1 Proyectividades entre espacios proyectivos

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Parte I

Proyectividades, Involuciones y

Afinidades.

1 Proyectividades entre espacios proyectivos

Sea f una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y V’ sobre K. Un

pun-toP = <v>de P(V) no es más que un subespacio<v>unidimensional engendrado por un vector no nulo vεV. Cada transformación regular f : V→V’ entre espacios vectoriales sobre K determina una aplicación P(F) : P(V)→P(V’), que se

denomi-nará la inducida por f, mediante P(f)<v> = <f(v)>. Cuando f sea unisomorfismo

de espacios vectoriales, se dirá de P(f) que es unaproyectividad.

Propiedades A continuación se incluye una lista de propiedades inmediatas:

- La existencia de una aplicación P(f) entre dos espacios proyectivos inducida

por una transformación regular conlleva que la dimensión del primero es menor o

igual que la del segundo. Recuérdese que las trnasformaciones regulares

conser-van la independencia lineal de vectores.

- Una condición necesaria para que haya una proyectividad entre dos espacios es

que ambos tengan la misma dimensión.

- Las proyectividades transforman subespacios en subespacios y conservan las dimensiones.

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- Cada proyectividad P(f) : P(V)→P(V’) induce un isomorfismo entre el retícu-lo de retícu-los subespacios de P(V) y el retícuretícu-lo de retícu-los subespacios de P(V’), o sea,

conserva inclusiones, las sumas y las intersecciones de subespacios.

- Si σ :P→P0es una proyectividad, entonces σ es biyectiva y aplica puntos ali-neados en puntos aliali-neados o, dicho de otra forma, cada vez que AεAMpara tres puntos A, B, Cε P, se tiene queσ(A)ε σ(B)σ(C)

Definición: si P(f) es una proyectividad entre los espacios proyectivos P(V) y

P(V’) de dimensión n sobre K, en los que hay fijados sendos sistemas de coordenadas homogéneas B y B’, entonces la relación entre las

coordena-das homogéneas de un punto P de P(V) y las de su imagen P(f)(P) viene

dada por la expresiónλx0=xAdonde x es el vector fila de las coordenadas homogéneas de P respecto al sistema de coordenadas B, x’ las de su imagen

respecto al sistema B’, y A la matriz inversible de orden n+1 cuyas filas

no son sino las coordenadas respecto al sistema B’ de las imágenes de los

vectores del sistema B.

2 El teorema fundamental de la geometría proyectiva

Sea P(V) un espacio proyectivo de dimensión n > 1sobre un cuerpo K. Tómense

en él n + 1 puntos independientes PO =< uo>, ... , Pn =< un>y otro punto más P=<u>con la propiedad de no pertenecer a ninguno de los hiperplanos engendrados por n de entre los primeros n+1 puntos. Estos fabrica un sistema de coordenadas homogéneas de puntos baseP0, ...,Pny un punto de unidad P.En general, a la configuración de losn+2 puntos anteriores se le denomina símplex.

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Dados sendos símplex{Pi},{Qi} en espacios proyectivos P y P’ de la misma

di-mensión n > 0 sobre un cuerpo K, existe una única proyectividad σ:P→P0que transforma uno en el otro, o sea,σ(Pi) =Qipara cada i.

Demostración:

Sean σ y ρ proyectividades de P y P’ que aplican el símplex {Pi}en el símplex

{Qi}.El resultado se obtiene teniendo en cuenta que σ−1ρes una proyectividad

que deja fijos a todos los puntos de{Pi}y queσ−1ρ =1Psi y sólo siσ =ρ.

Símplex configuración de n+2 puntos tales que n+1 son independientes, y el

otro es un punto unidad, el cual no pertenece a ninguno de los hiperplanos

engen-drados por n de los n+1 puntos independientes.

En geometria, un símplex o n-símplex es el análogo en n dimensiones de un

trián-gulo. Más exactamente, un símplex es la envolutura convexa de n conjunto de

(n+1) puntos independientes afines en un espacio euclídeo de dimensión n o

ma-yor, es decir, el conjunto de puntos tal que ningún m-plano contiene más de m+1

de ellos. Se dice de estos puntos que están en posición general.

Por ejemplo, un 0-símplex es un punto; un 1-símplex un segmento de una línea;

un 2-símplex un triángulo; un 3-símplex es un tetraedro; y un 4-símplex es un

pentácoron.

Un n-símplex regular puede construirse a partir de un (n-1)-símplex regular

co-nectando un nuevo vértice a todos los vértices originales por la longitud común

del lado.

3 Proyectividades entre rectas de un plano

Definición: sean r y s dos rectas de un plano proyectivo y O un punto del plano

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r sobre s es la aplicaciónπO:r→sque transforma cada punto A de r en la

intersección A’ de s con la rectaOA. En definitiva,πO(A) =A0=sTOA

Nota: es evidente que toda perspectividadπO:r→ses biyectiva así como que el

punto de intersección M de r constituye un punto doble (punto que se aplica

en sí mismo). Una propiedad elemental afirma que r = s implica πO=1r,

luego la identidad constituye una perspectividad de centro cualquier punto del plano que no se sitúe en la recta dominio. Otra obviedad proviene del

hecho de que la inversa de una perspectividad es otra perspectividad del

mismo centro.

Definición: los puntos límites son las imágenes de los puntos impropios, (puntos

del infinito).

Definición: sean A, B, C, y D cuatro puntos sobre una recta proyectiva con los

tres primeros distintos entre sí y D distinto de A. Por razón doble de los

cuatro puntos se entenderá al valor que toma la abscisa λdel punto D en

el sistema de coordenadas {A,B,C} con A en el infinito, en cuyo caso se

escribirá (ABCD) =λ.

Observación: siempre ocurre que (ABCB) = 0 y (ABCC) = 1

Definición: dos rectas L y L’ contenidas en un plano proyectivo se dice que son

perspectivas, cuando existe una aplicación biyectiva σ :L→L0 tal que las rectas que unen cada punto con su imagen, concurren en un mismo punto

llamado centro de perspectividad. A la aplicación σ :L→L0 se le llama perspectividad.

Definición*: dos haces de rectas son perspectivos cuando existe una biyección

entre ambos de tal forma que los puntos de intersección de cada recta con

su imagen estan sobre una recta, llamada eje de perspectividad.

Proposición: la condición necesaria y suficiente para que una proyectividad entre

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ambas rectas se corresponda en la proyectividad.

Proposición*: toda proyectividad entre rectas de un mismo plano es el producto

de, a lo sumo, tres perspectividades.

Propopiedades: Vamos a dar algunas propiedades de perspectividad:

- Toda perspectividad es biyectiva.

-M=rT

ses un punto doble (de aplica en sí mismo).

- r = s⇒πO=1rla identidad es una perspectividad de centro cualquier punto del

plano que no esté sobre la recta dominio (r).

- La inversa de una perspectividad es otra perspectividad del mismo centro.

Definición: {A,B;C} un sistema de coordenadas homogéneas. A = < a >, B = <

b >, C = < a + b >, D = <λa + b >, λ es la abscisa del sistema en el que A

esta en el infinito, B es el origen y C actúa como punto unidad.

Definición: A, B, C y D sobre una recggta proyectiva (A,B,C,D) es la razón doble

de los cuatro puntos.

Razón Doble:

Al espacio proyectvo unidimensional lo hemos denominado recta proyectiva, y a

sus elementos puntos. Dicho espacio proyectivo puede ser considerado por sí

mis-mo, o bien como subespacios proyectivos de un espacio proyectivo de dimensión

n≥2.

Como ejemplos tenemos, en el plano proyectivo, el conjunto de puntos de una

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(denominado punto base o vértice del haz). En el espacio proyectivo

tridimensio-nal, tenemos como concepto dual de puntos de una recta el haz de planos, conjunto

de planos que pasan por una recta (denominada base del haz de planos).

Cualquiera que sea el modelo que tomemos de espacio proyectivo unidimensional,

nos referiremos a él, al menos cuando hagamos desarrollos teóricos, con el nombre

de recta proyectiva y a sus elementos los llamaremos puntos.

Sean en la recta proyectiva cuatro puntosP1,P2,P3,P4,interesa obtener un escalar asociado a estos cuatro puntos, que no dependa de la constante de

proporcionali-dad arbitraria de sus coordenadas homogéneas y que sea invariante respecto a un

cambio de coordenadas sobre la recta.

Definición: se llama razon doble de cuatro puntosP1,P2,P3,P4alineados a la

ex-presión (P1P2P3P4) = X30X11−X31X10

X30X1 2−X31X

0 2

: X

0

4X11−X41X10

X40X1 2−X41X

0 2 =

X30 X10 X31 X11

X30 X20 X31 X21

:

X40 X10 X41 X11

X40 X20 X41 X21

siendo (x0i,x1i) (i=1,2,3,4), las coordenadas homogéneas dePi respecto a una referencia proyectiva dada.

Corolario: Seam A, B, C y D cuatro puntos distintos dos a dos de una recta

proyectiva con(ABCD) =ρ,se tiene entonces:

1. (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA) =ρ

2. (BACD) = (ABDC) = (DCAB) = (CDBA) = ρ1

3. (ACBD) = (BDAC) = (CADB) = (BDCA) = 1−ρ

4. (CABD) = (DBAC) = (ACDB) = (BDCA) = 11ρ

5. (BCAD) = (ADBC) = (DACB) = (CBDA) = 1−ρ1

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Teorema: Seanσ:r→suna biyección entre rectas de un mismo plano proyec-tivo. Entonces, son equivalentes:

i)σ conserva razones dobles

ii)σ es una proyectividad

iii)σ se descompone en producto de perspectividades.

Teorema: Una condición necesaria y suficiente para que una proyectividadσentre

dos rectasrysdel mismo plano sea unaperspectividad es que el punto de inter-sección derconsconstituya un punto doble.

Cálcullo de puntos dobles λxx0+µx+δx0+γ =0⇒λx2+ (µ+δ)x+γ =0

- 2 raíces : proyectividad hiperbólica.

- 1 raíz: proyectividad parabólica.

- 0 raíces: proyectividad elíptica.

4 Involuciones

Dada una proyectividadσentre rectasryssobre el mismo cuerpo K, y fijados en ellas sendos sitemas de coordenadas, existen escalaresλ0,λ1,µ0,µ1dondeλ0µ1−

λ1µ06=0 que proporcionan la ecuación explícita deσ:x0= µλ00++λµ11xx

Definición: de una proyectividad σ de una recta r en sí misma se dice que es unainvoluciónsiσ2=1r, es decir, una involución es una función

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Definición: Otra definición de involución seria la siguiente:

Una involución de un espacio proyectivo unidimensional en sí mismo es una

pro-yectividad, tal que su cuadrado es la identidad. En una involución, a los elementos

homólogos se les suele denominar conjugados.

Proposición: una condición suficiente para que una proyectividad σ :r→ssea una involución distinta de 1r es que existaAεr/σ2(A) =Ayσ(A)6=A.

Proposición: una involución esta determinada por dos pares de elementos

homó-logos.

Proposición: toda proyectividad es el producto de dos involuciones.

Proposición: una involución en la recta proyectiva P(K) o bien tiene dos puntos

dobles, o carece de ellos. No existen involuciones con un sólo punto doble.

Lema: una condición suficiente para que una proyectividadσ de una rectar en sí misma sea una involución distinta de la identidad, es que exista un punto

Aεrtal queσ(A)=6 Ayσ2(A) =a.

Definición: a un símplex de un plano proyectivo P también se le denomina un

cuadrivértice, esto es, un conjunto de cuatro puntos {A,B,C,D} llamados vértices, tales que no hay tres de ellos alineados.

Definición: porcuadriláterose entenderá al concepto dual decuadrivértice. Así un cuadrilátero estará constituido por cuadro rectas {a,b,c,d} tales que no

haya tres de ellas concurrentes. A tales rectas se les conoce como los lados

del cuadrilátero. Los cuatro lados se intersecan en seis puntos que

deter-minan siete rectas, tres de las cuales, las diagonales, se diferencian de las

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Teorema Segundo teorema de DESARGUES

Sea {A,B,C,D} un cuadrivértice de un plano proyectivo y r una recta del plano que no contiene a ninguno de los vértices y que corta a BC en P, aAD en P’, a

ABen Q, aCD en Q’. a BDen R y aACen R’. Entonces, la única proyectividad σ :r→rque aplica P en P’, Q en Q’ y R en R’ es unainvolución.

Teorema El teorema de FANO

Los tres puntos diagonales de un cuadrivértice sobre un plano proyectivo están

alineados si y solamente si la característica del cuerpo base es 2.

Definición: en un plano afin, se define untrapeciocomo uncuadrivérticecon un punto diagonal en el infinito (de su envolvente proyectiva), traducido, con

un par de lados opuesto paralelos.

Definición: por paralelogramo se entenderá a un cuadrilátero con dos de sus puntos diagonales en el infinito (las dos parejas de lados paralelas). Los

pa-ralelogramos solo constan de dos diagonales ya que la tercera la constituye

la recta impropia.

Proposición dual Teorema de FANO

Las tres rectas diagonales de un cuadrilátero sobre un plano proyectivo concurren

en un punto si y solamente si la característica del cuerpo es 2.

5 Cuaterna armónica

Definición: de los elementos de una cuaterna (A,B,C,D) de puntos de una

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(ABCD) vale -1, en cuyo caso, a D se le llama elcuarto armónicode la ter-na (A,B,C) y a los puntos C y D se les denomiter-na los conjugados armónicos

de A y B.

Lema: cuatro puntos A, B, C y D de una recta proyectiva se encuentran en

cua-terna armónica si y solo si B se localiza, cuando A está en el infinito, en el

punto medio del segmento determinado por C y D.

Proposición: si el cuerpo es de característica distinta de 2, los cuatros elementos

de una cuaterna armónica son siempre diferentes. Si la característica es 2, el cuarto armónico de tres puntos diferentes coincice siempre con el tercero

de ellos.

Observación: en un espacio afín, en el cual los puntos no son sino vectores, tiene

sentido la expresión A+2B que se refiere al punto (vector) obtenido mediante el producto escalar 12 de la suma de los vectores (puntos) A y B. Por el

contrario, en un proyectivo la suma de puntos distintos se interpreta como

una recta ym además, carece de significado la multiplicación de una recta

por un escalar. Mientras las proyectividades conservan cuaternas armónicas,

las afinidades conservan también puntos medios.

Lema: las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

6 Transformaciones entre haces de rectas

En varias ocasiones se ha razonado sobre la configuración geométrica integrada

por cuatro puntos alineados A, B, C, y D con los tres primeros distintos entres sí y

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como dos de sus lados, a c como una de sus diagonales y, d pase por el punto de

corte de las otras dos diagonales.

Nota: las proyectividades entre haces de rectas del mismo plano se introducen

como composición de un número finito de perspectividades.

Nota2: para que el concepto de razón doble de un lápiz sea compatible con el

principio de dualidad, se requiere que * conserve razones dobles. Así, se

define la razón doble del lápiz (a,b,c,d) mediante (abcd) = (a*b*c*d*).

Teorema: Sea (a,b,c,d) un lápiz de un plano P y r una recta arbitraria de P que

no pase por aT

b. Entonces (abcd) = (ABCD), dondeA=aT

r, B=bT

r,

C=cT

ryD=dT

r.

Teorema: propiedades proyectividades.

i) Toda proyectividad entre haces del mismo plano factoriza en producto de, a lo

sumo, tres perspectividades.

ii) Las proyectividades entre haces de rectas del mismo plano conservan razones

dobles de lápices.

iii) Toda biyección entre haces de rectas de un mismo plano que conserve razones

dobles de lápices es una proyectividad.

iv) Una proyectividad entre haces de rectas A* y B* de un plano es una

perspec-tividad si y solamente si la rectaABes doble.

v) El lápiz (a,b,c,d) es armónico si y solamente si (abcd) = -1.

vi) Una proyectividad σ de un haz en sí mismo es una involución distinta de la

identidad si y solo si existe una recta a del haz tal queσ(a)6=ayσ2(a) =a.

vii) Una involución en un haz distinta de la identidad tiene, a lo sumo, 2 rectas

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