Diseño e Implementación de una Estrategia de Control Óptimo para Simulación de un Vehículo Aéreo No Tripulado

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(1)Diseño e implementación de una estrategia de control óptimo para simulación de un vehículo aéreo no tripulado. David Leonardo Rodríguez Molina Sebastián Enrique Jiménez Rojas. Trabajo de grado de ingeniería en control en la modalidad monografía. Director: Ing. MsC Frank Nixon Giraldo Ramos. Universidad Distrital “Francisco José De Caldas” Facultad Tecnológica Programa de Ingeniería en Control. 1.

(2) HOJA DE ACEPTACIÓN Diseño e implementación de una estrategia de control óptimo para simulación de un vehículo aéreo no tripulado Observaciones:. _______________________________ Director del Proyecto Ing. Msc Frank Nixon Giraldo Ramos.. _______________________________ Evaluador del Proyecto. _______________________________ Evaluador del Proyecto Agosto de 2015. 2.

(3) Dedicatoria Los resultados de este proyecto, Están dedicados a todas aquellas personas que, De alguna forma, son parte de su culminación. A nuestras familias por siempre brindarnos su apoyo, En cada meta que nos proponemos, Brindarnos su amor, y también darnos La oportunidad de llevar un proceso académico.. 3.

(4) Agradecimientos Definitivamente este trabajo no se habría podido realizar Sin la colaboración de personas como nuestros padres Que nos brindaron su ayuda en todo momento; Siempre resultará difícil agradecer a todos aquellos que De una u otra manera nos han acompañado y apoyado En nuestra estadía en la Universidad. A nuestras familias por su apoyo incondicional A nuestro tutor por su disposición y ayuda En el desarrollo este proyecto.. 4.

(5) Resumen. Este documento presenta el trabajo de investigación realizada sobre la implementación de una simulación del comportamiento dinámico de un cuadricóptero, el control y las pruebas de rendimiento realizadas al mismo, y visualizadas en un entorno de realidad virtual. El tema de los vehículos aéreos no tripulados es de gran relevancia actualmente ya que son dispositivos muy versátiles lo que los hace útiles en gran cantidad de aplicaciones es por ello que con esta investigación se pretende conocer el funcionamiento desde el punto de vista físico, para realizar diseños e implementaciones de controladores. Para este caso se parte del modelamiento físico recopilado de algunas investigaciones sobre el modelamiento de cuadricópteros, donde se obtienen modelos con un grado de detalle que permite realizar el montaje de un prototipo real, aunque no es el alcance de este trabajo. Posteriormente se analizan los entornos de desarrollo para poder implementar el modelo físico en simulación y el diseño del modelo CAD 3D para que reciba los datos generados a partir de la simulación para obtener un comportamiento muy similar al Real en cuanto a visualización, y los datos obtenidos. Este tipo de herramientas son muy útiles en proyectos de ingeniería en control, ya que gracias a ello es posible implementar diversas estrategias de control, para este caso se hace un énfasis en las posibles arquitecturas de control que pueden ser implementadas y realizar las pruebas que permitan verificar si hay mejoras en el desempeño al utilizar los métodos de control moderno enfrentadas a los de control clásico.. Palabras clave: Vehículos aéreos no tripulados, Simulación aeroespacial, Realidad virtual, Control óptimo.. 5.

(6) Abstract. This paper presents the research work carried out on the implementation of a simulation of the dynamic behavior of a quadricopter, control and performance testing to it, and displayed in a virtual reality environment. The issue of UAVs is highly relevant today as they are very versatile devices making them useful in many applications is why this research is to know the operation from the physical point of view, for designs and implementations of drivers. For this case it is part of the physical modeling compiled some research on modeling cuadricópteros where models with a level of detail that allows mounting a real prototype is obtained, but not the scope of this paper. Later development environments to implement the physical model simulation and 3D CAD design model to receive data generated from the simulation for a very similar view regarding Real behavior are analyzed and the data obtained. Such tools are very useful in engineering projects in control, and thanks to it is possible to implement control strategies for this case emphasis is placed on possible control architectures that can be implemented and perform tests to check for performance improvements by using modern control methods faced with the classic control... Keywords: Unmanned aerial vehicles, Aerospace simulation, Virtual reality, Optimal control.. 6.

(7) Tabla de contenido Introducción. 12. 1.. 13. Planteamiento del Problema 1.1.. 2.. 14. 1.1.1.. Objetivo General.. 14. 1.1.2.. Objetivos Específicos. 14. Marco de Referencia 2.1.. 3.. Objetivos. 15. Antecedentes.. 15. 2.1.1.. Modelos matemáticos para vehículos aéreos no tripulados. 15. 2.1.2.. Estrategias de control utilizadas para el control de ruta. 15. 2.1.3.. Otras estrategias de Control. 16. Modelamiento del Cuadricóptero. 17. 3.1.. Referencia en el espacio vectorial X,Y,Z. 18. 3.2.. Rotaciones. 18. 3.3.. Modelo matemático. 19. 3.4.. 3.3.1.. Introducción. 19. 3.3.2.. Momento de masa inercial. 22. 3.3.3.. Coeficiente de empuje. 22. 3.3.4.. Coeficiente de torque. 23. 3.3.5.. Construcción de matriz inicial. 24. 3.3.6.. Relación de comando aceleración. 25. 3.3.7.. Fuerzas giroscópicas. 25. 3.3.8.. Construcción de matriz final. 26. 3.3.9.. Ecuaciones de estado. 27. Momentos de masa inercial. 32. 7.

(8) 4.. 3.4.1.. Introducción. 32. 3.4.2.. Motores: cilindros macizos. 34. 3.4.3.. ESCs – superficie plana delgada. 36. 3.4.4.. HUB central: cilindro solido. 38. 3.4.5.. Brazos: barras cilíndricas largas. 40. Implementación en Simulink del modelo de Cuadricóptero 4.1.. Uso de Quad-Sim. 42. 4.1.1.. Construcción de un nuevo modelo. 44. 4.1.2.. Asignación de condiciones iniciales. 46. 4.2. Edición y modificaciones para el Quad-Sim en esta simulación. 5. Simulación a través del toolbox 3D Animation y V-Realm Builder. 47. 48. 5.1.. Toolbox Simulink 3D Animation. 48. 5.2.. Desarrollo del modelo CAD 3D en V-Realm Builder. 49. 5.2.1. 5.3.. 6.. 42. Desarrollo del modelo CAD 3D del Cuadricóptero. Integración del modelo CAD 3D a la simulación basada en Quad-Sim. Aplicación de la metodología de control óptimo 6.1.. 6.2.. 57. 61. Control en cuadricópteros. 61. 6.1.1. Control de los motores. 62. 6.1.2. Control de postura. 63. Control óptimo. 65. 6.2.1. LQR (Linear Quadratic Regulator) 6.3. 53. Implementación de control LQR. 69 70. 6.3.1 Algoritmo para obtener la ganancia de control LQR. 72. 7. Interfaz gráfica para el manejo global de la simulación. 76. 7.1.. Puesta en marcha de la interfaz gráfica desarrollada. 8. 77.

(9) 7.2.. Pruebas de rendimiento a los controladores. 79. 7.2.1. Primera prueba de rendimiento para los controladores. 79. 7.2.2. Segunda prueba de rendimiento para los controladores. 81. 7.3.. Análisis. 82. 8. Conclusiones. 83. Referencias. 86. Anexo 1:. Código para la aerodinámica del fuselaje. Anexo 2:. Código para la implementación LQR para un sistema modelado. en el espacio de estados. 89. 91. 9.

(10) Lista de Figuras Figura 1. Notación para ecuaciones Quadrotor de movimiento N=4; ϕi Es un múltiplo de π/4. [1] Figura 2. Modelo del vehículo y puntos de referencia en el espacio. [1] Figura 3. Posibles configuraciones del vehículo: “+” y “X” [2] Figura 4. Etiquetas del eje y convenciones [2] Figura 5. cuadricóptero y convenciones para el cálculo de momentos de masa inercial [3] Figura 6. Gráficos del cilindro con su referencia de rotación para el cálculo de momentos de masa inercial de los motores [3] Figura 7. Convenciones en el Cuadricóptero para el cálculo de momento de masa inercial de los ESCs [3] Figura 8. Convenciones en el Cuadricóptero para el cálculo de momento de masa inercial del HUB central [3] Figura 9. Gráficos del cilindro con su referencia de rotación para el cálculo de momentos de masa inercial en el HUB central [3] Figura 10. Gráficos del cilindro con su referencia de rotación para el cálculo de momentos de masa inercial en los brazos [3] Figura 11. Grafico del cuadricóptero con las convenciones para el cálculo de momentos de masa inercial en los brazos [3] Figura 12. Diagrama de bloques en AC_Quadcopter_Simulation[28] Figura 13. Construcción de un nuevo modelo[4] Figura 14. Asignación de condiciones iniciales a través de un GUI [5] Figura 15. Modelo de Simulink del cuadricóptero[28] Figura 16. Bloque VR Sink[Autores] Figura 17. Uno de los modelos por defecto para realizar una simulación en V-Realm Builder [Autores] Figura 18. Herramientas de creación de modelo 3D en V-Realm Builder [Autores]. 10.

(11) Figura 19. Modelo Real en el que está basado el modelo CAD 3D en este proyecto.[35] Figura 20. Hub central diseñado en V-Realm Builder [Autores] Figura 21. Diseño de un sólido en el espacio usando el componente Extrusion [Autores] Figura 22. Hub Central con los brazos del cuadricóptero anidados. [Autores] Figura 23. Modelo Final del cuadricóptero integrado a un entorno ambiental 3D. [Autores] Figura 24. Parámetros de VR Sink para recrear el movimiento en la simulación. [Autores] Figura 25. Resultado de la configuración del bloque VR Sink con las entradas de translation y rotation. [Autores] Figura 26. Montaje en Simulink para la transferencia de señales al VR Sink. [Autores] Figura 27. Arranque de la simulación en Simulink con el modelo CAD 3D. [Autores] Figura 28. Lazos de control en el cuadricóptero [1] Figura 29. Proceso de síntesis de controladores óptimos [6] Figura 30. Control estabilizante LQR [7] Figura 31. Esquema de la planta modelada en el espacio de estados [8] Figura 32. Diagrama de implementación LQR para Phi, Theta, Psi y Z y la arquitectura de cada uno de los controladores [autores] Figura 33. Comando de postura en Simulink modificado desde un GUIDE [Autores] Figura 34. Interfaz final para el control de la simulación [Autores] Figura 35. Menú de edición de parámetros LQR [Autores] Figura 36. Graficas de los parámetros de control de la simulación [Autores] Figura 37. Graficas de seguimiento de control para Z [Autores] Figura 38. Gráficas de respuesta para la segunda prueba [Autores]. 11.

(12) Introducción El control en vehículos aéreos no tripulados es un tema en el que actualmente se están realizando bastantes investigaciones ya que éstos son ampliamente utilizados para diversas aplicaciones tales como vigilancia, transporte de mercancías, sensado remoto en aplicaciones ambientales y/o agricultura, construcción y muchas otras que aún no han sido exploradas. En la Universidad Distrital Francisco José De Caldas son escasas las investigaciones acerca de este tema puesto que no se cuenta con los equipos necesarios para realizarlo por ello no se aborda el tema de control óptimo en aplicaciones reales.. Es por estas razones que el objetivo es lograr una simulación cuyo comportamiento dinámico sea lo más cercano a la realidad para poder implementar algoritmos de control óptimo.. Para solucionar este problema se utiliza el software Matlab, que es un software bastante utilizado para el modelamiento de sistemas físicos, además es útil en el diseño de sistemas de control.. Hay un paquete o toolbox desarrollado para modelar cuadricópteros llamado Quad-Sim, de código libre del cual parte esta investigación pues el Quad-Sim es bastante útil en el prototipado de cuadricópteros y simulación, en este caso se busca complementar ese trabajo mostrando una simulación de realidad virtual e implementando un controlador óptimo.. Se espera que este documento pueda ser utilizado por estudiantes de Ingeniería en control de la Universidad Distrital Francisco José de caldas ya sea para desarrollar nuevos conocimientos a manera de tesis de grado o para afianzar en mayor medida los conocimientos que se tienen de la teoría de control óptimo.. 12.

(13) 1. Planteamiento del Problema Actualmente en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Facultad Tecnológica, son escasas las investigaciones en el campo del control óptimo de vehículos aéreos no tripulados y la simulación aeroespacial; debido a que son escasos los equipos disponibles para los estudiantes para hacer pruebas de control de éstos dispositivos, en el caso de las simulaciones no son materia de investigación puesto que las simulaciones son complementos de algunas investigaciones que se han desarrollado.. Otro problema que se presenta es el alto costo de implementación de un prototipo de vehículo aéreo no tripulado, sea éste de cualquier tipo siendo actualmente muy populares los cuadricópteros, el costo económico comprende: los actuadores, la estructura, los sensores y un sistema embebido que permita la interfaz con él computador; el prototipo de vehículo aéreo no tripulado es una herramienta real, pero realizar las pruebas de control sumado al tiempo de desarrollo del mismo requiere de bastante tiempo que hace que se desvié la investigación del tema central que es probar los algoritmos de control óptimo antes de implementar un prototipo para pruebas reales.. Por lo tanto se pierde tiempo en éste tipo de investigación que puede ser empleado en desarrollar mejores algoritmos de control, o poner a prueba otras estrategias de control óptimo que se utilizan para resolver el problema de control de ruta en la plataforma virtual que se ha desarrollado.. 13.

(14) 1.1. Objetivos 1.1.1. Objetivo General Diseñar un software que permita aplicar estrategias de control a la trayectoria de vuelo simulada en 3D, de un vehículo aéreo autónomo.. 1.1.2. Objetivos Específicos Identificar el modelo del sistema del vehículo aéreo no tripulado y desarrollar el modelo CAD 3D del vehículo.. Realizar la integración en software del modelo del sistema de vehículo aéreo no tripulado y el modelo CAD 3D en un entorno de realidad virtual.. Desarrollar un software que efectué el control de la simulación 3D basada en estrategias de control óptimo y permita intercambiar los parámetros de control de trayectoria de la simulación de vuelo desarrollada.. Efectuar y validar pruebas de algoritmos de control óptimo para la simulación de trayectorias de vuelo en el entorno de realidad virtual.. 14.

(15) 2. Marco de Referencia 2.1. Antecedentes. 2.1.1. Modelos matemáticos para vehículos aéreos no tripulados Resolver los problemas de control de rutas, para vehículos aéreos no tripulados es actualmente materia de investigación para las aplicaciones humanas y militares [9]–[12], de tal manera que es importante para este tarea obtener modelos adecuados de el sistema o ecuaciones simplificadas ya sea por medio de espacio de estados[9], [12]–[17] o por el uso de otras técnicas; ya sea por medio de métodos experimentales de identificación o algoritmos de control difuso que describen de manera simplificada la dinámica del sistema en línea (online) al proceso ejecutado [9], [11], [14], [18]–[23], lo que permite realizar modelos con menor incertidumbre y desacoplados puesto que el fuerte acoplamiento de estos sistemas complica y hace dispendioso el procedimiento y el control de estos sistemas[16].. 2.1.2. Estrategias de control utilizadas para el control de ruta. Para solucionar este tipo de problemas la mayoría de bibliografía consultada aborda el tema para el control de helicópteros con 3 grados de libertad los cuales poseen contrapesos [9], [10], [12]–[15], [20]–[28], y presentan dos rotores, algunos de los textos consultados incluyen otros tipos de tecnologías actuales los cuales incluyen modelos de 4 rotores que presentan una dinámica más compleja. [10], [18], [29]. Para abordar el problema de control algunos investigadores han utilizados algoritmos de control óptimo como controladores LQR (Linear Quadratic. 15.

(16) Regulator) [11], [24], [30], los cuales también son utilizados para problemas de control como péndulos invertidos[31], y control de trayectoria de misiles militares[32] la cual se basa en la simplificación de modelos en el espacio de estados y su posterior diseño basado en diversos algoritmos utilizando simplificación por términos integrales, ecuaciones de Liapunov o ecuaciones de Riccatti [11], [12], [15], [16], [33], pues es la teoría de control más utilizada y de mayor eficiencia puesto que son algoritmos computacionales basados en modelos simplificados puesto que utilizar los modelos completos presentan mayores grados de libertad y ecuaciones de movimiento más complejas que hacen casi imposible tratar estos problemas.. 2.1.3. Otras estrategias de control. Otras de las estrategias utilizadas con buenos resultados es la aplicación de métodos híbridos con la teoría LQR. tales como la aplicación de bloques de. realimentación por control difuso [18], [22], [23], [25] además de trabajos basados en identificación del modelo y diseño de controlador en modo online por medio de redes neuronales[19], pero muchos de estos trabajos concluyen que tanto como controladores difusos y la aplicación de redes neuronales son complicados para ejecutarse en la realidad debido a que aún no se tiene un hardware eficiente para que ejecuten estos algoritmos, por lo tanto las tendencias de estos controladores para las rutas y trayectorias de aeromodelos no tripulados utilizan de manera amplia la teoría de LQR, y otros sistemas híbridos como los descritos anteriormente, además de la utilización de filtros de Kalman en sistemas adaptativos[11], [18]. 16.

(17) 3. Modelamiento del Cuadricóptero. La plataforma aérea multirotor más común, es el vehículo cuadricóptero, el cual es una máquina muy simple, esta consiste en cuatro rotores individuales unidos a un fuselaje rígido en cruz, como se muestra en la Figura 1. El control del Cuadricóptero es alcanzado por el control diferencial del empuje generado por cada rotor, inclinación rollo y maniobra de flotado (empuje total), el control es fácil de conceptualizar. Como se muestra en la Figura 1. Rotor i gira en sentido contrario a las manecillas del reloj (positivo con respecto al eje Z). Si i es par el sentido de giro del rotor es horario y si es impar el sentido de giro es anti horario.[1]. El control de orientación es obtenido por el ajuste de la velocidad media de los rotores en sentido horario y anti horario de los rotores del fuselaje que se encuentren rotando, el sistema es subactuado, y los demás grados de libertad corresponden a la velocidad traslacional en el plano X-Y que puede ser controlado a través de sistemas dinámicos.[1]. Figura 2. Notación para ecuaciones Quadrotor de movimiento N=4; ϕi Es un múltiplo de π/4. [1]. 17.

(18) 3.1. Referencia en el espacio vectorial X,Y,Z Se toman { 𝑥, 𝑦, 𝑧 } que son vectores unitarios que serán los 3 ejes de coordenadas sin un marco de referencia. Se toma { 𝐴 } que denota la referencia inercial de la mano derecha con vectores unitarios a lo largo de los ejes denotados por { 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 } expresado en 𝐴 . Se tiene algebráicamente que 𝑎1 = 𝑥 , 𝑎2 = 𝑦, 𝑎3 = 𝑧 en. 𝐴. El vector 𝑟 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 { 𝐴 } denota el centro de masa de el. vehículo.[1]. Se toma. 𝐵. que es una referencia de cuerpo fijo del fuselaje con vectores. unitarios { 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 } donde éstos vectores son el eje de referencia. 𝐵. con. respecto a la referencia 𝐴 . La orientación de cuerpo rígido es dada por la matriz de rotación. 𝐴. 𝑅𝐵 = 𝑅 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ∈ 𝑆𝑂(3) en el grupo especial ortogonal uno. que tiene 𝑏1 = 𝑅𝑥, 𝑏2 = 𝑅𝑦, 𝑏3 = 𝑅𝑧 por construcción.[1]. 3.2. Rotaciones Nosotros vamos a usar Z-X-Y ángulos de rotación de Euler que se muestran en la Figura 2. Para tomar { 𝐴 } a. 𝐵 , primero se rotara alrededor de 𝑎3 a través del. ángulo de orientación 𝜓, y vamos a llamar referencia intermediaria. 𝐸. con una. base { 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 } donde 𝑒𝑖 es expresada con respecto a la referencia 𝐴 esto es seguido por una rotación acerca del eje 𝑥 en la referencia rotada a través del ángulo de rollo 𝜙, seguido por un segundo ángulo de elevación 𝜃, que resulta en una triada de cuerpo fijo { 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 } [1]. 18.

(19) 𝑅=. 𝑐𝜓𝑐𝜃 𝑠𝜓𝑐𝜃 −𝑠𝜃. 𝑐𝜓𝑠𝜃𝑠𝜙 − 𝑠𝜓𝑐𝜙 𝑠𝜓𝑠𝜃𝑠𝜙 + 𝑐𝜓𝑐𝜙 𝑐𝜃𝑠𝜙. 𝑐𝜓𝑠𝜃𝑐𝜙 + 𝑠𝜓𝑠𝜙 𝑠𝜓𝑠𝜃𝑐𝜙 − 𝑐𝜓𝑠𝜙 𝑐𝜃𝑐𝜙. (1.). Donde 𝑠 y 𝑐 son formas abreviadas del seno y el coseno respectivamente.. Figura 2. Modelo del vehículo y puntos de referencia en el espacio. [1]. 3.3. Modelo matemático 3.3.1. Introducción. Antes de saltar al modelo matemático, se necesita alguna discusión de notación. Debido a la complejidad de un sistema con 6 grados de libertad, diversos métodos de notación se han desarrollado y se requiere con el fin de describir suficientemente las variables críticas. A continuación se muestra un ejemplo de la notación que se ha elegido: [2]. 19.

(20) 𝑏 𝑏 v 𝐶𝑀|𝑖. (2.). En este caso en la Ecuación (2.) la variable de base es la aceleración lineal, o v. Como puede ver, la variable también tiene dos exponentes y un subíndice definir con mayor precisión lo que estamos describiendo. El superíndice izquierdo superior, 𝑏, nos dice que la derivada tomada se realizó en el marco de cuerpo de referencia, mientras que la parte superior derecha superíndice, 𝑏, indica aceleración se da en términos de componentes estructura corporal vectorial, y el subíndice, 𝐶𝑀|𝑖 nos dice, que esta variable hace referencia al centro de masa con respecto al sistema inercial.[2]. Otro aspecto importante del modelo matemático es el sistema de coordenadas que se utiliza. El modelo elegido y convenciones se vuelven muy importantes a medida que trabaja a través de su modelo, así que asegúrese de mantener sus decisiones en cuenta y claramente documentado. El sistema de coordenadas puede variar si se utiliza un signo más ("+") o la configuración de "X", que se describe a continuación con la Figura 3. [2]. Figura 3. Posibles configuraciones del vehículo: “+” y “X” [2] 20.

(21) Como se ve en la Figura 3, la configuración que se utiliza se define como tener el eje X que se encuentran a lo largo del brazo del motor 1 (que gira en sentido anti horario desde arriba, por nuestra convención) con el eje Y establecer a lo largo del brazo del motor 2 (girando en sentido contrario dirección de los motores adyacentes) y el eje Z apunta hacia arriba. El valor d representa la distancia desde un motor dado al eje de rotación, y debe ser el mismo para cada motor. Este valor cambiará si se utiliza una configuración de x, que se define como una rotación en el plano XY de 45 grados en la dirección de guiñada positiva, lo que resulta en tener el eje X se encuentran entre el motor 1 y 2. En cualquier configuración, el eje x se supone que es la dirección de avance positivo para el movimiento del vehículo. Para mayor claridad, nuestras convenciones de rotación se muestran a continuación en la Figura 4. [2]. Figura 4. Etiquetas del eje y convenciones [2]. 21.

(22) 3.3.2. Momento de masa de matriz inercial.. Un elemento del sistema de importancia es la matriz de inercia. La matriz de inercia describe los cuadricópteros momento de inercia de masa a través de los ejes definidos, y es importante para la dinámica de vuelo del sistema. Con algunas aproximaciones, se puede determinar el momento de inercia de masa a través de la X, Y, y Z para formar la matriz de inercia requerida. Este proceso en particular se trata en más detalle en la sección que describe el cálculo de los momentos de masa inercial. Una vez determinado utilizando la configuración "+" o "X", la matriz de inercia aparecerá de la siguiente manera como aparece en la Ecuación (3.): [2] 𝐽𝑥𝑥 𝐽 = 0 0 𝑏. 0 𝐽𝑦𝑦 0. 0 0 𝐽𝑧𝑧. (3.). Aquí, 𝐽𝑏 es la inercia del cuadricóptero en relación con el bastidor de carrocería con 𝐽𝑥𝑥 , 𝐽𝑦𝑦 , and 𝐽𝑧𝑧 siendo la inercia del cuadricóptero a través de cada eje. Debido a la simetría del sistema, la matriz es diagonal y será idéntico ya sea para una o configuración "+" o "X". La forma diagonal de la matriz es conveniente debido a la necesidad de invertir la matriz para su uso en la ecuación de estado velocidad angular. [2]. 3.3.3. Coeficiente de Empuje.. La aerodinámica de los rotores ha sido extensamente estudiada durante mediados de 1900 con el desarrollo de helicópteros pilotados por humanos y hay modelos detallados de la aerodinámica de los rotores disponibles en la literatura, muchos de los detalles de estos modelos aerodinámicos son útiles para el diseño de sistemas de rotor, donde todo el rango de parámetros (rotor, geometría, perfil,. 22.

(23) mecanismo de bisagra, y mucho más) son fundamentales para el problema de diseño. [1]. Para cuadricópteros típicos el diseño del rotor es cuestión de seleccionar uno entre los 5 o 6 disponibles en la tienda de hobby y mucha de la complejidad en el modelamiento aerodinámico son ignorados, sin embargo, un nivel básico de modelamiento aerodinámico es requerido. [1]. El estado estable de empuje generado por el rotor flotando (por ejemplo un rotor que no se está trasladando horizontal o verticalmente) en el aire libre puede ser modelado usando la teoría de momento como aparece en la Ecuación (4.) [2] 𝑇 = 𝐶𝑇 𝜌𝐴𝑟 𝑟 2 𝜛 2. (4.). Donde 𝐶𝑇 es el coeficiente de empuje para un rotor específico, 𝜌 es la densidad del aire, 𝐴𝑟 es el área de la sección transversal de la rotación de la hélice, 𝑟 2 es el radio del rotor, y 𝜛 2 es la velocidad angular del rotor. Para sencilla vuelo modelar un enfoque de parámetros concentrados se puede utilizar para simplificar el proceso de caracterización se emplea la Ecuación (5.) [2] 𝑇 = 𝑐𝑇 𝜛 2. (5.). 3.3.4. Coeficiente de Torque.. Con el fin de entender el efecto motor en guiñada, la fuerza de torsión del sistema de motor/propulsión también debe ser determinada, y se puede hacer de una manera similar a la de las pruebas de empuje. La ecuación de parámetros concentrados relacionados se muestra en la Ecuación (6.) a continuación:. 23.

(24) 𝑄 = 𝑐𝑄 𝜛 2. (6.). En este caso, Q es el par creado por el motor y 𝑐𝑄 es el coeficiente de par de torsión para el sistema de motor/hélice. Este par de torsión proporciona una fuerza que actúa para el sistema de guiñada alrededor del eje Z. [2]. 3.3.5. Construcción de Matriz Inicial. Después de realizar una serie de pruebas con cada uno de los bancos de prueba, los programas de análisis de datos proporcionados pueden ayudarle a calcular estos coeficientes para la caracterización de su sistema. Con esta información podemos crear una matriz que describe los empujes y pares en el sistema como el que se muestra a continuación en la Ecuación (7.) : [2]. 𝑐𝑇 Σ𝑇 0 𝜏𝜙 𝜏𝜃 = −𝑑+ 𝑐𝑇 −𝑐𝑄 𝜏𝜓. 𝑐𝑇 𝑑+ 𝑐𝑇 0 𝑐𝑄. 𝑐𝑇 0 𝑑+ 𝑐𝑇 −𝑐𝑄. 𝑐𝑇 −𝑑+ 𝑐𝑇 0 𝑐𝑄. 𝜛12 𝜛22 𝜛32 𝜛42. (7.). Todos los valores actuales se han explicado hasta el momento, excepto para 𝑑, que es simplemente la distancia entre los motores y los respectivos ejes de rotación, donde 𝑑+ es la longitud del brazo de Quadcopter centro del cubo a motor / hélice. [2] Si se utiliza una configuración “x”, 𝑑𝑥 lugar se puede encontrar 𝑑+𝑠𝑒𝑛(45), ya que sería el valor de la distancia entre el motor / hélice y ejes del cuerpo de rotación. Por lo tanto, 𝑐𝑄 experimenta ningún cambio de este ajuste de configuración, mientras que el efecto de 𝑐𝑇 se distribuye a través de todos los cuatro motores tanto para el cabeceo y balanceo. En la ecuación (8.) aparece la matriz de construcción final para la configuración en “x” [2] 24.

(25) 𝑐𝑇 Σ𝑇 −𝑑𝑥 𝑐𝑇 𝜏𝜙 𝜏𝜃 = −𝑑𝑥 𝑐𝑇 −𝑐𝑄 𝜏𝜓. 𝑐𝑇 𝑑𝑥 𝑐𝑇 −𝑑𝑥 𝑐𝑇 𝑐𝑄. 𝑐𝑇 𝑑𝑥 𝑐𝑇 𝑑𝑥 𝑐𝑇 −𝑐𝑄. 𝑐𝑇 −𝑑𝑥 𝑐𝑇 𝑑𝑥 𝑐𝑇 𝑐𝑄. 𝜛12 𝜛22 𝜛32 𝜛42. (8.). 3.3.6. Relación de comando de aceleración. Una consideración importante aquí con fines de control es que los coeficientes de empuje y par motor se basan en una relación con RPM de los motores y no algo determinado directamente por el sistema de control (como el comando del acelerador). Debido a esto, se necesita una regresión lineal que se traducirá valores de comando del acelerador (como porcentaje del acelerador) a los valores de RPM. La siguiente regresión fue creada para este propósito y se muestra en l Ecuación (9.). [2]. 𝜛𝑠𝑠 = (𝑇𝑕𝑟𝑜𝑡𝑡𝑙𝑒%)𝑐𝑅 + 𝑏. (9.). Aquí 𝜛𝑠𝑠 es el RPM del motor en estado estacionario se esperaba, 𝑇𝑕𝑟𝑜𝑡𝑡𝑙𝑒% es el porcentaje de mando del acelerador, 𝑐𝑅 es el % de acelerador al coeficiente de conversión RPM, y 𝑏 es la ordenada en el origen de la relación de regresión lineal. La regresión lineal puede llevarse a cabo utilizando el programa de análisis de datos mediante experimentación con algún prototipo de pruebas, lo que permite su controlador a utilizar los coeficientes adecuados según lo determine su prueba de motor para una máxima precisión y realismo. [2]. 3.3.7. Fuerzas Giroscópicas. Hay otro conjunto de fuerzas para explicar antes creamos nuestra matriz momento, y esas son las fuerzas resultantes de la precesión giroscópica.. 25.

(26) Precesión giroscópica es un fenómeno que se produce cuando se cambia el eje de rotación de un cuerpo en rotación, y los resultados son típicamente no intuitiva para los no familiarizados con sus efectos. Las fuerzas resultantes giroscópicos en el cuerpo se rigen por la inercia de los componentes de rotación de cada motor 𝐽𝑚 , las tarifas de balance y cabeceo (P y Q), así como la velocidad de cada / sistema de apoyo del motor 𝜛𝑖 Los pares de giroscópicos creados por los motores se muestran a continuación en la Ecuación (10.) y la Ecuación (11.) [2]. 𝜏𝜙 𝑔𝑦𝑟𝑜 = 𝐽𝑚 𝑄. 𝜏𝜃𝑔𝑦𝑟𝑜 = 𝐽𝑚 𝑃. 𝜋 30. 𝜋 30. 𝜛1 − 𝜛2 + 𝜛3 − 𝜛4. (10.). (−𝜛1 + 𝜛2 − 𝜛3 + 𝜛4 ). (11.). El término π / 30 corresponde a la transición de la RPM a radianes que deben ocurrir para la fuerza giroscópica a calcular. [2]. 3.3.8. Construcción de Matriz Final. Con estas fuerzas de motor y términos añadidos es posible volver a organizar las ecuaciones en forma matricial para nuestros propósitos de simulación. La matriz resultante representará los, y momentos de empuje mencionadas aerodinámicas giroscópicos creados por los sistemas de motor/propulsor en el cuadricóptero para una configuración de "+" se muestra a continuación en la Ecuación (12.) [2]. 𝜋 30 𝜋 −𝑑+ 𝑐𝑇 𝜛12 + 𝑑+ 𝑐𝑇 𝜛32 + 𝐽𝑚 𝑃(30 ) −𝜛1 + 𝜛2 − −𝑐𝑄 𝜛12 + 𝑐𝑄 𝜛22 −𝑐𝑄 𝜛32 + 𝑐𝑄 𝜛42. 𝑑+ 𝑐𝑇 𝜛22 −𝑑+𝑐𝑇 𝜛42 + 𝐽𝑚 𝑄( ) 𝜛1 − 𝜛2 + 𝜛3 − 𝜛4. 𝑏 𝑀𝐴,𝑇 =. 26. 𝜛3 + 𝜛4. (12.).

(27) 𝑏 Aquí, 𝑀𝐴,𝑇 se refiere a los momentos presentes en el bastidor de carrocería. resultante de la aerodinámica, empujes, y pares de torsión en el sistema. El cuerpo cuadricóptero también experimenta las fuerzas que actúan sobre el mismo de la gravedad y de la elevación de los rotores. La fuerza de elevación se puede expresar como sigue en la Ecuación (13.) [2]. 𝑏 F𝐴,𝑇. 0 0 = 2 2 𝑐𝑇 (𝜛1 + 𝜛2 + 𝜛32 + 𝜛42 ). (13.). 𝑏 F𝐴,𝑇 Se refiere a las fuerzas que actúan en el marco de cuerpo en el cuadricóptero. debido a la aerodinámica y de empuje (que se supone orientada estrictamente en la dirección z positiva). Cabe señalar que, si bien decimos que están actuando fuerzas aerodinámicas, se supone que las pruebas de empuje y par estáticos capturar los elementos de la aerodinámica que nos interesan. Efectos adicionales (como la hoja de aleteo, enmarcar la resistencia aerodinámica, etc.) podría añadirse al modelo después de la investigación y pruebas adicionales. [2]. 3.3.9. Ecuaciones de Estado. Ahora pasamos a las ecuaciones de estado que definen el modelo de dinámica. El primero que vamos a discutir es la Ecuación (14.) que es la ecuación de estado de velocidad angular. [2]. 𝑏. 𝑏 𝜔𝑏|𝑖. 𝑏 −1. = (𝐽 ). 𝑏 𝑀𝐴,𝑇. −. 𝑏 Ω𝑏𝑏|𝑖 𝐽𝑏 𝜔𝑏|𝑖. 𝑃 = 𝑄 𝑅. (14.). Esta ecuación describe el cambio en rollo 𝑃, el tono 𝑄, y guiñada 𝑅 las tasas del Cuadricóptero teniendo en cuenta la inercia, velocidad angular, y los momentos. 27.

(28) aplicados por los sistemas de motor/propulsor.. 𝑏. 𝑏 𝜔𝑏|𝑖 La aceleración angular a. través de cada eje en el bastidor de carrocería con respecto al bastidor inercial, y también se puede escribir como se muestra en la Ecuación (15.) [2]. 𝑏. 𝑏 𝜔𝑏|𝑖. 𝑃 = 𝑄 𝑅. (15.). Teniendo las matrices de momento inercial, se presenta el término Ω𝑏𝑏|𝑖 que es una matriz de velocidad para rotación de producto cruzado. La forma de esta matriz se muestra a continuación en la Ecuación (16.) [2]. Ω𝑏𝑏|𝑖. 0 = R −Q. −R Q 0 −P P 0. (16.). Aquí, P, Q, y R son de nuevo las tasas de rotación alrededor de los ejes X, eje Y, eje Z, respectivamente. El término 𝜔𝑏𝑏|𝑖 es la velocidad de rotación del cuerpo del Cuadricóptero dentro del bastidor de la carrocería y se define directamente por P, Q, y R en la Ecuación (17.) [2] 𝑃 𝑏 𝜔𝑏|𝑖 = 𝑄 𝑅. (17.). La siguiente ecuación de estado es la ecuación cinemática de Euler, que permite determinar la velocidad de cambio de los ángulos de Euler en el sistema inercial. Aparece en la ecuación (18.) [2]. 28.

(29) Φ= 𝐻 Φ. 𝑏 𝜔𝑏|𝑖. 𝜙 = 𝜃 𝜓. (18.). Antes de discutir esta ecuación vamos a discutir sobre las matrices de rotación. De acuerdo con la secuencia de rotación de la industria aeroespacial, la rotación de una aeronave se describe como una rotación alrededor del eje z (guiñada), entonces una rotación alrededor del eje y (pitch) seguido de una rotación alrededor del eje x (roll). Cada rotación se realiza con base en un sistema de mano derecha y en un solo plano. [2]. El uso de estas tres rotaciones una matriz de rotación de material compuesto puede ser creada y puede transformar el movimiento de la aeronave desde el fuselaje a un nuevo marco de referencia. La matriz de rotación resultante transforma rotaciones del fuselaje con respecto al marco de inercia y se puede encontrar utilizando la multiplicación de matrices. A continuación se presenta la Ecuación (19.) que muestra el producto cruz entre matrices para obtener la matriz de rotación. [2] 1 0 0 c(θ) 0 −s(θ) c(ψ) s(ψ) 0 0 1 0 u = 0 c(ϕ) s(ϕ) −s(ψ) c(ψ) 0 u𝑖 0 −s(ϕ) c(ϕ) s(θ) 0 c(θ) 0 0 1 𝑏. (19.). Siguiendo adelante con la multiplicación de matrices se obtiene la matriz de rotación inercial de la estructura corporal utilizando la secuencia de rotación aeroespacial que aparece a continuación en la Ecuación (20.) [1], [2]. 𝐶𝑏|𝑖. c 𝜃 c(𝜓) c 𝜃 s(𝜓) = (− c 𝜙 s 𝜓 + s 𝜙 s 𝜃 c 𝜓 ) (𝑐 𝜙 𝑐 𝜓 + 𝑠 𝜙 𝑠 𝜃 𝑠 𝜓 ) (𝑠 𝜙 𝑠 𝜓 + 𝑐 𝜙 𝑠 𝜃 𝑐 𝜓 ) (−𝑠 𝜙 𝑐 𝜓 + 𝑐 𝜙 𝑠 𝜃 𝑠 𝜓 ). 29. −s(𝜃) s 𝜙 c(𝜃) c 𝜙 c(𝜃). (20.).

(30) Esta matriz de rotación es de particular importancia en la solución de las ecuaciones de estado de velocidad y de posición. Una discusión completa de matrices de rotación está más allá del alcance de este documento. [2]. El uso de matrices de rotación secuencial, la velocidad angular de la aeronave en el bastidor de carrocería puede estar relacionado con los cambios en el ángulo de rotación como se muestra a continuación, donde las matrices C de 𝜙 y 𝜃 son los de ub. aparecen enunciados en la Ecuación (21.) [2].. 𝑏 𝜔𝑏|𝑖. 𝜙 = 0 + 𝐶𝜙 0. 0 0 𝜃 + 𝐶𝜃 0 𝜓 0. (21.). Realización de la multiplicación de matrices, suma y tomando la derivada de la ecuación de Euler cinemática se puede encontrar la Ecuación (22.) [2]. 1 𝑡 𝜃 𝑠(𝜙) 𝑡 𝜃 𝑐(𝜙) 𝑃 𝜙 𝑏 𝑐(𝜙) −𝑠(𝜙) Φ= 𝜃 = 0 𝑄 = 𝐻(Φ)𝜔𝑏|𝑖 0 𝑠 𝜙 /𝑐(𝜃) 𝑐 𝜙 / 𝑐(𝜃) 𝑅 𝜓. (22.). Si bien este enfoque es eficaz, hay un inconveniente muy importante; una singularidad se produce cuando θ es igual a ± 90 °. Debido a esto, la precisión y la estabilidad numérica de una simulación puede verse comprometida si el tono de la aeronave se aproxima o alcanza ± 90 °. Teniendo en cuenta el diseño de control modesta intención de esta simulación, esto no será un problema para la mayoría de usuarios. Sin embargo, varios enfoques para evitar este problema existe, incluyendo el uso de cuaterniones para la simulación, y por lo tanto los usuarios motivados pueden optar por modificar nuestra simulación de utilizar este u otro enfoque para retirar esta singularidad. [2]. 30.

(31) La siguiente ecuación de estado que se discute es la ecuación de estado de velocidad, que describe la aceleración del centro de masa del modelo cuadricóptero basado en las fuerzas y aceleraciones que actúan sobre el cuerpo. Es mostrada en la Ecuación (23.) [2]. 𝑏 𝑏 v 𝐶𝑀|𝑖. =. 1 𝑚. 𝑈 𝑏 𝑏 F𝐴,𝑇 +𝑔𝑏 − Ω𝑏𝑏|𝑖 𝜔𝐶𝑀|𝑖 = 𝑉 𝑊. (23.). Aquí, 𝑏 v 𝑏𝐶𝑀|𝑖 es la aceleración lineal del centro de masa en el fuselaje con respecto al sistema de referencia inercial. La variable 𝑚 es la masa total del cuadricóptero, mientras que 𝑔𝑏 es la aceleración de la gravedad traducida para actuar en el bastidor de carrocería por la matriz de rotación 𝐶𝑏|𝑖 . La expresión para esto aparece en la Ecuación (24.) [2] 𝑔𝑏 = 𝐶𝑏|𝑖 𝑔𝑖. (24.). El uso de éstas ecuaciones se puede encontrar la aceleración lineal del cuadricóptero en los ejes X, Y y Z de la estructura corporal; finalmente, la última ecuación de estado a cubrir es el ecuación de estado de posición, que describe la velocidad lineal del centro de masa del cuadricóptero en el sistema inercial. Que esta descrita en la Ecuación (25.) [2]. 𝑖 𝑖 P𝐶𝑀|𝑖. 𝑋 𝑏 = 𝐶𝑖|𝑏 v𝐶𝑀|𝑖 = 𝑌 𝑍. (25.). 𝑏 Aquí, v𝐶𝑀|𝑖 es simplemente la velocidad del cuadricóptero en el bastidor de. carrocería que se hace girar en el marco de inercia utilizando la transpuesta de. 31.

(32) 𝐶𝑏|𝑖 , que es 𝐶𝑖|𝑏 . Esta ecuación de estado nos permite determinar la velocidad de la. Cuadricóptero en los ejes X, Y, y Z del sistema inercial. [2]. 3.4. Momentos de masa inercial 3.4.1. Introducción. El momento de inercia de un objeto (J) desempeña un papel similar en el movimiento de rotación como el papel que juega la masa en movimiento de traslación: el momento de inercia de rotación determina como se ve afectada la velocidad por par aplicado. Esto por supuesto no sólo depende de la masa del objeto, sino también de cómo se distribuye la masa alrededor del eje de rotación. En la Ecuación (26.) y la Ecuación (27.) aparecen las expresiones más sencillas de las que se parte el análisis para el cálculo de momentos de masa inercial.[3] ∑𝐹 = 𝑚𝑎. (26.). ∑𝜏 = 𝐽𝜔. (27.). Tenemos que encontrar el momento de la matriz de inercia para el vehículo cuadricóptero. Usaremos "J" de momento de inercia, Es importante señalar aquí que el vehículo cuadricóptero se supone que es perfectamente simétrica respecto al X, Y, y el eje Z y tener su centro de masa en el centro geométrico de los brazos. Con estos supuestos, la matriz 𝐽𝑏 que aparece en la Ecuación (28.) se convierte en una matriz diagonal (tenga en cuenta que esto se relaciona con la elección de posiciones en los ejes X, Y, pero se conserva en ambos configuraciones "+", "x"). Los términos 𝐽𝑥 , 𝐽𝑦 también tienen que ser idénticos debido a esta simetría. La matriz es: [3]. 32.

(33) 𝐽𝑥 𝐽 = 0 0 𝑏. 0 𝐽𝑦 0. 0 0 𝐽𝑧. (28.). Enfoque: •. Romper el vehículo cuadricóptero en componentes separados. Modelar cada una de ellas como una forma geométrica simplificada de constante la densidad interna.. •. Medir y pesar cada componente.. •. Utilizar el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia de la contribución de cada componente de las x, y, z y ejes del vehículo.. •. Sume las inercias para cada componente de cada eje para encontrar el momento total de la matriz de inercia para el vehículo. Hemos utilizado el teorema de los ejes paralelos a fin de determinar el momento de inercia de masa de los componentes individuales nuestros ejes elegidos, dado momento la masa de un componente individual de inercia alrededor de un eje paralelo a través del centro de masa de ese componente y la distancia perpendicular entre los dos ejes. La ecuación de los ejes paralelos es: la Ecuación (29.) [3] 𝐽𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙. −𝑎𝑥𝑖𝑠. = 𝐽𝐶𝑂𝑀 + 𝑚𝑟 2. (29.). 𝐽𝐶𝑂𝑀 Es el momento de inercia de un componente individual sobre su propio eje. (que pasa a través del centro de los componentes de la masa) paralelo al eje que se desea "mover", en la ecuación anterior, 𝑚 es la masa del componente, y 𝑟 es la distancia perpendicular entre los ejes paralelos. Tenga en cuenta que signo de 𝑟 no es importante ya que el valor se eleva al cuadrado.[3]. 33.

(34) 3.4.2. Motores: cilindros macizos Para encontrar 𝐽𝑥,𝑀 y 𝐽𝑦 ,𝑀 utilizamos la ecuación de un cilindro que gira alrededor de un diámetro final en la Figura 5. Se puede apreciar el gráfico del cuadricóptero y a continuación las expresiones matemáticas para realizar los cálculos en la Figura 6. Se supone que se está buscando encontrar 𝐽𝑦 ,𝑀 , por ejemplo. El primer término entre corchetes en la ecuación es para los motores 1 y 3, que se gira alrededor de un diámetro final coincidiendo con el eje x de la cuadricóptero, por lo tanto, el término distancia (𝑚𝑟 2 - teorema del eje paralelo) es cero y se omite. El segundo término entre corchetes en la ecuación es para motores 2 y 4, que están en un diámetro que está desplazado pero paralelo al eje x del cuadricóptero. Tenemos un término de distancia al final aquí 𝑚𝑟 2 - excepto que utilizamos 𝑑𝑚 lugar de 𝑟 para mayor claridad). Esta es la distancia perpendicular entre el eje de rotación del motor y el eje x real del cuadricóptero. Debido a la simetría del vehículo, 𝐽𝑥,𝑀 va a ser el mismo valor que 𝐽𝑦 ,𝑀 y 𝐽𝑧,𝑀 [3]. Figura 5. cuadricóptero y convenciones para el cálculo de momentos de masa inercial [3]. 34.

(35) Ecuaciones requeridas:. 𝐽𝐶𝑂𝑀 =. 1 4. 1. 𝑚𝑟 2 + 𝑚𝑕2 para ejes X y Y. (30.). 3. 𝐽𝐶𝑂𝑀 =. 1 2. 𝑚𝑟 2 para eje Z. (31.). Cilindro rotando al rededor de el final. Cilindro rotando alrededor del eje. del eje. central. Figura 6. Gráficos del cilindro con su referencia de rotación para el cálculo de momentos de masa inercial de los motores [3]. 𝐽𝑥,𝑀 = 𝐽𝑦,𝑀 = 2. 1 4. 1. 1. 3. 4. 𝑚𝑟 2 + 𝑚𝑕2 + 2. 1. 𝑚𝑟 2 + 𝑚𝑕2 + 𝑚𝑑𝑚 2 3. (32.). Para encontrar 𝐽𝑥,𝑀 y 𝐽𝑦,𝑀 utilizamos la ecuación de un cilindro que gira alrededor de un diámetro final. Digamos que estamos buscando para encontrar 𝐽𝑦,𝑀 , por ejemplo. El primer término entre corchetes en la ecuación es para los motores 1 y 3, que se gira alrededor de un diámetro final coincidiendo con el eje x del cuadricóptero, por lo tanto, el término distancia (𝑚𝑟 2 - teorema del eje paralelo) es cero y se omite. El segundo término entre corchetes en la ecuación es para motores 2 y 4, que están en un diámetro que está desplazado pero paralelo al eje x del cuadricóptero. Tenemos un término de distancia al final aquí (𝑚𝑟 2 - excepto que utilizamos 𝑑𝑚 lugar de 𝑟 para mayor claridad). Esta es la distancia perpendicular entre el eje de rotación del motor y el eje x real del cuadricóptero. Debido a la simetría del vehículo, 𝐽𝑥,𝑀 va a ser el mismo valor que 𝐽𝑦,𝑀 , 𝐽𝑧,𝑀 [3]. 35.

(36) 𝐽𝑧,𝑀 = 4. 1 2. 𝑚𝑟 2 + 𝑚𝑑𝑚 2. (33.). Para encontrar 𝐽𝑧,𝑀 utilizamos la ecuación de un cilindro que gira alrededor de un eje central ver Figura 6. En este caso todos los 4 motores están girando alrededor de un eje central que está desplazada pero paralelo al eje z del cuadricóptero. Tenemos un término de distancia al final aquí también, 𝑚𝑑𝑚 2 , que es la distancia perpendicular entre el eje de rotación del motor y el eje z real del cuadricóptero. El término de distancia, 𝑑𝑚 , será el mismo valor para todos los 4 motores, por lo tanto, la incorporación de todos los motores en apenas la ecuación 1 y multiplicando todo el término entre corchetes por 4. [3]. 3.4.3. ESCs - superficie plana delgada. En la arquitectura electrónica de un cuadricóptero se encuentran unos dispositivos llamados ESC (Electronic Speed Control) los cuales cumplen con la función de controlar la velocidad angular de los motores de acuerdo al movimiento que se espera de una trayectoria programada para un cuadricóptero.. Ecuaciones necesarias:. 12. 𝐽𝐶𝑂𝑀 ,𝑦 =. 12. 𝐽𝐶𝑂𝑀 ,𝑧 =. 𝐽𝑥,𝑆 = 𝐽𝑦,𝑆 = 2. 1. 𝐽𝐶𝑂𝑀 ,𝑥 =. 1 12. 1 12. 1. 𝑚𝑏 2. (34.). 𝑚𝑎2. (35.). 𝑚 𝑎2 + 𝑏 2. 𝑚𝑎2 + 2. 36. 1 12. 𝑚𝑏 2 + 𝑚𝑑𝑠 2. (36.). (37.).

(37) Para encontrar 𝐽𝑥,𝑆 y 𝐽𝑦,𝑆 se optó por utilizar las ecuaciones para una placa plana que gira alrededor de los ejes X e Y ver Figura 7. Supongamos que estamos buscando para encontrar 𝐽𝑥,𝑆 ,, por ejemplo. El primer término entre corchetes en la ecuación es para ESC de 1 y 3 (números que corresponden con cual el motor están conectados), que están girando alrededor de un eje que coincide con el eje x del cuadricóptero, por lo tanto, el término distancia (𝑚𝑟 2 - teorema del eje paralelo) es cero. El segundo término entre corchetes en la ecuación es de ESC de 2 y 4, que están girando alrededor de un eje que está desplazado pero paralelo al eje x del cuadricóptero. Tenemos un término de distancia al final aquí (𝑚𝑟 2 excepto que utilizamos 𝑑𝑆 en lugar de 𝑟 ). Esta es la distancia perpendicular entre el eje de rotación del ESC y el eje x real del cuadricóptero. Debido a la simetría del vehículo, 𝐽𝑦,𝑆 va a ser el mismo valor como 𝐽𝑥,𝑆 . [3]. Figura 7. Convenciones en el Cuadricóptero para el cálculo de momento de masa inercial de los ESCs [3]. 𝐽𝑧,𝑆 = 4. 1 12. 𝑚 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑚𝑑𝑠 2. 37. (38.).

(38) Para encontrar 𝐽𝑧,𝑆 usamos la ecuación para una placa plana que gira alrededor del eje z como se muestra en la Figura 7. En este caso todos los 4 ESC están girando alrededor de un eje que está desplazado pero paralelo al eje z del cuadricóptero. Se tiene un término de distancia al final aquí también, 𝑚𝑑𝑆 2 , que es la distancia perpendicular entre el eje de rotación del ESC y el eje z real del cuadricóptero. El término de distancia, 𝑑𝑠 , será el mismo valor para todos los 4 ESC. [3]. 3.4.4. HUB central: cilindro sólido. El HUB central es modelado como un cilindro y se encuentra en el centro del cuadricóptero en el cual se encuentra la mayor parte de la masa puesto que alberga en su interior las baterías controladores y demás dispositivos que permiten el control del sistema, de manera que según el movimiento hay dos posibles casos para el cálculo de momento de masa inercial así como en el caso del cálculo de los momentos de masa inercial para los motores tales como rotación alrededor de un diámetro central y alrededor de un eje central en la Figura 8 se puede apreciar las magnitudes físicas requeridas y a que parte del cuadricóptero hace referencia el HUB central. Figura 8. Convenciones en el Cuadricóptero para el cálculo de momento de masa inercial del HUB central [3] 38.

(39) Ecuaciones requeridas:. 𝐽𝐶𝑂𝑀 =. 1 4. 1. 𝑚𝑟 2 + 12 𝑚𝑕2. 𝐽𝐶𝑂𝑀 =. 1 2. (39.). 𝑚𝑟 2. (40.). Cilindro rotando a través de un diámetro. Cilindro rotando a través de un eje. central. central. Figura 9. Gráficos del cilindro con su referencia de rotación para el cálculo de momentos de masa inercial en el HUB central [3]. 𝐽𝑥 ,𝐻 = 𝐽𝑦 ,𝐻 =. 1 4. 1. 𝑚𝑟 2 + 12 𝑚𝐻 2. (41.). Para encontrar 𝐽𝑥,𝐻 y 𝐽𝑦 ,𝐻 utilizamos la ecuación de un cilindro que gira alrededor de un diámetro central (ver figura anterior). Digamos que estamos buscando para encontrar 𝐽𝑥,𝐻 , por ejemplo. Todo el término entre corchetes es para el eje central, que gira alrededor de un diámetro central de coincidiendo con el eje x de la cuadricóptero, por lo tanto, el término distancia (𝑚𝑟 2 - teorema del eje paralelo) es cero. Debido a la simetría del vehículo, 𝐽𝑦 ,𝐻 va a ser el mismo valor que 𝐽𝑥 ,𝐻 . [3]. 39.

(40) 3.4.5. Brazos: barras cilíndricas largas Para encontrar 𝐽𝑥,𝐴. y. 𝐽𝑦 ,𝐴 usamos las ecuaciones para un cilindro giratorio. alrededor de un eje central, y también un diámetro final como se ve en la Figura 10. Para encontrar 𝐽𝑥,𝐴 , por ejemplo. El primer término entre corchetes en la ecuación es de brazos 1 y 3, que están girando en torno a un eje central que coincide con el eje x del cuadricóptero, por lo tanto, el término de distancia (𝑚𝑟 2 Teorema de Steiner) es cero. El segundo término entre corchetes en la ecuación es de brazos 2 y 4 que están girando alrededor de un diámetro extremo situado a una distancia "𝑑𝐴 " desde el eje x del vehículo, por lo que el término Teorema de Steiner aquí es 𝑚𝑑𝐴 2 . Debido a la simetría del vehículo, 𝐽𝑦 ,𝐴 se supone que es el mismo que 𝐽𝑥,𝐴 . [3]. Ecuaciones requeridas:. 𝐽𝐶𝑂𝑀 = 𝐽𝐶𝑂𝑀 =. 1 2. 𝑚𝑟 2. 1. (42.). 1. 𝑚𝑟 2 + 3 𝑚𝐿2 4. (43.). Cilindro rotando alrededor del eje. Cilindro rotando alrededor de un eje. central. final. Figura 10. Gráficos del cilindro con su referencia de rotación para el cálculo de momentos de masa inercial en los brazos [3]. 40.

(41) Para encontrar 𝐽𝑧,𝐴 , Se asume la ecuación de un cilindro que gira alrededor de un diámetro final. [3]. 𝐽𝑧,𝐴 = 4. 1 4. 1. 𝑚𝑟 2 + 3 𝑚𝐿2 + 𝑚𝑑𝐴 2. (44.). En este caso los 4 brazos giran alrededor de un diámetro extremo situado a una distancia 𝑑𝐴 del eje z del vehículo, por lo que el término Teorema de Steiner es 𝑚𝑑𝐴 2 . También, debido a que cuadricóptero es simétrico y cada brazo tiene la misma longitud multiplicamos todo el término entre corchetes por 4. [3]. En la Figura 11. Se puede apreciar las magnitudes y las referencias geométricas tomadas para realizar el cálculo de los momentos de masa inercial aplicados para obtener dicho valor de los brazos que componen el cuadricóptero.. Figura 11. Grafico del cuadricóptero con las convenciones para el cálculo de momentos de masa inercial en los brazos [3]. 41.

(42) 4. Implementación en Simulink del modelo de Cuadricóptero Para la implementación en simulink del modelo del cuadricóptero se toma como base el simulador Quad–sim el cual es un software creado en Matlab® para hacer más fácil el prototipado de cuadricópteros para este trabajo se toma el modelo ya implementado por el equipo MEM senior design team 37 de la universidad de Drexel, el cual permite hacer pequeñas simulaciones de un cuadricóptero basadas en datos físicos reales, aunque no son tenidas en cuenta las posibles perturbaciones y no linealidades que presenta un vehiculo aereo no tripulado, por “el aleteo del rotor”, y el aire como se ve en [1].. 4.1. Uso del Quad-sim. Como ya se explico el Quad–sim el cual es un software creado en Matlab® presenta varias opciones para simular un cuadricóptero con datos basados en un prototipo real. El comportamiento dinámico del cuadricóptero que se encuentra conformado por el diagrama de bloques de la Figura 12. Que se encuentra nombrado en el paquete de archivos del Quad-sim como AC_Quadcopter_Simulation.slx el cual es un modelo de Simulink que está basado en los criterios y expresiones matemáticas mencionadas en el apartado anterior. Como se puede apreciar en la Figura 11. El diagrama de bloques ofrece al usuario varias opciones en bloques de color gris que permiten las siguientes opciones:. . OPEN GUI: Build New Model: es un bloque que permite desplegar una ventana auxiliar en Matlab®, que se encarga de modelar el cuadricóptero lo cual se tratara con mayor detalle en el siguiente apartado.. 42.

(43) . . .  . OPEN GUI: Create initial conditions: es un bloque similar al anterior ya que permite al usuario desplegar una ventana auxiliar para asignar las condiciones iniciales del cuadricóptero tales como velocidades angulares, velocidades lineales, posiciones o ángulos. LOAD Quadcopter Model Or initial conditions: es un bloque que permite cargar archivos generados por los bloques anteriores, aunque esta función también se puede realizar de manera alternativa abriendo los archivos del current folder en Matlab® y cargándolos directamente al workspace. SAVE Simulation Results: al activarse la simulación del archivo AC_Quadcopter_Simulation.slx se generan automáticamente unas muestras en archivos de entrada y salida en el Workspace de Matlab®, este bloque permite guardar en otro tipo de archivo estas entradas y salidas del sistema. OPEN PLOT: State Data: presenta gráficas del comportamiento dinámico de los motores. OPEN GUI: FlightAnimation: despliega en una ventana auxiliar una animación por tiempo de el desplazamiento del cuadricóptero teniendo en cuenta la velocidad angular y la velocidad traslacional.. Figura 12. Diagrama de bloques en AC_Quadcopter_Simulation[28]. 43.

(44) Entre las opciones descritas anteriormente las de mayor importancia son las que corresponden a los bloques OPEN GUI: Build New Model, OPEN GUI: Create initial conditions y OPEN GUI: FlightAnimation; porque el primero permite que el modelo conformado por los bloques de color, se comporte como uno real ya que los cálculos matemáticos correspondientes son basados en datos reales, el segundo permite asignar condiciones iniciales, que la mayoría de veces son iguales a cero, pero que además deja abierta la posibilidad de experimentar y obtener resultados alternativos en el caso de que las condiciones iniciales no sean iguales a cero, que en la realidad correspondería a un lanzamiento del cuadricóptero desde algún punto distinto el suelo, como por ejemplo lanzarlo desde otra aeronave más grande.. 4.1.1. Construcción de un nuevo modelo. Para la construcción de un nuevo modelo se emplea el bloque OPEN GUI: Build New Model dentro del archivo AC_Quadcopter_Simulation.slx el cual se puede apreciar en la Figura 13. Esta ventana auxiliar permite ingresar los valores que pueden estar basados en un cuadricóptero real comercial, o en algún prototipo de fabricación para investigación.. 44.

(45) Figura 13. Construcción de un nuevo modelo[4] Como se observa en la Figura 12. La pantalla se encuentra dividida en 7 zonas las cuales se explican a continuación: Zona 1: Permite el uso de unidades inglesas o sistema internacional. Zona 2: Se ingresan los datos reales de todas las piezas físicas que conforman el cuadricóptero sin tener en cuenta los motores. Zona 3: Permite intercambiar las gráficas que son necesarias para saber identificar la caja de texto correspondiente al parámetro del cuadricóptero que se está introduciendo. Zona 4: Gráfica que referencia en el cuadricóptero los parámetros de la Zona 2. Zona 5: Se ingresan los datos reales de los motores. Zona 6: Realiza los cálculos de momentos de inercia y masa total además los publica. Zona 7: A través de botones permite guardar el modelo en configuración “+” o “X” o permite cargar un modelo ya existente. [4] 45.

(46) Para usar esta aplicación se deben ingresar los datos en la Zona 2 seleccionando en la Zona 1 el sistema de medidas, preferiblemente utilizar un modelo preexistente para basar el modelo en los motores que están modelados por defecto en la zona 5, puesto que esto ayuda a simplificar el proceso ya que obtener estos datos reales implica realizar un montaje y poner a prueba un motor para poder construir un nuevo modelo, en el proceso de escritura de los datos se debe retroalimentar usando las imágenes que aparecen en la Zona 4 para así ingresar los datos de manera adecuada. [4]. Al final del proceso se utilizan los botones de la Zona 7 los cuales permiten guardar los archivos del modelo según la configuración preferida, se debe notar que este archivo posteriormente se debe cargar al Workspace de Matlab® para que se permita la simulación puesto que de no hacerlo Matlab® no tendrá datos con que realizar los cálculos y por lo tanto no se apreciara un cambio en las variables creadas del modelo construido. [4]. 4.1.2 Asignación de condiciones iniciales.. La asignación de condiciones iniciales es un procedimiento similar al anterior donde se registran los datos correspondientes a: velocidades angulares, ángulos de Euler, velocidades del motor, velocidades traslacionales, y velocidades angulares además permite identificar si las condiciones son para un modelo en configuración “+” o en “X” y una Zona 4 similar a la del apartado anterior permite guardar los datos en un archivo para que este sea cargado en el Workspace de Matlab®. En la Figura 14. Se ve el GUI utilizado para ajustar las condiciones iniciales para la simulación del cuadricóptero.. 46.

(47) Figura 14. Asignación de condiciones iniciales a través de un GUI [5]. 4.2. Edición y modificaciones para el Quad-Sim en esta simulación Para realizar la simulación del cuadricóptero se tomaron los bloques del Quad-Sim a manera de Toolbox y se construyo un nuevo modelo de simulación ya que el que se aprecia en la Figura 12. Se encuentra resumido puesto que al abrir cada uno de los bloques de color en su interior tiene otros es decir, cada bloque del sistema implementado en la simulación corresponde a un subsistema los cuales son comando de postura, controlador de postura, mezclador de control del cuadricóptero y dinámica del cuadricóptero; dichos bloques se encuentran en lazo de realimentación lo cual indica que se realiza un control en lazo cerrado.. 47.

(48) En la Figura 15. Se puede apreciar el contenido de los bloques aunque éstos no denotan todo el funcionamiento puesto que la dinámica del cuadricóptero se encuentra desarrollado en un archivo de comandos de Matlab®, con extensión “.m”.. Figura 15. Modelo de Simulink del cuadricóptero[28]. 48.

(49) 5. Simulación a través del toolbox 3D Animation y V-Realm Builder. Simulink 3D Animation™ ofrece aplicaciones para vincular modelos Simulink y algoritmos de MATLAB a los objetos gráficos en 3D. Permite visualizar y verificar el comportamiento del sistema dinámico en un entorno de realidad virtual. Los objetos se representan en el Virtual Reality Modeling Language (VRML), un lenguaje de modelado 3D estándar. Puede animar un mundo 3D, cambiando de posición, rotación, escala y otras propiedades de los objetos durante escritorio o simulación en tiempo real. También puede inyectar señales de los sensores virtuales y datos de animación en 3D de acceso en Simulink o MATLAB para postprocesado.[34]. El V-Realm builder es el programa en el que está basado el toolbox de simulink 3D animation antes de que se lanzara como una aplicación para MATLAB el cual permite vincular a modelos de entornos ya elaborados, los modelos requeridos para la prueba que incluye la vista del objeto en el espacio y al que corresponde el modelo dinámico del sistema que se vincula a través de las opciones de los componentes de Simulink.. 5.1. Toolbox Simulink 3D Animation. El Toolbox de simulink 3D Animation contiene bloques que permiten al usuario cargar modelos diseñados por el V-Realm Builder, o cualquier otro programa CAD 3D que soporte el formato establecido por el estándar VRML 97, de tal manera que es a través de un bloque de Simulink llamado VR Sink que se conectan las señales del modelo dinámico del sistema como si se tratase de un bloque Scope que es el que permite observar el comportamiento del sistema visualizando las señales internas comportamentales. En la Figura 16. Se puede visualizar el bloque VR Sink que es el que se conecta al modelo para que funcione la animación con base al modelo consultado.. 49.

(50) Figura 16. Bloque VR Sink [Autores]. Este bloque lo que permite es cargar un modelo de realidad virtual y acceder a algunas de las propiedades del modelo tales como la posición o las rotaciones a través de cualquiera de los ejes X, Y, Z; para que estos puedan ser modificados por las señales resultantes de la interacción de bloques como resultado de observar el comportamiento dinámico en un modelo en Simulink para algún sistema o caso de estudio físico que se esté realizando. En las siguientes secciones se verá al detalle cómo se accede a estas propiedades y como se modifican arrancando la simulación desde Simulink.. 5.2. Desarrollo del modelo CAD 3D en V-Realm Builder Para el diseño del modelo CAD 3D del cuadricóptero se empleo el software VRealm Builder que se encuentra adjunto al software MATLAB en la ruta de archivos en el equipo en que se esté ejecutando el programa. Siendo más específicos en la ruta. C:\Program Files\MATLAB\R2013a\toolbox\sl3d\vrealm\program. 50.

(51) Para el desarrollo del modelo CAD 3D en V-Realm Builder se requiere aplicar un modelo inicial del ambiente en donde se va a desplazar el cuadricóptero que se va a diseñar, con el fin de lograr establecer una referencia al movimiento que va a presentar el modelo.. Los modelos ambientales se pueden encontrar en la ruta: C:\Program Files\MATLAB\R2013a\toolbox\sl3d\library\templates. En la Figura 17. Se puede ver una imagen en la que se ve un diseño ambiental por defecto en el V-Realm Builder.. Figura 17. Uno de los modelos por defecto para realizar una simulación en V-Realm Builder[Autores]. 51.

(52) Para el diseño de un modelo CAD 3D en el V-Realm Builder, el paso a seguir es desarrollar el modelo 3D en un archivo sin ambiente para luego vincularlo al que se mostro en la Figura 16. Así es más fácil manipularlo puesto que hay varios ambientes que pueden interferir en el desarrollo del modelo y hacer el trabajo un poco más difícil para ello es mejor tomar una plantilla en blanco y realizar el modelo.. Para empezar a desarrollar un modelo se utiliza el componente transformation el cual contiene la información correspondiente a el tipo de solido en el espacio que se va a diseñar, el programa V-Realm Builder contiene ya unos modelos predefinidos como lo son Box, Cone, Cylinder, Sphere, Text, Elevation Grid, Extrusion, e indexed face, estos son puestos debajo del ítem Children que se encuentra en la transformation que se ingreso, también contiene una serie de propiedades que permiten intercambiar el centro de masa, la escala, la posición, permite realizar rotaciones, entre otras, para ver donde se encuentra en el VRealm Builder los ítems que se acaban de enunciar se puede apreciar esta información en la Figura 18.. Figura 18. Herramientas de creación de modelo 3D en V-Realm Builder [Autores]. 52.

(53) En la Figura 17 se encuentran enumeradas las principales herramientas de creación de modelo 3D como se indica a continuación: Zona 1: Se ingresan los bloques geométricos por defecto como lo son: Box, Cone, Cylinder, Sphere, Text, Elevation Grid, Extrusion, e indexed face. Zona 2: Es donde aparecen los componentes que se insertan a través de la zona 3 como ya se dijo el ítem Transformation es el más versátil y el más utilizado para la creación básica de un modelo CAD 3D y el que se aplica en esta monografía. Además permite intercambiar los parámetros centro de masa, la escala, la posición, permite realizar rotaciones, entre otras. Zona 3: Permite ingresar los bloques de mayor jerarquía para este caso se ingresa el bloque Transformation, se encuentra indicado con una T mayúscula y unas llaves ( { } ). Zona 4: Corresponde al Item del bloque Transformation de Children, es allí donde se ingresa la geometría que se quiera representar para el modelo CAD 3D, donde además se cambian sus dimensiones y colores.. Se debe tener claro que al ingresar un objeto debajo de Children cuando se hagan modificaciones al Transformation, afectará a todos aquellos ítems que se hayan ingresado en esa posición por lo cual para la creación del modelo del cuadricóptero es lo más indicado pues se debe apreciar globalmente al cuadricóptero como un sólido en el espacio y no por partes separadas, además es posible que para algunas aplicaciones si se deban ingresar varias Transformation, y realizar grupos.. En el siguiente apartado se va a mostrar como fue el proceso de diseño final del modelo CAD 3D para luego ser este montado a Simulink y el proceso que se requiere para adaptar las señales que se contiene, el diseñar un modelo en CAD 3D no significa que va a corresponder necesariamente a las condiciones reales ya que a través de MATLAB se pueden programar algunas incongruencias tales como un objeto muy pequeño con una gran cantidad de masa, o un objeto muy grande con poca masa, el resultado final depende de las apreciaciones y consideraciones que tenga el usuario al diseñar el modelo y a su posterior aplicación.. 53.

(54) 5.2.1. Desarrollo del modelo CAD 3D del Cuadricóptero. Para el desarrollo del modelo final 3D del Cuadricóptero y su integración como se mencionó arriba a un modelo del entorno en que se va a producir el movimiento del Cuadricóptero, se procede con la creación de un ítem Transformation al que se le dará el nombre del cuadricóptero, para este caso el cuadricóptero está basado en el cuadricóptero de la marca Microdrones GmBH, el modelo MD4-200 que se puede observar en la Figura 19. Además aparece en la página.. Figura 19. Modelo Real en el que está basado el modelo CAD 3D en este proyecto.[35]. Al agregar al área de trabajo el ítem Transformation como se puede ver en la Figura 19. Se pueden agregar algunos de los elementos con los que se va a realizar el diseño del modelo CAD 3D, se debe hacer aclaración de que el modelo se hace inspirado en uno real pero no es posible realizar una copia exacta del mismo puesto que las opciones de este software, no lo permiten de tal manera que es un proceso que se realiza al fallo y error para que su diseño sea acorde a las necesidades del usuario.. 54.

(55) Como también se puede apreciar en la Figura 20, se parte el diseño del modelo 3D del cuadricóptero con un cilindro y una esfera, para representar el Hub central, y posteriormente, se agregan los brazos.. Figura 20. Hub central diseñado en V-Realm Builder [Autores]. Para el diseño de los brazos se ingresan como un Children de la primera Transformation, es decir la de mayor jerarquía llamada MD4-200, y cada rotor se diseña por separado siendo cada uno una copia idéntica de un solo brazo generado, para realizar las aletas no existe un componente que se le parezca en la Zona 1. Según la Figura 18. Por lo tanto se utiliza el componente Extrusion el cual permite a través de puntos generar el diseño geométrico de una figura irregular o regular cóncava o convexa, y añadir efectos, lo cual no es posible de hacer con los otros componentes por lo tanto se realiza usando este método en la Figura 21. Se muestra este método de diseño de un sólido por medio de puntos con el componente Extrusion y a la derecha se ve el resultado.. 55.

(56) Figura 21. Diseño de un sólido en el espacio usando el componente Extrusion [Autores]. Siguiendo con el diseño principal para terminarlo creamos un brazo y lo anidamos cuatro veces al Hub central que ya se había creado y que se puede ver representado en la Figura 20. De tal manera que se obtendría una estructura completa del cuadricóptero aunque sin algunos de los accesorios que se ven en el modelo original de la Figura 19. Los cuales son las bases para que se posicione en tierra, que en la realidad es usado para obtener un aterrizaje adecuado y el otro componente es la cámara que si bien no cumple ninguna función, hace parecer el modelo CAD 3D diseñado más similar al real.. Cuando se realiza un diseño este no presenta los colores que se exponen aquí que para este caso es rojo, naranja, y negro; para obtener estos colores se debe acceder a las propiedades del bloque Shape debajo del bloque Children dentro del Transformation, en el cual accedemos como indica la siguiente secuencia: Shape – appearance – Appearance – material – Material – diffuseColor.. 56.