PLANO AFÍN
Ecuaciones de la recta
CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón
Si sobre un plano está definida un sistema de referencia definido por una base canónica, cualquier punto de dicho plano se puede unir con el origen, O, de dicho sistema de referencia con un vector cuyas coordenadas cartesianas coinciden con las coordenadas de dicho punto.
a= OA= A – O= (x1,y1)-(0,0)= (x1-0,y1-0)= (x1,y1)
Se deduce entonces que el vector, AB, que une dos puntos cualesquiera del plano viene dado por
a= (x1,y1)
b= (x2,y2)
a + AB= b
de donde
AB= b – a= (x2,y2) - (x1,y1)= (x2-x1,y2-y1)
Siguiendo el razonamiento seguido se puede obtener las
coordenadas del punto medio de un segmento, AB, del que se conocen las coordenadas de sus extremos, A, y, B.
2
AB
AM
m=a +AM= a +
2
AB
= a +
1
2
.(b – a)=1
2
.
(a + b)Sustituyendo en esta expresión los vectores por sus coordenadas cartesianas
(xm,ym)=
1,
1
2,
2
1 2,
1 22
2
2
x y
x y
x
x
y
y
Un razonamiento análogo a este seguido permite obtener la ecuación vectorial de la recta y a partir de ella obtener el resto de las ecuaciones de la
misma:
Ecuación vectorial de la recta
Sea
A(x0,y0) punto por donde pasa la recta
X(x,y) punto genérico de la recta
u= (a,b) vector director de la recta. Indica la
a
A(x1,y1)
a b
A AB B
A M B
m b a
a x
AX= k.u vector proporcional al vector director, u, por tener ambos la misma dirección
se verifica
x= a + AX= a + k.u
en función de las coordenadas rectangulares de estos vectores la expresión anterior se escribe
(x,y)= (x0,y0) + k.(a,b)
expresión que define la ecuación vectorial de la recta. Dándole valores al escalar, k, se obtienen los distintos puntos de la recta.
Ecuación paramétrica de la recta
En la ecuación vectorial de la recta se separan las componentes, por lo que se escribe
x= x0 + k.a y= y0 + k.b
se obtienen estas ecuaciones que juntas definen la ecuación paramétrica de la recta. Dándole valores al escalar, k, se obtienen los distintos puntos de la recta.
Ecuación continua de la recta
En la ecuación paramétrica de la recta se despeja el escalar, k, en cada una de ellas
0
x
x
k
a
k
y
y
0b
igualando los resultados obtenidos
0 0
x
x
y
y
a
b
se obtiene la ecuación continua de la recta.
Ecuación general ó implícita de la recta
En la ecuación continua de la recta se eliminan los denominadores
b.(x-x0)= a.(y-y0)
se eliminan los paréntesis
bx – bx0= ay – ay0
y se pasan todos los términos al primer miembro
bx – ay + ay0 – bx0= 0
se obtiene la ecuación general de la recta. Esta ecuación se escribe
A= b B= -a C= ay0 – bx0
Se deduce que el vector director, u, de la recta viene dado por
u= (a,b)= (-B,A)
Un punto de la recta es aquel cuyas coordenadas verifiquen la ecuación de la misma.
La ecuación general de la recta tiene los siguientes pasos particulares:
A= 0
La ecuación general se escribe
By + C= 0
C
y
B
que es la ecuación de una recta paralela al eje X, del sistema de referencia canónico. El número al que está igualada la coordenada, y, representa el punto del eje coordenado, Y, del sistema de
referencia en el que la recta lo corta paralelamente al eje coordenado, X.
B= 0
La ecuación general se escribe
Ax + C= 0
C
x
A
que es la ecuación de una recta paralela al eje Y, del sistema de referencia canónico. El número al que está igualada la coordenada, x, representa el punto del eje coordenado, X, del sistema de referencia en el que la recta lo corta paralelamente al eje coordenado, Y.
A= 0, B= 0
estos valores no pueden ser simultáneamente nulos, ya que de serlo el vector director de la recta sería el vector nulo
u= (a,b)= (-B,A)= (0,0)
y vector nulo no determina ninguna dirección.
Ecuación explícita de la recta
En la ecuación general de la recta si se despeja la variable dependiente, y, se obtiene la ecuación explícita de la recta.
y= -C B
x= -C A
.
.
Ax
C
A
C
y
x
m x
n
B
B
B
m=
A
B
= tgpendiente de la recta. Indica la inclinación ó ángulo que la recta forma con el semieje positivo coordenado, X, del sistema de referencia, a través de su tangente.
n=
C
B
ordenada en origen. Indica el punto del eje coordenado, Y, en el que la recta lo corta.
Ecuación punto-pendiente de la recta
En la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto, (x0,y0), y que tiene como vector director, u=(a,b),
0 0
x
x
y
y
a
b
si se despeja el numerador que contiene la variable dependiente, y, se obtiene la ecuación punto-pendiente de la recta.
y-y0=
b
a
.(x-x0)= m.(x-x0)m=
b
a
pendiente de la rectaEcuación segmentaria de la recta
Si la recta corta a los ejes, X, e, Y, del sistema de referencia canónico en los puntos, A(a,0), y, B(0,b), respectivamente entonces se tiene:
A(a,0) punto por donde pasa la recta
u= AB= B-A= (0,b) – (a,0)= (-a,b) vector director de la recta
la ecuación continua de esta recta es
0
x
a
y
a
b
rompiendo la fracción del primer miembro B(0,b)
x
a
y
a
a
b
a A(a,0)
pasando al segundo miembro los términos que contienen a las variables, x, e, y
1
x
y
a
b
se obtiene la ecuación de la recta en forma segmentaria. El nombre de segmentaria se debe a que su expresión está en función del valor de los segmentos orientados, a, y, b.
Ecuación normal de la recta
Sea
A(x0,y0) punto por donde pasa la recta
X(x,y) punto genérico de la recta
u=(a,b) vector director de la recta
AX vector que tiene la dirección de la recta y por ello es proporcional al vector director de la misma, u.
n= (-b,a) vector ortogonal al vector director de la recta, u
Se verifica por ser los vectores, n, y, AX, perpendiculares que su producto escalar es nulo
n.AX= 0
como el vector, AX, es el vector resta de los vectores, x, y, a, se tiene
AX= x – a
por lo que
n.(x – a)= 0
es la expresión de la ecuación normal de la recta.
Si el vector, n, normal a la recta es un vector unitario entonces la expresión
n
n
.AX=
n
n
.(x – a)= 0
es la ecuación normal canónica de la recta.
Si se desarrolla la ecuación normal de la recta en función de las coordenadas cartesianas de los vectores que la definen, se tiene
(b,-a).[(x,y) – (x0,y0)]= 0
(b,-a).[(x-x0),(y-y0)]= 0
desarrollando este producto escalar
b.(x-x0) + (-a).(y-y0)= 0
eliminando los paréntesis en la expresión anterior
b.x – b.x0 – a.y + a.y0= 0
teniendo en cuenta la definición de los escalares que aparecen en la ecuación general de la recta
A(x0,y0) X(x,y)
a x
A= b B= -a C= ay0 – bx0
se escribe
Ax + By + C= 0
La expresión de la ecuación normal canónica de la recta se obtiene de la expresión anterior sin más que dividir por el módulo del vector normal, n, todos los coeficientes de la misma
n= (-b,a)= (b,-a)= (A,B)
2 2
n
A
B
de forma que la ecuación normal canónica resulta
Cuando se tienen varias rectas en el plano éstas pueden ocupar entre ellas las siguientes posiciones relativas. El número de posibilidades depende de la cantidad de rectas que se tengan, así para:
Dos rectas
Dos rectas en el plano pueden ocupar las siguientes posiciones relativas:
Secantes
Las dos rectas se cortan en un punto, el cual es un punto común a ambas.
El sistema de ecuaciones que constituyen las ecuaciones de ambas rectas tiene solución y ésta es coincidente con las coordenadas del punto en que ambas se cortan. Según en que forma vengan das las ecuaciones de las rectas se deduce:
Rectas en forma general
Ax + By + C= 0 A’x + B’y + C’= 0
El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman tiene solución si:
Los vectores directores de ambas, u= (-B,A), y, v= (-B’,A’), no son paralelos, es decir, no son proporcionales.
'
'
B
A
B
A
Los vectores ortogonales a ambas rectas, u’= (A,B), y, v’= (A’,B’), no son paralelos, es decir, no son proporcionales.
'
'
A
B
A
B
2 2 2 2 2 2
0
A
B
C
x
y
A
B
A
B
A
B
Rectas en forma explícita
y= m.x + n y= m’.x + n’
El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman tiene solución si:
Las pendientes de ambas, m, y, m’, no son iguales.
m m’
Se llama haz de rectas secantes de vértice el punto, P(x0,y0), al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto, P. La ecuación del haz de rectas es en:
Forma punto-pendiente
y–y0= m.(x-x0)
para cada valor que se le de a la pendiente, m, se obtiene una recta que pasa por el punto, P.
Forma general
Si el punto, P, viene dado como el punto de intersección de dos rectas cuyas ecuaciones vienen dadas en forma general
0
'
'
'
0
Ax
By
C
P
A x
B y
C
El haz de rectas que pasa por el punto de corte de ambas rectas viene dada por una combinación lineal de ambas ecuaciones
( Ax + By + C)+(A’x + B’y + C’)= 0
, números reales no nulos simultáneamente.
si, 0, se llama,
k
por lo que se escribe para la ecuación del haz de rectas
Ax + By + C + k.(A’x + B’y + C’)= 0
para cada valor de, k, se obtiene una recta del haz.
Paralelas
No se cortan en punto alguno. Las rectas no Tienen punto en común alguno.
Rectas en forma general
Ax + By + C= 0 A’x + B’y + C’= 0
El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman no tiene solución si:
Los vectores directores de ambas, u= (-B,A), y, v= (-B’,A’), son paralelos, es decir, son proporcionales.
'
'
B
A
B
A
Los vectores ortogonales a ambas rectas, u’= (A,B), y, v’= (A’,B’), son paralelos, es decir, son proporcionales.
'
'
A
B
A
B
Además de esta condición el hecho de que las rectas sean paralelas obliga a que la proporción anterior no se mantenga con los términos independientes de las mismas.
'
'
'
A
B
C
A
B
C
Rectas en forma explícita
y= m.x + n y= m’.x + n’
El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman no tiene solución si:
Las pendientes de ambas, m, y, m’, son iguales
m= m’
Las ordenadas en origen de ambas no sean coincidentes
n n’
Se llama haz de rectas paralelas a una recta, r, al conjunto de todas las rectas del plano paralelas a la misma.
Si la ecuación de la recta, r, viene dada en forma general, según
Ax+By+C= 0
La ecuación del haz de rectas viene dado por la expresión
Ax+By+k= 0
k número real
Coincidentes
Se cortan en infinitos puntos. Las rectas tienen
todos sus puntos en común, es decir, tienen infinitos puntos en común.
El sistema de ecuaciones lineales que constituyen las ecuaciones de ambas rectas tienen infinitas soluciones. Según en que forma vengan das las ecuaciones de las rectas se deduce:
Rectas en forma general
Ax + By + C= 0 A’x + B’y + C’= 0
El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman tiene infinitas soluciones si:
Los vectores directores de ambas, u= (-B,A), y, v= (-B’,A’), son paralelos, es decir, son proporcionales.
'
'
B
A
B
A
Los vectores ortogonales a ambas rectas, u’= (A,B), y, v’= (A’,B’), son paralelos, es decir, son proporcionales.
'
'
A
B
A
B
’Además de esta condición el hecho de que las rectas sean coincidentes obliga a que la proporción anterior se mantenga con los términos independientes de las mismas.
'
'
'
A
B
C
A
B
C
Rectas en forma explícita
y= m.x + n y= m’.x + n’
El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman tiene infinitas soluciones si:
Las pendientes de ambas, m, y, m’, son iguales
m= m’
Las ordenadas en origen de ambas sean coincidentes
n= n’
Tres rectas
No tienen punto en común alguno
Son rectas paralelas.
Se cortan en un punto
Son rectas concurrentes.
Se cortan en dos puntos
Dos rectas son paralelas y la tercera corta a ambas.
Se cortan en tres puntos
Ninguna de las rectas es paralela a las otras.
Cuatro rectas
No tienen punto en común alguno
Son rectas paralelas.
Se cortan en un punto
Son rectas concurrentes.
Se cortan en tres puntos
Tres rectas son paralelas y la cuarta las corta.
Se cortan en cuatro puntos
Las rectas son paralelas dos a dos.
Se cortan en cinco puntos
Dos rectas son paralelas y las otras dos son se cortan.
Se cortan en seis puntos
Ninguna de las rectas es paralela a las demás.
Cinco rectas
No tienen punto en común alguno
Se cortan en un punto
Son rectas concurrentes.
Se cortan en cuatro puntos
Cuatro rectas son paralelas y la quinta las corta.
Se cortan en cinco puntos
Cuatro rectas son concurrentes y la quinta las corta.
Se cortan en seis puntos
Se cortan en siete puntos
Tres rectas son concurrentes y las otras dos son paralelas.
Se cortan en ocho puntos
Se cortan en nueve puntos
Tres rectas se cortan y las otras dos son paralelas.
Se cortan en diez puntos
Ninguna de las rectas es paralela a las demás.
En el caso de que se tengan, n, rectas se tiene:
Si son paralelas no tienen punto de intersección alguno.
Si son concurrentes tendrán un punto de intersección.
El menor número de intersecciones es, n-1, que se corresponde con, n-1, rectas paralelas y la n-ésima recta secante a todas las demás.
El número máximo de intersecciones cuando las rectas son secantes dos a dos es,
1
2
.n.(n-1),De todas las formas en que se puede dar la ecuación de una recta, se deduce que la información necesaria para poder obtenerlas parte del conocimiento de:
Un punto, P, por donde pase la recta, y
Un vector, u= (a,b), denominado vector director que indique la dirección que ésta lleva
Se puede a partir de esta información deducir:
Ángulo que forman dos rectas
Si se conocen los vectores directores de ambas rectas
Si las rectas son coincidentes o paralelas el ángulo que forman esas rectas es nulo.
Si las rectas son secantes se cortan en un punto, P, vértice de cuatro ángulos iguales dos a dos al ser opuestos. Estos ángulos, , y, , son suplementarios, es decir
+ = 180º
El ángulo que forman estas rectas secantes, coincide con el ángulo que forman sus vectores directores, u, y, u’, de forma que su producto escalar se escribe
u= (a,b)
u’= (a’,b’)
u.u’= u.u’.cos (u,u’)=
u.u’= (a,b) . (a’,b’)= a.a’ + b.b’
igualando ambos resultados del producto escalar de ambos vectores
2 2 2 2
.
'
' .cos( , ')
a
b
a
b
u u
=
a.a’ + b.b’de donde
2 2 2 2
. '
. '
cos( , ')
.
'
'
a a
b b
u u
a
b
a
b
Si las rectas son perpendiculares, entonces también lo son sus vectores directores, en ese caso el ángulo que forman es, 90º, y
cos (u,u’)= cos 90= 0
por lo que se deduce
cos (u,u’)= cos 90= 0=
2 2 2 2
. '
. '
.
'
'
a a
b b
a
b
a
b
eliminando los denominadores
a.a’ + b.b’= 0
Si se conocen las pendientes de ambas rectas
Las ecuaciones de las rectas vienen dadas por las expresiones
y= m.x + n
2 2 2 2
.
'
' .cos( , ')
m= tg 1 y= m’.x + n’
m’= tg 2
el ángulo, , que forman ambas rectas viene dado por = 2 - 1
se verifica entoces
2 1
2 1
2 1
'
(
)
1
.
1
. '
tg
tg
m
m
tg
tg
tg
tg
m m
Si las rectas son perpendiculares, = 90º, en cuyo caso tg =
para lo cual se ha de anular el denominador del segundo miembro
1 + m.m’= 0
1
'
m
m
Distancia entre dos puntos del plano
La distancia, d(A,B), entre dos puntos, A, y, B, del plano coincide con el módulo del vector, AB, que los une.
Sea:
A= (x1,y1)
B= (x2,y2)
AB= B – A= (x2,y2) - (x1,y1)= (x2-x1, y2-y1) se verifica
d(A,B)= AB=
x
2
x
1
2
y
2
y
1
2La distancia entre dos puntos tiene las siguientes propiedades:
d(A,B)= 0; A=B
d(A,B)= d(B,A)
d(A,B) d(A,C) + d(C,B) ó desigualdad triangular
Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto, P, a una recta, r, coincide con el módulo del vector, QP, siendo, Q, el punto de corte de la recta, r, con la recta perpendicular a ella que pasa por el punto, P.
Sea:
P= (x1,y1) coordenadas del punto, P
A= (x0,y0) coordenadas del punto, A, por donde pasa la recta
u= (a,b) vector director de la recta, r
n= (A,B)= (-b,a) vector normal a la recta, r
se verifica
d(P,r)= QP
Por construcción se verifica que el triángulo, AQP, es rectángulo y vectorialmente se tiene
AP= AQ + QP
multiplicando escalarmente ambos miembros por el vector normal, n, a la recta, r
AP.n= (AQ + QP).n= AQ.n + QP.n= QP.n
AQ.n= 0 por ser el producto escalar de dos vectores perpendiculares
en módulos la expresión anterior se escribe
AP.n = QP.n= QP.n expresión de la cual se deduce
d(P,r)= QP=
.
AP n
n
Si esta ecuación se desarrolla en función de las coordenadas escalares de estos vectores se tiene
AP= P – A= (x1,y1) – (x0,y0)= (x1-x0, y1-y0)
n= (A,B)
2 2
n
A
B
Ax +By + C= 0 ecuación general de la recta, r
sustituyendo estos valores en la expresión de la distancia de un punto a una recta
d(P,r)= AP n. n
=
1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
, . , . ( ) (
x x y y A B A x x B y y Ax By Ax By Ax By C
A B A B A B A B
–(Ax0+By0)= C por ser, (x0,y0), un punto de la recta, r, y verificar, Ax0+By0+ C= 0.
Si el punto, P(0,0), es el origen de coordenadas, entonces la distancia de este punto a la recta, r, quedaría
d(P,r)=
2 2
C
A
B
Se puede dar un significado geométrico a cada uno de los coeficientes que resultan de dividir la ecuación general de la recta por el módulo del vector normal a ella
2 2 2 2 2 2
0
A
B
C
x
y
A
B
A
B
A
B
se deduce
cos = cos (i,n)=
2 2 2 2 2 2
1, 0 .
A B
,
1.
A
0.
B
A
A
B
A
B
A
B
cos = cos (j,n)=
2 2 2 2 2 2
0,1 .
A B
,
0.
A
1.
B
B
A
B
A
B
A
B
además
d(O,r)=
2 2
C
A
B
Los coeficientes de, x, e, y, representan a los cosenos de los ángulos que forma el vector normal a la recta con los ejes del sistema de referencia canónico, y el valor absoluto del término independiente proporciona la distancia del origen de dicho sistema de referencia a la recta.
Distancia entre dos rectas
Dadas dos rectas, r, y, r’, se verifica:
Si las rectas son secantes o coincidentes la distancia, d(r,r’), entre ambas es nula
d(r,r’)= 0
Si las rectas son paralelas la distancia, d(r,r’), entre ambas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta
Sean
Ax+By+C= 0 ecuación general de la recta, r
Ax+By+C’= 0 ecuación general de la recta, r’
P(x0,y0) un punto de la recta, r
se tiene entonces que
d(r,r’)= d(P,r’)= 0 0
2 2 2 2
.
.
'
'
A x
B y
C
C
C
A
B
A
B
Ax0+By0= -C por ser, (x0,y0), un punto de la recta, r, y verificar, Ax0+By0+ C= 0.
Es importante simplificar los vectores normales a ambas rectas para que sean iguales y no proporcionales, puesto que la expresión anterior se obtuvo con el supuesto de que éstos fueses iguales.
Lugar geométrico
Es el conjunto de puntos del espacio que cumplen una determinada propiedad.
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento de extremos los puntos, A, y, B, es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.
Sea
P(x,y) un punto genérico de la mediatriz
A(x1,y1) un extremo del segmento, AB
B(x2,y2) un extremo del segmento, AB
se verifica
d(P,A)= d(P,B)
2 2 2 2
1 1 2 2
(
x
x
)
(
y
y
)
(
x
x
)
(
y
y
)
elevando ambos miembros al cuadrado para eliminar las raíces
(x-x1)2+(y-y1)2= (x-x2)2+(t-y2)2
x2 - 2.x.x1 + x12 + y2 - 2.y.y1 + y12= x2 - 2.x.x2 + x22 + y2 - 2.y.y2 + y22 pasando todos los términos al primer miembro
x2- 2.x.x1 + x12+y2- 2.y.y1 + y12- x2+ 2.x.x2 - x22- y2+ 2.y.y2 - y22= 0 sumando los términos semejantes y simplificando
(2x2 – 2x1).x + (2y2 – 2y1).y + (x12 + y12 – x22 – y22)= 0
ecuación que se corresponde con la forma general de una recta
Ax + By + C= 0
A= 2x2 – 2x1
C= x12 + y12 – x22 – y22
Si tres segmentos determinan los lados de un triángulo, a cada uno de esos lados le corresponde una mediatriz, las cuales se cortan en un punto denominado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
Bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas
La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la rectas, r, y, r’, que forman el ángulo.
Sea
P(x,y) un punto genérico de la bisectriz
Ax+By+C= 0 recta, r, que forma el ángulo
A’x+B’y+C’= 0 recta, r’, que forma el ángulo
se verifica
d(P,r)= d(P,r’)
2 2 2 2
.
.
'.
'.
'
'
'
A x
B y
C
A x
B y
C
A
B
A
B
se tienen dos opciones para las cuales se verifica la igualdad anterior
2 2 2 2
.
.
'.
'.
'
'
'
A x
B y
C
A x
B y
C
A
B
A
B
2 2 2 2
.
.
'.
'.
'
'
'
A x
B y
C
A x
B y
C
A
B
A
B
expresiones que desarrolladas dan lugar a las ecuaciones de las bisectrices.
Se verifica:
Las bisectrices de los ángulos formados por dos rectas secantes son perpendiculares.
, ángulos que forman las rectas, r, y, r’ += 180º
como las bisectrices dividen a los ángulos por la mitad
1
1
.(
)
.180º 90º
2
2
2
2
por lo tanto estas bisectrices son perpendiculares.
circunferencia inscrita a dicho triángulo.
Área del triángulo
Sea
A(x0,y0) vértice de un triángulo
C
B(x1,y1) vértice de un triángulo
h
C(x2,y2) vértice de un triángulo
A B Se toma como base el lado, AB, que tiene por longitud el módulo del vector, AB.
AB=
(
x
1
x
0)
2
(
y
1
y
0)
2La altura, h, del triángulo se obtiene por trigonometría
sen (AC,AB)=
h
AC
h= AC.sen (AC,AB)
el área del triángulo es entonces
A=
