Ejercicios Adicionales “Segundo Parcial”

11 

Texto completo

(1)

1111....---- Si , , son LI, determine si

,

,

2

son LI.

SOLUCION: SOLUCION: SOLUCION: SOLUCION:

Debemos probar que para

%& ' (& ' )& 2 ' * &0,0,0' Se debe tener % * ( * ) * 0 ¿?

Veamos: Reorganizamos y tenemos que

&% ( )' &% ( 2)' ) * &0,0,0' Por hipótesis , , son LI luego se tiene que

7% ( 2) * 0% ( ) * 0 ) * 0

Del sistema se obtiene % * ) * ( * 0 luego los vectores si son LI.

2.-

(7pts) Dado

: * &2;

<

; 2', &;

<

2;', &5;

<

5; 2', & ;

<

3; 2'

, considere

? * @AB&:'

. Determine si el polinomio

C&;' * ;

<

; 2

pertenece a W subespacio de

D

<

y encuentre la dimensión de W.

SOLUCION.

Para conocer si pertenece o no debe cumplir la condición de Combinación Lineal, es decir.

&;< ; 2' * %&2;< ; 2' (&;< 2;' )&5;< 5; 2' E& ;< 3; 2' Reorganizando las variables tenemos

;< ; 2 * ;<&2% ( 5) E' ;&% 2( 5) 3E' &2% 2) 2E' De la igualdad de polinomios se tiene el siguiente sistema de ecuaciones

(2)

En un principio el sistema tiene Infinitas soluciones dado que hay más incógnitas que ecuaciones sin embargo hay que verificar este hecho haciendo la reducción de Gauss.

F21 1 52 5 1 13 1

2 0 2 2 2G HHI↔HK

L→N<HL HK→HKO<HI

HL→HLOHI

PQQQQQQR F10 5 15 52 5 3 11

0 2 6 2 0G HK→NTHK

HL→HLO<HK

PQQQQQQR

U V W

1 2 5 3 1

0 1 3 1 15

0 0 0 0 25 XY

Z

Del sistema se tiene entonces que 0 *<T [\]:^ luego el vector no pertenece al subespacio.

Para la dimensión debemos saber si son linealmente independientes luego

&0;< 0; 0' * %&2;< ; 2' (&;< 2;' )&5;< 5; 2' E& ;< 3; 2'

Lo cual queda

7% 2( 5) 3E * 02% ( 5) E * 0 2% 2) 2E * 0

Y haciendo la misma reducción anterior se tendrá

F10 12 5 3 1 03 0

0 0 0 0 0 G

Se tiene que: ( * 3) E _ % * E ) Infinitas soluciones, luego no es base. Para buscar la base, determinamos cual es el espacio que se genera. Para ello

&\;< `; a' * %&2;< ; 2' (&;< 2;' )&5;< 5; 2' E& ;< 3; 2'

El sistema queda

7% 2( 5) 3E * `2% ( 5) E * \ 2% 2) 2E * a

Haciendo de nuevo la reducción gaussiana se tiene

F10 1 3 1 0 2 5 3 0

0 0 0 0 4\ 5a 2` G

Se debe cumplir que 4\ 5a 2` * 0 ⇒ a *N

(3)

Y tenemos

\;< `; a * \&;<' `; 1

5 &4\ 2`' * \ d;< 45e ` d; 25e

Luego se obtiene que ? * @AB df;< gTh f; <The Los vectores son LI y entonces

`ijAk* ld;< 45e , d; 25em _ n&?' * 2

3.

- (6pts) Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando

claramente su respuesta.

a)

El conjunto generado por los vectores

&2, 1,4' _ &5,2,1'

está contenido en el plano de

ecuación

; 2_ o * 0

.

SOLUCION.

ALERTA¡¡ Son VECTORES, no son puntos, si alguna vez se le ocurrió sustituir los vectores en la

ecuación del plano ESTA MALO, y tiene cerapio.

Para determinar si el conjunto que generado por los vectores está en el plano podemos primero buscar este conjunto para ello

p_;

oq * % F

2 1

4 G ( F

5 2

1G ⇒ 7

2% 5( * ; % 2( * _ 4% ( * o

Reducimos el sistema mediante Gauss

F 2 5 ;1 2 _

4 1 oG

HK→<HKrHI HL→HLO<HI

PQQQQQQR F2 50 9 ; 2_;

0 9 o 2;G

HL→HLrHK

PQQQQQR F2 50 9 ; 2_;

0 0 o ; 2_G

El conjunto generado será: o ; 2_ * 0 donde o * ; 2_

Sustituyendo esto en el plano

; 2_ &; 2_' * ; ; 2_ 2_ * 0

(4)

4.-

(6pts) Dados dos vectores

tttu _

N

ttttu

<

de un espacio vectorial V. demuestre que

@AB

tttu,

N

ttttu

<

es un subespacio vectorial de V.

SOLUCI SOLUCI SOLUCI SOLUCION.ON.ON. ON.

Demostramos los tres axiomas del subespacio. Sea w * @AB& N, <'

i.- Sabemos que 0 * 0 N 0 < luego 0 ∈ @AB& N, <' luego w y ∅

Sea \, ` ∈ w _ % ∈ { implica \ * %N N (N < _ ` * %< N (< <

ii.- \ `

\ ` * &%N N (N <' &%< N (< <' * &%N %<' N &(N (<' <

Luego &\ `' ∈ @AB& N, <' ⇒ &\ `' ∈ w

iii.- |\

|\ * |&%N N (N <' * |%N N |(N <

Luego |\ ∈ @AB& N, <' ⇒ |\ ∈ w

De i' ii' iii' se concluye que H es un subespacio vectorial. Nota: FUME verdad ¡¡

5555....---- Considere el triángulo con vértices \&1,2,3); `&3,1,4); a& 1,1,0). Sea L la recta que

contiene el segmento \`

………… y sea P el punto de L tal que el segmento aD

………… es perpendicular a L.

Halle el vector W cuyo extremo inicial esta en C y su extremo final está en el punto P.

SOLUCION. SOLUCION. SOLUCION. SOLUCION.

Realizamos, la siguiente operación &teorema); \a * &2,1,3); \` * &2, 1,1)

* \a Cˆ‰ Š‹\a ⇒ * &2,1,3) &2,1,3)&2, 1,1)‖1 4 1‖ &2, 1,1)

* &2,1,3) d66e &2, 1,1) ⇒ * &0,2,2)

(5)

6666....---- Dado el espacio vectorial {

g

* &;

N

, ;

<

, ;

, ;

g

' / ;

∈ { Sean

N

= &2,1,0,3';

<

= &−1,1,1,1', W=@AB

N

,

<

a.- Diga si el vector = &1,1,2,5' pertenece a W.

b.- Halle todos los vectores, ∈ ?, tales que el producto escalar . &1,0,1,0' = 4

SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION

a.- Comprobamos la hipótesis de combinación lineal.

&1,1,2,5' = %&2,1,0,3' + (&−1,1,1,1' ; •

1 = 2% − ( 1 = % + (

( = 2 3% + ( = 5 No se cumple las ecuaciones para los valores de %, (, por lo tanto no pertenece. b.- Dada la hipótesis ∈ ?; = &;, _, o, '

&;, _, o, ' = %&2,1,0,3' + (&−1,1,1,1' Luego nos pide que . &1,0,1,0' = 4, entonces.

‘%&2,1,0,3' + (&−1,1,1,1'’. &1,0,1,0' = 2% = 4 ⇒ % = 2

Luego u será entonces, = &4 − (, 2 + (, (, 6 + ('

7777....---- Sea r la recta representa por

_ − 2

3 =

; − 1

2 = o + 1

a.- Halle la ecuación del plano π que pasa por el origen y es perpendicular a r.

b.- Si A es el punto intersección de la recta r con el plano π, halle la ecuación del

plano que pasa por el origen, pasa por A y es paralelo al vector = &1,2, −1'

SOLUCION. SOLUCION. SOLUCION. SOLUCION.

(6)

a.- El plano es perpendicular a la recta luego B = % – ⇒ B = &2,3,1', pasa por el punto &0,0,0' y dada la ecuación del plano.

^D. B = 0 ⇒ &;, _, o'&2,3,1' = 0 ⇒ 2; + 3_ + o = 0

b.- Hallamos el punto A de intercepción entre el plano y la recta: La ecuación de la recta en forma paramétrica es

7; = 1 + 2—_ = 2 + 3—

o = −1 + — ; 2; + 3_ + o = 0 ; 2&1 + 2—' + 3&2 + 3—' + &−1 + —' = 0 Resolviendo t se obtiene que — = −1/2

Sustituimos en la ecuación paramétrica y obtenemos \ f0,N<, −•<h.

Para hallar la ecuación del plano se debe cumplir que

B1 = ; ^\, j˜AB™‰ ^\ = &0,1, −3' = &1,2, −1' Se obtiene que B1 = &−5,3,1', entonces el plano pedido será

&;, _, o'&−5,3,1' = 0 ⇒ −5; + 3_ + o = 0

8.

8.

8.

8.---- Considere el espacio vectorial D

<

= C&;' = i

+ i

N

; + i

<

;

<

: i

, i

N

, i

<

∈ { , con las

operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares reales.

¿Para qué valores de a,b,c se tiene que?

i + œ; + •;

<

∈ @AB&1 + 2; + ;

<

, 2 + ;

<

'

SOLUCION. SOLUCION.SOLUCION. SOLUCION.

Se debe cumplir por teoría de combinación lineal.

i + œ; + •;<= %&1 + 2; + ;<' + (&2 + ;<'

Reorganizando se tiene entonces que

i + œ; + •;<= &% + 2(' + &2%'; + &% + (';< ; 7% + ( = •2% = œ

(7)

Se obtiene los siguientes resutados.

% =œ2 ; ( = • −œ2 ; ¡ = −¢ + £¤

Esta es la relación que se debe cumplir para que el vector sea generado por el conjunto.

9999....---- &Parcial 2007' Considere el espacio vectorial D

= C&;' = i

+ i

N

; + i

<

;

<

+

i

;

: i

, i

N

, i

<

, i

∈ { , con las operaciones usuales de suma y multiplicación por

escalares reales. Sea:

w = C&;' ∈ D

: C&3' = 0 _ C

¥

&3' = 0

a.- ¿Es H un subespacio de D

?

b.- Pruebe que ¦ = &; − 3'

<

, &; − 3'

es subconjunto de H.

SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION

a.- Sea C&;' = &; − 3'• ; C&3' = 0 C¥&3' = 0 – A@‰ C&;' ∈ w => w ≠ ∅

Sea D&;'¨&;' ∈ w _ % ∈ {

ii.- D&;' + ¨&;'; ‘D&;' + ¨&;'’&3' = D&3' + ¨&3' = 0 + 0 = 0,

‘D&;' + ¨&;'’¥&3' = D¥&3' + ¨¥&3' = 0 + 0 = 0 luego D + ¨ ∈ w

iii.- %D&;'; &%D&;'&3' = %D&3' = %&0' = 0 ; ‘%D&;'’¥&3' = %D¥&3' = %&0' = 0

H es subespacio vectorial.

b.- Los dos vectores presente en el subconjunto cumple la condición del subespacio por ello se tiene que ¦ es un subconjunto de H.

10

10

10

10....---- Sea r la recta que pasa por los puntos D&1,0,1'_ ¨&0,2,3' y sea π el plano de ecuación

; + _ + o = 11. Si A es el punto intersección de la recta r con el plano π, halle una

representación paramétricas de la recta que pasa por A y es perpendicular a π.

(8)

SOLUCION. SOLUCION.SOLUCION. SOLUCION.

La solución es: 7; = −2 + —_ = 6 + — o = 7 + —

11

11

11

11....---- Tenemos dos rectas ]

N

_ ]

<

dadas por las siguientes ecuaciones simétricas:

]

N

: ; − 2 =

_ − 2

3 = −

&o + 1'

]

<

: − &; − 2' =

_ − 2

3 =

o + 1

4

a.- Halle la intersección de ambas rectas

b.- Calcule el coseno del ángulo que forman entre si sus vectores directores.

c.- De una ecuación para el plano que contiene a ambas rectas.

SOLUCION. SOLUCION. SOLUCION. SOLUCION.

a.- Se debe cumplir que:

]N; &;, _, o' = &2,2, −1' + —&1,3, −1' ]<; &;, _, o' = &2,2, −1' + j&−1,3,4'

Sean iguales, despejando la igualdad se cumple para — = j = 0 ⇒ \&2,2, −1' b.- Despejamos de la definición del producto punto.

]N. ]<

‖]N‖‖]<‖ = cos&%' ⇒ cos&%' =

&1,3, −1'&−1,3,4'

√11√26 ⇒ cos&%' = 4 √11.26 c.- Debemos buscar un vector perpendicular a ambas rectas, se tiene que:

B = ]N;]<⇒ B = &15, −3,6' ⇒ &; − 2, _ − 2, o + 1'&5, −1,2' = 0

5; − _ + 2o = 6

****....---- Encuentre todos los valores de ˆ ∈ { que hacen que los vectores = &0, −1,1'; =

&1,1,0' _ = &4, −2,2ˆ' no sean coplanares.

Para que sean coplanares Para que sean coplanares Para que sean coplanares

Para que sean coplanares ¬. &-®¯' = ° Respuesta.

Respuesta.Respuesta.

(9)

12

12

12

12....---- Sea ? = ±\ ∈ ²

<³<

: \ f0 2

2 0h = f

0 2

2 0h \´ demuestre que es un subespacio vectorial

y además halle un conjunto generador.

SOLUCION. SOLUCION.SOLUCION. SOLUCION.

a.- Sea \ = f1 00 1h ; \ ∈ ? ⇒ ? ≠ ∅

Sea \, ` ∈ ? _ % ∈ { ii.- \ + `;

&\ + `' f0 22 0h = \ f0 22 0h + ` f0 22 0h = f0 22 0h \ + f0 22 0h ` = f0 22 0h &\ + `'

Luego \ + ` ∈ ?

iii.- %\; %\ f0 22 0h = % f0 22 0h \ = f0 22 0h %\, – A@‰ %\ ∈ ?

W es un subespacio vectorial.

b.- Veamos cómo son las matrices que pertenece a W. Sea \ = fi œ• ™h se tiene que:

fi œ• ™h f0 22 0h = f0 22 0h fi œ• ™h ⇒ f2œ 2i2™ 2•h = f2i 2œh 2• 2™

Se tiene entonces que • = ™ ; i = ™, por lo tanto

\ = fi œ• ™h ∈ ? ⇒ \ = fi œœ ih = i f1 00 1h + œ f0 11 0h

Concluimos que

\ = @AB ±f1 00 1h , f0 11 0h´

13

13

13

13....---- Determine si los vectores general a el espacio vectorial dado

µB {

F

1

2

3

G ; F

−1

2

3

G ; F

5

2

3

G

(10)

SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION

Veamos si cumple la condición de conjunto generador, sea p_; oq∈ {

, se tiene que

p;_

oq = % F

1 2

3G ( F

1 2

3 G ) F

5 2 3G

Se forma el sistema, con la matriz ampliada

F12 2 2 _1 5 ;

3 3 3 oG →

U V W

1 1 5 ;

0 1 2 _ 24

0 0 0 o6 _2 XY

Z

El sistema tendrá solución solo para o −3_ * 0, entonces no genera el espacio. Ya que se debe cumplir esta condición, solo genera un espacio que podemos denotar

w = ·p;_ oq∈ {

: o =3_¸

11114444....----

¿Se puede generar ²

<<

con matrices invertibles?

SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION

SI, sea las matrices

f1 00 1h ; f1 00 1h ; f0 11 0h ; f 0 11 0h

Probemos que

fi œ• ™h = % f1 00 1h ( f1 00 1h ) f0 11 0h ¹ f 0 11 0h

Resolvemos y obtenemos que

% =i + ™2 ; ( =i − ™2 ; ) =œ + •2 ; ¹ =œ − •2

(11)

12.

12.

12.

12.---- Considere las rectas l1 y l2 encuentre los puntos más cercanos en cada recta y la distancia

entre ambos.

N

:

; − 1 = _ − 1 =

o − 1

2 ∶ –

<

:

1 − ; = 2 − _ =

o −

2

3

SOLUCION.

SOLUCION. SOLUCION. SOLUCION.

Sea los vectores directores de las rectas dadas: N* &1,1,2' _ <* & 1, 1,2'. Para hallar la distancia

buscamos un vector normal.

B * N; < ⇒ »

˜ ¼ |

1 1 2

1 1 2» * 4˜ 4¼ 0| *§ B * &1, 1,0' Buscamos los puntos perteneciente a las rectas sea ¾ ∈ –N _ µ ∈ –<∶ ¾&1,1,1' µ&1,2,3'

Formamos el vector que pasa por estos puntos: ¾µ * &0,1,2'

Para la distancia se tiene que proyectar el vector DE sobre el vector n y se calcula el modulo ™ * |Cˆ‰_À¾µ| *|¾µ. B|‖B‖ ⇒ ™ * √21 *§ ™ *√22

Ahora para determinar los puntos más cercano, se sabe que estos puntos son lo que pasan por un vector ortogonal y precisamente será el vector que representa la distancia. Tenga en cuenta que si dos rectas no se intercepta la distancia de esta será la mínima distancia que separan a los puntos más cercanos. Luego representamos cualquier punto de las rectas sea

\ ∈ –N∶ \: p

; _ oq * F

1 1 1G — F

1 1

2G ` ∈ –<: `: p ; _ oq * F

1 2 3G j F

1 1 2 G El vector que representa de A a B será

`\ * \ ` ⇒ F01 2G — F

1 1 2G j F

1 1

2 G ⇒ — F 1 1 2G j F

1 1

2G F 0 1 2G

Ahora como establecimos anteriormente este vector debe ser normal luego será paraleloparaleloparaleloparalelo a n determinado anteriormente. OJO P A R A L E L O. revise la condición de paralelismo

— F11 2G j F

1 1

2G F 0 1

2G * % F 1

1

0G ⇒ — F 1 1 2G j F

1 1

2G % F 1 1 0 G * F

0 1 2G

Se tiene un sistema de tres ecuaciones tres incógnitas, se resuelve y se tiene que — *•g % *N< j * Ng

Luego sustituimos los valores de t y s para hallar los puntos más cercanos correspondientes a cada recta

\ *14 F77

10G ` * 1 4 F

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Descargar ahora (11 pages)