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Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

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Academic year: 2018

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Tema 5

Ecuaciones diferenciales ordinarias de

primer orden

5.1

Introducci´

on

Las ecuaciones con las que generalmente el alumno ha trabajado responden, en su mayor parte, a la necesidad de obtener los valores num´ericos de ciertas magnitudes. Pero en las aplicaciones de las matem´aticas surgen con frecuencia una gran clase de problemas cualitativamente diferentes: problemas en los que la inc´ognita es a su vez una funci´on. Llegamos as´ı a las ecuaciones funcionales y su naturaleza puede ser, en general, muy diversa. De hecho, puede decirse que ya se conocen algunos ejemplos de ecuaciones funcionales: el c´alculo de primitivas y las funciones impl´ıcitas.

Consideraremos ahora la clase m´as usual e importante de ecuaciones que sirve para determinar tales funciones: las llamadas ecuaciones diferenciales, esto es, ecuaciones en las que, adem´as de la funci´on desconocida, aparecen tambi´en sus derivadas de distintos ´ordenes.

Una posible clasificaci´on de las ecuaciones funcionales est´a recogida en la siguiente tabla en la que se ha expandido la rama de las ecuaciones diferenciales:

Ecuaciones funcionales

     

    

Ecuaciones diferenciales

½

ordinarias

en derivadas parciales Ecuaciones integrales

Ecuaciones integro-diferenciales Otras

La primera clasificaci´on que se puede dar para las ecuaciones diferenciales es dividirlas enordinariasyparciales, seg´un que la funci´on inc´ognita dependa de una o de varias variables.

Actualmente, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigaci´on de los fen´omenos naturales. La mec´anica, la astronom´ıa y la tecnolog´ıa han sido causa de numerosos progresos en este ´area.

5.1.1

Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales

Definici´on:

Se llamaecuaci´on diferencial ordinaria(E.D.O.) a una ecuaci´on que liga la variable independiente x, una funci´on

y=y(x) (que depende s´olo de la variable independiente) y sus respectivas derivadas y0, y00, ..., y(n). Es decir, una expresi´on de la forma:

F ³

x, y, y0, y00, ..., y(n)´= 0 A la funci´on y=y(x) la llamaremosfunci´on inc´ognita.

Definici´on:

Se llamaecuaci´on diferencial en derivadas parciales (E.D.P.) a una ecuaci´on que liga las variables independientes

(2)

∂y ∂x1,

∂y ∂x2, . . . ,

∂y ∂xn,

2y

2x 1,

2y

∂x1∂x2, . . . Es decir, una expresi´on de la forma:

F µ

x1, . . . , xn, y, ∂y

∂x1,

∂y ∂x2, . . . ,

∂y ∂xn,

2y

2x 1,

2y

∂x1∂x2, . . .

= 0

A la funci´on y=y(x1, . . . , xn) la llamaremosfunci´on inc´ognita.

Definici´on:

Se llamaorden de una ecuaci´on diferencial al mayor orden de derivaci´on que exista en la funci´on inc´ognita.

Definici´on:

Se llamagrado de una ecuaci´on diferencial al mayor exponente que tenga la derivada de mayor orden.

5.1.2

E.D.O. de primer orden

En este tema s´olo se estudiar´an lasecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, es decir, ecuaciones de la forma:

F(x, y, y0) = 0 (forma impl´ıcita)

Si se puede despejary0, se tendr´a una ecuaci´on de la forma:

y0=f(x, y) (forma expl´ıcita)

Por lo tanto, las E.D.O. en forma expl´ıcita ser´an siempre de grado 1.

5.2

Soluci´

on de una E.D.O.

Definici´on:

Dada la ecuaci´on diferencial de orden n

y(n)=f³x, y, y0, . . . , y(n−1)´ f :D ⊂ IRn+1−→ IR se dice que z=z(x) z:I⊂ IR−→ IR essoluci´on de la ecuaci´on diferencial, si satisface:

1. zesnveces derivable enI.

2.

³

x, z(x), z0(x), . . . , z(n−1)(x)´∈ D ∀xI.

3. z(n)(x) =f³x, z(x), z0(x), . . . , z(n−1)(x)´ xI.

Es decir, soluci´on de una E.D.O. es toda funci´on que sustituida junto con sus derivadas en la ecuaci´on conduce a una identidad.

5.2.1

Tipos de soluciones de una E.D.O.

Las soluciones de una E.D.O. pueden ser de tres tipos:

1. Soluci´on general: soluci´on de la ecuaci´on diferencial en la que aparecetantas constantes arbitrarias como orden de la ecuaci´on. En nuestro caso, al ser de primer orden, la soluci´on general ser´a una familia de curvas de la forma Φ(x, y, C) = 0, siendo C una constante arbitraria.

2. Soluci´on particular: es una soluci´on que se obtiene al fijar los valores de las constantes arbitrarias de la soluci´on general, en nuestro caso, al fijar el valor de la constante arbitraria C.

(3)

La soluci´on de una ecuaci´on diferencial puede venir dada de tres formas distintas:

1. En forma expl´ıcitasi la inc´ognita y viene despejada en funci´on de la variable independiente x.

2. En forma impl´ıcitasi la soluci´on viene expresada por una ecuaci´on que liga la inc´ognita y y la variable independiente x.

3. En forma param´etrica si la soluci´on viene dada en funci´on de un par´ametro.

Definici´on:

A las gr´aficas de las soluciones se les llaman curvas integrales.

Un ejemplo simple de ecuaciones diferenciales es:

y0=f(x)

que se analiza en el curso de c´alculo integral. En este caso simple, la soluci´on general es:

y=

Z

f(x) dx+C

cuya constante arbitraria puede determinarse si se conoce el valor y(x0) =y0. En tal caso,

y=y0+

Z x

x0

f(t) dt

ser´a la soluci´on particular.

5.3

Problemas de Cauchy

Definici´on:

Se llama problema de Cauchy oproblema de valores iniciales asociado a una E.D.O. de orden uno, al problema de resolver:

(P)

½

y0=f(x, y) ecuaci´on diferencial

y(x0) =y0 condici´on inicial Intuitivamente de lo que se trata es de encontrar una soluci´on de

y0 =f(x, y)

pero con la condici´on de que pase por el punto (x0, y0).

5.3.1

Teoremas de existencia y unicidad de soluciones para problemas de Cauchy

Se puede constatar que un problema de Cauchy, dependiendo de las condiciones iniciales puede tener o no soluci´on. Ser´ıa conveniente disponer de alg´un resultado te´orico que nos asegure la existencia de soluciones para un problema de Cauchy, ya que si se sabe que el problema no tiene soluci´on, no se tendr´a que perder tiempo en buscar soluciones que no van a existir. Por otro lado, si se encuentra una soluci´on del problema de Cauchy ser´ıa interesante saber si ´esta es la ´unicao si por el contrario pueden existir m´as soluciones.

Para responder a estas cuestiones se tiene el teorema de existencia y unicidad de soluciones de un problema de Cauchy.

Teorema 5.1

Sea el problema de Cauchy:

(P)

½

y0 =f(x, y) ecuaci´on diferencial

y(x0) =y0 condici´on inicial

con f definida en un rect´angulo R centrado en (x0, y0):

(4)

Existencia: Sif es continua enRentonces(P)poseesoluci´on. Unicidad: Si f es continua enRy satisface la condici´on de Lipschitz:

|f(x, y1)−f(x, y2)| ≤M|y1−y2| M IR

entonces existeuna ´unicasoluci´on de(P).

Nota:

La condici´on de Lipschitz puede sustituirse por otra m´as gen´erica que es que exista f0

y(x, y) y sea continua en R.

5.4

Resoluci´

on de ecuaciones diferenciales ordinarias

En esta secci´on se presentan los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias m´as usuales indicando como resol-verlas.

Recordemos que una ecuaci´on diferencial puede venir dada en forma impl´ıcita F(x, y, y0) = 0 o en forma expl´ıcita y0=f(x, y). Las ecuaciones diferenciales en forma expl´ıcita resultan ser de grado uno.

Pasando una ecuaci´on en forma expl´ıcita y0 =f(x, y) en funci´on de dx y dy se obtiene dy=f(x, y) dx o, de forma m´as general,

P(x, y) dx+Q(x, y) dy= 0

As´ı, en las siguientes secciones aparecer´an las ecuaciones diferenciales en forma expl´ıcita, en funci´on de los diferenciales o en forma impl´ıcita indicando el tipo y como resolverlas. Empezaremos por las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado.

5.4.1

Ecuaciones de variables separadas

Decimos que una ecuaci´on es devariables separadas si presenta la siguiente forma:

P(x) dx+Q(y) dy= 0

Es decir, las funciones P y Q dependen exclusivamente de x y de y respectivamente. Para obtener su soluci´on general bastar´a con integrar directamente:

Z

P(x) dx+

Z

Q(y) dy=C

Recordemos que la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial de primer orden vendr´a en funci´on de una cons-tante arbitraria, de ah´ı que sea muy imporcons-tante no olvidar la conscons-tante C. Dicha constante podr´a ser determinada por una condici´on inicial en un problema de Cauchy.

5.4.2

Ecuaciones reducibles a separadas

En este apartado se presentan algunos tipos de ecuaciones diferenciales que a´un no siendo de variables separadas, se reducen a ecuaciones diferenciales equivalentes que s´ı lo son.

Ecuaciones en variables separables

Las ecuaciones diferenciales de la forma

f1(x)g1(y) dx=f2(x)g2(y) dy

reciben el nombre de ecuaciones diferenciales separables. Este tipo de ecuaciones se pueden reducir a variables separadas dividiendo por g1(y)f2(x):

f1(x)

f2(x)dx=

g2(y)

g1(y)dy

(5)

Ecuaciones dependientes de una recta

Las ecuaciones de la forma

dy

dx=y

0=f(ax+by+c) a , b , c IR

mediante el cambio de variable z =ax+by+c, se reducen a una ecuaci´on que es de variables separables (caso anterior), ya que:

dz=adx+bdy = dy= dz−adx

b

Al sustituir, obtendremos:

dy

dx =f(ax+by+c) = dy=f(ax+by+c)dx =

dz−adx

b =f(z) dx = dz= ¡

bf(z) +a¢dx

que es de variables separadas en x y z. Una vez resuelta esta ecuaci´on diferencial, deshaciendo el cambio, se obtendr´a la soluci´on de y en funci´on de x.

5.4.3

Ecuaciones diferenciales homog´

eneas

Una funci´on f(x, y) es homog´enea de grado m con respecto a sus dos variables si

f(λx, λy) =λmf(x, y) λconstante

Diremos que la ecuaci´on diferencial P(x, y) dx+Q(x, y) dy = 0 es homog´enea si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homog´eneas con respecto a sus dos variables y ambas del mismo grado de homogeneidad, es decir, la ecuaci´on es homog´enea si

P(λx, λy) =λmP(x, y) y Q(λx, λy) =λmQ(x, y)

Para resolver una ecuaci´on diferencial homog´enea, se realiza el cambio de variable y =tx, obteni´endose una ecuaci´on de variables separables.

Del cambio y=tx se deduce que

dy=tdx+xdt

con lo que al sustituir en la ecuaci´on original, se obtiene

0 = P(x, y) dx+Q(x, y) dy=P(x, tx) dx+Q(x, tx)(tdx+xdt)

= xmP(1, t) dx+xmQ(1, t)(tdx+xdt) =xm³P(1, t) dx+Q(1, t)(tdx+xdt)´

con lo que obtenemos una ecuaci´on diferencial en la que la nueva inc´ognita es t. Dividiendo por xm y agrupando

t´erminos: ³

P(1, t) +tQ(1, t)

´

dx+x Q(1, t) dt= 0

que es de variables separables. Separ´andolas, se obtiene la ecuaci´on diferencial:

dx

x +

Q(1, t)

P(1, t) +tQ(1, t)dt= 0

(6)

5.4.4

Ecuaciones reducibles a homog´

eneas

Muchas ecuaciones diferenciales de la forma

y0 =dy dx =f

µ

ax+by+c a0x+b0y+c0

a , b , c , a0, b0 , c0 IR

se pueden resolver reduci´endolas a ecuaciones diferenciales homog´eneas, de variables separables, o variables sepa-radas. Para resolverlas distinguiremos los dos casos siguientes:

1. Si c=c0= 0, la ecuaci´on es homog´enea que ya se sabe resolver.

2. Si c6= 0 ´o c0 6= 0, estudiaremos la posici´on relativa de las rectas ax+by+c = 0 y a0x+b0y+c0 = 0 teniendo las siguientes posibilidades:

(a) Si las rectas se cortan en (h, k), es decir, el sistema

½

ax+by+c= 0

a0x+b0y+c0= 0 admite como ´unica soluci´on

x=h , y=k, hacemos el cambio

½

x=X+h

y=Y +k quedando ½

dx= dX

dy= dY .

Teniendo en cuenta que nah+bk+c= 0

a0h+b0k+c0= 0 y sustituyendo en la ecuaci´on diferencial, se tiene:

dy

dx =

dY

dX =f µ

a(X+h) +b(Y +k) +c a0(X+h) +b0(Y +k) +c0

=f µ

aX+bY +ah+bk+c a0X+b0Y +a0h+b0k+c0

=f µ

aX+bY a0X+b0Y

que ya es homog´enea.

(b) Si las rectas

½

ax+by+c= 0

a0x+b0y+c0= 0 son paralelas, es decir si:

a a0 =

b b0 6=

c c0 entonces se tiene

a a0 =

b

b0 =k =

n a=a0k

b=b0k que al sustituirlo en la ecuaci´on:

dy

dx=f µ

k(a0x+b0y) +c

a0x+b0y+c0

y haciendo el cambio de variable a0x+b0y=t:

dt=a0dx+b0dy = dy dx =

1

b0

µ

dt

dx−a

0

se convierte en una que es de variables separables.

1

b0

µ

dt

dx−a

0

=f µ

kt+c t+c0

=g(t) = 1

b0 dt

dx= a0

b0 +g(t) = dx= dt a0+b0g(t)

que ya es de variables separadas.

Observaci´on: si se realiza el cambio de variable ax+by=t se obtiene el mismo resultado.

(c) Si las rectas

½

ax+by+c= 0

a0x+b0y+c0= 0 son coincidentes, es decir,

a a0 =

b b0 =

c c0 =k, entonces: (

a=a0k

b=b0k

c=c0k

= dy

dx =f(k) =C = dy=Cdx = y=Cx+C1

(7)

5.4.5

Ecuaciones diferenciales exactas

Decimos que la ecuaci´on diferencial

P(x, y) dx+Q(x, y) dy= 0

esexacta cuando la forma diferencial P(x, y) dx+Q(x, y) dy sea una forma diferencial exacta, es decir, si existe una funci´on U =U(x, y) a la que llamamosfunci´on potencial tal que

dU =P(x, y) dx+Q(x, y) dy

o, equivalentemente

∂U

∂x =P(x, y) y

∂U

∂y =Q(x, y)

Sabemos que la condici´on necesaria y suficiente para que P(x, y) dx+Q(x, y) dy sea diferencial exacta es que:

∂P(x, y)

∂y =

∂Q(x, y)

∂x

Cuando la ecuaci´on diferencial es exacta se tendr´a:

0 =P(x, y) dx+Q(x, y) dy= dU = dU = 0 = U =C

ser´a la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial. Luego la resoluci´on de ecuaciones diferenciales exactas se reduce a calcular la funci´on potencial.

5.4.6

Factores integrantes

A veces la ecuaci´on

P(x, y) dx+Q(x, y) dy= 0 (5.1)

no cumple la condici´on de ser exacta, pero es posible convertirla en exacta multiplic´andola por cierta funci´on

µ(x, y) a la que llamaremosfactor integrante.

Por lo tanto, para que µ(x, y) sea un factor integrante tendr´a que ocurrir que la ecuaci´on diferencial:

µ(x, y)P(x, y) dx+µ(x, y)Q(x, y) dy= 0 (5.2)

sea exacta. As´ı, como la condici´on para que una ecuaci´on sea exacta es que las derivadas parciales cruzadas coincidan, µ(x, y) tendr´a que ser tal que:

(µP)

∂y =

(µQ)

∂x

es decir, la ecuaci´on que debe verificar una funci´on µ(x, y) para que sea un factor integrante es:

µPy0+P µ0y=µQ0x+Qµ0x (5.3)

Como en la ecuaci´on (5.3) la inc´ognita µ(x, y) depende de dos variables y en la ecuaci´on aparecen, adem´as de la propia inc´ognita, las derivadas parciales con respecto a x y respecto a y, se trata de una ecuaci´on en derivadas parciales que, por regla general, es m´as dif´ıcil de resolver que la primitiva ecuaci´on diferencial (5.1).

Por esa raz´on, para resolver la ecuaci´on (5.3), supondremos que µ(x, y) depende de cierta relaci´on prefijada de x e y. As´ı, veremos cual tiene que ser la condici´on para que existan factores integrantes dependientes exclusivamente de x, exclusivamente de y o de cualquier relaci´on arbitraria z=z(x, y).

Factor integrante dependiente s´olo de x

Queremos ver si existe un factor integrante para la ecuaci´on diferencial (5.1) que sea dependiente exclusivamente de x, es decir, que la funci´on µ(x, y) sea de la forma µ=µ(x). En este caso:

µ0x= dµ

dx (ya queµdepende de una sola variable) y µ

0

y= 0 (ya queµno depende dey)

con lo cual, al sustituir en la ecuaci´on (5.3), se obtiene la ecuaci´on que debe de cumplir µ para que s´olo dependa de x, que ser´a:

µP0

y =µQ0x+Q dµ

(8)

que es de variable separables. Separ´andolas:

dµ

dxQ=µ ¡

P0 y−Q0x

¢

= dµ

µ =

P0 y−Q0x

Q dx

Luego, para poder integrar ambos miembros ser´a necesario que la expresi´on

P0 y−Q0x

Q

dependa s´olo de x que es con respecto a lo que queremos integrar. En ese caso un factor integrante ser´ıa:

lnµ=

Z P0

y−Q0x

Q dx = µ= e

R Py0−Q0x

Q dx (5.4)

Una vez obtenido el factor integrante, se sustituye en la ecuaci´on (5.2) quedando una ecuaci´on diferencial equi-valente a la primitiva (5.1) que ya es diferencial exacta. Al calcular la funci´on potencial e igualarlo a una constante arbitraria se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial primitiva.

Obs´ervese que el factor integrante (5.4) podr´ıa ir multiplicado por una constante, pero dicha constante se simplificar´a al sustituir en (5.2).

Factor integrante dependiente s´olo de y

En este caso queremos ver si existe un factor integrante para la ecuaci´on diferencial (5.1) que sea dependiente exclusivamente de y, es decir, que la funci´on µ(x, y) sea de la forma µ =µ(y). Siguiendo los pasos del caso anterior se tendr´a:

µ0 y=

dµ

dy (ya queµdepende de una sola variable) y µ

0

x= 0 (ya queµno depende dex)

con lo cual, al sustituir en la ecuaci´on (5.3), se obtiene la ecuaci´on que debe de cumplir µ para que s´olo dependa de y, que ser´a:

µP0 y+P

dµ

dy =µQ

0 x que es de variable separables. Separ´andolas:

dµ

dyP =µ ¡

Q0 x−Py0

¢

= dµ

µ =

Q0 x−Py0

P dy

Luego, para poder integrar ambos miembros ser´a necesario que la expresi´on

Q0 x−Py0

P

dependa s´olo de y que es con respecto a lo que queremos integrar. En ese caso un factor integrante ser´ıa:

lnµ=

Z Q0

x−Py0

P dy = µ= e

R Q0x−Py0

P dy (5.5)

Una vez obtenido el factor integrante, se sustituye en la ecuaci´on (5.2) quedando una ecuaci´on diferencial equi-valente a la primitiva (5.1) que ya es diferencial exacta. Al calcular la funci´on potencial e igualarla a una constante arbitraria se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial primitiva.

Nuevamente, el factor integrante (5.5) podr´ıa ir multiplicado por una constante, pero dicha constante se sim-plificar´a al sustituir en (5.2).

Factor integrante dependiente de xy

Si existe un factor integrante de xy sea ´este µ=µ(xy). Haciendo xy=z tendr´ıamos µ=µ(z).

∂µ ∂x =

dµ

dz ∂z ∂x =y

dµ

dz ,

∂µ ∂y =

dµ

dz ∂z ∂y =x

dµ

dz

Sustituyendo en la ecuaci´on en derivadas parciales que nos da el factor integrante obtendremos:

µP0

y+P µ0y=µQ0x+Qµ0x = µPy0+P

µ xdµ

dz

=µQ0 x+Q

µ ydµ

dz

(9)

= µP0

ydz+P xdµ=µQ0xdz+Qydµ = (P x−Qy) dµ=µ

¡ Q0

x−Py0

¢

dz =

= dµ

µ =

Q0 x−Py0

xP −yQdz = µ= e R Q0x−Py0

xP−yQdz

siempre que Q 0 x−Py0

xP −yQ dependa exclusivamente de z.

Una vez obtenido el factor integrante, se sustituye en la ecuaci´on (5.2) quedando una ecuaci´on diferencial equi-valente a la primitiva (5.1) que ya es diferencial exacta. Al calcular la funci´on potencial e igualarla a una constante arbitraria se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial primitiva.

Nuevamente, el factor integrante podr´ıa ir multiplicado por una constante, pero dicha constante se simplificar´a al sustituir en (5.2).

Factor integrante dependiente de x+y

Si existe un factor integrante de x+y sea ´este µ=µ(x+y). Haciendo x+y=z tendr´ıamos µ=µ(z).

∂µ ∂x =

dµ

dz ∂z ∂x =

dµ

dz , ∂µ ∂y =

dµ

dz ∂z ∂y =

dµ

dz

Sustituyendo en la ecuaci´on en derivadas parciales que nos da el factor integrante obtendremos:

µP0

y+P µ0y=µQ0x+Qµ0x = µPy0 +P

µ

dµ

dz

=µQ0 x+Q

µ

dµ

dz

=

= µP0

ydz+Pdµ=µQ0xdz+Qdµ = (P−Q) dµ=µ

¡ Q0

x−Py0

¢

dz =

= dµ

µ =

Q0 x−Py0

P−Q dz = µ= e R Q0x−Py0

P−Q dz

siempre que Q 0 x−Py0

P−Q dependa exclusivamente de z.

Una vez obtenido el factor integrante, se sustituye en la ecuaci´on (5.2) quedando una ecuaci´on diferencial equi-valente a la primitiva (5.1) que ya es diferencial exacta. Al calcular la funci´on potencial e igualarla a una constante arbitraria se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial primitiva.

Nuevamente, el factor integrante podr´ıa ir multiplicado por una constante, pero dicha constante se simplificar´a al sustituir en (5.2).

An´alogamente hallar´ıamos factores integrantes dependientes de:

x y , x+y

2, x2+y2, y+x2, . . .

5.4.7

Tipos especiales de ecuaciones diferenciales

A continuaci´on pasaremos a comentar algunos tipos de ecuaciones que se pueden reducir a los ya vistos a lo largo de este tema.

Ecuaciones diferenciales lineales

Son las ecuaciones de la forma:

dy

dx+yP(x) =Q(x)

con P(x) y Q(x) continuas en el dominio exigido a la ecuaci´on. Su soluci´on general es:

y=yh+y0

donde yh es la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada dy

dx+yP(x) = 0 e y0 es una soluci´on

particular de la ecuaci´on completa. La soluci´on particular de la ecuaci´on la buscaremos por el m´etodo de variaci´on de las constantes.

(10)

1. Buscamos un factor integrante que dependa s´olo de x:

dy+yP(x) dx=Q(x) dx=³yP(x)−Q(x)´dx+ dy= 0 que es una ecuaci´on reducible a exacta donde:

 

P1(x, y) =yP(x)−Q(x)

Q1(x, y) = 1

2. El factor integrante ser´a:

µ(x) = e

R P10y−Q01x Q1 dx= e

R

P(x) dx que, evidentemente, depende tan s´olo de x.

3. Multiplicamos toda la expresi´on por el factor integrante:

dy

dxe R

P(x) dx

+yP(x) e

R

P(x) dx

=Q(x) e

R

P(x) dx

d dx

³ ye

R

P(x) dx´

=Q(x) e

R

P(x) dx Integrando respecto a x:

ye

R

P(x) dx =

Z Q(x)e

R

P(x) dx

dx+C = y= e

R

P(x) dx

µZ Q(x)e

R

P(x) dx dx+C

que es la soluci´on general de las ecuaciones diferenciales lineales.

Ecuaci´on de Bernouille

Son las del tipo:

y0+P(x)y=Q(x)yn nZZ ; n6= 0, 1 Dividiendo por yn, nos queda:

y0

yn +

P(x)

yn−1 =Q(x) (5.6)

Hacemos el cambio z= 1

yn−1. Con ello tenemos: dz

dx =

dz

dy

dy

dx=

1−n yn y

0 = y0

yn = dz

dx

1 1−n

Sustituyendo en la ecuaci´on (5.6) nos queda:

dz

dx

1

1−n+zP(x) =Q(x) =

dz

dx+z(1−n)P(x) = (1−n)Q(x)

que es una ecuaci´on diferencial lineal.

Observaci´on:

(11)

Ecuaci´on de Riccati

Son las del tipo:

y0+P(x)y+Q(x)y2=R(x) (5.7) Para este caso es necesario conocer (al menos) una soluci´on particular de la ecuaci´on. Sea yp esa soluci´on particular. Entonces efectuamos el cambio y=yp+z y nuestra ecuaci´on queda reducida a una del tipo Bernouille. Ve´amoslo:

Hacemos el cambio y=yp+z. Con ello tenemos:

y0=y0p+z0 Sustituyendo en la ecuaci´on (5.7) nos queda:

y0

p+z0+P(x) (yp+z) +Q(x)

¡ y2

p+ 2ypz+z2

¢

=R(x) = z0+P(x)z+Q(x)2y

pz+Q(x)z2= 0 ya que yp es soluci´on de la ecuaci´on original.

Ordenando y agrupando tenemos:

z0+z ³

P(x) +Q(x)2yp

´

=−Q(x)z2

que es una ecuaci´on de Bernouille, con n= 2.

Observaci´on:

Si P(x) +Q(x)2yp= 0, se obtiene una ecuaci´on diferencial de variables separables.

Ecuaciones de primer orden y de grado n con respecto ay0

Son ecuaciones de la forma:

(y0)n+P1(x, y)(y0)n−1+· · ·+Pn−1(x, y)y0+Pn(x, y) = 0 (5.8) Para resolverla de manera general despejamos y0. Por lo tanto tendremos n soluciones para y0 de la forma:

y0=f1(x, y) , y0=f2(x, y) , . . . , y0=fn(x, y) (5.9)

que son las n soluciones de la ecuaci´on (5.8). Ahora nos bastar´ıa con resolver las n ecuaciones diferenciales descritas en (5.9) que son de tipos ya conocidos y obtener las n soluciones de la forma:

G(x, y, C1) = 0 ; G(x, y, C2) = 0 ; . . . ; G(x, y, Cn) = 0

5.5

alculo de trayectorias

Terminamos el tema mostrando una de las muchas aplicaciones geom´etricas que tienen las ecuaciones diferen-ciales ordinarias de primer orden: el c´alculo de trayectorias ortogonales.

Dada un familia de curvas f(x, y, C) = 0, se llama trayectoria a toda curva que corte a cada una de las curvas de la familia bajo un ´angulo constante w.

Nosotros vamos a ocuparnos del c´alculo de aquellas trayectorias tales que w= 90, a las que llamaremos trayec-torias ortogonales.

La estrategia a seguir en el c´alculo de trayectorias ortogonales puede sistematizarse por medio del siguiente tratamiento general:

1. Sea

f(x, y, c) = 0 (5.10)

(12)

2. Derivando con respecto a x la expresi´on (5.10), tenemos:

fx0(x, y, c) +fy0(x, y, c)y0= 0 (5.11)

3. Eliminando la constante c de (5.10) y (5.11) se obtiene una ecuaci´on diferencial:

F(x, y, y0) = 0

4. Para obtener el haz de trayectorias ortogonales, tendremos que resolver, utilizando la condici´on de perpendi-cularidad, la E.D.:

F µ

x, y,−1

y0

Referencias

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