(1)CONTROL PARA UN BRAZO ROBOT COLOCADO SOBRE LA PLATAFORMA MÓVIL “ÚRSULA”. MARCELA APARICIO GONZÁLEZ JOHANNA CAROLINA ORJUELA PARRA. PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA INGENIERIA ELECTRÓNICA BOGOTA DC. 1.

(2) CONTROL PARA UN BRAZO ROBOT COLOCADO SOBRE LA PLATAFORMA MÓVIL “ÚRSULA”. MARCELA APARICIO GONZALEZ JOHANNA CAROLINA ORJUELA PARRA. Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de Ingeniero Electrónico. Director: Carlos Alberto Parra R. Ph.D. Ingeniero Electrónico.. PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA BOGOTÁ D.C. 2005. 2.

(3) PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA. RECTOR MAGNÍFICO: R.P. GERARDO REMOLINA S.J. DECANO ACADÉMICO: Ing. FRANCISCO JAVIER REBOLLEDO. DECANO DEL MEDIO UNIVERSITARIO: R.P. ANTONIO JOSÉ SARMIENTO S.J.. DIRECTOR DE CARRERA: Ing. JUAN CARLOS GIRALDO. DIRECTOR DEL PROYECTO: Ing. CARLOS ALBERTO PARRA R. Ph.D.. 3.

(4) “No éramos, ni somos imprescindibles, pero si pusimos entonces y ponemos ahora el esfuerzo de una vida, para el ensanche de la fe, de la ciencia y del amor a los más altos valores del espíritu”. Padre Jose Gabriel Maldonado S.J.. 4.

(5) Por ti... Colombia.... 5.

(6) AGRADECIMIENTOS. Al Señor Don Carlos por acompañarnos a lo largo de este camino ...por sus regaños sutiles ...por ser antes que nuestro director, nuestro amigo...por sus palabras de animo que nunca nos dejaron desfallecer...por mostrarnos el mundo de una manera diferente...por sus sonrisas sinceras...por unos maravillosos abrazos que algunas veces nos hicieron llorar...Te vamos a extrañar.. A una gran persona, que nos aguanto...que nos dedicó todo el tiempo sin límites y sin esperar nada a cambio, que siempre nos recibió con su sonrisa de niño...que nuca dudo de nosotras...y sobretodo que nunca nos abandono en los momentos más difíciles .....Al Señor Freddy. A Camilo, por sus sabios consejos en el tiempo preciso...por su inconfundible sonrisa en momentos de desesperación, por regalarnos un poquito de su conocimiento. A Gabriel Perilla y José I. por escucharnos...por estar siempre pendientes de nosotras y por animarnos a seguir adelante. A Caliche, Leo y Marlon por su paciencia... por su colaboración... y por su amabilidad durante toda nuestra carrera.. Al capi José por preocuparse por nosotras... por recibirnos siempre de la mejor manera...por sus inconfundibles muecas...por el tinto con panela.. 6.

(7) A Dios por estar junto a mí siempre sin condiciones ni límites. A mis Padres por ser mi guía, mi apoyo, mi ejemplo, pero por encima de todo por brindarme su amor constantemente. Hoy levanto las manos de triunfo, un triunfo que en gran parte es de ustedes y por ustedes, por un sacrificio que a veces pareció locura y hoy se hace realidad a pesar de todo. Es por eso que todo lo que soy es gracias a ustedes a sus ganas y fortaleza. Miles de gracias nunca serán suficientes para ustedes. A mis hermanitos Andrius y Jaimitur por brindarme esos abrazos fuertes, los besos más sinceros, las mejores sonrisas, y porque no, por aguantarme. A Andrius por sus ataques de risa, por esos inconfundibles apodos, por sus juegos de aia y por consentirme. A Jaimitur, mi futuro Ingeniero, por sus apuntes locos, por sus sabios regaños, por los mejores abrazos y por confiar en mi. A la persona que antes que todo siempre ha sido mi amigo, mi consejero, mi apoyo, mi soporte: Mauri. Gracias por tu valiosa compañía en un poco más de la mitad de mi carrera, por ponerle un tono diferente a este camino. Por tu amor fundamental en este reto que hoy tiene fin pero que no es el único, todavía siguen muchos más…. A mis abuelitos maternos que están en el cielo, los cuales siempre me cuidan y a mi abuelita Marta por sus sabios consejos, su apoyo y esa experiencia que solo tienen mis viejos. Por darme los mejores padres del mundo. A una amiga incondicional, Julie que a pesar del poco tiempo que pudimos compartir siempre estuvo conmigo, nunca se alejo y me brindo maravillosas sonrisas en el momento indicado con las palabras indicadas. Y como no, a mi gran compañera de trabajo, mi amiga, mi hermana, mi hombro en este lugar, mi sombra y mi luz: a Marce, por emprender este camino loco que nunca nos imaginamos y hoy terminamos. Por una amistad espero nunca se acabe.. Johanna Carolina. 7.

(8) A Dios por darme la vida… por rodearme de personas maravillosas, por darme un corazón lleno de sueños y esperanzas…por todas las oportunidades que me brinda. A mis Padres… por su amor incondicional, por apoyarme en los momentos más difíciles… por pensar en mi bienestar antes que en el de ellos, por estar ahí siempre que los he necesitado…por ser ellos mi tierra firme, mi guía y mi ejemplo, por sus consejos que me han hecho ser quien soy ....porque siempre estaremos juntos. A Sandri… por su amor y por su confianza en mi…porque por ella quiero ser mejor persona y hacer del mundo un sitio en el que los sueños no tengan límites…por aguantarme todos estos años, por sus abrazos, por sus palabras por apoyarme en este camino que termina y porque se que siempre estará en los que ahora comienzan. A mi nonita por su amor y confianza por ayudarme a ser quien soy…por sus palabras de animo cuando más las necesito, por sus apapachos, por sus consejos…porque aunque lejos siempre estará presente en donde yo este. A Santi por ser mi amigo, mi inspiración, mi cómplice, por todo el amor que me brinda día a día sin esperar nada a cambio, por sus besos, por acompañarme en este camino, por mostrarme cosas de mí que ni yo conocía, por ayudarme a crecer y por crecer junto a mi….por mostrarme un mundo mas hermoso del que nunca había conocido, por ser mi eterno sueño. A Joha… por ser la mejor de las amigas, por escucharme, por comprenderme, por aguantar mis mal genios…por sus palabras, por sus abrazos…por su optimismo…por sus consejos…por ser mi compañera de batallas, por confiar en mí, espero que la vida nos permita seguir compartiendo. Marcela. 8.

(9) TABLA DE CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................... 16. 2. MARCO TEÓRICO..................................................................................................... 19 2.1 2.1.1. 2.2. Brazo Robot.................................................................................................................... 20 Componentes y subsistemas de un brazo robot ........................................................................ 20. Fundamentos matemáticos y físicos en robótica ......................................................... 22. 2.2.1 Descripción de posición y orientación...................................................................................... 22 2.2.2 Sistemas de referencia ............................................................................................................. 22 2.2.3 Descripción de la posición........................................................................................................ 22 2.2.3.1 Coordenadas cartesianas ................................................................................................. 23 2.2.3.2 Coordenadas cilíndricas .................................................................................................. 24 2.2.3.3 Coordenadas esféricas..................................................................................................... 24 2.2.4 Descripción de la orientación ................................................................................................... 25 2.2.4.1 Matrices de rotación (respecto a uno de los ejes de referencia) ...................................... 26 2.2.5 Matrices y coordenadas homogéneas ....................................................................................... 27 2.2.6 Matriz homogénea de transformación inversa.......................................................................... 28. 2.3. Transformaciones básicas: Translación y Rotación ................................................... 28. 2.3.1 Translación ............................................................................................................................... 28 2.3.2 Rotación.................................................................................................................................... 29 2.3.3 Composición de transformaciones............................................................................................ 30 2.3.3.1 Rotaciones compuestas ................................................................................................... 32 2.3.3.2 Matrices de rotación respecto de un eje arbitrario........................................................... 34. 2.4. Cinemática...................................................................................................................... 35. 2.4.1 Espacio articular y espacio cartesiano ...................................................................................... 36 2.4.2 El problema cinemático directo ................................................................................................ 37 2.4.2.1 Parámetros de Denavit-Hartenberg ................................................................................. 39 2.4.2.2 Asignación de sistemas de referencia.............................................................................. 41 2.4.3 Transformación homogénea ..................................................................................................... 44 2.4.4 Problema cinemático inverso.................................................................................................... 46 2.4.4.1 Métodos de solución ....................................................................................................... 48. 3. 4. Plataforma de Prueba.................................................................................................. 49 3.1. Diseño y construcción ................................................................................................... 50. 3.2. Especificaciones.............................................................................................................. 52. Tarjeta de Desarrollo................................................................................................... 55 4.1. 5. Especificaciones.............................................................................................................. 55. IMPLEMENTACIÓN ................................................................................................. 57 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4. Inicio de módulos y variables........................................................................................ 63 UART (UNIVERSAL ASYNCHRONOUS RECEIVER TRANSMITTER) .......................... 64 SPI (Serial Peripheral Interface) ............................................................................................... 65 ADC (Analog to Digital Converter) ........................................................................................ 67 PWM (Pulse Width Modulated) ............................................................................................... 68. 9.

(10) 5.1.5 Temporizador ........................................................................................................................... 68 5.1.5.1 Temporizador 2 ............................................................................................................... 68 5.1.5.2 Temporizador 3 ............................................................................................................... 69. 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4. 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6 5.3.7. 5.4. Directivas ........................................................................................................................ 69 Stop........................................................................................................................................... 70 Home ........................................................................................................................................ 71 Posición absoluta ...................................................................................................................... 71 Scan .......................................................................................................................................... 72. Control de posición ........................................................................................................ 73 PID............................................................................................................................................ 74 PWM ........................................................................................................................................ 77 Puente H ................................................................................................................................... 77 Potenciómetro........................................................................................................................... 77 Temporizador ........................................................................................................................... 78 Conversor Análogo Digital....................................................................................................... 78 Referencia................................................................................................................................. 78. Funciones utilizadas....................................................................................................... 79. 5.4.1 Transmisión y recepción de tramas .......................................................................................... 79 5.4.1.1 Scan 00......................................................................................................................... 79 5.4.1.2 Stop 01 ......................................................................................................................... 80 5.4.1.3 Home 10....................................................................................................................... 81 5.4.1.4 Posición Absoluta 11 ................................................................................................... 81 5.4.2 Evasión de obstáculos.............................................................................................................. 83 5.4.3 Generación de trayectorias ....................................................................................................... 90 5.4.4 Lectura de posición actual ........................................................................................................ 90 5.4.5 Traducción................................................................................................................................ 90 5.4.6 Cinemática directa .................................................................................................................... 91 5.4.7 Cinemática inversa ................................................................................................................... 94. 6. Protocolo de Pruebas y Resultados ............................................................................. 99 6.1. Comunicación................................................................................................................. 99. 6.1.1 “Úrsula” vs. Plataforma de demostración................................................................................. 99 6.1.1.1 Transmisión de tramas por parte de la plataforma de pruebas ........................................ 99 6.1.1.2 Recepción de tramas ..................................................................................................... 103 6.1.2 ADC-Externo vs. Plataforma de pruebas................................................................................ 106. 6.2 6.2.1 6.2.2. 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4. Prueba Control de Posición ........................................................................................ 111 Sintonización de Controladores .............................................................................................. 112 Error en cada posicionamiento ............................................................................................... 113. Directivas ...................................................................................................................... 119 Directiva Home ...................................................................................................................... 119 Directiva Stop ......................................................................................................................... 119 Directiva posición absoluta..................................................................................................... 120 Directiva Scan ........................................................................................................................ 123. 7. Posibles Mejoras ........................................................................................................ 126. 8. Conclusiones .............................................................................................................. 127. 9. Glosario ...................................................................................................................... 129. 10.

(11) 10. Bibliografía ................................................................................................................ 131. 11.

(12) LISTA DE FIGURAS. FIGURA 1. FIGURA 2. FIGURA 3. FIGURA 4. FIGURA 5. FIGURA 6. FIGURA 7. FIGURA 8. FIGURA 9. FIGURA 10. FIGURA 11. FIGURA 12. FIGURA 13. FIGURA 14. FIGURA 15. FIGURA 16. FIGURA 17. FIGURA 18. FIGURA 19. FIGURA 20. FIGURA 21. FIGURA 22. FIGURA 23. FIGURA 24. FIGURA 25. FIGURA 26. FIGURA 27. FIGURA 28. FIGURA 29. FIGURA 30. FIGURA 31. FIGURA 32. FIGURA 33. FIGURA 34. FIGURA 35. FIGURA 36. FIGURA 37. FIGURA 38. FIGURA 39. FIGURA 40. FIGURA 41. FIGURA 42. FIGURA 43. FIGURA 44. FIGURA 45.. TRASLACIONES Y ROTACIONES BÁSICAS ................................................................................... 21 EJEMPLO DE ARTICULACIONES DE 1 Y 2 GRADOS DE LIBERTAD ................................................. 21 SISTEMAS DE REFERENCIAS DE COORDENADAS ........................................................................ 22 DESCRIPCIÓN DE LA POSICIÓN ................................................................................................... 23 POSICIÓN DE UN SISTEMA O RESPECTO A OTRO M ..................................................................... 23 COORDENADAS CARTESIANAS .................................................................................................. 24 COORDENADAS CILINDRICAS .................................................................................................... 24 COORDENADAS ESFÉRICAS ....................................................................................................... 25 SISTEMAS DE REFERENCIA COINCIDENTES EN EL ORIGEN .......................................................... 25 TRANSLACIONES BASICAS ......................................................................................................... 29 EJEMPLO TRANSLACIÓN Y ROTACIÓN ....................................................................................... 32 ARTICULACIONES ...................................................................................................................... 36 PROBLEMA CINEMATICO DIRECTO ............................................................................................ 38 PARAMETROS DE DENAVIT-HARTENBERG ................................................................................ 39 ENUMERACIÓN DE ESLABONES Y ARTICULACIONES .................................................................. 42 EJES COORDENADOS ................................................................................................................. 42 TRANSFORMACIÓN HOMÓGENEA .............................................................................................. 45 PARTES DE LA PLATAFORMA DE DEMOSTRACIÓN ...................................................................... 51 PLATAFORMA DE DEMOSTRACIÒN ............................................................................................. 52 UBICACIÓN EN EL PLANO X-Y DE LA PLATAFORMA DE PRUEBA OBSERVADA DESDE ARRIBA .... 53 DIAGRAMA EN BLOQUES TARJETA DE DESARROLLO .................................................................. 55 DIAGRAMA DE PINES MICROCONTROLADOR .............................................................................. 56 DIAGRAMA DE FLUJO INICIALIZACIÓN DEL PROGRAMA ............................................................. 59 DIAGRAMA DE FLUJO DIRECTIVA SCAN ..................................................................................... 60 DIAGRAMA DE FLUJO DIRECTIVA POSICIÓN ABSOLUTA ............................................................. 61 DIAGRAMA DE FLUJO DIRECTIVA HOME .................................................................................... 62 DIAGRAMA DE FLUJO DIRECTIVA STOP ...................................................................................... 63 DIAGRAMA DE TIEMPOS DEL ADC EXTERNO ............................................................................. 66 CELDAS PARA SCAN .................................................................................................................. 72 DIAGRAMA EN BLOQUES CONTROL DE POSICIÓN ....................................................................... 74 RESPUESTA DE LA PLANTA COMPENSADA.................................................................................. 75 DIAGRAMA DE FLUJO DE RUTINA DE EVASIÓN DE OBSTÁCULOS ................................................ 85 DIAGRAMA DE FLUJO DE EVALUACIÓN DE OBSTÁCULOS A LA DERECHA ................................... 86 DIAGRAMA DE FLUJO DE EVALUACIÓN DE OBSTÁCULOS A LA IZQUIERDA ................................. 87 UBICACIÓN DE LOS ULTRASONIDOS EN LA PLATAFORMA DE DEMOSTRACIÓN. IMAGEN TOMADA DESDE LA PARTE INFERIOR DE LA PLATAFORMA ........................................................................ 88 SISTEMAS DE REFERENCIA PLATAFORMA DE PRUEBA................................................................ 91 CINEMÁTICA INVERSA PRIMER CUADRANTE .............................................................................. 95 ÁNGULOS 2 Y 3 CINEMATICA INVERSA PARA Z>16 ................................................................... 96 ÁNGULOS 2 Y 3 CINEMATICA INVERSA PARA Z<16 .................................................................... 97 PRUEBA SOBRE LA DIRECTIVA SCAN “CELDA 1” ..................................................................... 100 PRUEBA SOBRE LA DIRECTIVA SCAN “CELDA 3” ..................................................................... 101 PRUEBA SOBRE LA DIRECTIVA STOP. ....................................................................................... 101 PRUEBA SOBRE LA DIRECTIVA HOME”SIN OBSTACULOS” ....................................................... 102 PRUEBA SOBRE LA DIRECTIVA HOME “CON OBSTACULOS”. .................................................... 102 PRUEBA SOBRE LA DIRECTIVA POSICION ABSOLUTA................................................................ 102. 12.

(13) FIGURA 46. FIGURA 47. FIGURA 48. FIGURA 49. FIGURA 50. FIGURA 51. FIGURA 52. FIGURA 53. FIGURA 54. FIGURA 55. FIGURA 56. FIGURA 57. FIGURA 58. FIGURA 59. FIGURA 60. FIGURA 61. FIGURA 62. FIGURA 63. FIGURA 64. FIGURA 65. FIGURA 66. FIGURA 67. FIGURA 68. FIGURA 69.. PRUEBA SOBRE LA DIRECTIVA SCAN “RECEPCION DE DATOS”. ............................................... 103 PRUEBA SOBRE LA DIRECTIVA STOP “RECEPCION DE DATOS”. ................................................ 104 PRUEBA SOBRE LA DIRECTIVA HOME “RECEPCION DE DATOS”. .............................................. 104 PRUEBA SOBRE LA DIRECTIVA POSICION ABSOLUTA “RECEPCION DE DATOS”. ........................ 105 INTERFAZ GRÁFICA.................................................................................................................. 105 PRUEBA “DIFERENTES DISTANCIAS SOBRE EL MISMO MATERIAL”. ......................................... 107 PRUEBA “DIFERENTES DISTANCIAS – DISTINTAS FORMAS ”. ................................................... 107 PRUEBA “DIFERENTES DISTANCIAS – SUPERFICIE PLANA ”. .................................................... 108 PRUEBA “DIFERENTES DISTANCIAS – SUPERFICIE CONCAVA ”. ............................................... 108 PRUEBA “DIFERENTES DISTANCIAS – SUPERFICIE CONVEXA ”. ............................................... 109 PRUEBA “DIFERENTES DISTANCIAS – DISTINTOS MATERIALES ”. ............................................ 109 PRUEBA “DIFERENTES DISTANCIAS – DISTINTOS MATERIALES ”. ............................................ 110 PRUEBA “DIFERENTES DISTANCIAS – DISTINTOS MATERIALES ”. ............................................ 111 ANGULOS MEDIDOS EN LA ARTICULACION 1............................................................................ 114 GRÁFICA DE ERROR DE ÁNGULO SOBRE LA ARTICULACION 1. ................................................. 114 ANGULO MEDIDOS SOBRE LA ARTICULACION 2....................................................................... 115 GRÁFICA DE ERROR DE ÁNGULO SOBRE LA ARTICULACION 2. ................................................. 116 ANGULOS MEDIDOS SOBRE LA ARTICULACION 3..................................................................... 117 GRÁFICA DE ERROR DE ÁNGULO SOBRE LA ARTICULACION 3. ................................................. 117 RESULTADOS POSICIÓN X ........................................................................................................ 120 RESULTADOS POSICIÓN Y ........................................................................................................ 121 RESULTADOS POSICIÓN Z......................................................................................................... 121 OBSTÁCULO NO 1.................................................................................................................... 124 OBSTÁCULO NO 2.................................................................................................................... 124. 13.

(14) LISTA DE TABLAS TABLA NO.1. TABLA NO.2. TABLA NO.3. TABLA NO.4. TABLA NO.5. TABLA NO.6. TABLA NO.7. TABLA NO.8.. REPRESENTACIONES DE ÁNGULOS DE EULER........................................................................ 33 CONFIGURACIÓN DEL PUENTE H .......................................................................................... 77 RANGO DE VOLTAJES EN CADA UNA DE LAS ARTICULACIONES ............................................. 78 TRAMAS DE COMUNICACIÓN ................................................................................................. 82 PARÁMETROS DE DENAVIT-HARTENBERG ............................................................................ 92 MATRIZ HOMOGÉNEA DE LOCALIZACIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS DEL EXTREMO RESPECTO A LA BASE ............................................................................................................ 93 CONSTANTES IMPLEMENTADAS EN CADA UNA DE LAS ARTICULACIONES ........................... 112 POSICIONES (X,Y,Z) SEGUIDAS POR LA TRAYECTORIA RECTILÍNEA ..................................... 123. 14.

(15) LISTA DE ANEXOS Anexo 1. Tablas de error en la directiva posición absoluta Anexo 2. Generación de Trayectorias Anexo 3. Programas Desarrollados Anexo 4. Hojas de Especificaciones. 15.

(16) 1 INTRODUCCIÓN. La detección y desactivación de minas antipersonales es uno de los temas más trascendentales y de mayor incidencia sobre la población colombiana, puesto que puede herir o causar la muerte de una o varias personas sin discriminar a la víctima, la cual generalmente no está involucrada en el conflicto armado. Según el Comité Internacional de la Cruz Roja (CICR) se calcula que mensualmente 800 personas (26 por día) pierden la vida a causa de las minas antipersonales; el Departamento de Estado de los Estados Unidos indica que cada año hay aproximadamente 26.000 (entre muertos y heridos, 72 víctimas diarias) personas afectadas por este problema, por otro lado la revista IDOC Internazionale, afirma que por cada víctima que sobrevive a la explosión de una mina dos fallecen, y que en algunos países el 75% de los sobrevivientes requiere amputaciones[1].. Al mirar la situación actual en Colombia, el tema es uno de los más delicados a nivel mundial, puesto que la presencia de campos minados ha venido creciendo en lugar de disminuir, entre 1990 y junio de 2002, 1.634 personas fueron víctimas de este flagelo en su mayoría niños y jóvenes, y aun quedan 70.000 m² de minas sembradas en áreas de alto riesgo para los civiles, incluyendo zonas cercanas a escuelas, poblaciones y caminos; por otro lado hacer una mina cuesta entre 3 y 10 dólares a los grupos al margen de la ley y desactivarla le puede costar al gobierno entre 400 y 800 dólares, por lo tanto al sumar todos. 16.

(17) estos problemas es necesario implementar una serie de métodos capaces de detectar y desactivar estos artefactos de manera segura[2][3].. Es indudable que para lograr mitigar el problema y su impacto sobre la población civil y militar, se deben mejorar y/o tecnificar los métodos de detección de minas y la estrategia de desminado y así disminuir o hasta eliminar por completo esta amenaza.. Debido a esta situación, el objetivo del presente trabajo de grado fue el desarrollo de un prototipo que ayude a la labor de detección de minas antipersonales, perfeccionando la estrategia usada en el proyecto “Úrsula” por medio de un sistema de control que manipula un brazo mecánico con tres grados de libertad y cuyas instrucciones de movimiento protegen la integridad de la plataforma móvil y le brindan una mayor longitud de alcance de exploración buscando una precisión mayor en el sistema de detección de minas. Las validaciones de los métodos de control y movimiento se realizaron con una plataforma de demostración.. Este documento esta organizado en 8 capítulos de la siguiente forma: en el capítulo 2 se explican los conceptos básicos para la consecución del control de la plataforma móvil, en el capítulo tres se dan a conocer las especificaciones mecánicas de la plataforma así como la configuración de su espacio de trabajo, el capítulo cuatro muestra las especificaciones de la tarjeta de desarrollo, en el capitulo 5 se presentan los módulos utilizados en el desarrollo del proyecto, la implementación del control de posición y de cada una de las directivas a. 17.

(18) ejecutar, describiendo además las funciones creadas para el desarrollo total del proyecto. El protocolo de pruebas y los resultados obtenidos en cada una de ellas son presentados en el capítulo seis. Este análisis está dividido en tres partes: la comunicación entre la plataforma móvil y el usuario, el control de posición y por último cada una de las directivas.. Para dejar abierto un campo de investigación y/o desarrollo para que otros investigadores sigan aportando e innovando partes o procesos sobre la plataforma de demostración, se incluyó en el presente trabajo en el séptimo capítulo las posibles mejoras las cuales se pueden realizar de acuerdo a las evaluaciones y resultados obtenidos, por último en el capítulo 8 se muestran las conclusiones obtenidas del desarrollo del proyecto.. 18.

(19) 2 MARCO TEÓRICO El presente marco teórico ha sido tomado de las referencias bibliográficas nombradas a continuación1: Robots y Sistemas sensoriales. Autores: Fernando Torres, Jorge Pomares, Pablo Gil, Santiago T. Puente, Rafael Aracil. Editorial Prentice Hall, 2002. Robótica: Control, Detección, Visión e inteligencia. Autores: K.S.FU, R.C González, C.S.G Le. Editorial McGraw-Hill, 1.988. Exact Solution to the inverse Kinematics of a standard 6-axis Robot Manipulator. Autores: M. Shahinpoor, M Jamshidi and Young T. Kim. Los temas principales presentados en este capítulo son: matriz de transformación homogénea, translaciones básicas y compuestas sobre los ejes principales de un sistema de referencia, rotaciones básicas y compuestas con respecto a cada uno de los principales ejes de un sistema de referencia, así como, el análisis del problema cinemático directo e inverso de un brazo robot. Si el lector conoce y domina los temas anteriormente nombrados puede pasar directamente al capítulo 3 en el que se tratará la implementación del presente proyecto.. 1. Estas referencias bibliográficas se encuentran incluidas en la bibliografía del documento. 19.

(20) 2.1 Brazo Robot Mecánicamente, un brazo robot está diseñado para alcanzar un lugar específico localizado dentro de su volumen de trabajo representado por una esfera de influencia, el cual se determina de acuerdo con los grados de libertad que posea; de acuerdo con estos grados de libertad se pueden generar una serie de combinaciones de movimientos con el fin de posicionar su efector final en el lugar que necesita alcanzar.. 2.1.1. Componentes y subsistemas de un brazo robot. La estructura mecánica básica de un brazo robot está compuesta por eslabones, que cumplen una función similar a la de un hueso; accionadores, de funcionalidad parecida a la de un músculo; transmisiones, con cierto parecido a los tendones; y los cables de señal, en cierto modo los nervios del robot. Los puntos de unión entre eslabones reciben el nombre de nodos y el elemento que permite dicha unión y un movimiento relativo entre ellos, al igual que en el caso de un brazo humano, es la articulación.. La capacidad de carga depende del dimensionamiento y características estructurales de los eslabones, sistemas de transmisión y accionadores.. En general, un cuerpo rígido puede realizar un movimiento muy complejo en el espacio tridimensional que es difícil describir a priori; sin embargo, ese movimiento puede ser considerado como una combinación de movimientos de translación y rotación que a su vez. 20.

(21) pueden ser consideradas como un movimiento compuesto por componentes de translación a lo largo de uno o más de los ejes de coordenadas. De la misma forma, una rotación puede ser considerada como aquella cuyas componentes reflejan rotaciones producidas en torno a los ejes coordenados como lo describe la figura 1.. Figura 1.. Traslaciones y rotaciones básicas2. Un cuerpo libre en el espacio puede moverse en tres direcciones independientes y perpendiculares entre sí con la posibilidad de rotar en torno a esas mismas direcciones, es por ello que se dice que posee seis grados de libertad. Ejemplo: Si una articulación está limitada a moverse en un plano, posee dos grados de libertad (ver figura 2).. Figura 2.. Ejemplo de articulaciones de 1 y 2 grados de libertad. 2. Todas las figuras de esté capítulo son tomadas de Robots y Sistemas sensoriales. Autores: Fernando Torres, Jorge Pomares, Pablo Gil, Santiago T. Puente, Rafael Aracil. Editorial Prentice Hall, 2002.. 21.

(22) 2.2 Fundamentos matemáticos y físicos en robótica 2.2.1. Descripción de posición y orientación. Para poder efectuar tareas con un robot, es necesario establecer claramente la forma de describir la posición y la orientación de un cuerpo rígido en el espacio, es decir, localizar adecuadamente al robot en un sistema de coordenadas definido.. 2.2.2. Sistemas de referencia. Es muy importante un sistema de referencia puesto que un cuerpo rígido mantiene la relación entre éste y el objeto; los sistemas de referencia se definen y representan habitualmente mediante ejes ortogonales que definen a su vez la intersección entre tres planos ortogonales. Normalmente se utiliza un sistema dextrógiro, como se muestra en la figura 3.. Figura 3.. 2.2.3. Sistemas de Referencias de Coordenadas. Descripción de la posición.. Generalmente un robot ha de ser referenciado en el espacio tridimensional, en este caso, una posición se establece de forma unívoca mediante un vector de posición p M con tres componentes respecto a un sistema de referencia M.. 22.

(23) Figura 4.. Descripción de la posición. Al tener asociado un objeto de interés un sistema de referencia O, el vector p. M O. representa. la posición del origen de dicho sistema O con respecto al M.. Figura 5.. Posición de un sistema O respecto a otro M. 2.2.3.1 Coordenadas cartesianas Empleando este tipo de coordenadas, las componentes del vector p M son las proyecciones sobre cada uno de los ejes del sistema de referencia M. Una posición en el espacio tridimensional se representa como p M (x, y, z).. 23.

(24) Figura 6.. Coordenadas Cartesianas. 2.2.3.2 Coordenadas cilíndricas Una posición en el espacio tridimensional se representa como p M (r,θ, z). Las componentes del vector p M en un sistema de referencia M corresponden, al módulo de la proyección del vector p M sobre el plano xy, el ángulo que forma dicha proyección con el eje x y la proyección del vector p M sobre el eje z, respectivamente.. Figura 7.. Coordenadas Cilindricas. 2.2.3.3 Coordenadas esféricas La primera y segunda componente del vector p M es la misma que en coordenadas cilíndricas. La tercera componente en este caso corresponde con el ángulo que forma el. 24.

(25) vector p M con el eje z del sistema de referencia M. Una posición en el espacio tridimensional se representa como p M (r,θ,φ) (ver figura 8).. Figura 8.. 2.2.4. Coordenadas Esféricas. Descripción de la orientación. Para localizar totalmente un cuerpo en el espacio es necesario conocer, además de su posición, su orientación con respecto a un sistema de referencia, es decir, mientras que la posición de un cuerpo rígido respecto a un sistema de referencia M viene dada por la posición del origen del sistema de referencia O asociado a este, la orientación del cuerpo con respecto a un sistema de referencia M vendrá dada por la orientación relativa de los ejes del sistema de referencia O asociado a este con respecto al sistema M (ver figura 9).. Figura 9.. Sistemas de referencia coincidentes en el origen. 25.

(26) 2.2.4.1 Matrices de rotación (respecto a uno de los ejes de referencia) Una matriz de rotación3 se puede definir como una matriz de transformación que opera sobre un vector de posición en un espacio tridimensional y transforma sus coordenadas expresadas en un sistema de coordenadas rotado OXoYoZo (sistema ligado al cuerpo) a un sistema de coordenadas de referencia MXmYmZm PXmYmZm = R*PXoYoZo (2.1) Recordando la definición de las componentes de un vector se tiene: PXoYoZo = PXo*iXo + PYo*jYo + PZo*kZo (2.2) Donde PXm, PYm y PZm representan las componentes de P a lo largo de los ejes MZm, MYm y MZm respectivamente, de allí se obtiene: PXm. iXm * iXo iXm *jYo. iXm* kZo. PXo. PYm = jYm * iXo jYm * jYo jYm * kZo. PYo. PZm. PZo. kZm * iXo kZm * jYo kZm * kZo. (2.3). Análogamente, se pueden obtener las coordenadas PXoYoZo con las coordenadas PXmYmZm PXoYoZo = Q*PXmYmZm. 3. (2.4). Se entiende como una matriz de 3x3. 26.

(27) PXo. iXo* iXm iXo*jYm iXo * kZm. PXm. PYo = jYo * iXm jYo * jYm jYo * kZm. PYm. PZo. PZm. kZo* iXm kZo* jYm kZo* kZm. (2.5). Como los productos escalares son conmutativos Q = R-1 = RT 2.2.5. (2.6). Matrices y coordenadas homogéneas. En el área de robótica es importante disponer de un mecanismo que permita localizar un objeto en el espacio tridimensional, es decir, en posición y orientación conjuntamente, esto se logra mediante el uso de las coordenadas homogéneas las cuales permiten tener en una sola matriz la posición y orientación de un objeto respecto a un sistema de referencia.. La matriz de transformación homogénea es una matriz de 4 x 4 que transforma un vector de posición expresado en coordenadas homogéneas desde un sistema de coordenadas hasta otro sistema de coordenadas. Una matriz de transformación homogénea está compuesta por 4 submatrices: R 3x3 T =. f 1x3. p 3x1. Matriz de rotación. Vector de Posición (traslación) = 1x1 Transformación de Escalado perspectiva (2.7). La submatriz 3 x 3 superior izquierda representa la matriz de rotación; la submatriz superior derecha 3 x 1 representa el vector de posición del origen del sistema de coordenadas rotado. 27.

(28) con respecto al sistema de referencia que tiene como efecto el trasladar un sistema de coordenadas OXoYoZo con ejes paralelos al sistema de coordenadas de referencia MXmYmZm pero cuyo origen está en dx, dy, dz;. Los vectores de transformación de perspectiva y escalización no tienen sentido en robótica, puesto se trabaja directamente con posiciones y orientaciones reales; al igual que se trabaja con un escalización real 1 a 1.. 2.2.6. Matriz homogénea de transformación inversa. La matriz de transformación permite localizar un sistema O respecto a otro M. En ocasiones interesa conocer la relación inversa, es decir, conocer la localización de M respecto a O, lo que corresponderá a la inversa de la matriz de transformación homogénea. T=. rotación T 0. − rotación T * traslación 1. (2.8). 2.3 Transformaciones básicas: Translación y Rotación 2.3.1. Translación. Se pueden considerar tres translaciones básicas sobre cada uno de los ejes principales de un sistema de referencia, a partir de estas es posible construir una translación compuesta, que esta representada por el vector p(x, y, z) cuyas componentes corresponden a los valores asociados a cada una de las traslaciones básicas (ver figura 10).. 28.

(29) Figura 10.. Translaciones basicas. Debido a que solo se esta tomando el caso en el cual se realiza una translación, la submatriz de rotación de la matriz de transformación homogénea será la identidad y la de translación son las magnitudes de las translaciones efectuadas sobre cada uno de los ejes principales.. Trans ( p ) = Trans ( x, y, z ) =. 1 0 0. x. 0 1 0. y. 0 0 1. z. (2.9). 0 0 0 1. 2.3.2. Rotación. Se pueden obtener tres rotaciones básicas considerando tres giros con respecto a cada uno de los ejes principales de un sistema de referencia; la localización final depende del orden en que se haya efectuado cada una de las rotaciones básicas. Al realizar cualquier rotación la matriz de transformación homogénea tiene como vector de traslación cero, ya que se analiza en este momento solo la rotación. Al aplicar la ecuación 2.3 y realizando los productos escalares se obtiene:. • Rotación sobre el eje x: Se refiere a la rotación con un ángulo α sobre el eje x:. 29.

(30) Rot ( x, α ) =. 1. 0. 0. cos(α ). 0. cos(90 + α ) 0. 0 cos(90 − α ) 0. 0. cos(α ). 0. 0. 1. 0. (2.10). • Rotación sobre el eje y: Se refiere a la rotación con un ángulo β sobre el eje y:. cos( β ) Rot ( y, β ) =. 0. 0 cos(90 − β ) 0 1. cos(90 + β ) 0 0. 0. 0. cos(α ). 0. 0. 1. 0. (2.11). • Rotación sobre el eje z: Se refiere a la rotación con un ángulo γ sobre el eje z. cos(γ ) Rot ( z , γ ) =. 2.3.3. cos(90 + γ ) 0 0. cos(90 − γ ). cos(γ ). 0 0. 0. 0. 1 0. 0. 0. 0 1. (2.12). Composición de transformaciones. Una transformación compleja se descompone en una serie de transformaciones básicas de traslación en el caso de un cambio del objeto respecto a la referencia, y/o de rotación, si lo que se produce es un giro del objeto respecto al sistema de referencia.. La composición de transformaciones, al estar representadas por matrices, supone que el orden en que se aplica cada una de las transformaciones básicas que la componen es relevante, ya que el producto de matrices no es conmutativo. Además, es necesario. 30.

(31) identificar con respecto a qué sistema se realiza cada transformación, debido a que ayuda a determinar el orden de las operaciones a realizar.. Cuando se realiza una transformación de una localización (posición y giro) a otra se tienen dos posibilidades para referenciarla. La primera se determina respecto al sistema resultante de la transformación anterior, que se le denomina móvil, la segunda con respecto al que fue referencia para la última transformación, que se le conoce como fijo.. La primera vez que se aplica una transformación no existe móvil, o se puede considerar como coincidente con el fijo; teniendo en cuenta esto se determinan las siguientes reglas: • Si la transformación se realiza con respecto al sistema fijo se premultiplica sobre las transformaciones ya efectuadas. • Si la transformación se efectúa sobre el sistema móvil, es decir, con respecto a la última localización del sistema transformado se postmultiplica respecto a las aplicadas previamente. Tomando como ejemplo,. p final = Rot ( z ,−90) * Tras (0, a,0) * p final. (2.13). Se puede representar primero con una translación con respecto al sistema fijo y posteriormente una rotación también con respecto al sistema fijo (ver figura 11a).. 31.

(32) Figura 11.. Ejemplo Translación y Rotación. Sin embargo, considerando las reglas anteriores, también se puede interpretar como una primera transformación de rotación respecto al sistema fijo seguida de una translación respecto al sistema móvil (ver figura 11b.), siendo el resultado el mismo para ambos casos. 2.3.3.1 Rotaciones compuestas Las matrices de rotación básicas se pueden multiplicar entre si para representar una secuencia de rotación finita respecto del eje principal del sistema de coordenadas MXmYmZm4. Cabe anotar que en robótica interesa representar la orientación de un sistema respecto a otro a través de cualquier eje de rotación (no solamente con respecto al eje principal). Un giro general se puede descomponer en una combinación de tres rotaciones básicas realizadas en un determinado orden, teniendo en cuenta las reglas generales de composición de transformaciones es posible obtener más de una agrupación de rotaciones básicas para un mismo giro; entre estas existen veinticuatro combinaciones definidas: doce de ellas se obtienen mediante combinación de tres rotaciones simples, realizadas sobre los ejes. 4. Como las multiplicaciones de matrices no conmutan, es importante el orden o secuencia de realización de las rotaciones. 32.

(33) principales del sistema fijo, las otras doce conocidas como ángulos de Euler, se definen mediante combinación de tres giros sobre ejes principales del sistema móvil.. 2.3.3.1.1 Matriz de rotación con representación de ángulos de Euler Los ángulos de Euler describen la orientación de un cuerpo rígido con respecto a un sistema de referencia fijo. Hay muchos tipos diferentes de representaciones de ángulos de Euler.. Sistema I Ángulos Eulerianos. Secuencia De Rotaciones. Sistema II Ángulos De Euler. Sistema III Elevación Desviación y Giro respecto del eje respecto del eje respecto del eje MZm MZm MXm respecto del eje respecto del eje respecto del eje OXo OYo MYm respecto del eje respecto del eje respecto del eje OZo OZo MZm Tabla No.1. Representaciones de ángulos de Euler. En la tabla 1 la primera representación de los ángulos Eulerianos corresponde a: 1. Una rotación de ángulo respecto del eje MZm. 2. Una rotación de ángulo respecto del eje OXo. 3. Finalmente, una rotación de ángulo respecto del eje OZo.. La matriz de rotación de ángulos se puede especificar también en términos de las rotaciones respecto de los ejes principales del sistema de coordenadas de referencia de la siguiente forma: una rotación del ángulo. respecto del eje MZm seguida por una rotación del ángulo. 33.

(34) respecto del eje MXm y finalmente una rotación de. respecto del eje OZo. Por lo tanto la. matriz de rotación resultante es: C( )*C( ) – S( )*C( )*S( ) S( )*C( ) – C( )*C( )*S( ) S( )*S( ). -C( )*S( ) – S( )*C( )*C( ) -S( )*S( ) + C( )*C( )*C( ) S( )*C( ) (2.14). S( )*S( ) -C( )*S( ) C( ). Igualmente se pueden interpretar las demás representaciones. 2.3.3.2 Matrices de rotación respecto de un eje arbitrario Para hallar la matriz de rotación alrededor de un eje r se hacen algunas rotaciones respecto de los ejes principales del sistema MXmYmZm para alinear el eje r con el eje MZm luego se hace la rotación respecto de r con ángulo n y se gira el eje principal del sistema MXmYmZm para volver al eje r otra vez a su posición original. Una vez realizado el procedimiento anterior se llega a la siguiente matriz de transformación. Rr,. rXm2V( ) + C( ) rXm * rYm * V( ) – rZm * S( ) rXm * rZm * V( ) + rYm * S( ) = rXm * rYm * V( ) + rZm * S( ) rYm2 * V( ) + C( ) rYm * rZm * V( ) – rXm * S( ) rXm * rZm * V( ) – rYm * S( ) rYm * rZm * V( ) + rXm * rXm2 * V( ) + C( ) S( ). (2.15) En la anterior matriz se tiene: V ( ) = 1 – Cos ( ) C ( ) = Cos ( ) S ( ) = Sen ( ). (2.16). 34.

(35) 2.4 Cinemática La cinemática del brazo del robot trata del estudio analítico de la geometría del movimiento de un brazo robot con respecto a un sistema de coordenadas de referencia fijo sin considerar las fuerzas o momentos que originan el movimiento, interesándose por la descripción analítica del desplazamiento espacial del robot como una función del tiempo, en particular de las relaciones entre la posición de las variables de articulación y la orientación del efector final del brazo robot.. Hay dos problemas fundamentales en la cinemática del robot: •. Problema cinemático directo: estudia cuál es la orientación y la posición del efector final con respecto a un sistema de coordenadas de referencia dado el vector de ángulos de las articulaciones q(t)=(q1(t),q2(t),…,qn(t))T y los parámetros geométricos del brazo.5. •. Problema cinemático inverso: estudia si el brazo puede alcanzar la posición y orientación de la mano que se desea, y si puede, cuántas configuraciones satisfacen la misma condición dada una posición y orientación deseada del efector final del brazo y los parámetros geométricos de los elementos con respecto a un sistema de coordenadas de referencia.. 5. donde n es el número de grados de libertad. 35.

(36) 2.4.1. Espacio articular y espacio cartesiano. Para un robot como el de la figura 12, en el que las articulaciones han sido numeradas desde 1 hasta n, el valor del parámetro de la articulación i, notado como q i , es llamado variable articular y el conjunto de variables: q = ( q1 , q 2 , q 3 ,. (2.17). qn). Se denota como vector de variables articulares.. Figura 12.. Articulaciones. En el caso más general, en el cual el extremo del robot puede tomar una posición y orientación cualquiera en el espacio tridimensional, el vector de coordenadas para el extremo del robot tendrá seis parámetros, tres de posición y tres de orientación: p = ( x, y , z , α , β , γ ). (2.18). La relación que liga los parámetros en el espacio articular y el cartesiano generalmente es de tipo no lineal, y para la cinemática directa viene dada por:. p = F (q). (2.19). la cual presenta una solución única a este problema. Por otro lado para la cinemática inversa la relación está dada por la expresión:. 36.

(37) q = F −1 ( p). (2.20). Desde un punto de vista analítico, no está garantizada la solución a la cinemática inversa y si existe, puede que no sea única. Por lo tanto, algunas de las posibles soluciones no son una respuesta adecuada, ya que las articulaciones estarían en posiciones físicamente imposibles.. 2.4.2. El problema cinemático directo. Como los elementos de un brazo pueden girar y/o trasladarse con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, es necesario establecer un sistema de coordenadas ligado al cuerpo a lo largo del eje de la articulación para cada elemento; el problema cinemático directo se reduce a encontrar una matriz de transformación que relaciona el sistema de coordenadas ligado al cuerpo con el sistema de coordenadas de referencia.. Para resolver el problema de cinemática directa, en el caso más general se puede asociar un sistema de referencia a cada uno de los eslabones, incluidos la base y el extremo del robot. Si se tiene en cuenta que siempre existirá una transformación homogénea, compuesta por traslaciones y rotaciones básicas, estos permitirán pasar de un sistema de referencia asociado al eslabón i al del eslabón i+1, y dicha transformación quedará en función de los parámetros de la articulación i: i. Ti +1 = F (qi ). (2.21). 37.

(38) El problema se reduce a iterar el proceso de búsqueda de las n+1 transformaciones necesarias para pasar desde el sistema asociado a la base del robot hasta el extremo del robot, pasando por los sistemas asociados a todos y cada uno de los eslabones, generándose con todas ellas una transformación homogénea total que expresa la posición y orientación del extremo del robot con respecto a la base en función de los parámetros de las articulaciones.. Textremo = baseT1 *1 T2 *2 T3. base. n −1. Tn *n Textremo = F (q1 , q2 , q3 ,. qn ) (2.22). En la figura 13 se esquematiza el proceso para un robot genérico de n grados de libertad.. Figura 13.. Problema Cinematico Directo. Existe un método sistemático para resolver el problema de cinemática directa a través de una transformación homogénea, el cual se divide en tres fases: • Definición de los parámetros de Denavit-Hartenberg • Asignación de sistemas de referencia • Transformación homogénea.. 38.

(39) 2.4.2.1 Parámetros de Denavit-Hartenberg Los robots están compuestos por una serie de articulaciones ya sean del tipo prismático6 o rotacional7, las cuales están conectadas entre si por medio de eslabones, de acuerdo a esto se pueden establecer cuatro parámetros, dos relativos al tamaño y forma del eslabón y otros dos relacionados con la posición relativa entre los eslabones consecutivos8. Al hallar dichos parámetros es necesario tener en cuenta que el eje de una articulación se define según el eje con respecto al que se produce el movimiento, es decir, en una articulación rotacional se define respecto al giro y en una articulación prismática respecto a la dirección de desplazamiento (ver figura 14).. Figura 14.. Parametros de Denavit-Hartenberg. 6. Permiten una translación de un eslabón con respecto a otro Permiten un giro en torno a un eje de un eslabón con respecto a otro 8 Parámetros relativos a la articulación que los enlaza 7. 39.

(40) Los dos parámetros relativos al tamaño y forma del eslabón son: • a i , distancia entre los ejes i e i+1 de las articulaciones a lo largo de la normal común. Este parámetro define en cierto modo el tamaño del eslabón, y por esto se le conoce como “longitud del eslabón”. • α i , ángulo que existiría entre los ejes i e i+1 de las articulaciones si estos se cortaran en los puntos de corte de la línea normal común. Este parámetro mide la forma del eslabón a través del ángulo que sobre el mismo se encuentra girado, por lo que se le conoce como ángulo de torsión del eslabón.. Los parámetros que relacionan la posición relativa de un eslabón con respecto a su predecesor son: • d i , distancia entre las intersecciones de las normales comunes al eje de la articulación i, medida a lo largo de ese mismo eje; este parámetro expresa la distancia entre los dos eslabones, marcada por el tamaño y forma de la articulación, por esto se le conoce como longitud articular. • θ i , ángulo que existiría entre las líneas normales comunes al eje de la articulación i si se cortarán en el mismo punto del eje de la articulación. Expresa, entonces, el ángulo que forman los dos eslabones, teniendo en cuenta la forma de la articulación, por lo que se denomina longitud articular.. 40.

(41) Los parámetros relativos a la forma y tamaño del eslabón, por ser este un cuerpo rígido, no sufren ninguna variación, sin embargo, de los dos parámetros que relacionan la posición relativa entre los eslabones, al estar unidos por una articulación uno de ellos varia, dicho parámetro depende del tipo de articulación que se esté manejando y es llamada variable articular. qi. . De esta forma para una articulación del tipo rotacional, al ángulo. produce la variación y la distancia relativa. di. permanece constante, mientras que para una. articulación prismática, el parámetro variable es la distancia relativa ángulo. θ i , es el que. di. , y permanece fijo el. θi .. 2.4.2.2 Asignación de sistemas de referencia El problema cinemático directo se puede resolver encontrando una transformación homogénea, función de los parámetros de las articulaciones, que exprese la posición y orientación del extremo del robot con respecto a un sistema de referencia situado en la base de este.. El método de solución se basa en la definición de sistemas de referencia asociados a cada uno de los eslabones, logrando así realizar la transformación entre dos eslabones consecutivos sólo mediante dos giros y dos translaciones, es importante aclarar que se pueden realizar diferentes asignaciones de sistema de referencia a un mismo eslabón, logrando con algunos de ellos que determinados parámetros de los eslabones resulten nulos;. 41.

(42) uno de ellos es localizar el sistema de referencia del eslabón en el eje de la articulación que la enlaza con el siguiente eslabón. Una vez numerados los eslabones y articulaciones (ver 15), el sistema de referencia asociado al eslabón i estará situado en un punto que pueda considerarse como fin del eslabón, a lo largo de la articulación i+1 que lo une con el eslabón posterior(ver figura 16).. Figura 15.. Enumeración de eslabones y articulaciones. Figura 16.. Ejes Coordenados. El eje z i del sistema de referencia del eslabón i se alinea con el eje de la articulación i+1. El eje xi del sistema de referencia se alinea con la normal común entre las articulaciones i e. 42.

(43) i+1, apuntando de i a i+1, al fijar este eje queda fijo el origen del sistema. El eje y i se establece para que el sistema de referencia sea dextrógiro.. Pueden darse dos situaciones en la que la línea normal común (eje xi ) no sea única: •. Cuando los ejes son paralelos, en este caso el origen del sistema de referencia i queda indefinido, por convenio se toma el origen en la articulación i+1.. •. Los ejes se cortan entre sí, el origen del sistema i se localiza en el punto de corte, en cuyo caso xi está según la dirección perpendicular al plano que forman z i y z i −1 , tomándose el sentido en este caso de forma arbitraria.. De la misma forma descrita anteriormente, se determina el resto de sistemas de referencia para los eslabones 1 a n-1, es decir, todos los eslabones excluyendo la base del robot y el eslabón del extremo.. El sistema de referencia asociado a la base del robot, el eslabón 0, es el único que permanece fijo en la cadena cinemática, por lo que es considerado como el sistema de referencia de todos los demás, el eje z 0 esta alineado con la articulación 1; sin embargo, al no existir la articulación 0, se toma y 0 de tal forma que el sistema resulte dextrógiro.. 43.

(44) El sistema de referencia asociado al último eslabón se localiza en el extremo del robot; en este caso no existe articulación n+1, por lo que su eje z n se toma coincidente con el eje z del sistema asociado al eslabón n-1.. 2.4.3. Transformación homogénea. De acuerdo a lo visto anteriormente, se observa que para pasar del sistema i-1 al i es necesario aplicar dos giros y dos translaciones en el orden adecuado, los cuales corresponden con los parámetros de Denavit-Hartenberg para la articulación i (ver figura 17), los que toman los siguientes valores: •. θ i como el ángulo entre xi −1 y xi medido en torno a z i −1 .. •. d i como la distancia medida a lo largo de z i −1 entre el origen del sistema i-1 y la intersección de los ejes xi y z i −1 .. • α i como ángulo entre z i −1 y z i medido en torno a xi • a i como la distancia medida a lo largo de xi entre la intersección de los ejes xi y z i −1 y el origen del sistema i.9. 9. Las operaciones entre. θi. y d i pueden ser conmutadas entre si al igual que las operaciones entre. αi. y ai .. 44.

(45) Figura 17.. Transformación Homógenea. Con base en estas cuatro transformaciones, se obtiene la matriz de transformación homogénea para pasar del sistema i-1 al sistema i: i −1. Ti = Rot ( z i −1 ,θ i ) * Tras ( z i −1 , d i ) * Tras ( xi , a i ) * Rot ( xi , α i ). =. cos(θ i ) − sen(θ i ) 0 0 sen(θ i ) cos(θ i ) 0 0 0 0. 0 0. 1 0 0 1. *. 1 0 0 0 1 0. 0 0. 0 0 1 di 0 0 0 1. *. 1 0 0 ai 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0. 0 1. *. 1 0 0 0 0 cos(α i ) − sen(α i ) 0 0 sen(α i ) 0 0. cos(α i ) 0. 0 1. = Tras ( z i −1 , d i ) * Rot ( z i −1 ,θ i ) * Rot ( xi , α i ) * Tras ( xi , a i ) =. cos(θ i ) − cos(α i ) sen(θ i ) =. sen(α i ) sen(θ i ). ai cos(θ i ). sen(θ i ) 0. cos(α i ) cos(θ i ) sen(α i ). − sen(α i ) cos(θ i ) cos(α i ). ai sen(θ i ) di. 0. 0. 0. 1. (2.23). 45.

(46) Determinando cada una de las matrices de transformación entre los distintos sistemas de coordenadas del robot, se puede llegar a la matriz de transformación entre el sistema de coordenadas de la base del robot y el del extremo del mismo10.. 2.4.4. Problema cinemático inverso. El problema de cinemática inversa consiste en determinar qué valores tienen que tomar las variables articulares para que el extremo del robot se encuentre en una posición. y. orientación dadas.. Teniendo en cuenta la matriz de transformación homogénea total y las submatrices de rotación y de posición se puede observar que:. 0. o. o. 10. Textremo. r11 r = 21 r31 0. Rot extremo =. r12 r22 r32 0. x o extremo o y extremo o z extremo 1. r13 r23 r33 0. r11. r12. r13. r21. r22. r23. r31. r32. r33. o o o o Tras extremo = p extremo ( xextremo , y extremo , z extremo ). (2.24). (2.25). (2.26). Ecuación 2.22. 46.

(47) Cada uno de los elementos no nulos de la matriz total son función de las n variables articulares, resultando doce ecuaciones, nueve correspondientes a los elementos de la submatriz de rotación y las otras tres a los del vector de translación.. Sin embargo, para expresar una rotación se necesitan tres grados de libertad, por lo que solo tres de las nueve ecuaciones son linealmente independientes, el conjunto de ecuaciones se expresa como: o xextremo = f x (q1 , q 2 ,. , qn ). o y extremo = f y (q1 , q 2 ,. , qn ). o z extremo = f z (q1 , q 2 ,. , qn ). = f α (q1 , q 2 ,. , qn ). o β extremo = f β (q1 , q 2 ,. , qn ). α. o extremo. o γ extremo = f γ (q1 , q 2 ,. (2.27). , qn ). Debido a la no linealidad del sistema de ecuaciones pueden presentarse dos circunstancias: •. No existe solución: este caso se presenta, cuando aún teniendo desde un punto de vista analítico una solución al conjunto de ecuaciones 2.27, todas las soluciones encontradas se encuentren fuera del espacio de trabajo del robot o simplemente no satisfacen los rangos de movimiento de las articulaciones reales.. •. Existencia de múltiples soluciones: La solución óptima depende del problema que se trata, no siempre es factible la solución que minimice el recorrido de las articulaciones.. 47.

(48) 2.4.4.1 Métodos de solución Para resolver el problema cinemático inverso se puede optar por dos vías: solución numérica o solución cerrada. La primera posibilidad se desecha generalmente, ya que resulta más lenta y costosa computacionalmente que una solución cerrada.. La solución cerrada hace referencia a la búsqueda de una solución basada en expresiones analíticas o en soluciones polinómicas, que no hacen uso de cálculos iterativos. Existen dos métodos:. •. Solución algebraica: consiste en seleccionar seis ecuaciones de las doce de todo el conjunto dado, de forma que se establezca un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas que sea fácil de resolver.. •. Solución geométrica: consiste en descomponer la cadena cinemática del robot en varios planos geométricos, resolviendo por trigonometría el problema asociado a cada plano.. 48.

(49) 3 Plataforma de Prueba Debido a las limitaciones que tiene el brazo móvil de la plataforma “Úrsula” al poseer solo dos grados, se ve la necesidad de aumentarlos, logrando así ampliar las capacidades de movimiento y la precisión alcanzada. En este contexto, se recuerdan los objetivos propuestos en este proyecto, los cuales pretenden optimizar y expandir la labor del brazo utilizado en la plataforma móvil “Úrsula” para la detección de minas antipersonales:. 1. Ejecutar un movimiento controlado de exploración para garantizar el barrido de la región mediante el seguimiento de una trayectoria predeterminada haciendo uso de un control de posición. 2. Calcular la cinemática inversa que le proporcione al brazo la capacidad de ir a posiciones específicas alcanzables en el espacio. 3. Desarrollar los algoritmos de control del brazo desde un sistema microcontrolado. 4. Generar una rutina de evasión de obstáculos para el brazo móvil mediante el seguimiento del respectivo contorno, utilizando sensores de ultrasonido.. No siendo objetivo del trabajo de grado, pero constituyéndose en una herramienta fundamental para mostrar las posibilidades de los desarrollos realizados y por razones ajenas a la realización del presente proyecto, se hizo necesario desarrollar una plataforma artesanal de pruebas, con la que se pudiera validar las capacidades de los algoritmos de control desarrollados de una manera demostrativa y con ello poder presentar y evaluar los. 49.

(50) objetivos del proyecto. El desarrollo y especificaciones de dicha plataforma se muestran a continuación.. 3.1 Diseño y construcción Inicialmente el diseño y la construcción de la plataforma mecánica fue guiado por personas con conocimiento en el desarrollo de sistemas mecánicos, este proceso se realizó en varias etapas: primero se realizaron los cortes correspondientes a los 3 primeros eslabones utilizando aluminio debido a que es un material durable, liviano y económico, el cuarto eslabón se fabricó en balso con el objetivo de minimizar el peso generado sobre la plataforma y disminuir al máximo el esfuerzo realizado por los motores, luego se procedió a la fabricación de 6 piñones en nylon, dos para cada articulación, con un diámetro de 3.8cm y 20 dientes; posteriormente se inició con la integración de los piñones, los eslabones, pasadores y bujes, los últimos dos están hechos en bronce y permiten asegurar los ejes de los motores que generan el movimiento y de los potenciómetros que sensan un voltaje proporcional al ángulo en el que se encuentra la articulación. Esta estructura fue ubicada en una caja hueca fabricada en acero con medidas 24.5cm de ancho, 24.5cm de largo y 17.5cm de alto, la cual soporta el peso de la plataforma de pruebas y adicionalmente almacena las tarjetas utilizadas para controlar la plataforma demostrativa y manejar los ultrasonidos (ver figura 18).. 50.

(51) Piñones Eslabón 2. Eslabón 4. Eslabón 1 Eslabón 0. Figura 18a. Eslabones y piñones. Articulación 2. Articulación 3. Articulación 1. Figura 18b. Articulaciones Figura 18.. Partes de la plataforma de demostración. Por otro lado el tercer eslabón soporta una caja rectangular fabricada en cartón paja de medidas 27cm de ancho, 5cm de largo y 5cm alto, la cual soporta las 3 parejas de ultrasonidos, con el fin de lograr que cada pareja de ultrasonidos funcione de una manera independiente y no genere interferencia sobre los demás dispositivos.. 51.

(52) 3.2 Especificaciones. Figura 19a. Vista superior Figura 19.. •. Figura 19b.Vista lateral Plataforma de demostraciòn. La plataforma de pruebas posee tres articulaciones, encargándose cada una de ellas de uno de los grados de libertad (ver figura 19).. •. La plataforma de pruebas consta de 4 eslabones, el primer eslabón corresponde a la base sobre la cual gira la plataforma; el segundo, tercero y cuarto eslabón se encargan de unir las articulaciones entre si, dichos eslabones tienen longitudes de 16, 23 y 25cm respectivamente.. •. Para generar el movimiento en cada una de las articulaciones se utilizan 3 motores11, marca Pittman GM8223 con reductor de 60.5 a 1.. •. El movimiento de las articulaciones se sensa por medio del voltaje sobre tres potenciómetros sin fin, cada uno de los cuales está acoplado mecánicamente al eje de cada motor.. •. El espacio de trabajo de la plataforma corresponde a un movimiento de 180º grados en el plano x-y, un movimiento de 85 grados en el plano y-z utilizando la. 11. Un motor para cada articulación.. 52.

(53) articulación número 2 y un movimiento de 180 grados en el plano y-z utilizando la articulación número 3. •. El primer grado de libertad corresponde al movimiento en el plano X-Y, dicho movimiento corresponderá a un ángulo positivo si se está moviendo a su derecha y a un ángulo negativo si se está moviendo a su izquierda como se puede observar en la figura 20 en la que se muestra la ubicación de la plataforma para un observador ubicado en la parte superior : X (Positivas). Y (Positivas). Y (Negativas) Frente Q1 positivos. Q1 Negativos. X (Negativas). Figura 20.. Ubicación en el plano X-Y de la plataforma de prueba observada desde arriba. El segundo y tercer grado de libertad corresponden a movimientos en el plano Y-Z, dicho movimiento corresponde a un ángulo positivo si se está moviendo hacia arriba y a un ángulo negativo si se está moviendo hacia abajo, encontrando el eje Z positivo hacia arriba del plano, y el eje Z negativo hacia abajo del plano. •. Para la detección de obstáculos la plataforma demostrativa cuenta con 3 parejas de ultrasonidos ubicados como se puede observar en la figura 18 (derecha, izquierda y abajo).. 53.

(54) •. En la estrategia de cableado se tuvo en cuenta una distancia mínima de 5cm entre los cables de los ultrasonidos transmisores y de los receptores para evitar interferencia, además se permitió que los cables tuvieran libertad de movimiento en cada una de las articulaciones.. •. La fuente utilizada para alimentar el dspic30F2010 es de 24 voltios. En un futuro esta fuente de alimentación será tomada del sistema de alimentación del robot móvil “Úrsula”.. 54.

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