CAPITULO 5 Sistemas de Part´ıculas

Texto completo

(1)

CAPITULO 5

Sistemas de Part´ıculas

Geburt, und Paarung, und Tod. Das ist alles, was besteht, wenn’s um’s Ganze geht: Geburt, und Paarung, und Tod.

T.S. Elliot

(Imagen tomada de rese˜na de la exposici´on

”K¨orperwelten”, del cirujano Gunther von Hagens.)

5.1

Sistemas de Part´ıculas. Centro de Masas

Definimos a un

sistema de

N

part´ıculas

como un conjunto deN tr´ıadas de coordenadas DEF.

(xi, yi, zi) en R3, en dondei= 1,2,· · ·, N, para el cual asociamos con la i-´esima tr´ıada a la masa

inercialmi.

Para estudiar el comportamiento mec´anico de un sistema de N particulas partimos del estudio de sus posiciones por medio de los vectores de posici´on�ri(t) = xi(t)ˆi+yi(t)ˆj +zi(t)ˆk.

Usamos como base la segunda ley de Newton para describir el movimiento de cada particula

Fi = ˙�pi, i= 1,2,· · ·, N (5.1)

en donde F�i es la fuerza neta actuado sobre la part´ıcula i-´esima y �pi =mi�vi es la

cantidad

de movimiento lineal

o

momento

de la part´ıcula i-´esima con masa inercial mi y

velocidad�vi = ˙�ri. Otra manera de llamar al momento lineal es

´ımpetu

. Este es un conjunto DEF.

de 3N ecuaciones escalares.

(2)

Para el an´alisis subsecuente es de gran utilidad la definici´on del vector de posici´on del

centro de masas

como el lugar geom´etrico

�rC.M. =

1

M

N

k=1

mk�rk (5.2)

en donde la

masa total

del sistema es simplemente

DEF.

M =

N

k=1

mk. (5.3)

La introducci´on del centro de masas nos va ha llevar a una simplificaci´on muy grande del prob-lema como veremos a continuaci´on. Como es f´acil darse cuenta, las coordenadas del centro de masa no necesariamente coinciden con las coordenadas de ninguna de las part´ıculas del sistema, aunque tal cosa pudiera suceder. Considerando masas constantes en el tiempo, obtenemos para la velocidad del centro de masas la expresi´on

�vC.M. =

1

M

N

k=1

mk�vk (5.4)

Si ahora definimos al

momento lineal del centro de masas

como

�pC.M. =M�vC.M.,

llegamos a que

DEF.

�pC.M.= N

k=1

mk�vk = N

k=1

�pk =P� (5.5)

en dondeP� es la suma de todos los momentos lineales de lasN part´ıculas. As´ı pu´es, concluimos

que

el momento lineal del centro de masas es igual al momento lineal

total para un sistema de part´ıculas de masas constantes

.

IMP.

Si ahora sumamos las 3N ecuaciones del movimiento obtenemos que

F =P,�˙ (5.6)

en donde F� es la fuerza neta que act´ua sobre el sistema. Como acabamos de ver, ´esta ecuaci´on conduce a que

(3)

la cual nos dice que

el centro de masa se comporta como una particula puntual bajo

al acci´on de la fuerza neta

F

.

IMP.

Debido a la simplicidad de la ecuaci´on del movimiento para el centro de masa resulta conveniente introducir un sistema de coordenadas Cartesiano cuyo origen es el centro de masas mismo. Desde un marco de referencia con origen en el centro de masas tenemos las siguientes expresiones. Para el vector de posici´on desde el centro de masa

�ri� =�ri − �rc.m.=

1

M

N

k=1

mk(�ri−�rk). (5.8)

Para la velocidad desde el centro de masa

�vi� =�vi − �vc.m.=

1

M

N

k=1

mk(�vi−�vk). (5.9)

Para el momento lineal desde el centro de masa

�pi� =�pi −

mi

M�pc.m.=

mi

M

N

k=1

mk(�vi−�vk). (5.10)

Sumando vectorialmente ahora todos los momentos individuales, obtenemos al momento total en el sistema de coordenadas del centro de masas

� P � =

N

i=1

�pi� =

1

M

N

i=1

N

k=1

mimk(�vi−�vk) =�0. (5.11)

Esto es,

la cantidad de movimiento total desde el centro de masas siempre se

anula. La raz´on de ello es simplemente geom´etrica ya que no hicimos ninguna suposici´on

IMP.

din´amica adicional.

5.2

Conservaci´

on de la Cantidad de Movimiento

Para simplificar el an´alisis, separamos a la fuerza neta en la suma de las fuerzasF�extcuyo origen

se encuentra fuera del sistema, a las que llamaremos

fuerzas externas

, y las fuerzas F�int

cuyos origenes se encuentran en cualquiera de las particulas del sistema, a las que llamaremos

(4)

F =F�ext+F�int. (5.12)

Ahora haremos dos suposiciones razonables acerca de la fuerzas internas. Primero supondremos que las fuerzas internas son solamente entre parejas de particulas, esto es, no consideraremos ni fuerzas de tres ´o m´as particulas, como tampoco “autofuerzas” o fuerzas de una particula sobre s´ı misma. Con ´esta suposici´on podemos escribir que

� Fint=

N

i=1

� Fi,int =

N

i=1

N

j=1

Fij, F�ii =�0. (5.13)

Seguidamente supondremos que las todas las fuerzas entre parejas de particulas satisfacen la tercera ley de Newton

Fij =−F�ji, (5.14)

en donde F�ij es la fuerza que la particula i-´esima experimenta debido a la particula j-´esima, o

dicho de otro modo, la fuerza que la particula j-´esima ejerce sobre la part´ıcula i-´esima. Con ´esta segunda suposici´on obtenemos que la fuerza neta interna se anula exactamente dado que por cada t´ermino F�ij hay un t´erminoF�ji =−F�ij y su suma se cancela

Fint =F�12+F�13+· · ·+F�ij +· · ·+F�ji+· · ·+F�N−1,N =�0. (5.15)

Esto nos lleva a

Fext= ˙�pC.M. (5.16)

Si la fuerza neta externa se anula, el miembro izquierdo de esta ecuaci´on se anula y obtenemos ˙

�pC.M. =�0. ´O sea que la cantidad de movimiento total se conserva

P =constante. (5.17)

Este importante resultado es conocido como el

principio de conservaci´

on de la

cantidad de movimiento

. Ser´a utilizado constantemente en este curso. A los sistemas para los cuales la fuerza neta externa se anula se les denomina com´unmente

sistemas aislados

.

5.3

Impulso

Dado que en general la manera en que una fuerza act´ua sobre un sistema de particulas puede ser bastante complicada, resulta adecuado definir a la fuerza promedio que es ejercida sobre un cuerpo. Para ello partimos de la ecuaci´on de movimiento y la integramos entre los tiempos t1

(5)

� t2

t1

F(t)dt =�p(t2) − �p(t2) = ∆�p. (5.18)

Del lado derecho tenemos simplemente el cambio en el momento lineal ´o ´ımpetu. A la cantidad

del lado izquierdo se le denomina el

impulso

y lo escribimos como DEF.

� J =

� t2

t1

F(t)dt. (5.19)

Claramente las unidades f´ısicas del impulso son las mismas que las del momento lineal. A las fuerzas que son ejercidas durante un peque˜no intervalo de tiempo se les denomina

fuerzas

impulsivas

. Ahora bien, si queremos definir a la

fuerza promedio

�F�� ejercida en el DEF.

intervalo (t1, t2) nos bastar´a con dividir al impulso por el tiempo transcurrido ∆t=t2−t1,

�F��= J�

∆t. (5.20)

5.4

Coordenadas polares

En esta secci´on recordamos algunos resultados bien conocidos para el estudiante sobre coorde-nadas polares en el plano xy. Para ello partimos de las relaciones

�r=xˆi+yˆj, x=r cos(φ), y=r sen(φ). (5.21)

Tenemos entonces claramente que

�r=rˆer, ˆer =cos(φ)ˆi+sen(φ) ˆj, con |ˆer|= 1. (5.22)

Es f´acil corroborar que ˆer·eˆr =cos2(φ) +sen2(φ) = 1.

Ahora bien, estamos interesados en la descripci´on del movimiento de una part´ıcula en el planoxycomo funci´on del tiempo. El vector de posici´on�r(t) depende en general del tiempo y por ende su m´odulo r(t) y su direcci´on determinada por ˆer(t) depender´an l´ogicamente tambi´en

del tiempo. Para escribir las ecuaciones del movimiento de cada part´ıcula necesitamos primero evaluar las dos primeras derivadas de �r con respecto al tiempo. Calculamos pu´es, usando la regla de Leibniz,

�v(t) = d�r(t)

dt = ˙�r= ˙rˆer+re˙ˆr, e˙ˆr = deˆr

dt = ˙φ(−sen(φ)ˆi+cos(φ) ˆj). (5.23)

En donde hemos escrito por ejemplo ˙φ=dφ/dt, etc´etera.

Llamamos

velocidad angular

al vector �ω cuyo m´odulo (signado) est´a dado por la DEF.

rapidez angular ω = ˙φ. El vector que aparece entre par´entesis en la ´ultima ecuaci´on y que definimos como

ˆ

(6)

es tambi´en un vector unitario, esto es ˆeφ·eˆφ = 1. M´as a´un, este vector es

ortogonal

al

vector unitario ˆer en la direcci´on de �r, ya que ˆer·ˆeφ = 0. Notese tambi´en que tendremos que IMP.

ˆi = cos(φer sen(φeφ y que ˆj = sen(φer + cos(φeφ. Con ello podemos concluir que la velocidad tendr´a usualmente una componente ˙r(t) en la direcci´on del vector de posici´on mas una componente transversal o perpendicular a dicho vector dada por rφ˙(t). Vemos as´ı que

˙ˆ

er =ωeˆφ, y e˙ˆφ=−ωeˆr, (5.25)

y que

�v(t) = ˙reˆr+r ωeˆφ. (5.26)

N´otese que �v(t) NO es igual a ˙reˆr, lo cual s´olo puede ocurrir para cuando la rapidez angular

se anula, ω = 0.

Finalmente, necesitamos obtener a la aceleraci´on que estar´a dada por

�a(t) = d�v(t)

dt = ¨�r= (¨r − r ω

2) ˆe

r+ (2ωr˙+r α) ˆeφ, (5.27)

con la

aceleraci´

on angular

α� definida como aquel vector cuyo m´odulo (con signo) est´a

DEF.

dado por la derivada temporal de la rapidez angularα = ˙ω = ¨φ. El t´ermino r ω2ˆe

res llamado

aceleraci´

on centr´ıpeta

, el t´ermino 2ωr˙eˆφ es llamado

aceleraci´

on de Coriolis

y

el t´ermino rαeˆφ es la

aceleraci´

on transversal

.

5.5

Colisiones

Entendemos por una

colisi´

on

´oimpactoa una interacci´on entre dos cuerpos cuya duraci´on es muy corta. Adem´as pensamos que el sistema formado por los dos cuerpos durante la colisi´on est´a aislado, por lo que todas las fuerzas actuando son internas. Si adem´as (como hemos supuesto para la demostraci´on de la conservaci´on de la cantidad de movimiento lineal total) suponemos ahora que todas las fuerzas internas son binarias y satisfacen la tercer ley de Newton, entonces

en una colisi´

on se conservar´

a la cantidad de movimiento total

. Esto es

IMP.

∆P� =�0. Esta ser´a la parte mas importante para resolver problemas simples de colisiones para sistemas aislados. Si consideramos a dos cuerpos de masas m1 y m2 con momentos iniciales �p1i

y �p2i antes de la colisi´on y momentos finales �p1f y �p2f despu´es de la colisi´on, tendremos

�p1,i+�p2,i =�p1,f+�p2,f. (5.28)

Consideraremos aqu´ı solamente un tipo de colisiones: llamaremos

colisiones

comple-tamente inel´

asticas

aquellas colisiones inel´asticas para las cuales los dos cuerpos quedan

DEF.

unidos despu´es de la colisi´on. A estas colisiones tambi´en se les denominaimpactos pl´asticos. El problema es m´as sencillo por que al final tenemos solamente a un cuerpo de masaM =m1+m2

y momento P�f. Por la conservaci´on del momento lineal se seguir´a que

(7)

que nos bastar´a para resolver este caso.

Finalmente, para problemas en una sola dimensi´on, las ecuaciones anteriores se simplifican notoriamente. La ec.(5.28) expresada en t´erminos de las velocidades es equivalente a

m1(v1i−v1f) =m2(v2f −v2i). (5.30)

Problemas.

Problema 1.

Un cuerpo de masam y rapidez v0 conocidas, se divide en dos fragmentos de

masasm1 y m2 =m−m1 y que forman ´angulosφ1 y φ2 =π/2−φ1 conocidos tambi´en. ¿Cu´al

es la velocidad de cada fragmento?

Soluci´on.

Por conservaci´on de la cantidad de movimiento

∆P� =�0, P�i =P�f.

El momento inicial, respectivamente el momento final son

Pi =mv0ˆı, P�f =P�1f +P�2f,

en donde los momentos finales de cada pedazo son

P1f =m1v1cos(φ1)ˆı +m1v1sen(φ1)ˆj, P�2f =m2v2cos(φ2)ˆı−m2v2sen(φ2)ˆj.

Igualando las respectivas componentes de la conservaci´on del momento lineal tenemos

mv0 =m1v1cos(φ1) +m2v2cos(φ2),

y

0 = m1v1sen(φ1)−m2v2sen(φ2).

De esta ´ultima despejamos

v2 =

m1v1sen(φ1)

m2sen(φ2)

(8)

Substituyendo este valor en la primer ecuaci´on se tiene

mv0 =m1v1

cos(φ1) + cos(φ2)

sen(φ1)

sen(φ2)

= sen(φ1+φ2)m1v1 sen(φ2)

= m1v1 sen(φ2)

,

en donde utilizamos que

cos(φ1)sen(φ2) + cos(φ2)sen(φ1) = sen(φ1+φ2),

y que sen(φ1 +φ2) = sen(π/2) = 1. Finalmente despejamos, respectivamente substituimos,

para escribir

v1 =

mv0sen(φ2)

m1

, v2 =

mv0sen(φ1)

m2

.

Problema 2.

Una bola de billar de masa m se mueve con una rapidez v0 y choca con una

barra lateral de la mesa a un ´angulo φ con la normal. Si la bola rebota con la misma rapidez y ´angulo de incidencia ¿cu´al es el cambio de su cantidad de movimiento?

Soluci´on.

El cambio en la cantidad de movimiento total est´a dado por

∆P� =P�f −P�i,

en donde las cantidades de movimiento inicial y final son respectivamente

Pi =mv(sen(φ)ˆı + cos(φ) ˆj), P�f =mv(sen(φ)ˆı−cos(φ) ˆj).

Se ha tomado como eje x al horizontal y como eje y al vertical en el dibujo. As´ı que tenemos

∆P� =2mvcos(φ)ˆj.

Problema 3.

Dado el sistema formado por tres masas puntuales m1,m2 y m3 con centros

localizados en (x1, y1), (x2, y3) y (x3, y3), respectivamente, determina en donde tiene que

colo-carse un cuarto objeto de masa m4 para que el centro de masa del nuevo sistema se encuentre

(9)

Soluci´on.

Las coordenadas del centro de masa para el sistema de cuatro masas con masa total

M =m1+m2+m3+m4, est´an dadas por

xcm=

1

M(m1x1+m2x2+m3x3+m4x4), ycm=

1

M(m1y1+m2y2+m3y3+m4y4).

Pero como queremos que ´este se encuentre en el origen hacemos xcm = 0 y tambi´en ycm = 0.

Despejamos entonces las coordenadas del cuarto punto como

x4 =−

1

m4

(m1x1+m2x2 +m3x3), y4 =−

1

m4

(m1y1+m2y2+m3y3).

Problema 4.

Localiza al centro de masa del sistema mostrado si las masas m1, m2, m3 y

m4 son conocidas.

Soluci´on.

Las coordenadas del centro de masa son

xcm =

1

M(m10 +m20 +m3a+m4a) = a

M(m3+m4), ycm =

1

M(m10 +m2a+m3a+m40) = a

M(m2+m3),

con M =m1+m2+m3+m4. Se ha tomado como ejex al horizontal y como eje y al vertical

en el dibujo.

Problema 5.

A un disco inicialmente en reposo se le hace girar alrededor de su centro y se aumenta uniformemente su velocidad hasta llegar aωf rpm, logr´andose ´esto en un intervalo de

(10)

Soluci´on.

Convertimos a la velocidad angular de rpm a radianes/segundo como sigue

ωf

rev min =ωf

1 rev 1 min

1 min 60 s

2πrad 1 rev .

Ahora, como la aceleraci´on angular α= ˙ω es constante, integrando tenemos

ω(t) =ω0+α t.

Pero como parte del reposo ω0 = 0, as´ı que despu´es de un tiempo ∆t

ωf =α∆t, ⇒ α =

ωf

∆t.

Para el ´angulo integramos ω(t) = ˙θ y obtenemos

θ(t) =θ0 +

α

2t

2.

Por lo que tomando θ0 = 0, y substituyendo al valor obtenido de la aceleraci´on, llegamos al

final del recorrido a

θf =

ωf(∆t)2

2∆t = ωf∆t

2 .

Problema 6.

Un disco compacto comienza a girar con aceleraci´on angular constante α

durante un intervalo ∆t, momento luego del cual se corta la energ´ıa y el disco comienza a frenar con aceleraci´on constante hasta detenerse, efectuando N revoluciones. a). ¿Cu´anto tiempo necesit´o para detenerse desde que se interrumpi´o el sumunistro de energ´ıa? b). ¿Con qu´e aceleraci´on se fue frenando?

Soluci´on.

Comoα = ˙ω es constante, entonces integrando

ω(t) =ω0+α t.

pero como parte del reposo ω0 = 0, as´ı que luego de un tiempo ∆t tenemos

ωf =α∆t.

A partir de aqu´ı el disco comienza afrenar con aceleraci´on constante αf por determinar.

Integrando nuevamente y llamando ωd(t) a la velocidad angular despu´es del corte de enrg´ıa

tenemos

ωd(t) = ωf −αft.

Llamando ahora tf al tiempo para el cual el disco se detiene, esto es, para el cualωd(tf) = 0 se

sigue que

0 = ωf −αftf, → tf =

ωf

αf

.

Integramos nuevamente, ahora a ωd= ˙θ para obtener

θ(t) =ωft−

αf

2 t

(11)

As´ı que evaluando para el tiempo final para el que se detiene medido desde que empieza a frenar se llega a

θ(tf) = 2π N =

ω2

f

αf −

ω2

f

2αf

= ω

2

f

2αf

, αf =

ω2

f

4π N =

α2(∆t)2

4π N .

Regresando a la expresi´on del tiempo de frenado y substituyendo este resultado tenemos

tf =ωf

4π N α2(∆t)2 =

4π N α(∆t).

Problema 7.

El montaje mostrado tiene una masam. Estando suspendido inicialmente en reposo se le da una rapidez v hacia arriba en un intervalo de tiempo ∆t mediante el gancho de una gr´ua. Determina la tensi´on media de los cables AC y AB durante este intervalo de tiempo, si ambos hacen φ radianes con la vertical.

Problema 8.

Un alumno le pega a una pelota de golf de masa M de tal forma que ´esta adquiere una rapidez v1 a un ´angulo φ con la horizontal y llega al suelo a una distancia D.

Calcula la fuerza media ejercida sobre la pelota durante el golpe si ´este tiene una duraci´on de ∆t.

Problema 9.

Dos carros id´endticos tienen rapideces vA y vB y se mueven en direcciones

opuestas. Si despu´es de chocar quedan unidos: a) Encuentra la velocidad final. b) Haya la fuerza media entre los carros durante el choque si ´este dura ∆t.

Problema 10.

Una joven de masa m est´a de pie y en reposo sobre una lancha de masa

M. Si la joven corre con una rapidez v respecto de la lancha y al llegar a su extremo salta, determina la velocidad de la lancha justo despu´es del salto. Despreciar la fricci´on entre la lancha y el agua.

Problema 11.

La fuerza F que act´ua sobre una pelota de masa m cuando es golpeada var´ıa como se muestra. Determina el valor m´aximo F0 si la rapidez de salida de la pelota esv.

Desprecia la fricci´on.

(12)

Problema 13.

El centro de masa de una rueda sigue la trayectoria

�r=v0tˆı +

a

2t

2ˆj.

La rueda gira simult´aneamente con una rapidez angular constante ω. Si un punto sobre la rueda se encuentra inicialmente en la posici´on Rˆı, encuentra su posici´on al tiempo t.

Problema 14.

Calcular la posici´on del centro de masa de la figuras mostradas.

Problema 15.

En la estructura met´alica de apoyo al edificio de La Pulcata se encuentran las partes mostradas. Calcula su centro de masa.

Problema 16.

Un veloc´ımetro es un instrumento que efect´ua la conversi´on de la rapidez angular de las ruedas a la rapidez lineal de un veh´ıculo. a)Para una rueda que tiene un radio

r, ¿Con qu´e raz´on (en rpm) est´an girando las ruedas cuando el veh´ıculo circula a velocidad v?

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...