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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADEMICO SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO AREA MATEMATICA

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Academic year: 2018

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

VICERRECTORADO ACADEMICO

SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO

AREA MATEMATICA

PLAN DE CURSO

I. Identificación

Nombre “Tópicos de Análisis Matemático”

Código: 770

U.C: 06

Carrera: Matemática

Código: 126

Semestre: VII

Prelaciones: Análisis II

Requisito: No tiene

Autor:

Alfredo Espejo

Asesoría de Diseño Académico: Wendy Guzmán

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FUNDAMENTACIÓN

El curso Tópicos de Análisis Matemático, responde al ajuste curricular de la nueva carrera de Matemática. Esta asignatura, está ubicada en el séptimo semestre de la carrera de Matemática, la cual forma parte de la oferta académica de la Universidad Nacional Abierta (UNA). El curso se desarrolla en cinco módulos, con una carga crediticia de seis unidades crédito (6 U.C.). Es un curso introductorio a la teoría de la Medida e Integración, que pretende orientar al estudiante en los siguientes aspectos:

1. La comprensión del concepto de medida de un conjunto. 2. El manejo del concepto de función medible.

3. La generalización de la integral de Riemann.

4. La Aplicación de técnicas de integración de Lebesgue para resolver problemas matemáticos.

La Teoría de la Medida e Integración, generalmente es incluida como parte de los programas de Análisis Moderno. Esta teoría tuvo su origen a principios del siglo XX, fundamentalmente, a través de los trabajos de H. Lebesgue.

Su integral generaliza la integral clásica o integral de Riemann y permite cubrir con gran éxito sus limitaciones. Las técnicas de la Teoría de la Medida e integral de Lebesgue están bien fundamentadas, y son aplicadas a numerosas parcelas de las matemáticas, como: Análisis, Geometría Diferencial, Geometría Fractal, Ondículas, Probabilidades y Estadística.

En este curso se presentará el concepto de medida positiva y completación de una medida, concepto básico para el desarrollo de la Integral de Lebesgue. También se introducirá el concepto de función medible y su caracterización en términos de funciones simples. El eje central del curso es la Teoría de la Integral de Lebesgue. Esta teoría, entre otras cosas, estudia las condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad de funciones medibles. Al final del curso se desarrolla la noción de espacio producto, medida producto y se enuncian, el Teorema de Fubini y el Teorema de Tonelli.

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III. PLAN DE EVALUACION

ASIGNATURA: Tópicos de Análisis Matemático COD: 770

CRÉDITOS: 06 LAPSO: 2009-2 Semestre: 7º

CARRERA: MATEMÁTICA Responsable: Alfredo Espejo

Teléfono: 5552-077/081 Correo electrónico: aespejo@una.edu.ve

MOMENTO CONTENIDO UNIDADES MODALIDAD

PRIMERA

PARCIAL MODULOS I y II 1 , 2 , 3 y 4

DESARROLLO

SEGUNDA PARCIAL

MODULOS

III y IV 5,6,7 y 8

TERCERA PARCIAL

MODULOS

IV y V 9,10 y 11

INTEGRAL

MODULOS

I, II, III, IV y V 1 AL 11

M U O OBJETIVOS EVALUABLES EN LA ASIGNATURA

I

1 1 Usar los conceptos y propiedades relativas a las operaciones usuales en clases de conjuntos y funciones 2 2 Usar los conceptos de álgebra, σ-álgebra y clase monótona.

II 3

3 Aplicar los conceptos y propiedades de las funciones aditivas y de conjunto. 4 Emplear la noción y propiedades de la medida de Lebesgue en

4 5 Utilizar el concepto de función medible y de las técnicas de aproximación de funciones medible por funciones simples

III 5 6 Aplicar las propiedades de la convergencia de funciones medibles. 6 7 Usar el concepto de integral de una función medible.

IV 7 8 8 9 Aplicar los teoremas de convergencia para funciones integrables. Aplicar las propiedades de los espacios Lp en la resolución de problemas.

V

9 10 Utilizar la noción de medida de Lebesgue en un espacio producto. 11 11 Emplear el teorema de Fubini para resolver sistemáticamente problemas matemáticos.

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ORIENTACIONES GENERALES

• Utiliza el plan de curso para orientarte en el proceso de aprendizaje.

• Lee el objetivo de aprendizaje y los contenidos asociados a cada uno. Es importante conocer lo que se debe aprender.

• Realiza una lectura reflexiva y crítica de cada objetivo del libro de texto UNA recomendado, ya que los temas tratados en el curso son de una alta y compleja densidad conceptual.

• Realiza con seriedad las actividades de autoevaluación propuestas

• Asesórate con el profesor encargado de la materia en tu centro local o en su defecto, comunícate con el profesor que administra el curso, a través del correo electrónico: aespejo@una.edu.ve.

• Realiza las lecturas indicadas en la bibliografía complementaria y resuelve los ejercicios propuestos en ellos.

• Consulta el material complementario que se encuentra en las siguientes direcciones electrónicas:

http://www.branchingnature.org/Teoria_Integracion_Dario_Sanchez_2004.pdf

http://www.fceia.unr.edu.ar/~fismat2/practicas03/apun2-fismat2-2003.pdf

http://www.ma.usb.ve/~bol-amv/conten/vol13/Diomedes.pdf

http://ocw.unican.es/ciencias-experimentales/ampliacion-de-analisis-de-varias-variables- reales/ampliacion-variables-beatriz-porras/lebesgue-material-de-clase-pantalla/MCP9-Int_Lebesgue.pdf.

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IV. DISEÑO DE LA INSTRUCCIÓN DEL CURSO

Objetivo Contenido

1. Usar los conceptos y propiedades relativas a las operaciones usuales en clases de conjuntos y funciones

Operaciones en clases de conjuntos. Funciones y clases de conjuntos. Sucesiones de conjuntos. Límites superior e inferior de una clase de conjuntos. Sucesiones de conjuntos monótonas. Funciones característica. Funciones simples.

2. Usar los conceptos de álgebra,

σ-álgebra y clase monótona. Álgebra de conjuntos. Álgebra generada por una clase de conjuntos. σ-álgebra generada por una clase de conjuntos. Álgebra de Borel. Conjuntos Borelianos. σ-álgebra de conjuntos. Axioma de elección. Clases monótonas.

3. Aplicar los conceptos y propiedades de las funciones aditivas y de conjunto.

Funciones de conjunto. Funciones aditivas de conjunto. Funciones de conjunto σ-aditivas. Medidas positivas. Seudomedida. Medida exterior. Medida exterior asociada a una medida µ. Conjunto µ*-medible. Teorema de Caratheodory. Prolongación de una seudomedida. Completación de una medida.

4. Emplear la noción y propiedades de la medida de Lebesgue en ℜ

Medida de Lebesgue. Propiedades. Extensión de una medida µ a la σ-álgebra de Borel en ℜ.

Conjunto de Cantor . Conjunto no medible. Medida de Stieljes-Lebesgue.

5. Utilizar el concepto de función medible y de las técnicas de aproximación de funciones medible por funciones simples

Funciones medibles. Propiedades. Sucesión de funciones medibles. Aproximación de funciones medibles.

(6)

Objetivo Contenido

6. Aplicar las propiedades de la convergencia de funciones medibles.

Convergencia de sucesiones de funciones medibles. Convergencia casi siempre. Teorema de Egoröff. Convergencia en media.

Objetivo Contenido

7. Usar el concepto de integral de una función medible.

Integral de una función indicatríz. Integral de una función simple. Propiedades de la integral de Lebesgue de funciones simples. Integral de una función µ-medible. Desigualdad de Tchebichev.

8. Aplicar los teoremas de convergencia para funciones integrables.

Teorema de convergencia acotada. Teorema de Beppo-Levi. Lema de Fatou. Teorema de la convergencia monótona.

9. Aplicar las propiedades de los espacios Lp en la resolución de problemas.

Espacios LP. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Desigualdad de Minkowski. Convergencia

puntual. Teorema de representación de Riesz.

10. Utilizar la noción de medida de Lebesgue en un espacio producto.

Espacio producto. Producto de clases de conjuntos. σ-álgebra producto. Proyecciones. Medida producto. Propiededes. Medida de Lebesgue en espacios producto.

11. Emplear el teorema de Fubini para resolver sistemáticamente problemas matemáticos.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

1. Usar los conceptos y propiedades relativas a las operaciones

usuales en clases de conjuntos y funciones.

Material Instruccional

El alumno debe leerse el texto obligatorio:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo I.

Unidades: 1 y 2

El alumno también deberá elaborar una tabla de doble entrada en la cual registre los conceptos y definiciones de las operaciones asociados con las clases de conjuntos y funciones. Adicionalmente, puede consultar en la biblioteca los siguientes textos complementarios:

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill. Capítulo 1.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 1.

Gatica, J.A. (1977). Introducción a la Integral de Lebesgue en la recta. OEA.

Capítulo Introductorio.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• Lea con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• Construya una tabla en la cual registre los conceptos identificados en esta unidad.

• Realice los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

(8)

OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

2. Usar los conceptos de álgebra, σ -álgebra y clase monótona..

Material Instruccional Texto Básico:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo I.

Unidades: 3 y 4

Textos Complementarios

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill.

Capítulo 2.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 1.

Gatica, J.A. (1977). Introducción a la Integral de Lebesgue en la recta. OEA.

Capítulo introductorio.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• El alumno debe leerse con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• El alumno deberá realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

(9)

OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

3. Aplicar los conceptos y propiedades

de las funciones

aditivas y de conjunto.

Material Instruccional Texto Básico:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo I.

Unidades: 3 y 4

Textos Complementarios

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill.

Capítulo 2.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 1.

Gatica, J.A. (1977). Introducción a la Integral de Lebesgue en la recta. OEA.

Capítulo introductorio.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• El alumno debe leerse con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• El alumno deberá realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

4. Emplear la noción y propiedades

de la medida de Lebesgue en .

Material Instruccional Texto Básico:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo I.

Unidades: 3 y 4

Textos Complementarios

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill.

Capítulo 2.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 1.

Gatica, J.A. (1977). Introducción a la Integral de Lebesgue en la recta. OEA.

Capítulo introductorio.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• El alumno debe leerse con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• El alumno deberá realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

5. Utilizar el concepto de función

medible y de las técnicas de aproximación de funciones medible por funciones

simples.

Material Instruccional Texto Básico:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo II.

Unidad: 5.

Textos Complementarios

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill.

Capítulo 3.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 2.

Gatica, J.A. (1977). Introducción a la Integral de Lebesgue en la recta. OEA.

Capítulo 1.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• El alumno debe leerse con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• El alumno deberá realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

(12)

OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

6. Aplicar las propiedades

de la convergencia

de funciones medibles.

Material Instruccional Texto Básico:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo III.

Unidad: 6.

Textos Complementarios

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill.

Capítulo 3.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 2.

Gatica, J.A. (1977). Introducción a la Integral de Lebesgue en la recta. OEA.

Capítulo 2.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• El alumno debe leerse con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• El alumno deberá realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

7. Usar el concepto de integral de una función

medible.

Material Instruccional Texto Básico:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo IV.

Unidad: 7.

Textos Complementarios

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill.

Capítulo 4.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 1.

Gatica, J.A. (1977). Introducción a la Integral de Lebesgue en la recta. OEA.

Capítulo 2.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• El alumno debe leerse con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• El alumno deberá realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

(14)

OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

8. Aplicar los teoremas de convergencia para funciones integrables.

Material Instruccional Texto Básico:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo IV.

Unidad: 7.

Textos Complementarios

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill.

Capítulo 5.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 1.

Gatica, J.A. (1977). Introducción a la Integral de Lebesgue en la recta. OEA.

Capítulo 2.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• El alumno debe leerse con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• El alumno deberá realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

(15)

OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

9. Aplicar las propiedades de los espacios Lp en la resolución de problemas.

Material Instruccional Texto Básico:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo IV.

Unidad: 9.

Textos Complementarios

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill.

Capítulo 7.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 3.

Gatica, J.A. (1977). Introducción a la Integral de Lebesgue en la recta. OEA.

Capítulo 2.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• El alumno debe leerse con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• El alumno deberá realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

(16)

OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

10. Utilizar la noción de medida de Lebesgue en un espacio producto.

Material Instruccional Texto Básico:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo IV.

Unidad: 10.

Textos Complementarios

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill.

Capítulo 7.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 3.

Gatica, J.A. (1977). Introducción a la Integral de Lebesgue en la recta. OEA.

Apéndice C.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• El alumno debe leerse con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• El alumno deberá realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

(17)

OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

11. Emplear el teorema de Fubini para resolver

sistemáticamente problemas

matemáticos.

Material Instruccional Texto Básico:

González Jesús y otros. (1983). Medida e Integración. UNA. Módulo IV.

Unidad: 11.

Textos Complementarios

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales .Mc Graw Hill.

Apéndice C.

Rudin .(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

Capítulo 7.

Eventos o Actividades de Estudio Actividades de Aprendizaje:

• El alumno debe leerse con máxima atención los nuevos conceptos y definiciones que se le presentan en este objetivo.

• El alumno deberá realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

• En caso de cualquier duda relacionada con el objetivo, el estudiante podrá consultar al respectivo asesor o en su defecto, al profesor responsable de la materia.

En relación a la evaluación formativa:

El estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto UNA.

En la bibliografía complementaria, encontrará problemas y ejercicios que retroalimentará y reforzará el aprendizaje de los contenidos.

En relación a la evaluación sumativa:

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V. BIBLIOGRAFÍA

Obligatoria

Gonzalez , Jesús y otros.(1983) Medida e Integración. UNA

Complementaria

Murray R. Spiegel (1969). Variables reales. Mc Graw-Hill.

Rudin, W.(1979). Análisis real y complejo. Alhambra.

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