01. Un automóvil se mueve con una velocidad de 19,3 m/s y cae lluvia a 8,9 m/s en forma directa hacia abajo. ¿Qué ángulo forma la lluvia con respecto a la horizontal en la ventanilla del conductor?
El ángulo que forman las gotas de lluvia con la horizontal de la ventana es:
8,9
tg 0,46 arc tg 0,46 24,76º
19,3
02. La gráfica de la velocidad de un móvil frente al tiempo es la que aparece en la figura.
a) Dibujar la gráfica e frente a t. b) Dibujar la gráfica a frente a t. c) Calcular el espacio total recorrido Las gráficas son:
c) el espacio total recorrido es el área de la gráfica v frente a t: eTOTAL 100 500 300 150 1050m
03. Indicar qué representa cada una de las gráficas. Dibujar las gráficas aceleración frente a tiempo y espacio frente a tiempo para cada una de ellas.
a) La velocidad disminuye, se hace cero, y sigue disminuyendo (aumentando en valor absoluto). Es el caso de una piedra que se lanza hacia arriba. La aceleración siempre es negativa (-g)
b) La primera parte tiene aceleración positiva y la segunda negativa. c) Movimiento de frenado hasta hacer cero la velocidad y luego acelerado. d) Es la representación espacio frente a tiempo para el movimiento b)
vAUTO
19,3
8,9
v(m/s)
t (s)
10 30 40
20 30
50
a(m/s2)
t (s)
10 30 40 50
e(m)
t (s)
10 30 40 50
v
t v
t v
t x
t
a) b) c) d)
e
t
e
t a
t
a) a c) c)
t
04. Una señal de radar detecta un buque a 10 km al este de nuestra posición y que se está desplazando hacia el norte a 25 km/h. Nuestra lancha rápida puede alcanzar 40 km/h.
a) ¿En qué dirección debemos ir para interceptar al buque? b) ¿Cuánto tiempo tardaremos en alcanzarlo?
c) ¿Dónde lo interceptaremos?
En el triángulo de la figura,
2 2 2 2 2 2
L B
e e 10 1600 t 625t 100 975t 100 t 0,32h
Nos movemos en una dirección que forma un ángulo a con la horizontal:
B v t
tg 0,8 38,66º
10
Y el buque habrá recorrido 8 km antes de ser interceptado.
05. Las aguas de un río de 400 m de anchura se desplazan con una velocidad de 8 m/s. Una barca cruza el río de orilla a orilla, manteniéndose perpendicular a la corriente. La barca se mueve con una velocidad constante de 10 m/s. Calcular:
a) Tiempo necesario para cruzar el río.
b) Desviación sufrida por la barca debido a la corriente.
c) Dirección en la que tiene que moverse la barca para que la trayectoria sea perpendicular a la orilla del río.
a) en vertical el movimiento es uniforme
VERT barca
e 400
t 40 s
v 10
b) en ese tiempo, en horizontal
HOR rio
e v t 320m
c) el ángulo, respecto a la vertical es
rio barca v
arcsen 38,66º
v
06. Un cuerpo parte del reposo y se mueve con aceleración constante. En un momento dado tiene una velocidad de 9,14 m/s, y 48,8 metros más lejos lleva una velocidad de 15,2 m/s. Calcula:
a) La aceleración.
b) El tiempo empleado en recorrer los 48,8 m.
c) El tiempo necesario para alcanzar la velocidad de 9,14 m
d) La distancia recorrida desde que arranca hasta que alcanza la velocidad de 9,14 m/s.
Para el tramo recorrido 2 2 2 2 2
F 0
v v 2ae; 15,2 9,14 2a·48,8; a 1,51ms el tiempo en el que recorre ese espacio es t vF v0 4,01s
a
si parte del reposo tarda t vF v0 6,05s
a
en alcanzar los 9,14 m/s y recorre e 12,14m
07. Un coche de policía detecta con el radar un coche que se mueve a 90 km/h en zona urbana 100 m por delante. Arranca en su persecución 10 s después de detectarlo, y acelera hasta alcanzar una velocidad de 108 km/h en 20 s, la cual mantiene constante a partir de ese momento. Calcula:
a) Tiempo que tarda el coche de policía en alcanzar al otro.
10 km
LANCHA BUQUE
eL=vL·t
eB=vB·t
400 m
desviación
v
barcav
TOT1 1
C P
v 25ms ; v 30ms ; el policía tiene una aceleración a vF v0 1,5ms 2
t
el espacio recorrido por los dos coches es el mismo
COCHE
2 POLICIA
e 100 25·t
100 25·t 300 30 t 900; t 140 s 1
e 1,5·20 30(t 30)
2
el espacio recorrido es ePOLICIA 300 30(140 30) 3600m
08. Un cuerpo se deja caer libremente desde lo alto de un rascacielos. Al cabo de un tiempo t, pasa por un punto A. Cinco segundos más tarde, pasa por un punto B. La velocidad del cuerpo en B es 6 veces mayor que en A. Hallar:
a) El tiempo t.
b) Distancia entre los puntos A y B. c) Altura desde la que cae el cuerpo
A 0 B A
B 0
v v gt 10t v 6v
v v g(t 5) 10t 50 10t 50 60t t 1s
la distancia entre A y B es:
2 2
1 1
AB OB OA 10·6 10·1 175m
2 2
El cuerpo cae desde el punto O y cuando llega a B ha recorrido 180 m
09. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 m/s. Cinco segundos más tarde se dispara otro proyectil en la misma vertical y con la misma velocidad inicial. Calcula:
a) Cuánto tiempo tarda el segundo proyectil en alcanzar al primero. b) A qué altura lo alcanza.
c) Qué velocidad tiene cada proyectil en el momento del encuentro
El segundo alcanza al primero cuando estén a la misma altura. Como la velocidad es la misma, uno estará subiendo y el otro bajando
2 1
2 2
h 100 t 5t
625 50 t; t 12,5s
h 100(t 5) 5(t 5)
en ese momento están a una altura h 100 t 5t 2100·12,5 5·12,5 2468,75m
y las velocidades serán:
1 1
1 2
v 100 10·12,5 25ms
v 100 100(12,5 5) 25ms
En el momento del choque, el cuerpo 1 está bajando y el 2 está subiendo.
10. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de diferencia, el primero con una velocidad inicial de 50 m·s-1 y el segundo con 80 m·s-1. Calcula el tiempo transcurrido hasta que estén
los dos a la misma altura. ¿A qué altura se encuentran? ¿Qué velocidad tiene cada cuerpo en ese instante?
A
B O
t
t+5 100 m
acelerado unif
unif
Cuando se encuentran la altura es la misma. ¡Ojo! El segundo está en el aire 2 s menos.
2
2 2
1
2 2
1
h 50 t 10 t 50 t 5t 80(t 2) 5(t 2)
2
1 t 3,6 s
h 80(t 2) 10(t 2)
2
La altura es 2
1 2
h h 50 t 5t 115,2m
La velocidad de cada cuerpo será:
1 1
1 2
v 50 10·3,6 14ms
v 80 10·1,6 64ms
11. Se lanza desde el suelo una pelota, formando un ángulo de 30° con la horizontal, y cae justo en el borde de una terraza de un edificio situado a 30 m de distancia del punto de lanzamiento. La terraza está a 10 m de altura. Calcular la velocidad inicial de la pelota.
Si la pelota sale desde el origen de coordenadas, la terraza está en el punto (30,10). Las coordenadas de ese punto cumplen la ecuación del tiro parabólico:
2 2
1 0
2 2 2 2
0 0
gx 10·30
y xtg ; 10 30tg30 ; v 28,63ms
2v cos 2v cos 30
12. Un jugador de béisbol lanza una pelota con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de elevación de 30°. En ese mismo instante, otro jugador situado a 150 m del primero en la misma dirección que lleva la pelota, empieza a correr con velocidad constante de 10 m/s para intentar cogerla. ¿Llegará a coger la pelota?.
La pelota sube hasta que vy 0 50·sen30 10t; t 2,5s por lo
que está 5s en el aire. En ese tiempo recorre en horizontal un
espacio ex 50 cos30·t 216,5m
El segundo jugador tiene que recorrer 216,5 150 66,5m en 5s.
Tiene que correr a 13,3 m/s por lo que no llega.
13. En 1971, el astronauta Alan Shepard se llevó un palo de golf a la Luna, donde la aceleración de la gravedad es de aproximadamente g/6. Si golpeara una bola con la misma velocidad y ángulo con que en la Tierra alcanza 120 m, ¿qué distancia recorrería la bola en la Luna?
El alcance del lanzamiento es:
2 0 T 2
T
0 T L
L T
2
L T 0
L
L
v sen2 x
g
v sen2 x g 1
x x 6 x 720m
g v sen2 x g 6
x
g
A igualdad de otros factores, en la Luna recorrería 6 veces más que en la Tierra.
14. Un bombero dirige la manguera hacia arriba formando un ángulo de 75º respecto a la horizontal. Si el agua sale de la manguera a 1,5 m por encima del suelo y con una velocidad de 22 m/s, ¿qué altura alcanzará? ¿a qué distancia caerá en el suelo?
Se trata de un tiro parabólico.
La velocidad inicial en vertical es 1
0Y
v 22sen75 21,25ms y en el punto más alto se para
FY 0Y
v v g t 0 21,25 10 t t 2,125s y en ese tiempo recorre
2 2
0Y 1 2
e v t gt 21,25·2,125 0,5·10·2,125 22,57my la altura alcanzada por el agua es 24,07 m.
Con la ecuación de la trayectoria, que no parte desde el suelo, obtenemos el alcance horizontal
2 2
0
2 2 2 2
0 2
1 2
g x 10 x
y x tg y y 0 x tg75 1,5
2v cos 2·22 cos 75
0,154 x 3,73 x 1,5 0 x 0,39 x 24,61
el agua cae a 24,61 m de distancia.
15. La velocidad angular de una rueda disminuye uniformemente desde 900 hasta 800 rpm en 5 s. Calcula la aceleración angular, el número de vueltas que da la rueda en ese tiempo, y calcula el tiempo necesario para que la rueda se pare.
La aceleración de frenado es:
1 0
2 F 0
1 F
900rpm 30 rad·s
2 rad·s
80 t 3
800rpm rad·s
3
el ángulo recorrido es: 2 2
0
1 2 40
t t 30 ·5 rad 6,66 vueltas
2 3 3
para que se detenga F 0 t; 0 30 2 t; t 45s
3
16. Un punto material describe una circunferencia de 25 cm de radio, aumentando su velocidad de una forma constante. En un momento dado, su velocidad es de 0,9 m/s, y 0,25 s más tarde es de 1,0 m/s. Calcula el módulo, dirección y sentido de la aceleración en el primer instante.
0 2
0
En el instante t, v v at 0,9 at 0,9
a 4 ms
En el instante t 0,25, v v a(t 0,25) 1,0 at 0,25a 1
La dirección es tangente a la trayectoria en el sentido del movimiento.
17. Las ecuaciones paramétricas de un movimiento son x=2t, y=3sent. Escribir la ecuación de la trayectoria, y representarla gráficamente entre los instante t=0 y t=2. Calcular, en ese intervalo, los instantes en los que el cuerpo está parado y en los que la aceleración es nula.
La ecuación de la trayectoria es y 3senx 2
Se trata de un movimiento en un plano y el vector de posición es
r 2ti 3sentj
Los vectores velocidad y aceleración se obtienen derivando:
dr d
v (2ti 3sent j) 2i 3cost j
dt dt
a dv d(2i 3cost j) 3sent j
dt dt
x 2
4
18**. Un coche se aleja de una torre de 300 m de altura con una velocidad de 72 km/h. Calcula la velocidad con la que se aleja de la cima de la torre cuando se encuentra a 400 m de la base de la misma. ¿Tiene aceleración el movimiento?
El móvil parte de la base de la torre con una velocidad de 20 m·s-1, el espacio que recorre es e=20·t y la distancia desde el
móvil hasta la cima de la torre en cada instante es:
2 2
x 300 400 t
La velocidad con la que se aleja de la cima de la torre es la derivada de esa distancia con respecto al tiempo.
Cuando se encuentra a 400 m de la base han pasado 20 s desde que comenzó el movimiento, luego la velocidad en ese momento es el valor de la derivada en el instante t=20s
1 20
2 2
dx 800t
v v 16m·s
dt 2 300 400 t
El movimiento es acelerado puesto que a dv 0 dt
19*. Dos velas de la misma altura h, se encuentran a una distancia a. La distancia entre cada vela y la pared más próxima es a. Calcular la velocidad con la que se mueven las sombras sobre las paredes. Dato: la primera vela se quema con una velocidad v1 y la segunda con v2.
Cuando ha pasado un tiempo t desde el comienzo, las coordenadas del extremo de cada vela son:
vela1 (a, h v t) 1 y vela2 (2a, h v t) 2
La línea de sombras pasa por esos dos puntos y su ecuación es:
1 2 1 1 2 1
1 2 1
1 1 2 1 2
1
y y y y y (h v t) (h v t) (h v t)
x x x x x a 2a a
y h v t v t v t v t v t
y (x a) v t h
x a a a
Los extremos de las sombras sobre las paredes están en esta recta y cumplen su ecuación.
Sombra 1: su longitud es s1, 1 1 2 1 2 1
v t v t
x 0 s (0 a) v t h v t 2v t h
a
y su velocidad es: 1
s1 2 1
ds
v v 2v
dt
Sombra 2: su longitud es s2, 2 1 2 1 1 2
v t v t
x 3a s (3a a) v t h v t 2v t h
a
y su velocidad es: 2
s2 1 2
ds
v v 2v
dt
300m
400m 20 ms-1
h-v1t h-v
2t
s1
s2
20*. Desde una azotea de 20 m de altura se deja caer una canica. En su trayectoria de bajada, la canica choca con un saliente en la pared, saliendo rebotada horizontalmente; el choque se puede considerar perfectamente elástico. Si dicho saliente está a una altura de 5 m sobre el suelo calcule:
a) El aumento del tiempo de caída para la canica debido al choque con el saliente.
b) ¿A qué altura sobre el suelo debería encontrarse el saliente si deseamos que dicha diferencia sea máxima?
c) ¿A qué altura sobre el suelo debería encontrarse el saliente si deseamos que el desplazamiento horizontal de la canica sea máximo?
a) El tiempo que tarda en caer si no hay saliente, es e 1gt2 t 2e 2s
2 g
Con el saliente recorre 15m en caída libre, es decir, 3 s y después 5m sin velocidad inicial en 1s
El aumento de tiempo es t 3 1 2 0,73s
b) En la primera parte recorre 20-h metros en un tiempo t1 0,2·(20 h) y en la segunda h metros en un
tiempo t2 0,2·h. El tiempo total es t 0,2·(20 h) 0,2·h y la diferencia de tiempos es
t 0,2·(20 h) 0,2·h 2
Para que esa diferencia de tiempos sea máxima, la derivada tiene que ser nula:
d t 0,2 0,2 0 (20 h) h h 10m
dh 2 0,2·(20 h) 2 0,2·h
c) Hacemos lo mismo que en el apartado anterior:
La velocidad al final de la primera parte del recorrido es v g·t 1 20(20 h) . Con esa velocidad rebota y se mueve en horizontal (tiro horizontal) durante un tiempo t2, por lo que recorre un espacio de
2 HOR 2
e v·t 20(20 h)· 0,2h 4 h(20 h) 80h 4h
Para que ese espacio sea máximo, su derivada debe ser nula
HOR 2
80 8h
d e 0 h 10m
dh 2 80h 4h
21. Un hombre en una barca navega río arriba. Al pasar por debajo de un puente se le cae una botella sin que la eche de menos hasta 20 minutos más tarde, cuando necesita un trago. En ese momento da la vuelta inmediatamente, y remando con la misma velocidad respecto al agua que antes logra atrapar la botella un kilómetro más abajo del puente. Calcular la velocidad del agua del río.
Durante 20 minutos la barca se mueve con una velocidad vBARCOvRIO río arriba y recorre un espacio e1(vBARCOv )·20RIO
En ese tiempo la botella se mueve río abajo con una velocidad vRIO y recorre e2 v ·20RIO
5m 20m
PUENTE
Cuando la barca da la vuelta se mueve con velocidad vBARCOvRIO y cuando se vuelva a encontrar con la botella:
BARCO RIO BARCO RIO RIO RIO BARCO RIO BARCO RIO RIO RIO
BARCO BARCO
(v v )·t (v v )·20 v ·20 v ·t
v ·t v ·t v ·20 v ·20 v ·20 v ·t
v ·t v ·20 t 20min
La botella ha recorrido 1km en 40 min arrastrada por el río, luego la velocidad del río es:
1 RIO
1000
v 0,42m·s
40·60
22. Un jugador de fútbol a 20,0 m de la portería está listo para marcar un gol. En su camino se interpone el portero, que tiene una altura de 1,70 m y está separado 5,00 m de la portería, cuyo travesaño tiene una altura de 2,44 m. El delantero lanza el balón hacia la portería a 18 m/s. ¿Para qué rango de ángulos podría marcar un gol el jugador (el balón pasa por encima del portero pero por debajo del larguero)?
a) el lanzamiento tiene que pasar por encima del portero. Aplicamos la ecuación del tiro parabólico:
2 2
2 2 2 2
0 2
2
2 2 2
g x 10 x
y x tg 1,70 15tg
2 v cos 2·18 cos
10·15 1
1,70 15tg 1,70 15tg 3,47 3,47 tg 15tg 5,17 0
2·18 cos cos
Las soluciones de la ecuación son 75,78º y 20,71º
Cualquier lanzamiento entre 20,71º y 75,78º sobrepasa al portero. b) el lanzamiento tiene que tener un alcance horizontal superior a 20 m:
2 0
2 0
v sen2 g·x 200
x sen2 0,617 19,06º y 70,94º
g v 324
Para un ángulo comprendido entre 19,06º y 70,94º el alcance es superior a 20 m.
c) Cuando el balón ha recorrido 20 m en horizontal la altura tiene que ser inferior a 2,44 m:
2 2
2 2 2 2
0 2
g x 10·20
y x tg 2,44 20 tg
2 v cos 2·18 cos
6,17 tg 20 tg 8,61 0
Las soluciones de la ecuación son 69,60º y 26,93º. La altura es inferior a 2,44 si el ángulo de
lanzamiento es menor que 26,93º o mayor que 69,60º.
Para que el balón entre en la portería debe cumplir las tres condiciones anteriores y la solución será la intersección de los tres intervalos anteriores:
ángulo de lanzamiento comprendido en el intervalo (20,71º-26,93º) o en el intervalo (69,60º- 70,94º).
5 m 15 m
18 m·s-1