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(1)

Ecuaciones diferenciales lineales de

segundo orden

8.1

Introducci´

on

En el tema 2 vimos el estudio y resoluci´on delas ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma expl´ıcita:

x!(t) =a(t)x(t) +b(t)

sin mas que suponer que las funciones aybson continuas en un intervalo I.

Definici´on 8.1. Una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden en forma expl´ıcita es una ecuaci´on del tipo

(8.1) x!!(t) =a(t)x!(t) +b(t)x(t) +c(t) donde las funciones a, b y c son conocidas.

Siempre supondremos que las funciones a, byc soncontinuas en un intervalo I. Generalmente las escribiremos de forma abreviada as´ı: x!! =a(t)x!+b(t)x+c(t).

Algunos ejemplos son:

x!!=t2x!x+ sent, x!!= (logt)x+ 1, x!!=x!+ 3x5, x!!=x!+tx.

Cuando en la ecuaci´on (8.1) la funci´on ces nula en el intervalo I, es decir, es del tipo

(8.2) x!!(t) =a(t)x!(t) +b(t)x(t)

diremos que la ecuaci´on lineal es homog´enea, pero cuando c no es la funci´on nula diremos que la ecuaci´on lineal no es homog´enea o escompleta. As´ı de los cuatro ejemplos anteriores ´unicamente el cuarto es una ecuaci´on homog´enea. En el tema anterior tratamos dos ecuaciones: x!! =−x! y

x!! =x, que tambi´en son lineales homog´eneas. En general, cuando la ecuaci´on (8.1) es completa diremos que (8.2) es la ecuaci´on homog´enea asociada a (8.1).

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Las ecuaciones lineales de segundo orden son, sin lugar a dudas, las m´as importantes entre todas las ecuaciones de segundo orden. Poseen much´ısimas aplicaciones; por ejemplo, en F´ısica, aparecen en problemas sobre vibraciones en Mec´anica y en la teor´ıa de circuitos el´ectricos. Adem´as, muchas bellas y profundas ideas de las Matem´aticas han surgido del estudio de estas ecuaciones.

Aqu´ı surge un gran problema, que no tenemos con las de primer orden. Las de primer orden, salvo c´alculos de primitivas, son todas resolubles. Sin embargo, muchas ecuaciones de segundo orden no se saben resolver; m´as bien dir´ıamos que son pocas las que se pueden resolver. Por ejemplo una ecuaci´on de aspecto tan simple como x!!=tx , conocida comoecuaci´on de Airy1, que

aparece en el estudio de la difracci´on de la luz, no se sabe resolver; es m´as est´a demostrado que no poseesoluciones elementales tal como sucede con muchas ecuaciones de Riccati; ´este es el caso de

x! =t+x2.Obs´ervese adem´as que se trata de una ecuaci´on homog´enea. Si le damos esta ecuaci´on

al programa Mathematica, introduciendo la ecuaci´on as´ı: DSolve[x!![t] ==tx[t], x[t], t] la respuesta que da es

x[t]AiryAi[t]C[1] + AiryBi[t]C[2].

Como podemos apreciar nos da las expresiones de las soluciones en t´erminos de dos funciones AiryAi yAiryBi, que son unas funciones especiales, llamadas precisamentefunciones de Airy, que se introdujeron a ra´ız del problema que surge con la ecuaci´on diferencial de Airy. No se conocen exactamente estas funciones aunque han sido muy estudiadas. Se pueden calcular con bastante precisi´on los valores de estas funciones y para ciertos valores del argumentotse conocen los valores exactos. Como sucede con otros muchos casos, s´olo se pueden obtener desarrollos en serie de tales funciones. En este caso, en tales desarrollos en serie aparecela funci´on Gamma. Por ejemplo, para

t[0,4] tenemos el siguiente desarrollo de AiryAi(t): 1

32/3Gamma!2 3

" t

31/3Gamma!1 3

"+ t

3

632/3Gamma!2 3

" t

4

12#31/3Gamma!1 3

"$ +O[t]5

Determinado estudio cualitativo prueba que las soluciones de la ecuaci´on de Airy tienen un comportamiento oscilatorio en el intervaloI = (−∞,0) mientras que en el intervaloI = (0,∞) unas soluciones crecen exponencialmente y otras decrecen exponencialmente. A continuaci´on esbozamos las gr´aficas de las funcionesAiryAi yAiryBi en el intervaloI = [10,4] para que se pueda apreciar este comportamiento.

!10 !8 !6 !4 !2 2 4

!0.4

!0.2 0.2 0.4

Figura 8.1: Gr´afica de la funci´on AiryAi.

!10 !8 !6 !4 !2 2 4 1

2 3 4 5

Figura 8.2: Gr´afica de la funci´on AiryBi. De la misma forma que sucede con las ecuaciones lineales de primer orden, veremos que las expresiones de las soluciones de una ecuaci´on lineal de segundo orden resoluble se pueden obtener de una forma expl´ıcita. Esto es una caracter´ıstica de las ecuaciones lineales, que, en general, no se da en el resto de las ecuaciones diferenciales.

1Sir George Airy (1801-1892) fue un astr´onomo y matem´atico ingl´es. Hay textos que consideran como ecuaci´on

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El estudio que vamos a ver en este tema se basar´a esencialmente en el estudio de las ecuaciones homog´eneas, pues la resoluci´on de una ecuaci´on no homog´enea depender´a de si sabemos resolver la ecuaci´on homog´enea asociada.

En este tema s´olo se resolver´an dos tipos de ecuaciones homog´eneas:

Las que tienen las funcionesaybconstantes (llamadasecuaciones de coeficientes constantes)

Las llamadas ecuaciones de Euler (donde ayb no son constantes).

Sin embargo, muchas ecuaciones homog´eneas de importancia primordial en Matem´aticas y en F´ısica, como la citada ecuaci´on de Airy, las ecuaciones de Bessel y las ecuaciones de Legendre, caen fuera del alcance de los m´etodos que vamos a estudiar aqu´ı y s´olo pueden tratarse (que no resolverse) por elm´etodo de las series de potencias2, m´etodo que en este tema no se va a tratar. Son casos donde las funciones coeficientes ayb son infinitamente derivables y pueden desarrollarse en serie de potencias (funciones anal´ıticas); generalmente sonfunciones polin´omicas, como sucede en la ecuaci´on de Airy, y las soluciones de la ecuaci´on son tambi´en anal´ıticas (esta ´ultima afirmaci´on no resulta trivial y hay que demostrarla). En estos casos se pueden obtener los desarrollos en serie de las soluciones, que pueden servir para dar aproximaciones de las soluciones (a veces se obtienen valores exactos de una soluci´on en determinados puntos).

En general probaremos que si somos capaces de encontrar una soluci´on de (8.2), que no se anule, podremos encontrar las dem´as soluciones, como sucede con las ecuaciones de Riccati. De hecho existe una relaci´on muy estrecha entre las ecuaciones lineales de segundo orden homog´eneas y las ecuaciones de Riccati.

Lo dicho anteriormente refuerza la idea de que se necesita dar una teor´ıa que nos de la mayor informaci´on posible sobre las soluciones y ciertos aspectos cualitativos. Por ejemplo, al igual que vimos con las ecuaciones de primer orden, probaremos que todas las soluciones de (8.1) est´an definidas en el intervalo I donde a, b y c son continuas. Esto es algo muy especial que no suele suceder, en general, con las dem´as ecuaciones de segundo orden. Como cuesti´on a destacar, veremos que existe una importante estructura algebraica para el conjunto de soluciones de una ecuaci´on homog´enea.

Casi todo lo que vamos a ver en este tema es generalizable, con un poco m´as de esfuerzo, a ecuaciones lineales de orden n > 2, pero para una mejor comprensi´on, en este primer curso estudiamos las de de segundo orden. Es m´as, en general, dentro de las ecuaciones diferenciales de ordenn >1, las m´as importantes, por sus aplicaciones, son las de segundo orden. M´as adelante se dar´an algunas referencias sobre el caso n >2 y en el pr´oximo curso se har´a un estudio general que incluye las ecuaciones lineales de cualquier orden y los sistemas lineales de primer orden.

Por lo comentado m´as arriba nuestro estudio debe iniciarse con las ecuaciones lineales ho-mog´eneas, tal como hicimos en el caso n = 1, pero, en gran medida, la teor´ıa que veremos se basar´a en un teorema de existencia y unicidad global para problemas de valores iniciales, que se obtendr´a como consecuencia del visto en el tema anterior.

Por tanto, iniciaremos nuestro estudio conel teorema de existencia y unicidad. Posteriormente estudiaremos el espacio de soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea, viendo que todo depende del conocimiento de dos soluciones linealmente independientes, para lo cual ser´a de gran utilidad el concepto de wronskiano. Despu´es veremos c´omo podemos resolver una ecuaci´on homog´enea cuando s´olo se conoce una soluci´on que no se anula. Las dos siguientes secciones estar´an dedicadas a las resoluciones de las ecuaciones homog´eneas de coeficientes constantes y de Euler. Visto esto,

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abordaremos el estudio de las ecuaciones lineales no homog´eneas, viendo que su resoluci´on s´olo depende de la resoluci´on de la homog´enea asociada y del conocimiento de una soluci´on particular. Despu´es desarrollaremos dos m´etodos para determinar una soluci´on particular de la no homog´enea: el m´etodo de variaci´on de los par´ametros, que es un m´etodo general, yel m´etodo de los coeficientes indeterminados, que no es general pero presenta mayor simplicidad de c´alculos.

8.2

Teorema de existencia y unicidad global

En el tema anterior vimos un teorema de existencia y unicidad global para EDOs de 2o orden, concretamente el teorema 7.1, del cual vamos a hacer uso ahora para obtener inmediatamente un teorema de existencia y unicidad global para EDOs lineales de 2o orden.

Obs´ervese que la ecuaci´on lineal (8.1) se puede escribir como x!!(t) = f(t, x(t), x!(t)), donde

D =R2

(banda vertical) y f:D→ R viene definida por f(t, x, y) =a(t)y+b(t)x+c(t). Al sera, byccontinuas enI, la funci´onf escontinua enDy, por otra parte,f satisface unacondici´on de Lipschitzs generalizada enD respecto de la segunda y la tercera variable pues

|f(t, x1, y)f(t, x2y)| = |b(t)| |x1 x2| para cada (t, x1, y),(t, x2, y)D

|f(t, x, y1)f(t, x, y2)| = |a(t)| |y1y2| para cada (t, x, y1),(t, x, y2)D.

En consecuencia tenemos el siguiente teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales:

Teorema 8.1 (Teorema de existencia y unicidad global). Si las funciones a, b y c son continuas en el intervalo I, t0 I yα, β R, el problema de valores iniciales

(P) : %

x!!(t) =a(t)x!(t) +b(t)x(t) +c(t)

x(t0) =α, x!(t0) =β

posee una ´unica soluci´on definida en el intervalo I.

En el tema anterior (ejemplo 7.6) estudiamos un caso particular, concretamente el problema:

(P) : %

x!!+x= 0

x(t0) =α, x!(t0) =β

y probamos directamente que (P) tiene una ´unica soluci´on definida enR,que es la funci´on definida por x(t) =βsen(tt0) +αcos(tt0).

Se sigue del teorema de existencia y unicidad 8.1 el siguiente importante resultado:

Corolario 8.1.1. Dada la ecuaci´on diferencial: x!!(t) = a(t)x!(t) +b(t)x(t) +c(t), donde las funciones a, by c son continuas en el intervalo I, se verifica lo siguiente:

1. La ecuaci´on posee infinitas soluciones definidas enI.

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Prueba. La comprobaci´on del primer punto es inmediata pues basta tomar un punto t0 I y considerar, para cada valor de α R el problema () correspondiente a los valores iniciales:

x(t0) =α, x!(t0) =α (o x!(t0) = β siendo β cualquier otro valor). Cada uno de estos problemas y, por tanto, la ecuaci´on, tiene una soluci´on definida en I y para dos valores de α distintos las

correspondientes soluciones son distintas.

Para la segunda parte basta considerar un punto t0 ∈J, los valoresα =x(t0), β =x!(t0) y el

problema (P) correspondiente a los valores iniciales: x(t0) = α, x!(t0) = β.Por construcci´on x es soluci´on enJ de este problema, el cual solo posee una soluci´on enJ. Pero al sera,byccontinuas en I, el problema (P) posee una ´unica soluci´on ˆx definida enI; obviamente la restricci´on de ˆxa J

es soluci´on de (P) enJ y, por la unicidad, coincidir´a con x en J. De esta forma x:J R tiene una ´unica extensi´on ˆx:I Rque es soluci´on del problema (P) en I.

Puesto que lo ideal es encontrar los intervalos maximales donde las soluciones puedan estar definidas, en este sentido (a la vista del resultado anterior) podemos considerar que todas las soluciones del (8.1) est´an definidas en los intervalos maximales donde las funciones a, b y c son continuas. As´ı podemos afirmar que las soluciones de la ecuaci´on x!! = x! +tx+ logt est´an definidas en el intervalo I = (0,∞), las soluciones de x!! =x!+tx−1 est´an definidas en R y las de x!!= 1tx+ sent est´an definidas en I = (−∞,0) eI = (0,∞).

Resultan de inter´es las siguientes observaciones sobre las gr´aficas de las soluciones de una ecuaci´on lineal de segundo orden. Consideremos el caso dex!!+x= 0. Las funcionesx1, x2:RR, definidas porx1(t) = cost yx2(t) = sent son soluciones de la ecuaci´on diferencial. Obs´ervese que

sus gr´aficas se cortan en infinitos puntos, aunque los cortes son tranversales (no tangenciales).

!5Π !4Π !3Π !3Π

2!Π !

Π

2

Π

2 Π

2 3Π 4Π 5Π

!1 1

Figura 8.3: Gr´aficas de las funciones seno y coseno.

Esta situaci´on no se da en general para soluciones de una EDO expl´ıcita de primer orden:

x! =f(t, x),debido a que, bajo condiciones muy generales sobref, cada problema de valor inicial asociado posee una ´unica soluci´on en un determinado intervalo (recu´erdese el teorema de existencia y unicidad local). En los casos donde esto no sucede, como, por ejemplo x! = 3x2/3,los cortes de

las gr´aficas son tangenciales (esto se prob´o en general en el tema 3).

En el caso de una EDO lineal de segundo orden expl´ıcita, y en otras muchas ecuaciones de segundo orden, lo usual es que las gr´aficas de las soluciones se corten, pues esto no contradice al teorema de existencia y unicidad 8.1. Lo que no puede suceder, pues estar´ıa en contradicci´on con este teorema, es que haya un corte tangencial, es decir, un punto del plano (t0, x0) y dos soluciones

x1, x2 de (8.1) tales que x1(t0) =x2(t0) =x0 yx!1(t0) =x!2(t0).

Por ´ultimo, advertimos que existen otros tipos de problemas (muy importantes) relacionados con las EDOs lineales de segundo orden, que son los llamados problemas de contorno o problemas de valores en la frontera. Un caso particular de un problema de contorno es

%

x!!(t) =a(t)x!(t) +b(t)x(t) +c(t)

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donde t0 y t1 son dos puntos del intervalo I. Propiamente el nombre de problema de contorno tiene su origen en el caso en que el intervalo es de la forma I = [t0, t1] pues en tal caso el contorno

(frontera) del intervalo est´a dado por los puntos t0 y t1, donde se imponen las condiciones. En este curso no se van a estudiar este tipo de problemas, pero queremos advertir que un problema de contorno tiene, en general, un comportamiento muy distinto al de un problema de valores iniciales; puede que no tenga soluci´on, que tenga soluci´on ´unica o que tenga infinitas soluciones. Ya comprobaremos esto (v´ease ejercicio 10) cuando sepamos resolver alg´un tipo de ecuaci´on lineal de segundo orden.

8.3

La ecuaci´

on homog´

enea. El espacio de soluciones

Por diversas razones una ecuaci´on lineal homog´enea (8.2) la escribimos, en forma abreviada, as´ı:

(8.3) x!!+p(t)x!+q(t)x= 0

y suponemos, a partir de ahora, quep, q∈ C(I,R).

Lo primero que hay que destacar es que esta ecuaci´on tiene siempre una soluci´on trivial, que es la funci´on nula x:I R, t&→x(t) = 0, lo que no sucede con la no homog´enea.

Al considerar una soluci´on de (8.3) la suponemos definida en el intervalo I ya que cualquier otra soluci´on x:J R, donde J ! I, se puede extender a una soluci´on de la ecuaci´on definida en I. V´ease que si x es soluci´on de (8.3), entonces x ∈ C2(I,R), que es un espacio vectorial real infinito-dimensional con las operaciones usuales de suma de funcionesx+yy producto por escalares

αx(αR).La siguiente propiedad es trivial pero es muy importante.

Proposici´on 8.1. Se verifica lo siguiente:

(I) Si xey son soluciones de la ecuaci´on homog´enea (8.3), la funci´onx+y tambi´en es soluci´on de (8.3).

(II) Si x es soluci´on de (8.3)y α∈R, la funci´on αxes soluci´on de (8.3).

As´ı pues el conjunto de soluciones de la ecuaci´on homog´enea es un subespacio vectorial del espacio

C2(I,R).

El objetivo principal de esta secci´on esprobar que tal subespacio vectorial es de dimensi´on finita igual a dos; de esta forma si x1 yx2 son dos solucioneslinealmente independientes de la ecuaci´on

homog´enea las dem´as soluciones son de la forma

x=c1x1 +c2x2 dondec1, c2 R.

As´ı, conociendo dos soluciones linealmente independientes se conocen todas las soluciones. En el tema 2 vimos que el conjunto de soluciones de una ecuaci´on lineal de primer orden homog´enea es un espacio vectorial de dimensi´on igual a 1.

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Definici´on 8.2. Dadas dos funciones x1, x2:I R,diremos que son linealmente independientes en el intervalo I cuando sucede que si c1 y c2 son dos constantes tales que c1x1(t) +c2x2(t) = 0 para cada t∈I, entonces c1 =c2 = 0.Diremos que son linealmente dependientes en el intervalo

I cuando no son linealmente independientes, es decir, cuando existen dos constantesc1 y c2, no ambas nulas, tales que c1x1(t) +c2x2(t) = 0 para cada t∈I.

Al tratarse de dos funciones es muy f´acil visualizar si son linealmente independientes o no. Por ejemplo, el que sean linealmente dependientes equivale a que las dos funciones sean proporcionales, es decir a que exista una constante k tal que x2 =kx1 o bien x1 =kx2; as´ı pues, informalmente podemos considerar el cociente entre ambas funciones y ver si sale constante o no. En el primer caso ser´ıan linealmente dependientes y en el segundo independientes.

Hay un concepto muy ´util, que se usa en diversas cuestiones sobre las ecuaciones diferenciales lineales y que est´a muy relacionado con la independencia lineal, que es el concepto de wronskiano.3

Definici´on 8.3. Dadas dos funciones x1, x2:I Rderivables en el intervalo I, se llama wron-skiano o determinante de Wronski de las funcionesx1 yx2 a la funci´onW(x1, x2) :I Rdefinida por el siguiente determinante

(8.4) W(x1, x2)(t) =

& & & & &

x1(t) x2(t)

x!1(t) x!2(t) & & & & &

As´ı pues W(x1, x2) =x1x!2 −x2x!1.

En el caso de x1(t) = cost, x2(t) = sent se verifica que W(x1, x2)(t) = 1 para cada t R

mientras queW(x2, x1)(t) =1.

Para dos funciones derivables cualesquiera la relaci´on entre la independencia lineal y el wron-skiano viene dada por el siguiente resultado:

Proposici´on 8.2. Si x1, x2:I Rson dos funciones derivables en el intervalo I y existe t0 ∈I tal que W(x1, x2)(t0)'= 0, entoncesx1 yx2 son linealmente independientes en I.

Prueba. La prueba se reduce a algo tan b´asico como el hecho de que un sistema lineal algebraico homog´eneo cuya matriz de coeficientes tiene un determinante no nulo, s´olo posee la soluci´on trivial. En efecto, sea t0 I tal que W(x1, x2)(t0) '= 0. Sean c1 y c2 dos n´umeros reales tales que

c1x1(t) +c2x2(t) = 0 para cada t I. Queremos comprobar que c1 = c2 = 0. Derivando en la expresi´on anterior y considerandot=t0 tenemos

%

c1x1(t0) +c2x2(t0) = 0

c1x!1(t0) +c2x!2(t0) = 0

lo que se puede considerar como un sistema lineal algebraico homog´eneo de dos ecuaciones en las inc´ognitasc1 yc2 cuya matriz de coeficientes es

3Este concepto fue introducido por el matem´atico polaco Wronki (1778-1853). Parece ser que esta fue su ´unica

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A= '

x1(t0) x2(t0)

x!1(t0) x!2(t0) (

.

El determinante de esta matriz esW(x1, x2)(t0) y, al ser no nulo, el sistema s´olo posee la soluci´on

trivial c1 =c2 = 0.

El rec´ıproco del resultado anterior no es v´alido en general, como puede comprobarse con las funcionesx1, x2:RRdefinidas porx1(t) =t2 yx1(t) =t|t|,que son linealmente independientes en R pero el wronskiano de ambas funciones se anula en todos los puntos. Obs´ervese que son funciones deC1(I,R) y son linealmente dependientes en los intervalosI = (−∞,0] e I = [0,∞).

Sin embargo, cuando dos funciones son soluciones de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea como (8.3), s´ı existe una especie de rec´ıproco del resultado anterior.

Proposici´on 8.3. Si x1, x2: I R son dos soluciones de la ecuaci´on (8.3), linealmente inde-pendientes en I, entonces W(x1, x2)(t)'= 0 para cadatI.

Prueba. La prueba se hace por reducci´on al absurdo, suponiendo que existe un t0 I tal que

W(x1, x2)(t0) = 0 y llegando a la contradicci´on de que x1 y x2 son linealmente dependientes usando el teorema de existencia y unicidad 8.1.

En efecto, la condici´on W(x1, x2)(t0) = 0 implica que el sistema lineal algebraico homog´eneo de dos ecuaciones en las inc´ognitas c1 y c2 dado por

%

c1x1(t0) +c2x2(t0) = 0

c1x!1(t0) +c2x!2(t0) = 0

posee una matriz de coeficientes con determinante nulo y, por tanto, posee soluci´on distinta de la trivial. Sea (c1, c2) '= (0,0) una soluci´on del sistema anterior y consideremos la funci´on x =

c1x1 +c2x2, la cual es soluci´on de la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea como consecuencia de

la proposici´on 8.1. Entonces, la funci´onx es soluci´on en I del problema de valores iniciales:

(P) : %

x!!+p(t)x!+q(t)x= 0

x(t0) = 0, x!(t0) = 0

pero sabemos, por el teorema 8.1, que tal problema posee una ´unica soluci´on en el intervalo I y es obvio que la funci´on nula es soluci´on de (P). En consecuencia c1x1(t) +c2x2(t) = 0 para cada

tRsiendo (c1, c2)'= (0,0) y esto contradice quex1 yx2 sean linealmente independientes.

De la proposiciones 8.2 y 8.3 se concluye el siguiente teorema:

Teorema 8.2. Six1, x2:I Rson dos soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea (8.3)las tres siguientes afirmaciones son equivalentes:

(I) x1 yx2 son linealmente independientes en I. (II) W(x1, x2)(t)'= 0 para cada t∈I.

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Como consecuencia inmediata del teorema anterior obtenemos el siguiente resultado:

Corolario 8.2.1. El wronskiano de dos soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea (8.3) o se anula en todos los puntos del intervalo I o no se anula en ninguno. En el primer caso las soluciones son linealmente dependientes en I y en el segundo son linealmente independientes.

Hay una f´ormula sobre el wronskiano de dos soluciones de una ecuaci´on lineal homog´enea, muy ´

util y que, entre otras cosas, confirma la primera parte del resultado del corolario anterior. No hay acuerdo en otorgarle la f´ormula a Abel o a Liouville.

Teorema 8.3 (F´ormula de Abel-Liouville sobre el wronskiano). Si x1, x2:I R son dos solu-ciones de la ecuaci´on lineal homog´enea x!!+p(t)x!+q(t)x= 0 yt0 I, el wronskiano de ambas soluciones verifica

(8.5) W(x1, x2)(t) =W(x1, x2)(t0)e

!tt0p(s)ds para cada tI.

Prueba. La idea de la prueba es comprobar que la funci´on wronskiano y = W(x1, x2) :I R es

soluci´on de la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de primer orden y! =−p(t)y . Sabemos que fijada una primitiva )−p(t)dt de la funci´on −p en el intervalo I, las soluciones de esta ecuaci´on son las funcionesyC definidas poryC(t) =Ce−!p(t)dtconC R, pero, si en concreto consideramos como primitiva la dada por t&→ −)tt

0p(s)ds, tenemos que existe una constante C tal que y(t) =

Cexp()tt

0p(s)ds) para cada t I. Pero v´ease que necesariamente tal constante C es y(t0)

confirm´andose as´ı la f´ormula (8.5).

Confirmemos ahora que y!+py = 0. Tenemos que y =x1x!2 x2x!1 por lo que su derivada es

y!=x1x!!2 x2x!!1.Por tanto,

y!+py = (x1x2!!−x2x!!1) +p(x1x!2−x2x1!) =x1(x!!2 +px !

2)−x2(x!!1 +px ! 1)

= x1(−qx2)−x2(−qx1) = 0.

Observaci´on: V´ease que seg´un (8.5) si el wronskiano se anula en alg´un punto del intervalo I, entonces se anula en todo punto, mientras que si no se anula en un punto tampoco se anula en los dem´as, confirmando as´ı la primera parte del resultado del corolario 8.2.1.

Por otra parte, es consecuencia inmediata del teorema anterior lo siguiente:

Corolario 8.3.1. El wronskiano de dos soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea x!!+q(t)x= 0 es constante en el intervalo I.

De hecho, las ecuaciones del tipo x!!+q(t)x= 0 son las ´unicas EDOs lineales homog´eneas que tienen tal propiedad (ejercicio 5). V´ease que las funciones definidas porx1(t) = costyx2(t) = sent

son soluciones en R de la ecuaci´on diferencialx!!+x= 0 y hemos comprobado anteriormente que

(10)

Como consecuencia del teorema 8.2 y del teorema de existencia y unicidad 8.1 obtenemos el resultado principal de esta secci´on, que es el siguiente:

Teorema 8.4. Dada la ecuaci´on lineal homog´enea x!!+p(t)x!+q(t)x= 0, donde p, q∈ C(I,R), se verifica lo siguiente:

(I) Existen dos soluciones de la ecuaci´on que son linealmente independientes en I.

(II) Si x1, x2:I Rson dos soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on y x:I R es otra soluci´on, existen unas ´unicas constantes c1, c2 Rtales que x=c1x1+c2x2.

Es decir, el conjunto de soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea es un espacio vectorial real (subespacio vectorial de C2(I,R)), de dimensi´on igual a 2 .

En distintos textos, a una base {x1, x2} del espacio de soluciones de la homog´enea le llaman conjunto fundamental de soluciones y, por otra parte, dicen que x(t) = c1x1(t) +c2x2(t) es la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial homog´enea.

Prueba. (I) Fijemos un puntot0 en el intervaloI y consideremos los siguientes problemas de valores iniciales:

(P1) : %

x!!+p(t)x!+q(t)x= 0

x(t0) = 1, x!(t0) = 0 (P2) : %

x!!+p(t)x!+q(t)x= 0

x(t0) = 0, x!(t0) = 1

El teorema de existencia y unicidad 8.1 asegura que cada problema (Pk) tiene una ´unica soluci´on

xk:I R, k= 1,2.Por otra parte, el wronskiano en el punto t0 verifica:

W(x1, x2)(t0) = & & & & &

1 0 0 1 & & & & &'= 0

y, por tanto, las soluciones x1 yx2 son linealmente independientes en I.

(II) Sean x1, x2:I Rdos soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on (que existen por el apartado anterior). Seax:I Rcualquier otra soluci´on de la ecuaci´on diferencial. Fijemos un puntot0 en el intervaloI y consideremos los valores α=x(t0) y β=x!(t0).De esta formax es soluci´on en el intervaloI del problema

(P) : %

x!!+p(t)x!+q(t)x= 0

x(t0) =α, x!(t0) =β

Una vez m´as, aplicando el teorema 8.1, tenemos asegurado que (P) tiene una ´unica soluci´on. Por tanto, si probamos que existen dos constantesc1, c2 tales quey =c1x1+c2x2 es soluci´on de (P), entonces, por la unicidad, debe serx=c1x1 +c2x2 y as´ı acabamos la prueba.

Obviamente, cualesquiera que sean las constantesc1 yc2, la funci´onyes soluci´on de la ecuaci´on diferencial por ser combinaci´on lineal de x1 yx2. Las dos condiciones iniciales que aparecen en el

problema (P) exigen que las constantesc1 yc2 deben verificar el sistema de ecuaciones %

c1x1(t0) +c2x2(t0) = α

c1x!1(t0) +c2x!2(t0) = β

(11)

independientes. En consecuencia tal sistema posee una ´unica soluci´on (c1, c2) R2 y queda as´ı probado el teorema.

A continuaci´on exponemos tres ejemplos de aplicaci´on del teorema anterior.

Ejemplo 8.1. Soluciones de la ecuaci´on diferencial: x!!+x= 0.

Ya hemos visto que las funciones definidas por x1(t) = cost y x2(t) = sent son soluciones en

R de tal ecuaci´on. Por otra parte, W(x1, x2)(t) = 1 para cada t, por lo que son dos soluciones linealmente independientes en R y, en consecuencia, las soluciones de la ecuaci´on diferencial son las funcionesx:RRdefinidas por

x(t) =c1cost+c2sent dondec1, c2 R.

La respuesta de Mathematicaa esta ecuaci´on diferencial, dada as´ı: DSolve[x!![t] +x[t] == 0, x[t], t] es

x[t]→C[1]Cos[t] +C[2]Sin[t].

Ejemplo 8.2. Soluciones de la ecuaci´on diferencial: x!!+x! = 0.

Las soluciones est´an definidas enR. En el tema anterior resolvimos esta ecuaci´on reduci´endola a una EDO lineal de primer orden homog´enea. No obstante, se ve que cualquier funci´on constante ser´ıa soluci´on de la ecuaci´on, por ejemplo, x1(t) = 1. Tambi´en se ve f´acilmente que la funci´on

x2(t) =e−t es tambi´en soluci´on y ambas funciones son linealmente independientes pues la funci´on

x2/x1 no es constante o bien, W(x1, x2)(t) = e−t '= 0 para cada t R. En consecuencia, las

soluciones de la ecuaci´on diferencial vienen definidas por

x(t) =c1 +c2e−t dondec1, c2 R.

Con Mathematicatenemos:

DSolve[x!![t] +x![t] == 0, x[t], t] x[t]→ −e−tC[1] +C[2].

Ejemplo 8.3. Soluciones de la ecuaci´on diferencial: x!!+2tx!−t22x= 0 y soluci´on del problema:

(P) : %

x!!+ 2tx!− 2 t2x= 0

x(1) = 0, x!(1) = 3.

Obs´ervese que, a diferencia de los dos casos anteriores, las funciones (coeficientes) que acompa˜nan a la funci´on inc´ognitaxy a su derivada no son constantes, pero son funciones definidas y continuas en los intervalosI = (0,∞) e I = (−∞,0), por lo que las soluciones de la ecuaci´on diferencial est´an definidas en cada uno de estos intervalos y el problema (P) posee una ´unica soluci´on definida en

(12)

Cualquier soluci´on de la ecuaci´on diferencial es soluci´on de la EDO lineal de segundo orden en forma impl´ıcita

t2x!!+ 2tx!2x= 0

y cualquier soluci´on de la impl´ıcita definida enI es soluci´on de la ecuaci´on original. En la ecuaci´on en forma impl´ıcita se visualiza mejor una posible soluci´on. Dado que a la segunda derivada x!! le acompa˜na el factor (coeficiente) t2, a la primera derivada x! el factor 2t y a la inc´ognita x una constante, cabe la posibilidad de que exista una soluci´on del tipo x(t) = , con λno

necesaria-mente un n´umero natural, podr´ıa ser entero o racional (si λ no es natural, para que en general tenga sentido la expresi´ondebe sert >0). Para salir de dudas lo ´unico que tenemos que hacer es derivar dos veces tal funci´on y calcular la expresi´on que sale en el primer miembro de la ecuaci´on. Resulta

t2x!!(t) + 2tx!(t)2x(t) =#λ(λ1) + 2λ2$tλ,

por lo que deducimos que x definida por x(t) = es soluci´on en I de la ecuaci´on diferencial si, y

s´olo si, se verificaλ(λ−1) + 2λ−2 = 0,dando lugar a la ecuaci´on de segundo gradoλ2+λ−2 = 0, que por suerte tiene dos soluciones reales (en este caso n´umeros enteros) que son λ= 1 yλ=2. Por tanto, hemos determinado dos soluciones de la ecuaci´on diferencial original que son las definidas por x1(t) =t yx2(t) =t

2

.

Ambas funciones son linealmente independientes pues x1

x2(t) =t

3

o bien,W(x1, x2)(t) =t32 '= 0

para cadatI. Por tanto, las soluciones de la ecuaci´on diferencial son las funciones definidas por

x(t) =c1t+c2

t2 dondec1, c2 R.

Comprobamos el resultado con Mathematica:

DSolve *

x!![t] +2

tx

![t] 2

t2x[t] == 0, x[t], t +

x[t]tC[1] + C[2]

t2 .

Observaciones: En general, si se quiere usar el wronskiano para obtener la independencia lineal no es necesario calcular ´este en cada punto deI, bastar´ıa con elegir un puntot0 ∈I donde los c´alculos

resulten f´aciles y comprobar que W(x1, x2)(t0) '= 0. No es ´este el caso, pero esto puede ser de ayuda en otros casos con expresiones de x1 y x2 m´as complejas. En nuestro caso, en la situaci´on

I = (0,∞) podemos comprobar f´acilmente que W(x1, x2)(1) = 3. De paso podemos aprovechar

para comprobar la f´ormula de Abel-Liouville sobre el wronskiano, que, en este caso, afirma

W(x1, x2)(t) =W(x1, x2)(1)e−!1tp(s)ds=3e−

!t

1 2sds =3 e2 logt=3 t2.

Una vez resuelta la ecuaci´on diferencial, para determinar la soluci´on del problema (P) s´olo tenemos que imponer las dos condiciones iniciales a las soluciones que hemos obtenido. Esto nos debe llevar a un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas: c1 y c2 de soluci´on ´unica y basta con resolver el sistema. En efecto, las condicionesx(1) = 0 yx!(1) = 3 nos conducen al sistema

%

c1 +c2 = 0

c1 2c2 = 3

(13)

En el programa Mathematica se introduce el problema de valores iniciales as´ı:

DSolve *,

x!![t] +2

tx

![t] 2

t2x[t] == 0, x[1]==0, x![1]==3

-, x[t], t

+

y la respuesta es: x[t] 1 +t

3

t2 .

Observaci´on: En este ejemplo hemos pedido inicialmente las soluciones de la ecuaci´on y despu´es la soluci´on de un problema de Cauchy. Si directamente nos piden la soluci´on de un problema de Cauchy, lo recomendable en este caso, salvo en casos excepcionales, es llevar a cabo el mismo procedimiento; es decir, determinar primero todas las soluciones de la ecuaci´on (soluci´on general) y, puesto que en la soluci´on general aparecen dos constantes, despu´es se calculan las constantes imponiendo las condiciones iniciales del problema. Un caso excepcional ser´ıa, por ejemplo,

%

x!!+ 2tx!t22x= 0

x(1) = 0, x!(1) = 0.

En este caso no habr´ıa que resolver la ecuaci´on pues obviamente lafunci´on nula es soluci´on y, por tanto, la soluci´on ´unica del problema. Esto se hace a´un m´as patente en un caso como

%

x!!tx= 0

x(π) = 0, x!(π) = 0, donde la ecuaci´on es irresoluble (ecuaci´on de Airy).

8.4

Resoluci´

on de una ecuaci´

on homog´

enea cuando se conoce una

soluci´

on particular que no se anula

Seg´un lo visto en la secci´on anterior, si conocemos dos soluciones de la ecuaci´on diferencial

x!!+p(t)x!+q(t)x= 0, p, q∈ C(I,R),

que sean linealmente independientes en I (esto descarta a la soluci´on nula), entonces obtenemos inmediatamente todas las soluciones. En esta secci´on vamos a ver que si conocemos una soluci´on

x1:I R tal que x1(t) '= 0 para todot∈I, vamos a poder obtener otra soluci´onx2 linealmente

independiente dex1 y, por tanto, vamos a conseguir resolver la ecuaci´on.

Dado que x1 yx2 deben ser linealmente independientes en el intervalo I y en este intervalo la funci´onx1 no se anula, la funci´on cociente x2/x1 no puede ser constante enI y as´ı debe ser existir

una funci´on v, no constante y dos veces derivable en I, tal que

x2(t) =v(t)x1(t) para cadat∈I.

(14)

Primer m´etodo:

Esquem´aticamente, este consiste en suponer que efectivamente existe otra soluci´on de la ecuaci´on diferencial del tipo x2(t) =v(t)x1(t) con v ∈ C

2

(I,R). Llevando esta expresi´on a la ecuaci´on dife-rencial, haciendo muchos c´alculos y teniendo en cuenta quex1 no se anula enI se llega a una EDO lineal de segundo orden homog´enea en la funci´on inc´ognita v, pero con la gran ventaja de que es del tipo v!!+α(t)v! = 0,la cual se puede resolver f´acilmente mediante una EDO lineal de primer orden homog´enea en la funci´on inc´ognitay=v!. Una vez obtenida la expresi´on de una soluci´on no nula v se obtiene la soluci´onx2 =v x1.

Segundo m´etodo: Haciendo uso de la f´ormula de Abel-Liouville sobre el wronskiano Hemos visto en el teorema 8.3 (f´ormula de Abel-Liouville) que six1, x2:I Rson dos soluciones

de la ecuaci´on lineal de segundo orden homog´enea y t0 I, el wronskiano de ambas soluciones verifica:

W(x1, x2)(t) =W(x1, x2)(t0)e− !t

t0p(s)ds para cadatI.

De hecho, lo que vimos en la prueba es que la funci´on wronskiano es soluci´on de la EDO lineal de primer orden homog´eneay!=−p(t)y y, por tanto, si) p(t)dt es una primitiva de p enI, entonces existe una constanteK tal que

W(x1, x2)(t) =Ke−!p(t)dt para cada tI.

Las dos soluciones son linealmente independientes si, y s´olo si, K '= 0. Por tanto, fijada una primitiva) p(t)dt, si ya tenemos una soluci´on x1 de la ecuaci´on y x2 es otra soluci´on linealmente independiente dex1 debe existir una constante K'= 0 tal que

(8.6)

& & & & &

x1(t) x2(t)

x!1(t) x!2(t) & & & &

&=Ke−

!

p(t)dt para cada tI.

Por otra parte, siendo x2 linealmente independiente de x1 debe existir v∈ C 2

(I,R) (no constante) tal quex2 =v x1.Llevando esta expresi´on a (8.6) se tiene quev debe verificar:

& & & & &

x1(t) v(t)x1(t)

x!1(t) v!(t)x1(t) +v(t)x!1(t) & & & &

&=Ke−

!

p(t)dt para cadatI,

dondeK '= 0 y, desarrollando el determinante, se obtiene:

v!(t)x21(t) =Ke−!p(t)dt para cadatI.

Teniendo en cuenta quex1(t)'= 0 para todotI, se obtiene la funci´onv as´ı:

(8.7) v(t) =K

. 1

x2

1(t)

e−!p(t)dtdt,

y, en definitiva, la soluci´on buscada debe serx2:I Rdefinida por

x2(t) =Kx1(t) .

1

x2

1(t)

e−!p(t)dtdt.

De la forma que hemos obtenido x2, est´a asegurado que x1 y x2 son linealmente independientes (obs´ervese que v no es constante en I pues su derivada no se anula). Puesto que K '= 0 y si

(15)

Teorema 8.5. Si x1:I R es una soluci´on de la ecuaci´on lineal homog´enea de segundo orden

x!!+p(t)x!+q(t)x= 0, p, q∈ C(I,R),

y x1(t) '= 0 para todo t I, entonces otra soluci´on x2, linealmente independiente de x1 en el intervalo I, es la definida por

(8.8) x2(t) =x1(t)

. 1

x2

1(t)

e−!p(t)dtdt.

Observaciones:

1. Para ser m´as preciso, en la expresi´on de v obtenida en (8.7), habr´ıa que escribir

v(t) =K

. 1

x2

1(t)

e−!p(t)dtdt+C, siendoC R,

ya que dada una primitiva de la funci´on x12 1

e−!p, al ser tambi´env primitiva de esta funci´on, la diferencia entre ambas puede ser una constante. As´ı obtendr´ıamos la siguiente expresi´on de la soluci´on x2

x2(t) =Kx1(t)

. 1

x2

1(t)

e−!p(t)dtdt+Cx1(t),

pero v´ease que Cx1 es soluci´on de la homog´enea y, puesto que la diferencia de dos soluciones de la homog´enea tambi´en es soluci´on, se obtendr´ıa finalmente una expresi´on como la dada en (8.8) para obtener otra soluci´on de la ecuaci´on.

2. La expresi´on de x2 depende de las primitivas que se usen en la f´ormula (8.8), que engloba concretamente dos primitivas. Teniendo en cuenta que en un intervalo dos primitivas de una funci´on se diferencian en una constante, obtenida una soluci´on x2 mediante (8.8), el cambio de primitivas nos podr´ıa llevar a otra soluci´on x∗2 tal que x∗2 = Kx2 +Cx1 con K '= 0 y

C R. Teniendo en cuenta que Cx1 es soluci´on de la homog´enea, podemos afirmar que la

elecci´on de primitivas, aunque puede influir en la expresi´on de la soluci´on particular que se obtiene, no afectar´ıa a la hora de dar la expresi´on de la soluci´on general de la ecuaci´on, que es el objetivo final de todo esto.

Muchas ecuaciones importantes son del tipo

x!!+q(t)x= 0.

En este caso la f´ormula (8.8) queda as´ı de simple

(8.9) x2(t) =x1(t)

. 1

x2

1(t)

dt.

En la pr´actica podemos hacer uso de la f´ormula (8.8) pero podemos prescindir de ella (y esto es lo m´as aconsejable) sin m´as que recordar la f´ormula de Liouville sobre el wronskiano y siguiendo los pasos dados en la prueba. Es decir, el procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Escribir la f´ormula del wronskiano (8.6) con constanteK = 1 y tomando cualquier primitiva de la funci´on p, es decir: W(x1, x2)(t) =e−!p(t)dt.

(16)

Ejemplo 8.4. Soluciones de la ecuaci´on diferencial: x!!1

tx!+

1

t2x= 0.

Las soluciones de la ecuaci´on son v´alidas en los intervalosI = (−∞,0) eI = (0,).Observemos que esta ecuaci´on es muy parecida a la que vimos en el ejemplo (8.3) de la secci´on anterior, que al escribirla en forma impl´ıcita nos sugiere la posibilidad de una soluci´on del tipox(t) =.

En este caso, escrita en forma impl´ıcita, la ecuaci´on queda as´ı: t2x!!−tx!+x= 0 y vemos que

x definida por x(t) = es soluci´on en I si, y s´olo si, se verifica λ(λ1)λ+ 1 = 0, es decir,

λ22λ+ 1 = 0, cuya ´unica soluci´on real es λ= 1. De esta forma obtenemos la soluci´on definida por x1(t) =t , que no se anula en I. Ahora podemos obtener una segunda soluci´on linealmente

independiente mediante el m´etodo anterior. Usando la f´ormula (8.8) obtenemos:

x2(t) =t

. 1

t2e !1

tdtdt=t

. |t|

t2 dt.

En el caso I = (0,) resultax2(t) =tlogty en el caso I = (−∞,0) quedax2(t) =tlog(t). En cualquier caso podemos elegir como soluci´on la definida por x2(t) =tlog|t|. De esta forma las soluciones de la ecuaci´on diferencial son las funciones de la forma

x(t) =t#c1 +c2log|t|

$

c1, c2 R.

Comprobaci´on con Mathematica:

DSolve *

x!![t] 1

tx

![t] + 1

t2x[t] == 0, x[t], t +

x[t]tC[1] +tC[2]Log[t].

Veamos ahora la forma de proceder sin usar la f´ormula (8.8). Por comodidad vamos a trabajar en el intervaloI = (0,) y, de forma an´aloga se har´ıa en el caso I = (−∞,0). Usamos la f´ormula del wronskiano: W(x1, x2)(t) =e−!p(t)dt (conK = 1) que en nuestro caso queda as´ı:

& & & & &

x1(t) x2(t)

x!1(t) x!2(t) & & & & &=t.

Buscamos una soluci´onx2, linealmente independiente dex1,que es de la formax2 =vx1.Llevando esta expresi´on al wronskiano obtenemos:

W(x1, x2)(t) = & & & & &

t tv(t) 1 v(t) +tv!(t)

& & & & &=t

2v!(t)

y, as´ı, la funci´on v la obtenemos inmediatamente de la expresi´ont2v!(t) =t y resultav(t) = logt.

En definitiva, la soluci´on obtenida es x2(t) =tlogttal como hab´ıamos obtenido directamente con la f´ormula (8.8).

Si nos hubieran pedido desde un principio la soluci´on x: (0,∞)R del problema

(P) : %

x!!−1

tx!+t12x= 0

(17)

hubi´eramos resuelto la ecuaci´on diferencial, tal como hemos procedido anteriormente, obteniendo la familia de solucionesx(t) =t#c1+c2logt

$

y ahora calculamos las constantesc1 yc2 imponiendo

las condiciones iniciales. En esta caso tales condiciones nos llevan a que c1 = 1 yc1+c2 = 3 y, por tanto, c1 = 1 yc2 = 2. As´ı la soluci´on del problema (P) es la funci´on definida por

x(t) =t#1 + 2 logt$.

Comprobaci´on con Mathematica:

DSolve *,

x!![t]1

tx

![t] + 1

t2x[t] == 0, x[1] == 1, x![1]==3

-, x[t], t

+

x[t]> t+ 2tLog[t].

8.5

Ecuaciones lineales homog´

eneas con coeficientes constantes

Estas son las ecuaciones lineales homog´eneas de segundo orden donde las funciones p y q son constantes, es decir ecuaciones del tipo:

(8.10) x!!+p x!+q x= 0 donde p, q∈R.

Las soluciones de estas ecuaciones est´an definidas enR. Se trata de una importante clase de ecua-ciones, que tienen la gran ventaja de que se saben resolver. Obviamente el objetivo es obtener dos soluciones linealmente independientes en R. Las ideas que vamos a exponer se deben al gran matem´atico L. Euler (1707-1783).

En este caso, dada la forma de la ecuaci´on, donde p y q son constantes, no cabe esperar que existan soluciones del tipo x(t) = como ha sucedido con otras ecuaciones de coeficientes no constantes que hemos visto en secciones anteriores. Si ponemos como referencia el caso de la ecuaci´on lineal homog´enea de primer ordenx!+px= 0, conpconstante, sabemos que las soluciones de ´esta vienen dadas por funciones exponenciales; concretamente son de la forma x(t) =Ceλt con

C R, dondeλ =p.Dada la forma de (8.10) cabe la posibilidad de que existan soluciones del tipox(t) =eλt conλ∈R.

Comprobamos de una forma inmediata que x(t) =eλt es soluci´on de (8.10) si, y s´olo si, λ es soluci´on de la ecuaci´on de segundo grado

(8.11) λ2++q= 0

o, dicho de otra forma, si λes ra´ız del polinomioλ2++q. La ecuaci´on (8.11) recibe el nombre

deecuaci´on caracter´ıstica o auxiliar de la ecuaci´on diferencial (8.10) (tambi´en podr´ıamos decir que

(18)

Caso I: La ecuaci´on caracter´ıstica (8.11) tiene dos soluciones reales: λ1 y λ2.

En este caso las funciones definidas por x1(t) =1t y x

2(t) =e

λ2t son soluciones de la

ecuaci´on diferencial (8.10) y obviamente son linealmente independientes en R. Obs´ervese que el wonskianoW(x1, x2)(t) = (λ2λ1)e12)tno se anula enR. Por tanto, el conjunto de soluciones

de la ecuaci´on diferencial (8.10) viene dado por las funcionesx:RRdefinidas por (8.12) x(t) = c11t+c

2e

λ2t donde c

1, c2 R.

Ejemplo 8.5. Resoluci´on de la ecuaci´on diferencial: x!!x= 0.

Ecuaci´on caracter´ıstica asociada: λ21 = 0,cuyas soluciones sonλ

1 = 1 y λ2 =1.Por tanto

las soluciones de la ecuaci´on diferencial est´an dadas por las funciones definidas por

x(t) = c1et+c2e−t, c1, c2 R.

Comprobaci´on con Mathematica:

DSolve[x!![t]−x[t] == 0, x[t], t] x[t]→etC[1] +e−tC[2].

V´ease la diferencia existente con la ecuaci´onx!!+x= 0, ya vista en la secci´on 8.3, cuyas solucio-nes son de la formax(t) =c1cost+c2sent,pero obs´ervese que, aunque la diferencia s´olo est´a en un signo, resulta que la ecuaci´on caracter´ıstica de esta ´ultima,λ2+ 1 = 0, no posee soluciones reales.

Ejemplo 8.6. Soluciones de la ecuaci´on diferencial: x!!3x!+ 2x= 0.

Ecuaci´on caracter´ıstica asociada: λ23λ+ 2 = 0 cuyas soluciones son λ

1 = 1 y λ2 = 2.Por

tanto la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial viene dada por

x(t) = c1e

t+c

2e

2t, c

1, c2 R.

Comprobaci´on con Mathematica:

DSolve[x!![t]3x![t] + 2x[t] == 0, x[t], t] x[t]etC[1] +e2tC[2].

Ejemplo 8.7. Soluci´on x:RR del problema de valores iniciales:

(P) : %

x!!+ 4x!2x= 0

x(0) = 1, x!(0) = 2.

Ecuaci´on caracter´ıstica asociada: λ2 + 4λ2 = 0, cuyas soluciones son λ1 = 2 +6 y

λ2 =26.Por tanto las soluciones de la ecuaci´on diferencial vienen dadas por

(19)

Ahora determinamos las constantes c1 y c2 (de forma ´unica) imponiendo las condiciones iniciales

x(0) = 1, x!(0) = 2 lo que da lugar a un sistema compatible determinado cuya soluci´on es c1 =

1 2 +

6

3 yc2 =

1 2

6

3 y as´ı la soluci´on del problema (P) es la dada por

x(t) =/12 +360e(2+6)t+/12 −√6 3

0

e−(2+6)t.

Comprobaci´on con Mathematica:

DSolve[{x!![t] + 4x![t]2x[t] == 0, x[0] == 1, x![0] == 2}, x[t], t]

x[t] 1

6 /

3e(2−√6)t−26e(2−√6)t+ 3e(2+6)t+ 26e(2+6)t.

Caso II: La ecuaci´on caracter´ıstica (8.11) tiene una soluci´on real doble: λ.

Esto sucede cuando p24q = 0 y, en este caso, λ=p

2.Por tanto s´olo tenemos una soluci´on

(salvo constantes) de tipo exponencial, que es la dada por

x1(t) =eλt siendoλ=p 2.

Necesitamos encontrar otra soluci´on de la ecuaci´on diferencial (8.10) linealmente independiente de

x1 en el intervaloR. Comox1(t)'= 0 para cadatR, podemos hacer uso del teorema 8.5 y as´ı la f´ormula (8.8) nos da la expresi´on de otra soluci´on linealmente independiente. En este caso, tenemos

x2(t) =x1(t)

. 1

x2

1(t)

e−!p(t)dtdt=eλt

.

e−2λte−ptdt=eλt

.

e−(2λ+p)tdt=teλt.

En definitiva, las funciones

x1(t) =eλt y x2(t) =teλt

son soluciones en R, linealmente independientes, de la ecuaci´on diferencial. Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuaci´on diferencial (8.10) viene dado por las funciones definidas por

(8.13) x(t) = (c1 +c2t)e

λt donde c

1, c2 R.

Ejemplo 8.8. Soluciones de la ecuaci´on diferencial: x!!−2x!+x= 0.

Ecuaci´on caracter´ıstica asociada: λ22λ+ 1 = 0. El discriminante es nulo y s´olo tenemos la soluci´on real dobleλ= 1.Por tanto las soluciones de la ecuaci´on diferencial vienen dadas por

x(t) = (c1 +c2t)e

t donde c

1, c2 R.

Comprobaci´on con Mathematica:

DSolve[x!![t]2x![t] +x[t] == 0, x[t], t] x[t]→etC[1] +ettC[2].

Ejemplo 8.9. Soluci´on x:RR del problema de valores iniciales:

(P) : %

x!!+ 4x!+ 4x= 0

(20)

La ecuaci´on caracter´ıstica asociada esλ2+ 4λ+ 4 = 0 , es decir (λ+ 2)2 = 0 y s´olo tenemos la

soluci´on real dobleλ=2.Por tanto las soluciones de la ecuaci´on diferencial vienen dadas por

x(t) = (c1 +c2t)e−2t, c1, c2 R.

Ahora determinamos las constantesc1 yc2 imponiendo las condiciones inicialesx(0) = 1, x!(0) = 3. La primera condici´on da directamentec1 = 1 y de la segunda se obtienec22c1 = 3 y, por tanto,

c2 = 5.As´ı la soluci´on del problema (P) es la dada por x(t) = (1 + 5t)e−

2t.

Comprobaci´on con Mathematica:

DSolve[{x!![t] + 4x![t] + 4x[t] == 0, x[0] == 1, x![0] == 3}, x[t], t] x[t]e−2t(1 + 5t)

Caso III: La ecuaci´on caracter´ıstica (8.11) tiene dos soluciones complejas.

Esto sucede cuando p2 4q < 0 y, en este caso, las soluciones complejas vienen dadas por

λ= −p±i

4q−p2

2 , dondeies el n´umero complejo tal que i 2 =

1. Es decir tenemos

λ1 =α+ y λ2 =α−iβ

dondeα=−p2,β = 12 1

4q−p2. Obs´ervese que λ

1 yλ2 son n´umeros complejos conjugados.

Una pista: En el caso conocido x!!+x= 0 la ecuaci´on caracter´ıstica es λ2 + 1 = 0 cuyas soluciones son complejas, concretamente, λ1 = i y λ2 = i. En este caso α = 0 y β = 1 y recu´erdese que las funciones dadas por x1(t) = cost y x2(t) = sent constituyen una base del

espacio de soluciones. V´ease que las expresiones de estas dos soluciones podemos escribirlas as´ı:

x1(t) =eαtcosβt y x2(t) =eαtsenβt.

La idea es generalizar esta situaci´on, es decir, probar que en el caso establecido vamos a tener dos soluciones linealmente independientes del tipo anterior.

En general, siendo λ∈Csoluci´on de la ecuaci´on caracter´ıstica, estar´ıamos tentados de afirmar quez(t) =eλt es soluci´on de la ecuaci´on diferencial (8.10), pero esto, en principio, no tiene sentido

si antes no definimos ciertos conceptos. Vamos a proceder de la siguiente forma: 1. Vamos a darle sentido aeλt cuandoλCytR.

2. Vamos a considerar soluciones con valores complejos z: R C de la ecuaci´on diferen-cial (8.10).

3. Vamos a comprobar que cuando λ C es soluci´on de la ecuaci´on caracter´ıstica, la funci´on

z:RC definida porz(t) =eλt,es soluci´on de la ecuaci´on diferencial.

4. A partir del punto anterior obtendremos dos solucionesx1:RR,x2:RRde la ecuaci´on diferencial que son linealmente independientes (cuyas expresiones van a ser como las del caso citadox!!+x= 0).

1.- Se intenta definireλtcuandoλ∈Cde manera que sea una generalizaci´on del casoeλtcuando

λRy que posea propiedades an´alogas. Existe una f´ormula (identidad) fundamental del ´algebra elemental de los n´umeros complejos, conocida comof´ormula de Euler, que afirma que cuandoθ es un n´umero real, entonces

Figure

Figura 8.3: Gr´aficas de las funciones seno y coseno.

Figura 8.3:

Gr´aficas de las funciones seno y coseno. p.5
Figura 8.4: Gr´afica de x(t) = sen t + cos t.

Figura 8.4:

Gr´afica de x(t) = sen t + cos t. p.22
Figura 8.5: Gr´afica de x(t) = e t/6 (sen t + cos t).

Figura 8.5:

Gr´afica de x(t) = e t/6 (sen t + cos t). p.23
Figura 8.7: Gr´aficas de las dos soluciones en el intervalo I = (0, 10) correspondientes a los casos

Figura 8.7:

Gr´aficas de las dos soluciones en el intervalo I = (0, 10) correspondientes a los casos p.30

Referencias

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