Ejercicios detallados del obj 8 Mat II 178

16 

Texto completo

(1)

Capitulo II Matemática II (178)

Objetivo 8. Resolver problemas donde estén involucrados conceptos relativos a costo, ingreso, ingreso marginal y elasticidad de la demanda, análisis marginal y técnicas para la construcción de la gráfica de una función.

Ejercicio 1

Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de bolívares la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el costo por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero? ¿Cuál será ese beneficio?

Solución

Justificación: En este caso nos piden que maximicemos la función beneficio, dada ciertas condiciones, por ello, en este tipo de problemas, conseguiré la(s) función(es) condición(es) y luego la función a optimizar.

Función(es) condición(es)

Como la función a optimizar es el beneficio, y ya sabemos que el beneficio viene dado por la diferencia entre el ingreso y el costo, es decir:

B= −I C

Deberemos construir para éste problemas las funciones ingresos y costo.

Sabemos que el ingreso es el producto del precio de venta por la cantidad de productos vendidos, si llamamos x al número de céntimos en los que aumenta el precio, se tendrá que el nuevo precio de venta es: 50+x y con la frase del problema: Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día, se tendrá que venderá la cantidad de 200 2x− , por lo tanto, bajo estas condiciones el ingreso del heladero será:

(50 )(200 2 )

I = +xx

Por otro lado se tiene que el gasto de obtener 200 2x− unidades es de 40 céntimos, por lo tanto el costo de esa cantidad vendida es:

40(200 2 )

C = − x

(2)

Sabemos que B= −I C, sustituyendo las funciones condiciones encontradas, se tiene:

(50 )(200 2 ) 40(200 2 )

I C x x x

B= − = + − − −

A ésta función le buscaremos los puntos críticos, pero primero la desarrollaremos, para mayor facilidad a la hora de derivarla, así:

2

10000 100 200 2 8000 80

B= − x+ xx − + x

2

2 180 2000

B= − x + x+ Ahora buscamos la primera derivada:

'

4 180

B = − +x

Ahora igualamos a cero ésta primera derivada para hallar los puntos críticos:

' 180

4 180 0 4 180 45

4 B = − +x = → x= ∴ =x =

Ahora debemos verificar que éste punto crítico es un máximo, para ello aplicaremos el criterio de la segunda derivada.

Cálculo de la segunda derivada:

' ''

4 180 4

B = − +xB = −

Al evaluar esta derivada en el punto crítico x=45, se tiene:

''

4 4

45 B

x

= − = −

=

Por lo tanto el punto x=45 es un máximo porque la segunda derivada al evaluarla es negativa.

Por lo tanto el precio de venta que maximiza el beneficio es: 50+ =x 50 45+ =95, y para este precio se tendrá el beneficio:

( )

( )

2

( )

45 2 45 180 45 2000 4050 8100 2000 6050

B = − + + = − + + =

Se tiene un beneficio de 6050 céntimos, ó 60,50 bolívares.

Respuesta: El precio de venta es: 90. El beneficio es

( )

45 6050

B = centimos.

Ejercicio 2

(3)

observa que puede incrementar en 5 Bs el precio por cada vez que renta un carro menos. Determine:

a.- La función Ingreso

b- ¿Cuántos carros debe rentar para obtener un máximo ingreso? Solución

Justificación: En este caso analizaremos cada una de las preguntas. a) Primero, daremos nombre con variables a la situación planteada, por un lado tenemos el número de carros rentados, que llamaremos q y el número de carros no rentados p, ya que nos hablan de carros rentados y no rentados. Ahora bien, para determinar el ingreso de la renta de un taxi en una hora, tenemos lo siguiente: Contamos con 40 taxis y la renta de un taxi es de Bs. 100 y se menciona que la renta de un taxi no rentado tiene un incremento de Bs. 5. De esta manera es claro que el ingreso por p taxis no rentados es de 5 p y el ingreso por la renta de un taxi es de: 100 5 p+ . El ingreso total se obtiene, multiplicando en ingreso de la renta de un taxi, por el número de taxis a rentar, es decir:

(

100 5

)

I = + p q

Como el número de taxis rentados más el número de taxis sin restar es 40, por ser el total de taxis, se tiene:

40 p+ =q

Despejando el número de carros no rentados: p=40−q Se tiene que la función ingreso es:

(

)

(

100 5 40

)

I = + −q q Desarrollando:

(

) (

)

2

100 200 5 300 5 300 5

I = + − q q= − q q= qq En fin, se tiene que la función ingreso es: 2

5 300

I = − q + q

b) Como nos piden maximizar el ingreso, deberemos buscarle a ésta función los puntos críticos, así:

Derivando:

'

10 300 I = − q+

(4)

' 300

10 300 0 10 300 30

10 I = − q+ = → q= ∴ =q =

Ahora debemos verificar que éste punto crítico es un máximo, para ello aplicaremos el criterio de la segunda derivada.

Cálculo de la segunda derivada:

' ''

10 300 10

I = − q+ → = −I

Al evaluar esta derivada en el punto crítico q=30, se tiene:

''

10 10

30 I

q

= − = −

=

Por lo tanto el punto q=30 es un máximo porque la segunda derivada al evaluarla es negativa.

Como se rentan 30 taxis, de p=40−q se tiene que no se rentan 10 taxis, porque p=40 30− =10.

El ingreso de rentar un taxi es: 100 5+ p=100 5(10)+ =100 50+ =150 Respuesta:

a) La función Ingreso es: 2

5 300

I = − q + q

b) Se deben rentar 30 taxis para obtener un ingreso máximo. Ejercicio 3

Supongamos que el costo de producción en bolívares de un número x de material instruccional para una asignatura de la Universidad Nacional Abierta está dado por la función: 2

( ) 100000 100 C x = + x . Determinar:

a) La función costo marginal

b) El costo marginal en el nivel correspondiente a 3000 unidades de producción Solución

Justificación:

a) El costo marginal, no es más que la primera derivada, por lo tanto la función costo marginal es:

'

( ) 200 C x = x

b) El costo marginal para el nivel de x=3000, es simplemente sustituir este valor en la función costo marginal ya obtenida, así:

(

)

'

(3000) 200 3000 600000

(5)

Respuesta:

a) La función costo marginal es: '

( ) 200 C x = x.

b) El costo marginal para el nivel x=3000 es: Bs. 600000 Ejercicio 4

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es

2

10p+ +x 0, 01x =700 y la función de costo es 2

( ) 1, 000 0, 01

C x = + x . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para:

a) x=100 unidades b) p=10 Bs/unidad. Solución

Justificación: La utilidad marginal, es simplemente la derivada de la función utilidad, que no es más que la diferencia entre el ingreso y el costo, es decir:

U = −I C

En este caso, ya tenemos la función costo, a saber:

2

( ) 1, 000 0, 01

C x = + x , pero debemos calcular la función ingreso que es: I = px

De la ecuación de la demanda para el producto de un fabricante despejaremos p, así:

2

2 2 700 0, 01

10 0, 01 700 10 700 0, 01

10

x x

p+ +x x = → p= − −x x ∴ =p − − Podemos simplificar esta expresión, así:

2 2

2

700 0, 01 700 0, 01

70 0,1 0, 001

10 10 10 10

x x x x

p= − − = − − = − xx

Sustituyendo en la ecuación de ingreso, se tiene:

(

2

)

2 3

70 0,1 0, 001

70 0,1 0, 001

I px x x x

I x x x

= = − −

= − −

Por lo tanto la función utilidad es:

(

)

2 3 2

70 0,1 0, 001 1, 000 0, 01 U = − =I C xxx − + x

2 3 2

3 2

70 0,1 0, 001 1, 000 0, 01 0, 001 0,11 70 1, 000

U x x x x

U x x x

= − − − −

= − − + −

(6)

' 2

0, 003 0, 22 70 U = − xx+

Para el apartado “a” en x=100, se tiene que la utilidad marginal es:

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

2 ' ' ' ' '

100 0, 003 100 0, 22 100 70

100 0, 003 10000 22 70

100 30 22 70

100 52 70

100 18 U U U U U = − − + = − − + = − − + = − + =

Para el apartado “b” donde p=10, debemos sustituir este valor en la función: 10p+ +x 0, 01x2 =700, y despeja equis de ésta, para luego sustituirla en la función utilidad marginal, así:

( )

2

10 10 + +x 0, 01x =700

2

100+ +x 0, 01x =700

2

0, 01x + +x 100 700− =0

2

0, 01x + −x 600=0

Hemos llegado a una ecuación de segundo grado, que resolveremos con la fórmula de la resolvente de una ecuación de segundo grado, así:

2

2 4

0 0,01 1 6

2 00

x x x c

a

b b a

− ± − + − = → =

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

2 1 2 4 2

1 5 6(100)

300 2

5

1 5 4(10

0, 01 0, 04

2

0, 01 0, 02

100 2 100 2 2 1 600

00 100 2

100

600

1 1 1 1 1 1 24

1 2 0) 200 2 5 1 x x x x − ± − − ± − ± = = = = − − −  = = = −   − ± − ±  = = = − +  = = = −    + +      

Descartamos el valor negativo porque no tiene sentido vender −300 unidades, por lo tanto evaluaremos nuestra función utilidad marginal en

(7)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

2 '

'

'

'

100 0, 003 200 0, 22 200 70

100 0, 003 40000 44 70

100 120 26

100 94 U

U U

U

= − − +

= − − +

= − + = − Respuesta:

a) U'

( )

100 =18 Bs/unidad adicional. b) U'

( )

100 = −94 Bs/unidad extra.

Ejercicio 5

La ecuación de la demanda 300 50

q

p e

= donde q≥0. Si la función de costo es: c q

( )

=350 nL

(

q+ +1

)

400 donde q≥0, obtenga:

1) La función de beneficio

2) La función de beneficio medio 3) La función de beneficio marginal

4) La tasa con la cual varía el beneficio en un nivel de producción. Solución

Justificación:

1) la función beneficio es: B= −I C, y la función ingreso es: I = pq, por lo tanto la función ingreso es: 300 50

q I qe

= , por ende la función beneficio es:

(

)

(

)

(

)

50

50

300 350 n 1 400

300 350 n 1 400

q

q

B qe L q

B qe L q

= − + +

= − + −

2) La función de beneficio medio viene expresada por el cociente: B

B q =

(8)

(

)

(

)

50 50

300 350 n 1 400 300 350 n 1 400

300

q q

qe L q L q

B qe

B

q q q q

q B − − − + − + + = = = − = 50 q e q

(

)

50

(

)

350 n 1 400 350 n 1 400

300

q

L q L q

e

q q

+ + + +

− = −

3) La función beneficio marginal es la primera derivada de la función beneficio, así:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

' ' '

' 50 50

'

' 50 50

' 50 50

' 50 50

1

300 300 350

1

1

300 300 350

50 1

1 1

300 300 350

50 1 350 6 300 1 q q q q q q q q q

B q e q e

q q

B q e e

q

B q e e

q

B qe e

q − − − − − − − −     + =   +  − +       −   =   +  − +     −   =   +  − +     = − +  − +  

4) La tasa con la cual varía el beneficio en un nivel de producción “a” no es más que el beneficio marginal evaluado para éste nivel (x=a), así:

( )

' 6 50 300 50 350

1

a a

B a ae e

a = − +  − +   Respuesta:

1) 300 50 350 n

(

1

)

400

q

B qe L q

= − + −

2) 300 50 350 n

(

1

)

400

q L q

B e

q

+ +

= −

3) ' 6 50 300 50 350

1

q q

B qe e

q

= − +  −

+

 

4) '

( )

6 50 300 50 350

1

a a

B a ae e

a = − +  − +   Ejercicio 6

Un empresario ha determinado que el costo total C de funcionamiento de su fábrica es: C q( )=0, 5q2+15q+5000 donde q es el número de unidades fabricadas. ¿A qué nivel de producción es mínimo el costo medio por unidad?

(9)

Justificación: Primero determinamos la función costo medio:

2 2

2

( ) 0, 5 15 5000 0, 5 15 5000

( )

0, 5 ( )

C q q q q q

C q

q q q q q

q C q

+ +

= = = + +

= q

15 q +

q

5000 5000

0, 5q 15

q q

+ = + +

Para determinar donde el costo medio es mínimo, igualamos a cero la primera derivada del costo medio, así:

( )

'

2

5000 ( ) 0, 5

C q

q

= −

2

2 2 2

2 2

5000 0, 5 5000 5000

0, 5 0 0 0, 5 5000 0 0, 5 5000

0, 5 q

q q q

q q

− = → = → − = → = → =

2

10000 10000 100

q = → =q ∴ =q

Ahora debemos determinar si este punto ciertamente es mínimo, para ello utilizare el criterio de la segunda derivada.

La segunda derivada es:

( )

'

( )

''

2 3

5000 10000

( ) 0, 5 ( )

C q C q

q q

= − → =

Evaluando esta segunda derivada en el punto crítico: q=100, se tiene:

(

)

''

3 3

10000 10000

(100) 0

100 C

q

= = >

Como la segunda derivada evaluada en el punto crítico q=100 es POSITIVA se concluye que el punto crítico q=100 es un mínimo.

Respuesta: En el nivel de producción q=100, es mínimo el costo medio por unidad.

Ejercicio 7

La función de la demanda de un cierto bien en un mercado de competencia está dada por la relación 2

400 0, 5

q= − p . Determina si la demanda es elástica, inelástica o ni lo uno ni lo otro para p=20.

Solución

(10)

La elasticidad se determina a través de la ecuación:

'

p dq p q q dp q

η

=  =

  i

Se observa que necesitamos la derivada q', por lo tanto:

( )

2 '

400 0, 5 2 0, 5

q= − p → = −q p= −p Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad, se tiene:

( )

2

400 0, 5

p dq p

p

q dp p

η

=  = −

  i

2

2

400 0, 5 p

p

η

= −

− Para p=20, se tiene:

( )

( )

( )

2

2

20 400 400 400

2 400 0, 5 400 400 200 200 400 0, 5 20

η

= − = − = − = − = −

− −

Ahora extraemos el valor absoluto de la elasticidad, así:

η

= − =2 2. Finalmente comparamos este valor absoluto con la unidad, en este caso:

2 1

(11)

Por lo tanto concluimos que la demanda para p=20 es elástica. Respuesta: La demanda para p=20 es elástica.

Ejercicio 8

Si la función de beneficio asociada a cierto bien viene expresada por: 3

2 10000

( ) ( 1) 0

B q Ln q q

q

= + >

Determinar:

a. La función de beneficio marginal

b. El beneficio medio correspondiente a q = 40. Solución Justificación:

a) La función beneficio marginal, no es más que la derivada de la función beneficio, así:

(

)

(

)

'

'

3 ' 3 3

2 2 2

10000 10000 10000

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)

B q Ln q B q Ln q Ln q

q q q

   

= + → =  + +  +

   

3 '

' 3

3 2 3

20000 10000 ( 1)

( ) ( 1)

( 1)

q

B q Ln q

q q q

    + = − + +   +    2 ' 3

3 2 3

20000 10000 3

( ) ( 1)

( 1)

q

B q Ln q

q q q

    = − + +   +    ' 3 3 2 20000 10000

( ) ( 1)

B q Ln q

q q = − + + 2 3 q      

  (q3 1)

     +    ' 3 3 3 20000 30000

( ) ( 1)

1

B q Ln q

q q

= − + +

+

b) La función beneficio medio viene dada por: 3 2 3 3 10000 ( 1)

( ) 10000

( ) ( 1)

Ln q

B q q

B q Ln q

q q q

+

= = = +

Por lo tanto, el beneficio medio para q=40, es: 3

3

10000 10000 10

(40) (40 1) (64000 1) (64001)

40 64000 64

B = Ln + = Ln + = Ln =

5

(40) (64001) 1, 73 32

B = Ln

Respuesta:

a) ' 3

3 3

20000 30000

( ) ( 1)

1

B q Ln q

q q

= − + +

(12)

b) B(40) 1, 73≈

Ejercicio 9

La ecuación de demanda de un cierto bien es p=400 2− q, mientras que la función costo es C q( )=q2+20q+2000,

0

q≥ . Determina:

a. El costo mínimo. b. La función Ingreso. c. La función beneficio.

Solución Justificación:

a) Para calcular el costo mínimo, debemos derivar una vez e igualar a cero para obtener los puntos críticos, así:

'( ) 2 20

C q = q+

Sabemos que q≥0, por lo tanto se observa claramente que '( ) 2 20

C q = q+ , siempre es positiva, por lo tanto la función siempre es creciente, así, función C q( )=q2+20q+2000 alcanza su menor valor en

0

q= , y éste vale:

( )

2

(0) 0 20 0 2000 2000

C = + + =

b) La función ingreso viene dada por: I= p q. , y como sabemos que 400 2

p= − q se tiene:

(

400 2

)

. 400 2 2

I = − q q= qq

c) La función beneficio viene dada por:

B= −I C

Por lo tanto:

(

)

2 2

2 2

2

400 2 20 2000

400 2 20 2000

3 380 2000

B q q q q

B q q q q

B q q

= − − + +

= − − − −

= − + −

Respuesta:

a) Cmin =2000

b) 2

400 2

I= qq

c) 2

3 380 2000

B= − q + q

(13)

Suponga que la demanda q y el precio p de cierto artículo se relacionan mediante la ecuación lineal q=240 2− p si 0≤ ≤p 120.

a) Exprese la elasticidad de la demanda como una función de p

b) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es p=50. Explique su respuesta.

Solución

Justificación: La elasticidad viene dada por la expresión:

'

p dq p q q dp q

η

=  =

  i

Así:

a) Calculando la derivada de q, se tiene: '

240 2 2

q= − p→ = −q

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad:

( )

2

(

2

)

2

2

240 2 240 2 2 120

p p p

p p p

η

= − = − = − = −

− i − − − 2

p

(

120

)

120 p p p− = − b) Cuando p=50, la elasticidad tiene el valor:

( )

50 50 5

50 0, 71

50 120 70 7

η

= = = − ≈ −

− −

Es decir, cuando el precio es igual a 50, un incremento del 1 por ciento en el precio, generará una disminución de 0; 71 por ciento en la demanda aproximadamente.

Respuesta: a)

120 p p

η

= −

b) Para p=50 la elasticidad es:

η

( )

50 ≈ −0, 71.

(14)

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura, justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre dando justificación y luego la respuesta.

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1

La función de costo asociada a la producción de cierto bien es una función cuadrática. El costo fijo de producción es: 207360 u.m. En el nivel de producción correspondiente a

72

unidades se igualan el costo marginal y el costo medio. Además la tasa de crecimiento del costo en el origen es de: 48 u.m/u.p. Obtenga:

a) La función de costo.

b) La velocidad instantánea de crecimiento del costo en el nivel: q=75 unidades.

c) La función de costo medio. d) La función de costo marginal.

Ejercicio 2

La ecuación de la demande de un cierto bien es:

( )

500 0, 5 0 q 650

1800 1, 5 650 q 1000 q

P q

q

+ ≤ ≤

=

− < ≤

El costo fijo de producción es 2600. Cuando se producen 650 unidades el costo medio de producción es 30 .

. u m

u p. La velocidad instantánea con la cual crece el costo es la misma independientemente del nivel de producción. Obtenga:

a) La función de beneficio

(15)

Ejercicio 3

La ecuación de la demanda de un cierto bien es p = 80q2 − 0.1q Si la función de costo es C(q) = q Ln(q+1) + 50, q ≥ 0. Obtén las funciones de Costo y Beneficio Marginal.

Ejercicio 4

Si la ecuación de la demanda de un cierto producto es p = q2 − 150q + 7 200, q ≥ 20. Determina el número de unidades q a producir para que el ingreso sea mínimo.

Ejercicio 5

Si la ecuación de la oferta de un cierto bien es: p = 3 2s3+10s+1 , s ≥ 0.

Determina la elasticidad de la oferta.

Ejercicio 6

Suponga que el costo en bolívares fuerte de producir x lavadoras es C(x)=2000 + 100x - 0,1x2.

Calcular:

a) El costo promedio por máquina al producir las primeras 100 lavadoras.

b) El costo marginal cuando se producen 100 lavadoras. Ejercicio 7

La función costo asociada a la producción de cierto bien es una función cuadrática. El costo fijo de producción es 10 500 u.m. En el nivel de producción correspondiente a 10 unidades son iguales el costo marginal y el costo medio. Además la tasa de crecimiento del costo en q = 0 es igual 100 u.m./u.p.

A continuación hacemos algunas afirmaciones relacionadas con el enunciado. Indica con una V o una F en el espacio correspondiente, según que la afirmación hecha sea verdadera o falsa, respectivamente.

a. La función costo viene dada por la expresión: C(q) = 1050q2 + 100q+1050 _____

(16)

La función costo medio está dada por la expresión: C(x) = 105q + 100 +

q 10500

_____

Ejercicio 8

Si la función de costo medio de un determinado bien es la función: )

q (

C = 80q + 21q2 + 20150 q1/2 q ≥ 0 Calcula la función de costo marginal.

Ejercicio 9

El ingreso medio de cierto bien viene expresado de la siguiente manera: (q)

I = 9 1

q1/3 + 3 28

1 q

1

+ q ≥ 0. Obtén:

a. La función de ingreso b. El ingreso medio en q = 27.

Ejercicio 10

El costo de un bien está dado por la relación: C(q) = 200q3 − 15q2 + 1500q, 0 ≤ q ≤ 5 000. Si la ecuación de la demanda es p = 5(q − 200)2

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Descargar ahora (16 pages)