Problema 1. (2.5 puntos) Regla de la Cadena

Texto completo

(1)

Problema 1.

(2.5 puntos) Regla de la Cadena

(a)

Escriba la regla de la cadena para la siguiente función (desarrollar el diagrama de árbol y desarrollar

h/

x,

h/

y,

h/

z):

ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧))

(b)

Verifique la regla de la cadena para:

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑒

𝑦

𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧𝑆𝑒𝑛(𝑥)

Y:

𝑓(𝑢, 𝑣) = 𝑢

2

+ 𝑣𝑆𝑒𝑛(𝑢)

Con:

(2)

GPL

-

Máximos y Mínimos

Problema 2.

(2.5 puntos)

Determinar las coordenadas de los puntos extremos relativos: máximos, mínimos y

puntos de silla, para la siguiente función multivariable:

20

8

4

4

)

,

(3)

LIRZ – Gradiente, Divergencia y Rotacional

Problema 3.

(2.5 puntos) Si

𝐴⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 〈3𝑥𝑧

2

, −𝑦𝑧, 𝑥 + 2𝑧〉

a).- Determine

∇×(∇×𝐴⃗)

b).- Verifique que

∇×(∇×𝐴⃗) = −∇

2

𝐴⃗ + ∇(∇ ∙ 𝐴⃗)

donde

2

𝐴⃗

es una función vectorial cuyas componentes

son

2

𝐴

𝑥

,

2

𝐴

𝑦

y

2

𝐴

𝑧

.

Resolución:

𝑟𝑜𝑡 𝐴⃗ = ||

𝑖

𝑗

𝑘

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

3𝑥𝑧

2

−𝑦𝑧

𝑥 + 2𝑧

|| = 〈𝑦, 6𝑥𝑧 − 1, 0〉

𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐴⃗ = ||

𝑖

𝑗

𝑘

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

𝑦

6𝑥𝑧 − 1

0

|| = 〈−6𝑥, 0, 6𝑧 − 1〉

𝑑𝑖𝑣 𝐴⃗ = 3𝑧

2

− 𝑧 + 2

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐴⃗ = 〈0, 0, 6𝑧 − 1〉

2

𝐴⃗ = 〈6𝑥, 0, 0〉

(4)

LIRZ – Derivada Direccional

Problema 4.

(2.5 puntos) a).- En un campo de temperaturas, el calor fluye en la dirección del decremento

máximo de la temperatura T. Encontrar su dirección en

𝑃: (

1

4

, −2,

1

2

)

cuando

𝑇 = 4𝑥

2

+ 𝑦

2

− 5𝑧

2

.

b).- Calcular

∇×(∇𝑇)

aplicado al campo escalar del inciso (a) e interprete el resultado.

Respuesta:

∇𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (8𝑥, 2𝑦, −10𝑧) → ∇𝑇 (

1

4

, −2,

1

(5)

YDA – Integrales Dobles

(6)

Problema 1.

(2.5 puntos) Regla de la Cadena

(a)

Escriba la regla de la cadena para la siguiente función (desarrollar el diagrama de árbol y desarrollar

h/

x,

h/

y,

h/

z):

ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧))

(b)

Verifique la regla de la cadena para:

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑦𝐶𝑜𝑠(𝑥)

𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑒

𝑥

Y:

𝑓(𝑢, 𝑣) = 𝑣

2

+ 𝑢𝐶𝑜𝑠(𝑣)

Con:

(7)

GPL - Maximos y Minimos

Problema 2.

(2.5 puntos) Determinar las coordenadas de los puntos extremos relativos: máximos, mínimos y

puntos de silla, para la siguiente función multivariable:

20

8

2

)

,

(8)

LIRZ – Gradiente, Divergencia y Rotacional

Problema 3.

(2.5 puntos) Si

𝐴⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 〈𝑥𝑧

2

, −2𝑦𝑧, 2𝑥 + 3𝑧〉

a).- Determine

∇×(∇×𝐴⃗)

b).- Verifique que

∇×(∇×𝐴⃗) = −∇

2

𝐴⃗ + ∇(∇ ∙ 𝐴⃗)

donde

2

𝐴⃗

es una función vectorial cuyas componentes

son

2

𝐴

𝑥

,

2

𝐴

𝑦

y

2

𝐴

𝑧

.

Resolución:

𝑟𝑜𝑡 𝐴⃗ = ||

𝑖

𝑗

𝑘

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

𝑥𝑧

2

−2𝑦𝑧

2𝑥 + 3𝑧

|| = 〈2𝑦, 2𝑥𝑧 − 2, 0〉

𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐴⃗ = ||

𝑖

𝑗

𝑘

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

2𝑦

2𝑥𝑧 − 2

0

|| = 〈−2𝑥, 0, 2𝑧 − 2〉

𝑑𝑖𝑣 𝐴⃗ = 𝑧

2

− 2𝑧 + 3

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐴⃗ = 〈0, 0, 2𝑧 − 2〉

2

𝐴⃗ = 〈2𝑥, 0, 0〉

(9)

LIRZ – Derivada Direccional

Problema 4

(2.5 puntos) a).- En un campo de temperaturas, el calor fluye en la dirección del decremento

máximo de la temperatura T. Encontrar su dirección en

𝑃: (

1

4

, −2,

1

2

)

cuando

𝑇 = 2𝑥

2

+ 2𝑦

2

− 3𝑧

2

.

b).- Calcular

∇×(∇𝑇)

aplicado al campo escalar del inciso (a) e interprete el resultado.

Resolución:

∇𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4𝑥, 4𝑦, −6𝑧) → ∇𝑇 (

1

4

, −2,

1

(10)

YDA – Integrales Dobles

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...