DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS ELÉCTRICOS UTILIZANDO EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

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(1)

I N S T I T U T O P O L I T É C N I C O N A C I O N A L

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y

ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”

DETERMINACIÓN DE PA

RÁMETROS ELÉCTRICOS UTILIZANDO

EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO ELECTRICISTA

PRESENTA:

SANCHEZ CONTRERAS CHRISTIAN HERIBERTO

ASESORES: DR. FERMÍN PASCUAL ESPINO CORTÉS

M. EN C. JOSÉ DOLORES JUÁREZ CERVANTES

(2)
(3)

III

Agradecimientos

Gracias señor, sin ti no somos nada.

Habiendo concluido mis estudios en ingeniería eléctrica, es de

suma importancia dirigir mi más sincero agradecimiento hacia las

formidables personas, que han sido parte de mi existencia, de mis

motivaciones y consecuentemente de este trabajo, primero que

nada hay que mencionar al pueblo mexicano, el cual gracias a sus

aportaciones económicas, sostiene escuelas públicas tales c omo el

Instituto Politécnico Nacional del cual proceden miles de

profesionistas que dan la cara por el país, en particular,

permitieron que su servidor concluyera sus estudios felizmente.

A mis padres esos dos pilares que han sostenido y me han

trasmitido los valores y principios que me caracterizan, los amo

con toda mi alma, conozco las penas por las que tuvieron que

pasar para permitirme alcanzar lo que a ustedes no les fue

permitido.

Con especial gratitud a mi director de tesis y más que nada mi

amigo Dr. Fermín Pascual Espino Cortés, el cual me ha acogido en

el momento más oportuno y me ha ampliado el panorama en el

área eléctrica, ya que me apoyó con paciencia y mucha

insistencia a lo largo del desarrollo de este trabajo y me

compartió una pequeña parte de sus extensos conocimientos.

Al Ing. Javier Castro López uno de los mejores maestros que he

tenido el placer de conocer en el aula y fuera de ella como un

amigo incondicional.

Al M. en C. José Dolores Juárez Cervantes que con paciencia

estuvo apoyándonos en la redacción del presente trabajo.

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IV

Resumen

La determinación de parámetros constituye una de las etapas cruciales en la simulación de fenómenos asociados a la electricidad. Si los parámetros no son precisos la simulación podría diferir de manera crítica con la realidad, los parámetros necesarios para el análisis de problemas de la ingeniería eléctrica son la capacitancia, la inductancia y las pérdidas eléctricas (resistencias).

En el presente trabajo se abordan los métodos de la energía y la carga para el cálculo de la capacitancia propia y mutua. El método de la energía y el método de los enlaces de flujo para el cálculo de la inductancia propia y mutua. Para la resistencia en CA (corriente alterna) se usa el método de la energía y de la impedancia compleja.

El trabajo se divide en tres etapas, introduciendo antes los conceptos necesarios para el cálculo de parámetros y la necesidad de precisión de los mismos para el análisis a través de circuitos equivalentes.

En la primera etapa se analizan los métodos aplicables al cálculo de la capacitancia propia y mutua. Posteriormente en la segunda etapa se analizan los métodos aplicables al cálculo de la inductancia propia y mutua. En la tercera parte se calcula la resistencia en el conductor aéreo de una línea monofásica usando el método de la energía. Para poder conocer la resistencia debida al retorno por tierra primero se calcula resistencia serie total con el método de la impedancia compleja y a esta se le resta la resistencia en el conductor aéreo calculado previamente.

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V

Contenido

Lista de Figuras ... IX

Lista de Tablas ... XII

Glosario ... XIV

Nomenclatura ... XV

Capítulo 1 Introducción al cálculo de parámetros eléctricos ... 1

1.1 Antecedentes del cálculo de parámetros ... 2

1.2 Planteamiento del problema ... 4

1.3 Objetivo ... 7

1.4 Objetivos particulares ... 7

1.5 Justificación ... 8

1.6 Estado del arte. ... 9

1.7 Aportaciones ... 10

1.8 Limitaciones ... 11

1.9 Alcances ... 11

Capítulo 2 Parámetros eléctricos para circuitos equivalentes ... 12

2.1 Introducción ... 13

2.2 Circuitos equivalentes y aplicaciones. ... 14

2.3 Ejemplo de un circuito equivalente para análisis transitorio ... 14

2.4 Teoría electromagnética ... 25

2.4.1 Matemáticas necesarias ... 25

2.4.2 Relaciones constitutivas ... 29

2.4.3 Ecuaciones de Maxwell ... 31

(6)

VI

2.6 Campos electromagnéticos en función de potenciales ... 35

Capítulo 3 Métodos aplicables para el cálculo de la capacitancia usando el método del elemento finito (MEF) ... 38

3.1 Introducción. ... 39

3.2 Cálculo de la capacitancia por el método de la energía ... 40

3.2.1 Capacitancia propia ... 41

3.2.2 Capacitancia mutua ... 42

3.3 Cálculo de la capacitancia por el método de la carga ... 43

3.3.1 Capacitancia propia ... 43

3.3.2 Capacitancia mutua ... 45

3.4 Simulaciones y resultados ... 46

3.4.1 Capacitancia propia ... 46

3.4.2 Capacitancia mutua ... 47

3.5 Usando el programa COMSOL para el cálculo de la capacitancia en un arreglo de un cable coaxial de tres fases ... 50

3.5.1 Dimensión del modelo ... 50

3.5.2 Selección de la física ... 50

3.5.3 Selección de tipo de estudio ... 51

3.5.4 Árbol del modelo y parámetros globales ... 51

3.5.5 Geometría... 52

3.5.6 Materiales ... 55

3.5.7 Usando puertos ... 55

3.5.8 Mallado ... 58

(7)

VII

Capítulo 4 Métodos aplicables para el cálculo de la inductancia usando el método del

elemento finito (MEF) ... 59

4.1 Introducción. ... 60

4.2 Cálculo de la inductancia por el método de energía ... 61

4.2.1 Inductancia propia ... 62

4.2.2 Inductancia mutua ... 63

4.3 Cálculo de la inductancia por el método de los enlaces de flujo ... 64

4.3.1 Inductancia propia ... 65

4.3.2 Inductancia mutua ... 66

4.4 Simulación y resultados ... 68

4.4.1 Inductancia propia ... 68

4.4.2 Inductancia mutua ... 70

4.5 Usando el programa COMSOL para el cálculo de la inductancia de una espira circular ... 73

4.5.1 Dimensión del modelo ... 73

4.5.2 Selección de la física ... 74

4.5.3 Tipo de análisis ... 74

4.5.4 Árbol del modelo y parámetros globales ... 74

4.5.5 Geometría:... 75

4.5.6 Materiales ... 78

4.5.7 Indicando condiciones iniciales y de frontera ... 80

4.5.8 Mallado ... 81

(8)

VIII

Capítulo 5 Métodos aplicables para el cálculo de pérdidas eléctricas usando el método

del elemento finito (MEF) ... 84

5.1 Introducción ... 85

5.1.1 Efecto piel ... 85

5.1.2 Efecto de proximidad ... 91

5.2 Cálculo de la resistencia por el método impedancia compleja ... 93

5.3 Cálculo de la resistencia por el método de energía ... 95

5.4 Usando el programa COMSOL para el cálculo de la resistencia del conductor y de la tierra de una línea monofásica ... 96

5.4.1 Dimensión del modelo ... 96

5.4.2 Selección de la física ... 96

5.4.3 Tipo de análisis ... 96

5.4.4 Árbol del modelo y parámetros globales ... 96

5.4.5 Geometría:... 96

5.4.6 Materiales ... 98

5.4.7 Indicando condiciones iniciales y de frontera ... 98

5.4.8 Mallado ... 99

5.4.9 Simulación ... 100

Capítulo 6 Conclusiones ... 102

6.1 Introducción ... 103

6.2 Capacitancia ... 104

6.3 Inductancia ... 104

6.4 Pérdidas ... 104

(9)

IX

Lista de Figuras

Figura 2.1 Diagrama equivalente de un devanado del transformador mostrado en [14]

usando el paquete comercial ATP® ... 21

Figura 2.2 Gráfica obtenida en ATP®, donde se observa el comportamiento de las tensiones transitorias de prueba bajo diferentes etapas del transformador. ... 22

Figura 2.3 Gráfica de tensiones del modelo con distinto valor de inductancia serie, 1.56 mH (rojo) y 1.85mH (azul) ... 23

Figura 2.4 Diagrama equivalente del problema usando el paquete comercial ATP® [8], con inductancia modificada ... 24

Figura 3.1 Líneas equipotenciales del valor de potencial Eléctrico [V] en un arreglo coaxial ... 46

Figura 3.2 Líneas equipotenciales del valor de potencial Eléctrico en un arreglo de 3 conductores con una de las fases energizada ... 48

Figura 3.3 Selección de dimensión del modelo ... 50

Figura 3.4 Selección de física del modelo ... 50

Figura 3.5 Selección de tipo de estudio del modelo ... 51

Figura 3.6 Definiendo parámetros para la geometría... 51

Figura 3.7 Radios de la geometría ... 52

Figura 3.8 Ajustes para primer círculo ... 53

Figura 3.9 Ajuste para círculos menores ... 53

Figura 3.10 Árbol del modelo ... 54

Figura 3.11 Selección de subdominios ... 54

Figura 3.12 Resultados de operación booleana Difference ... 55

Figura 3.13 Árbol del modelo, sub rama de materiales ... 55

Figura 3.14 Configuración de "Parametric Sweep" ... 56

Figura 3.15 Ajustes de una terminal ... 57

(10)

X

Figura 3.17 Mallado del ejemplo ... 58

Figura 4.1 Interacción magnética entre dos circuitos ... 66

Figura 4.2 Espira circular ... 68

Figura 4.3 Líneas equipotenciales del vector potencial magnético, componente en dirección phy, para una espira a 60 Hz ... 69

Figura 4.4 Espiras paralelas iguales y paralelas ... 70

Figura 4.5 Líneas equipotenciales del vector potencial magnético, componente en phy, para un arreglo de dos espiras, excitando uno de los conductores ... 71

Figura 4.6 Selección de la dimensión del modelo ... 73

Figura 4.7 Selección de la física del modelo ... 74

Figura 4.8 Selección de tipo de análisis ... 74

Figura 4.9 Subrama parameters ... 75

Figura 4.10 Definiendo parámetros para geometría del modelo ... 75

Figura 4.11 Menú de la subrama Geometry ... 76

Figura 4.12 Ajustes de rectángulo ... 77

Figura 4.13 Ajustes de círculo ... 78

Figura 4.14 Subrama de materiales ... 78

Figura 4.15 Agregando un material al modelo... 79

Figura 4.16 Selección de dominio para un material aire ... 79

Figura 4.17 Selección de dominio para el cobre ... 80

Figura 4.18 Subrama de física, selección y ajustes de ‘external current density’ ... 81

Figura 4.19 Mallado del modelo ... 81

Figura 4.20 Ajustes de subrama ‘Study’ ... 82

Figura 4.21 ajustes de un medidor de domino, selección de variable ... 83

Figura 5.1 Profundidad de penetración en función de la frecuencia ... 86

Figura 5.2 Línea monofásica... 90

Figura 5.3 Vista lateral de arreglo de cable coaxial para apreciar el efecto de proximidad ... 91

(11)

XI

Figura 5.5 Geometría del modelo de línea monofásica ... 97

Figura 5.6 Subrama de materiales, línea monofásica ... 98

Figura 5.7 Mallado de todos los dominios de simulación ... 99

Figura 5.8 Subrama mesh ... 99

Figura 5.9 Corrientes de excitación ... 100

(12)

XII

Lista de Tablas

Tabla 1.1 Clasificación de rangos de frecuencia para el análisis de transitorios en los

elementos del SEP, sugerida por la IEC y CIGRE [4] ... 6

Tabla 2.1 Origen y rango de frecuencia de transitorios en los SEP [6] ... 14

Tabla 2.2 Modelado de elementos de potencia para simulación de transitorios [6] ... 16

Tabla 2.3Tipos de campos ... 26

Tabla 2.4Tipos de integrales en el cálculo vectorial ... 27

Tabla 2.5Integrales importantes en el cálculo vectorial ... 27

Tabla 2.6 Teorema de Stokes y Teorema de Gauss [17] [18]. ... 28

Tabla 2.7 Relaciones constitutivas. ... 29

Tabla 2.8 Valores de permitividad para algunos líquidos [12] ... 30

Tabla 2.9 Valores de permeabilidad relativa para algunos materiales [12] ... 31

Tabla 2.10 Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial. ... 31

Tabla 2.11 Ecuaciones de Maxwell en forma integral. ... 32

Tabla 2.12 Ecuaciones de Maxwell para los diferentes tipos de campos... 33

Tabla 2.13 Campos electromagnéticos descritos en función de los potenciales ... 37

Tabla 3.1 Capacitancia propia por el método analítico [19] ... 47

Tabla 3.2 Comparación entre las soluciones de COMSOL y la solución analítica, capacitancia propia ... 47

Tabla 3.3 Soluciones de COMSOL usando puertos ... 49

Tabla 3.4 Comparación entre las soluciones de COMSOL y la solución analítica, capacitancia mutua ... 49

Tabla 3.5 Nombre y valor de la terminales usadas en el ejemplo ... 56

Tabla 4.1 Solución analítica tomada de [17] ... 68

Tabla 4.2 Comparación entre las soluciones de COMSOL a 60 Hz y la solución analítica, Inductancia propia ... 70

(13)

XIII

Tabla 4.4 Comparación entre las soluciones de COMSOL a 60 Hz y la solución analítica,

Inductancia mutua ... 73

Tabla 4.5 Probadores de la simulación ... 82

Tabla 5.1 Profundidad de penetración de diferentes materiales [9] ... 89

Tabla 5.2 Definición de materiales ... 98

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XIV

Glosario

ATP. Término del inglés “Alternative Transients Program” que es el nombre de un paquete computacional que simula digitalmente fenómenos transitorios electromagnéticos y constituye una alternativa libre de licencia privativa ante EMTP.

CIGRE. Nomenclatura francesa del organismo internacional “Consejo Internacional de Grandes Redes Eléctricas”.

COMSOL. Paquete computacional que aplica el método del elemento finito en la resolución de diversos problemas físicos y de ingeniería.

EMTP. Término del inglés “Electromagnetic Transients Program” nombre de un paquete computacional que simula digitalmente circuitos eléctricos principalmente en régimen transitorio.

IEC. Término del inglés “International Electrotechnical Commission”.

MATLAB. Término del inglés “Matrix Laboratory” nombre de un paquete comercial con lenguaje de programación propio para la implementación de algoritmos.

MEF. Nomenclatura del “Método del Elemento Finito”, método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy utilizado en diversos problemas de ingeniería y física. .

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XV

Nomenclatura

) Matriz de impedancias serie dependiente de la frecuencia Profundidad de penetración.

Profundidad de penetración máxima. Profundidad de penetración mínima. Frecuencia simulada.

Frecuencia máxima de operación. Frecuencia mínima de operación.

Densidad de corriente total.

Densidad de corriente de excitación. Densidad de corrientes de eddy.

Densidad de corrientes de desplazamiento.

Densidad de corriente externa.

Intensidad de campo magnético. Densidad de flujo magnético. Intensidad de campo eléctrico. Densidad de flujo eléctrico. Potencial vectorial magnético.

Potencial escalar eléctrico. Corriente total.

) Resistencia serie dependiente de la frecuencia.

) Inductancia serie dependiente de la frecuencia. Pérdidas por efecto Joule.

Energía Magnética.

Impedancia Compleja

Conductividad del material. Permeabilidad.

(16)

XVI

Permeabilidad del vacío. Permitividad del vacío. Vector de voltajes Vector de corrientes

Caída de tensión por unidad de longitud aplicada al conductor i

Corriente en conductor j, todos los demás conductores con corriente cero

Impedancia compleja mutua entre conductor y , impedancia compleja

propia cuando =

Densidad de corriente de eddy en conductor i, con cuando = Conductividad del conductor i-ésimo

∫ ⃗ ⃗ Integral de línea

∫ ⃗ ⃗ Integral de superficie

Integral de volumen

Operador rotacional

Operador divergencia Operador gradiente

Producto cruz Producto punto

Operador diferencial parcial

Laplaciano

2D Espacio geométrico de dos dimensiones 3D Espacio geométrico de tres dimensiones 2D

axialsimétrico Espacio geométrico de dos dimensiones rotando 360 °

Operador diferencial parcial de segundo orden

(17)

XVII

Densidad de energía eléctrica Volumen del medio circundante

Trayectoria abierta entre los puntos a diferente potencial Capacitancia propia

Energía eléctrica debida a dos conductores excitados.

Capacitancia mutua

Capacitancia propia en el conductor debida solo a la tensión en el conductor 1

Capacitancia propia en el conductor debida solo a la tensión en el conductor 2

Flujo magnético Enlaces de flujo Inductancia propia

Corriente que circula por conductor

Es la energía magnética en los dominios con presencia de campo magnético

La inductancia mutua

) Densidad de corriente en z dependiente de eje y Pérdidas por efecto Joule

| | Diferencia de potencial

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1 Introducción al cálculo de parámetros eléctricos

CAPÍTULO 1

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2

1.1 Antecedentes del cálculo de parámetros

Hoy en día la sociedad moderna goza de múltiples comodidades, de un estilo de vida sin precedentes en la historia de la humanidad. Esto gracias, en gran parte, a la electricidad, una forma de energía que cuenta con una serie de características que le ha permitido al hombre manipular algunos fenómenos para su beneficio. La electricidad ha ayudado a algunos países a establecer su poder económico ya que ha sido la base del crecimiento industrial, al proveer máquinas de gran utilidad como es el caso del motor eléctrico.

Los dispositivos eléctricos funcionan bajo principios electromagnéticos, es decir, requieren de energía eléctrica para su operación. Por ello el Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) resulta vital para la vida moderna ya que éste se encarga de generar, transmitir y distribuir la energía eléctrica con calidad y de manera económica a los usuarios. Pero el SEP, cuenta con diferentes máquinas y elementos eléctricos que los ingenieros deben analizar bajo diferentes circunstancias para garantizar su correcto funcionamiento [1] [2] [3].

El sistema de potencia lo constituyen principalmente los generadores, transformadores, líneas de transmisión y las diversas cargas que demandan energía eléctrica. Estos equipos están constituidos por elementos que pueden ser estudiados bajo la teoría del electromagnetismo, pero en muchos casos el modelado electromagnético del equipo completo no resulta viable por lo que se recurre al modelado mediante circuitos equivalentes [1] [4] [2].

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3

(21)

4

1.2 Planteamiento del problema

En la ciencia, los científicos e ingenieros emplean diferentes técnicas para resolver problemas de campos como el electromagnético y lo hacen de manera experimental, analítica o numérica. Reproducir algunos fenómenos físicos de manera experimental resultaría muy costoso y en ocasiones complicado, además de que los experimentos, en general, no tienen mucha flexibilidad. Por otro lado, las simulaciones a través de métodos numéricos resultan ser bastante flexibles ya que es posible experimentar en diferentes rangos para variables como la frecuencia o cambiar el tipo de excitación además el costo es considerablemente menor [4] [1] [5].

Para la determinación de parámetros eléctricos existen algunos métodos que emplean formulas empíricas pero que pueden no ser lo suficiente precisos para realizar un análisis adecuado. Por ejemplo durante el estado transitorio, la aplicación de paquetes computacionales especializados, facilita la resolución de problemas electromagnéticos [4]. En ingeniería eléctrica son empleados modelos matemáticos derivados de la teoría electromagnética y la teoría de circuitos, que describen ciertos sistemas reales con precisión, la selección del modelo depende de los fenómenos en cuestión. El modelado preciso de tales sistemas repercute directamente sobre la calidad de los resultados obtenidos. Una mejor precisión en los parámetros conlleva a un mejor modelo que a su vez sirve para realizar un mejor análisis del comportamiento de los dispositivos, información que puede ser utilizada por ejemplo para optimizarlos [4].

El análisis de los sistemas de potencia, actualmente se lleva a cabo mediante paquetes computacionales muy diversos especializados en problemas particulares. En el análisis de transitorios existen herramientas de simulación computacional como el ATP, el EMTP o el PSCAD además de otras herramientas especializadas en análisis en el dominio del tiempo y de la frecuencia [2] [1] [4].

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5

que formarán parte un modelo. De la exactitud de estos parámetros depende la veracidad de los resultados de la simulación [4].

Antes de realizar una simulación, es importante asegurar que el modelo realmente describa el fenómeno de interés y que los parámetros empleados sean los adecuados. Es importante, siempre que se pueda, que los parámetros del modelo sean validados mediante algún procedimiento, por ejemplo por comparación con mediciones existentes [4] [2].

El método para obtener un modelo preciso de un elemento de un SEP que será utilizado para realizar un análisis de transitorio no es único, pero a continuación se describe el establecido en [1] [4] el cual sugiere tres pasos básicos:

o Escoger un modelo matemático apropiado.

o Recolectar toda la información con la cual se podrían caracterizar los parámetros eléctricos de los elementos que se desean estudiar.

o Determinar si los datos del paso anterior son suficientes para obtener el parámetro de manera precisa.

Cabe mencionar que este proceso es iterativo, es decir se retroalimenta a sí mismo, para aumentar la precisión de los parámetros, además, si en el último paso se concluye que no se cuenta con la información suficiente para derivar los parámetros, se procede a realizar ciertas suposiciones, es decir, se estima el valor de los datos faltantes en base a la experiencia en otros modelos u otras mediciones similares [4].

(23)

6

Pero la obtención de rangos tan amplios de fenómenos, resulta sumamente difícil, y en caso de lograrse, sacrificaría la facilidad de realizar las simulaciones ya que requiere de cálculos mucho más complejos. Es por eso que los rangos de frecuencia se clasifican para determinados valores, esto permite determinar ciertos fenómenos y asociarlos a un determinado rango de frecuencia. Una de estas clasificaciones es la propuesta por la IEC “International Electrotechnical Commission” y CIGRE (en español “Consejo Internacional de Grandes Sistemas Eléctricos”), ver Tabla 1.1 [4]:

Tabla 1.1 Clasificación de rangos de frecuencia para el análisis de transitorios en los elementos del SEP, sugerida por la IEC y CIGRE [4]

Oscilaciones de baja frecuencia 0.1 Hz a 3 kHz

Sobretensiones de frente lento 50/60 Hz a 20 kHz

Sobretensiones de frente rápido 10 kHz a 3 MHz

Sobretensiones de frente muy rápido 100 kHz a 50 MHz

Una vez que se tienen las representaciones de los elementos del modelo para los distintos rangos de frecuencia, los modelos se relacionan a determinados fenómenos. Entonces se clasifican los fenómenos transitorios en función de rangos de frecuencia. Existen clasificaciones como en el documento CIGRE WG 33-02 que tratan sobre los componentes más importantes del SEP, además de detallar sus modelos los asigna a distintos rangos de frecuencia.

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7

1.3 Objetivo

Establecer los procedimientos para el cálculo de parámetros eléctricos utilizando el Método del Elemento Finito (MEF), a través de la aplicación del paquete comercial

COMSOL.

1.4 Objetivos particulares

1. Describir el procedimiento para el cálculo de capacitancias propias y mutuas mediante el método de la energía y el de la carga, utilizando paquetería comercial basada en el método del elemento finito.

2. Describir el procedimiento para el cálculo de inductancias propias y mutuas mediante el método de la energía y el de los enlaces de flujo, utilizando paquetería comercial basada en el método del elemento finito.

3. Describir el procedimiento para el cálculo de pérdidas, utilizando paquetería comercial basada en el método del elemento finito.

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8

1.5 Justificación

El análisis de los problemas en ingeniería está encaminado a buscar mejores soluciones, técnicamente más precisas y económicamente rentables. En un SEP es necesario realizar diversos análisis, ya sea en el sistema completo o en algunos equipos en particular, en régimen permanente o régimen transitorio. Para estos análisis, la determinación de parámetros resulta ser uno de los pasos más importantes. Una vez obtenidos los parámetros con suficiente precisión, se puede proceder a realizar simulaciones de circuitos equivalentes para su análisis siempre y cuando los elementos analizados sean eléctricamente cortos de lo contrario se procede a utilizar directamente en conjunto las ecuaciones de Maxwell [4] [9] [10].

Por lo anterior es importante contar con una forma eficaz y confiable para la determinación de parámetros necesarios para modelar algún problema en específico. La metodología expuesta se puede generalizar a una gran cantidad de problemas en ingeniería eléctrica, por ejemplo cuando el problema presenta una configuración compleja el análisis puede ser abordado fácilmente por el Método del Elemento Finito (MEF) ya que permite modelar de manera detallada y variar distintos parámetros [11]. Lo que cambiaría es la geometría y las condiciones de frontera que son fácilmente ajustables en el paquete empleado.

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9

1.6 Estado del arte.

Existen trabajos que datan desde hace varias décadas, en los cuales se calculan los parámetros eléctricos empleando el MEF, pero hoy día los recursos computaciones actuales resultan sumamente superiores a los de aquella época, de tal forma que la paquetería comercial actual permite la obtención de los parámetros con más rapidez y precisión [4]. Numerosas publicaciones han surgido al respecto, a continuación se mencionan algunas de ellas.

Una de las más recientes obras sobre el tema es la compilación realizada en el libro

“Power System Transients: Parameter Determination” editada por Juan A.

Martínez-Velasco, publicada en el año 2009. Es una referencia actual para la determinación de parámetros eléctricos, teniendo en mente que serán utilizados para modelado en estado transitorio. En ella se afirma que la determinación de parámetros absorbe la mayor parte del tiempo y esfuerzo en el modelado de elementos del sistema de potencia, de hecho dedica capítulos enteros a elementos como líneas aéreas, cables aislados, transformadores, máquinas síncronas, apartarrayos e interruptores de potencia [4].

En la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del Instituto Politécnico Nacional, existe un gran número de trabajos que involucran el cálculo de parámetros. En el trabajo “Análisis de la Transferencia de Sobretensiones Inducidas por Descargas Atmosféricas en Sistemas de

Distribución” presentado por Escamilla Sánchez J.C., en Mayo 2008, se calculan los

parámetros eléctricos de un transformador de media tensión. En este trabajo los parámetros eléctricos fueron calculados mediante ecuaciones conocidas, derivadas de la teoría electromagnética, las cuales consideran la geometría del transformador [11].

Otro trabajo muy relacionado es: “Estudio del efecto de las tensiones tipo PWM

(modulación de ancho de pulso) en los sistemas de aislamiento de transformadores de

media tensión alimentados por variadores de velocidad”, presentada por José Antonio

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10

alimentado por un controlador de velocidad, el cual somete a la máquina a un amplio espectro de frecuencias [7].

También está el trabajo “Técnicas Computacionales para el diseño de dieléctrico de

transformadores de potencia” presentado por la maestra en ciencias Diana Soto Meza en el año 2012. El objetivo del trabajo fue presentar una metodología para el diseño dieléctrico de un transformador usando una interfaz entre COMSOL y Matlab, así que fue fundamental el cálculo de parámetros del devanado del transformador usando ambos paquetes comerciales [12].

1.7 Aportaciones

Se presenta una recopilación de métodos para la determinación de capacitancia, inductancia y pérdidas debidas al efecto Joule. La metodología expuesta se puede generalizar a casi cualquier problema en el que se requiera determinar parámetros eléctricos, lo único que cambiaría serían la geometría y condiciones de frontera que son fácilmente ajustables en el paquete comercial empleado.

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11

1.8 Limitaciones

o Los parámetros determinados en el trabajo se obtienen para geometrías sencillas. Con el fin de, en algunos casos, contar con una solución analítica y comparar con los valores derivados de la simulación.

o No se menciona la metodología necesaria para obtención de información de la geometría de los elementos eléctricos.

o Se supone que los sistemas a simular son lineales, homogéneos e isotrópicos (condiciones ideales), pero que se pueden cambiar fácilmente en el paquete. Por ejemplo, para modelar las no linealidades de la permeabilidad del núcleo de un transformador, se agrega su curva de saturación.

1.9 Alcances

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2

Parámetros eléctricos para circuitos equivalentes

CAPÍTULO 2

(30)

13

2.1 Introducción

La principal motivación de este trabajo es la obtención de parámetros eléctricos usando el MEF. Estos parámetros son utilizados para modelar los componentes del sistema de potencia. Estos modelos están basados en la teoría de circuitos [5] [2]. Los circuitos son arreglos de elementos eléctricos en alguna disposición determinada y que cumplen las leyes de Kirchhoff [1] [13]. Una gran parte de los problemas de la ingeniería eléctrica pueden ser resueltos mediante su representación por un circuito equivalente [4].

Los circuitos equivalentes son empleados para representar fenómenos eléctricos (físicos) que son significativos para describir un fenómeno físico, esta descripción puede ser tan aproximada como se requiera [4]. Por ejemplo; el análisis de un circuito eléctrico en estado estable requiere de parámetros que determinan el comportamiento aproximado del sistema, pero para abordar un estudio en estado transitorio, algunos de estos parámetros resultan inadecuados, ya que no describen el fenómeno de manera adecuada [1].

Para contar con simulaciones de fenómenos transitorios más aproximadas a la realidad, se necesitan los parámetros eléctricos de un circuito equivalente para un rango de frecuencias relativamente grande, ver Tabla 1.1, ya que existe una dependencia con la frecuencia por parte de los parámetros eléctricos, especialmente la inductancia y las pérdidas [2] [4]. Estos intervalos de frecuencia son estudiados con el fin de determinar los principales aspectos que deben considerar para modelar un fenómeno eléctrico a tales frecuencias.

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14

Tabla 2.1 Origen y rango de frecuencia de transitorios en los SEP [6]

ORIGEN RANGO DE

FRECUENCIA

Ferrorresonancia 0.1 Hz a 1 kHz

Rechazo de carga 0.1 Hz a 3 kHz

Falla de compensación 50 Hz a 3 kHz

Cambio de línea 50 Hz a 20 kHz

Tensiones transitorias de recuperación 50 Hz a 100 kHz

Sobretensiones por descargas atmosféricas 10 kHz a 3 MHz

Conmutación de seccionador en subestaciones encapsuladas en gas

100 kHz a 50 MHz

2.2 Circuitos equivalentes y aplicaciones.

En la siguiente Tabla 2.2 se presentan las directrices que se han de tomar en cuenta para la representación de fenómenos transitorios en el SEP [1]. Se presenta el nombre del componente de potencia, se mencionan las características del modelo a distintas frecuencias y se propone despreciar ciertos fenómenos. La clasificación de los fenómenos transitorios está en función de la rapidez de su frente de onda.

2.3 Ejemplo de un circuito equivalente para análisis transitorio

La obtención de parámetros es requerida para realizar simulaciones de un elemento de potencia en la red del sistema, el cual es sometido a diferentes condiciones para modelar su comportamiento en un SEP. Después son observados y analizados los resultados [1] [4].

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(33)

16

Tabla 2.2 Modelado de elementos de potencia para simulación de transitorios [6]

Componente Transitorios de baja frecuencia

0.1 Hz a 3 kHz

Transitorio de frente lento

50 Hz a 20 kHz

Transitorios de frente rápido

10 kHz a 3 MHz

Transitorios de frente muy rápido

100 kHz a 50 MHz

Línea aérea El modelo polifásico con parámetros concentrados o constantes debe incluir la asimetría de la

configuración de los conductores.

La dependencia frecuencial de los parámetros puede ser importante para el modo de propagación en la tierra.

La descarga corona es importante si la tensión de fase del conductor

sobrepasa la tensión de incepción de la descarga corona.

Modelo polifásico con

parámetros distribuidos, incluir la asimetría de la configuración de los conductores

La dependencia frecuencial de los parámetros es importante para el modo de propagación en la tierra

Modelo polifásico con parámetros distribuidos, incluir la asimetría de la configuración de los conductores y el fenómeno de la descarga corona.

La dependencia frecuencial de los parámetros es importante para el modo de propagación en la tierra

Modelo monofásico con parámetros distribuidos. La dependencia frecuencial de parámetros es importante para el modo de

(34)

17

Cable aislado Modelo polifásico de parámetros concentrados y constantes, incluir la asimetría de la configuración de los conductores.

La dependencia frecuencial- de los parámetros puede ser importante para el modo de propagación en la tierra

Modelo polifásico con

parámetros distribuidos, incluir la asimetría de la configuración de los conductores

La dependencia frecuencial de los parámetros es importante para el modo de propagación en la tierra.

Modelo polifásico con parámetros distribuidos.

La dependencia frecuencial de parámetros es

importante para el modo de propagación en la tierra.

Modelo monofásico con distribución parámetros.

La dependencia frecuencial de los parámetros es importante para el modo de propagación en la tierra.

Transformador Los modelos deben incorporar efectos de saturación, así como pérdidas en núcleo y devanados

Los modelos para núcleos monofásicos y trifásicos pueden mostrar diferencias significativas.

Los modelos deben incorporar efectos de saturación, así como pérdidas en núcleo y devanados.

Los modelos para núcleos monofásicos y trifásicos pueden mostrar diferencias

significativas.

Las pérdidas en el núcleo y por saturación pueden ser despreciadas.

El acoplamiento entre fases es principalmente

capacitivo.

La influencia de la

impedancia de cortocircuito puede ser significativa.

Las pérdidas en el núcleo y la saturación pueden

despreciarse.

El acoplamiento entre las fases es principalmente capacitivo.

(35)

18

Generador Síncrono

Representación detallada de las partes eléctricas y mecánicas

La máquina se representa como una fuente en serie con su impedancia subtransitoria.

Efectos de saturación pueden ser despreciados. El control de excitación y la parte mecánica no están incluidos.

La representación se basa en un circuito lineal cuya respuesta de frecuencia de la máquina es vista desde sus terminales.

La representación puede ser basada en un circuito capacitivo lineal sin pérdidas.

Apartarrayos de Óxidos Metálicos

Circuito resistivo no lineal, caracterizado por su voltaje residual debido a impulsos por maniobra.

Circuito resistivo no lineal, caracterizado por su voltaje residual debido a impulsos por desconexión

Circuito resistivo no lineal, caracterizado por su voltaje residual debido a impulsos por desconexión, incluir el efecto de corriente pico y su frente de onda.

(36)

19

Interruptores El modelo tiene incorporada el

desplazamiento mecánico del polo y ecuaciones de arco para interrupción de altas corrientes

El modelo tiene que incorporar el desplazamiento del polo mecánico, el arco característico en función del tiempo, la inestabilidad del arco y la interrupción de corrientes de alta frecuencia.

El modelo tiene que

incorporar el re-ignición del arco.

En función del tiempo, la inestabilidad del arco y la interrupción de corrientes de alta frecuencia.

El modelo tiene que incorporar la característica de interrupción contra tiempo y la interrupción de corrientes de alta

(37)

20

En este ejemplo se somete el transformador a la prueba de impulso por rayo para determinar el comportamiento de un devanado en cada una de las secciones en que está dividido, ilustrando la necesidad de contar con parámetros precisos y confiables.

Las características del transformador trifásico que se va a modelar son las siguientes:

220-kV/35-kV, 50-MVA

El devanado del transformador se dividió en 20 secciones para su estudio, cada sección se modela por la resistencia en serie, una inductancia serie, una resistencia en derivación, capacitancia en serie y de una capacitancia a tierra, siendo sus valores los siguientes:

o Resistencia serie en cada etapa 1 ;

o Inductancia serie en cada etapa 1.65 mH;

o Resistencia en paralelo 1 k;

o Capacitancia en serie 2 nF; o Capacitancia a tierra 2 pF.

(38)

21

(39)

22

Con el propósito de mostrar el efecto de un cambio en los parámetros, por un posible cálculo inadecuado de éstos, se modificó el valor de la inductancia serie en el modelo de ATP Draw. El valor de la inductancia se modificó de 1.65 mH a 1.85 mH como se muestra en la Figura 2.4. En la Figura 2.3 los resultados de este cambio en la inductancia serie se comparan con el caso original.

(40)

23

Como se puede observar en la Figura 2.3, valores distintos de la inductancia serie en el modelo dan como resultado respuestas distintas ante una misma excitación, lo cual implica que una mala estimación de los valores de los parámetros va a dar como resultado una respuesta diferente a la que pudiera tener el transformador real. Lo anterior podría derivar en un análisis incorrecto del funcionamiento del equipo.

(41)

24

(42)

25

2.4 Teoría electromagnética

En ingeniería eléctrica la problemática central implica resolver ecuaciones diferenciales relativas a algún circuito eléctrico. Éste a su vez descansa en un área particular de la física, el electromagnetismo. El electromagnetismo es una teoría de campos, es decir, su descripción matemática se realiza a través de campos vectoriales o escalares. Estos últimos son funciones que dependen de la posición en el espacio y del tiempo. La característica vectorial dificulta notablemente la resolución de las ecuaciones, por lo que se trata en la medida de lo posible de simplificar el problema a ecuaciones escalares y si no es posible, se utilizan sofisticados métodos numéricos que han aumentado en número y variedad en los últimos años [15] [17] [12].

2.4.1 Matemáticas necesarias

Ya que es una teoría de campos, el análisis vectorial resulta crucial, es necesario el conocimiento de algunas definiciones, resultados y teoremas [18].

La teoría electromagnética describe campos vectoriales de tres dimensiones que coinciden con la experiencia cotidiana, en la teoría de álgebra lineal se dice que un espacio vectorial tiene una base vectorial. Una base vectorial consiste de un conjunto de vectores con los cuales se puede generar todo el campo. Existen diversos sistemas coordenados que describen al espacio vectorial, tres son los sistemas más utilizadas para facilitar algunos cálculos [17] [6]:

o Coordenadascartesianas o Coordenadas cilíndricas o Coordenadasesféricas

(43)

26

Tabla 2.3Tipos de campos

Campo Descripción Ejemplo

Escalar Éste representa una función dependiente de la posición en el espacio (y tiempo).

Un campo escalar se caracteriza por un valor definido por un número simple (que puede ser función de la posición) en cada punto del espacio (y tiempo).

o Temperatura

o Potencial gravitacional o Potencial eléctrico o etc.

Vectorial En un campo vectorial a cada punto le corresponde una cantidad

vectorial que depende de la posición en el espacio (y tiempo). Está

definido por una función vectorial que a cada punto del espacio le asigna un vector

o Campo de velocidades o Campo magnético o Campo eléctrico o Campo gravitacional o etc.

(44)

27

Tabla 2.4Tipos de integrales en el cálculo vectorial

Integral de línea Integral de superficie Integral de volumen

∫ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ ∫

Dónde:

⃗ Trayectoria

⃗ función vectorial

⃗ diferencial de trayectoria

Dónde:

⃗ función vectorial

⃗ diferencial de superficie superficie

Dónde:

función escalar Volumen

diferencial de volumen del sólido

Tabla 2.5Integrales importantes en el cálculo vectorial

Integral de flujo Integral de circulación

∮ ⃗ ⃗⃗

Es un caso particular de integral de flujo, cuando la superficie donde se realiza la integral es una superficie cerrada, o que es igual a su frontera.

∮ ⃗ ⃗

Es un caso particular de integral de trayectoria, se da cuando la trayectoria es cerrada, es decir el punto inicial y final es el mismo.

Dónde:

⃗ función vectorial

⃗ diferencial de superficie

Superficie cerrada

Dónde:

⃗ función vectorial

⃗ diferencial de trayectoria

Trayectoria cerrada

(45)

28

forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell. En particular el operador nabla que vectorialmente tiene significados geométricos [9].

Para poder trasladar el sistema de ecuaciones diferenciales a un conjunto de integrales se utilizan los dos teoremas que podrían ser considerados clásicamente los más importantes del cálculo vectorial, los cuales se presentan en la Tabla 2.6.

Tabla 2.6 Teorema de Stokes y Teorema de Gauss [17] [18].

Teorema de Stokes

“La integral de superficie del rotacional de un campo vectorial a través de una superficie abierta es igual a la circulación del mismo campo vectorial a través de la orilla de la superficie ”

Teorema de Gauss

“La integral triple de la divergencia de un campo vectorial en una región sólida, es igual al flujo del mismo campo vectorial a través de la frontera de la región sólida”

∫ ⃗ ⃗⃗ ∮ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ ∮ ⃗ ⃗

Dónde:

superficie abierta

⃗ campo vectorial

⃗⃗ diferencial de superficie

⃗ diferencial de línea

frontera de superficie abierta

Dónde:

Volumen

⃗ campo vectorial

⃗ diferencial de superficie

(46)

29

2.4.2 Relaciones constitutivas

La densidad del campo magnético y de campo eléctrico resultan ser un múltiplo de la intensidad de campo magnético y eléctrico respectivamente, además la densidad de corriente también es un múltiplo de la intensidad de campo eléctrico. De hecho, los múltiplos matemáticos en estas relaciones resultan ser constates fundamentales de la física [9]. Las dos primeras relaciones en la Tabla 2.7 son utilizadas para caracterizar los materiales donde existen los campos eléctrico y magnético.

Tabla 2.7 Relaciones constitutivas.

⃗⃗ ⃗⃗⃗ Densidad de campo magnético

⃗⃗⃗ ⃗⃗ Densidad de campo eléctrico

⃗ ⃗⃗⃗⃗ Densidad de corriente

La permitividad absoluta de un material se define [12]:

Donde

Permitividad de vacío

(47)

30

Tabla 2.8 Valores de permitividad para algunos líquidos [12]

Líquido Permitividad relativa

Agua 85

Cuerpo humano 60

Tierra 50

Glicerina 40

Aceite de ricino 5

Celulosa en aceite 6.1

Aceite de silicona 2.7

Concreto 2.10

Vidrio 4.2

Aluminio 1

Acero 1

Silicón 11.7

La permeabilidad absoluta de un material se define [12]:

Donde

Permeabilidad de vacío

(48)

31

Tabla 2.9 Valores de permeabilidad relativa para algunos materiales [12]

Material permeabilidad relativa

Plata 0.9999976 (diamagnético)

Cobre 0.99999 (diamagnético )

Oro 0.99996 (diamagnético)

Agua .99999901 (diamagnético)

Aluminio 1.000021 (paramagnético)

Ferrita 1000

Acero 2000

Silicón 1

2.4.3 Ecuaciones de Maxwell

Formalmente el campo electromagnético completo es descrito por cuatro ecuaciones diferenciales [9]. Dos de estas ecuaciones describen al campo eléctrico y las dos restantes al campo magnético. En el caso más general, las ecuaciones de campo eléctrico y magnético están acopladas, como se puede ver en la ecuación de Faraday y en la de Ampere-Maxwell, hay términos de ambos campos, véase Tabla 2.10 y Tabla 2.11.

Tabla 2.10 Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial.

ECUACIONES DIFERENCIALES DEL CAMPO ELÉCTRICO

ECUACIONES DIFERENCIALES DEL CAMPO MAGNÉTICO

⃗⃗⃗ ley de Gauss eléctrica ⃗⃗ Ley de Gauss magnética

(49)

32

Tabla 2.11 Ecuaciones de Maxwell en forma integral.

ECUACIONES DIFERENCIALES DEL CAMPO ELÉCTRICO

ECUACIONES DIFERENCIALES DEL CAMPO MAGNÉTICO

∮ ⃗⃗⃗ ⃗ ley de Gauss eléctrica ∮ ⃗⃗ ⃗ Ley de Gauss magnética

∮ ⃗⃗ ⃗ Ley de Faraday ∮ ⃗⃗⃗ ⃗ Ley de Ampere-Maxwell

La comprensión de los fenómenos electromagnéticos a través de este conjunto de ecuaciones, ha permitido aprovecharlos en un gran número de aplicaciones en electricidad, electrónica, telecomunicaciones, etc. Éstos a su vez son descritos por dos ecuaciones como ya se había mencionado antes. Como matemáticamente son campos vectoriales son descritos por una divergencia y un rotacional. La primera describe el comportamiento espacial de alguna región, la cual puede ser fuente, o sumidero de un campo. La segunda describe la "vorticidad" del campo, es decir, si éste se encuentra rotando con respecto de algún eje o no. Estas ecuaciones caracterizan el campo electromagnético completo, aunque existen varios tipos de campos que pueden verse como casos especiales. Resulta conveniente hacer la separación por razones de simplicidad y no arrastrar en las ecuaciones variables que no influyen bajo determinadas condiciones. Enseguida se mencionan algunos tipos de fenómenos en los cuales se pueden clasificar los diferentes problemas electromagnéticos y que son relevantes para el cálculo de parámetros en equipo eléctrico [9]:

o Campo Electromagnético cuasi-estacionario. o Campo Magnetostático.

(50)

33

2.5 Campos electromagnéticos

En la Tabla 2.12 se hace una clasificación de los campos electromagnéticos.

Tabla 2.12 Ecuaciones de Maxwell para los diferentes tipos de campos

Completo

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗)

Electrostáticos

Este caso es empleado para el cálculo las capacitancias, en la región de solución pueden existir fuentes de campo eléctrico (concentraciones de carga positiva o negativa), la ecuación que describe este tipo de problemas es conocida como la ecuación de Poisson.

⃗⃗

Magnetostático

Es cuando solamente existe el campo magnético, no hay campo eléctrico. El campo magnético es invariante con respecto al tiempo. No hay circulación de corriente.

El tipo de problemas a los que se aplica este caso son donde los materiales son magnéticos, por ende la constante de permeabilidad es muy importante. No resulta importante saber si el material del medio es conductor o dieléctrico.

(51)

34

Estacionario

En este caso se tienen corrientes de desplazamiento solo en los conductores, esta corriente está asociada a la corriente continua. Hay distribuciones de carga estática.

1. No existe el campo eléctrico rotacional, no hay fenómenos de inducción 2. Hay corriente de conducción por lo que hay campo magnético rotacional

pero no hay fenómenos de desplazamiento, el campo eléctrico no varía en el tiempo

⃗⃗⃗ ⃗⃗

Cuasi-estacionario

En este caso no se presentan efectos de propagación de ondas, la corriente de conducción existe solo en los conductores. La corriente de desplazamiento solo penetra una pequeña parte del material aislante.

A continuación se presentan las ecuaciones de Difusión, que caracterizan a un campo que se desplaza por una región del espacio a velocidad lenta, comparada con la velocidad de la luz, se tiene una penetración limitada por las características del material.

1. Existe el campo rotacional eléctrico y magnético implicando fenómenos de inducción electromagnética y conducción de corriente

2. Existe el campo eléctrico divergente por lo que hay concentraciones de carga

3. La frecuencia es del orden 60 Hz de hasta varios kHz que implica fenómenos de penetración en conductores

(52)

35

2.6 Campos electromagnéticos en función de potenciales

Trabajar con campos vectoriales propiamente, resulta difícil, sin embargo, pueden ser manipulados matemáticamente para obtener campos escalares (potencial escalar eléctrico, potencial escalar magnético y vector potencial magnético). Resolver campos escalares resulta más sencillo. El gradiente del potencial eléctrico regresa al campo vectorial Eléctrico original, el rotacional del vector potencial magnético regresa al campo magnético original. Partiendo de la definición de potencial vectorial magnético y de campo eléctrico con una componente de inducción [3].

⃗⃗ ⃗ Ec. 1

⃗⃗ ⃗ Ec. 2 Del campo electromagnético completo tomamos la ley de Ampere-Maxwell y se tiene:

⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗

La Ec. 1 se sustituye en ecuación anterior y se obtiene:

⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗)

De la Ec. 2 se toma el valor de ⃗⃗ y se sustituye en ecuación anterior.

⃗ [ ⃗

] [ ⃗

]

Despejando el término ⃗ y usando la identidad ⃗ ( ⃗) ⃗

(53)

36

Desarrollando y usando la norma de Lorentz que dice:

Se llega a:

⃗ ⃗ Ec. 3

De la ley de Gauss:

⃗⃗⃗

[ ⃗ ]

Y usando nuevamente la norma de Lorentz se llega a:

Ec. 4

(54)

37

Tabla 2.13 Campos electromagnéticos descritos en función de los potenciales

Completo

⃗ ⃗

Electrostáticos

Laplace Poisson

Magnetostático

⃗ Laplace

Estacionario

⃗ Laplace Poisson

Cuasi-estacionario

(55)

3 Métodos aplicables para el cálculo de la capacitancia usando

el método del elemento finito (MEF)

CAPÍTULO 3

MÉTODOS APLICABLES PARA EL

CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA

USANDO EL MÉTODO DEL ELEMENTO

(56)

39

3.1 Introducción.

La capacitancia es una propiedad de la materia, que caracteriza cuanta energía se puede almacenar en forma de campo eléctrico en una región entre conductores con diferente potencial. Esta propiedad está determinada por la distribución geométrica de los elementos conductores y aislantes, además de las propiedades dieléctricas de cada material [19] [17].

La capacitancia es determinada de manera matemática como una constante de proporcionalidad entre la carga y la diferencia de potencial [13], entonces, es independiente del agente externo que establece la diferencia de potencial. Debe existir un material aislante entre al menos dos elementos conductores, además de un agente externo (por ejemplo la batería) con el que se aplique una diferencia de potencial [13].

(57)

40

3.2 Cálculo de la capacitancia por el método de la energía

En este método la energía se calcula por medio del MEF y conociendo la relación entre energía, diferencia de potencial y capacitancia. La capacitancia queda entonces determinada por la energía en el material aislante y la diferencia de potencial entre los conductores [13] [17] [6]. De la ecuación del balance de energía, considerando materiales homogéneos, el término que describe a la energía almacenada en el campo electrostático está dado por [9]:

∫( ⃗⃗ ⃗⃗⃗)

∫( ⃗⃗ ⃗⃗)

∫ )

Esta energía es calculada en COMSOL para posteriormente usar la ecuación derivada de la teoría de circuitos [9] [13] [17]:

| | (∫ ) | ∫ ⃗⃗ ⃗|

De donde:

∫ Es la energía eléctrica en el aislante Densidad de energía eléctrica Volumen del medio circundante

| | | ∫ ⃗⃗ ⃗| Es la diferencia de potencial

(58)

41

3.2.1 Capacitancia propia

La capacitancia propia se calcula mediante la excitación de un conductor y el resto de conductores son aterrizados a tierra.

En este caso se entenderá a la capacitancia propia como una propiedad de un arreglo de dos conductores y un medio aislante entre ellos.

Cabe señalar que el material aislante no necesariamente consta de un solo material, en la práctica, se pueden usar diversos materiales según convenga.

| | (∫ ) | ∫ ⃗⃗ ⃗|

Ec. 5

De donde:

∫ Es la energía eléctrica en el aislante Densidad de energía eléctrica Volumen del medio circundante

| | | ∫ ⃗⃗ ⃗| Es la diferencia de potencial entre el conductor excitado y los

demás conductores a tierra

(59)

42

3.2.2 Capacitancia mutua

En este caso se entenderá capacitancia mutua como una propiedad de un arreglo de más de dos conductores y un medio aislante entre ellos [14] [3].

En el análisis de sistemas de potencia la capacitancia propia es definida como la que existe entre una fase y tierra remota, por otro lado en máquinas eléctricas la capacitancia mutua es definida como la que existe entre dos espiras contiguas.

Para calcular la capacitancia mutua se procede a calcular la capacitancia propia de los conductores que componen el arreglo, una vez que se tienen estos valores se procede a calcular la capacitancia mutua a partir de la siguiente ecuación:

) ))

Despejando se obtiene:

(

) )) Ec. 6

Dónde:

Energía eléctrica debida a dos conductores excitados.

Tensión en conductor 1

Tensión en conductor 2

Capacitancia propia en el conductor debida solo a

(60)

43

3.3 Cálculo de la capacitancia por el método de la carga

La relación entre la carga almacenada por un arreglo de capacitor y la diferencia de potencial entre los conductores es la capacitancia asociada al arreglo [13] [17].

Para aplicar este método en la obtención de la capacitancia se supone conocida la diferencia de potencial entre los conductores, por lo tanto basta con determinar la carga en la superficie de uno de ellos para determinar la capacitancia. La carga total se determina con una integral de superficie de la densidad superficial de carga en el conductor. En el caso de una solución analítica, la integral resulta sumamente difícil si la geometría del arreglo es asimétrica.

Con el MEF lo que se determina es la carga superficial mediante una integral de línea de la densidad de carga superficial sobre la frontera exterior del conductor [7] [12].

3.3.1 Capacitancia propia

El cálculo de este parámetro se puede realizar considerando un caso electrostático [13] [17]. De manera general por la teoría de circuitos se tiene:

| | ∫ ∫ ⃗⃗ ⃗

De donde:

Carga total dentro del volumen

Volumen entre conductores

| | Diferencia de potencial entre los conductores

(61)

44

∫ ⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗ ⃗

Aplicando teorema de Gauss al numerador del cociente con s superficie que encierra a los conductores y por consiguiente la carga en ellos.

∮ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∫ ⃗⃗ ⃗

Utilizando la ecuación constitutiva ⃗⃗⃗ ⃗⃗ se obtiene finalmente la expresión para la capacitancia en función del campo eléctrico:

| | ∮ ⃗⃗ ⃗⃗

∫ ⃗⃗ ⃗ Ec. 7

Dónde:

∮ ⃗⃗ ⃗⃗ Flujo del campo eléctrico en una superficie cerrada que encierra al

conductor excitado

Superficie cerrada (gaussiana) que encierra al conductor excitado

| | ∫ ⃗⃗ ⃗ Es el potencial aplicado

Trayectoria abierta entre los puntos a diferente potencial

(62)

45

3.3.2 Capacitancia mutua

El cálculo de este parámetro se puede realizar considerando un caso electrostático [13] [17]. El desarrollo es análogo al caso anterior. La diferencia radica que la carga se calcula en la superficie del conductor asociado, recordando que el concepto de capacitancia mutua involucra a dos conductores excitando solamente uno de ellos. La diferencia de potencial es conocida, y la carga se calcula en el conductor que no excitado.

12 | |

∮ ⃗⃗ ⃗⃗

∫ ⃗⃗ ⃗ Ec. 8

Dónde:

∮ ⃗⃗ ⃗⃗ Flujo del campo eléctrico en una superficie cerrada que

encierra al conductor asociado al conductor excitado

Superficie cerrada (gaussiana) que encierra al conductor asociado al conductor excitado

| | ∫ ⃗⃗ ⃗ Es el potencial aplicado

(63)

46

3.4 Simulaciones y resultados

Los cálculos se realizaron dentro de la simulación, se definieron la capacitancia por el método de la carga, y por el de la energía como variables en el modelo, tomando el valor de la carga y la energía como integrales de línea y de volumen respectivamente [7].

3.4.1 Capacitancia propia

La simulación se realizó en 2 dimensiones, el dibujo fue elaborado directamente en el paquete comercial, ver Figura 3.1.

Figura 3.1 Líneas equipotenciales del valor de potencial Eléctrico [V] en un arreglo coaxial

1. La carga en la superficie de uno de los conductores se obtuvo mediante un medidor de frontera.

(64)

47

Tabla 3.1 Capacitancia propia por el método analítico [19]

Radio interior de cable coaxial [m] Radio exterior de cable coaxial [m] Longitud de cable coaxial [m] Valor calculado de la capacitancia

2

ln

La capacitancia propia por el método de la energía se obtuvo aplicando la Ec. 5 como una variable en la rama de Definitions, la integral de energía se obtiene de un probador de dominio seleccionado el área correspondiente al aislamiento mientras que el potencial es una variable conocida, para la simulación fue de 1 [V].

La capacitancia propia por el método de la carga se obtuvo aplicando la Ec. 7 de forma similar que en caso anterior, la integral de flujo eléctrico se obtiene de un probador de frontera seleccionando los límites de los conductores, el potencial es una variable conocida, para la simulación fue de 1 [V].

Tabla 3.2 Comparación entre las soluciones de COMSOL y la solución analítica, capacitancia propia

Capacitancia propia por método de energía [F] Capacitancia propia por el método de la carga [F] Capacitancia propia por el método analítico [F]

3.4.2 Capacitancia mutua

(65)

48

Figura 3.2 Líneas equipotenciales del valor de potencial Eléctrico en un arreglo de 3 conductores con una de las fases energizada

1. Se usó la herramienta de “puertos” para designar diferentes valores de

carga en la frontera de los conductores.

2. La carga en la superficie de uno de los conductores se obtuvo de colocar un medidor de frontera.

(66)

49

Tabla 3.3 Soluciones de COMSOL usando puertos

Capacitancia propia

Capacitancia mutua

La capacitancia mutua por el método de la energía requiere la aplicación de la Ec. 6 la cual necesita dos simulaciones para el caso presentado, ya que requiere del conocimiento previo de la capacitancias propias de los dos conductores involucrados, la cual es igual por simetría, y el valor de la energía asociada a los dos conductores involucrados excitados.

La capacitancia mutua por el método de la energía requiere la aplicación de la Ec. 8, la carga se determina integrando en los límites que definen al conductor asociado al conductor excitado la densidad de carga mediante un probador de frontera y el potencial es conocido de antemano.

Tabla 3.4 Comparación entre las soluciones de COMSOL y la solución analítica, capacitancia mutua

En la siguiente matriz, los elementos de la diagonal corresponde a las capacitancias propias y los elementos fuera de la diagonal corresponden a capacitancias mutuas, cabe señalar que es una matriz simétrica y por la simetría del arreglo son iguales las capacitancias propias y las mutuas.

[ ] [

]

(67)

50

3.5 Usando el programa COMSOL para el cálculo de la

capacitancia en un arreglo de un cable coaxial de tres fases

En esta sección se describe detalladamente los pasos para el cálculo de las capacitancias del ejemplo correspondiente al cable coaxial de tres fases en

COMSOL.

3.5.1 Dimensión del modelo

Se pretende calcular el arreglo de un cable aislado con tres fases en dos dimensiones con una profundidad de un metro, ver Figura 3.3.

Figura 3.3 Selección de dimensión del modelo

3.5.2 Selección de la física

Se selecciona dentro del módulo ACDC la subrama electrostatics, ver Figura 3.4

(68)

51

3.5.3 Selección de tipo de estudio

Ya que el fenómeno electrostático no depende del tiempo en sus ecuaciones, se puede seleccionar un estudio estacionario, véase Figura 3.5

Figura 3.5 Selección de tipo de estudio del modelo

3.5.4 Árbol del modelo y parámetros globales

Se recomienda asignar desde el comienzo el valor de parámetros globales dentro de la simulación, en este caso se colocan los valores de tres radios a, b y c sobre la subrama global definitions, se selecciona parameters, ver Figura 3.6. Hay tres columnas, en la columna name se coloca a, b, c y terminal en la columna expressions se colocan los valores mostrados a continuación, ver Figura 3.7:

(69)

52

Dónde, véase Figura 3.7 :

a será el radio del conductor b el radio del cable

c distancia del cetro del cable a centro de conductor

Figura 3.7 Radios de la geometría

3.5.5 Geometría

Se crean 4 círculos con las características que se presentan a continuación, el circle 1 es para la funda del cable, los otros tres son para los 3 conductores centrales.

Nótese que en radius se coloca b para circle 1, para circle 2 -3 -4 se coloca a, en estos tres últimos en las coordenadas x e y se coloca:

Conductor 1 Conductor 2 Conductor 3

x c*cos(0*pi/180) x c*cos(120*pi/180) x c*cos(240*pi/180)

Figure

Tabla 1.1 Clasificación de rangos de frecuencia para el análisis de transitorios en los elementos del SEP, sugerida  por la IEC y CIGRE [4]

Tabla 1.1

Clasificación de rangos de frecuencia para el análisis de transitorios en los elementos del SEP, sugerida por la IEC y CIGRE [4] p.23
Tabla 2.1 Origen y rango de frecuencia de transitorios en los SEP [6]

Tabla 2.1

Origen y rango de frecuencia de transitorios en los SEP [6] p.31
Figura 2.1 Diagrama equivalente de un devanado del transformador mostrado en [14] usando el paquete comercial  ATP®

Figura 2.1

Diagrama equivalente de un devanado del transformador mostrado en [14] usando el paquete comercial ATP® p.38
Figura 2.2 Gráfica obtenida en ATP®, donde se observa el comportamiento de las  tensiones transitorias de prueba bajo diferentes etapas del transformador

Figura 2.2

Gráfica obtenida en ATP®, donde se observa el comportamiento de las tensiones transitorias de prueba bajo diferentes etapas del transformador p.39
Figura 2.3 Gráfica de tensiones del modelo con distinto valor de inductancia serie, 1.56 mH  (rojo) y 1.85mH (azul)

Figura 2.3

Gráfica de tensiones del modelo con distinto valor de inductancia serie, 1.56 mH (rojo) y 1.85mH (azul) p.40
Figura 2.4 Diagrama equivalente del problema usando el paquete comercial  ATP® [8], con inductancia modificada

Figura 2.4

Diagrama equivalente del problema usando el paquete comercial ATP® [8], con inductancia modificada p.41
Tabla 2.5 Integrales importantes en el cálculo vectorial

Tabla 2.5

Integrales importantes en el cálculo vectorial p.44
Tabla 2.4 Tipos de integrales en el cálculo vectorial

Tabla 2.4

Tipos de integrales en el cálculo vectorial p.44
Tabla 2.6 Teorema de Stokes y Teorema de Gauss [17] [18].  Teorema de Stokes

Tabla 2.6

Teorema de Stokes y Teorema de Gauss [17] [18]. Teorema de Stokes p.45
Tabla 2.8 Valores de permitividad para algunos líquidos  [12]

Tabla 2.8

Valores de permitividad para algunos líquidos [12] p.47
Tabla 2.11 Ecuaciones de Maxwell en forma integral.   ECUACIONES  DIFERENCIALES  DEL

Tabla 2.11

Ecuaciones de Maxwell en forma integral. ECUACIONES DIFERENCIALES DEL p.49
Tabla 2.13 Campos electromagnéticos descritos en función de los potenciales

Tabla 2.13

Campos electromagnéticos descritos en función de los potenciales p.54
Figura 3.1 Líneas equipotenciales del valor de potencial Eléctrico [V] en un arreglo coaxial

Figura 3.1

Líneas equipotenciales del valor de potencial Eléctrico [V] en un arreglo coaxial p.63
Tabla 3.1 Capacitancia propia por el método analítico [19]  Radio interior de cable coaxial            [m]

Tabla 3.1

Capacitancia propia por el método analítico [19] Radio interior de cable coaxial [m] p.64
Figura 3.2 Líneas equipotenciales del valor de potencial Eléctrico en un arreglo de 3 conductores con una de  las fases energizada

Figura 3.2

Líneas equipotenciales del valor de potencial Eléctrico en un arreglo de 3 conductores con una de las fases energizada p.65
Figura 3.17 Mallado del ejemplo

Figura 3.17

Mallado del ejemplo p.75
Tabla 4.1 Solución analítica tomada de [17]

Tabla 4.1

Solución analítica tomada de [17] p.85
Figura 4.2 Espira circular

Figura 4.2

Espira circular p.85
Figura 4.3 Líneas equipotenciales del vector potencial magnético, componente en dirección phy, para una  espira a 60 Hz

Figura 4.3

Líneas equipotenciales del vector potencial magnético, componente en dirección phy, para una espira a 60 Hz p.86
Tabla 4.2 Comparación entre las soluciones de COMSOL a 60 Hz y la solución analítica, Inductancia   propia

Tabla 4.2

Comparación entre las soluciones de COMSOL a 60 Hz y la solución analítica, Inductancia propia p.87
Tabla 4.3 Solución analítica tomada de [17]

Tabla 4.3

Solución analítica tomada de [17] p.88
Tabla 4.4 Comparación entre las soluciones de COMSOL a 60 Hz y la solución analítica, Inductancia   mutua

Tabla 4.4

Comparación entre las soluciones de COMSOL a 60 Hz y la solución analítica, Inductancia mutua p.90
Figura 4.10 Definiendo parámetros para geometría del modelo

Figura 4.10

Definiendo parámetros para geometría del modelo p.92
Figura 4.16 Selección de dominio para un material aire  Se asigna cobre al dominio 2, ver Figura 4.17:

Figura 4.16

Selección de dominio para un material aire Se asigna cobre al dominio 2, ver Figura 4.17: p.96
Figura 4.18 Subrama de física, selección y ajustes de ‘external current density’

Figura 4.18

Subrama de física, selección y ajustes de ‘external current density’ p.98
Figura 4.21 ajustes de un medidor de domino, selección de variable

Figura 4.21

ajustes de un medidor de domino, selección de variable p.100
Tabla 5.1 Profundidad de penetración de diferentes materiales [9]  Material  Profundidad de penetración

Tabla 5.1

Profundidad de penetración de diferentes materiales [9] Material Profundidad de penetración p.106
Figura 5.3 Vista lateral de arreglo de cable coaxial para apreciar el efecto de proximidad

Figura 5.3

Vista lateral de arreglo de cable coaxial para apreciar el efecto de proximidad p.108
Figura 5.6 Subrama de materiales, línea monofásica

Figura 5.6

Subrama de materiales, línea monofásica p.115
Tabla 5.3. Resistencia en el conductor aplicando el método de la energía P.

Tabla 5.3.

Resistencia en el conductor aplicando el método de la energía P. p.118

Referencias

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