"Análisis del Flujo Electromagnético en un Reactor de Potencia"-Edición Única

, en los sucesivo LA OBRA, en virtud de lo cual autorizo a el Instituto

Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (EL INSTITUTO) para que

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fines académicos o propios al objeto de EL INSTITUTO, dentro del círculo de la

comunidad del Tecnológico de Monterrey.

El Instituto se compromete a respetar en todo momento mi autoría y a

otorgarme el crédito correspondiente en todas las actividades mencionadas

anteriormente de la obra.

De la misma manera, manifiesto que el contenido académico, literario, la

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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

"Análisis del Flujo Electromagnético en un Reactor de

Potencia"-Edición Única

Title

"Análisis del Flujo Electromagnético en un Reactor de

Potencia"-Edición Única

Authors

Gabriela de la O Gómez

Affiliation

Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey

Issue Date

2011-05-01

Item type

Tesis

Rights

Open Access

Downloaded

18-Jan-2017 17:50:14

INSTITUTO

TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS

SUPERIORES DE MONTERREY

C A M PU S M O N T ER R EY

DIVISIÓN

DE

PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

"A N A LISIS D EL FLUJO

E L Í X T K O M A G N T L T I C O

E N

U N R EA C TO R D E PO TEN CIA "'

TESI S

P R ESEN T A D A C O M O REQ UISITO PA RC IA L

PA R A O BT EN ER EL G R A D O A C A D EM IC O D E:

M A ESTRA EN CIEN CIA S

CO N ESPEC IA LID A D EN IN G EN IERIA EN ERG ETIC A

PO R:

INC. G A BR IELA D E L A O GÓMEZ..

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE

MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

"ANÁLISIS DEL FLUJO ELECTROMAGNÉTICO EN UN REACTOR

DE POTENCIA"

TESIS

Presentada como requisito parcial para obtener el grado académico de:

MAESTRA EN CIENCIAS

CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA ENERGÉTICA

POR:

Ing. Gabriela de la O Gómez

ANÁLISIS DEL FLUJO ELECTROMAGNÉTICO EN UN REACTOR

DE POTENCIA

Gabriela de la O Gómez

TESIS

Presentada como requisito parcial para obtener el grado académico de:

MAESTRA EN CIENCIAS

CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA ENERGÉTICA

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE

MONTERREY

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE

MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

D I V I S I Ó N D E I N G E N I E R Í A

P R O G R A M A D E G R A D U A D O S E N I N G E N I E R Í A

Los miembros del comité de tesis recomendamos que la presente tesis presentada por la

Ing. Gabriela de la O Gómez sea aceptada como requisito parcial para obtener el grado académico de:

MAESTRA EN CIENCIAS

CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA ENERGÉTICA

Comité de Tesis:

DEDICATORIA

A mis padres

AGRADECIMIENTOS

A mis padres, por ser el motor de mis logros, ya que sin ellos no habría llegado a

donde estoy. Por su apoyo incondicional.

A l Dr. Micheloud, por su guía, soporte y confianza a lo largo del desarrollo de este

proyecto.

A l Dr. Viramontes, por compartir su conocimiento y experiencia en esta

investigación.

A mis amigas, amigos y compañeros que me brindaron su apoyo incondicional, por

ANÁLISIS DEL FLUJO ELECTROMAGNÉTICO EN UN REACTOR DE

POTENCIA

Gabriela de la O G ó m ez

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 2011

Asesor: Dr. Osvaldo Micheloud Vernackt

RESUMEN

L a importancia de los reactores de potencia y la creciente preocupación por mejorar su

eficiencia, así como cumplir con estándares y normativas internacionales, ha incentivado el

estudio de los principios de diseño usando modernas herramientas de simulación, en la

búsqueda de una reducción de las pérdidas de potencia y ruidos magnetostrictivos. E l

presente estudio detecta y analiza las principales causas de concentraciones del flujo

electromagnético que causan vibraciones y pérdidas energéticas en los núcleos magnéticos.

Se focaliza el estudio en un núcleo magnético de un reactor hipotético y se analiza una serie

de modificaciones al diseño estructural, para finalmente, proponer un diseño que logra una

reducción importante de las pérdidas del equipo. L o s resultados se basan en simulaciones

Contenido

Dedicatoria i

Agradecimientos ü

Resumen iü

Contenido iv

Lista de Figuras v i

Lista de Tablas viii

1 Introducción 1

1.1 ¿Qué es un Reactor? 1 1.1.1 L a Necesidad de un Reactor en Derivación 1

1.1.2 Construcción de Reactores 2 1.2 Descripción del Problema 4

1.2.1 Objetivos 4 1.3 Organización de la Tesis 5

2 Vibraciones en Aparatos Eléctricos 7

2.1 Vibraciones en el Núcleo 10 2.1.1 Fuerzas Electromagnéticas 10 2.1.2 Fuerzas Magnetostrictivas 11 2.2 Vibraciones en las Bobinas 13

2.2.1 Fuerzas Electromagnéticas 17

3 Principios Magnéticos 23

3.1 Campo Magnético 24 3.1.1 Ley de Biot-Savart 24

3.1.2 Ley Circuital de Ampére 26 3.1.3 Flujo Magnético y Densidad de Flujo Magnético 27

3.2 Fuerza de Lorentz 28 3.2.1 Fuerza sobre una Carga en Movimiento 28

3.4 E l Circuito Magnético 34 3.5 Comportamiento Magnético de los Materiales Ferromagnéticos 37

3.5.1 Pérdidas de Energía en un Núcleo Ferromagnético 40

4 Análisis Numérico 47

4.1 Software F L U X 48 4.2 Descripción de las Simulaciones 48

4.2.1 Geometría 49

4.2.2 M a l l a de Elemento Finito 51 4.2.3 Características Físicas 52

4.2.4 Solver 53 4.2.5 Post Proceso 54

5 Resultados 57

5.1 Simulaciones 2D: Estudio Cualitativo 59

5.1.1 Ángulo Alpha 61 5.1.2 Espacio Extra 63

5.1.3 Distribuidor 64 5.1.4 Dona de Mayor Diámetro 65

5.2 Simulaciones 3D: Estudio Cuantitativo 67

5.2.1 Ángulo Alpha 68 5.2.2 Espacio Extra 69

5.2.3 Gap 70 5.3 Diseño Seleccionado 72

6 Conclusiones y Recomendaciones 74

6.1 Conclusiones 74 6.2 Trabajos Futuros 76

6.2.1 Aplicaciones y Herramientas del Software 76

Lista de Figuras

Fig. 1.1 Construcción en laminaciones de los elementos de un reactor 3

Fig. 1.2 Columna central de un reactor 3 Fig. 2.1 Comparación de Diseño de niveles de sonido, Diseño original vs. Diseño de

ruido reducido vs. Diseño blindado de ruido reducido 9 Fig. 2.2 Diseño del traslape de las juntas del transformador, a) Ensamble convencional

de traslape simple (SSL; N = l ) . b) Ensamble de traslape múltiple ( M S L ; N=4) 10

Fig. 2.3 Curvas de Magnetostricción 12 Fig. 2.4 Orientación espacial de la fuerza electromagnética 14

Fig. 2.5 Líneas de flujo magnético de fuga, patrón aproximado 15

Fig. 2.6 Tipos de núcleos de transformadores 15 Fig. 2.7 Sección transversal del núcleo con diagrama de fuerza magnetomotriz

(bobinas concéntricas) 16 Fig. 2.8 Estructura básica de un transformador monofásico shell-type (bobinas

apiladas) 16 Fig. 2.9 Fuerzas fundamentales en el transformador 18

Fig. 2.10 Diagrama de fuerzas magnetomotrices en un transformador de dos bobinas

concéntricas 19 Fig. 2.11 Diagrama de fuerzas magnetomotrices y fuerzas radiales locales 20

Fig. 2.12 Líneas de flujo de fuga en un transformador 21 Fig. 2.13: a) Patrón cualitativo de las líneas de campo magnético; b) fuerza axial por

unidad de longitud de las bobinas; c) compresión axial en las bobinas 22

Fig. 3.1 L e y de Biot-Savart 24 Fig. 3.2 (a) Filamento recto de longitud infinita con corriente directa I. (b) Líneas de

intensidad del campo magnético del filamento de (a) 26 Fig. 3.3 Trayectorias cerradas en un conductor 26

Fig. 3.4 Línea de transmisión coaxial 27 Fig. 3.5 Intensidad de campo magnético de la línea coaxial 27

Fig. 3.6 Elementos diferenciales de corriente 30 Fig. 3.7 Fuerza de repulsión entre dos filamentos infinitos y paralelos 31

Fig. 3.8 (a) Solenoide inductor de alambre, (b) Solenoide de alambre laminado.

(c) Solenoide de hoja de lámina 32 Fig. 3.9 (a) Inductancia de un inductor de lazo sencillo, (b) Inductancia en un

solenoide de JV vueltas 33 Fig. 3.10 Núcleo Magnético 34 Fig. 3.11 (a) Circuito eléctrico sencillo, (b) Circuito magnético análogo para el núcleo

Fig. 3.13 Dominios magnéticos: a) orientados al azar y b) alineados en presencia de un

campo magnético 38 Fig. 3.14 Curva de magnetización 0 vs. 2? 39

Fig. 3.15 (a) Curva de Magnetización B vs. H . (b) Relación de Permeabilidad

Relativa vs. H 40 Fig. 3.16 Corriente alterna 41

Fig. 3.17 Lazo de histéresis 41 Fig. 3.18 Pérdida de potencia por histéresis. (a) Energía absorbida durante la

magnetización, (b) Energía de retorno durante la desmagnetización 43

Fig. 4.1 Modelo 2D: Vi del Reactor 50 Fig. 4.2 Modelo 3D: '/« del Reactor 51 Fig. 4.3 Elementos de Análisis 52 Fig. 4.4 F L U X : Curva de Saturación 53 Fig. 4.5 Modos de Cálculo de Pérdidas Magnéticas 54

Fig. 5.1 Núcleo Magnético Isotrópico 57 Fig. 5.2 Núcleo Magnético Anisotrópico 57 Fig. 5.3 Densidad de Flujo: dona superior 58 Fig. 5.4 Densidad de Flujo: pierna derecha 58 Fig. 5.5 Densidad de Flujo: dona superior 58 Fig. 5.6 Densidad de Flujo: pierna derecha 58 Fig. 5.7 Vectores de Densidad de Flujo 60 Fig. 5.8 Líneas de Densidad de Flujo E Q U I F L U X para diferentes ángulos Alpha 61

Fig. 5.9 Gráfica de Densidad de Flujo vs. Posición en la juntura 62

Fig. 5.10 Trayectoria en la Juntura 62 Fig. 5.11 E Q U I F L U X con entrehierro Extra 63

Fig. 5.12 Distribución de flujo en el caso Extra 63 Fig. 5.13 E Q U I F L U X para el caso Distribuidor 64 Fig. 5.14 Líneas de Flujo en dona superior y yugo 64 Fig. 5.15 Densidad de Flujo con Distribuidor 65 Fig. 5.16 E Q U I F L U X para dona mayor 66 Fig. 5.17 Densidad de Flujo a lo largo del núcleo 66

Fig. 5.18 Trayectoria a lo largo del núcleo 66 Fig. 5.19 Inducción y Pérdidas vs. Alpha 68 Fig. 5.20 Inducción y Pérdidas vs. Espacio Extra 70

Fig. 5.21 Inducción y Pérdidas vs. Gap 71 Fig. 5.22 Perfil en 2 D del diseño seleccionado 72

Lista de Tablas

Tabla 2.1 Técnicas de manufactura para abatir el sonido en transformadores 8

Tabla 5.1 Resultados del escenario de solución: Alpha 68

Tabla 5.2 Resultados del escenario de solución: Extra 69

Tabla 5.3 Resultados del escenario de solución: Gap 71

1 Introducción

1.1 ¿Qué es un Reactor?

Los reactores, como los capacitores, son parte esencial de los sistemas de potencia de

transmisión y distribución. De a cuerdo a la función que desempeñen, estos pueden

conectarse a la red en serie o en paralelo (en derivación), de manera individual o en

conjunto con otros componentes, como capacitores de potencia. L o s reactores se utilizan

para proveer reactancia inductiva en los circuitos de potencia para una amplia gama de

propósitos.

1.1.1 La Necesidad de un Reactor en Derivación

E n los sistemas eléctricos, puede darse el caso de que bajo condiciones de poca o nula

carga en el extremo receptor de la línea de transmisión, el voltaje en ese extremo pueda

crecer de manera inapropiada. A este fenómeno se le conoce comozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Efecto Ferranti y es una

elevación de voltaje debido a la presencia de capacitancia en la línea. Las líneas de

transmisión, con una longitud mayor a 100 kilómetros, son susceptibles a padecer de este

efecto de elevación de voltaje. Las redes de distribución, bajo ciertas condiciones, también

U n reactor en derivación es un equipo eléctrico que sirve a modo de vertedero de potencia

reactiva [1]. L a potencia reactiva [ V A r ] , que es generada en exceso por la capacitancia de

la línea de transmisión, es absorbida por los reactores en derivación.

U n reactor en derivación tiene un requerimiento mínimo de potencia activa [W] para

funcionar. Este requerimiento se deriva de las pérdidas que se presentan de manera natural

en cualquier máquina eléctrica, pérdidas en el cobre de los devanados, pérdidas por efecto

Joule en el núcleo y pérdidas por histéresis en el núcleo.

Los parámetros eléctricos de un reactor y más detalles sobre su funcionamiento se pueden

consultar en la referencia [1]. A continuación se tomarán de esta misma referencia los

principios del diseño para su construcción, donde estos vienen ilustrados ampliamente,

mediante fotografías de la construcción de un reactor en la práctica.

1.1.2 Construcción de Reactores

E l reactor con núcleo de hierro sumergido en aceite se utiliza principalmente en sistemas de

transmisión en las líneas de E H V (Extra Alto Voltaje, por sus siglas en inglés). Su

construcción se centra en los siguientes principios de diseño:

• L o s devanados son conductores típicamente de solera de cobre o aluminio. Su

construcción es parecida a la de un transformador de potencia, con la excepción de

que el reactor sólo tiene un devanado por fase.

• E l núcleo de hierro está compuesto por un gran número de delgadas laminaciones,

Fig. 1.1, de algún material ferroso, típicamente acero al silicio y aisladas entre sí.

Esto para evitar corrientes parásitas que incrementarían las pérdidas.

• U n tanque que contiene toda la parte "viva" del reactor además del aceite

dieléctrico.

• E l aceite sirve como un medio aislante entre todas las partes del reactor, además de

que funciona como un mejor conductor de calor que el aire para mantener una

• E l entrehierro, sirve para dar linealidad al circuito magnético así como evitar la

saturación del núcleo. E l entrehierro típicamente se encuentra distribuido para

disminuir la dispersión del flujo presente en entrehierros de gran tamaño.

Núcleo con laminación paralela Núcleo con laminación radial

Fig. 1.1 Construcción en laminaciones de los elementos de un reactor

E n un reactor cada fase tiene un devanado único montado sobre un circuito magnético que

está provisto de entrehierros. L a columna central está formada por una serie de discos

separados por varios entrehierros. L a construcción básica de la columna central se muestra

en la F i g . 1.2. E n los espacios que existen entre cada una de las donas se colocan

separadores, típicamente cerámicos de alta densidad y gran resistencia a los esfuerzos de

compresión, para asegurar que las distancias calculadas sean efectivas durante la vida del

aparato. Estos separadores se encuentran adheridos a las donas mediante resinas plásticas

epóxicas de alta dureza.

Es importante también contar con un elemento que proporcione apriete a todo el ensamble,

de modo que mediante una gran fuerza de compresión, las piezas se sostengan en su lugar

sin importar las condiciones de vibración o las fuerzas de atracción que existan entre ellas.

Existen diferentes técnicas para logar esto, tales como pernos centrales o cinchos de acero

ajustados con gran tensión.

1.2 Descripción del Problema

U n a vez descritos los principios de diseño del reactor de potencia, se presenta la inquietud

de estudiar estos parámetros en busca de una reducción de las pérdidas de potencia y ruidos

magnetostrictivo del equipo. Para ello se estudia la relación entre la distribución del flujo

magnético y las fuerzas electromagnéticas que se generan. Conociendo el comportamiento

del flujo magnético ante cambios de geometría, se puede relacionar la inducción magnética

con las pérdidas de potencia en el núcleo. Comprendiendo la naturaleza de las fuerzas

electromagnéticas, se pueden identificar las causas de las vibraciones en los equipos.

1.2.1 Objetivos

E l presente estudio tiene como finalidad detectar y analizar las principales causas de

concentraciones de flujos que pueden causar vibraciones y pérdidas energéticas en los

aparatos eléctricos, tales como transformadores y reactores de potencia. Además, se busca

mejorar la eficiencia del equipo mediante la reducción de pérdidas magnéticas, esto a través

de la modificación del diseño estructural.

Los objetivos de la tesis son:

• Analizar la distribución del flujo magnético en el núcleo, relacionándolo con

variables geométricas. Se busca modificar el diseño estructural del reactor, a través

de un estudio analítico del efecto de variar los parámetros geométricos, mediante

• Mejorar la eficiencia del equipo, mediante:

o L a reducción de pérdidas de potencia eléctrica, al disminuir el número de

zonas con alto valor de inducción magnética,

o L a reducción de vibraciones de origen magnetostrictivo, por reducción de

valores máximos de inducción, al redistribuir la densidad de flujo magnético

en el núcleo.

1.3 Organización de la Tesis

Siguiendo la línea de los objetivos planteados, los capítulos de la tesis incluyen secciones

teóricas y de simulaciones. L a tesis se compone de 6 capítulos, incluido el presente de

Introducción. E n los capítulos 2 y 3 se presenta la teoría que fundamenta el estudio; en el

capítulo 4 se describe la metodología de análisis utilizada; en el capítulo 5 se reportan los

resultados obtenidos con ayuda del software F L U X y en el capítulo 6 se concluye y se

proponen temas para continuar la presente investigación.

A continuación se describe brevemente el contenido de los capítulos.

E l Capítulo 2, Vibraciones en Aparatos Eléctricos, es un estudio de la naturaleza de las

fuerzas electromagnéticas y su impacto en las diferentes secciones de los equipos

eléctricos, en el núcleo y las bobinas principalmente. Así también se analiza la relación de

estas fuerzas con las vibraciones que generan pérdidas por calentamiento y ruido audible.

Se demuestra la importancia de cuidar estos parámetros para ofrecer una mejor eficiencia

del equipo.

E l Capítulo 3, Principios Magnéticos, presenta los fundamentos teóricos del

electromagnetismo que rigen el comportamiento de los circuitos magnéticos. Se estudian

los materiales ferromagnéticos, para comprender su proceso de magnetización y la relación

de éste con las pérdidas de energía. También se presenta el origen de las pérdidas por

E l Capítulo 4, Análisis Numérico, introduce la importancia de la herramienta

computacional en el análisis de problemas complejos en la ingeniería, mediante el método

de elemento finito. Se presenta el software utilizado en el desarrollo de la tesis, el F L U X ,

así como los modelos analizados y sus respectivas condiciones de caracterización. Se

presenta la formulación teórica y las ecuaciones en las que se basa el software para el

cálculo de las pérdidas en el hierro.

E n el Capítulo 5, Resultados, se muestran las simulaciones obtenidas en 2D y 3 D , a través

de diversos escenarios de análisis, en los que se especifica el parámetro modificado. E l

estudio en 2 D es de tipo cualitativo y facilita la visualización del flujo magnético a través

del núcleo. E n el análisis en 3D se logran calcular las pérdidas y utilizar este parámetro

para seleccionar un nuevo diseño del núcleo del reactor.

Finalmente, el Capítulo 6, Conclusiones y Recomendaciones, cierra el estudio presentando

las principales conclusiones a las que se llegaron al finalizar el análisis de las simulaciones

y el procesamiento de los datos calculados. Se dan algunas recomendaciones para futuros

2 Vibraciones en Aparatos Eléctricos

E n los transformadores las principales fuentes de vibraciones, y por consiguiente de ruido,

son el núcleo, las bobinas y el equipo de enfriamiento. L a fuente predominante es el núcleo

cuyas vibraciones se deben a fuerzas magnéticas y magnetostrictivas. Las vibraciones en

las bobinas también tienen una influencia significativa, estas vibraciones se deben a las

fuerzas electromagnéticas [2]. Las vibraciones del núcleo y las bobinas emiten sonido en un

rango medio de frecuencias (entre 100 H z y 600 Hz) mientras que las vibraciones

generadas por el equipo de enfriamiento (ventiladores y bombas) dominan las muy bajas y

muy altas frecuencias del espectro de sonido [3].

E l estándar [3] de la I E E E presenta una clasificación de las técnicas de manufactura para el

control del sonido, sus principios de operación, ventajas, desventajas y el rango de

reducción que puede alcanzarse al aplicarlas. L a Tabla 2.1 muestra un extracto de esta

clasificación, donde se hace énfasis a la importancia de atacar las fuerzas magnetostrictivas,

ya que su impacto en la reducción del sonido puede llegar a ser de hasta 15 dB(A).

E l nivel de ruido se mide comúnmente en decibeles (dB) comparando la presión generada

por una fuente de ruido con respecto a un estándar. E l nivel de ruido de los equipos se mide

en la escala ' A ' la cual se apega a la sensibilidad del oído humano. E l rango de frecuencia

audible abarca de los 16 H z a los 16 k H z . E l oído humano es muy sensible a sonidos de

Tabla 2.1 Técnicas de manufactura para abatir el sonido en transformadores [3]

Técnica de Control de

Sonido

Principio de

Operación Ventajas Desventajas

Rango alcanzable de reducción de sonido en dB(A) Inducción reducida Magnetostricción reducida

- Amplio rango de reducción de sonido, el costo se compensa con las pérdidas sin carga.

- Incremento de tamaño y peso - E l costo puede

incrementarse por las pérdidas con carga

1 - 1 5

Amortiguadores elásticos

Transmisor ineficiente de sonido

- Efectiva - Compatibilidad de

materiales 8 - 1 5

Resonancia del núcleo y/o el

tanque

Características de diseño pueden resultar en resonancia

- Reducción de sonido si se hace una corrección de resonancia efectiva

- Dificultad para reducir niveles generales de sonido - Leve incremento

del costo

2 - 1 0

Tanques de doble pared con

paneles

Contiene la radiación del sonido de los lados y lo alto del tanque

- Efectiva - Dificulta el

mantenimiento del transformador, especialmente fugas de aceite

6 - 1 0

Tanques de doble pared sin

paneles

Contiene la radiación del sonido de los lados y lo alto del tanque

- Moderadamente efectiva

- Dificulta el mantenimiento del transformador, especialmente

fugas de aceite 5 - 8

Alta permeabilidad

de núcleo de hierro de grano

orientado

Magnetostricción reducida

- Reducción de pérdidas en el núcleo, el costo se compensa con las pérdidas sin carga

- Leve incremento en el costo al comparar hierro de alta y baja

orientación de grano

2 - 7

E n los reactores la principal fuente de sonido se relaciona con las fuerzas

electromagnéticas. Para los reactores de núcleo al aire el sonido proviene de las vibraciones

de las bobinas al pasar corriente por ellas y su interacción con el campo magnético global

del reactor. Para los reactores con núcleo inmerso en aceite, las vibraciones se deben, en

primer lugar, a un efecto magnético de atracción en los entrehierros y en segundo lugar, a

reactor [4]. E l flujo de fuga produce fuerzas en las componentes estructurales del reactor,

creando vibraciones y por lo tanto ruido, la frecuencia de este sonido es normalmente del

doble de la frecuencia de operación [3].

L a F i g . 2.1 muestra tres curvas de nivel de sonido en función de la frecuencia de la

corriente de un reactor filtro de armónicas. L a primera curva, en orden descendente,

corresponde al diseño original del filtro. L a segunda curva presenta las características de

sonido del reactor rediseñado para evitar la resonancia mecánica. L a tercera curva muestra

el efecto de la reducción de ruido debido a los paneles del blindaje.

Fig. 2.1 Comparación de Diseño de niveles de sonido, Diseño original vs. Diseño de ruido reducido vs. Diseño

blindado de ruido reducido. [4]

Las regiones donde las vibraciones tienen un mayor impacto son el núcleo y las bobinas,

por lo que se usa esta clasificación para estudiar las fuerzas que causan dichas vibraciones.

Se define el origen de las fuerzas electromagnéticas y magnetostrictivas con sus respectivas

2.1 Vibraciones en el Núcleo

E l núcleo vibra debido a fuerzas electromagnéticas y magnetostrictivas [2]. A continuación

se analizan estas fuerzas.

2.1.1 Fuerzas Electromagnéticas

Las fuerzas electromagnéticas aparecen en los espacios no magnéticos del circuito

magnético, como son las juntas discontinuas de las esquinas de la estructura del núcleo. L a

fuerza por unidad de área,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA o, de la sección transversal al flujo, se expresa mediante:

Fig. 2.2 Diseño del traslape de las juntas del transformador, a) Ensamble convencional de traslape simple (SSL;

N=l). b) Ensamble de traslape múltiple (MSL; N=4).

Estas fuerzas magnéticas dependen del tipo de traslape entre la pierna y el yugo, siendo

mayores cuando no hay traslape, es decir, cuando existe un espacio uniforme de aire en la donde,

Bm = Densidad de flujo en el espacio entre el yugo y la pierna.

Bmp = Valor pico de la densidad de flujo en el espacio entre el yugo y la pierna.

jU0 = Permeabilidad del espacio libre

junta. Las fuerzas son menores para un traslape de 90°, con una mayor reducción para un

traslape de 45°, esto se debe a la reducción de la densidad de flujo en la región de traslape

de las juntas. E n la F i g . 2.2 se observan dos diseños de juntas, de traslape simple y de

traslape múltiple, el valor de N indica el número de traslapes, el traslape múltiple mostrado

es paraN=4 [5].

2.1.2 Fuerzas Magnetostrictivas

E l fenómeno de la magnetostricción se refiere a los cambios de forma de un material

ferromagnético debido a la presencia de flujos magnéticos, por ejemplo cuando una tira de

acero se magnetiza, su longitud cambia ligeramente. Para las densidades existentes en un

transformador de potencia la cantidad de magnetostricción es sólo de cerca de 60 u por

metro de longitud. E n un transformador de 60 H z , este cambio ocurre 120 veces por

segundo. Dado que la magnetostricción no es lineal con respecto a la densidad de flujo,

como se observa en la F i g . 2.3, también hay armónicas de 120 H z presentes en el ruido. S i

alguna parte del transformador entra en resonancia con alguna armónica, el ruido se puede

amplificar cientos de veces [6].

L a magnetostricción se caracteriza mediante el coeficiente de magnetostricción s,

B = Valor instantáneo de la densidad de flujo

Kv = Coeficiente que depende del nivel de magnetización, el tipo de laminación del

material y su tratamiento.

E l coeficiente Kv usualmente decrece con el aumento del subíndice v.

donde / y A / son las longitudes de la hoja laminada y su cambio, respectivamente. E l

coeficiente depende del valor instantáneo de la densidad de flujo de acuerdo a la siguiente

L a fuerza de magnetostricción está dada por:

F = eit)EA (2.4)

donde E es el módulo de elasticidad en la dirección de la fuerza y A es el área de la sección

transversal de la hoja laminada. Las ecuaciones (2.3) y (2.4) indican que las fuerzas

magnetostrictivas son función del tiempo. E n [2] y [6] coinciden en que estas fuerzas

contienen las armónicas pares de la frecuencia (120, 240, 360 Hz), para 60 H z de

frecuencia de operación. Entonces, el ruido también contiene todas las armónicas de 120

H z . L a amplitud de la vibración del núcleo y el ruido se multiplica si la frecuencia natural

mecánica del núcleo está cerca de los 120 H z .

L a F i g . 2.3 muestra curvas típicas de magnetostricción, para excitación en C D y C A . L a

relación entre el cambio en la dimensión y la densidad de flujo no es lineal. E l valor del

coeficiente puede ser positivo o negativo dependiendo del tipo de material magnético y sus

tratamientos mecánicos y térmicos. L a magnetostricción generalmente es positiva, es decir,

la longitud aumenta algunas mieras con el incremento en la densidad de flujo, para el

material C R G O (Cold-Rolled Grain Oriented silicon steel) con temperaturas de templado

por debajo de los 800°C y si la temperatura se incrementa, el coeficiente puede ser

desplazado a valores negativos. E l estrés mecánico puede cambiarlo a valores positivos. L a

magnetostricción es mínima a lo largo de la dirección de rolado y máxima en la dirección

L a mayor parte del ruido proviene principalmente del yugo porque el ruido de la pierna se

amortigua con el devanado alrededor de esta. L a calidad de la sujeción del yugo tiene una

influencia significativa en el nivel de ruido. Otros factores que influyen en el nivel de ruido

son: la densidad de flujo en las piernas, el tipo de material del núcleo, centro de la pierna (la

distancia entre los centros de dos fases adyacentes), el peso del núcleo, la frecuencia, etc. A

mayor densidad de flujo, centros de las piernas, peso del núcleo y frecuencia de operación,

mayor es el nivel de ruido [2].

E n un reactor en derivación de núcleo espaciado, la vibración es tan alta como la del

transformador debido a las fuerzas entre cada dos paquetes magnéticos (secciones: donas)

separados por un espacio no magnético de algunas decenas de milímetros. E l campo

magnético crea fuerzas pulsantes a través de estos espacios de aire, las cuales pueden

calcularse con la ecuación (2.1). Por lo tanto, los núcleos de los reactores se diseñan como

estructuras rígidas para eliminar las vibraciones excesivas.

Los espacios no magnéticos se crean y son soportados mediante la colocación de material

no magnético, por ejemplo bloques cerámicos, de alto módulo de elasticidad. L a estabilidad

dimensional y el ajuste del núcleo se aseguran con un impregnado de epoxy y una capa de

fibra de vidrio de 2 a 3 m m entre el último paquete de la pierna y el yugo inferior y

superior. E l material se endurece después de ser calentado en la etapa de procesamiento y

une el yugo con el paquete de la pierna. Se debe tener cuidado con la frecuencia

fundamental natural mecánica de vibración de la estructura del núcleo del reactor, que sea

mayor y esté suficientemente alejada de el doble de la frecuencia de potencia, para evitar

entrar en resonancia.

2.2 Vibraciones en las Bobinas

Las vibraciones de las bobinas se originan al pasar corriente por ellas, debido a las fuerzas

L a fuerza electromagnética originada sobre un conductor que lleva corriente y se encuentra

dentro de un campo magnético se rige por la siguiente expresión:

(2.5) donde,

B = Densidad de flujo [T]

/ = Intensidad de corriente [A]

l = Longitud del elemento de corriente [m]

a = Ángulo entre los vectores de densidad de flujo y el elemento de corriente

L a dirección de la fuerza es perpendicular al plano que contiene los dos vectores y su

orientación se determina de acuerdo a la regla de la mano derecha, las direcciones de estos

vectores se muestran en la Fig. 2.4 [7].

E n un transformador, las fuerzas electromagnéticas que actúan sobre las bobinas se

producen por la combinación de la corriente que fluye por ellas y el flujo magnético de

fuga. E l flujo de fuga es aquel que sale del núcleo ferromagnético y atraviesa la bobina,

interactuando con la corriente que lleva la bobina. Los patrones aproximados de las líneas

de flujo magnético se representan en la Fig. 2.5.

Fig. 2.5 Líneas de flujo magnético de fuga, patrón aproximado

a) bobinas concéntricas; b) bobinas apiladas

Hay dos diseños principales de transformadores de potencia: core-type, Fig. 2.6(a), su

característica principal es que las piernas del núcleo están rodeadas por las bobinas y la

estructura la completa el yugo; y shell-type, Fig. 2.6(b), cuya característica es que la

bobina, al hacer un corte transversal, está rodeada por las piernas y el yugo, ésta

configuración permite tener bobinas circulares concéntricas ó bobinas apiladas.

a) b)

Fig. 2.6 Tipos de núcleos de transformadores

Fig. 2.7 Sección transversal del núcleo con diagrama de fuerza magnetomotriz (bobinas concéntricas)

Fig. 2.8 Estructura básica de un transformador monofásico shell-type (bobinas apiladas)

Los patrones de campo dependen de la geometría del transformador, especialmente del

núcleo y las bobinas y de la permeabilidad relativa de los materiales. L a densidad del flujo

magnético depende de la reluctancia magnética de la trayectoria de aire y es proporcional a

la fuerza magnetomotriz,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA N • I, producida por las bobinas.

2.2.1 Fuerzas Electromagnéticas

Las fuerzas electromagnéticas son unidireccionales y de tipo pulsante debido a su

dependencia del cuadrado de la corriente. E n el caso de corrientes puramente sinusoidales,

las fuerzas consisten de una componente constante y una componente alternante del doble

de la frecuencia.

E n términos de la corriente sinusoidal, la fuerza electromagnética puede expresarse por la

siguiente ecuación [7]:

L a fuerza consiste en cuatro componentes:

• Dos componentes unidireccionales, una constante y otra decreciente con el tiempo

• Dos componentes alternantes, una de frecuencia fundamental decreciente con el

tiempo y otra del doble de la frecuencia con una amplitud pequeña pero constante.

L a F i g . 2.9 muestra el patrón de las fuerzas en diferentes lugares de la bobina para ambos

tipos de transformadores. L a dirección de la corriente es perpendicular al plano del papel.

E n cada punto, los vectores de inducción magnética y la fuerza resultante son

perpendiculares entre si y caen en el mismo plano.

E n [7], con base en la Fig. 2.9, se remarca lo siguiente:

• Las fuerzas electromagnéticas son repulsivas entre pares de bobinas que llevan

corriente en direcciones opuestas.

• E n los transformadores shell-type con bobinas apiladas, las fuerzas actúan

mayormente de forma perpendicular a la superficie de la bobina.

• A l final de las bobinas, donde las líneas de flujo se doblan, las fuerzas muestran

componentes significativas que están orientadas axialmente en las unidades con

bobinas concéntricas y de manera paralela a la superficie de la bobina en las

unidades con bobinas apiladas. Ambas tienden a comprimir la bobina y a reducir su

longitud axial.

• Las fuerzas son tales que tienden a separar las bobinas con fuerzas magnetomotrices

opuestas, causando un incremento en la impedancia y una reducción en la energía

magnética asociada al flujo.

Fig. 2.9 Fuerzas fundamentales en el transformador

a) transformador con bobinas concéntricas; b) transformador con bobinas apiladas

2.2.1.1 Fuerzas electromagnéticas radiales

Las fuerzas en dirección radial aparecen debido a que las líneas de flujo se presentan

mayormente en dirección axial. E n la referencia [7] se desarrolla la naturaleza de estas

fuerzas, usando como base un arreglo de un transformador de dos bobinas, para el cual el

diagrama de las fuerzas magnetomotrices es de forma trapezoidal como se muestra en la

(2.7)

donde

1.256 x 1 0- 6 _{= Permeabilidad del aire [ H / m ]}

N = N ú m e r o de vueltas eléctricas de la bobina

/ = Valor rms de la corriente en la bobina [A]

Hw = Longitud geométrica promedio de las bobinas [mm]

V2 = Factor de conversión de valor pico a r.m.s de la onda sinusoidal

Las fuerzas presentes en las bobinas se distribuyen de manera que son mayores en un

extremo y van disminuyendo linealmente hasta cero en el otro extremo, radialmente

opuesto. Como se observa en la Fig. 2.10, la distribución de la fuerza va de menor a mayor

desde el extremo interior hacia el extremo opuesto de la bobina 1. E n la bobina 2 se da el

mismo comportamiento pero en sentido contrario ya que la corriente fluye en dirección

opuesta a la bobina 1.

Fig. 2.10 Diagrama de fuerzas magnetomotrices en un transformador de dos bobinas concéntricas.

E l patrón de las fuerzas es tal que cierta cantidad de fuerza se transfiere de los conductores

m á s cargados a los menos cargados y se logra una distribución de las cargas siempre que similar, el valor máximo del vector se alcanza en el ducto principal ' D ' y su valor

L a fuerza radial,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Frad, apunta hacia afuera en la bobina exterior y hacia adentro en la

bobina interior. E n la F i g . 2.11 se muestra la relación entre el diagrama de la fuerza

magnetomotriz y la fuerza radial, considerando la dirección de la corriente en las bobinas.

Las flechas del diagrama inferior indica la dirección de las fuerzas radiales en las diferentes

secciones de las bobinas.

Fig. 2.11 Diagrama de fuerzas magnetomotrices y fuerzas radiales locales.

E n los transformadores las fuerzas radiales ejercidas en las bobinas pueden ser de algunas

decenas de MegaNewtons ( M N ) .

los conductores se enrollen fuertemente. Entonces, es posible hablar de una fuerza

DromediozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D o r unidad de loneitud:

en la cual Ic es la corriente del conductor [A, rms].

Si se desprecia la reducción del flujo axial en los extremos de las bobinas, la fuerza radial

2.2.1.2 Fuerzas electromagnéticas axiales

Las fuerzas axiales aparecen como consecuencia de la inclinación radial de las líneas de

flujo magnético de fuga que ocurre en los extremos de un par de bobinas, como puede

observarse en la F i g . 2.12. Las bobinas que tienen la misma altura, una distribución

uniforme de fuerza magnetomotriz y que están alineadas radialmente, están sometidas a

fuerzas axiales principalmente dirigidas hacia afuera en los extremos de las bobinas y hacia

adentro en medio del embobinado. C o n este arreglo, la bobina interna (normalmente de

bajo voltaje) tiene mayor fuerza axial, obedeciendo a la mayor cantidad de flujo que

encierra comparada con la bobina exterior [7].

Fig. 2.12 Líneas de flujo de fuga en un transformador

Aproximadamente, la fuerza total de compresión del par de bobinas de la misma longitud

se toma como 60%-70% para la bobina interior y 40%-30% para la bobina exterior,

dependiendo de diversos parámetros geométricos.

L a mayor compresión ocurre en la parte media de cada bobina, donde se acumula el efecto

de las fuerzas en los extremos de las bobinas. L a Fig. 2.13 muestra de manera cualitativa: a)

el patrón de las líneas de campo magnético; b) la distribución de la fuerza axial por unidad

de longitud de las bobinas 1 y 2; c) la distribución de la compresión axial en cada bobina y

Fig. 2.13: a) Patrón cualitativo de las líneas de campo magnético; b) fuerza axial por unidad de longitud de las

bobinas; c) compresión axial en las bobinas.

Fu a x = fuerza axial por unidad de longitud = fuerza axial acumulada

E n un transformador trifásico, las bobinas de piernas adyacentes se influencian entre sí

debido al flujo de fuga. Esto da como resultado, que la pierna media esté sujeta a mayores

fuerzas axiales, la amplitud de la fuerza también varía a lo largo de la circunferencia de la

3 Principios Magnéticos

Para lograr un mejor entendimiento del origen de las fuerzas presentadas en el capítulo

anterior, es necesario ahondar en los principios magnéticos por los que se originan. E n este

capítulo se presentan los fundamentos con las leyes de Biot-Savart y Ampére, así como las

cantidades que definen el campo magnético, para posteriormente mostrar las fuerzas que

resultan de su interacción con los elementos de corriente.

Es importante conocer el comportamiento de los materiales magnéticos, principalmente el

proceso de magnetización y la definición de la permeabilidad, ya que estas características

son clave para comprender la distribución de los flujos magnéticos en los materiales que se

utilizan en la fabricación de los transformadores y reactores. E l circuito magnético es el

modelo utilizado para el estudio de los flujos en los núcleos de los equipos, la teoría se basa

en analogías con los principios eléctricos.

U n a vez estudiados los conceptos magnéticos, se presentan los cálculos de la energía que

almacena un inductor. Posteriormente, se explica el flujo de energía entre una fuente de

excitación externa sinusoidal y las bobinas del núcleo, para identificar las pérdidas de

energía. Entonces, se describen los mecanismos que causan las pérdidas de energía en los

3.1 Campo Magnético

L a fuente de un campo magnético estable puede ser un imán permanente, un campo

eléctrico que cambia linealmente con el tiempo, o una corriente directa [9]. Para introducir

las definiciones se considerará el campo producido por un elemento diferencial de corriente

directa en el espacio libre.

3.1.1 Ley de Biot-Savart

Dada la configuración de la Fig. 3.1, donde se tiene un filamento conductor, en el espacio

libre, que lleva una corrientezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA lí y el punto de interés P a una distancia R12, se considera un

elemento diferencial de longitud por el que fluye la corriente para definir la ley de

Biot-Savart. Esta establece que la magnitud de la intensidad de campo magnético producido en

el punto P por el elemento diferencial es proporcional al producto de la corriente, la

magnitud del diferencial de longitud y el seno del ángulo formado entre el filamento y la

línea que lo conecta con el punto P [9]. L o que en notación vectorial corresponde al

producto cruz entre el diferencial de longitud dL y el vectorzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA aR 1 2 cuya magnitud

corresponde a la distancia entre los puntos 1 y 2 marcados en la Fig. 3.1.

L a magnitud de la intensidad de campo magnético es inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia entre el elemento diferencial y el punto P. L a dirección de la

intensidad de campo magnético es normal al plano que contiene el filamento diferencial y

proporcionalidad en unidades mks eszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA l/4n. De manera general y usando la notación

vectorial, la ley de Biot-Savart se representa con la siguiente expresión [9]:

(3.1)

dondezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA H = Intensidad de campo magnético [ A / m ]

/ = Corriente [A]

R = Distancia entre el filamento y el punto de interés [m]

aR = Vector de magnitud R con dirección hacia el punto de interés

De manera experimental no se puede aislar un filamento de corriente, ya que esta fluye por

trayectorias cerradas. Por lo que se recurre a la ecuación (3.2) que presenta la forma

integral de la ley de Biot-Savart. L a deducción de la ecuación se puede revisar en la

referencia [9].

(3.2)

L a ley de Biot-Savart también puede expresarse en términos de fuentes distribuidas,

densidad de corrientezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J y densidad superficial de corriente K, cambiando el diferencial IdL

por su equivalente de la ecuación (3.3) y obteniendo entonces las formas alternas de la

ecuación, mostradas en las ecuaciones (3.4) y (3.5).

I dL = KdS = ]dv (3.3)

K x aRdS

Para ejemplificar la intensidad de campo magnético de manera gráfica, se utilizan los

resultados obtenidos en [9], para un filamento que se supone de longitud infinita, el cual

lleva una corriente directa I, como se muestra en la F i g . 3.2(a). L a intensidad de campo

magnético en el punto 2 está dada por la ecuación (3.6), tiene dirección radial, por lo que (3-3)

(3.4)

las líneas de intensidad de campo magnético son circunferencias alrededor del filamento

como lo muestra la Fig. 3.2(b).

(3.6)

Fig. 3.2 (a) Filamento recto de longitud infinita con corriente directa I. (b) Líneas de intensidad del campo

magnético del filamento de (a).

Fig. 3.3 Trayectorias cerradas en un conductor

donde p es el radio en el que se quiere obtener la intensidad de campo magnético.

3.1.2 Ley Circuital de Ampére

L a ley de Ampére facilita la aplicación de la ley de Biot-Savart haciendo uso de las

simetrías presentes en las diversas configuraciones que se analizan. L a ley circuital de

Ampére establece que la integral de línea de H sobre cualquier trayectoria cerrada es

exactamente igual a la corriente encerrada por dicha trayectoria [9].

(3.7)

L a Fig. 3.3 muestra diferentes trayectorias que encierran a un conductor, para los casos a y

b la evaluación de la integral de línea dará la corriente total encerrada /. E n el caso de la

trayectoria c, el resultado será menor azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I, ya que la trayectoria no encierra por completo al

Una aplicación interesante y representativa de la ley de Ampére es el análisis de una línea

de transmisión coaxial. Se supone una línea de longitud infinita que lleva una corriente total

/ uniformemente distribuida en el conductor central yzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA -I en el conductor exterior, como lo

muestra la F i g . 3.4. E l desarrollo del análisis puede consultarse en la referencia [9], se

tomarán los resultados de las diferentes zonas para mostrar el resultado gráfico de la

intensidad de campo, las ecuaciones de la (3.8) a la (3.11) corresponden a la intensidad de

campo magnético en cada región de la línea coaxial. Es importante remarcar la continuidad

de la intensidad de campo, este no cambia bruscamente al pasar de una región a otra, como

puede observarse en el gráfico de la Fig. 3.5, donde bzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=3a, c=4a.

3.1.3 Flujo Magnético y Densidad de Flujo Magnético

E n el espacio libre, la densidad de flujo magnéticozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA B se define como:

donde B = Densidad de flujo magnético [ W b / m2_{] ó [T]}

H0 = 4TT x 1 0 ~

7 _{[ H / m ] : Permeabilidad del espacio libre}

H = Intensidad de campo magnético [ A / m ]

3.2 Fuerza de Lorentz

E l campo eléctrico ejerce una fuerza sobre una carga estacionaria o en movimiento, el

campo magnético estable es capaz de ejercer una fuerza sólo sobre una carga en

movimiento [9].

3.2.1 Fuerza sobre una Carga en Movimiento

L a fuerza que ejerce un campo eléctrico sobre una partícula cargada es proporcional al

producto de la carga de la partícula y la magnitud del campo eléctrico, la dirección la define

la dirección del campo eléctrico, considerando una carga positiva.

E l flujo magnético O se define como la densidad de flujo que atraviesa alguna superficie:

(3.13)

Aplicando estos conceptos al ejemplo descrito en la sección 3.1.2, de la línea de

transmisión coaxial, se calcula el flujo entre los conductores de la línea de la F i g . 3.4. L a

intensidad de campo magnético entre los conductores está dada por la ecuación (3.8),

entonces:

E l flujo magnético contenido entre los conductores en una distanciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d es la densidad de

flujo que atraviesa cualquier plano radial que se extiende d e p = a a p = b y d e z = O a

z = d .

(3.14)

(3.15)

Por otro lado, si la partícula cargada y en movimiento se encuentra en un campo magnético

Q,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA las magnitudes de la velocidadzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA v y la densidad de flujozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA B, y al seno del ángulo entre

estos dos vectores. L a dirección del vector fuerza es perpendicular al plano formado por v y

B, de acuerdo al producto v x B. Entonces, la fuerza debido al campo magnético se expresa

mediante:

3.2.1.1 Fuerza en Elementos Diferenciales de Corriente

Para el estudio de las diferentes configuraciones bajo análisis se recurre a la notación

diferencial de las ecuaciones, la fuerza diferencial debida al campo magnético de la

ecuación (3.16) se expresa entonces como:

E l elemento diferencial de carga se puede expresar en términos de la densidad de carga

volumétrica, como se muestra en la ecuación (3.19). L a relación entre la densidad de carga

y la velocidad corresponden a la expresión de la densidad de corriente, ecuación (3.20), por

lo que el diferencial de fuerza resulta en las ecuaciones (3.21), (3.22) y (3.23) para los

diferentes elementos diferenciales de corriente (ecuación (3.3)), para una densidad de carga

volumétrica, una densidad de carga superficial y un diferencial de filamento de corriente,

respectivamente.

(3.16)

L a combinación de las ecuaciones (3.15) y (3.16) da origen a la ecuación de la fuerza de

Lorentz, ecuación (3.17), y es la fuerza sobre una partícula cargada en movimiento en

respuesta a los campos eléctricos y magnéticos que ésta experimenta.

(3.17)

L a fuerza total resulta de la integración de los diferenciales sobre un volumen, superficie o

a lo largo de un filamento, obteniendo las ecuaciones (3.24), (3.25) y (3.26).

E n el caso de un conductor recto en un campo magnético uniforme la expresión se reduce a

la ecuación (3.27). L a magnitud de la fuerza está dada por la ecuación (3.28), donde el

ángulo es el formado entre los vectores de la dirección de la corriente y la dirección de la

densidad de flujo magnético.

E n [9] se realiza el análisis de las fuerzas presentes entre dos elementos de corriente, con la

configuración mostrada en la Fig. 3.6. L a intensidad del campo magnético en el punto 2

debido al elemento de corriente en el punto 1, de acuerdo a la definición dada en la

ecuación (3.1), es

Para e\ caso de dos conductores filamentarios rectos paralelos y supuestos de longitud

infinita, con una separaciónzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d entre ellos y que conducen corrientes iguales pero opuestas /,

la fuerza resultante es de repulsión [9], como se muestra en la Fig. 3.7, y su magnitud por

unidad de longitud es

3.3 Inductancia y Energía

Así como los capacitores, en la teoría eléctrica, almacenan energía eléctrica, los solenoides

o inductores almacenan energía magnética [10]. Para calcular la energía almacenada, se

relaciona la intensidad de campo magnético en el solenoide con la densidad de corriente y

está con la densidad de flujo magnético para obtener la definición de la inductancia.

Posteriormente se presenta la ecuación de la energía total y la densidad de energía, esto

siguiendo el procedimiento dado en la referencia [10].

y como dB2 = ix0dü2, entonces la fuerza entre los dos elementos diferenciales de corriente

es:

L a fuerza total entre los dos elementos se obtiene al integrar la expresión de la ecuación

Fig. 3.8 (a) Solenoide inductor de alambre, (b) Solenoide de alambre laminado, (c) Solenoide de hoja de lámina.

L a intensidad de campo magnético H dentro del solenoide de la Fig. 3.8(a) está dado por la

ecuación (3.32), la cual relaciona el número de vueltas del alambrezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA N, la corrientezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I y la

longitud del solenoide L.

(3.32)

S i la bobina involucra alambre laminado, como en la Fig. 3.8(b), esto equivale a que la

bobina estuviera formada por una hoja de lámina, como la mostrada en la F i g . 3.8(c), cuya

densidad de corriente es,

(3.33)

(3.34)

por lo que, la intensidad de campo magnético dentro del solenoide se puede escribir como

(3.35)

y la densidad de flujo magnético, para el aire, queda como

(3.36)

L a inductancia £de un inductor de lazo sencillo, mostrado en la F i g . 3.9(a), es igual a la

razón entre el flujo magnético <t> que atraviesa el lazo y la corriente / que lleva [10].

(3.37)

Para el solenoide de N vueltas de la Fig. 3.9(b) la inductancia es N veces la razón de la

(3.38)

donde, O = Densidad de flujo magnético, flujo de enlace de una vuelta en [ W b / m2_{] ó [T]}

A =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA BAN = Flujo total de enlace en el solenoide [ W b / m2_{] ó [T]}

Fig. 3.9 (a) Inductancia de un inductor de lazo sencillo, (b) Inductancia en un solenoide de /V vueltas

Relacionando la ecuación (3.36) con la (3.38), la inductancia del solenoide resulta en la

ecuación (3.39), donde se puede observar su relación con parámetros geométricos, el área

A, la longitud L y el número de vueltas N y el medio \i. L a fórmula supone que la longitud

del solenoide es mucho mayor que su diámetro.

(3.39)

E l diferencial de energía que almacena el inductor es:

(3.40)

donde F e s el voltaje en las terminales del inductor, e / es la corriente a través del inductor.

E n la teoría de circuitos, estas variables se relacionan mediante la inductancia de la

siguiente manera:

(3.41)

Entonces, la energía total se obtiene como se muestra a continuación,

(3.42)

donde AL corresponde al volumen del solenoide en m3_{. Dividiendo entre el volumen, se}

obtiene la densidad de energía del solenoide,

(3.43)

3.4 El Circuito Magnético

E n [11] se aplica la teoría previamente descrita a un núcleo magnético con un devanado de zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

N vueltas de alambre enrollado sobre una rama del núcleo, Fig. 3.10, para obtener el flujo

total producido por la corriente i del devanado. Para esto, se calcula primero la intensidad

del campo magnético, se considera que casi todo el campo magnético permanecerá dentro

del núcleo debido a su permeabilidad (característica magnética que se estudiarán en la

siguiente sección), el camino de integración para aplicar la ley de Ampére, ecuación (3.7),

corresponde a la longitud media del núcleo lc. L a corriente que pasa por el camino de

integración equivale a Ni, ya que la bobina de alambre pasa JV veces por el camino llevando

la corriente i. Entonces Hlc = Ni y despejando para H,

Fig. 3.10 Núcleo Magnético

Para simplificar el proceso de diseño de máquinas y transformadores eléctricos, se utiliza el

modelo de circuito magnético del comportamiento magnético [11]. Para definir el circuito

magnético se utilizan analogías con los conceptos de un circuito eléctrico, el flujo, recién E n segundo lugar, se plantea la relación entre la densidad de flujo magnético y la

intensidad,

Y finalmente el flujo total en el núcleo es,

donde A corresponde al área de la sección transversal del núcleo.

(3.44)

(3.45)

calculado, producido por la corriente en la bobina enrollada al núcleo se compara con el

voltaje que produce un flujo de corriente en el circuito eléctrico. Por lo tanto, las

ecuaciones que rigen a los circuitos magnéticos son similares a aquellas de los circuitos

eléctricos.

L a ley de O h m en los circuitos eléctricos, como los de la F i g . 3.11, relaciona a la fuente de

voltaje o fuerza electromotriz con la corriente / que genera y pasa a través de la resistencia zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

R.

a) «

Fig. 3.11 (a) Circuito eléctrico sencillo, (b) Circuito magnético análogo para el núcleo del transformador.

E n un circuito eléctrico el voltaje provoca un flujo de corriente /, así como, en un circuito

magnético la fuerza magnetomotriz provoca un flujozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4>. L a relación eléctrica está dada por

la ecuación (3.47), la ley de Ohm, mientras que la relación magnética se muestra en la

ecuación (3.49).

(3.47) L a analogía en el circuito magnético para el voltaje, es la fuerza magnetomotriz (mmf), la

cual es igual al flujo efectivo de corriente, aplicado al núcleo se tiene la siguiente relación:

donde g es la fuerza magnetomotriz con unidades de Ampere-vuelta. L a fuerza

magnetomotriz también tiene una polaridad asociada, la terminal positiva de la fuente m m f

es la terminal por donde sale el flujo y la terminal negativa es por donde el flujo retorna a la

fuente.

(3.48)

(3.49)

donde % = Fuerza magnetomotriz del circuito

0 = Flujo magnético del circuito

L a reluctancia es en un circuito magnético como la resistencia en un circuito eléctrico, se

mide en Amperes-vuelta por Weber [11]. L a reluctancia del núcleo de la Fig. 3.10 se puede

calcular ya que se conoce el flujo que lleva, dado por la ecuación (3.46). Comparando la

ecuación (3.50) con la ecuación (3.49) se obtiene la relación para la reluctancia del núcleo

mostrada en la ecuación (3.51).

E n un circuito magnético, las reluctancias obedecen las mismas reglas que las resistencias

en un circuito eléctrico [11]. L a reluctancia equivalente de un número de reluctancias en

serie es la suma de las reluctancias individuales y para las reluctancias en paralelo, el

inverso de la reluctancia equivalente es la suma de los inversos de las reluctancias

individuales.

E l modelo del circuito magnético da resultados aproximados, en el mejor de los casos la

aproximación queda dentro del 5% del valor real [11]. Algunas razones de esta situación se

enumeran en [11] y se presentan a continuación:

1. E n el circuito magnético se supone que el flujo está confinado dentro del núcleo, ya

que la permeabilidad de un núcleo ferromagnético es de 2000 a 6000 veces la del

aire. Sin embargo, una pequeña fracción del flujo escapa del núcleo al aire

circundante de baja permeabilidad. Este flujo se denomina flujo disperso o de fuga y

es de gran importancia en el diseño de las máquinas eléctricas.

2. Para calcular la reluctancia se utiliza la longitud media y la sección transversal del

núcleo, pero esto no es muy adecuado, por ejemplo, para los ángulos que se forman

en las junturas de los núcleos.

3. E n los materiales ferromagnéticos, la permeabilidad no es lineal y varía con la

cantidad de flujo presente en el material.

4. S i existen entrehierros en el trayecto del flujo en el núcleo, la sección transversal

efectiva del entrehierro será mayor que la sección transversal del núcleo en cada (3.50)

lado del entrehierro. L a sección extra efectiva se debe al efecto marginal (fringing

effect) del campo magnético en el entrehierro, esto es el abombamiento del flujo en

el entrehierro, como se observa en la Fig. 3.12.

Fig. 3.12 Efecto Marginal (fringing effect)

3.5 Comportamiento Magnético de los Materiales Ferromagnéticos

E l comportamiento magnético de los materiales ferromagnéticos se debe al momento

dipolar que presentan los átomos que lo forman. Las fuerzas entre estos átomos provocan

que un gran número de átomos se alineen formando regiones, conocidas como dominios,

las cuales actúan como pequeños imanes [10]. Estos dominios varían en forma, tamaño y

dirección. E n materiales magnéticos vírgenes, el efecto total de todos los dominios, es de

cancelación y el material no presenta momento magnético [11].

A l aplicar un campo magnético externo, los dominios que no están alineados se vuelven

inestables y algunos pueden rotar para alinearse al campo externo, entonces el tamaño de

los dominios crece, así como el campo magnético interno, la F i g . 3.13 ejemplifica esta

situación. S i se aumenta el campo magnético externo, todos los dominios apuntan en la

misma dirección y se dice que se ha alcanzado la saturación magnética [10].

E n general cuando se retira el campo externo no se produce un alineamiento azaroso de

dominios, y un residuo o remanente de campo dipolar, permanece en la estructura

macroscópica. E l hecho de que el momento magnético del material sea diferente después de

que el campo se ha retirado, o que el estado magnético sea función de su historia

Fig. 3.13 Dominios magnéticos: a) orientados al y b) alineados en presencia de un campo magnético

L o s materiales ferromagnéticos no son isotrópicos en monocristales, generalmente los

materiales policristalinos si lo son. L a isotropía se refiere a una característica que presenta

la misma magnitud en todas direcciones en el material. Una de las características de los

materiales magnéticos anisotrópicos es la magnetostricción o el cambio en dimensiones del

cristal cuando se le aplica un campo magnético [11].

Los únicos elementos ferromagnéticos a la temperatura ambiente son hierro, níquel y

cobalto, y pierden sus características ferromagnéticas arriba de la temperatura de Curie, la

cual es 770°C para el hierro. Algunas aleaciones entre éstos y otros metales también son

ferromagnéticas; por ejemplo, alnico, una aleación de aluminio-níquel-cobalto con una

pequeña cantidad de cobre. A bajas temperaturas, algunas tierras raras, como el gadolinio y

el diprosio, son ferromagnéticas. También es interesante que algunas aleaciones de metales

no ferromagnéticos sean ferromagnéticas, como bismuto-manganeso y

cobre-manganeso-estaño [9].

L a F i g . 3.14 muestra el comportamiento del circuito magnético de un material

ferromagnético, la gráfica es llamada curva de saturación o magnetización y representa la

respuesta del flujo magnético ante los cambios de la fuerza magnetomotriz. Como se

observa, al moverse en el eje de la fuerza magnetomotriz desde cero, al inicio, al ir

aumentando la fuerza magnetomotriz, el flujo va aumentando de manera importante y de

forma casi lineal, pero después esta variación se va reduciendo y aunque la fuerza

constante. L a región de mínima variación en el flujo es llamada región de saturación, la

región de gran cambio es llamada región no saturada y la región de transición se conoce

como rodilla de la curva [11].

L a Fig. 3.15(a) es la curva de magnetización que muestra la densidad de flujo magnéticozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA B

contra la intensidad de campo magnético H. L a relación entre B y H corresponde a la

permeabilidad del material, cuya gráfica en función del campo magnético aplicado H se

muestra en la F i g . 3.15(b). L a Fig. 3.15(a) presenta con líneas segmentadas las pendientes

para permeabilidades relativas de 1, 10, 100 y 1000. L a permeabilidad relativa para

cualquier punto de la curva de magnetización está dado por:

L a máxima permeabilidad se presenta en el punto de mayor relación B/H, punto marcado

en la gráfica como ' M a x [i'. Esta ocurre en el punto tangente a la línea recta que pasa por el

origen y la curva de magnetización [10].

L a permeabilidad magnética de los materiales ferromagnéticos es muy alta, hasta 6000

veces la permeabilidad del espacio libre. L a permeabilidad es constante en el espacio libre,

pero no lo es en el hierro y otros materiales ferromagnéticos [11].

Fig. 3.15 (a) Curva de Magnetización B vs. H. (b) Relación de Permeabilidad Relativa vs. H.

3.5.1 Pérdidas de Energía en un Núcleo Ferromagnético

Como se describió en la sección anterior, la característica que describe el comportamiento

magnético de los materiales ferromagnéticos es llamada histéresis y la curva que la

representa es conocida como lazo de histéresis. A l alimentar el núcleo ferromagnético de la

Fig. 3.10 con una corriente alterna sinusoidal como la mostrada en la Fig. 3.16, se obtiene

Fig. 3.16 Corriente alterna

L a curva de histéresis se obtiene de la siguiente manera [10], al inicio se supone que no hay

flujo en el núcleo (1), conforme se aumenta el campo magnéticozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA H, la densidad de flujo B

aumenta describiendo la trayectoria (1-2) hasta el punto de saturación, lo que corresponde a

la curva de saturación vista en la Fig. 3.15(a). Después, al disminuir Ha cero, B no regresa

a cero, sino que corta al eje con un valor Br, llamado densidad de flujo residual o

remanente (3). A l invertir y aumentar H, la densidad de flujo B cae a cero, el valor de H en

el que se da esto, se conoce como fuerza coercitiva Hc (4). A l seguir aumentando H en