Tema 5
Ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden
5.1
Introducci´
on
Las ecuaciones con las que generalmente el alumno ha trabajado responden, en su mayor parte, a la necesidad de obtener los valores num´ericos de ciertas magnitudes. Pero en las aplicaciones de las matem´aticas surgen con frecuencia una gran clase de problemas cualitativamente diferentes: problemas en los que la inc´ognita es a su vez una funci´on. Llegamos as´ı a las ecuaciones funcionales y su naturaleza puede ser, en general, muy diversa. De hecho, puede decirse que ya se conocen algunos ejemplos de ecuaciones funcionales: el c´alculo de primitivas y las funciones impl´ıcitas.
Consideraremos ahora la clase m´as usual e importante de ecuaciones que sirve para determinar tales funciones: las llamadas ecuaciones diferenciales, esto es, ecuaciones en las que, adem´as de la funci´on desconocida, aparecen tambi´en sus derivadas de distintos ´ordenes.
Una posible clasificaci´on de las ecuaciones funcionales est´a recogida en la siguiente tabla en la que se ha expandido la rama de las ecuaciones diferenciales:
Ecuaciones funcionales
Ecuaciones diferenciales
½
ordinarias
en derivadas parciales Ecuaciones integrales
Ecuaciones integro-diferenciales Otras
La primera clasificaci´on que se puede dar para las ecuaciones diferenciales es dividirlas enordinariasyparciales, seg´un que la funci´on inc´ognita dependa de una o de varias variables.
Actualmente, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigaci´on de los fen´omenos naturales. La mec´anica, la astronom´ıa y la tecnolog´ıa han sido causa de numerosos progresos en este ´area.
5.1.1
Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales
Definici´on:
Se llamaecuaci´on diferencial ordinaria(E.D.O.) a una ecuaci´on que liga la variable independiente x, una funci´on
y=y(x) (que depende s´olo de la variable independiente) y sus respectivas derivadas y0, y00, ..., y(n). Es decir, una expresi´on de la forma:
F ³
x, y, y0, y00, ..., y(n)´= 0 A la funci´on y=y(x) la llamaremosfunci´on inc´ognita.
Definici´on:
Se llamaecuaci´on diferencial en derivadas parciales (E.D.P.) a una ecuaci´on que liga las variables independientes
∂y ∂x1,
∂y ∂x2, . . . ,
∂y ∂xn,
∂2y
∂2x 1,
∂2y
∂x1∂x2, . . . Es decir, una expresi´on de la forma:
F µ
x1, . . . , xn, y, ∂y
∂x1,
∂y ∂x2, . . . ,
∂y ∂xn,
∂2y
∂2x 1,
∂2y
∂x1∂x2, . . .
¶
= 0
A la funci´on y=y(x1, . . . , xn) la llamaremosfunci´on inc´ognita.
Definici´on:
Se llamaorden de una ecuaci´on diferencial al mayor orden de derivaci´on que exista en la funci´on inc´ognita.
Definici´on:
Se llamagrado de una ecuaci´on diferencial al mayor exponente que tenga la derivada de mayor orden.
5.1.2
E.D.O. de primer orden
En este tema s´olo se estudiar´an lasecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, es decir, ecuaciones de la forma:
F(x, y, y0) = 0 (forma impl´ıcita)
Si se puede despejary0, se tendr´a una ecuaci´on de la forma:
y0=f(x, y) (forma expl´ıcita)
Por lo tanto, las E.D.O. en forma expl´ıcita ser´an siempre de grado 1.
5.2
Soluci´
on de una E.D.O.
Definici´on:
Dada la ecuaci´on diferencial de orden n
y(n)=f³x, y, y0, . . . , y(n−1)´ f :D ⊂ IRn+1−→ IR se dice que z=z(x) z:I⊂ IR−→ IR essoluci´on de la ecuaci´on diferencial, si satisface:
1. zesnveces derivable enI.
2.
³
x, z(x), z0(x), . . . , z(n−1)(x)´∈ D ∀x∈I.
3. z(n)(x) =f³x, z(x), z0(x), . . . , z(n−1)(x)´ ∀x∈I.
Es decir, soluci´on de una E.D.O. es toda funci´on que sustituida junto con sus derivadas en la ecuaci´on conduce a una identidad.
5.2.1
Tipos de soluciones de una E.D.O.
Las soluciones de una E.D.O. pueden ser de tres tipos:
1. Soluci´on general: soluci´on de la ecuaci´on diferencial en la que aparecetantas constantes arbitrarias como orden de la ecuaci´on. En nuestro caso, al ser de primer orden, la soluci´on general ser´a una familia de curvas de la forma Φ(x, y, C) = 0, siendo C una constante arbitraria.
2. Soluci´on particular: es una soluci´on que se obtiene al fijar los valores de las constantes arbitrarias de la soluci´on general, en nuestro caso, al fijar el valor de la constante arbitraria C.
La soluci´on de una ecuaci´on diferencial puede venir dada de tres formas distintas:
1. En forma expl´ıcitasi la inc´ognita y viene despejada en funci´on de la variable independiente x.
2. En forma impl´ıcitasi la soluci´on viene expresada por una ecuaci´on que liga la inc´ognita y y la variable independiente x.
3. En forma param´etrica si la soluci´on viene dada en funci´on de un par´ametro.
Definici´on:
A las gr´aficas de las soluciones se les llaman curvas integrales.
Un ejemplo simple de ecuaciones diferenciales es:
y0=f(x)
que se analiza en el curso de c´alculo integral. En este caso simple, la soluci´on general es:
y=
Z
f(x) dx+C
cuya constante arbitraria puede determinarse si se conoce el valor y(x0) =y0. En tal caso,
y=y0+
Z x
x0
f(t) dt
ser´a la soluci´on particular.
5.3
Problemas de Cauchy
Definici´on:
Se llama problema de Cauchy oproblema de valores iniciales asociado a una E.D.O. de orden uno, al problema de resolver:
(P)≡
½
y0=f(x, y) ecuaci´on diferencial
y(x0) =y0 condici´on inicial Intuitivamente de lo que se trata es de encontrar una soluci´on de
y0 =f(x, y)
pero con la condici´on de que pase por el punto (x0, y0).
5.3.1
Teoremas de existencia y unicidad de soluciones para problemas de Cauchy
Se puede constatar que un problema de Cauchy, dependiendo de las condiciones iniciales puede tener o no soluci´on. Ser´ıa conveniente disponer de alg´un resultado te´orico que nos asegure la existencia de soluciones para un problema de Cauchy, ya que si se sabe que el problema no tiene soluci´on, no se tendr´a que perder tiempo en buscar soluciones que no van a existir. Por otro lado, si se encuentra una soluci´on del problema de Cauchy ser´ıa interesante saber si ´esta es la ´unicao si por el contrario pueden existir m´as soluciones.
Para responder a estas cuestiones se tiene el teorema de existencia y unicidad de soluciones de un problema de Cauchy.
Teorema 5.1
Sea el problema de Cauchy:
(P)≡
½
y0 =f(x, y) ecuaci´on diferencial
y(x0) =y0 condici´on inicial
con f definida en un rect´angulo R centrado en (x0, y0):
Existencia: Sif es continua enRentonces(P)poseesoluci´on. Unicidad: Si f es continua enRy satisface la condici´on de Lipschitz:
|f(x, y1)−f(x, y2)| ≤M|y1−y2| M ∈ IR
entonces existeuna ´unicasoluci´on de(P).
Nota:
La condici´on de Lipschitz puede sustituirse por otra m´as gen´erica que es que exista f0
y(x, y) y sea continua en R.
5.4
Resoluci´
on de ecuaciones diferenciales ordinarias
En esta secci´on se presentan los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias m´as usuales indicando como resol-verlas.
Recordemos que una ecuaci´on diferencial puede venir dada en forma impl´ıcita F(x, y, y0) = 0 o en forma expl´ıcita y0=f(x, y). Las ecuaciones diferenciales en forma expl´ıcita resultan ser de grado uno.
Pasando una ecuaci´on en forma expl´ıcita y0 =f(x, y) en funci´on de dx y dy se obtiene dy=f(x, y) dx o, de forma m´as general,
P(x, y) dx+Q(x, y) dy= 0
As´ı, en las siguientes secciones aparecer´an las ecuaciones diferenciales en forma expl´ıcita, en funci´on de los diferenciales o en forma impl´ıcita indicando el tipo y como resolverlas. Empezaremos por las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado.
5.4.1
Ecuaciones de variables separadas
Decimos que una ecuaci´on es devariables separadas si presenta la siguiente forma:
P(x) dx+Q(y) dy= 0
Es decir, las funciones P y Q dependen exclusivamente de x y de y respectivamente. Para obtener su soluci´on general bastar´a con integrar directamente:
Z
P(x) dx+
Z
Q(y) dy=C
Recordemos que la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial de primer orden vendr´a en funci´on de una cons-tante arbitraria, de ah´ı que sea muy imporcons-tante no olvidar la conscons-tante C. Dicha constante podr´a ser determinada por una condici´on inicial en un problema de Cauchy.
5.4.2
Ecuaciones reducibles a separadas
En este apartado se presentan algunos tipos de ecuaciones diferenciales que a´un no siendo de variables separadas, se reducen a ecuaciones diferenciales equivalentes que s´ı lo son.
Ecuaciones en variables separables
Las ecuaciones diferenciales de la forma
f1(x)g1(y) dx=f2(x)g2(y) dy
reciben el nombre de ecuaciones diferenciales separables. Este tipo de ecuaciones se pueden reducir a variables separadas dividiendo por g1(y)f2(x):
f1(x)
f2(x)dx=
g2(y)
g1(y)dy
Ecuaciones dependientes de una recta
Las ecuaciones de la forma
dy
dx=y
0=f(ax+by+c) a , b , c∈ IR
mediante el cambio de variable z =ax+by+c, se reducen a una ecuaci´on que es de variables separables (caso anterior), ya que:
dz=adx+bdy =⇒ dy= dz−adx
b
Al sustituir, obtendremos:
dy
dx =f(ax+by+c) =⇒ dy=f(ax+by+c)dx =⇒
dz−adx
b =f(z) dx =⇒ dz= ¡
bf(z) +a¢dx
que es de variables separadas en x y z. Una vez resuelta esta ecuaci´on diferencial, deshaciendo el cambio, se obtendr´a la soluci´on de y en funci´on de x.
5.4.3
Ecuaciones diferenciales homog´
eneas
Una funci´on f(x, y) es homog´enea de grado m con respecto a sus dos variables si
f(λx, λy) =λmf(x, y) λconstante
Diremos que la ecuaci´on diferencial P(x, y) dx+Q(x, y) dy = 0 es homog´enea si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homog´eneas con respecto a sus dos variables y ambas del mismo grado de homogeneidad, es decir, la ecuaci´on es homog´enea si
P(λx, λy) =λmP(x, y) y Q(λx, λy) =λmQ(x, y)
Para resolver una ecuaci´on diferencial homog´enea, se realiza el cambio de variable y =tx, obteni´endose una ecuaci´on de variables separables.
Del cambio y=tx se deduce que
dy=tdx+xdt
con lo que al sustituir en la ecuaci´on original, se obtiene
0 = P(x, y) dx+Q(x, y) dy=P(x, tx) dx+Q(x, tx)(tdx+xdt)
= xmP(1, t) dx+xmQ(1, t)(tdx+xdt) =xm³P(1, t) dx+Q(1, t)(tdx+xdt)´
con lo que obtenemos una ecuaci´on diferencial en la que la nueva inc´ognita es t. Dividiendo por xm y agrupando
t´erminos: ³
P(1, t) +tQ(1, t)
´
dx+x Q(1, t) dt= 0
que es de variables separables. Separ´andolas, se obtiene la ecuaci´on diferencial:
dx
x +
Q(1, t)
P(1, t) +tQ(1, t)dt= 0
5.4.4
Ecuaciones reducibles a homog´
eneas
Muchas ecuaciones diferenciales de la forma
y0 =dy dx =f
µ
ax+by+c a0x+b0y+c0
¶
a , b , c , a0, b0 , c0∈ IR
se pueden resolver reduci´endolas a ecuaciones diferenciales homog´eneas, de variables separables, o variables sepa-radas. Para resolverlas distinguiremos los dos casos siguientes:
1. Si c=c0= 0, la ecuaci´on es homog´enea que ya se sabe resolver.
2. Si c6= 0 ´o c0 6= 0, estudiaremos la posici´on relativa de las rectas ax+by+c = 0 y a0x+b0y+c0 = 0 teniendo las siguientes posibilidades:
(a) Si las rectas se cortan en (h, k), es decir, el sistema
½
ax+by+c= 0
a0x+b0y+c0= 0 admite como ´unica soluci´on
x=h , y=k, hacemos el cambio
½
x=X+h
y=Y +k quedando ½
dx= dX
dy= dY .
Teniendo en cuenta que nah+bk+c= 0
a0h+b0k+c0= 0 y sustituyendo en la ecuaci´on diferencial, se tiene:
dy
dx =
dY
dX =f µ
a(X+h) +b(Y +k) +c a0(X+h) +b0(Y +k) +c0
¶
=f µ
aX+bY +ah+bk+c a0X+b0Y +a0h+b0k+c0
¶
=f µ
aX+bY a0X+b0Y
¶
que ya es homog´enea.
(b) Si las rectas
½
ax+by+c= 0
a0x+b0y+c0= 0 son paralelas, es decir si:
a a0 =
b b0 6=
c c0 entonces se tiene
a a0 =
b
b0 =k =⇒
n a=a0k
b=b0k que al sustituirlo en la ecuaci´on:
dy
dx=f µ
k(a0x+b0y) +c
a0x+b0y+c0
¶
y haciendo el cambio de variable a0x+b0y=t:
dt=a0dx+b0dy =⇒ dy dx =
1
b0
µ
dt
dx−a
0
¶
se convierte en una que es de variables separables.
1
b0
µ
dt
dx−a
0
¶
=f µ
kt+c t+c0
¶
=g(t) =⇒ 1
b0 dt
dx= a0
b0 +g(t) =⇒ dx= dt a0+b0g(t)
que ya es de variables separadas.
Observaci´on: si se realiza el cambio de variable ax+by=t se obtiene el mismo resultado.
(c) Si las rectas
½
ax+by+c= 0
a0x+b0y+c0= 0 son coincidentes, es decir,
a a0 =
b b0 =
c c0 =k, entonces: (
a=a0k
b=b0k
c=c0k
=⇒ dy
dx =f(k) =C =⇒ dy=Cdx =⇒ y=Cx+C1
5.4.5
Ecuaciones diferenciales exactas
Decimos que la ecuaci´on diferencial
P(x, y) dx+Q(x, y) dy= 0
esexacta cuando la forma diferencial P(x, y) dx+Q(x, y) dy sea una forma diferencial exacta, es decir, si existe una funci´on U =U(x, y) a la que llamamosfunci´on potencial tal que
dU =P(x, y) dx+Q(x, y) dy
o, equivalentemente
∂U
∂x =P(x, y) y
∂U
∂y =Q(x, y)
Sabemos que la condici´on necesaria y suficiente para que P(x, y) dx+Q(x, y) dy sea diferencial exacta es que:
∂P(x, y)
∂y =
∂Q(x, y)
∂x
Cuando la ecuaci´on diferencial es exacta se tendr´a:
0 =P(x, y) dx+Q(x, y) dy= dU =⇒ dU = 0 =⇒ U =C
ser´a la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial. Luego la resoluci´on de ecuaciones diferenciales exactas se reduce a calcular la funci´on potencial.
5.4.6
Factores integrantes
A veces la ecuaci´on
P(x, y) dx+Q(x, y) dy= 0 (5.1)
no cumple la condici´on de ser exacta, pero es posible convertirla en exacta multiplic´andola por cierta funci´on
µ(x, y) a la que llamaremosfactor integrante.
Por lo tanto, para que µ(x, y) sea un factor integrante tendr´a que ocurrir que la ecuaci´on diferencial:
µ(x, y)P(x, y) dx+µ(x, y)Q(x, y) dy= 0 (5.2)
sea exacta. As´ı, como la condici´on para que una ecuaci´on sea exacta es que las derivadas parciales cruzadas coincidan, µ(x, y) tendr´a que ser tal que:
∂(µP)
∂y =
∂(µQ)
∂x
es decir, la ecuaci´on que debe verificar una funci´on µ(x, y) para que sea un factor integrante es:
µPy0+P µ0y=µQ0x+Qµ0x (5.3)
Como en la ecuaci´on (5.3) la inc´ognita µ(x, y) depende de dos variables y en la ecuaci´on aparecen, adem´as de la propia inc´ognita, las derivadas parciales con respecto a x y respecto a y, se trata de una ecuaci´on en derivadas parciales que, por regla general, es m´as dif´ıcil de resolver que la primitiva ecuaci´on diferencial (5.1).
Por esa raz´on, para resolver la ecuaci´on (5.3), supondremos que µ(x, y) depende de cierta relaci´on prefijada de x e y. As´ı, veremos cual tiene que ser la condici´on para que existan factores integrantes dependientes exclusivamente de x, exclusivamente de y o de cualquier relaci´on arbitraria z=z(x, y).
Factor integrante dependiente s´olo de x
Queremos ver si existe un factor integrante para la ecuaci´on diferencial (5.1) que sea dependiente exclusivamente de x, es decir, que la funci´on µ(x, y) sea de la forma µ=µ(x). En este caso:
µ0x= dµ
dx (ya queµdepende de una sola variable) y µ
0
y= 0 (ya queµno depende dey)
con lo cual, al sustituir en la ecuaci´on (5.3), se obtiene la ecuaci´on que debe de cumplir µ para que s´olo dependa de x, que ser´a:
µP0
y =µQ0x+Q dµ
que es de variable separables. Separ´andolas:
dµ
dxQ=µ ¡
P0 y−Q0x
¢
=⇒ dµ
µ =
P0 y−Q0x
Q dx
Luego, para poder integrar ambos miembros ser´a necesario que la expresi´on
P0 y−Q0x
Q
dependa s´olo de x que es con respecto a lo que queremos integrar. En ese caso un factor integrante ser´ıa:
lnµ=
Z P0
y−Q0x
Q dx =⇒ µ= e
R Py0−Q0x
Q dx (5.4)
Una vez obtenido el factor integrante, se sustituye en la ecuaci´on (5.2) quedando una ecuaci´on diferencial equi-valente a la primitiva (5.1) que ya es diferencial exacta. Al calcular la funci´on potencial e igualarlo a una constante arbitraria se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial primitiva.
Obs´ervese que el factor integrante (5.4) podr´ıa ir multiplicado por una constante, pero dicha constante se simplificar´a al sustituir en (5.2).
Factor integrante dependiente s´olo de y
En este caso queremos ver si existe un factor integrante para la ecuaci´on diferencial (5.1) que sea dependiente exclusivamente de y, es decir, que la funci´on µ(x, y) sea de la forma µ =µ(y). Siguiendo los pasos del caso anterior se tendr´a:
µ0 y=
dµ
dy (ya queµdepende de una sola variable) y µ
0
x= 0 (ya queµno depende dex)
con lo cual, al sustituir en la ecuaci´on (5.3), se obtiene la ecuaci´on que debe de cumplir µ para que s´olo dependa de y, que ser´a:
µP0 y+P
dµ
dy =µQ
0 x que es de variable separables. Separ´andolas:
dµ
dyP =µ ¡
Q0 x−Py0
¢
=⇒ dµ
µ =
Q0 x−Py0
P dy
Luego, para poder integrar ambos miembros ser´a necesario que la expresi´on
Q0 x−Py0
P
dependa s´olo de y que es con respecto a lo que queremos integrar. En ese caso un factor integrante ser´ıa:
lnµ=
Z Q0
x−Py0
P dy =⇒ µ= e
R Q0x−Py0
P dy (5.5)
Una vez obtenido el factor integrante, se sustituye en la ecuaci´on (5.2) quedando una ecuaci´on diferencial equi-valente a la primitiva (5.1) que ya es diferencial exacta. Al calcular la funci´on potencial e igualarla a una constante arbitraria se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial primitiva.
Nuevamente, el factor integrante (5.5) podr´ıa ir multiplicado por una constante, pero dicha constante se sim-plificar´a al sustituir en (5.2).
Factor integrante dependiente de xy
Si existe un factor integrante de xy sea ´este µ=µ(xy). Haciendo xy=z tendr´ıamos µ=µ(z).
∂µ ∂x =
dµ
dz ∂z ∂x =y
dµ
dz ,
∂µ ∂y =
dµ
dz ∂z ∂y =x
dµ
dz
Sustituyendo en la ecuaci´on en derivadas parciales que nos da el factor integrante obtendremos:
µP0
y+P µ0y=µQ0x+Qµ0x =⇒ µPy0+P
µ xdµ
dz ¶
=µQ0 x+Q
µ ydµ
dz ¶
=⇒ µP0
ydz+P xdµ=µQ0xdz+Qydµ =⇒ (P x−Qy) dµ=µ
¡ Q0
x−Py0
¢
dz =⇒
=⇒ dµ
µ =
Q0 x−Py0
xP −yQdz =⇒ µ= e R Q0x−Py0
xP−yQdz
siempre que Q 0 x−Py0
xP −yQ dependa exclusivamente de z.
Una vez obtenido el factor integrante, se sustituye en la ecuaci´on (5.2) quedando una ecuaci´on diferencial equi-valente a la primitiva (5.1) que ya es diferencial exacta. Al calcular la funci´on potencial e igualarla a una constante arbitraria se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial primitiva.
Nuevamente, el factor integrante podr´ıa ir multiplicado por una constante, pero dicha constante se simplificar´a al sustituir en (5.2).
Factor integrante dependiente de x+y
Si existe un factor integrante de x+y sea ´este µ=µ(x+y). Haciendo x+y=z tendr´ıamos µ=µ(z).
∂µ ∂x =
dµ
dz ∂z ∂x =
dµ
dz , ∂µ ∂y =
dµ
dz ∂z ∂y =
dµ
dz
Sustituyendo en la ecuaci´on en derivadas parciales que nos da el factor integrante obtendremos:
µP0
y+P µ0y=µQ0x+Qµ0x =⇒ µPy0 +P
µ
dµ
dz ¶
=µQ0 x+Q
µ
dµ
dz ¶
=⇒
=⇒ µP0
ydz+Pdµ=µQ0xdz+Qdµ =⇒ (P−Q) dµ=µ
¡ Q0
x−Py0
¢
dz =⇒
=⇒ dµ
µ =
Q0 x−Py0
P−Q dz =⇒ µ= e R Q0x−Py0
P−Q dz
siempre que Q 0 x−Py0
P−Q dependa exclusivamente de z.
Una vez obtenido el factor integrante, se sustituye en la ecuaci´on (5.2) quedando una ecuaci´on diferencial equi-valente a la primitiva (5.1) que ya es diferencial exacta. Al calcular la funci´on potencial e igualarla a una constante arbitraria se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial primitiva.
Nuevamente, el factor integrante podr´ıa ir multiplicado por una constante, pero dicha constante se simplificar´a al sustituir en (5.2).
An´alogamente hallar´ıamos factores integrantes dependientes de:
x y , x+y
2, x2+y2, y+x2, . . .
5.4.7
Tipos especiales de ecuaciones diferenciales
A continuaci´on pasaremos a comentar algunos tipos de ecuaciones que se pueden reducir a los ya vistos a lo largo de este tema.
Ecuaciones diferenciales lineales
Son las ecuaciones de la forma:
dy
dx+yP(x) =Q(x)
con P(x) y Q(x) continuas en el dominio exigido a la ecuaci´on. Su soluci´on general es:
y=yh+y0
donde yh es la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada dy
dx+yP(x) = 0 e y0 es una soluci´on
particular de la ecuaci´on completa. La soluci´on particular de la ecuaci´on la buscaremos por el m´etodo de variaci´on de las constantes.
1. Buscamos un factor integrante que dependa s´olo de x:
dy+yP(x) dx=Q(x) dx=⇒³yP(x)−Q(x)´dx+ dy= 0 que es una ecuaci´on reducible a exacta donde:
P1(x, y) =yP(x)−Q(x)
Q1(x, y) = 1
2. El factor integrante ser´a:
µ(x) = e
R P10y−Q01x Q1 dx= e
R
P(x) dx que, evidentemente, depende tan s´olo de x.
3. Multiplicamos toda la expresi´on por el factor integrante:
dy
dxe R
P(x) dx
+yP(x) e
R
P(x) dx
=Q(x) e
R
P(x) dx
d dx
³ ye
R
P(x) dx´
=Q(x) e
R
P(x) dx Integrando respecto a x:
ye
R
P(x) dx =
Z Q(x)e
R
P(x) dx
dx+C =⇒ y= e−
R
P(x) dx
µZ Q(x)e
R
P(x) dx dx+C
¶
que es la soluci´on general de las ecuaciones diferenciales lineales.
Ecuaci´on de Bernouille
Son las del tipo:
y0+P(x)y=Q(x)yn n∈ZZ ; n6= 0, 1 Dividiendo por yn, nos queda:
y0
yn +
P(x)
yn−1 =Q(x) (5.6)
Hacemos el cambio z= 1
yn−1. Con ello tenemos: dz
dx =
dz
dy
dy
dx=
1−n yn y
0 =⇒ y0
yn = dz
dx
1 1−n
Sustituyendo en la ecuaci´on (5.6) nos queda:
dz
dx
1
1−n+zP(x) =Q(x) =⇒
dz
dx+z(1−n)P(x) = (1−n)Q(x)
que es una ecuaci´on diferencial lineal.
Observaci´on:
Ecuaci´on de Riccati
Son las del tipo:
y0+P(x)y+Q(x)y2=R(x) (5.7) Para este caso es necesario conocer (al menos) una soluci´on particular de la ecuaci´on. Sea yp esa soluci´on particular. Entonces efectuamos el cambio y=yp+z y nuestra ecuaci´on queda reducida a una del tipo Bernouille. Ve´amoslo:
Hacemos el cambio y=yp+z. Con ello tenemos:
y0=y0p+z0 Sustituyendo en la ecuaci´on (5.7) nos queda:
y0
p+z0+P(x) (yp+z) +Q(x)
¡ y2
p+ 2ypz+z2
¢
=R(x) =⇒ z0+P(x)z+Q(x)2y
pz+Q(x)z2= 0 ya que yp es soluci´on de la ecuaci´on original.
Ordenando y agrupando tenemos:
z0+z ³
P(x) +Q(x)2yp
´
=−Q(x)z2
que es una ecuaci´on de Bernouille, con n= 2.
Observaci´on:
Si P(x) +Q(x)2yp= 0, se obtiene una ecuaci´on diferencial de variables separables.
Ecuaciones de primer orden y de grado n con respecto ay0
Son ecuaciones de la forma:
(y0)n+P1(x, y)(y0)n−1+· · ·+Pn−1(x, y)y0+Pn(x, y) = 0 (5.8) Para resolverla de manera general despejamos y0. Por lo tanto tendremos n soluciones para y0 de la forma:
y0=f1(x, y) , y0=f2(x, y) , . . . , y0=fn(x, y) (5.9)
que son las n soluciones de la ecuaci´on (5.8). Ahora nos bastar´ıa con resolver las n ecuaciones diferenciales descritas en (5.9) que son de tipos ya conocidos y obtener las n soluciones de la forma:
G(x, y, C1) = 0 ; G(x, y, C2) = 0 ; . . . ; G(x, y, Cn) = 0
5.5
C´
alculo de trayectorias
Terminamos el tema mostrando una de las muchas aplicaciones geom´etricas que tienen las ecuaciones diferen-ciales ordinarias de primer orden: el c´alculo de trayectorias ortogonales.
Dada un familia de curvas f(x, y, C) = 0, se llama trayectoria a toda curva que corte a cada una de las curvas de la familia bajo un ´angulo constante w.
Nosotros vamos a ocuparnos del c´alculo de aquellas trayectorias tales que w= 90, a las que llamaremos trayec-torias ortogonales.
La estrategia a seguir en el c´alculo de trayectorias ortogonales puede sistematizarse por medio del siguiente tratamiento general:
1. Sea
f(x, y, c) = 0 (5.10)
2. Derivando con respecto a x la expresi´on (5.10), tenemos:
fx0(x, y, c) +fy0(x, y, c)y0= 0 (5.11)
3. Eliminando la constante c de (5.10) y (5.11) se obtiene una ecuaci´on diferencial:
F(x, y, y0) = 0
4. Para obtener el haz de trayectorias ortogonales, tendremos que resolver, utilizando la condici´on de perpendi-cularidad, la E.D.:
F µ
x, y,−1
y0
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