4
EcuacionesE
n esta unidad repasaremos los procedimientos para hallar las soluciones, si existen, de ecuaciones de primer grado y de segundo grado, completas o incompletas; así como, el planteamiento y la resolución de problemas utilizando estos tipos de ecuaciones. Además, abor-daremos la resolución de ecuaciones bicuadradas mediante cambio de variable y la de ecuaciones polinómicas a partir de la factorización de polinomios estudiada en la unidad anterior.El uso apropiado del lenguaje algebraico es fundamental para desarrollar los contenidos de esta unidad. Los alumnos deben dominar la traducción del contexto de los problemas al lenguaje matemático para aplicar la resolución de ecuaciones y poder determinar las soluciones. Los contenidos de esta unidad se presentan partiendo de un problema o ejercicio sencillo, de esta forma podemos esperar que el propio alumno lo resuelva y sería deseable que también fuera capaz de sacar sus propias conclusiones teóricas.
La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo.
Comunicación lingüística (CL)
Se desarrolla a lo largo de toda la unidad para plantear problemas de distintos tipos. Tiene especial importancia en la sección de Matemáticas vivas, así como en la sección Lee y comprende las matemáticas de final del bloque.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
La utilización del lenguaje algebraico se desarrolla lo largo de toda la unidad haciendo comprender a los alumnos su aplicación para resolver problemas.
Competencia digital (CD)
Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
Está presente especialmente en las secciones de Matemáticas vivas y Cálculo mental.
Competencia aprender a aprender (CAA)
En toda la unidad se plantean los contenidos y las actividades apropiadas para que los alumnos construyan su propio conocimiento.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada epígrafe (Investiga o Desafío).
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚
❚ Identificar y resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
❚
❚ Plantear ecuaciones de primer o segundo grado para resolver problemas.
❚
❚ Determinar, según el signo del discriminante, el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.
❚
❚ Identificar y resolver ecuaciones bicuadradas.
❚
❚ Resolver ecuaciones polinómicas mediante la factorización del polinomio correspondiente.
❚
❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de ecuaciones.
❚
❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando ecuaciones.
ECUACIONES
4
Ecuaciones
Atención a la diversidad
Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación
que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de ecuaciones.
Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre ecuaciones y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con las ecuaciones pueden acceder a las lecciones 1160, 1171 y 1181 de la web www.mismates.es.
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables actividades del Relación de libro del alumno
Competencias clave
Ecuaciones de
primer grado 1. Identificar y resolver ecuaciones de primer grado.
2. Plantear ecuaciones de primer grado para resolver problemas.
1.1. Identifica ecuaciones de primer grado equivalentes.
2.1. Resuelve problemas mediante ecuaciones de primer grado.
1-5, 7, 8 46-49
6, 9 50-55
Matemáticas vivas 1-3
CL CMCT CAA CSIEE
Ecuaciones de
segundo grado 3. Identificar y resolver ecuaciones de segundo grado.
4. Determinar, según el signo del discriminante, el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.
5. Plantear ecuaciones de segundo grado para resolver problemas.
3.1. Identifica ecuaciones de segundo grado completas y sus soluciones.
4.1. Indica el número de soluciones de una ecuación de segundo grado según el signo del discriminante.
5.1. Resuelve problemas mediante ecuaciones de segundo grado.
10-12, 14, 16 17, 20 56-59 13, 15 62, 66, 67
18, 19 63-65 69-78
Matemáticas vivas 1-3
Trabajo cooperativo CM1, CM2
CL CMCT CD CAA CSIEE
Ecuaciones de segundo grado incompletas
6. Identificar y resolver ecuaciones de
segundo grado incompletas. 6.1. Identifica ecuaciones de segundo grado completas y sus soluciones. 21-2860, 61, 68 CLCMCT CAA CSIEE
Ecuaciones
bicuadradas 7. Identificar y resolver ecuaciones bicuadradas. 7.1. Distingue y resuelve ecuaciones bicuadradas completas e incompletas. 7.2. Resuelve problemas mediante ecuaciones bicuadradas.
29-37 79-86 87-89
CL CMCT CAA CSIEE
Resolución de ecuaciones por factorización
8. Resolver ecuaciones polinómicas mediante la factorización del polinomio correspondiente.
8.1. Factoriza polinomios para resolver
ecuaciones. 38-4590-95 CLCMCT
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
2. Ecuaciones de segundo grado
4. Ecuaciones bicuadradas
¿Qué tienes que saber? • Ecuaciones de primer grado
• Ecuaciones de segundo grado
• Ecuaciones bicuadradas
• Resolución de ecuaciones por factorización
Matemáticas vivas
Adivinanzas
• Expresión de situaciones cotidianas como ecuaciones
Avanza
Ecuaciones racionales
Cálculo mental
Estrategia para averiguar un número
PARA EL PROFESOR
MATERIAL COMPLEMENTARIO
PARA EL ALUMNO
Actividades de Refuerzo Actividades de Ampliación
Propuesta de Evaluación A Propuesta de Evaluación B
Presentación de la unidad Ideas previas
Repasa lo que sabes
Matemáticas en el día a día Contenido WEB. Gerolamo Cardano
1. Ecuaciones de primer grado
Vídeo. Demostración de la fórmula de las ecuaciones de segundo grado
Trabajo cooperativo. Tarea cuya estrategia es Cabezas juntas numeradas, de Spencer Kagan
3. Ecuaciones de segundo grado incompletas
Vídeo. Resolución de ecuaciones por factorización 1
Vídeo. Resolución de ecuaciones por factorización 2
5. Resolución de ecuaciones por factorización
MisMates.es
Lecciones 1160, 1171 y 1181 de la web www.mismates.es
Comprende y resuelve problemas
4
EcuacionesActividades finales Actividades interactivas
4
Ecuaciones
Sugerencias didácticas
En esta unidad se repasarán las ecuaciones de primer y se-gundo grado estudiadas en cursos previos. En estas últimas veremos cómo determinar el número de soluciones en fun-ción del signo del discriminante.
Además, se introducirán las ecuaciones bicuadradas y las
polinómicas de grado mayor que dos de la forma P(x) = 0
en las que el polinomio admite una factorización como pro-ducto de polinomios de grado uno o dos con coeficientes racionales.
Antes de comenzar la unidad, los alumnos deben manejar con soltura las operaciones con polinomios, así como las identidades notables y la regla de Ruffini.
Como generalmente a los alumnos les resulta complicado el planteamiento de problemas que pueden ser resueltos con ecuaciones, es importante hacer hincapié en la trans-formación de enunciados al lenguaje algebraico.
Contenido web. GEROLAMO CARDANO
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se introduce la figura de Cardano con algunos datos sobre su vida y su trabajo como matemático. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.
65
4
ECUACIONES
El matemático griego Diofanto de Alejandría nació alrededor del año 200 d. C., conocía las ecuaciones, aunque no las escribía como lo hacemos en la actualidad. En su tumba pidió que apareciera esta inscripción: Fui niño la sexta parte de mi vida, me salió barba tras añadir una doceava parte. Me casé después de que trascurriera una séptima parte más, y 5 años más tarde nació mi hijo, quién vivió la mitad que yo y murió 4 años antes de que yo muriera.
Si queremos saber cuántos años vivió Diofanto debemos resolver esta ecuación: x6+12x+x7+5+2x+4=xdonde x
es el número de años.
El matemático griego Diofanto de Alejandría nació alrededor del año 200 d. C., conocía las ecuaciones, aunque no las escribía como lo hacemos en la actualidad. En su tumba pidió que apareciera esta inscripción:
vida, me salió barba tras añadir una doceava parte. Me casé después de que trascurriera una séptima parte más, y 5 años más tarde nació mi hijo, quién vivió la mitad que yo y murió 4 años antes de que yo muriera.
Si queremos saber cuántos años vivió Diofanto debemos resolver esta ecuación:
es el número de años.
IDEAS PREVIAS
❚Operaciones con polinomios.
❚Raíces de un polinomio.
❚Identidades notables.
❚Factorización de polinomios.
REPASA LO QUE SABES
1. Expresa algebraicamente estas frases. a) La suma de dos números consecutivos. b) El cuadrado de un número menos su doble. c) La diferencia del triple de un número menos 2.
2. Comprueba que x = 1 y x = −1 son raíces del polinomio: P(x) = x4 + x3 + 3x2− x − 4
3. Desarrolla los cuadrados.
a) (x − 8)2 b) (2x + 1)2 c) (5x − 6)2
4. Factoriza las expresiones utilizando las identidades notables. a) x2 + 6x + 9 b) x2− 8x + 16 c) 4x2− 20x + 25
5. Halla la expresión algebraica de un polinomio de grado 2 que tiene por raíces x = 5 y x = −6.
Gerolamo Cardano (1501-1576), matemático y médico italiano, publicó en 1545 un libro que incluía las fórmulas que permiten resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado, así como las relaciones entre las soluciones de una ecuación y sus coeficientes.
Matemáticas en el día a día
]
[
mac3e12
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1. Expresa algebraicamente estas frases.
a) La suma de dos números consecutivos.
b) El cuadrado de un número menos su doble.
c) La diferencia del triple de un número menos 2.
a) x+x + 1 = 2x + 1 b) x2 − 2x c) 3x− 2
2. Comprueba que x = 1 y x = − 1 son raíces del polinomio:
P(x) = x4 + x3 + 3x2−x − 4
P(1) =1 + 1 + 3 − 1 − 4 = 0
P(−1) =1 − 1 + 3 + 1 − 4 = 0
3. Desarrolla los cuadrados.
a) (x − 8)2 b) (2x + 1)2 c) (5x− 6)2
a) (x− 8)2=x2− 16x+ 64
b) (2x+ 1)2= 4x2+ 4x+ 1
c) (5x − 6)2= 25x2− 60x+ 36
4. Factoriza las expresiones utilizando las identidades notables.
a) x2 + 6x + 9 b) x2− 8 + 16 c) 4x2− 20 + 25
a) x2+ 6x+ 9 = (x+ 3)2
b) x2− 8x+ 16 = (x− 4)2
c) 4x2− 20x+ 25 = (2x − 5)2
5. Halla la expresión algebraica de un polinomio de grado 2 que tiene por raíces x = 5 y x = −6.
4
Ecuaciones1.
Ecuaciones de primer grado
67
4
Actividades
4 Ecuaciones
66
Resuelve estas ecuaciones de primer grado.
a) 5x + 14 = 19 e) 5x+ 12 = 17 + 10x
b) 3 +x= 4 f) 2x− 7 = 7x+ 3
c) 2x− 3 = 17 g) 2x+ 7 = 7x− 3
d) 5 − 2x= 21 h) 9 − 4x= 3x− 12
1
Comprueba que x= 3 es la solución de la ecuación: 4−x+3
6 =2+ 9−2x
3 Copia y empareja cada ecuación de la primera columna con sus equivalentes.
2
3
Halla el valor de a de modo que cada par de ecuaciones sean equivalentes.
a) 4x − 1 =x+ 8 ax= 9
b) 5(x+ 1) = 0 3x+ 2 =a
c) 2x= 4 6x+a= 0
d) 2x+ 8 = 18 a(x− 2) = 9 Resuelve las ecuaciones de primer grado.
a) 3(x + 1) − 2 = 19
b) 2(x− 3) − (x+ 1) = 0
c) 3 − 2(x+ 5) = 7
d) 4(x+ 3) = 1 + 3x
La edad de una madre es el triple que la de su hijo. Si entre los dos suman 44 años, ¿cuál es la edad de cada uno?
4
5
6
Halla la solución de las ecuaciones.
a) 3
5x+2= x
3−2 c) 5x+ 2 5=
x 2−5
b) 3x+2
5 − x+1
3 = 1 6 d) 5−
x+1 6 =
3 4(2x+7) Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 2
3x+ 1 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ ⎟ −5x3+
1 15 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ ⎟=25
b) 1
3 2x−3
6 + x−2
3 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ ⎟=1213x−4−
2x−7 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ ⎟
c) 1
2x+1− 3 2(x+3)
⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥+1=−2
d) 5x+2 4 −
2x−1 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ ⎟= 1 5 3 2− x 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ ⎟ − 1 4(x−8)
e) 1
2 5(x+1)
3 − 3 4(x+2)
⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥=187x−14
⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟+
x+1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 7 8
1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
En una balanza, María ha puesto varias bolas y piezas hexagonales. Al colocarlas en esta posición, la balanza está equilibrada. Si cada bola pesa 1 g, ¿cuál es el peso de cada pieza hexagonal?
Para resolver el problema, llamamos x a lo que pesa cada pieza hexagonal en gramos, y planteamos esta ecuación: 5x+ 3 = 3x+ 7
Al quitar 3 bolas de cada platillo, la balanza permanece en equilibrio. En la ecuación:
5x+ 3 −3= 3x+ 7 −3
5x= 3x+ 4
De la misma forma, si retiramos 3 piezas hexagonales de cada platillo, la balanza también continúa equilibrada. En la ecuación:
5x−3x = 3x+ 4 −3x
2x= 4
Finalmente, si quitamos la mitad del contenido de cada platillo, el equilibrio de la balanza se mantiene. En la ecuación:
2x
2=
4
2
x= 2 Así, cada pieza hexagonal pesa 2 g.
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos miembros que puede expresarse de la forma ax + b = 0, siendo:
❚a y b, números reales conocidos, con a≠ 0. Estos números son los coeficientes
de la ecuación.
❚x, la incógnita, el valor desconocido.
Se denomina solución de la ecuación al único número, −b
a, que, al sustituir x por él verifica la igualdad.
Se dice que dos ecuaciones de primer grado son equivalentes si tienen la misma solución.
Presta atención
Si sumamos o multiplicamos por un mismo valor no nulo a los dos miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente.
}Comprueba que x = 2 es la solución de la ecuación: 5x + 3 = 3x + 7
Solución Para ello sustituimos x en la ecuación por 2 y verificamos que se cumple la igualdad obtenida.
5⋅2+3=3⋅2+7 10+3=6+7
13=13✓
EJERCICIO RESUELTO
}Resuelve esta ecuación de primer grado. 4x−1
6 − 2 x+1
3 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ ⎟=13
x 2− 6 5 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ ⎟ −41(2 x+10)
Solución
Eliminamos los paréntesis, simplificando si es posible: 2(x−1)
3 − 4(2x+1)
3 = x 6− 2 5− x 2− 5 2 2x−2
3 − 8x+4
3 = x 6− 2 5− x 2− 5 2 Para eliminar los denominadores, multiplicamos por su mínimo común múltiplo: m.c.m. (3, 6, 5, 2) = 30
20x− 20 − 80x− 40 = 5x− 12 − 15x− 75 Reducimos los términos semejantes:
−60x− 60 =−10x− 87 Finalmente, transponemos los términos y despejamos para obtener la solución:
−60x+ 10x=−87 + 60
−50x=−27 →x=27
50
EJERCICIO RESUELTO
3x − 1 = x + 7 x + 2 = 4 x + 2 = 5 2(x − 3) = 0 x + 2 = 2x + 3 2x + 7 = 11 4x = 8 2(x − 1) = 6 4x + 5 = 1 3x + 5 = 2 2(x − 2) = 5 − x 2x + 5 = 13
DESAFÍO Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, plantea en su obra Liber abaci, en 1202, este problema: Un trabajador acuerda con su patrón recibir 7 bizancios por cada día de trabajo y pagarle 4 por cada día que no trabaje. Averigua cuántos días ha trabajado durante un mes si al final recibió 1 bizancio.
Resuelve el problema para un mes de 30 días.
9
Aprenderás a…
●Identificar ecuaciones de primer grado equivalentes. ●Resolver ecuaciones de
primer grado. ●Plantear ecuaciones de
primer grado para resolver problemas.
Soluciones de las actividades
1 Resuelve estas ecuaciones de primer grado.
a) 5x + 14 = 19 c) 2x− 3 = 17 e) 5x + 12 = 17 + 10x g) 2x + 7 = 7x− 3
b) 3 + x = 4 d) 5 − 2x = 21 f) 2x− 7 = 7x + 3 h) 9 − 4x = 3x− 12
a) x= 1 b) x= 1 c) x= 10 d) x=−8 e) x=−1 f) x=−2 g) x= 2 h) x= 3
2 Comprueba que x = 3 es la solución de la ecuación: 4− x+3
6 =2+
9−2x
3
Sustituimos por 3 la incógnita y verificamos que se cumple la igualdad: 4−3+3
6 =2+
9−6
3 →4−1=2+1→3=3
3 Copia y empareja cada ecuación de la primera columna con sus equivalentes.
3x − 1 = x + 7 x + 2 = 4 x + 2 = 5 2(x − 3) = 0 x + 2 = 2x + 3 2x + 7 = 11 4x = 8 2(x − 1) = 6 4x + 5 = 1 3x + 5 = 2 2(x − 2) = 5 − x 2x + 5 = 13
3x− 1 =x+ 7 ↔ 2(x− 1) = 6 ↔ 2x+ 5 = 13
2(x− 3) = 0 ↔ 2(x− 2) = 5 −x ↔ x+ 2 = 5
4x= 8 ↔ x+ 2 = 4 ↔ 2x+ 7 = 11
3x+ 5 = 2 ↔ x+ 2 = 2x+ 3 ↔ 4x+ 5 = 1
Sugerencias didácticas
Repasamos la resolución por parte de los alumnos de las ecuaciones de primer grado. La transposición de términos en las mismas se puede presentar a través de balanzas en equilibrio, tal y como aparece en el texto, donde uno de los platillos representará el miembro de la izquierda de la ecuación y el otro el de la derecha.
4
Ecuaciones
4 Halla el valor de a de modo que cada par de ecuaciones sean equivalentes.
a) 4x− 1 = x + 8 ax = 9 c) 2x = 4 6x + a = 0
b) 5(x + 1) = 0 3x + 2 = a d) 2x + 8 = 18 (x− 2) = 9
a) a= 3 b)a =−1 c) a=−12 d)a= 3
5 Resuelve las ecuaciones de primer grado.
a) 3(x + 1) − 2 = 19 b) 2(x− 3) − (x + 1) = 0 c) 3 − 2(x + 5) = 7 d) 4(x + 3) = 1 + 3x
a) x= 6 b)x= 7 c) x=−7 d)x=−11
6 La edad de una madre es el triple que la de su hijo. Si entre los dos suman 44 años, ¿cuál es la edad de cada uno?
Llamamos x a los años que tiene el hijo, así su madre tiene 44 −x.
Si la edad de la madre es el triple: 44 −x= 3x→ 4x = 44 →x= 11
El hijo tiene 11 años, y su madre, 33.
7 Halla la solución de las ecuaciones.
a) 3
5x+2=
x
3−4 b)
3x+2
5 −
x +1
3 =
1
6 c) 7x+
2
5 =
x
2−3 d) 5−
x+1
6 =
3
4(2x+7)
a) 9x+ 30 = 5x− 60 → 4x=−90 → x =−45
2 c) 70x+ 4 = 5x− 30 → 65x=−34 → x =−
34 65
b) 18x+ 12 − 10x− 10 = 5 → 8x= 3 → x = 3
8 d) 60 − 2x− 2 = 18x+ 63 → 20x=−5 → x =−
1 4
8 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 2
3 x+
1 2
⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟−5 x+ 1 15
⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟= 2
5 d) 5
x+2
4 −
2x−1
2
⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟= 1 5 3 2− x 4 ⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟−41(x−8)
b) 1 3
2x−3
6 +
x−2 3
⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟= 1
12 3x−4−
2x−7
3
⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ e) 1
2
5(x+1)
3 −
3
4(x+2)
⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥
⎥ = 18 7 x−14 ⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟+ x+1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥
c) 1
2 x+1−
3
2(x +3)
⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥
⎥+1=−2
a) 2
3x+
1
3−5x−
1
3 =
2
5→
2
3x−5x =
2
5 → 10x− 75x = 6 →−65x = 6 → x =−
6 65
b) 2x−3
18 +
x−2
9 =
3x−4
12 −
2x−7
36 → 4x− 6 + 4x − 8 = 9x− 12 − 2x+ 7 → 3x = 9 →x = 3
c) x +1−3
2(x+3)+2=−4→ 2x+ 2 − 3x − 9 + 4 =−8 →x = 5
d) 100 x+2
4 −
2x−1
2
⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟=4 3
2−
x
4
⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟−5(x−8)→ 25x+ 50 − 100x + 50 = 6 −x− 5x + 40 →−69x =−54 → x =18
23
e) 4 5(x+1)
3 −
3
4(x+2)
⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥
⎥ =7 x−14 ⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟+ x+1
2 →
20x+20
3 −3x−6=7x−
7
4+
x+1
2 →
→ 80x+ 80 − 36x − 72 = 84x− 21 + 6x + 6 →−46x =−23 → x = 1
2
Desafío
9 Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, plantea en su obra Liber abaci, en 1202, este problema: Un trabajador
acuerda con su patrón recibir 7 bizancios por cada día de trabajo y pagarle 4 por cada día que no trabaje. Averigua cuán-tos días ha trabajado durante un mes si al final recibió 1 bizancio. Resuelve el problema para un mes de 30 días.
Llamamos x al número de días en los que trabaja en un mes, por tanto, no trabaja 30 −x.
4
Ecuaciones2.
Ecuaciones de segundo grado
69
4
Actividades
4 Ecuaciones
68
Copia en tu cuaderno y empareja las ecuaciones con sus soluciones.
10
Calcula el valor de m en la ecuación de segundo grado x2+mx− 24 = 0, si x= 3 es una de sus soluciones. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a) x2− 3x− 10 = 0 c) 2x2− 6x+ 4 = 0
b) x2+x− 12 = 0 d) x2+x− 42 = 0 Indica el número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado, sin resolverlas.
a) x2− 6x+ 9 = 0 c) 4x2− 4x+ 1 = 0
b) x2+x+ 1 = 0 d) x2− 5x+ 6 = 0 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 4 y 5.
Determina los valores de a para que x2+ax+ 4 = 0 tenga una única solución.
11
12
13
14
15
Halla el valor de los coeficientes b y c de la ecuación 3x2+bx+c= 0, si 2 y −3 son sus soluciones.
16
Resuelve, sin realizar los productos, estas ecuaciones de segundo grado.
a) (x+ 1)(x− 1) = 0 c) 3(x− 4)(x+ 4) = 0
b) (2x+ 3)(2x− 3) = 0 d) (4x− 5)(4x+ 5) = 0 Si la suma de un número positivo y su cuadrado es 756, ¿de qué número se trata?
17
18
Halla el perímetro de un cuadrado, sabiendo que, al aumentar la longitud de dos lados paralelos en 12 cm, obtenemos un rectángulo que tiene una superficie de 364 cm2.
19
2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Martín tiene una parcela rectangular de 96 m2 que ha separado en un cuadrado y un rectángulo de 4 m de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?
Si llamamos x a la longitud, en metros, del lado del cuadrado, tenemos que las dimensiones de la parcela son: x y x+ 4
Entonces: x(x+ 4) = 96 →x2+ 4x− 96 = 0
Identificamos los coeficientes en la ecuación de segundo grado: a= 1, b= 4 y c=−96, y la resolvemos:
x= 4± 42 4 1 ( 96)
2 1 = 4± 400
2 x1=
4+20 2 =8 x2=
4 20 2 = 12 Aunque el valor −12 verifica la igualdad, no es una solución válida, ya que los lados de un cuadrado no pueden tener una longitud negativa.
Por tanto, las dimensiones son:
x= 8 m y x+ 4 = 12 m
Una ecuación de segundo grado es una igualdad que puede expresarse de la forma ax2+ bx + c = 0, siendo:
❚a,b y c, números reales conocidos, con a≠ 0, llamados coeficientes.
❚x, la incógnita, el valor desconocido.
Las soluciones de este tipo de ecuaciones se obtienen mediante la fórmula: x=−b± b2−4ac
2a
Para saber el número de soluciones reales de una ecuación de segundo grado nos basta conocer el signo del valor del radicando:
❚Si b2− 4ac> 0 → tiene dos soluciones distintas. ❚Si b2− 4ac= 0 → solo tiene una solución. ❚Si b2− 4ac< 0 → no tiene solución. Presta atención
Observa que: (x − 8)(x + 12) = x2+ 4x − 96
Las soluciones de una ecuación de segundo grado coinciden con las raíces del polinomio de segundo grado con la misma expresión.
a x( −x1)(x−x2)=ax 2+bx+c
❚Utilizamos el signo ± para indicar que la fórmula puede tener dos resultados.
❚Al valor del radicando b2− 4ac lo llamamos
discriminante y lo representamos por Δ.
Lenguaje matemático
mac3e13
}Encuentra la ecuación de segundo grado cuyo coeficiente principal es 2, sabiendo que sus soluciones son 1 y −3.
Solución
Si el coeficiente principal es 2 entonces la ecuación es de la forma:
2x2+bx+c= 0
Como las soluciones de la ecuación de segundo grado coinciden con las raíces del polinomio con el mismo grado:
2x2+bx+c= 2(x− 1)(x+ 3) = 2x2+ 4x− 6 Así, la ecuación es:
2x2+ 4x− 6 = 0
EJERCICIO RESUELTO
}Al aumentar en 4 m dos lados paralelos de un cuadrado, obtenemos un rectángulo de 96 m2
de área. ¿Qué longitud tiene el lado del cuadrado original?
Solución
Llamamos x a la longitud del lado del cuadrado y dibujamos sobre cada uno de los lados un rectángulo cuyos lados sean x y 1, respectivamente.
El área de la figura que obtenemos mide: x2+ 4x= 96 →x(x+ 4) = 96 Añadimos cuatro cuadrados en las esquinas, completando un nueva figura, es un cuadrado de lado x+ 2, cuya superficie mide:
96 + 4 = 100 m2 Entonces: (x+ 2)2= 100 Resolvemos:
x+2= ±10→ x1=10−2=8
x2=−10−2=−12
⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪
Como la medida del lado del cuadrado no puede ser un valor negativo, la solución del problema es 8 m.
EJERCICIO RESUELTO x 4 x x x 1 1 1 1
x+2
x+2
DESAFÍO Comprueba que, si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado ax2+bx+c= 0, se verifican las relaciones de Cardano: x1+x2=−
b a y x1⋅x2=
c a
20
2x2+3x−2=0
x2−5x+6=0
x2−2x−120=0 6x2+17x+12=0
x=−32 y x=−43
x=−10 y x=12
x=−2 y x=1 2
x=2 y x=3
Aprenderás a…
●Identificar ecuaciones de segundo grado. ●Resolver ecuaciones de
segundo grado. ●Plantear ecuaciones de
segundo grado para resolver problemas. ●Determinar, según el signo
del discriminante, el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.
Soluciones de las actividades
10 Copia en tu cuaderno y empareja las ecuaciones con sus soluciones.
2x2+3x−2=0
x2−5x+6=0
x2−2x−120=0
6x2+17x+12=0
x=−32 y x=−43
x=−10 y x=12
x=−2 y x=12
x=2 y x=3
2x2+ 3x− 2 = 0 ↔ x=−2 y x = 1
2
x2− 5x+ 6 = 0 ↔ x= 2 y x= 3
x2− 2x− 120 = 0 ↔ x=−10 y x= 12
6x2+ 17x+ 12 = 0 ↔ x =−3
2y x =−
4 3
11 Calcula el valor de m en la ecuación de segundo grado x2 + mx− 24 = 0, si x = 3 es una de sus soluciones.
Al ser x= 3 una de las soluciones tenemos que: 32+ 3m− 24 = 0 → 3m= 15 →m= 5
Sugerencias didácticas
Tras repasar la resolución de ecuaciones de primer grado, continuamos con el estudio de las de segundo grado. Co-menzamos resolviendo un problema con una ecuación completa.
Insistiremos en que para conocer el número de soluciones de la misma no es preciso resolverla, ya que basta con de-terminar el signo del discriminante.
Como en la unidad anterior estudiamos el concepto de raí-ces de un polinomio, relacionándolo ahora con las solucio-nes de la ecuación que tiene la misma expresión que él.
En el último ejercicio resuelto podemos ver un método geométrico para hallar la solución del primer problema completando una figura cuadrada.
Vídeo. DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
4
Ecuaciones
12 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a) x2− 3x− 10 = 0 b) x2 + x− 12 = 0 c) 2x2− 6x + 4 = 0 d)x2 + x− 42 = 0
a) x1= 5 y x2=−2 b) x1= 3 y x2=−4 c) x1= 1 y x2= 2 d)x1= 6 y x2=−7
13 Indica el número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado, sin resolverlas.
a) x2− 6x + 9 = 0 b) x2 + x + 1 = 0 c) 4x2− 4x + 1 = 0 d) x2− 5x + 6 = 0
a) ∆ = 0 → La ecuación tiene una solución. c) ∆ = 0 → La ecuación tiene una solución.
b) ∆ =−3 < 0 → La ecuación no tiene solución. d) ∆ = 1 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.
14 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 4 y 5.
Respuesta abierta, por ejemplo: (x− 4)(x− 5) = 0 ↔x2− 9x+ 20 = 0
15 Determina los valores de a para que x2 + ax + 4 = 0 tenga una única solución.
La ecuación tiene una solución si ∆ = 0 →a2− 16 = 0 →a=±4
16 Halla el valor de los coeficientes b y c de la ecuación 3x2 + bx + c = 0, si 2 y −3 son sus soluciones.
Si x= 2 es una solución: 3 ⋅ 22+b⋅ 2 +c= 0 →c=−12 − 2b
Análogamente si x=−3: 3 ⋅ (−3)2+b⋅ (−3) +c= 0 →c=−27 + 3b
Luego: −12 − 2b=−27 + 3b→ 5b= 15 →b= 3 →c=−18
17 Resuelve, sin realizar los productos, estas ecuaciones de segundo grado.
a) (x + 1)(x− 1) = 0 b) (2x + 3)(2x− 3) = 0 c) 3(x− 4)(x + 4) = 0 d) (4x− 5)(4x + 5) = 0
a) x1=−1 y x2= 1 c) x1= 4 y x2=−4
b) x1 =−3
2y x2 =
3
2 d) x1 =
5
4 y x2 =−
5 4
18 Si la suma de un número positivo y su cuadrado es 756, ¿de qué número se trata?
Llamamos x al número que buscamos: x2+x= 756 →x2+x− 756 = 0 → x1 =27
x2 =−28
⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪
Como tiene que ser positivo, el número es 27.
19 Halla el perímetro de un cuadrado, sabiendo que, al aumentar la longitud de dos lados paralelos en 12 cm, obtenemos
un rectángulo que tiene una superficie de 364 cm2.
Llamamos x a la longitud del lado del cuadrado.
Si dibujamos sobre cada uno de los lados un rectángulo cuyos lados sean x y 3, respectivamente, el área de la figura que
obtenemos mide: x2+ 4 ⋅ 3x= 364 →x(x+ 12) = 364
Añadimos cuatro cuadrados en las esquinas, completando una nueva figura, es un cuadrado de
lado x+ 6, cuya superficie mide: 364 + 4 ⋅ 9 = 400
Entonces: (x+ 6)2= 400 → x+6=20→x =14
x+6=−20→ x =−26
⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪
Como la medida del lado del cuadrado no puede ser un valor negativo, la única solución válida es: 14 cm
El perímetro del cuadrado es: 4 ⋅ 14 = 56 cm
Desafío
20 Comprueba que, si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, se verifican las relaciones
de Cardano: x1 +x2 =−b
a y x1⋅x2 = c a
Si x1 y x2 son las soluciones de ax2+bx+c= 0 entonces: ax2+bx+c=a(x−x
1)(x−x2)
a(x−x1)(x−x2) =a(x2−x
1x−x2x+x1⋅ x2) =ax2−a(x1+x2)x+ax1⋅ x2
Entonces: b=−a(x1+x2) → x1 +x2 =−b
a c=ax1⋅ x2→ x1⋅x2 =
c a
x
x x2
9 9
4
Ecuaciones3.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
71 4 Actividades 4 Ecuaciones 70 Presta atención
Para resolver ecuaciones de segundo grado incompletas también podemos utilizar la fórmula para obtener las soluciones de la ecuación completa.
}Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5x2− 50x = 0 b) −2x2 + 32 = 0
Comprueba que obtienes el mismo resultado si utilizas la fórmula.
Solución
EJERCICIO RESUELTO
a) 5x(x−10)=0→5x=0→x=0 x−10=0→x=10
⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪
Si utilizamos la fórmula resulta: x=50± 2500
2 5 = 50±50
10 x1=10
x2=0
b) −2x2+ 32 = 0 →−2x2=−32
→x2=16→x= ±16= ±4
Si utilizamos la fórmula resulta: x=0± 256
2 ( 2) =
±16 4
x1= 4
x2=4
3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
INCOMPLETAS
Patricia reta a Mercedes a encontrar algún número que, al elevarlo al cuadrado y sumarle su triple, dé como resultado 0.
Mercedes plantea la ecuación: x2+ 3x= 0
Es una ecuación de segundo grado incompleta. Para resolverla:
1 Extraemos factor común: x(x+ 3) = 0
Obtenemos un producto con resultado nulo; así, al menos uno de los factores debe ser igual a 0.
2 Resolvemos las ecuaciones: ⎨⎧⎪⎪xx+=30=0→x=−3 ⎩⎪⎪
Mercedes puede dar dos soluciones a Patricia, los números 0 y −3. Mercedes devuelve el reto a Patricia y le pregunta si hay más de un número tal que, al hallar el triple de su cuadrado y restarle 12, se obtenga un resultado igual a 0. Patricia piensa en la ecuación: 3x2− 12 = 0
En este caso:
1 Despejamos la única incógnita: 3x2= 12 →x2= 4
Como x está elevado a 2, es decir, es una potencia de exponente par, hay dos valores posibles, uno positivo y otro negativo, que verifican la expresión.
2 Resolvemos la ecuación: x= ± 4= ±2 Patricia también da dos soluciones a Mercedes: los números 2 y −2.
Una ecuación de segundo grado incompleta es aquella en la que los coeficientes b o c son nulos.
❚Si c= 0, es decir, si la ecuación es de la forma: ax2+ bx = 0
•Se resuelve extrayendo factor común y resolviendo las ecuaciones dadas por los factores.
•Siempre hay dos soluciones y una de ellas es igual a 0. ❚Si b= 0, la ecuación es de la forma: ax2+ c = 0
•Solo es necesario despejar la incógnita para resolverla.
•Si a y c tienen distinto signo, la ecuación tiene dos soluciones; y si tienen el mismo, no hay soluciones.
❚Si b= 0 y c= 0, es decir, si la ecuación es de la forma: ax2= 0 •La ecuación solo tiene una solución: x= 0
DESAFÍO Resuelve la ecuación: x(x− 2q) =p2−q2
28
Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) x2− 4x= 0 c) x2+ 5x= 0
b) 2x2+ 12x= 0 d) 3x2− 7x= 0
Calcula, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a) x2− 81 = 0 c) x2+ 1 = 0
b) 2x2− 200 = 0 d) 9x2− 4 = 0 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) 0,01x2− 9 = 0 c) 0,3x2+ 0,7x= 0
b) 0,2x2− 0,8 = 0 d) 0,8x2− 4x= 0 Halla las soluciones, si existen, de las ecuaciones propuestas.
a) 3x2− 2x=x2+ 6x c) (2x−1)2
=5−4x
b) (x−2)2
=4−4x d) (3x−2)2
=1−12x
Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin desarrollar la identidad notable.
a) (2x−7)2
=25 c) (4x−2)2
=196
b) (3x+2)2
=121 d) (2x−1)2
=4
Escribe una ecuación que verifique, en cada caso, que el enunciado es falso.
a) Cualquier ecuación de segundo grado incompleta tiene al menos una solución.
b) Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución no nula, entonces tiene dos soluciones no nulas.
21 22 23 24 25 26
}Resuelve la ecuación: x+1 2−
x−1 ( )2
4 −
1 6=
x+2 3 −
x−2 ( )2
6
Solución
Eliminamos los denominadores, multiplicando la ecuación por su mínimo común múltiplo: m.c.m. (2, 4, 6, 3, 6) = 12
6(x+1)−3(x−1)2
−2=4(x+2)−2(x−2)2 Desarrollamos las identidades notables:
6(x+1)−3(x2−2x+1) −2=4(x+2)−2(x2−4x+4) Quitamos los paréntesis:
6x+ 6 − 3x2+ 6x− 3 − 2 = 4x+ 8 − 2x2+ 8x− 8 Reducimos los términos y resolvemos la ecuación:
1 − 3x2=−2x2→−x2=−1 →x2= 1 →x= ±1= ±1
EJERCICIO RESUELTO
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) x2−6=82−x2
3 c)
x+5
( )(x−5)
3 +8= x+1
4 − 7 12
b) x
2 5+
x 6−4+
x−2 3 =
x 2−
14 3 d)
x−1
( )2 2 + x 3− 5 6= 1 3(5−2x)
27
Aprenderás a…
●Reconocer y resolver ecuaciones de segundo grado incompletas.
Soluciones de las actividades
21 Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) x2− 4x = 0 b) 2x2 + 12x = 0 c) x2 + 5x = 0 d) 3x2− 7x = 0
a) x1= 0 y x2= 4
b) x1= 0 y x2=−6
c) x1= 0 y x2=−5
d) x1= 0 y x2 = 7
3
22 Calcula, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a) x2− 81 = 0 c) x2 + 1 = 0
b) 2x2− 200 = 0 d) 9x2− 4 = 0
a) x1= 9 y x2=−9 c) No tiene solución.
b) x1= 10 y x2=−10 d) x1 = 2
3y x2 =−
2 3
Sugerencias didácticas
En este epígrafe veremos que el método más eficaz para resolver ecuaciones de segundo grado en las que el término independiente es nulo consiste en extraer factor común y reducir la ecuación a dos ecuaciones de primer grado.
Ob-servaremos que en tal caso x = 0 es siempre una de las
soluciones.
Sin embargo, si en la ecuación el coeficiente de x es nulo,
para resolverla podemos despejar la incógnita y extraer la raíz cuadrada.
4
Ecuaciones
23 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) 0,01x2− 9 = 0 c) 0,3x2 + 0,7x = 0
b) 0,2x2− 0,8 = 0 d) 0,8x2− 4x = 0
a) x1= 30 y x2=−30 c) x1= 0 y x2 =−7
3
b) x1= 2 y x2=−2 d) x1= 0 y x2= 5
24 Halla las soluciones, si existen, de las ecuaciones propuestas.
a) 3x2− 2x = x2 + 6x c) (2x− 1)2 = 5 − 4x
b) (x− 2)2 = 4 − 4x d) (3x− 2)2 = 1 − 12x
a) x1= 0 y x2= 4 c) x1= 1 y x2=−1
b) x= 0 d) No tiene solución.
25 Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin desarrollar la identidad notable.
a) (2x− 7)2 = 25 b) (3x + 2)2 = 121 c) (4x− 2)2 = 196 d) (2x− 1)2 = 4
a) x1= 6 y x2= 1 b) x1= 0 y x2 = 7
3 c) x1=−3 y x2= 4 d) x1 =
1
2y x2 =
3 4
26 Escribe una ecuación que verifique, en cada caso, que el enunciado es falso.
a) Cualquier ecuación de segundo grado incompleta tiene al menos una solución.
b) Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución no nula, entonces tiene dos soluciones no nulas.
a) x2+ 1 = 0 es una ecuación de segundo grado incompleta que no tiene solución.
b) x2−x= 0 es una ecuación de segundo grado incompleta que tiene una solución no nula, que es x
1= 1, pero también
tiene una solución nula x2= 0.
27 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) x2−6= 82−x2 3
b) x
2
5 +
x
6−4+
x−2
3 =
x
2−
14 3
c) (x+5)(x−5)
3 +8=
x+1
4 −
7 12
d) (x−1)
2
2 +
x
3−
5
6 =
1
3(5−2x)
a) 3x2− 18 = 82 −x2→ 4x2= 100 →x2= 25 →x = ±5
b) 6x2+ 5x− 120 + 10x− 20 = 15x− 140 → 6x2= 0 →x = 0
c) x2−25
3 +8=
x+1
4 −
7
12→ 4x
2− 100 + 96 = 3x + 3 − 7 → 4x2− 3x = 0 →
x1 =0
x2 = 3
4
⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪
⎩ ⎪⎪ ⎪⎪
d) x
2−2x+1
2 +
x
3−
5
6 =
5−2x
3 → 3x
2− 6x+ 3 + 2x− 5 = 10 − 4x→ 3x2− 12= 0 →x2= 4 →x = ±2
Desafío
28 Resuelve la ecuación: x(x− 2q) = p2−q2
x2− 2qx+q2=p2→ (x −q)2=p2→ x−q= ±p→ x1 =q+p
x2 =q−p
