Tema 8

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Tema 8. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. 8.1 Introducción. En el tema 2 vimos el estudio y resolución de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma expĺıcita:. x!(t) = a(t)x(t) + b(t). sin mas que suponer que las funciones a y b son continuas en un intervalo I.. Definición 8.1. Una ecuación diferencial lineal de segundo orden en forma expĺıcita es una ecuación del tipo. (8.1) x!!(t) = a(t)x!(t) + b(t)x(t) + c(t). donde las funciones a, b y c son conocidas.. Siempre supondremos que las funciones a, b y c son continuas en un intervalo I.. Generalmente las escribiremos de forma abreviada aśı: x!! = a(t)x! + b(t)x + c(t).. Algunos ejemplos son:. x!! = t2x! ! x + sen t, x!! = (log t)x + 1, x!! = x! + 3x ! 5, x!! = x! + tx.. Cuando en la ecuación (8.1) la función c es nula en el intervalo I, es decir, es del tipo. (8.2) x!!(t) = a(t)x!(t) + b(t)x(t). diremos que la ecuación lineal es homogénea, pero cuando c no es la función nula diremos que la ecuación lineal no es homogénea o es completa. Aśı de los cuatro ejemplos anteriores únicamente el cuarto es una ecuación homogénea. En el tema anterior tratamos dos ecuaciones: x!! = !x! y x!! = !x, que también son lineales homogéneas. En general, cuando la ecuación (8.1) es completa diremos que (8.2) es la ecuación homogénea asociada a (8.1).. 169. 170 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Las ecuaciones lineales de segundo orden son, sin lugar a dudas, las más importantes entre todas las ecuaciones de segundo orden. Poseen much́ısimas aplicaciones; por ejemplo, en F́ısica, aparecen en problemas sobre vibraciones en Mecánica y en la teoŕıa de circuitos eléctricos. Además, muchas bellas y profundas ideas de las Matemáticas han surgido del estudio de estas ecuaciones.. Aqúı surge un gran problema, que no tenemos con las de primer orden. Las de primer orden, salvo cálculos de primitivas, son todas resolubles. Sin embargo, muchas ecuaciones de segundo orden no se saben resolver; más bien diŕıamos que son pocas las que se pueden resolver. Por. ejemplo una ecuación de aspecto tan simple como x!! = tx , conocida como ecuación de Airy1, que aparece en el estudio de la difracción de la luz, no se sabe resolver; es más está demostrado que no posee soluciones elementales tal como sucede con muchas ecuaciones de Riccati; éste es el caso de x! = t + x2. Obsérvese además que se trata de una ecuación homogénea. Si le damos esta ecuación al programa Mathematica, introduciendo la ecuación aśı:. DSolve[x!![t] == tx[t], x[t], t]. la respuesta que da es x[t] " AiryAi[t]C[1] + AiryBi[t]C[2].. Como podemos apreciar nos da las expresiones de las soluciones en términos de dos funciones AiryAi y AiryBi, que son unas funciones especiales, llamadas precisamente funciones de Airy, que se introdujeron a ráız del problema que surge con la ecuación diferencial de Airy. No se conocen exactamente estas funciones aunque han sido muy estudiadas. Se pueden calcular con bastante precisión los valores de estas funciones y para ciertos valores del argumento t se conocen los valores exactos. Como sucede con otros muchos casos, sólo se pueden obtener desarrollos en serie de tales funciones. En este caso, en tales desarrollos en serie aparece la función Gamma. Por ejemplo, para t # [0, 4] tenemos el siguiente desarrollo de AiryAi(t):. 1. 32/3Gamma ! 2 3. " ! t. 31/3Gamma ! 1 3. " + t3. 632/3Gamma ! 2 3. " ! t4. 12 # 31/3Gamma. ! 1 3. "$ + O[t]5. Determinado estudio cualitativo prueba que las soluciones de la ecuación de Airy tienen un comportamiento oscilatorio en el intervalo I = (!$, 0) mientras que en el intervalo I = (0, $) unas soluciones crecen exponencialmente y otras decrecen exponencialmente. A continuación esbozamos las gráficas de las funciones AiryAi y AiryBi en el intervalo I = [!10, 4] para que se pueda apreciar este comportamiento.. !10 !8 !6 !4 !2 2 4. !0.4. !0.2. 0.2. 0.4. Figura 8.1: Gráfica de la función AiryAi.. !10 !8 !6 !4 !2 2 4. 1. 2. 3. 4. 5. Figura 8.2: Gráfica de la función AiryBi.. De la misma forma que sucede con las ecuaciones lineales de primer orden, veremos que las expresiones de las soluciones de una ecuación lineal de segundo orden resoluble se pueden obtener de una forma expĺıcita. Esto es una caracteŕıstica de las ecuaciones lineales, que, en general, no se da en el resto de las ecuaciones diferenciales.. 1Sir George Airy (1801-1892) fue un astrónomo y matemático inglés. Hay textos que consideran como ecuación de Airy la dada por x!! + tx = 0. Esta ecuación plantea los mismos problemas de reolución que x!! ! tx = 0.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.1. Introducción 171. El estudio que vamos a ver en este tema se basará esencialmente en el estudio de las ecuaciones homogéneas, pues la resolución de una ecuación no homogénea dependerá de si sabemos resolver la ecuación homogénea asociada.. En este tema sólo se resolverán dos tipos de ecuaciones homogéneas:. • Las que tienen las funciones a y b constantes (llamadas ecuaciones de coeficientes constantes). • Las llamadas ecuaciones de Euler (donde a y b no son constantes).. Sin embargo, muchas ecuaciones homogéneas de importancia primordial en Matemáticas y en F́ısica, como la citada ecuación de Airy, las ecuaciones de Bessel y las ecuaciones de Legendre, caen fuera del alcance de los métodos que vamos a estudiar aqúı y sólo pueden tratarse (que no resolverse) por el método de las series de potencias2, método que en este tema no se va a tratar. Son casos donde las funciones coeficientes a y b son infinitamente derivables y pueden desarrollarse en serie de potencias (funciones anaĺıticas); generalmente son funciones polinómicas, como sucede en la ecuación de Airy, y las soluciones de la ecuación son también anaĺıticas (esta última afirmación no resulta trivial y hay que demostrarla). En estos casos se pueden obtener los desarrollos en serie de las soluciones, que pueden servir para dar aproximaciones de las soluciones (a veces se obtienen valores exactos de una solución en determinados puntos).. En general probaremos que si somos capaces de encontrar una solución de (8.2), que no se anule, podremos encontrar las demás soluciones, como sucede con las ecuaciones de Riccati. De hecho existe una relación muy estrecha entre las ecuaciones lineales de segundo orden homogéneas y las ecuaciones de Riccati.. Lo dicho anteriormente refuerza la idea de que se necesita dar una teoŕıa que nos de la mayor información posible sobre las soluciones y ciertos aspectos cualitativos. Por ejemplo, al igual que vimos con las ecuaciones de primer orden, probaremos que todas las soluciones de (8.1) están definidas en el intervalo I donde a, b y c son continuas. Esto es algo muy especial que no suele suceder, en general, con las demás ecuaciones de segundo orden. Como cuestión a destacar, veremos que existe una importante estructura algebraica para el conjunto de soluciones de una ecuación homogénea.. Casi todo lo que vamos a ver en este tema es generalizable, con un poco más de esfuerzo, a ecuaciones lineales de orden n > 2, pero para una mejor comprensión, en este primer curso estudiamos las de de segundo orden. Es más, en general, dentro de las ecuaciones diferenciales de orden n > 1, las más importantes, por sus aplicaciones, son las de segundo orden. Más adelante se darán algunas referencias sobre el caso n > 2 y en el próximo curso se hará un estudio general que incluye las ecuaciones lineales de cualquier orden y los sistemas lineales de primer orden.. Por lo comentado más arriba nuestro estudio debe iniciarse con las ecuaciones lineales ho- mogéneas, tal como hicimos en el caso n = 1, pero, en gran medida, la teoŕıa que veremos se basará en un teorema de existencia y unicidad global para problemas de valores iniciales, que se obtendrá como consecuencia del visto en el tema anterior.. Por tanto, iniciaremos nuestro estudio con el teorema de existencia y unicidad. Posteriormente estudiaremos el espacio de soluciones de la ecuación lineal homogénea, viendo que todo depende del conocimiento de dos soluciones linealmente independientes, para lo cual será de gran utilidad el concepto de wronskiano. Después veremos cómo podemos resolver una ecuación homogénea cuando sólo se conoce una solución que no se anula. Las dos siguientes secciones estarán dedicadas a las resoluciones de las ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes y de Euler. Visto esto,. 2Véanse [9, caṕıtulo 5], [1, pág. 181] y [10, caṕıtulo 6].. 172 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. abordaremos el estudio de las ecuaciones lineales no homogéneas, viendo que su resolución sólo depende de la resolución de la homogénea asociada y del conocimiento de una solución particular. Después desarrollaremos dos métodos para determinar una solución particular de la no homogénea: el método de variación de los parámetros, que es un método general, y el método de los coeficientes indeterminados, que no es general pero presenta mayor simplicidad de cálculos.. 8.2 Teorema de existencia y unicidad global. En el tema anterior vimos un teorema de existencia y unicidad global para EDOs de 2o orden, concretamente el teorema 7.1, del cual vamos a hacer uso ahora para obtener inmediatamente un teorema de existencia y unicidad global para EDOs lineales de 2o orden.. Obsérvese que la ecuación lineal (8.1) se puede escribir como x!!(t) = f(t, x(t), x!(t)), donde. D = I % R2 (banda vertical) y f : D " R viene definida por f(t, x, y) = a(t)y + b(t)x + c(t). Al ser a, b y c continuas en I, la función f es continua en D y, por otra parte, f satisface una condición de Lipschitzs generalizada en D respecto de la segunda y la tercera variable pues. | f(t, x1, y) ! f(t, x2y) | = | b(t) | | x1 ! x2 | para cada (t, x1, y), (t, x2, y) # D | f(t, x, y1) ! f(t, x, y2) | = | a(t) | | y1 ! y2 | para cada (t, x, y1), (t, x, y2) # D.. En consecuencia tenemos el siguiente teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales:. Teorema 8.1 (Teorema de existencia y unicidad global). Si las funciones a, b y c son continuas en el intervalo I, t0 # I y !, " # R, el problema de valores iniciales. (P):. % x!!(t) = a(t)x!(t) + b(t)x(t) + c(t). x(t0) = !, x !(t0) = ". posee una única solución definida en el intervalo I.. En el tema anterior (ejemplo 7.6) estudiamos un caso particular, concretamente el problema:. (P):. % x!! + x = 0. x(t0) = !, x !(t0) = ". y probamos directamente que (P) tiene una única solución definida en R, que es la función definida por x(t) = " sen(t ! t0) + ! cos(t ! t0).. Se sigue del teorema de existencia y unicidad 8.1 el siguiente importante resultado:. Corolario 8.1.1. Dada la ecuación diferencial: x!!(t) = a(t)x!(t) + b(t)x(t) + c(t), donde las funciones a, b y c son continuas en el intervalo I, se verifica lo siguiente:. 1. La ecuación posee infinitas soluciones definidas en I.. 2. Cualquier solución x: J " R de la ecuación diferencial, donde J ! I, se puede extender a una solución definida en todo I.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.2. Teorema de existencia y unicidad global 173. Prueba. La comprobación del primer punto es inmediata pues basta tomar un punto t0 # I y considerar, para cada valor de ! # R el problema (P!) correspondiente a los valores iniciales: x(t0) = !, x. !(t0) = ! (o x !(t0) = " siendo " cualquier otro valor). Cada uno de estos problemas. y, por tanto, la ecuación, tiene una solución x! definida en I y para dos valores de ! distintos las correspondientes soluciones x! son distintas.. Para la segunda parte basta considerar un punto t0 # J, los valores ! = x(t0), " = x!(t0) y el problema (P) correspondiente a los valores iniciales: x(t0) = !, x. !(t0) = ". Por construcción x es solución en J de este problema, el cual solo posee una solución en J. Pero al ser a, b y c continuas en I, el problema (P) posee una única solución x̂ definida en I; obviamente la restricción de x̂ a J es solución de (P) en J y, por la unicidad, coincidirá con x en J. De esta forma x: J " R tiene una única extensión x̂: I " R que es solución del problema (P) en I.. Puesto que lo ideal es encontrar los intervalos maximales donde las soluciones puedan estar definidas, en este sentido (a la vista del resultado anterior) podemos considerar que todas las soluciones del (8.1) están definidas en los intervalos maximales donde las funciones a, b y c son continuas. Aśı podemos afirmar que las soluciones de la ecuación x!! = x! + tx + log t están definidas en el intervalo I = (0, $), las soluciones de x!! = x! + tx ! 1 están definidas en R y las de x!! = 1t x + sen t están definidas en I = (!$, 0) e I = (0, $).. Resultan de interés las siguientes observaciones sobre las gráficas de las soluciones de una ecuación lineal de segundo orden. Consideremos el caso de x!!+x = 0. Las funciones x1, x2 : R " R, definidas por x1(t) = cos t y x2(t) = sen t son soluciones de la ecuación diferencial. Obsérvese que sus gráficas se cortan en infinitos puntos, aunque los cortes son tranversales (no tangenciales).. !5" !4" !3" ! 3" 2 !" !. " 2. " 2 ". 3" 2. 3" 4" 5". !1. 1. Figura 8.3: Gráficas de las funciones seno y coseno.. Esta situación no se da en general para soluciones de una EDO expĺıcita de primer orden: x! = f(t, x), debido a que, bajo condiciones muy generales sobre f, cada problema de valor inicial asociado posee una única solución en un determinado intervalo (recuérdese el teorema de existencia y unicidad local). En los casos donde esto no sucede, como, por ejemplo x! = 3x2/3, los cortes de las gráficas son tangenciales (esto se probó en general en el tema 3).. En el caso de una EDO lineal de segundo orden expĺıcita, y en otras muchas ecuaciones de segundo orden, lo usual es que las gráficas de las soluciones se corten, pues esto no contradice al teorema de existencia y unicidad 8.1. Lo que no puede suceder, pues estaŕıa en contradicción con este teorema, es que haya un corte tangencial, es decir, un punto del plano (t0, x0) y dos soluciones x1, x2 de (8.1) tales que x1(t0) = x2(t0) = x0 y x. ! 1 (t0) = x. ! 2 (t0).. Por último, advertimos que existen otros tipos de problemas (muy importantes) relacionados con las EDOs lineales de segundo orden, que son los llamados problemas de contorno o problemas de valores en la frontera. Un caso particular de un problema de contorno es. % x!!(t) = a(t)x!(t) + b(t)x(t) + c(t). x(t0) = !, x(t1) = ". 174 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. donde t0 y t1 son dos puntos del intervalo I. Propiamente el nombre de problema de contorno tiene su origen en el caso en que el intervalo es de la forma I = [t0, t1] pues en tal caso el contorno (frontera) del intervalo está dado por los puntos t0 y t1, donde se imponen las condiciones. En este curso no se van a estudiar este tipo de problemas, pero queremos advertir que un problema de contorno tiene, en general, un comportamiento muy distinto al de un problema de valores iniciales; puede que no tenga solución, que tenga solución única o que tenga infinitas soluciones. Ya comprobaremos esto (véase ejercicio 10) cuando sepamos resolver algún tipo de ecuación lineal de segundo orden.. 8.3 La ecuación homogénea. El espacio de soluciones. Por diversas razones una ecuación lineal homogénea (8.2) la escribimos, en forma abreviada, aśı:. (8.3) x!! + p(t)x! + q(t)x = 0. y suponemos, a partir de ahora, que p, q # C(I, R).. Lo primero que hay que destacar es que esta ecuación tiene siempre una solución trivial, que es la función nula x: I " R, t &" x(t) = 0, lo que no sucede con la no homogénea.. Al considerar una solución de (8.3) la suponemos definida en el intervalo I ya que cualquier otra solución x: J " R, donde J ! I, se puede extender a una solución de la ecuación definida en I. Véase que si x es solución de (8.3), entonces x # C. 2 (I, R), que es un espacio vectorial real. infinito-dimensional con las operaciones usuales de suma de funciones x+y y producto por escalares !x (! # R). La siguiente propiedad es trivial pero es muy importante.. Proposición 8.1. Se verifica lo siguiente:. (I) Si x e y son soluciones de la ecuación homogénea (8.3), la función x+y también es solución de (8.3).. (II) Si x es solución de (8.3) y ! # R, la función !x es solución de (8.3).. Aśı pues el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea es un subespacio vectorial del espacio C. 2 (I, R).. El objetivo principal de esta sección es probar que tal subespacio vectorial es de dimensión finita igual a dos; de esta forma si x1 y x2 son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea las demás soluciones son de la forma. x = c1x1 + c2x2 donde c1, c2 # R.. Aśı, conociendo dos soluciones linealmente independientes se conocen todas las soluciones. En el tema 2 vimos que el conjunto de soluciones de una ecuación lineal de primer orden homogénea es un espacio vectorial de dimensión igual a 1.. Son bien conocidos los conceptos de independencia y dependencia lineal en un espacio vectorial. Puesto que en cualquiera de los espacios de funciones que trabajemos C(I, R), C1(I, R), C2(I, R), la función nula es el elemento nulo del espacio, para independizar estos conceptos de estos espacios optamos por dar unas definiciones totalmente coherentes con los conceptos conocidos.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.3. La ecuación homogénea. El espacio de soluciones 175. Definición 8.2. Dadas dos funciones x1, x2 : I " R, diremos que son linealmente independientes en el intervalo I cuando sucede que si c1 y c2 son dos constantes tales que c1x1(t) + c2x2(t) = 0 para cada t # I, entonces c1 = c2 = 0. Diremos que son linealmente dependientes en el intervalo I cuando no son linealmente independientes, es decir, cuando existen dos constantes c1 y c2, no ambas nulas, tales que c1x1(t) + c2x2(t) = 0 para cada t # I.. Al tratarse de dos funciones es muy fácil visualizar si son linealmente independientes o no. Por ejemplo, el que sean linealmente dependientes equivale a que las dos funciones sean proporcionales, es decir a que exista una constante k tal que x2 = kx1 o bien x1 = kx2; aśı pues, informalmente podemos considerar el cociente entre ambas funciones y ver si sale constante o no. En el primer caso seŕıan linealmente dependientes y en el segundo independientes.. Hay un concepto muy útil, que se usa en diversas cuestiones sobre las ecuaciones diferenciales lineales y que está muy relacionado con la independencia lineal, que es el concepto de wronskiano.3. Definición 8.3. Dadas dos funciones x1, x2 : I " R derivables en el intervalo I, se llama wron- skiano o determinante de Wronski de las funciones x1 y x2 a la función W(x1, x2): I " R definida por el siguiente determinante. (8.4) W(x1, x2)(t) =. &&&&& x1(t) x2(t). x! 1 (t) x!. 2 (t). &&&&&. Aśı pues W(x1, x2) = x1x ! 2 ! x2x. ! 1 .. En el caso de x1(t) = cos t, x2(t) = sen t se verifica que W(x1, x2)(t) = 1 para cada t # R mientras que W(x2, x1)(t) = !1.. Para dos funciones derivables cualesquiera la relación entre la independencia lineal y el wron- skiano viene dada por el siguiente resultado:. Proposición 8.2. Si x1, x2 : I " R son dos funciones derivables en el intervalo I y existe t0 # I tal que W(x1, x2)(t0) '= 0, entonces x1 y x2 son linealmente independientes en I.. Prueba. La prueba se reduce a algo tan básico como el hecho de que un sistema lineal algebraico homogéneo cuya matriz de coeficientes tiene un determinante no nulo, sólo posee la solución trivial.. En efecto, sea t0 # I tal que W(x1, x2)(t0) '= 0. Sean c1 y c2 dos números reales tales que c1x1(t) + c2x2(t) = 0 para cada t # I. Queremos comprobar que c1 = c2 = 0. Derivando en la expresión anterior y considerando t = t0 tenemos%. c1x1(t0) + c2x2(t0) = 0. c1x ! 1 (t0) + c2x. ! 2 (t0) = 0. lo que se puede considerar como un sistema lineal algebraico homogéneo de dos ecuaciones en las incógnitas c1 y c2 cuya matriz de coeficientes es. 3Este concepto fue introducido por el matemático polaco Wronki (1778-1853). Parece ser que esta fue su única contribución importante a las matemáticas.. 176 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. A =. ' x1(t0) x2(t0). x! 1 (t0) x. ! 2 (t0). ( .. El determinante de esta matriz es W(x1, x2)(t0) y, al ser no nulo, el sistema sólo posee la solución trivial c1 = c2 = 0.. El rećıproco del resultado anterior no es válido en general, como puede comprobarse con las funciones x1, x2 : R " R definidas por x1(t) = t2 y x1(t) = t| t |, que son linealmente independientes en R pero el wronskiano de ambas funciones se anula en todos los puntos. Obsérvese que son funciones de C. 1 (I, R) y son linealmente dependientes en los intervalos I = (!$, 0] e I = [0, $).. Sin embargo, cuando dos funciones son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea como (8.3), śı existe una especie de rećıproco del resultado anterior.. Proposición 8.3. Si x1, x2 : I " R son dos soluciones de la ecuación (8.3), linealmente inde- pendientes en I, entonces W(x1, x2)(t) '= 0 para cada t # I.. Prueba. La prueba se hace por reducción al absurdo, suponiendo que existe un t0 # I tal que W(x1, x2)(t0) = 0 y llegando a la contradicción de que x1 y x2 son linealmente dependientes usando el teorema de existencia y unicidad 8.1.. En efecto, la condición W(x1, x2)(t0) = 0 implica que el sistema lineal algebraico homogéneo de dos ecuaciones en las incógnitas c1 y c2 dado por. % c1x1(t0) + c2x2(t0) = 0. c1x ! 1 (t0) + c2x. ! 2 (t0) = 0. posee una matriz de coeficientes con determinante nulo y, por tanto, posee solución distinta de la trivial. Sea (c1, c2) '= (0, 0) una solución del sistema anterior y consideremos la función x = c1x1 + c2x2, la cual es solución de la ecuación diferencial lineal homogénea como consecuencia de la proposición 8.1. Entonces, la función x es solución en I del problema de valores iniciales:. (P):. % x!! + p(t)x! + q(t)x = 0. x(t0) = 0, x !(t0) = 0. pero sabemos, por el teorema 8.1, que tal problema posee una única solución en el intervalo I y es obvio que la función nula es solución de (P). En consecuencia c1x1(t) + c2x2(t) = 0 para cada t # R siendo (c1, c2) '= (0, 0) y esto contradice que x1 y x2 sean linealmente independientes.. De la proposiciones 8.2 y 8.3 se concluye el siguiente teorema:. Teorema 8.2. Si x1, x2 : I " R son dos soluciones de la ecuación lineal homogénea (8.3) las tres siguientes afirmaciones son equivalentes:. (I) x1 y x2 son linealmente independientes en I.. (II) W(x1, x2)(t) '= 0 para cada t # I.. (III) Existe t0 # I tal que W(x1, x2)(t0) '= 0.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.3. La ecuación homogénea. El espacio de soluciones 177. Como consecuencia inmediata del teorema anterior obtenemos el siguiente resultado:. Corolario 8.2.1. El wronskiano de dos soluciones de la ecuación lineal homogénea (8.3) o se anula en todos los puntos del intervalo I o no se anula en ninguno. En el primer caso las soluciones son linealmente dependientes en I y en el segundo son linealmente independientes.. Hay una fórmula sobre el wronskiano de dos soluciones de una ecuación lineal homogénea, muy útil y que, entre otras cosas, confirma la primera parte del resultado del corolario anterior. No hay acuerdo en otorgarle la fórmula a Abel o a Liouville.. Teorema 8.3 (Fórmula de Abel-Liouville sobre el wronskiano). Si x1, x2 : I " R son dos solu- ciones de la ecuación lineal homogénea x!! + p(t)x! + q(t)x = 0 y t0 # I, el wronskiano de ambas soluciones verifica. (8.5) W(x1, x2)(t) = W(x1, x2)(t0)e ". ! t t0. p(s) ds para cada t # I.. Prueba. La idea de la prueba es comprobar que la función wronskiano y = W(x1, x2): I " R es solución de la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden y! = !p(t)y . Sabemos que fijada una primitiva. ) !p(t) dt de la función !p en el intervalo I, las soluciones de esta ecuación. son las funciones y C definidas por y. C (t) = Ce". ! p(t) dt con C # R, pero, si en concreto consideramos. como primitiva la dada por t &" ! ) t t0 p(s) ds, tenemos que existe una constante C tal que y(t) =. C exp(! ) t t0 p(s) ds) para cada t # I. Pero véase que necesariamente tal constante C es y(t0). confirmándose aśı la fórmula (8.5).. Confirmemos ahora que y! + py = 0. Tenemos que y = x1x ! 2 ! x2x!1 por lo que su derivada es. y! = x1x !! 2 ! x2x!!1 . Por tanto,. y! + py = (x1x !! 2 ! x2x. !! 1 ) + p (x1x. ! 2 ! x2x. ! 1 ) = x1(x. !! 2 + px!. 2 ) ! x2(x. !! 1 + px!. 1 ). = x1(!qx2) ! x2(!qx1) = 0.. Observación: Véase que según (8.5) si el wronskiano se anula en algún punto del intervalo I, entonces se anula en todo punto, mientras que si no se anula en un punto tampoco se anula en los demás, confirmando aśı la primera parte del resultado del corolario 8.2.1.. Por otra parte, es consecuencia inmediata del teorema anterior lo siguiente:. Corolario 8.3.1. El wronskiano de dos soluciones de la ecuación lineal homogénea x!!+q(t)x = 0 es constante en el intervalo I.. De hecho, las ecuaciones del tipo x!! + q(t)x = 0 son las únicas EDOs lineales homogéneas que tienen tal propiedad (ejercicio 5). Véase que las funciones definidas por x1(t) = cos t y x2(t) = sen t son soluciones en R de la ecuación diferencial x!! + x = 0 y hemos comprobado anteriormente que W(x1, x2)(t) = 1 para cada t # R.. 178 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Como consecuencia del teorema 8.2 y del teorema de existencia y unicidad 8.1 obtenemos el resultado principal de esta sección, que es el siguiente:. Teorema 8.4. Dada la ecuación lineal homogénea x!! + p(t)x! + q(t)x = 0, donde p, q # C(I, R), se verifica lo siguiente:. (I) Existen dos soluciones de la ecuación que son linealmente independientes en I.. (II) Si x1, x2 : I " R son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación y x: I " R es otra solución, existen unas únicas constantes c1, c2 # R tales que x = c1x1 + c2x2.. Es decir, el conjunto de soluciones de la ecuación lineal homogénea es un espacio vectorial real (subespacio vectorial de C. 2 (I, R)), de dimensión igual a 2 .. En distintos textos, a una base {x1, x2} del espacio de soluciones de la homogénea le llaman conjunto fundamental de soluciones y, por otra parte, dicen que x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) es la solución general de la ecuación diferencial homogénea.. Prueba. (I) Fijemos un punto t0 en el intervalo I y consideremos los siguientes problemas de valores iniciales:. (P1):. % x!! + p(t)x! + q(t)x = 0. x(t0) = 1, x !(t0) = 0. (P2):. % x!! + p(t)x! + q(t)x = 0. x(t0) = 0, x !(t0) = 1. El teorema de existencia y unicidad 8.1 asegura que cada problema (Pk) tiene una única solución xk : I " R, k = 1, 2. Por otra parte, el wronskiano en el punto t0 verifica:. W(x1, x2)(t0) =. &&&&& 1 0. 0 1. &&&&& '= 0. y, por tanto, las soluciones x1 y x2 son linealmente independientes en I.. (II) Sean x1, x2 : I " R dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (que existen por el apartado anterior). Sea x: I " R cualquier otra solución de la ecuación diferencial. Fijemos un punto t0 en el intervalo I y consideremos los valores ! = x(t0) y " = x. !(t0). De esta forma x es solución en el intervalo I del problema. (P):. % x!! + p(t)x! + q(t)x = 0. x(t0) = !, x !(t0) = ". Una vez más, aplicando el teorema 8.1, tenemos asegurado que (P) tiene una única solución. Por tanto, si probamos que existen dos constantes c1, c2 tales que y = c1x1 + c2x2 es solución de (P), entonces, por la unicidad, debe ser x = c1x1 + c2x2 y aśı acabamos la prueba.. Obviamente, cualesquiera que sean las constantes c1 y c2, la función y es solución de la ecuación diferencial por ser combinación lineal de x1 y x2. Las dos condiciones iniciales que aparecen en el problema (P) exigen que las constantes c1 y c2 deben verificar el sistema de ecuaciones. % c1x1(t0) + c2x2(t0) = !. c1x ! 1 (t0) + c2x. ! 2 (t0) = ". para que la función y sea solución de (P). Pero observemos que el determinante de la matriz de coeficientes es W(x1, x2)(t0) y resulta que W(x1, x2)(t0) '= 0 por ser x1 y x2 soluciones linealmente. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.3. La ecuación homogénea. El espacio de soluciones 179. independientes. En consecuencia tal sistema posee una única solución (c1, c2) # R 2 y queda aśı. probado el teorema.. A continuación exponemos tres ejemplos de aplicación del teorema anterior.. Ejemplo 8.1. Soluciones de la ecuación diferencial: x!! + x = 0.. Ya hemos visto que las funciones definidas por x1(t) = cos t y x2(t) = sen t son soluciones en R de tal ecuación. Por otra parte, W(x1, x2)(t) = 1 para cada t, por lo que son dos soluciones linealmente independientes en R y, en consecuencia, las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones x: R " R definidas por. x(t) = c1 cos t + c2 sen t donde c1, c2 # R.. La respuesta de Mathematica a esta ecuación diferencial, dada aśı:. DSolve[x!![t] + x[t] == 0, x[t], t]. es x[t] " C[1]Cos[t] + C[2]Sin[t].. Ejemplo 8.2. Soluciones de la ecuación diferencial: x!! + x! = 0.. Las soluciones están definidas en R. En el tema anterior resolvimos esta ecuación reduciéndola a una EDO lineal de primer orden homogénea. No obstante, se ve que cualquier función constante seŕıa solución de la ecuación, por ejemplo, x1(t) = 1. También se ve fácilmente que la función x2(t) = e. "t es también solución y ambas funciones son linealmente independientes pues la función x2/x1 no es constante o bien, W(x1, x2)(t) = !e"t '= 0 para cada t # R. En consecuencia, las soluciones de la ecuación diferencial vienen definidas por. x(t) = c1 + c2e "t donde c1, c2 # R.. Con Mathematica tenemos:. DSolve[x!![t] + x![t] == 0, x[t], t] x[t] " !e"tC[1] + C[2].. Ejemplo 8.3. Soluciones de la ecuación diferencial: x!! + 2t x ! ! 2. t2 x = 0 y solución del problema:. (P):. % x!! + 2t x. ! ! 2 t2 x = 0. x(1) = 0, x!(1) = 3.. Obsérvese que, a diferencia de los dos casos anteriores, las funciones (coeficientes) que acompañan a la función incógnita x y a su derivada no son constantes, pero son funciones definidas y continuas en los intervalos I = (0, $) e I = (!$, 0), por lo que las soluciones de la ecuación diferencial están definidas en cada uno de estos intervalos y el problema (P) posee una única solución definida en I = (0, $).. 180 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Cualquier solución de la ecuación diferencial es solución de la EDO lineal de segundo orden en forma impĺıcita. t2x!! + 2tx! ! 2x = 0. y cualquier solución de la impĺıcita definida en I es solución de la ecuación original. En la ecuación en forma impĺıcita se visualiza mejor una posible solución. Dado que a la segunda derivada x!! le acompaña el factor (coeficiente) t2, a la primera derivada x! el factor 2t y a la incógnita x una. constante, cabe la posibilidad de que exista una solución del tipo x(t) = t" , con # no necesaria-. mente un número natural, podŕıa ser entero o racional (si # no es natural, para que en general tenga sentido la expresión t" debe ser t > 0). Para salir de dudas lo único que tenemos que hacer es derivar dos veces tal función y calcular la expresión que sale en el primer miembro de la ecuación. Resulta. t2x!!(t) + 2tx!(t) ! 2x(t) = # #(# ! 1) + 2# ! 2. $ t",. por lo que deducimos que x definida por x(t) = t" es solución en I de la ecuación diferencial si, y sólo si, se verifica #(#!1)+2#!2 = 0, dando lugar a la ecuación de segundo grado #2 +#!2 = 0, que por suerte tiene dos soluciones reales (en este caso números enteros) que son # = 1 y # = !2. Por tanto, hemos determinado dos soluciones de la ecuación diferencial original que son las definidas por x1(t) = t y x2(t) = t. "2 .. Ambas funciones son linealmente independientes pues x1 x2 (t) = t. 3 o bien, W(x1, x2)(t) = !. 3 t 2 '= 0. para cada t # I. Por tanto, las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones definidas por. x(t) = c1t + c2 t 2 donde c1, c2 # R.. Comprobamos el resultado con Mathematica:. DSolve. * x!![t] +. 2. t x![t] !. 2. t2 x[t] == 0, x[t], t. + x[t] " tC[1] +. C[2]. t2 .. Observaciones: En general, si se quiere usar el wronskiano para obtener la independencia lineal no es necesario calcular éste en cada punto de I, bastaŕıa con elegir un punto t0 # I donde los cálculos resulten fáciles y comprobar que W(x1, x2)(t0) '= 0. No es éste el caso, pero esto puede ser de ayuda en otros casos con expresiones de x1 y x2 más complejas. En nuestro caso, en la situación I = (0, $) podemos comprobar fácilmente que W(x1, x2)(1) = !3. De paso podemos aprovechar para comprobar la fórmula de Abel-Liouville sobre el wronskiano, que, en este caso, afirma. W(x1, x2)(t) = W(x1, x2)(1)e ". ! t 1 p(s) ds = !3e". ! t 1. 2 s ds = !3 e"2 log t = !. 3. t 2 .. Una vez resuelta la ecuación diferencial, para determinar la solución del problema (P) sólo tenemos que imponer las dos condiciones iniciales a las soluciones que hemos obtenido. Esto nos debe llevar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: c1 y c2 de solución única y basta con resolver el sistema. En efecto, las condiciones x(1) = 0 y x!(1) = 3 nos conducen al sistema. % c1 + c2 = 0. c1 ! 2c2 = 3. cuya solución única es c1 = 1, c2 = !1 (obsérvese que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema anterior es el wronskiano W(x1, x2)(1), que no es nulo). En definitiva, la solución del. problema (P) es la función definida por x(t) = t ! 1/t2.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.4. Resolución de la homogénea cuando se conoce una solución 181. En el programa Mathematica se introduce el problema de valores iniciales aśı:. DSolve. *, x!![t] +. 2. t x![t] !. 2. t2 x[t] == 0, x[1]==0, x![1]==3. - , x[t], t. +. y la respuesta es: x[t] " !1 + t3. t2 .. Observación: En este ejemplo hemos pedido inicialmente las soluciones de la ecuación y después la solución de un problema de Cauchy. Si directamente nos piden la solución de un problema de Cauchy, lo recomendable en este caso, salvo en casos excepcionales, es llevar a cabo el mismo procedimiento; es decir, determinar primero todas las soluciones de la ecuación (solución general) y, puesto que en la solución general aparecen dos constantes, después se calculan las constantes imponiendo las condiciones iniciales del problema. Un caso excepcional seŕıa, por ejemplo,. % x!! + 2t x. ! ! 2 t2 x = 0. x(1) = 0, x!(1) = 0.. En este caso no habŕıa que resolver la ecuación pues obviamente la función nula es solución y, por tanto, la solución única del problema. Esto se hace aún más patente en un caso como. % x!! ! tx = 0 x($) = 0, x!($) = 0,. donde la ecuación es irresoluble (ecuación de Airy).. 8.4 Resolución de una ecuación homogénea cuando se conoce una solución particular que no se anula. Según lo visto en la sección anterior, si conocemos dos soluciones de la ecuación diferencial. x!! + p(t)x! + q(t)x = 0, p, q # C(I, R),. que sean linealmente independientes en I (esto descarta a la solución nula), entonces obtenemos inmediatamente todas las soluciones. En esta sección vamos a ver que si conocemos una solución x1 : I " R tal que x1(t) '= 0 para todo t # I, vamos a poder obtener otra solución x2 linealmente independiente de x1 y, por tanto, vamos a conseguir resolver la ecuación.. Dado que x1 y x2 deben ser linealmente independientes en el intervalo I y en este intervalo la función x1 no se anula, la función cociente x2/x1 no puede ser constante en I y aśı debe ser existir una función v, no constante y dos veces derivable en I, tal que. x2(t) = v(t) x1(t) para cada t # I.. El objetivo es efectivamente encontrar un método para determinar una tal función v de forma que x2 = vx1 sea solución de la ecuación diferencial. En la mayor parte de los textos aparece un método pero para mi gusto hay otro, que pasa desapercibido en muchos de ellos, que es más simple y cómodo de llevar a la práctica. Con ambos métodos se llega al mismo resultado. Damos una ligera idea del primero y vamos a desarrollar con precisión el segundo, basado en la fórmula del wronskiano. Todas estas ideas se deben al matemático francés Joseph Liouville.. 182 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Primer método:. Esquemáticamente, este consiste en suponer que efectivamente existe otra solución de la ecuación diferencial del tipo x2(t) = v(t) x1(t) con v # C. 2 (I, R). Llevando esta expresión a la ecuación dife-. rencial, haciendo muchos cálculos y teniendo en cuenta que x1 no se anula en I se llega a una EDO lineal de segundo orden homogénea en la función incógnita v, pero con la gran ventaja de que es del tipo v!! + !(t)v! = 0, la cual se puede resolver fácilmente mediante una EDO lineal de primer orden homogénea en la función incógnita y = v!. Una vez obtenida la expresión de una solución no nula v se obtiene la solución x2 = v x1.. Segundo método: Haciendo uso de la fórmula de Abel-Liouville sobre el wronskiano. Hemos visto en el teorema 8.3 (fórmula de Abel-Liouville) que si x1, x2 : I " R son dos soluciones de la ecuación lineal de segundo orden homogénea y t0 # I, el wronskiano de ambas soluciones verifica:. W(x1, x2)(t) = W(x1, x2)(t0)e ". ! t t0. p(s) ds para cada t # I.. De hecho, lo que vimos en la prueba es que la función wronskiano es solución de la EDO lineal de primer orden homogénea y! = !p(t)y y, por tanto, si. ) p(t) dt es una primitiva de p en I, entonces. existe una constante K tal que. W(x1, x2)(t) = Ke ". ! p(t) dt para cada t # I.. Las dos soluciones son linealmente independientes si, y sólo si, K '= 0. Por tanto, fijada una primitiva. ) p(t) dt, si ya tenemos una solución x1 de la ecuación y x2 es otra solución linealmente. independiente de x1 debe existir una constante K '= 0 tal que. (8.6). &&&&& x1(t) x2(t). x! 1 (t) x!. 2 (t). &&&&& = Ke". ! p(t) dt para cada t # I.. Por otra parte, siendo x2 linealmente independiente de x1 debe existir v # C 2 (I, R) (no constante). tal que x2 = v x1. Llevando esta expresión a (8.6) se tiene que v debe verificar:. &&&&& x1(t) v(t)x1(t). x! 1 (t) v!(t)x1(t) + v(t)x. ! 1 (t). &&&&& = Ke". ! p(t) dt para cada t # I,. donde K '= 0 y, desarrollando el determinante, se obtiene:. v!(t)x2 1 (t) = Ke". ! p(t) dt para cada t # I.. Teniendo en cuenta que x1(t) '= 0 para todo t # I, se obtiene la función v aśı:. (8.7) v(t) = K. . 1. x2 1 (t). e" ! p(t) dt dt,. y, en definitiva, la solución buscada debe ser x2 : I " R definida por. x2(t) = Kx1(t). . 1. x2 1 (t). e" ! p(t) dt dt.. De la forma que hemos obtenido x2, está asegurado que x1 y x2 son linealmente independientes (obsérvese que v no es constante en I pues su derivada no se anula). Puesto que K '= 0 y si x2 es solución de la homogénea también lo es. 1 kx2, podemos considerar K = 1 y, de esta forma,. obtenemos el siguiente resultado:. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.4. Resolución de la homogénea cuando se conoce una solución 183. Teorema 8.5. Si x1 : I " R es una solución de la ecuación lineal homogénea de segundo orden x!! + p(t)x! + q(t)x = 0, p, q # C(I, R),. y x1(t) '= 0 para todo t # I, entonces otra solución x2, linealmente independiente de x1 en el intervalo I, es la definida por. (8.8) x2(t) = x1(t). . 1. x2 1 (t). e" ! p(t) dt dt.. Observaciones:. 1. Para ser más preciso, en la expresión de v obtenida en (8.7), habŕıa que escribir. v(t) = K. . 1. x2 1 (t). e" ! p(t) dt dt + C, siendo C # R,. ya que dada una primitiva de la función 1 x2 1 e". ! p, al ser también v primitiva de esta función,. la diferencia entre ambas puede ser una constante. Aśı obtendŕıamos la siguiente expresión de la solución x2. x2(t) = Kx1(t). . 1. x2 1 (t). e" ! p(t) dt dt + Cx1(t),. pero véase que Cx1 es solución de la homogénea y, puesto que la diferencia de dos soluciones de la homogénea también es solución, se obtendŕıa finalmente una expresión como la dada en (8.8) para obtener otra solución de la ecuación.. 2. La expresión de x2 depende de las primitivas que se usen en la fórmula (8.8), que engloba concretamente dos primitivas. Teniendo en cuenta que en un intervalo dos primitivas de una función se diferencian en una constante, obtenida una solución x2 mediante (8.8), el cambio de primitivas nos podŕıa llevar a otra solución x#. 2 tal que x#. 2 = Kx2 + Cx1 con K '= 0 y. C # R. Teniendo en cuenta que Cx1 es solución de la homogénea, podemos afirmar que la elección de primitivas, aunque puede influir en la expresión de la solución particular que se obtiene, no afectaŕıa a la hora de dar la expresión de la solución general de la ecuación, que es el objetivo final de todo esto.. Muchas ecuaciones importantes son del tipo. x!! + q(t)x = 0.. En este caso la fórmula (8.8) queda aśı de simple. (8.9) x2(t) = x1(t). . 1. x2 1 (t). dt.. En la práctica podemos hacer uso de la fórmula (8.8) pero podemos prescindir de ella (y esto es lo más aconsejable) sin más que recordar la fórmula de Liouville sobre el wronskiano y siguiendo los pasos dados en la prueba. Es decir, el procedimiento a seguir es el siguiente:. 1. Escribir la fórmula del wronskiano (8.6) con constante K = 1 y tomando cualquier primitiva de la función p, es decir: W(x1, x2)(t) = e. " ! p(t) dt.. 2. Tener en cuenta que la solución buscada es de la forma x2 = v x1. Llevar esta expresión a la fórmula del wronskiano y desarrollando el determinante se halla v mediante un cálculo de primitiva.. 184 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Ejemplo 8.4. Soluciones de la ecuación diferencial: x!! ! 1. t x! +. 1. t2 x = 0.. Las soluciones de la ecuación son válidas en los intervalos I = (!$, 0) e I = (0, $). Observemos que esta ecuación es muy parecida a la que vimos en el ejemplo (8.3) de la sección anterior, que al escribirla en forma impĺıcita nos sugiere la posibilidad de una solución del tipo x(t) = t".. En este caso, escrita en forma impĺıcita, la ecuación queda aśı: t2x!! ! tx! + x = 0 y vemos que x definida por x(t) = t" es solución en I si, y sólo si, se verifica #(# ! 1) ! # + 1 = 0, es decir, #2 ! 2# + 1 = 0, cuya única solución real es # = 1. De esta forma obtenemos la solución definida por x1(t) = t , que no se anula en I. Ahora podemos obtener una segunda solución linealmente. independiente mediante el método anterior.. Usando la fórmula (8.8) obtenemos:. x2(t) = t. . 1. t 2 e. ! 1 t dt dt = t. . | t | t 2 dt.. En el caso I = (0, $) resulta x2(t) = t log t y en el caso I = (!$, 0) queda x2(t) = !t log(!t). En cualquier caso podemos elegir como solución la definida por x2(t) = t log | t |. De esta forma las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones de la forma. x(t) = t # c1 + c2 log | t |. $ c1, c2 # R.. Comprobación con Mathematica:. DSolve. * x!![t] !. 1. t x![t] +. 1. t2 x[t] == 0, x[t], t. + x[t] " tC[1] + tC[2]Log[t].. Veamos ahora la forma de proceder sin usar la fórmula (8.8). Por comodidad vamos a trabajar en el intervalo I = (0, $) y, de forma análoga se haŕıa en el caso I = (!$, 0). Usamos la fórmula del wronskiano: W(x1, x2)(t) = e. " ! p(t) dt (con K = 1) que en nuestro caso queda aśı:. &&&&& x1(t) x2(t). x! 1 (t) x!. 2 (t). &&&&& = t.. Buscamos una solución x2, linealmente independiente de x1, que es de la forma x2 = vx1. Llevando esta expresión al wronskiano obtenemos:. W(x1, x2)(t) =. &&&&& t tv(t). 1 v(t) + tv!(t). &&&&& = t2v!(t). y, aśı, la función v la obtenemos inmediatamente de la expresión t2v!(t) = t y resulta v(t) = log t. En definitiva, la solución obtenida es x2(t) = t log t tal como hab́ıamos obtenido directamente con la fórmula (8.8).. Si nos hubieran pedido desde un principio la solución x: (0, $) " R del problema. (P):. % x!! ! 1t x. ! + 1 t2 x = 0. x(1) = 1, x!(1) = 3. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.5. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 185. hubiéramos resuelto la ecuación diferencial, tal como hemos procedido anteriormente, obteniendo la familia de soluciones x(t) = t. # c1 + c2 log t. $ y ahora calculamos las constantes c1 y c2 imponiendo. las condiciones iniciales. En esta caso tales condiciones nos llevan a que c1 = 1 y c1 + c2 = 3 y, por tanto, c1 = 1 y c2 = 2. Aśı la solución del problema (P) es la función definida por. x(t) = t # 1 + 2 log t. $ .. Comprobación con Mathematica:. DSolve. *, x!![t] !. 1. t x![t] +. 1. t2 x[t] == 0, x[1] == 1, x![1]==3. - , x[t], t. + x[t]! > t + 2tLog[t].. 8.5 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Estas son las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden donde las funciones p y q son constantes, es decir ecuaciones del tipo:. (8.10) x!! + p x! + q x = 0 donde p, q # R.. Las soluciones de estas ecuaciones están definidas en R. Se trata de una importante clase de ecua- ciones, que tienen la gran ventaja de que se saben resolver. Obviamente el objetivo es obtener dos soluciones linealmente independientes en R. Las ideas que vamos a exponer se deben al gran matemático L. Euler (1707-1783).. En este caso, dada la forma de la ecuación, donde p y q son constantes, no cabe esperar que existan soluciones del tipo x(t) = t" como ha sucedido con otras ecuaciones de coeficientes no constantes que hemos visto en secciones anteriores. Si ponemos como referencia el caso de la ecuación lineal homogénea de primer orden x! +px = 0, con p constante, sabemos que las soluciones de ésta vienen dadas por funciones exponenciales; concretamente son de la forma x(t) = Ce"t con C # R, donde # = !p. Dada la forma de (8.10) cabe la posibilidad de que existan soluciones del tipo x(t) = e"t con # # R.. Comprobamos de una forma inmediata que x(t) = e"t es solución de (8.10) si, y sólo si, # es solución de la ecuación de segundo grado. (8.11) #2 + p# + q = 0. o, dicho de otra forma, si # es ráız del polinomio #2 + p# + q. La ecuación (8.11) recibe el nombre de ecuación caracteŕıstica o auxiliar de la ecuación diferencial (8.10) (también podŕıamos decir que #2 + p# + q es el polinomio caracteŕıstico de la ecuación diferencial). Sabemos que una ecuación como la anterior no tiene porqué tener soluciones reales. De hecho, hay que considerar tres posibles situaciones: dos soluciones reales distintas, una única solución real o dos soluciones complejas, según si el discriminante p2 ! 4q es positivo, nulo o negativo. Evidentemente el caso más satisfactorio es el primero pues vamos a obtener dos soluciones de tipo exponencial linealmente independientes. En el segundo caso sólo obtendremos una solución de tipo exponencial y habrá que encontrar otra linealmente independiente con ésta haciendo uso de lo visto en la sección anterior. El caso menos satisfactorio es el tercero, en el que tendremos que trabajar más para determinar dos soluciones independientes.. 186 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Caso I: La ecuación caracteŕıstica (8.11) tiene dos soluciones reales: #1 y #2.. En este caso las funciones definidas por x1(t) = e "1t y x2(t) = e. "2t son soluciones de la. ecuación diferencial (8.10) y obviamente son linealmente independientes en R. Obsérvese que el wonskiano W(x1, x2)(t) = (#2 ! #1)e("1+"2)t no se anula en R. Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial (8.10) viene dado por las funciones x: R " R definidas por. (8.12) x(t) = c1 e "1t + c2 e. "2t donde c1, c2 # R.. Ejemplo 8.5. Resolución de la ecuación diferencial: x!! ! x = 0.. Ecuación caracteŕıstica asociada: #2 ! 1 = 0, cuyas soluciones son #1 = 1 y #2 = !1. Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial están dadas por las funciones definidas por. x(t) = c1e t + c2e. "t, c1, c2 # R.. Comprobación con Mathematica:. DSolve[x!![t] ! x[t] == 0, x[t], t] x[t] " etC[1] + e"tC[2].. Véase la diferencia existente con la ecuación x!! +x = 0, ya vista en la sección 8.3, cuyas solucio- nes son de la forma x(t) = c1 cos t+c2 sen t, pero obsérvese que, aunque la diferencia sólo está en un signo, resulta que la ecuación caracteŕıstica de esta última, #2 + 1 = 0, no posee soluciones reales.. Ejemplo 8.6. Soluciones de la ecuación diferencial: x!! ! 3x! + 2x = 0.. Ecuación caracteŕıstica asociada: #2 ! 3# + 2 = 0 cuyas soluciones son #1 = 1 y #2 = 2. Por tanto la solución general de la ecuación diferencial viene dada por. x(t) = c1e t + c2e. 2t, c1, c2 # R.. Comprobación con Mathematica:. DSolve[x!![t] ! 3x![t] + 2x[t] == 0, x[t], t] x[t] " etC[1] + e2tC[2].. Ejemplo 8.7. Solución x: R " R del problema de valores iniciales:. (P):. % x!! + 4x! ! 2x = 0 x(0) = 1, x!(0) = 2.. Ecuación caracteŕıstica asociada: #2 + 4# ! 2 = 0, cuyas soluciones son #1 = !2 + ( 6 y. #2 = !2 ! ( 6. Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial vienen dadas por. x(t) = c1e ("2+. $ 6)t + c2e. "(2+ $ 6)t, c1, c2 # R.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.5. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 187. Ahora determinamos las constantes c1 y c2 (de forma única) imponiendo las condiciones iniciales x(0) = 1, x!(0) = 2 lo que da lugar a un sistema compatible determinado cuya solución es c1 = 1 2 +. $ 6 3 y c2 =. 1 2 !. $ 6 3 y aśı la solución del problema (P) es la dada por. x(t) = / 1 2 +. $ 6 3. 0 e("2+. $ 6)t +. / 1 2 !. $ 6 3. 0 e"(2+. $ 6)t.. Comprobación con Mathematica:. DSolve[{x!![t] + 4x![t] ! 2x[t] == 0, x[0] == 1, x![0] == 2}, x[t], t]. x[t] " 1. 6. / 3e("2". $ 6)t ! 2. ( 6e("2". $ 6)t + 3e("2+. $ 6)t + 2. ( 6e("2+. $ 6)t .. Caso II: La ecuación caracteŕıstica (8.11) tiene una solución real doble: #.. Esto sucede cuando p2 ! 4q = 0 y, en este caso, # = !p2. Por tanto sólo tenemos una solución (salvo constantes) de tipo exponencial, que es la dada por. x1(t) = e "t siendo # = !. p. 2 .. Necesitamos encontrar otra solución de la ecuación diferencial (8.10) linealmente independiente de x1 en el intervalo R. Como x1(t) '= 0 para cada t # R, podemos hacer uso del teorema 8.5 y aśı la fórmula (8.8) nos da la expresión de otra solución linealmente independiente. En este caso, tenemos. x2(t) = x1(t). . 1. x2 1 (t). e" ! p(t) dt dt = e"t. . e"2"te"pt dt = e"t. . e"(2"+p)t dt = te"t.. En definitiva, las funciones. x1(t) = e "t y x2(t) = te. "t. son soluciones en R, linealmente independientes, de la ecuación diferencial. Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial (8.10) viene dado por las funciones definidas por. (8.13) x(t) = (c1 + c2t)e "t donde c1, c2 # R.. Ejemplo 8.8. Soluciones de la ecuación diferencial: x!! ! 2x! + x = 0.. Ecuación caracteŕıstica asociada: #2 ! 2# + 1 = 0. El discriminante es nulo y sólo tenemos la solución real doble # = 1. Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial vienen dadas por. x(t) = (c1 + c2t)e t donde c1, c2 # R.. Comprobación con Mathematica:. DSolve[x!![t] ! 2x![t] + x[t] == 0, x[t], t] x[t] " etC[1] + ettC[2].. Ejemplo 8.9. Solución x: R " R del problema de valores iniciales:. (P):. % x!! + 4x! + 4x = 0. x(0) = 1, x!(0) = 3.. 188 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. La ecuación caracteŕıstica asociada es #2 + 4# + 4 = 0 , es decir (# + 2)2 = 0 y sólo tenemos la solución real doble # = !2. Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial vienen dadas por. x(t) = (c1 + c2t)e "2t, c1, c2 # R.. Ahora determinamos las constantes c1 y c2 imponiendo las condiciones iniciales x(0) = 1, x !(0) = 3.. La primera condición da directamente c1 = 1 y de la segunda se obtiene c2 ! 2c1 = 3 y, por tanto, c2 = 5. Aśı la solución del problema (P) es la dada por x(t) = (1 + 5t)e. "2t.. Comprobación con Mathematica:. DSolve[{x!![t] + 4x![t] + 4x[t] == 0, x[0] == 1, x![0] == 3}, x[t], t] x[t] " e"2t(1 + 5t). Caso III: La ecuación caracteŕıstica (8.11) tiene dos soluciones complejas.. Esto sucede cuando p2 ! 4q < 0 y, en este caso, las soluciones complejas vienen dadas por # =. "p±i (. 4q"p2 2 , donde i es el número complejo tal que i. 2 = !1. Es decir tenemos. #1 = ! + i" y #2 = ! ! i". donde ! = !p2, " = 1 2. 1 4q ! p2. Obsérvese que #1 y #2 son números complejos conjugados.. Una pista: En el caso conocido x!! + x = 0 la ecuación caracteŕıstica es #2 + 1 = 0 cuyas soluciones son complejas, concretamente, #1 = i y #2 = !i. En este caso ! = 0 y " = 1 y recuérdese que las funciones dadas por x1(t) = cos t y x2(t) = sen t constituyen una base del espacio de soluciones. Véase que las expresiones de estas dos soluciones podemos escribirlas aśı:. x1(t) = e !t cos "t y x2(t) = e. !t sen "t.. La idea es generalizar esta situación, es decir, probar que en el caso establecido vamos a tener dos soluciones linealmente independientes del tipo anterior.. En general, siendo # # C solución de la ecuación caracteŕıstica, estaŕıamos tentados de afirmar que z(t) = e"t es solución de la ecuación diferencial (8.10), pero esto, en principio, no tiene sentido si antes no definimos ciertos conceptos. Vamos a proceder de la siguiente forma:. 1. Vamos a darle sentido a e"t cuando # # C y t # R.. 2. Vamos a considerar soluciones con valores complejos z : R " C de la ecuación diferen- cial (8.10).. 3. Vamos a comprobar que cuando # # C es solución de la ecuación caracteŕıstica, la función z : R " C definida por z(t) = e"t, es solución de la ecuación diferencial.. 4. A partir del punto anterior obtendremos dos soluciones x1 : R " R, x2 : R " R de la ecuación diferencial que son linealmente independientes (cuyas expresiones van a ser como las del caso citado x!! + x = 0).. 1.- Se intenta definir e"t cuando # # C de manera que sea una generalización del caso e"t cuando # # R y que posea propiedades análogas. Existe una fórmula (identidad) fundamental del álgebra elemental de los números complejos, conocida como fórmula de Euler, que afirma que cuando % es un número real, entonces. ei# = cos % + i sen %.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.5. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 189. Podemos tomar lo anterior como definición, pero cabe la posibilidad de justificarla4 si tenemos en cuenta los desarrollos en serie de las funciones coseno y seno e imponemos que en este caso el desarrollo en serie de la exponencial sea como en el caso ex cuando x es real.5. De esta forma, si aceptamos que la definición de exponencial ez cuando z = a + ib # C debe obedecer a las mismas reglas que en el caso z # R deberá suceder que ez = eaeib = ea(cos b+i sen b) y aśı podemos establecer (como definición) que. ez = ea(cos b + i sen b) si z = a + ib # C,. lo cual generaliza el caso ez cuando z # R pues en tal caso b = 0 (z = a). Por tanto, si # = !+i" # C y t # R, se tiene z = #t = !t+i"t # C y aśı tenemos una función z : R " C, t &" z(t) = e"t definida por la expresión. e"t = e!t # cos "t + i sen "t. $ donde # = ! + i" # C.. Obsérvese que siendo #1 = ! + i" y #2 = ! ! i", entonces. e"1t = e!t cos "t + ie!t sen "t. e"2t = e!t cos "t ! ie!t sen "t. De esta forma las partes reales de e"1t y e"2t coinciden mientras que sus partes imaginarias sólo se diferencian en el signo, es decir, e"2t es el conjugado de e"1t.. 2.- Cuando, en general, se tiene una función z : I " C, t &" z(t), siendo I un intervalo en R, podemos escribir z(t) = u(t) + iv(t), donde las funciones u, v : I " R son las llamadas parte real e imaginaria de la función z. Lo que hemos visto anteriormente es que en el caso z : R " C, t &" z(t) = e"t, sus partes real e imaginaria son. u(t) = e!t cos "t, v(t) = e!t sen "t.. Dada una función z : I " C, t &" z(t) = u(t) + iv(t), diremos que z es derivable en I cuando u y v lo son y, en tal caso, se define la derivada aśı: z!(t) = u!(t) + iv!(t). De esta forma si las funciones reales u y v son dos veces derivables, z es dos veces derivable y la segunda derivada de z es z!!(t) = u!!(t) + iv!!(t). De esta forma, siendo z dos veces derivable en R, tiene sentido decir que z : R " C, t &" z(t) = u(t) + iv(t) es solución de la ecuación diferencial de coeficientes constantes x!! + px! + qx = 0 cuando sucede que z!!(t) + pz!(t) + qz(t) = 0 para cada t # R, y, según las definiciones dadas, obviamente esto equivale a que tanto su parte real u: R " R como su imaginaria v : R " R son soluciones de la ecuación diferencial.. 3.- Sea # = ! + i" # C. La función. z : R " C, t &" z(t) = e"t = e!t cos "t + ie!t sen "t. es dos veces derivable en R ya que sus partes real e imaginaria lo son. Vamos a comprobar que la derivada de z se comporta como en el caso real, es decir,. d. dt (e"t) = #e"t.. 4Véase [1, pág. 138]. 5Obsérvese que e. i! + 1 = 0, una belĺısima fórmula (identidad) donde intervienen cinco de los números más. notables de la historia de las Matemáticas.. 190 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. En efecto, d. dt (e"t) =. # !e!t cos "t ! "e!t sen "t. $ + i. # !e!t sen "t + "e!t cos "t. $. = e!t / (! cos "t ! " sen "t) + i(! sen "t + " cos "t). 0 .. Por otra parte,. #e"t = (! + i")e!t # cos "t + i sen "t. $ = e!t. / (! cos "t ! " sen "t) + i(! sen "t + " cos "t). 0 ,. confirmándose aśı que se obtiene el mismo resultado.. De lo anterior y de la definición de derivada se sigue que. d2. dt2 (e"t) =. d. dt (#e"t) = #. d. dt (e"t) = #. 2 e"t.. De esta forma, procediendo como en el caso real, concluimos que si # # C es solución de la ecuación de segundo grado. #2 + p# + q = 0,. entonces z : R " C, t &" z(t) = e"t es solución de la ecuación diferencial (8.10).. 4.- Lo anterior nos confirma que si #1 y #2 son soluciones complejas de la ecuación caracteŕıstica, entonces las funciones con valores complejos z1(t) = e. "1t y z2(t) = e "2t son soluciones de la ecuación. diferencial (8.10). Por tanto, las partes reales e imaginarias de estas funciones son soluciones con valores reales de la ecuación diferencial. En definitiva, las funciones. x1(t) = e !t cos "t, x2(t) = e. !t sen "t. son soluciones en R de la ecuación diferencial. Estas dos funciones son linealmente independien- tes pues no son proporcionales; de todas formas, véase que W(x1, x2)(t) = "e. 2!t '= 0 o, más cómodamente, compruébese que el wronskiano en el punto t = 0 es igual a " '= 0. Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial (8.10) viene dado por las funciones definidas por. (8.14) x(t) = e!t / c1 cos "t + c2 sen "t. 0 donde c1, c2 # R.. Las gráficas de las soluciones son ondas con amplitudes que crecen o decrecen exponencialmente según si ! > 0 o ! < 0 y en el caso ! = 0 son simplemente ondas.. !15 !10 !5 5 10 15. !1.0. !0.5. 0.5. 1.0. Figura 8.4: Gráfica de x(t) = sen t + cos t.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.5. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 191. !15 !10 !5 5 10 15. !6. !4. !2. 2. 4. 6. Figura 8.5: Gráfica de x(t) = et/6(sen t + cos t).. !5 5 10 15. !3. !2. !1. 1. 2. 3. Figura 8.6: Gráfica de x(t) = e"t/6(sen t + cos t).. Ejemplo 8.10. Soluciones de la ecuación diferencial: x!! ! 2x! + 2x = 0.. La ecuación caracteŕıstica asociada: #2 ! 2# + 2 = 0 tiene un discriminante negativo y, por tanto, dos soluciones complejas, que son #1 = 1 + i y #2 = 1 ! i. Aqúı ! = " = 1. Por tanto, las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones definidas por. x(t) = et / c1 cos t + c2 sen t. 0 donde c1, c2 # R.. Comprobación con Mathematica:. DSolve[x!![t] ! 2x![t] + 2x[t] == 0, x[t], t] x[t] " etC[2]Cos[t] + etC[1]Sin[t].. Ejemplo 8.11. Soluciones de la ecuación diferencial: x!! ! 4x! + 13x = 0.. La ecuación caracteŕıstica asociada: #2 ! 4# + 13 = 0 tiene un discriminante negativo y, por tanto, dos soluciones complejas, que son #1 = 2 + 3i y #2 = 2 ! 3i. Aqúı ! = 2 y " = 3. En consequencia, las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones definidas por. x(t) = e2t / c1 cos 3t + c2 sen 3t. 0 , c1, c2 # R.. Comprobación con Mathematica:. DSolve[x!![t] ! 4x![t] + 13x[t] == 0, x[t], t] x[t] " e2tC[2]Cos[3t] + e2tC[1]Sin[3t].. 192 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Ejemplo 8.12. Soluciones de la ecuación x!! + &2x = 0, donde & > 0.. La soluciones de la ecuación caracteŕıstica son ± &i. Aqúı ! = 0 y " = 1. Por tanto, las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones de la forma. x(t) = c1 cos &t + c2 sen &t, c1, c2 # R.. Comprobación con Mathematica:. DSolve ! x!![t] + w2x[t] == 0, x[t], t. " x[t] " C[1]Cos[tw] + C[2]Sin[tw].. Véase la gran diferencia que provoca en las soluciones un cambio de signo en la ecuación. En el caso x!! ! &2x = 0 las soluciones vienen dadas por. x(t) = c1e $t + c2e. "$t, c1, c2 # R.. A la vista de los casos estudiados, queda claro que la naturaleza cualitativa de las soluciones de una EDO lineal de segundo orden homogénea con coeficientes constantes: x!! + px! + qx = 0 viene completamente caracterizado por los signos y magnitudes de los coeficientes p y q y pueden variar drásticamente si se modifican esos valores numéricos. Por ejemplo, si p y q son números positivos, todas las soluciones de la ecuación tienden a cero cuando t tiende a infinito, lo cual no es cierto si p = 0 o q = 0 (ejercicio 11). Si p2 !4q < 0 las gráficas de las soluciones son ondas cuyas amplitudes crecen o decrecen exponencialmente según que p sea negativo o positivo. Estas afirmaciones y otras de la misma ı́ndole son consecuencias inmediatas del estudio que hemos realizado en esta sección y reciben un tratamiento exhaustivo en textos que presentan aplicaciones f́ısicas de las ecuaciones diferenciales6. Todo esto es muy importante para los f́ısicos que analizan sistemas mecánicos o circuitos eléctricos descritos por ecuaciones diferenciales del tipo anterior.. 8.6 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de Euler (Cauchy- Euler). En forma impĺıcita y abreviada, son las ecuaciones del tipo. (8.15) t2x!! + atx! + bx = 0 donde a, b # R.. Por tanto, en forma expĺıcita, presentan la forma:. (8.16) x!! + a. t x! +. b. t2 x = 0 donde a, b # R.. Los intervalos maximales donde las soluciones de (8.16) están definidas son I = (!$, 0) e I = (0, $). Sin embargo, la ecuación impĺıcita podŕıa tener, en principio, soluciones definidas en R, distintas de la solución nula (veremos algún caso donde esto no sucede). Está claro que si sólo consideramos soluciones definidas en los dos intervalos I, mencionados anteriormente, las ecua- ciones (8.15) y (8.16) son equivalentes. Todo nuestro estudio sobre ecuaciones lineales de segundo orden se realiza sobre ecuaciones expĺıcitas, pero el motivo de considerar, en este caso, la forma impĺıcita es que resulta más adecuada para ciertos propósitos.. 6Véanse, por ejemplo, [10, caṕıtulo 5] y [3, tomo I, pág. 173].. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.6. Ecuaciones lineales homogéneas de Euler 193. Dos ejemplos de este tipo, que han aparecido en secciones anteriores, son:. 1. t2x!! + 2tx! ! 2x = 0. En este caso encontramos dos soluciones independientes del tipo x(t) = t", concretamente x1(t) = t y x2(t) = t. "2.. 2. t2x!! ! tx! + x = 0. En este caso solo encontramos una solución del tipo x(t) = t", concreta- mente x1(t) = t. Hubo que buscar otra independiente de x1 por el método estudiado en la sección 8.4 y obtuvimos x2(t) = t log | t |.. Los ejemplos anteriores y la forma de la ecuación impĺıcita invita a ver si hay soluciones del tipo x(t) = t". ¡Cuidado! Para algunos valores de # es posible que la expresión t" no tenga sentido si t < 0 (por ejemplo # = 1/2) o si t = 0 (por ejemplo # = !1) y lo más correcto seŕıa escribir x(t) = | t |", pero por comodidad vamos a suponer que buscamos soluciones x: (0, $) " R. De forma casi inmediata, obtenemos que x definida por x(t) = t" es solución de (8.15) si y sólo si # es solución de la ecuación de segundo grado. (8.17) #(# ! 1) + a# + b = 0 o equivalentemente #2 + (a ! 1)# + b = 0.. La ecuación anterior recibe el nombre de ecuación auxiliar de la ecuación de Euler y, en principio, tal ecuación podŕıa realizar la misma función que la ecuación caracteŕıstica o auxiliar de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, tal como vimos en la sección anterior. Es decir, nos llevaŕıa a estudiar tres situaciones distintas: cuando (8.17) tiene dos soluciones reales distintas, una única solución real o dos soluciones complejas.. Evidentemente el caso más satisfactorio es el primero pues vamos a obtener dos soluciones de tipo x(t) = t" linealmente independientes. En este caso tendŕıamos resuelta la ecuación diferencial. Esto es lo que sucede con el primer ejemplo de los expuestos anteriormente. En el segundo caso sólo obtendremos una solución de este tipo y habŕıa que encontrar otra linealmente independiente de ésta haciendo uso de lo visto en la sección 8.4. Esto es lo que sucede con el segundo de los ejemplos citados. El caso mas complicado es obviamente el tercero. Este procedimiento seŕıa como una repetición del visto en la sección anterior pero con mayor complejidad de cálculos y nos llevaŕıa mucho tiempo (algunos autores lo llevan a cabo7).. Lo mejor es aprovechar el trabajo realizado en la sección anterior. ¿De qué forma?. La idea es sencillamente realizar un cambio de función incógnita que transforme la ecuación de Euler en una ecuación de coeficientes constantes, de manera que resolviendo esta última, obtengamos las soluciones de la ecuación de Euler deshaciendo el cambio. Para llevar a cabo esta idea vamos a trabajar con la ecuación impĺıcita (8.15) pero vamos a tener que distinguir los casos I = (0, $) e I = (!$, 0). De cualquier forma, estos son los intervalos maximales donde están definidas las soluciones la ecuación de Euler expĺıcita.. Estudiamos en primer lugar el caso I = (0, $).. Si tenemos una función x: (0, $) " R, t &" x(t), podemos considerar la función y : R " R, s &" y(s) = x(es) (esto se puede considerar como un cambio de función incógnita donde se cambia. la variable independiente). Obsérvese que podemos escribir la función x en términos de y aśı:. x(t) = y(log t) . Evidentemente x es derivable (dos veces derivable) en (0, $) si, y solo si, y es derivable (dos veces derivable) en R y se tiene:. x!(t) = y!(log t) 1. t , x!!(t) = y!!(log t). 1. t2 ! y!(log t). 1. t2 .. 7Véase [10, pág. 172].. 194 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Por tanto, se verifica:. t2x!!(t) + atx!(t) + bx(t) = # y!!(log t) ! y!(log t). $ + ay!(log t) + by(log t). = y!!(log t) + (a ! 1)y!(log t) + by(log t).. Aśı x: (0, $) " R es solución de la ecuación de Euler si, y sólo si, la función y verifica. y!!(log t) + (a ! 1)y!(log t) + by(log t) = 0 para cada t > 0,. o, equivalentemente,. y!!(s) + (a ! 1)y!(s) + by(s) = 0 para cada s # R.. En definitiva, x: (0, $) " R es solución de la ecuación de Euler si, y sólo si, y : R " R es solución de la ecuación con coeficientes constantes. (8.18) y!! + (a ! 1)y! + by = 0.. Lo más significativo de todo esto es que la ecuación caracteŕıstica de la ecuación diferencial (8.18): #2 + (a ! 1)# + b = 0, coincide con la ecuación auxiliar (8.17) de la ecuación de Euler.. El estudio del caso I = (!$, 0) es análogo al anterior. En este caso, si tenemos una función x: (!$, 0) " R, t &" x(t), consideramos la función y : R " R, s &" y(s) = x(!es) y la función x la recuperamos aśı: x(t) = y(log(!t)). De la misma forma, x es derivable (dos veces derivable) en I = (!$, 0) si, y sólo si, y es es derivable (dos veces derivable) en R y se tiene:. x!(t) = y!(log(!t)) 1. t , x!!(t) = y!!(log(!t)). 1. t2 ! y!(log(!t)). 1. t2 .. Por tanto, se verifica:. t2x!!(t) + atx!(t) + bx(t) = y!!(log(!t)) + (a ! 1)y!(log(!t)) + by(log(!t)). y aśı x: (!$, 0) " R es solución de la ecuación de Euler si, y sólo si, la función y verifica. y!!(log(!t)) + (a ! 1)y!(log(!t)) + by(log(!t)) = 0 para cada t < 0,. o, equivalentemente,. y!!(s) + (a ! 1)y!(s) + by(s) = 0 para cada s # R,. es decir, y verifica la misma ecuación de coeficientes constantes (8.18) que en el caso anterior.. De esta forma, tanto en un caso como en otro, el cambio de función incógnita (que, en principio, no es necesario recordar) transforma la ecuación de Euler en una ecuación de coficientes constantes cuya ecuación caracteŕıstica coincide con la ecuación auxiliar de Euler. Por otra parte tenemos una. expresión para deshacer el cambio que nos sirve en ambos casos; esta es: x(t) = y(log | t |) .. Visto lo anterior, a continuación exponemos el procedimiento que aconsejamos llevar a la práctica para resolver una ecuación de Euler homogénea.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.6. Ecuaciones lineales homogéneas de Euler 195. 1. Escribir la ecuación de Euler en forma impĺıcita: t2x!! + atx! + bx = 0.. 2. Esta nos da de manera inmediata la ecuación auxiliar asociada: #(# ! 1) + a# + b = 0, o equivalentemente, #2 + (a ! 1)# + b = 0. Si se nos olvida, basta con imponer que x(t) = t. ". sea solución de la ecuación diferencial para obtenerla.. 3. Considerar la ecuación lineal de segundo orden de coeficientes constantes cuya ecuación caracteŕıstica coincide con la ecuación auxiliar de Euler; es decir: y!! + (a ! 1)y! + by = 0.. 4. Resolver la ecuación de coeficientes constantes anterior.. 5. Finalmente, obtener las soluciones de la Ecuación de Euler a partir de las soluciones de la. ecuación anterior, deshaciendo el cambio aśı: x(t) = y(log | t |). Esto nos sirve tanto para obtener las soluciones definidas en I = (0, $) como las soluciones definidas en I = (!$, 0).. Veamos a continuación la forma de las soluciones de una ecuación de Euler homogénea, según los tres casos que se nos pueden presentar a la hora de resolver la ecuación de coeficientes constantes asociadas:. Caso I: La ecuación auxiliar de Euler tiene dos soluciones reales distintas: #1 y #2.. En este caso las funciones definidas por y1(s) = e "1s, y2(s) = e. "2s son dos soluciones de la ecuación de coeficientes constantes, linealmente independientes y las soluciones de tal ecuación vienen dadas por y(s) = c1e. "1s + c2e "2s.. Deshaciendo el cambio, a partir de y1 e y2, obtenemos las dos siguientes soluciones (linealmente independientes) de la ecuación de Euler:. x1(t) = y1(log | t |) = e "1 log | t | = | t |"1 y x2(t) = y2(log | t |) = | t |. "2 .. Por tanto, las soluciones de la ecuación de Euler están definidas aśı:. x(t) = c1| t | "1 + c2| t |. "2 donde c1, c2 # R.. Caso II: La ecuación auxiliar de Euler tiene una solución real doble: #.. Aqúı las funciones definidas por y1(s) = e "s, y2(s) = se. "s son dos soluciones de la ecuación de coeficientes constantes, linealmente independientes y las soluciones de tal ecuación son de la forma y(s) = e"s(c1 + c2s).. Deshaciendo el cambio, obtenemos las dos soluciones de la ecuación de Euler:. x1(t) = | t | " y x2(t) = | t |. " log | t |.. En consecuencia, las soluciones de la ecuación de Euler vienen dadas por. x(t) = | t |"(c1 + c2 log | t |) donde c1, c2 # R.. Caso III: La ecuación auxiliar de Euler tiene dos soluciones complejas:. #1 = ! + i" y #2 = ! ! i".. 196 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. En esta situación las funciones definidas por y1(s) = e !s cos "s, y2(s) = e. !s sen "s son dos so- luciones linealmente independientes de la ecuación de coeficientes constantes y las soluciones de tal ecuación vienen dadas por y(s) = e!s(c1 cos "s + c2 sen "s).. Deshaciendo el cambio, obtenemos, a partir de y1 e y2, las dos soluciones. x1(t) = | t | ! cos(" log | t |) y x2(t) = | t |. ! sen(" log | t |).. Por tanto, las soluciones de la ecuación de Euler están definidas aśı:. x(t) = | t |! # c1 cos(" log | t |) + c2 sen(" log | t |). $ donde c1, c2 # R.. A continuación exponemos tres ejemplos correspondientes a las tres situaciones establecidas anteriormente. No hay que recordar fórmulas, únicamente hay que conocer el procedimiento seña- lado, es decir, una repetición de lo que hemos llevado a cabo en general, anteriormente.. Ejemplo 8.13. Soluciones de la ecuación: x!! ! 2. t x! !. 4. t2 x = 0.. Escribimos la ecuación en la forma impĺıcita: t2x!! ! 2tx! ! 4x = 0. Aśı la ecuación auxiliar es #(# ! 1) ! 2# ! 4 = 0, es decir, #2 ! 3# ! 4 = 0.. La ecuación en # anterior nos sirve para afirmar que la ecuación de coeficientes constantes. equivalente a la ecuación de Euler es y!! ! 3y! ! 4y = 0 ya que su ecuación caracteŕıstica coincide con la ecuación auxiliar de Euler.. Las soluciones de la ecuación carcateŕıstica son #1 = 4 y #2 = !1, por lo que dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de coeficientes constantes son y1(s) = e. 4s, y2(s) = e "s.. Al deshacer el cambio aśı: x(t) = y(log | t |) obtenemos las dos soluciones de la ecuación de Euler:. x1(t) = y1(log | t |) = e 4 log | t | = t4 y x2(t) = y1(log | t |) = e. " log | t | = 1. | t | .. Obsérvese que cuando I = (0, $) tenemos x2(t) = 1 t y cuando I = (!$, 0) se tiene x2(t) = !. 1 t .. Ahora bien, si la solución x2 la multiplicamos por una constante no nula, la función resultante sigue siendo solución de la homogénea y linealmente con x1. Por tanto, en ambos casos podemos elegir x2(t) =. 1 t y, por tanto, las soluciones de la ecuación de Euler, definidas en I = (0, $) o en. I = (!$, 0), podemos expresarlas aśı:. x(t) = c1t 4 +. c2 t. donde c1, c2 # R.. Comprobación del resultado con Mathemática:. DSolve. * x!![t] !. 2. t x![t] !. 4. t2 x[t] == 0, x[t], t. + , x[t] ". C[1]. t + t4C[2].. Ejemplo 8.14. Soluciones de la ecuación: 4t2x!! + 8tx! + x = 0.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 8.6. Ecuaciones lineales homogéneas de Euler 197. Podemos asegurar que esta ecuación posee soluciones definidas en los intervalos I = (0, $) e I = (!$, 0), ya que esto sucede para la ecuación expĺıcita x!! + 2t x. ! + 1 4t2. x = 0.. Lo primero que debemos hacer es escribir la ecuación de Euler impĺıcita aśı:. t2x!! + 2tx! + 14x = 0.. Por tanto, la ecuación auxiliar es #(#!1)+2#+ 14 = 0, es decir, # 2 +#+ 14 = 0, cuya única solución. real es # = !12.. La ecuación de coeficientes constantes equivalente a la ecuación de Euler es y!! + y! + 14y = 0. y dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación son y1(s) = e "s/2, y2(s) = se. "s/2.. Al deshacer el cambio (x(t) = y(log | t |)) obtenemos las dos soluciones de la ecuación de Euler:. x1(t) = | t | "1/2 y x2(t) = | t |. "1/2 log | t |.. Por tanto, las soluciones de la ecuación de Euler, válidas en los intervalos I = (0, $) e I = (!$, 0), son las definidas aśı:. x(t) = 1. 1 | t |. # c1 + c2 log | t |. $ donde c1, c2 # R.. Obsérvese que, al ser la ecuación dada de tipo impĺıcita, en principio cab́ıa la posibilidad de que tuviese soluciones definidas en R, distintas de la solución nula, pero el resultado anterior niega esa posibilidad pues las soluciones obtenidas en los intervalos I = (0, $) e I = (!$, 0) no se pueden extender, ni siquiera de forma continua, a R.. Comprobación del resultado con Mathemática:. DSolve ! 4t2x!![t] + 8tx![t] + x[t] == 0, x[t], t. " , x[t] ". C[1] ( t. + C[2]Log[t]. 2 ( t. .. Ejemplo 8.15. Soluciones de la ecuación: x!! + 3. t x! +. 3. t2 x = 0.. Escribimos la ecuación en la forma impĺıcita:. t2x!! + 3tx! + 3x = 0.. Aśı la ecuación auxiliar es #(# ! 1) + 3# + 3 = 0, es decir, #2 + 2# + 3 = 0. Esta ecuación posee dos soluciones complejas: !1 ±. ( 2i.. La ecuación de coeficientes constantes equivalente a la ecuación de Euler es y!! + 2y! + 3y = 0. y dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación son y1(s) = e "s cos(. ( 2s), y2(s) =. e"s sen( ( 2s).. Al deshacer el cambio (x(t) = y(log | t |)) obtenemos las dos soluciones de la ecuación de Euler:. x1(t) = 1. | t | cos(. ( 2 log | t |) y x2(t) =. 1. | t | sen(. ( 2 log | t |).. 198 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Con un razonamiento análogo al del primer ejemplo, podemos suprimir el valor absoluto en la expresión 1| t | y, de esta forma, las soluciones de la ecuación de Euler podemos expresarlas aśı:. x(t) = 1. t. / c1 cos(.
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