Los movimientos periódicos son aquellos en los que cada cierto tiempo se repiten los valores de posición, velocidad y aceleración. A ese intervalo de tiempo se le llama periodo.
El movimiento circular uniforme, el movimiento de oscilación de un péndulo y el de vibración de un muelle son movimientos periódicos.
Movimiento Armónico Simple
Se llama así porque puede expresarse por medio de funciones armónicas: seno o coseno.
Supongamos un cuerpo puntual que describe un movimiento circular uniforme en una circunferencia de radio A, la proyección de ese punto sobre el eje vertical describe un movimiento armónico simple. La ecuación de ese movimiento es: yA sen A sen t si comenzamos a medir el tiempo cuando el ángulo recorrido es cero.
Si el ángulo recorrido al comenzar a contar el tiempo es la ecuación se convierte en
y A sen t , en donde:
y = elongación A = amplitud
= pulsación (t+) = fase
= fase inicial
distancia a la que se encuentra el cuerpo desde la posición de equilibrio. valor máximo de la elongación = radio de la circunferencia.
velocidad angular con la que se describe el movimiento circular.
valor del ángulo en un momento determinado. ángulo con el que se inicia el movimiento.
El periodo es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación completa (tiempo que separa las dos posiciones más próximas que vibran de la misma forma)
2 2
T T
La frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, f 1
T y se mide en s
-1o Hz.
La velocidad con la que vibra el punto en un momento determinado se calcula derivando la elongación con respecto al tiempo:
dy d
v A sen t A cos t
dt dt
que también se puede escribir como:
2
2 2 2
2 2v A cos t A 1 sen t A A sen t A y
La velocidad de vibración es mínima (se anula) en los puntos extremos y es máxima en el centro.
A y
La aceleración con la que vibra el punto es la derivada de la velocidad:
2
2dv d
a A cos t A sen t y
dt dt
La aceleración de vibración es mínima (se anula) en el centro y es máxima en los extremos.
Si representamos gráficamente los valores de la elongación, la velocidad y la aceleración frente al tiempo se obtienen las siguientes gráficas cuando la fase inicial es cero.
Vemos que la velocidad alcanza los valores máximos cuando la elongación es cero y se anula cuando es máxima. Con la aceleración ocurre lo contrario.
Oscilador Armónico: Muelle
Si sobre un muelle de longitud L ejercemos una fuerza F, el alargamiento del muelle es proporcional a la fuerza F (Ley de Hooke). Cuanto mayor sea la fuerza mayor será el alargamiento, siempre que no sobrepasemos el límite de elasticidad (cuando deja de actuar la fuerza el muelle recupera su longitud inicial). La fuerza con la que el muelle recupera la posición inicial es la misma con la que se estira pero de sentido contrario
F 0
F k L L k x
k es la constante elástica del muelle; nos indica la fortaleza del mismo. ¿Con qué periodo vibra un muelle cuando se estira y a continuación se suelta? Describe un movimiento vibratorio en el que la elongación es x:
2 2
2
kx kx 4
F kx ma a x x
m m T
m T 2
k
velocidad
elongación
aceleración
t
EQUILIBRIO
ESTIRAMIENTO
COMPRESION x
Energía de un oscilador armónico
La energía potencial de un muelle es el trabajo necesario para estirar el muelle desde la posición de equilibrio hasta una distancia x.
x x 2
P 0 0
1
E W F dx kx dx kx
2
La energía cinética es:
2 2 2 2 2 2 2 2
C
1 1 1 1
E mv m A cos t kA 1 sen t k A x
2 2 2 2
La energía total del oscilador será la suma de las dos:
2 2
2 2TOTAL C P
1 1 1
E E E k A x kx kA
2 2 2
Si representamos gráficamente el valor de las energías frente a la elongación, tenemos:
Péndulo
Está formado por un punto material sujeto por un hilo inextensible y sin masa que oscila en un plano alrededor de la posición de equilibrio describiendo ángulos pequeños. La fuerza del peso se descompone en dos: una se compensa con la tensión del hilo y la otra genera el movimiento:
F mg sen
el arco recorrido hasta llegar a la posición de equilibrio es L, que coincide con la elongación si el ángulo es muy pequeño:
2
2 2
2 2
2
F mg sen mg m a a g
g L
a x L
4 L
g L L T 2
g T
P=mg
-A
+A
Máxima compresión Máximo estiramiento
ETOTAL
EPOTENCIAL
ECINETICA
La velocidad y la energía cinética del péndulo son máximas en la posición intermedia y nulas en los extremos. La aceleración y la energía potencial son máximas en los extremos y nulas en el centro.
La energía potencial en los extremos es:
P
E mgh mg L L cos mgL 1 cos
La energía total se mantiene constante, luego la velocidad en el punto más bajo es:
2
C P
1
E mv mgL 1 cos E
2
v 2gL 1 cos
Movimiento ondulatorio
Una onda es una perturbación que se traslada a lo largo de un medio. Cualquier punto al que llega una onda vibra de la misma forma que el punto en el que se origina pero un tiempo t’ más tarde; el tiempo que tarda la perturbación en llegar a ese punto.
Si la onda se propaga con una velocidad constante v tardará un tiempo t’ en llegar a un punto que está a una distancia x del origen:
x t '
v
A la distancia entre dos puntos consecutivos que están vibrando de la misma forma se le llama longitud de onda . El tiempo transcurrido desde una posición hasta la otra es el periodo.
x 2 x 2 t 2 x
y A sen t t A sen t A sen t A sen
v T v T Tv
2 t 2 x
A sen A sen t kx
T
en dondese llama pulsación 2
T
y k es el número de ondas k 2
La velocidad de propagación de la onda es v
T k
x
P
T
O
h
L
La ecuación del movimiento ondulatorio y A sen
t kx
es periódica en el tiempo y en elespacio.
Cada vez que pasa un tiempo igual al periodo, el valor de las magnitudes se repite y cada vez que se recorre una distancia igual a la longitud de onda los valores se repiten.
Si derivamos respecto al tiempo:
2
2 2
2
y A sen t kx
y
v A cos t kx
t
v y
a A sen t kx A y
t t
Si derivamos respecto al espacio:
2
2 2
2
y A sen t kx
y
Ak cos t kx x
y
Ak sen t kx Ak y
x
Si dividimos entre sí las segundas derivadas, tenemos:
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
y
A y y y
t v v
k
y Ak y t x
x
Clasificación de las ondas:
De acuerdo con el medio en el que se propagan pueden ser:
Ondas mecánicas: Necesitan un medio material para propagarse. Ej: el sonido.
Ondas electromagnéticas: No necesitan medio para propagarse. Se pueden propagar en el vacío y todas se propagan con la misma velocidad. Ej: la luz
Según la dirección de propagación:
Ondas transversales: La dirección de vibración de los puntos y la de propagación de la onda son perpendiculares. Ej: las ondas producidas en un estanque.
Ondas longitudinales: La dirección de vibración y la de propagación son coincidentes. Ej: el sonido.
Principio de Huygens
Interferencias
Se denomina interferencia a la coincidencia de dos ondas en un punto en el tiempo y en el espacio. Cuando un punto es alcanzado por dos ondas su elongación es la suma de las producidas por cada onda. Vamos a ver el caso más sencillo de interferencias. Supongamos dos puntos 1 y 2 en los que se están produciendo dos ondas idénticas con misma amplitud y misma frecuencia:
1 1
2 2
y A sen t kx
y A sen t kx
El punto P vibrará de acuerdo con la suma de las dos:
P 1 2 1 2
y y y A sen t kx A sen t kx
Si recordamos que: senA senB 2senA BcosA B
2 2
tenemos que:
1 2 1 2P 1 2
1 2 2 1 2 1 1 2
t-kx t-kx t-kx t+kx
y A sen t-kx sen t-kx 2Asen cos
2 2
x x x x x x x x
2Asen t k cosk 2A cosk sen t k
2 2 2 2
el punto P vibra de acuerdo con la ecuación de una onda en la que la amplitud varía en función de los valores de x
1y x2.
Interferencia constructiva
Se dice que en un punto hay interferencia constructiva si la amplitud alcanza el valor máximo; las dos amplitudes se suman.
Se produce interferencia constructiva en todos aquellos puntos en los que la diferencia de camino (x
2 -x
1) es igual a un número entero de longitudes de onda.
2 1 2 1
2 1
2 1
x x x x
cosk 1; k n
2 2
2 x x
n 2
x x n
Interferencia destructiva
Se dice que en un punto hay interferencia destructiva si la amplitud alcanza el valor nulo, se anula el coseno y las amplitudes se restan.
Se produce interferencia destructiva en todos aquellos puntos en los que la diferencia de camino (x
2-x1) es igual a un número impar de semilongitudes de onda.
2 1 2 1
2 1
2 1
x x x x
cosk 0; k 2n 1
2 2 2
2 x x
2n 1
2 2
x x 2n 1
Ondas estacionarias
Se trata de un tipo especial de interferencia. Supongamos una cuerda, fija en los extremos, por la que se propaga una onda. La onda rebota en el extremo de la cuerda y todos los puntos de la misma vibran como consecuencia de la interferencia de dos ondas iguales que se propagan en sentidos contrarios.
1
P 2
y Asen t kx
y Asen t kx Asen t kx
y Asen t kx
P
t kx t kx t kx t kx
2Asen cos
2 2
y 2 A cos(kx)sen( t)
El resultado es una onda que no es del mismo tipo que las que la producen. No hay término
( t kx) y cada punto de la cuerda vibra con una amplitud determinada que es constante para ese punto.
Hay puntos que no vibran nunca, los nodos. La distancia entre dos nodos consecutivos es /2. Hay puntos que vibran al máximo, los vientres. La distancia entre dos vientres consecutivos es /2. Entre dos vientres siempre hay un nodo y viceversa.
Efecto Doppler
Supongamos un punto E, en reposo, que está emitiendo una onda con una frecuencia determinada. Tanto el observador 1 como el 2 reciben la onda con la misma frecuencia con la que se produce. Si el emisor se mueve hacia la derecha mientras emite ondas,
llegan al observador 1 más juntas con lo que disminuye y
aumenta la frecuencia.
El observador 2, del que se aleja el emisor, recibe las ondas más separadas, con mayor y con menor frecuencia.
Al cambio de frecuencia producido cuando varía la distancia entre el emisor de ondas y el observador se denomina efecto Doppler.
O2 O2
O1 O1
E E
NODOS VIENTRES
Si el emisor se acerca al observador:
MVTO REPOSO EMISOR
ONDA ONDA EMISOR
MVTO REPOSO REPOSO
ONDA ONDA EMISOR
MVTO REPOSO
ONDA
MVTO REPOSO
ONDA EMISOR
v T
v v v
f f f
v v v
f f
v
f f
v v
Si el emisor se aleja del observador, la velocidad del emisor tiene el signo contrario y la frecuencia será:
ONDA
MVTO REPOSO
ONDA EMISOR
v
f f
v v
Se pueden hacer razonamientos similares para el caso en que se muevan a la vez el emisor y el observador:
ONDA OBSERVADOR
MVTO REPOSO
ONDA EMISOR
v v
f f
v v
En donde las velocidades son positivas si se produce un acercamiento y negativas si se produce un alejamiento.
Si se trata de una onda sonora, el sonido se hace más agudo (mayor frecuencia o menor longitud de onda) cuando se acerca el emisor y más grave (menor frecuencia o mayor longitud de onda) cuando se aleja del observador.
Emisor en reposo vEMISOR=0
Emisor en movimiento vEMISOR<vONDA
Si el emisor se desplaza con una velocidad mayor que la de propagación de la onda se produce una onda de choque representada por la línea de puntos que es tangente a todas las ondas. Por esta razón los barcos dejan una estela en forma de V cuando se desplazan. En el caso del sonido la onda de choque tiene forma cónica y el ángulo es tal que:
ONDA EMISOR
EMISOR ONDA
v t 1 v
sen ; m
v t m v
Donde m es el número de Mach que es la relación entre la velocidad del emisor y de la onda. Para el caso de un avión y del sonido indica la velocidad de un avión en función de la del sonido en el aire (Mach1=340 m/s).
El efecto Doppler también se observa en el caso de ondas luminosas y nos permite saber si un objeto celeste con luz propia se acerca hacia nosotros (se produce un desplazamiento hacia el azul; menor longitud de onda) o si se aleja de nosotros en cuyo caso se produce un desplazamiento hacia el rojo (mayor longitud de onda).
Atenuación
La intensidad de un movimiento ondulatorio es la energía que atraviesa una superficie unidad perpendicular a la dirección de propagación por unidad de tiempo
2 2
E P
I
4 r t 4 r
Si tenemos dos puntos, la relación entre las intensidades será: 2
1 2
2
2 1
I r
I r
La energía de una onda es proporcional a la amplitud: 2
1 1
2
2 2
I A
I A
Y comparando las dos, tenemos:
1 2
2 1
A r
A r
La amplitud de la onda y la distancia al foco emisor son inversamente proporcionales con lo que la onda se va atenuando a medida que nos alejamos del foco.
vONDAt
vEMISOR t
Absorción
Supongamos una onda sonora de intensidad I0 que atraviesa una pared de un material que tiene un coeficiente de absorción . La intensidad después de atravesar la pared será menor y depende del material del que esté hecha la pared, del espesor de la pared y de la intensidad de la onda:
F
0
I L F x
F 0
I 0
0
dI dI
I dx
dx I
I
dI dx Ln x I I e
I I
Nivel de intensidad sonora.
El nivel de intensidad de una onda sonora se define como
0
I 10 log
I
en donde I es el valor de la
intensidad e I0el valor de la frecuencia umbral, la más baja que se puede oír, 10-12Wm-2. Se mide en decibelios dB. La intensidad máxima que el oído humano puede tolerar, sin sensación dolorosa, es de 130 dB que corresponde con
13 13 12
2
0 0 0
I I I W
130 10log 13 log 10 I 10 10 10
I I I m
L
I0 IF