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Instituto Tecnológico de Tijuana
Subdirección Académica
Departamento de Sistemas y Computación Semestre Agosto – Diciembre 2013
Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones
Algebra Lineal 6TI3
María Eugenia Bermúdez Jiménez
Investigación
Unidad 2 Matrices y Determinantes
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Unidad 2 Matrices y Determinantes
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Matrices y determinantes
2.1 Definición de matrices
Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn números reales (o complejos) ordenados en m filas (renglones) horizontales y n columnas verticales: [1]
Diremos que A es m por n (que se escribe m × n). Si m = n, decimos que A es una matriz cuadrada de orden n, y que los números a11, a22, . . . , ann forman la diagonal principalde A. [1]
A = [aij]. Ejemplo:
4 2.2 Operaciones con matrices
Suma de matrices:
Si A = [aij] y B = [bij] son matrices de m × n, la suma de A y B da por resultado la matriz C = [cij] de m × n, definida por
cij = aij + bij (i ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n).
Es decir, C se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B.
Observe que la suma de las matrices A y B sólo se define cuando A y B tienen el mismo número de filas (renglones) y el mismo número de columnas; es decir, sólo cuando A y B son del mismo tamaño. Establecemos la convención, al escribir A + B entendemos que A y B tienen el mismo tamaño. [1]
Ejemplo:
Un fabricante de cierto producto realiza tres modelos, A, B y C. Algunas partes artes de cada uno se elaboran en la fábrica F1, ubicada en de Taiwán, y después se terminan en la fábrica F2, de Estados Unidos. El costo total de cada producto consta de los costos de manufactura y de embarque. En consecuencia, los costos (en dólares) de cada fábrica pueden describirse mediante las matrices F1 y F2 de 3 × 2: [1]
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La matriz F1 + F2 proporciona los costos totales de manufactura y embarque de cada producto. Así, los costos totales de un producto del modelo C son $200 y $40, respectivamente.
Múltiplos escalares
Si A = [aij] es una matriz de m × n y r es un número real, el múltiplo escalar de A por r, rA, es la matriz B = [bij] de m × n, donde
bij = raij (i ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n).
Es decir, B se obtiene multiplicando cada elemento de A por r. Si A y B son matrices de m × n, escribimos A +(−1)B como A − B, y denominamos a esto diferencia de A y B. [1]
Ejemplo:
Sea p = [18.95 14.75 8.60] un vector que representa los precios actuales de tres artículos almacenados en una bodega. Suponga que el almacén anuncia una venta en donde cada uno de estos artículos tiene un descuento de 20 por ciento. - Determine un vector que proporcione el cambio en el precio de cada uno de los tres artículos.
Como el precio de cada artículo se reduce 20%, en el vector
proporciona la reducción de los precios para los tres artículos.
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Observe que esta expresión también puede escribirse como p − 0.20p = 0.80p. [1]
Multiplicación de matrices:
Sean A = [ aij ] y B = [ bij ] aun cuando no sean de la misma cantidad de renglones y columnas se multiplica renglón por columna y se hace la suma y se toma como un solo valor para una fila y resulta la matriz C = [ cij ] [1]
Ejemplo:
7 2.3 Clasificación de matrices
a) Matriz cuadrada: Una matriz cuadrada tiene mismo número de columnas y filas. Ejemplo: 4 0 2 1 A 9 0 0 3 5 0 4 2 1 B
b) Matriz diagonal. Se llama matriz diagonal si todos los componentes que están fuera de la diagonal principal son cero.
Ejemplo: 4 0 0 1 A 9 0 0 0 5 0 0 0 1 B
c) Matriz identidad. Es una matriz que tiene 1’s en la diagonal principal y ceros en las demás posiciones.
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f) Matriz transpuesta. La matriz transpuesta de una matriz A de orden m x n es la matriz AT de tamaño n x m que se obtiene permutando la fila a columna. Ejemplo: A= 6 5 4 3 2 1
AT=
6 3 5 2 4 1
g) Matriz simétrica. Una matriz simétrica es simétrica si cumple con A= AT
Ejemplo: 0 3 3 1 A 0 3 3 1 T A 5 4 0 4 3 1 0 1 2 B 5 4 0 4 3 1 0 1 2 T B
h) Matríz antisimétrica. Una matriz es antisimétrica, cuando cumple con A= -AT
i) Matriz hermitiana. Si A es una matriz compleja, una matriz hermitiana debe cumplir con AT A.
9 Ejemplo: 7 2 6 5 4 2 6 5 3 2 5 4 3 2 2 i i i i i i
A , demostrar que A es una matriz hermitiana
Solución 7 2 6 5 4 2 6 5 3 2 5 4 3 2 2 i i i i i i
AT ,
7 2 6 5 4 2 6 5 3 2 5 4 3 2 2 i i i i i i AT
Como se cumple que AT A, por lo tanto A es una matriz hermitiana.
j) Matriz persimetrica
0 6 2 3 4 6 1 3 0 A
k) Matriz circulante a la derecha
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2.4 Transformaciones elementales por renglón
La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.
Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer n´umero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.
Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades: Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.
Por ejemplo, entre las matrices:
A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.
Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el número de filas no nulas de E.
En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.
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Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:
Intercambiar la posición de dos filas.
Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.
El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.
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=Teorema=
A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.
Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.
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Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.
2.5 Calculo de la matriz inversa
2.6 Definicion determinante de una matriz
El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.
En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales. El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.
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• Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular. • Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.
Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación.
En un sistema mal condicionado es difícil identificar el punto exacto en que las líneas de las ecuaciones se interceptan.
2.7 Propiedades de los determinantes
14 2.-|A|=0 Si: Posee dos líneas iguales
Todos los elementos de una línea son nulos.
Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.
F3 = F1 + F2
3.-Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal
4.-Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.
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6.-Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.
7.-Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.
8.-|A•B| =|A|•|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
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2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta
Sea A una matriz de n x n. Entonces A es invertible si y solo si detA≠0. Si detA≠0, entonces
Si detA≠0, entonces se demuestra que (1/detA)(adjA) es la inversa de A multiplicándola por A y obteniendo la matriz identidad:
17 2.9 Aplicación de matrices y determinantes
Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta número uno está dada por la matriz A.
(a) ¿Cuál es la capacidad de producción total en las dos plantas?
19 Conclusión
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[1] Algebra Lineal, 8va Edición - Bernard Kolman & David R. Hill
[2] Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias
[3] http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T06.pdf
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