Instituto Tecnológico de Tijuana
Subdirección académica
Departamento de Sistemas y computación
Semestre Agosto- Diciembre 2013
Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones
González Rocha Juan Carlos 12211517
Profesora: Ma. Eugenia Bermúdez Jiménez
Materia: Algebra Lineal
Índice:
1.1
Definición y origen de los números complejos ……….………3
1.2
Operaciones fundamentales con números complejos……….4
1.3
Potencias de i, módulo de un numero complejo………5
1.4
Forma polar y exponencial de un numero complejo….……….……5
1.5
Teorema de Moivre, potencias y raíces de un numero complejo………..6
1.6
Ecuaciones polinomicas………. 8
1.7
Aplicaciones………. 9
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1.1Definición y origen de los números complejo
Nuestro punto de partida esta en relación con los números negativos. Los griegos anteriores a Diofanto, descartaron los números negativos al no poder adaptaros a sus ideas geométricas. Sin embargo, Diofanto de Alejandría en su libro I de su Aritmética escribe: Lo que falta multiplicado por lo que falta da lo que es positivo, mientras que lo que falta multiplicado por lo que es positivo, da lo que falta.
Otros matemáticos trataban de saltar el obstáculo, por ejemplo, Simón Stevin escribió:
Número es aquello por lo cual se explica la cantidad de cada cosa…
nosotros concluimos entonces, que no hay números absurdos, irracionales, irregulares inexplicables o sordos, sino que hay en ellos tal excelencia y concordancia que tenemos materia para meditar noche y día en su admirable perfección.
Nuevamente podríamos pensar que el uso de los números negativos era una realidad, pero al analizar sus ejemplos, hay, aun en Stevin, un síntoma de evasión. Él dice:
Las raíces negativas de las ecuaciones son raíces positivas de la transformada en –x.
Es decir, si -2 es raíz de una ecuación x²+ px = q, esto significa que +2 es raíz de x²+ px = q, lo cual es cierto, pero las 2 ecuaciones en general son diferentes.
Euler designo por i a √ (signo que actualmente usamos) el símbolo expresaba una idea abstracta en esa época, pero a la vez muy precisa; ¿Qué numero multiplicado por sí mismo es igual a -1? El número i obedece a todas las reglas del algebra: , , etcétera. [1]
Gauss formo el plano complejo, en donde los numero s complejos son de la forma a+bi,
con a y b elementos de ℝ.d
Definición. El sistema de los números complejos C es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) de números reales con dos operaciones binarias, adición, +, y multiplicación ·, definida como sigue:
(x, y) + (u,v) = (x +u, y+v )
(x, y) · (u, v) = (xu – yv, xv + yu)
Dos números complejos (x,y) y (u,v) son iguales, si y solo si, x= u y y= v. [1]
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos
Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales. [1]
1) a + bi = c + di si y solo si a= c y b = d 2) (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b +d) i 3) (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b - d) i
4) (a + bi)(c+di) = ac + (bc+ad)I +bdi² = (ac – bd) + (bc + ad)i
5) ( ) ( )
La suma y resta de números complejos se realiza sumando o restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí. [8]
( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
( 5 + 2 i) + ( −8 + 3 i) =
= (5 − 8) + (2 + 3)i = −3 + 5i
Multiplicación. El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =
5
División de números complejos: Sean Z₁, Z₂ , Z₂ se define la división de Z₁ con Z₂ como ₁ ₂ ₁ ̅₂ ₂ ̅₂ = ₁ ̅₂| ₂|
Ejemplo: Calcular
( )( ) ( )( )
| |
Conjugado de un numero complejo: si Z= a + bi se define y denota el conjugado de Z como Z= a – bi. El conjugado de Z se obtiene,
geométricamente, reflejando este punto sobre el eje real. [2]
1.3 Potencias de i, módulo de un número complejo.
Modulo o valor absoluto de un numero complejo: Si Z= a +bi se define el módulo de Z, también llamado valor absoluto de Z, como | | = √ ; es decir, | | no es otra cosa que la norma del vector (a,b) [1]
El módulo de un número complejo se define como la longitud del vector del plano que se obtiene como su representación gráfica. [4]
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y
su afijo. Se designa por |z|.
Z= a+ bi
r= | | √
1.4 Forma polar y exponencial de un numero complejo
1. El ángulo α que forma el vector con el eje de las abscisas, medido en sentido contrario a las agujas del reloj.
2. El módulo de (a,b) = | |
Dado cualquier punto P en el plano complejo, él está nica ente deter inado por dos coordenadas polares r donde r es la lon itud de es el ángulo edido entre el e e ori ontal . [5]
Por tanto, { ; con r = √ | | t = con 0< < , así pues Z= x+i = r Cos + i Sen = r(Cos + i Sen )
Ejemplo
Pasar a la forma polar:
z = 26 0º
1.5 Teorema de Moivre, potencias y raíces de un número complejo
Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z. El teorema de
De Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x), entonces
zn = rn(cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros
7
Ejemplo: [7]
(1 + √[3]i )⁷ convertir a la forma [a + bi] aplicando Moivre Donde
n = 7
1 – i = r [cos (α) + i sen (α) ] r = √ [ a² + b²]
α = tan⁻¹ = (b/a)
(a + bi)ⁿ = [ r ] ⁿ [cos (α)n + i sen (α)n ]
r = √ [ a² + b²] r = √ [ [1]² + [√[3]²] r = √ [1 + 3]
r = √ [4] r = 2
α = tan⁻¹ = (b/a) α = tan⁻¹ = (√[3]/1) α = 60°
r [cos (α) + i sen (α) ] 2 [cos (60°) + i sen (60°) ]
(a + bi)ⁿ = [ r ] ⁿ [cos (α)n + i sen (α)n ] (1 + √[3]i )⁷ = [2]⁷ [cos (60°)7 + i sen (60°)7 ] (1 + √[3]i )⁷ = [128] [cos (420°) + i sen (420°) ]
cos (420°) = 0.50 sen (420°) = 0.866
(1 + √[3]i )⁷ = [128] [0.50 + 0.866 i] = (1 + √[3]i )⁷ = 64 + 110.85 i
Raíces de i
Si calculamos las raíces n-ésimas de 1 y representamos sus correspondientes afijos obtenemos los vértices de un polígono regular con un número de lados igual al índice de la raíz
(
Ejemplo:
1.6 Ecuaciones polinomicas
Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene
exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema
Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los
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Aplicaciones.Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros
campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables.
En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y
en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma
donde ω representa la frecuencia an ular el n ero co ple o z nos da la
fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las
resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas).
Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en
vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente. [3]
Bibliografía:
[1]Algebra Lineal, Fernando Hitt Espinosa, Departamento de matemática educativa, centro de investigación y de estudios avanzados, Instituto Politécnico Nacional, Editorial Person Educación, México 2002, Primera edición
[2]Algebra Lineal para estudiantes de ingeniería y ciencias, Juan Carlos del Valle Sotelo, Instituto Tecnológico y de estudios superiores de Monterrey, Campus estado de México, Editorial Mc Graw Hill
