C al conjunto de

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(1)

P

a b

eje real eje imaginario

NÚMERO COMPLEJO

Al resolver en

R

la ecuación de segundo grado 2

0

axbx c se analizó el signo del discriminante 2

4

bac y su relación con las soluciones. Si el discriminante es negativo se dice que la ecuación no tiene soluciones reales y por lo tanto S = .

Ejemplo: Resolver en

R

: x2 -16x + 13 = 0. x = ……...

Si quisiéramos resolver la ecuación x2 + 1 = 0, deberíamos hallar valores de x tales que, elevados al cuadrado sean iguales a …….. Pero sabemos que el cuadrado de cualquier número real es ……….., por lo tanto esta ecuación no tiene solución en

R

.

Vamos a estudiar el Conjunto de los Números Complejos, que además de permitir la realización de operaciones imposibles entre los reales como la raíz cuadrada de un número negativo, nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos.

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.

Definición.

Llamamos Conjunto de los números complejos y lo anotamos con la letra

C

al conjunto de pares ordenados de números reales

a b,

.

z 

C

z = (a,b) / a 

R

. , b 

R

. a: se llama parte real

b: se llama parte imaginaria

Igualdad.

Dos números complejos son iguales cuando tienen repectivamente iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.

O sea:

z 

C

, z = (a,b), z’ 

C

, z’= (c,d) z = z’ a = c y b = d

Ejercicio: Hallar m y p R para que z = z’ siendo z = (m - 4, p + 3) y z’ = (5,-6)

Como los números complejos son pares ordenados de números reales podemos efectuar una representación gráfica de los mismos en el plano. En esta representación se le dice eje real al eje Ox y eje imaginario al eje Oy

(2)

Operaciones

Dados z 

C

, z’ 

C

, z = (a,b), z’= (c,d) se define:

Adición: (a,b) + (c,d) = (a + c , b + d)

Multiplicación: (a,b)(c,d) = (ac - bd , ad + bc)

Ejemplo. Dados

2,1

y

0, 3

, hallar: a)

2,1

 

 0, 3

 

 2 0,1 ( 3)  

 

 2, 2

b)

2, 1 0, 3



 

 2(0) 1( 3), 2( 3) 1(0)   

 

 3,6

Ejercicio: Hallar: 1) (1/2, 5) + (-5/2 , -3) 1) (3,-5) + (0,0) = 2) (-2,6) . (3,-4) = 3) (3,7) + (-3,-7) = 4) (4,-9) + (-2,6) = 5) (-2,6) . (1,0) =

Propiedades de la adición:

 Asociativa: (z + z’) + z’’ = z + (z’ + z’’)  z 

C

,  z’ 

C

,  z’’ 

C

 Conmutativa: z + z’ = z’ + z  z 

C

,  z’ 

C

 Neutro:   ,  

C

/ z +  =  + z = z,  z 

C

 Opuesto:  z 

C

,  op(z), op(z) 

C

/ z + op(z) = op(z) + z =

Propiedades de la multiplicación:

 Asociativa: (z . z’) z’’ = z ( z’. z’’)  z 

C

,  z’ 

C

,  z’’ 

C

 Conmutativa: z z’ = z’ z  z 

C

,  z’ 

C

 Neutro:  “1”, “1”

C

/ z .”1”= “1”. z = z,  z 

C

 Inverso:  z 

C

*, inv(z), inv(z) 

C

/ z . inv(z)= inv(z).z = 1

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición:

 (z + z’) z’’ = z . z’’ + z’. z’’  z 

C

,  z’ 

C

,  z’’ 

C

Ejercicio:

1) Comprobar que el complejo = (0,0) es el neutro de la adición. 2) Comprobar que el complejo (1,0) es el neutro de la multiplicación.

3) Dado z

C

, z = (a,b), hallar el complejo (x,y) tal que (x,y) + (a,b) = (0,0)

4) Dado z

C

* , siendo z = (a,b), (a,b)  (0,0), hallar el complejo (x,y) tal que (x,y).(a,b) = (1,0)

Sustracción : (a,b) – (c,d) = (a,b) + (-c,-d) = (a-c , b-d)

División (a,b) : (c,d) = (a,b) · 2c 2, 2-d 2 c +d c +d

 

 

  = 2 2 2 2

ac+bd -ad+bc ,

c +d c +d

 

 

  siendo (c,d)  (0,0)

Ejercicio: 1) Representar gráficamente los afijos de z = ( 2 , 4) , su opuesto y su inverso 2) Calcular : (8, -3) – ( -5, 4)

(3)

Definición

Se llaman complejos reales aquellos cuya componente imaginaria es 0. Ejemplo: z = (4,0)

Ejercicio: Comprobar:

 (a,0) + (b,0) = (a+b , 0)

 (a,0)(b,0) = (a·b , 0)

La suma y producto de complejos reales son complejos……….

Definición

Se llaman complejos imaginarios puros aquellos cuya componente real es 0. Ejemplo: z = (0,3)

Se llama unidad imaginaria y anotamos con la letra i al complejo (0,1): i = (0,1)

Ejercicio: Representar gráficamente los complejos: (5,0), (-3,0), (0,-6), (0,4), i

Observación: 1) los complejos reales tienen sus afijos en el eje …………

2) los complejos imaginarios puros tienen sus afijos en el eje ……….

Ejercicio: Calcular i2

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación:

x

2

 

1

0

.

2 2 2 2

x

 

1

0

x

  

1

x

i

x

 

i

S = {………}

Forma binómica de un número complejo

Sea z = (a,b) un número complejo. Podemos escribirlo como suma de un complejo real y un imaginario puro: (a,b) = (a,0) + (0,b)

Comprobar que: (0,b) = (b,0).(0,1) ………

Por lo tanto se cumple que (a,b) = (a,0) + (b,0)(0,1)

a + bi es la notación binómica del número complejo (a,b) .

El número complejo (a,b) se dice que está escrito en notación cartesiana

Ejemplo: z = (3,-2) (notación cartesiana) z = 3 - 2i ( notación binómica)

Observación: con la notación binómica de un número complejo se opera utilizando las propiedades formales de las operaciones definidas en el conjunto de los números reales, sin necesidad de recordar las definiciones correspondientes a complejos, excepto lo referente a la unidad imaginaria i.

(4)

Q P

a b

eje real eje imaginario

-b

Operaciones (

en la forma binómica)

Suma:

a+bi + c+di = a+c + b+d i

 

 

 

Producto:



2

 

a+bi c+di =ac+adi+bci+bdi = ac-bd + ad+bc i pues i2  1.

Observa que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de adición y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja que en la forma binómica se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo: Si z1(3, 2) y z2(4, 1) , hallar z1z2 y z z1 2, trabajando en forma cartesiana y en forma

binómica.

 

1 2

z + z =(3,2)+(4,-1)= 3+2i + 4-i =7+i 2 1 2

z z =(3,2) (4,-1)=(3+2i)(4-i)=12-3i+8i-2i =(12+2)+(-3+8)i=14+5i

Ejercicio:

Sean z1 = -2 + 4i, z2 = 3 – 5i, calcular: z1 + z2, z1 - z2, z1· z2

Conjugado de un número complejo

Si z = (a,b) llamaremos conjugado del número z, y anotamos _

z tal que _

z = (a, -b).

Ejemplo: z = (5, 3) , _

z = (5, -3)

En notación binómica: si z = a + bi entonces _

z = a - bi Ejemplo. Si z 3 2i, entonces z  3 2i

Si z = -2 -6i, entonces. _

z = -2 + 6i

Ejercicio: Escribir los conjugados de los siguientes complejos: z1 = -4 – 2i z2 = 5i z3 = 6

P es el afijo de (a,b)

Q es el afijo de su conjugado: (a, -b)

(5)

Ejercicio: Siendo z = a + bi, hallar: z + _

z y z ·

_ z .

 z + _

z = ……….

 z ·

_

z = ……….

Observación: Suma y producto de complejos conjugados son complejos ………..

Sustracción y División en notación binómica

a + bi - ( c + di ) = ……….

Para hallar el cociente de dos números complejos puede utilizarse la propiedad demostrada en el ejercicio anterior:

a+bi (a+bi)(c-di) =

c+di (c+di)(c-di)……….

Ejercicio: Calcular: 1) 2 – 8i – (5 + 3i) 2) 3 – i – ( 1 + i ) 3) 5 – 2i : 3 – 4i 4) 4 + 6i : 1 + 2i

Cálculo de

a

siendo a

R

y a> 0.

a

 = c + di siendo a 

R

, c

R,

d 

R

Entonces: ( c + di )2 = -a  c2 – d2 + 2cdi = - a  2 2 c -d = - a

2cd=0

  

Si 2cd = 0  c = 0  d2 = a , como a > 0  d=± a

o

 d = 0  c2 = -a , no es posible porque a > 0

Ejercicio: Hallar: 16, 25, 3

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado

Resolvemos la ecuación en

C.

Si el discriminante de la ecuación 2

ax +bx+c=0 es negativo, debe tenerse en cuenta que 2

i = -1 para resolver la ecuación. .

Ejemplo. Resolver la ecuación 2

x -2x+6=0. ai -a =

- ai

(6)

Se puede ver que el discriminante es 20 lo cual puede escribirse como 2

20i . Por lo tanto:

2

2± -20 2± 20i 2±2 5 i

x= = = =1± 5 i

2 2 2

Así, las raíces complejas de la ecuación son: x =1- 5 i1 y x =1+ 5 i2 .

Observación: En el conjunto de Números Complejos todas las ecuaciones de segundo grado tienen raíces. Si el discriminante es negativo, las raíces que se obtienen son complejos conjugados.

Ejercicio:

Resolver en

C

: 1) x2 – 2x + 5 = 0

2) x2 – 4x + 5 = 0 3) 3x2 + x + 2 = 0 4) 2x2 + 32 = 0 5) -3x2 + 12 = 0

Algunas propiedades de la unidad imaginaria i

i

2

= (0,1)

2

= (0,1)·(0,1) = (0-1,0+0) = (-1,0) = -1

i

3

= i

2

·i = -1.i = -i

i

4

= i

2

·i

2

= (-1)·(-1) = 1

Ejercicio: Calcular

i

5

, i

6

, i

7

, i

8

, i

9

, i

23

, i

52

Observaciones:

1.

Ningún número real cumple

i

2

= -1

Figure

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