Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

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Colegio Liceo San Francisco de Asís Fecha: 16-03-2012 Asignatura Física 1° Trimestre Profesor Armando Contreras Vega

Nivel 3° Medio Electivo

Nombre ______________________________________________________

GUIA DE TRIGONOMETRÍA

Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel cuyo arco tiene longitud igual al radio.

- 360º = 2

π

radianes (una vuelta completa) - Un ángulo recto mide 2

π

radianes (un cuarto de vuelta)

- 180º =

π

radianes (media vuelta) - Como 180º =

π

rad, resulta que 1º = 180

π

rad

- Un ángulo de 1 radian tiene

π

180

= 57,29578 grados = 57º 17’ 45”

Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:

º

º 180

y rad x

π

= ejemplo: 40º a rad º 40

º 180

y rad

π

= y = =

º 180

º 40

π

rad

=

18 4

π

rad

9 2

π

rad

Ejercicios:

Transformar el ángulo de grados a rad:

1) 15º 2) 35º 3) 80º 4) 150º 5) 200º 6) 90º 7) 60º 8) 45º 9) 30º

Transformar el ángulo de rad a grados:

1) rad

5

π

2) rad

10

π

3) 3π rad 4) rad

4 17

π

Trigonometría. Ejercicios

1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos: 1 3 rad

22π/5rad. 33π/10 rad.

2 Expresa en radianes los siguientes ángulos: 1316°

2 10° 3 127º

3 Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

4 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

5 Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas. 6 Calcula las razones de los siguientes ángulos:

1225° 2 330° 3 2655° 4 −840º

8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo 9De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo. 10De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo. 11De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.

12Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

13Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

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15Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

16 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

17 La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

Funciones trigonométricas

Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las funciones trigonométricas: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec).

En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue:

sen

α

=

hipotenusa opuesto cateto

tan

α

=

adyacente cateto opuesto cateto

sec

α

=

adyacente cateto

hipotenusa

cos

α

=

hipotenusa adyacente cateto

cot

α

=

opuesto cateto adyacente cateto

cosec

α

=

opuesto cateto

hipotenusa

Aquí podemos darnos cuenta que basta con conocer las funciones sen

α

y cos

α

para poder calcular las otras funciones, veamos por qué:

tan

α

=

α

α

cos sen

cot

α

=

α

α

cos

sen sec

α

= cos

α

1

cosec

α

=

α

1

sen

Aplica los contenidos de matemática común y calcula los valores de los ángulos de 30º, 45º y 60º

Demostrar que: sen2α +cos2α =1, usa los valores de los ángulos anteriores y después demuéstralo para cualquier valor del ángulo.

Ejemplo:

1) Un ángulo agudo

α

tiene

5 3

=

α

sen . Halla las restantes razones trigonométricas de este ángulo.

1º método: Usando triángulos

Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonometricas y encontramos:

5 3 = α sen 5 4 . .

cos = =

hip ad c α 4 3 . . . .

tan = =

ad c op c α 3 4 . . . .

cot = =

op c ad c α 4 5 . .

sec = =

ad c hip α 3 5 .

cos = =

op c

hip ecα

2º método: Usando las identidades básicas

Por la identidad sen2α +cos2α =1 tenemos que: 2α 2α

1 cos = −sen

2 2 5 3 1 cos       − =

α

25 9 1 cos2

α

= −

25 16

cos2

α

=

5 4 cos

α

=

Luego, usando estos dos valores, del seno y coseno, calculamos todas las demás funciones:

4 3 5 4 5 3 . cos .

tan = = =

α

α

α

sen así sucesivamente…… c a b

α

β

α

3 5

(3)

Ejercicios:

1) Si

4 7

cosβ = , encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y racionalizados. 2) Si cosβ =0,2, encuentra las otras funciones.

3) Si

9 5

tanα = , encuentra las otras funciones.

Angulos complementarios: En el triángulo rectángulo siguiente:

Ejemplos de uso de las cofunciones:

1) Calcular sen 30º.

Sen 30º = sen (90º - 30º) =cos 60º = ½

2) Expresar los siguientes valores de funciones trigonometricas como el valor de la función de un ángulo positivo menor que 45º.

a) sen 72º sen 72º = sen (90º - 72º) = cos 18º b) cos 46º cos 46º = cos (90º - 46º) = sen 44º

Ejercicios:

1) Expresar el valor de la función trigonométrica en términos de un ángulo no mayor que 45º: a) sen 60º b) cos 84º c) tan 49,8º d) sen 79,6º

2) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora. a)

α

= 24º y c =16.

b) a = 32.46 y b = 25,78 c)

α

= 24º y a =16 d) β = 71º , c = 44 e) a = 312,7 ; c = 809 f) b = 4.218 ; c = 6.759 g) β = 81º12’ ; a = 43,6

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación. Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

α

β

α β =90º−

α α

β =sen(90º− )=cos

sen

α α

β =cos(90º− )=sen

cos

α α

β tan(90º ) cot

tan = − =

En estas relaciones, se cumplen con dos ángulos que son complementarios, que suman 90º, y se dicen que estas funciones son cofunciones una de la otra.

α

β

B

C A

c a

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letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:

Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − : y también

Así es que las soluciones son .

Aquí debemos anotar algo muy importante:

En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión . Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b2 − 4ac) sea positivo o cero.

El radicando b2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por ∆. El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de ∆ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee:

Si ∆ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones. Si ∆ es negativo, la ecuación no tiene solución. Si ∆ es cero, la ecuación tiene una única solución.

En el ejemplo anterior el discriminante era ∆ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones. Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado

Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, y b son los coeficientes de los términos x2 y x, respectivamente y c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.

Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es ax2 + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero. (Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.) La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax2 = 0; si b = 0 y c = 0. ax2 + bx = 0; si c = 0. ax2 + c = 0; si b = 0.

Algunos ejemplos, con soluciones 1) Resolver: − 5x2 + 13x + 6 = 0

Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5; b = 13; c = 6.

(5)

Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −. Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.

Probando con , se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y son las raíces de − 5x2 + 13x + 6 = 0

2.- Resolver: 6x − x2 = 9

Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:

− x2 + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras: a = −1 ; b = 6 ; c = −9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante (∆) es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas

En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como una ecuación de segundo grado.

Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación.

Hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados. Para practicar, los interesados pueden consultar el "Algebra" de Aurelio Baldor, que, para muchos, es la biblia del álgebra.

Problema 1

La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números

Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:

x = Primer número

Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será: 10 − x = Segundo número

Para entenderlo mejor:

(6)

La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:

x2 + (10 - x)2 = 58

Esta es la ecuación a resolver

Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula conocida.

Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común que los estudiantes escriban: (a − b)2 = a2 − b2, lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a − b)2 = a2 − 2•a•b + b2

Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 − 2•10•x + x2 = 58 = x2 + 100 − 20•x + x2 = 58 Ordenando y agrupando: 2x2 − 20•x+ 42 = 0;

Dividiendo entre 2 toda la ecuación: x2 − 10x + 21 = 0

Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3.

Veamos, si tenemos

a = 1, b = −10 c = 21

Los números buscados son 7 y 3.

Problema 2

El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.

Supongamos que: x = ancho de la sala

El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que: x + 3 = largo de la sala.

El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos: x • (x + 3 ) = área de la sala.

Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.

Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:

x + 3 = nuevo ancho de la sala x + 5 = nuevo largo de la sala

(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala

Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación: (x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)

Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 − 2x2 − 6x = 0 Se simplifica: − x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver. Se aplica la fórmula conocida y resulta: x1 = 5 y x2 = −3.

La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.

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Problema 3

Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros

Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c2 = a2 + b2). La hipotenusa es el lado mayor (2x − 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:

(x + 3)2 + (x − 4)2 = (2x − 5)2

Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:

x2 + 2 • 3 • x + 32 + x2 − 2 • 4 • x + 42 = (2x)2 − 2 • (2x) • 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 = 4x2 − 20x + 25

Reagrupando:

x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 − 4x2 + 20x − 25 = 0 Finalmente:

−2x2 + 18x = 0

Es la ecuación a resolver

Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.

La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.

El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es

El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m. Nota final:

Cada método de solución es aplicable según sea la naturaleza de la ecuación cuadrática, pero siempre es posible aplicar el método de completación de cuadrado de binomio y el de la aplicación de la fórmula de las soluciones generales de una ecuación cuadrática.

I. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones: 1. x2 =100

2. x2−225=0 3. x2 =1225

4. x2 =50

5. x2−3c2 =0

6. x2−10=71

7. x2+23=167

8. 6x2−27=5x2+73

9. 7x2 =252

10. 2 2

x 3 1315 35 x

2 + = −

11. x2 =a2+25b2 −10ab

12. 2 2 n2

16 9 mn m 9 4

x = + +

13. x(2x−3)−3(5−x)=83

14. (2x+5)(2x−5)=11

15. (7+x)2 +(7−x)2 =130

16. (3x+5)(4x+3)=(5x−3)(2z−9)+80x+20

17. (2x−3)(3x−4)−(x−13)(x−4)=40

18. (3x−4)(4x−3)−(2x−7)(3x−2)=214

(8)

20. 2 3

8 x 2 2

= −

21. 5

4 4 x 2

6

x2 2

= + − −

22.

2 x

x 7 x

3 x 5

+ − = −

23. 1

2 x

x 2 x

x

= − + +

24.

4 x

40 2 x

2 x 2 x

2 x

2

= + − + − +

25.

7 5 83 x 7 x

11 x 5 x

2 2

= + −

+ −

III. Resuelve:

1. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – kx + 4 = 0, para que las dos raíces sean iguales.

2. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k+2)x + 3k = 0, para que el producto de las raíces sea 24? 3. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 4x2 – 5x + 4k – (6+k) = 0, para que una de las raíces sea cero? 4. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 7x2 – 9x + k = 0, para que las raíces sean recíprocas una de la otra?

5. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 2x2 + kx + 5 = 0, para que una de las raíces sea 1?

6. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k-2)x – (k+6) = 0, para que la suma de las raíces sea 2? 7. ¿Para qué valor de m, la ecuación mx2 - 6x + 5 = 0, tiene sus raíces reales?

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