LECTURA N° 6: TIPOS DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Tomado con fines instruccionales de:
Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas M., (2006). Expresiones Algebraicas, Caracas: UNEFA.
Las expresiones algebraicas son de gran utilidad para expresar matemáticamente comportamientos de carácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Cada comportamiento tiene una expresión algebraica que lo representa. Algunos ejemplos son:
a) El crecimiento de una bacteria puede estar dado por la expresión 1
2+
x
e
, observe que el exponente es una expresión que contiene a la variable x.b) El costo total para construir una cerca para un área rectangular con ciertas condiciones
dadas, esta representada por la expresión algebraica
x
x
43200
3
+
.En virtud de lo expuesto y de las características propias de cada expresión algebraica, éstas se clasifican en: Enteras, Racionales, Radicales y Combinadas.
Expresiones Algebraicas Enteras o Polinómicas.
Son también llamadas polinómicas y se definen como toda expresión algebraica en la que las potencias son de exponente natural, es decir, los exponentes de las variables son números enteros positivos.
Ejemplos:
x
2y
3x
2y
(
z
x
)
3b
3
2
,
4
,
5
3
+
+
Las expresiones algebraicas enteras, a su vez se clasifican en monomios, binomios, trinomios y polinomios, dependiendo del número de términos que posea.
Monomio, expresión que consta de un solo término, por ejemplo:
x
2a
2b
3
2
,
3
Binomio, expresión que consta de dos términos, ejemplos:
(
)
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
2 3 2 52
2
1
,
4
2
,
3
y
x
y
a
b
b
x
Trinomio consta de tres términos, así como en los siguientes ejemplos:
Así, en general podemos definir, que un Polinomio es una expresión algebraica que consta de
más de un término, como:
b
+
x
−
4
y
,
x
3+
6
x
2−
9
x
+
6
,
x
2−
2
x
+
1
, en el conteo de términos sólo se cuentan los términos que no tienen como coeficiente el número cero.Ejemplo 1:
Determinar si la expresión algebraica
P
(
x
)
=
2
x
−3+
3
x
2−
2
x
es un polinomio.
Justifique su respuesta.
Solución:
No es un polinomio, porque tiene un exponente negativo en 3
2
x
− . Los exponentes deben ser enteros y no negativos.Ejemplo 2: Determinar si la expresión algebraicas
P
(
x
)
=
3
x
−
2
x
2 es un polinomio. Justifique su respuesta.Solución:
2
2
3
x
x
x
P
(
)
=
−
equivale aP
(
x
)
=
3
x
1/2−
2
x
2No es un polinomio porque tiene un exponente fraccionario. Los exponentes deben ser enteros y no negativos.
Características de los Polinomios
• Un polinomio posee términos y sus componentes, recuerde que todo polinomio es una expresión algebraica.
• El Grado de un Polinomio, se define como el mayor exponente que tiene la variable del
polinomio.
• Los términos de un polinomio se clasifican en:
NOTA:
Observe que de acuerdo a la definición de polinomio, los binomios y los trinomios son polinomios.
NOTA:
Término Independiente, es aquel que no está acompañado de la variable. Así, para el
polinomio
Q
(x
)
=5
ax
3+
8
bx
2+
ab
, el término independiente del polinomio Q es eltérminoab.
Término Dependientes, son aquellos que están acompañados de la variable. Así, para el polinomio
Q
(x
)
=5
ax
3+
8
bx
2+
ab
, los términos dependientes del polinomioQ
(x
)
son:2 3
8
,
5
ax
bx
.• Un Polinomio Completo, es aquel que con relación a la variable contiene todos los
exponentes sucesivos, desde el más alto hasta el más bajo o viceversa. Así, el polinomio:
)
(
x
P
=x
5−
5
x
4+
3
x
3+
x
2−
x
+
6
es completo con respecto a su variable x, porque contiene todos los exponentes sucesivos desde el más alto (5), hasta el más bajo (0), (6
=
6
x
0).El polinomio
Q
(a
)
=
a
3+
a
2b
−
2
ab
2+
b
3es completo con respecto a la variable “a”. Noteque si definimos como variable del polinomio
Q
a
"
b
"
,Q
(b
)
=a
3+
a
2b
−
2
ab
2+
b
3, éste también es un polinomio completo. El polinomioR
(
x
)
=x
4−
3
x
3+
2
x
+
6
no es un polinomio completo, ya que el término 2x
no está, es decir el coeficiente de 2x
es cero.• Diremos que un polinomio está ordenado, si los exponentes de la variable están en
orden ascendente o descendente.
Así por ejemplo:
a) El polinomio
P
(
x
)
=x
3−
4
x
2−
3
x
+
12
, es un polinomio ordenando en forma descendente,b) El polinomio
Q
(x
)
=3
x
4−
3
x
3+
5
x
6+
4
x
5−
3
x
+
1
, es un polinomio no ordenado.c) El polinomio
R
(x
)
= 2 3 4 55
6
4
3
−
x
+
x
+
x
+
x
−
x
, es un polinomio ordenado ascendente.En general, si tenemos la siguiente expresión
n n
x
a
x
a
x
a
x
a
a
x
P
(
)
=
0+
1+
2 2+
3 3+
Κ
Κ
Κ
+
en donde:
a
n≠
0
n
a
a
a
a
a
0,
1,
2,
3,
Κ
Κ
Κ
etc. son números reales“n” es un entero no negativo
NOTA:
Se puede considerar
P
(
x
)
como un polinomio en “x” de grado “n” y:• Las cantidades
a
0,
a
1,
a
2,
a
3,
Κ
Κ
Κ
a
nson los coeficientes del polinomio.• “x” es la variable o parte variable del polinomio
• “n” es el mayor exponente de “x” y determina el grado del polinomio (entero no negativo).
•
a
0 es el término independienteVeamos algunos ejemplos:
Ejemplo 3: Determinar las características del polinomio
P
(
y
)
=
2
y
5−
4
y
4+
2
y
6+
3
y
2.Solución:
a) Términos dependientes: 5 4 6 2
3
,
2
,
4
,
2
y
−
y
y
y
b) Variable: y c) Grado: 6
d) Coeficientes: 2 (de 5
y
), -4 (dey
4), 2 (dey
6), 3 (dey
2), 0 (dey
3), 0 (dey
)e) Término independiente: 0 f) Polinomio Ordenado: No.
g) Polinomio Completo: No, ya que existen coeficientes, el de
y
3y el dey
, que son iguales a cero.Ejemplo 4: Determinar las características del polinomio
4
3
2
5
4
3
2
)
(
x
=
x
3−
x
2+
x
+
P
.Solución:
a) Términos dependientes:
x
x
,
2
x
5
4
,
3
2
3−
2;
b) Variable: x ; c) Grado: 3;
d) Coeficientes:
3
2
(de x3),
5
4
−
(de x2), 2 (de x), e)Término independiente:4
3
f) Polinomio Ordenado: Si. g) Polinomio Completo: Si.
Expresiones Algebraicas Racionales
Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, donde el denominador es diferente de cero. Ejemplos:
x
y
y
x
y
xy
y
+
+
+
5
4
,
7
5
2 2 3Expresiones Algebraicas Radicales
Son expresiones algebraicas donde las variables están dentro de una raíz.
Ejemplos: 5 x2 + x 3 y2 + z2 +y 3 2 , 3 5 , 2 3
Expresiones Algebraicas Combinadas
Son expresiones algebraicas que contienen expresiones enteras, racionales y/o radicales.
Ejemplos: 2
3 5
2
9
5
3
x
x
x
+
+
; ; 1 2 5 3 3 2 + + + x x
x
;
1
5
3
4 2x
x
y
−
+
+
5
4
3
1
3
4
3 22 3
+
−
+
+
+
−
y
x
x
x
x
Ejercicios propuestos:5. Para cada una de las siguientes expresiones, señale: tipo de expresión y sus
características
a)
12
3
4
5
3
)
(
x
=
x
4+
x
2−
x
+
P
, b)4
3
5
2
)
(
x
=
x
−
Q
c)
R
(
x
)
=
12
x
3+
5
x
−
1
d)T
(
x
)
=
23
x
46. Señale el tipo de expresión al cual pertenecen cada uno de los ejercicios propuestos, en
