REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA DE SU DERIVADA

(1)

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

En la figura se observa la recta tangente a una función creciente. La recta tangente es siempre creciente también para cualquier punto, por lo que su pendiente será positiva siempre. Por tanto podemos decir que:

Si una función es creciente en el intervalo (a,b) y es derivable en los puntos de este intervalo, entonces f’(x) > 0.

Análogamente:

Si una función es decreciente en el intervalo (a,b) y es derivable en los puntos de este intervalo, entonces f’(x) < 0.

En la figura se tiene la gráfica de una función con un máximo y un mínimo relativos. En ambos puntos, la recta tangente a la curva es horizontal y, por tanto, de pendiente nula. Por esta razón:

Si una función tiene máximos o mínimos relativos y es derivable en esos puntos, entonces su derivada se anula en estos puntos:

f

'

 

x

0



0

.

Así, la derivada proporciona un procedimiento rápido y eficaz para estudiar, mediante su signo, la monotonía (crecimiento) de una función. Se siguen los siguientes pasos:

1º. Se calcula f’(x) y se resuelve la ecuación f’(x) = 0. Las soluciones de esta ecuación son los puntos críticos, posibles máximos ó mínimos de la función.

2º. Se estudia el signo de la derivada, dando valores, para determinar si es creciente o decreciente. Después se determina si los puntos críticos son máximos ó mínimos.

Para comprobar si los valores de x en los que se anula la derivada primera son máximos o mínimos se calcula la derivada segunda y se sustituye el punto en f'’(x). Entonces:

a) Si f''(x0)<0  f(x) tiene un máximo relativo en x0.

b) Si f''(x0)>0  f(x) tiene un mínimo relativo en x0.

Ejemplos:

Estudia la monotonía, máximos y mínimos de la función:

f

x

2 x

2

3

3 )

(

2

3







.

(2)

CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN

Una curva es cóncava hacia arriba (hacia las y positivas) en un punto cuando, al trazar la tangente en ese punto, la curva queda por encima de la recta tangente.

Una curva es cóncava hacia abajo (hacia las y negativas) en un punto cuando, al trazar la tangente en ese punto, la curva queda por debajo de la recta tangente.

Puntos de inflexión de una curva son los puntos en que cambia el sentido de la curvatura pasando de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. En los puntos de inflexión la tangente atraviesa la curva. Si f tiene un punto de inflexión en xo, entonces f'' (xo)=0.

Así, la derivada segunda proporciona un procedimiento rápido y eficaz para estudiar, mediante su signo, la curvatura (concavidad y convexidad) de una función. Se siguen los siguientes pasos:

1º. Se calcula f’’(x) y se resuelve la ecuación f’’(x) = 0. Las soluciones de esta ecuación son los posibles puntos de inflexión de la función.

2º. Se divide el dominio con los valores que anulan la derivada segunda y, dando valores, se determina si es cóncava o convexa:

a) Si f''(x0) < 0  f(x) es convexa (la tangente está por encima de la curva).

(3)

REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA DE SU DERIVADA

34.- Una función

f

 

x

tiene por derivada

 

x

f

'

, cuya gráfica es la dada en la figura.

Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función

f

 

x

e indica

dónde tiene máximos, mínimos o puntos de inflexión.

35.- Una función

f

 

x

tiene por derivada

 

x

f

'

f

 

x

e indica

dónde tiene máximos, mínimos o puntos de inflexión.

36.- Una función

f

 

x

tiene por derivada

 

x

f

'

f

 

x

e indica

(4)

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

(5)

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. ESQUEMA A SEGUIR

Propiedades Caracterización

1 Dominio (D) xD  existe y tal que y=f(x)

- las funciones polinómicas están definidas para

todos los valores de x.

- las funciones racionales no están definidas en

los puntos que anulan el denominador.

- Las funciones radicales de índice par no están

definidas en los valores que hacen negativo el radicando.

- Las funciones exponenciales están definidas

para todos los valores de x.

- las funciones logarítmicas no están definidas

para los valores menores o iguales que cero. 2 Simetrías:

a) Función par (simetría respecto al eje de ordenadas)

b) Función impar (simetría respecto al origen de coordenadas)

f(-x)=f(x)

f(-x)=-f(x)

3 Periodicidad f(x+T)=f(x) 4 Puntos de corte con los ejes:

a) Corte con el eje OX b) Corte con el eje OY

f(x)=0, ninguno, uno o más puntos. f(0)=y, ninguno o un punto.

5 Ramas infinitas. Puntos en el infinito. a) Punto (-,?) (punto de partida de la gráfica) b) Punto (+,?) (punto de llegada de la gráfica) 6 Asíntotas:

a) Asíntotas verticales: x=a

b) Asíntotas horizontales: y=k

c) Asíntotas oblicuas: y=mx+n

lim ( )

xa

f x

 

lim

( )

x

f x



k

Estudiando el signo de f(x)-k para valores grandes (o pequeños) de x, se averigua la posición de la curva respecto a la asíntota.

x

f

lim

m

x

)

(

 



,

n



f x

mx



x







lim

( )

;m,nR;m0.

La posición de la curva respecto a su asíntota se averigua estudiando el signo de f(x)-(mx+n) cuando x toma valores grandes (o pequeños).

7 Puntos de discontinuidad

lim ( )

( )

xa

f x



f a

8 Monotonía:

a) Intervalos de crecimiento b) Intervalos de decrecimiento c) Puntos críticos

f `>0 f `<0

f `(a)=0 y f ``(a) > 0  Mínimo f `(a)=0 y f ``(a) < 0  Máximo 9 Curvatura:

a) Intervalos de convexidad. b) Intervalos de concavidad. c) Puntos de inflexión.

f ``< 0 f ``> 0

(6)

Para proceder al trazado de la curva en función de estos datos conocidos hay que seguir los siguientes pasos:

1. Separar en el plano aquellas zonas donde la función f(x) no existe.

2. Situar los puntos de corte a los ejes, los extremos y los puntos de inflexión. 3. Trazar las asíntotas.

4. Iniciar el trazado de la curva empezando por el extremo izquierdo del dominio y a lo largo de una asíntota, si la hay.

5. Continuar el trazado siguiendo los criterios de crecimiento y decrecimiento y haciendo pasar la curva por los puntos conocidos. La gráfica se concluye por el extremo derecho del dominio y a lo largo de una asíntota, si la hay.

EJERCICIOS

1.- Dibuja la gráfica de las siguientes funciones, indicando previamente: a) Dominio.