proceso descrito para el desarrollo de un determinante con la formación de todos los

productos posibles, resulta muy laborioso cuando el orden es superior a 3. Un determinante de orden 4

preci-sa el cálculo de 24 productos de 4 factores cada uno y el de orden 5 necesita 125 productos de 5 factores,

….lo cuál dista mucho de ser cómodo y sí muy propenso a la comisión de errores.

Se puede construir un procedimiento alternativo para el cálculo de estos determinantes, pero es preciso

describir previamente los conceptos siguientes:

3.1 Menor Complementario

Sea AMnxnse llama menor complementario del elemento aijde A, y lo representaremos por αij, al

de-terminante de la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene de suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima

de A.

Ejemplo:

Sea

6 6 0

3 1

15 2 3

5 0

32 4 2

6 5

4 2 3

6 5 0

3 2 1

32 32

13 13

11 11

 

    

 

 

     

   

 

 

a del ario complement Menor

a del ario complement Menor

a del ario complement Menor

(4)

Determinantes Bachillerato 2º

- 4/15 - A.G.Onandía

3.2 Adjunto de un elemento. Matriz Adjunta

Para una matriz cuadrada AMnxn de orden n, se llama adjunto del elemento aij de A, y lo

represen-tamos por Aij, al menor complementario del elemento aij anteponiéndole el signo + ó – según sea la suma de

los subíndices i+j par o impar:  i j ij

ij α

A  1 

Para el ejemplo anterior:

 

 

 

1 6

15 1

32 1

32 2 3 32

13 3 1 13

11 1 1 11

  

  

 

 

 

A A

A

Definición: La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los correspondientes elementos de una matriz

cuadrada A se llama matriz adjunta de A y se denota por Adj(A).

Para nuestro ejemplo:

 

  

 

  

 

 

 

 

  

 

  

  

5 6 3

8 5 14

15 18 32

33 32 31

23 22 21

13 12 11

A A A

A A A

A A A A Adj

Ejemplo:

Calcular la matriz adjunta de

  

 

  

 

  

0 5 1

4 3 1

0 1 2

A

Adj(A)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 



    

 

      

 

 

 

 

 

 

  

 

  

  

    

 

  

 

 

 

 

7 1

8 1

4 1

9 1

0 1

0 0 5

0 1 1

8 5 1

3 1 1 4

0 1

4 1 1 20

0 5

4 3 1

3 3 33

2 3 32

1 3 31

3 2 23

2 2 22

2 1 21

3 1 13

2 1 12

1 1 11

A A

A

A A

A

A A

A

=

  

 

  

 

 

  

7 8 4

9 0 0

8 4 20

Ahora ya estamos en condiciones de poder calcular determinantes de orden superior a 3.

Sea AMnxn el valor de su determinante se obtiene sumando los productos de los elementos de una de sus

“líneas” por sus adjuntos correspondientes:

) (

...

) (

...

2 2 1 1

2 2 1 1

columna ésima

j la por desarrollo A

a A

a A a

fila ésima i

la por desarrollo A

a A

a A a A

nj nj j

j j j

in in i

i i i

 

 

 

  

(5)

Determinantes Bachillerato 2º

- 5/15 - A.G.Onandía

Ejemplo:

Calcular

4 1 3

2 1 0

2 1

1 

2 8

10

4 1 3

2 1 0

2 1 1

     

Sarrus Por

  

  

2

 

8 10

1 3

1 1 1 2 4 3

2 1 1 1 0 ª

2 4

1 3

2 1 0

2 1 1

3 2 2

2

   

 

fila la

por ndo desarrolla

Se ha elegido la fila que más ceros tiene para simplificar las operaciones, también se podría haber

elegido la primera columna.

Ejemplo:

Resolver

3 2 2 2

1 1 0 2

2 1 0 1

4 3 2 1

 

Elegimos la “línea” que tenga el mayor número de ceros para simplificar las operaciones, en este c

a-so la segunda columna. Y hacemos el desarrollo por esa “línea”.

3 2 2 2

1 1 0 2

2 1 0 1

4 3 2 1

 

=

 

 

2

9 12

2

9 7

46

1 1 2

2 1 1

4 3 1 1 2 0 0 3 2 2

1 1 2

2 1 1 1

2 1 2     4 2         

 

  

SARRUS POR

Proposición: Dada una matriz AMnxn se cumple que la suma de los productos de los elementos de una

línea por los adjuntos de otra línea paralela es cero.

) (

0 ...

2 2 1 1

fila ésima j

de adjuntos los

con fila ésima i

la de elementos los

por desarrollo

j i A

a A

a A

ai j i j in jn

 

   

 

(6)

Determinantes Bachillerato 2º

- 6/15 - A.G.Onandía

4

Propiedades de los determinantes

4.1 t

A A

4.2

33 32 31

23 22 21

33 32 31

23 22 21

13 12 11

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a a

a a a

z y x

a a a

a a a

a a a

a a

a

a a

a

z a y a x a

 

 

4.3 Si multiplicamos todos los elementos de una línea de un determinante, el determinante queda

mul-tiplicado por dicho número.

33 32 31

23 22 21

13 12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a K a

a a

a a a

Ka Ka

Ka

4.4 El determinante de un producto es el producto de los determinantes. A.BA.B

4.5 Si en un determinante permutamos dos líneas el determinante cambia de signo.

33 32 31

13 12 11

23 22 21

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

 

4.6 Si un determinante tiene una línea de ceros vale cero.

4.7 Si un determinante tiene dos líneas iguales vale cero.

4.8 Si un determinante tiene dos líneas proporcionales vale cero.

4.9 Si un determinante tiene una línea combinación lineal de las restantes vale cero.

4.10Si en un determinante a una línea se le suma otra paralela su valor no cambia.

4.11Si en un determinante a una línea se le suma otra paralela multiplicada por un número su valor no

(7)

Determinantes Bachillerato 2º

- 7/15 - A.G.Onandía 4.12

A A1  1

4.13El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal.

Ejemplo:

1.- Sabiendo que 1

1 1 1

3 0

5 

z y x

, calcular el valor de los siguientes determinantes, sin desarrollarlos:

a)

1 1 1

3 0 5

3 3

3x y z

b)

1 1 1

1 0

5 5 5

5 3 z x y

c)

1 1

1

3 2 2 5 2

 

 

z y

x

z y x

z y

x

Sol: a) 3

1 1 1

3 0 5 3 1 1 1

3 0 5

3 3 3

 

z y x z y x

b) 1

1 1 1

3 0 5 5 1 5 1 1 1

0 1

5 5 5

1 1 1

1 0

5 5 5

5 3 5

3 1

2  

x y z x y z

z x y

C C

c) 

         

 

 

1 1 1

3 0 5 1 1 1

2 2 2 1 1

1

3 2 2 5 2

) 2 ( 0 2 1

z y x

z y x

z y x

z y x

z y x

z y

x

z y x

z y

x

F F

    

   

5 0 3 1

1 1 1

3 0 5

) ( 0 3 1

 

 

F F

z y x

z y x z y x

2.- Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

5 5 2

5 2 2

0 5 1

Sol:

17 5 2

15 2 2

10 5 1 15 255 5 2

225 2 2

150 5 1

5 5 2

5 2 2

0 5 1

1 2

3 10 100

C C

C

3.- Demostrar, sin desarrollar, que 0

1 1 1

   

b a c

c a b

c b a

Sol:

0

1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

 

   

 

  

  

c b a c b a b a c c

c a b b

c b a a

b a c

c a b

(8)

Determinantes Bachillerato 2º

- 8/15 - A.G.Onandía

5

Métodos prácticos para el cálculo de determinantes de grado superior a 3

5.1 Método CHIO

“Utilizando las propiedades de los determinantes se trata de hacer ceros a todos los elementos de una

línea para luego desarrollarlo por los adjuntos de esa línea”

Ejemplo:

 

1 2

1 3 3

1 2

1

4 2

2 1

2 1 1

1 1 2

1 5 1 . 2 1 5 1

1 1 2

2 1 1 . 1 . 2

1 5 0 1

1 1 0 2

2 1 0 1

4 3 2 1

3 2 2 2

1 1 0 2

2 1 0 1

4 3 2 1

F F

F F F

F C

por ndo Desarrolla F

F

 

 

 

  

    

  

 

11 12

2.23 46 2

1 4

3 11 . 2 1

4 0

3 11 0

1 5 1 .

2 1     

 

  

porC

ndo Desarrolla

5.2 Método de GAUSS

“Utilizando las propiedades de los determinantes se trata de conseguir un determinante triangular (s

u-perior o inferior) de tal manera que su determinante sea el producto de los elementos de la diagonal”

Ejemplo 1:

 

11 22 4

. 1 . 2 1

11 0 0

7 4 0

3 2 1

2 1

4 4 0

7 4 0

3 2 1

2 1

2 2 0

7 4 0

3 2 1

1 4 1

4 2 1

3 2 1

2 3 3

1 2

1 3

2

   

 

 

 

  

F F F

F F

F F

Ejemplo 2:

Calcular el determinante:

3 3 3 3

x x x

x x

x

x x x

x x x

 

 

 

   

 

 

 

x x

x

x x

x

x

x x

x x

x x

x x x

x

x x x

x x

x

x x x

x x x x

x x x

x x

x

x x x

x x x

F F

F F

F F C

C C C

3 0 0 0

0 3

0 0

0 0

3 0 1

3 3

3 1

3 1

3 1 1

3 3

3 3

3

3 3

3

3 3 3

3 3

3 3 3 3

1 3

1 2

1 4 4

3 2 1



3

3 3

3x x

(9)

Determinantes Bachillerato 2º

- 9/15 - A.G.Onandía

6

Cálculo del rango de una matriz

Recordemos que el rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes.

Además sabemos que el número de filas L.I. es igual al número de columnas L.I.

Existen fundamentalmente dos métodos para realizarlo: Método de Gauss, Método del Orlado

6.1 Método de Gauss

Ya lo hemos visto.

6.2 Cálculo por determinantes. Método del Orlado

Introducción: Consideramos una matriz AMmxn, supongamos que m≤n ( esta restricción no resta general i-dad), si tomamos todos los determinantes de las submatrices de orden m (menores de orden m) y vemos que

se anulan, podemos deducir que a la fuerza existe una combinación lineal entre sus filas o bien sus

colum-nas.

Dando la vuelta a esta deducción podemos decir que si una matriz AMmxn (m≤n) existe algún de-terminante de orden m no nulo, todas las filas y columnas son linealmente independientes ran(A)=m. Definición: Sea AMmxn si en esta matriz se prescinde de una o varias filas o columnas de forma que quede una matriz cuadrada de pxp, el determinante correspondiente se llama menor de la matriz A de orden p.

Definición: Sea AMmxn se dice que el rango de A, ran(A), es K, si existe por lo menos un menor de orden K no nulo siendo nulos todos los menores de orden superior a K.

(El orden del mayor menor no nulo da el rango de la matriz)

A partir de aquí vamos a ver el método práctico del Orlado para el cálculo de rangos.

Definición: Sea AMmxn y elegido en ella un menor de orden K, se entenderá por orlar dicho menor, al formar otro menor de orden K+1 añadiendo al primero los elementos de una fila y una columna que no

for-men parte del for-menor dado.

Se puede demostrar que “si orlando un menor de orden K distinto de cero todos los determinantes de

orden K+1 que se pueden formar son nulos entonces cualquier otro menor de orden superior a K es también

(10)

Determinantes Bachillerato 2º

- 10/15 - A.G.Onandía

Nota importante: según lo anteriormente expuesto si tenemos una matriz cuadrada de orden n, tal-que su determinante sea no nulo entonces su rango es n.

En la práctica para calcular el rango de una matriz se busca un menor de orden 2 no nulo. Se elige

una columna y se orla con las filas restantes:

 Si todos los orlados son nulos se suprime la columna y se repite la operación con otra columna.

 Si hay un orlado no nulo comenzamos de nuevo y lo orlamos igual que el anterior. El proceso termina cuando no quedan columnas.

Ejemplos:

1.- Calcular el rango de

   

 

   

 

  

2 1 1 2

5 2 5 4

1 0 1 2

2 1 2 1

A

Como es una matriz cuadrada primero calcularemos su determinante para ver si su rango es 4. Vemos

que A 0 por tanto su ran( )A 4.

Seguidamente consideramos un menor de orden 2 no nulo por ejemplo: 3 0

1 2

2 1

  

Orlamos por la siguiente columna:

1 2 1

2 1 0 0

4 5 2

  

cambiamos de fila

 

 

1 2 1

2 1 0 1 0 3 0 3

2 1 1

ran A y como A ran A

      

2.- Calcular el rango, dependiendo de los diferentes valores de “a”, de

   

 

   

 

 

a a

A

0 2 4

3 3 1 1

1 1 1

2 1 1 1

Como es una matriz cuadrada primero hacemos su determinante, haciendo ceros en la primera

co-lumna:

2

2 2 3

4 2

2

1 2 2

1 2 1

4 2

2 0

1 2

2 0

1 2

1 0

2 1 1 1

0 4 2

3 3 1 1

1 1 1

2 1 1 1

0 2 4

3 3 1 1

1 1 1

2 1 1 1

1 3

1 2

1 4 2

1

      

 

   

   

   

 

 

a a

a

a a

a a

a a

A

f f

f f

f f C

(11)

Determinantes Bachillerato 2º

- 11/15 - A.G.Onandía

3

0  

a

A Luego

 Si a≠3  ran(A)=4

 Si a=3

   

 

   

 

 

3 0 2 4

3 3 1 1

1 1 1 3

2 1 1 1

A tomamos un menor de orden 2 no nulo 0

1 3

1 1

 lo orlamos

0 3 1 1

1 1 3

1 1 1

 

0

0 2 4

1 1 3

1 1 1

 

0

3 1 1

1 1 3

2 1 1

  

0

3 2 4

1 1 3

2 1 1

por tanto todos los menores de orden 3 son nulos  ran(A)=2. Ejercicios:

1- Discutir en función del parámetro el rango de

a)

  

 

  

  

k k

k A

7 1

3 1

2 3 1

b)

  

 

  

 

 

 

1 6 10 1

5 1

2

2 1 1

a a

B c)

  

 

  

  

2 1 1 1

1 2

2 1 1

2 b b b

C d)

  

 

  

  

2

1 1

1 1

1 1 1

k k

k k

k

D

Sol: a) A 11k2 k 12 si k 1 y k12 / 11ranA3 en caso contrario ranA2 si k b)

 

 

3 2 3 3

si a ran Bsi a ran B  c) sib 1 ran C  3 si b 1ran C  2

   

   

   

     d) si k 1 Rg D 3 sik 1 Rg D 1

   

   

     

7

Cálculo de la matriz inversa.

Recordemos que la matriz inversa de una matriz regular A es otra matriz del mismo orden tal que :

I A A A

A. 1  1.  siendo I la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

Ya hemos visto que la matriz inversa se podía calcular de tres maneras: por la definición, por

Gauss-Jordan y por adjuntos.

Las dos primeras formas ya las conocemos, vamos a desarrollar la tercera.

Teorema: Una matriz cuadrada de orden n





nn n

n

n n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 22

21

1 12

(12)

Determinantes Bachillerato 2º

- 12/15 - A.G.Onandía

tiene inversa si, y sólo si, A 0, y su inversa es:

   

 

   

   

nn n

n

n n t

A A

A

A A

A

A A

A

A A

A Adj A

.... .... .... .... ....

.... ....

1 ) (

2 1

2 22

12

1 21

11

1

Ejemplo:

1.- Calcular la matriz inversa de

  

 

  

 

 

3 0 1

1 1 1

0 1 2

A

Primero tenemos que hallar A para ver si es inversible o no: Demostración:

Hacemos A.

Adj

 

A

t





nn n

n

n n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 22

21

1 12

11





nn n

n

n n

A

A

A

A

A

A

A

A

A

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 22

12

1 21

11

=

     

 

    

 

nj nj j

nj j

nj

nj j j

j j

j

nj j j

j j

j

A a A

a A

a

A a A

a A

a

A a A

a A

a

...

... ...

... ...

... ...

2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

teniendo en cuenta las dos siguientes proposiciones que

ya hemos visto anteriormente,

) (

...

1 2

2 1

1A a A a A a A desarrollo por la i ésima fila

a A

n

j ij ij in

in i

i i

i     

) (

0 ...

2 2 1 1

fila ésima j

de adjuntos los

con fila ésima i

la de elementos los

por desarrollo

A a j

i A a A

a A a

j i

ij ij jn

in j

i j i

 

 

  

0 ... 0 1 0 ... 0

0 ... 0 0 1 ... 0

... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... 0 0 ... 1

A A

A A I

A

   

   

   

  

 

   

 

 

tenemos: .

 

.

 

t

t Adj A

A Adj A A I A I

A

    dado que A.A1I

 

A A Adj A

t

1

(13)

Determinantes Bachillerato 2º

- 13/15 - A.G.Onandía

 2 0

A A inversible o regular.

Calculamos Adj(A) 3 3 0 1 1 ) 1

( 11

11 

 

 

A 4

3 1 1 1 ) 1

( 1 2

12 

    A 1 0 1 1 1 ) 1

( 1 3

13   

A 3 3 0 0 1 ) 1

( 21

21  

A 6

3 1 0 2 ) 1

( 2 2

22   

A 1 0 1 1 2 ) 1

( 2 3

23   

A 1 1 1 0 1 ) 1

( 31

31   

A 2

1 1 0 2 ) 1

( 3 2

32  

A 1 1 1 1 2 ) 1

( 3 3

33   

A

 

               1 2 1 1 6 3 1 4 3 A

Adj

 

               1 1 1 2 6 4 1 3 3 t A Adj

Por último:

 

                                2 / 1 2 / 1 2 / 1 1 3 2 2 / 1 2 / 3 2 / 3 1 1 1 2 6 4 1 3 3 2 1 1 A A Adj A t

2.- Dadas las matrices:

            2 1 0 3 2 1 0 0 1 B            0 0 1 0 1 0 1 0 0

C resolver la ecuación matricial

BX+3C=C(B+3I).

Lo primero que hay que hacer para resolver ecuaciones matriciales es despejar la matriz incógnita.

BX=CB+3CI-3C  BX=CB  B-1BX=B-1CB.

Ahora calculamos B-1

                 2 1 1 3 2 2 0 0 1

1 B 1

B llevándola a la ecuación:

(14)

Determinantes Bachillerato 2º

- 14/15 - A.G.Onandía

Ejercicios:

1.- Calcular la inversa de las siguientes matrices:

       1 2 1 3

A 1 1 1

2 3

A  

              2 1 5 2 B             9 2 9 1 9 5 9 2 1 B              2 0 3 2 4 0 4 1 2 C                      35 4 70 3 35 6 35 2 35 8 35 3 35 9 35 1 35 4 1 C            3 0 0 0 0 1 0 2 0 D                   3 1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 1 D            2 0 0 0 2 0 0 0 2 E                   2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 E               7 7 6 8 7 4 4 3 1 F                      3 5 3 11 3 14 3 8 3 17 3 20 3 4 3 7 3 7 1 F

2.- Hallar para los valores de “a” que lo hagan posible la matriz inversa de :

           5 0 7 4 3 5 7 0 a

G y calcular

su inversa Sol.:

                                             a a a a a a a a a a a G 5 7 3 5 1 5 7 4 5 49 15 5 7 5 5 49 15 7 5 49 20 7 5 7 5 5 49 20 1

3.- Averiguar para que valores de “a” la matriz

             a a H 1 4 3 0 1 0 1

tiene inversa. Calcularla para a=2.

Sol: H1 para a1 a3 para a=2

(15)

Determinantes Bachillerato 2º

- 15/15 - A.G.Onandía

4.- Hallar la inversa de

                7 7 1 2 1 3 1 a a M Sol:                                            1 2 1 7 1 5 1 3 1 10 1 7 1 6 1 3 7 1 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a a a a a a a a a a a a a a a a M

5.- Sea la matriz 

      3 2 1 2

A calcular B=A-1-2A Sol:

                2 11 2 9 4 9 4 13 B

6.- Resolver: 

              3 0 4 2 1 1 1 1

X Sol: no tiene sol.,

7.- Dadas las matrices

            4 1 3 1 2 0

A , 

        2 0 1 1 3 1

B y

            0 3 6 2 1 0 1 4 2

D resolver AB-2X=3D.

Sol: 7 4 6 2 1 2 3 2 21 7 3 2 2 X                     

8.- Encontrar una matriz X que verifique X.B2=AB siendo

           2 0 0 1 3 1 1 2 1

A y

            6 0 0 2 2 2 1 0 1 B Sol

1 0 1 / 6 1 1 / 2 1 / 3 0 0 1 / 6

X  

 

 

 

 

 

9.- Calcular X verificando AXBC

3 1 con               7 7 6 8 7 4 4 3 1 A ,            0 1 9 4 5 6

B y

           1 5 3 4 8 7 C

Sol: X3A1CB

              5 11 14 8 17 20 4 7 7 3 1 3                                0 1 9 4 5 6 1 5 3 4 8

7 23 67

52 170 34 113         

10.- Hallar X para que se verifique A.(B-I)=XB+A con

1 3 0 3 2 1

1 2 2

A             

1 1 3 0 1 2

1 0 0

B              Sol:

13 21 10 3 12 11 3 10 4

Figure

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Referencias

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