APUNTES DE MATE V

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(1)MATEMATICAS V GEOMETRIA ANALITICA. No.. UNIDAD NO. 1 LA. RELACION. ENTRE. FUNCION. LINEAL. LUGAR. GEOMETRICO Y SISTEMAS DE REFERENCIA. 1.0 1.1 1.2 1.3. OBJETIVOS DE OPERACIÓN El lugar geométrico en diferentes sistemas de referencia.. 2.5 2.6. Representar geométricamente un lugar geométrico. Sistemas de referencia polar y rectangular (r , Ѳ) y (x , y ) Transformar coordenadas de un punto del sistema polar al sistema rectangular. Transformar coordenadas de un punto del sistema rectangular al sistema polar. Calcular la división de un segmento en una razón dada. Calcular la distancia entre dos puntos. Función lineal como lugar geométrico en diferentes sistemas de referencia. Aplicar el concepto de pendiente de una recta en el cálculo del ángulo de inclinación. Calcular el ángulo el ángulo entre dos rectas a partir del concepto de pendientes. Obtener la ecuación general de la recta a partir de la forma simétrica. Aplica la ecuación de una recta en la solución de problemas. Construir la grafica de una recta a partir de una ecuación. Construir la grafica de una función lineal en el sistema polar (forma normal). Aplicación de las funciones lineales Aplicar el concepto de desigualdad en la solución de problemas. 2.7. Representar la desigualdad en el plano cartesiano. 1.4 1.5 1.6 2.7 1.8 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4.

(2) UNNIDAD 2. SECCIONES CONICAS: “UN CASO GENERAL”. OBJETIVO: El estudiante relacionará la forma de las curvas cónicas con su modelo algebraico en su forma particular y general y conocerá las aplicaciones geométricas y físicas más importantes, a través de la revisión de la forma geométrica de las mismas, de la diferencia entre función y relación, así como la deducción algebraica de dicha expresión para determinar algunas de sus propiedades y conocer la forma en que éstos modelos se aplican en la solución de problemas de ésta y otras disciplinas como la mecánica y la óptica entre otras.. No. UNIDAD NO.2 “ SECCIONES CONICAS” OJETIVOS DE OPERACION. 3.0. Explorando las cónicas. 3.1. Deducir la ecuación de la circunferencia a partir de condiciones de centro y radio.. 3.2. Deducir la ecuación de la circunferencia a partir de su gráfica.. 2.3. Calcular el centro y radio de una circunferencia a partir de su forma general.. 3.4. Deducir la ecuación de la parábola a partir de las condiciones de vértice y foco.. 3.5. Encontrar el vértice y foco de la parábola a partir de su forma general.. 3.6. Deducir la ecuación e la parábola a partir de su grafica.. 3.7. Deducir el tipo de cónica a partir de la ecuación general de 20 grado.. 3.8. Inferir la ecuación de la elipse a partir de las condiciones de vértices, focos y excentricidad.. 3.10. Deducir la ecuación de la elipse a partir de su gráfica.. 3.11. Deducir la ecuación de la hipérbola a partir de las condiciones del lugar geométrico..

(3) UNIDAD 1. LA RELACION ENTRE FUNCION LINEAL, LUGAR GEOMETRICO Y SISTEMAS DE REFERENCIA.. OBJETIVO: El estudiante comprenderá la idea de lugar geométrico correspondiente a la función lineal y su relación en diferentes sistemas de referencia (polares y rectangulares), mediante su representación grafica en los sistemas de referencia coordenados mencionados y el análisis algebraico de la función, para descubrir algunas de las propiedades de éste tipo de función, así como sus diferentes aplicaciones en diversos problemas.. INTRODUCCIÓN. Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. El problema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara entre Geometría Analítica y Análisis Matemático esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificación hecha en la época entre los conceptos de función y curva, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama.. Lo novedoso de la Geometría Analítica es que permite representar figuras geométricas, mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática.. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinomiales de primer grado. Y las circunferencias, parábolas elipses e hipérbolas como ecuaciones polinomiales de segundo grado..

(4) Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son: 1.- Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación. 2.- Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que la cumplen. La Geometría Analítica fue iniciada y desarrollada por el eminente matemático y filósofo Renato Descartes. Por eso a este sistema de ejes coordenados también se le conoce como "Sistema Cartesiano".. 1.0 LUGAR GEOMÉTRICO Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio)..

(5) Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).. La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz..

(6) 1.1 SISTEMAS DE REFERENCIA POLAR Y RECTANGULAR El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido anti-horario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto “o” que se denomina origen y a partir de él se señala un segmento horizontal llamado eje polar; posteriormente se traza el ángulo requerido y se mide la distancia que marca la coordenada; como puede verse en la siguiente figura.. r =distancia dirigida de 0a P.

(7) El sistema de. coordenadas. rectangulares, llamado también “Sistema. Cartesiano” en honor a René Descartes (1596-1650), celebre filosofo y matemático francés y creador de la geometría analítica. Quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un “punto de partida”. Por lo que la definición de un sistema de coordenadas rectangulares es: “un sistema de referencia formado por el corte perpendicular de dos rectas numéricas en un punto denominado origen del sistema. El corte de estas rectas determina en el plano cuatro regiones cada una de las cuales se va a denominar cuadrante. Las rectas numéricas trazadas se van a denominar eje de abscisas y eje de ordenadas. Como se describe a continuación:. Podemos decir que el origen O, donde se encuentra el cero común de ambas rectas numéricas, divide a cada eje en dos semiejes, uno positivo y el otro negativo. Cualquier distancia o posición medida sobre el eje de las x de O hacia la derecha es positiva y de O hacia la izquierda es negativa..

(8) 1.2. TRANSFORMAR COODENADAS DE UN PUNTO DEL SISTEMA POLAR AL SISTEMA RECTANGULAR. Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas. Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:. Ejemplo 1: Transformar las coordenadas (4,1550) al sistema rectangular, y graficar los resultados:. Solución:. X = 4 cos (1550) X = 4(0.9063) X = -3.62. y = 4 sen (1550) y = 4(0.4226) y = 1.62.

(9) Problemas propuestos: 2.- Transformar las coordenadas polares (5,1350) graficando los resultados.. al sistema rectangular,. 3.- Transformar las coordenadas polares (4,1450) al sistema rectangular, graficando sus resultados. 4.- Transformar las coordenadas polares (6,2400) al sistema rectangular, graficando los resultados.. 1.3. TRANSFORMAR COORDENAS DE UN PUNTO DEL SISTEMA RECTANGULAR AL SISTEMA POLAR Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x, y), se tiene que la coordenada polar r es:. = arc tan Donde: r = radio vector θ= Angulo polar o ángulo vectorial.. Para el cálculo del ángulo en la transformación de coordenadas rectangulares a polares, es necesario considerar el cuadrante en el cuál se encuentra el punto ya que de él dependerá el ángulo. Para lo cual se deberán aplicar las siguientes reglas: 1.- Si el punto se encuentra en el primer cuadrante, el resultado es directo. 2.- Si el punto se encuentra en el segundo cuadrante o tercero al valor del ángulo se le suma 1800. 3.- Si el punto se encuentra en el cuarto cuadrante al valor del ángulo se le debe de sumar 1800..

(10) EJEMPLO 1: Convertir las coordenadas ( - 4 , 5 ) al sistema polar y graficar los resultados. Solución:. θ= arc tan. r= r=. +. r= r=. θ= arc tan θ= arc tan(- 1.25) θ= - 54.34o. r = 6.41 Debido a que el punto se encuentra en el segundo cuadrante, el ángulo es negativo por lo que se le debe de sumar a este resultado 180o . θ= - 54.34o + 180o = 128.65o.. 2.- Transformar las coordenadas rectangulares ( 3 , 5 ), al sistema polar graficando los resultados..

(11) 3.- Transformar las coordenadas rectangulares (-6 , - 2 ) al sistema polar graficando los resultados.. 4.- Por medio de una tabulación, calcular el valor de “r”, asignándole valores a ; tales como: 00, 300, 450, 600, 900, 1200, 1350, 1500, 1800, 2100, 2250, 2400, 2700 3000, 3150, 3300, 3600. Trazar la grafica de la función: r = 1 + cos .. Ѳ 00 300 450 600 900 1200 1500. r = 1 + cos ..

(12) 1.4. CALCULAR LA DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: Conociendo las coordenadas del punto P1 (x1 , y1) y las coordenadas del punto P2 (x2 , y2), se trata de encontrar las coordenadas de un tercer punto P r (x , y ) que divide al segmento P1P2 . Esto quiere decir que al dividir una recta en una razón dada “r”, sus proyecciones en los ejes cartesianos están divididos en una misma razón, al establecer un punto sobre una recta éste punto la divide en una razón “r “, como puede observarse en la siguiente figura:. Formulas para determinar las coordenadas del punto X r = x1 + r (x2 – x1). ,. y r = y1 + r (y2 – y2). Pr (x, y):.

(13) Ejemplo1: Hallar las coordenadas del punto Pr (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A (1,1) y B (6, 6) en una razón tal que: r = 2/3.. Solución: X r = x1 + r (x2 – x1). Y r = y1 + r (y2 – y1). X r = 1 + (2/3)(6 – 1). Y r = 1 + (2/3)(6 – 1). X r = 1 + (2/3) (5). Y r = 1 + (2/3) (5). X r = 1 + (10/3). Y r = 1 + (10/3). X r = 13/3. Y r = 13/3. 2.- Sean los puntos P1 (1, 1) y P2 (11, 6) los puntos extremos de un segmento. Encontrar las coordenadas del punto Pr (x, y) que divide al segmento en una razón r = 3/2..

(14) 3.-Uno de los puntos extremos de un segmento de recta es el punto P1 ( 7 , 8) y el punto que divide en una razón r = 1 / 5 es el punto P r (15 , 10). Hallar el otro extremo..

(15) 1.5. DISTANCIA: La distancia expresa la proximidad o lejanía entre dos objetos, o el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos. También se emplea como expresión para indicar una relación de alejamiento Efectivo entre dos personas: el desafecto.. 1.5.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:. OBJETIVOS PARTICULARES; EL ALUMNO APRENDERÁ A: Interpretar la distancia entre dos puntos en un segmento horizontal o vertical. Encontrar la fórmula de la distancia entre dos puntos situados en un segmento inclinado. Calcular la distancia entre puntos cualesquiera.. En matemáticas, la distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento de curva. En física, la distancia es una magnitud escalar, que se expresa en unidades de longitud o tiempo..

(16) Se denomina distancia euclidiana entre dos puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) del plano a la longitud del segmento de recta que tiene por extremos A y B. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:. Ejemplo 1: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1). d = 5 unidades. PUNTO MEDIO: El punto medio es un caso particular de la división de un segmento en una razón dada, en la cual r = 1. La cuál divide exactamente a la recta en dos partes iguales y se denomina “Punto medio” cuyas formulas para su cálculo son:.

(17) Ejemplo: Calcular el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos: A (3, –2) y B (- 5, 4):. Ym =. =. =1. Por lo que el punto medio es: Pm (–1,1). 2.- Representar gráficamente la figura correspondiente a los puntos dados; A (1, 1), B (5, 3) y C (6, - 4) y calcular: El perímetro y su área..

(18) Solución: Primero: Se calculan las distancias de los puntos: AB, BC y CA. Distancia de AB:. Distancia de BC:. Distancia de CA:. Segundo: Para calcular el perímetro se suman los valores de las distancias: P= Tercero: Para calcular el área, se realiza dos pasos importantes: 1). Se calcula el punto medio del segmento o lado AB; con las formulas conocidas:. =. Xm =. Ym =. =. 2). Se calcula la distancia del punto medio al punto C, la cual corresponde a la altura: h=d=. Cuarto: Finalmente; se calcula el área con la fórmula: A=. =.

(19) 3.- Encontrar el perímetro del polígono cuyos vértices son los puntos A(-3 , -1) , B(0 , 3) , C(3 , 4) , D(4 , 1).. 4.- Demostrar analíticamente que la suma de los cuadrados de los cuatro lados del paralelogramo de vértices A(1 , 3) , B(3 , 6) , C(0 , 5) y D(2 , 2) es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales..

(20) 5.- Dados los siguientes puntos A (6 , 7) , B(-8 ,1) y C(-2 , -7). Encontrar las coordenadas del punto que divide el lado BC en una razón dada r = ¾.. 6.- Dados los siguientes puntos A(6 , 7), B(-8 , -1), y C(-2 , -7). a). Con los puntos dados, graficar la figura y calcular el área de la misma. b). Encuentra las coordenadas del punto que divide el lado BC en una razón r = 3/4..

(21) 7.- Los vértices de un triangulo rectángulo son los puntos P( 8 , 6) , Q( - 3 , 3) y R(1 , -1). Encontrar las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita al triangulo y hallar la longitud del radio. NOTA: La hipotenusa de un triangulo rectángulo es el diámetro de la circunferencia circunscrita.. 8.- Los vértices de un triangulo son los puntos; A (4, - 4), B (10, 4) y C(2 , 6). Hallar los puntos medios y las coordenadas del Baricentro o centro de gravedad..

(22) 1.6.. FUNCIÓN LINEAL COMO LUGAR GEOMÉTRICO EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIA.. Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo contradominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. F(x) = a x + b; donde a y b son números reales, es una función lineal Ventajas de las funciones lineales: Una función lineal tiene las ventajas de representarse o caracterizarse por medio de tablas o gráficas, la variación de una variable con respecto a otra o mejor dicho la variación de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. Usando funciones lineales podemos resolver problemas de la vida diaria en forma cotidiana empleamos ésta para resolver problemas de costos, compras, traslados, cálculos de perímetros, pero sobre todo su aplicación en la vida cotidiana es en el sector empresarial en el aspecto económico o físico cuyos comportamientos se comprueban a través de las gráficas ya sean lineales creciente o decreciente. LA LÍNEA RECTA: La línea recta como concepto matemático pertenece al grupo de los conceptos más difíciles por definir, sin embargo; el concepto más cercano se considera como una sucesión de puntos y éstos carecen de magnitud, pero se considera como una trayectoria de puntos que no cambian de dirección.. A. B. En términos generales, la palabra recta se usa para dar cuenta de todo aquello o aquel que se dirige a un punto sin desviarse y que por lo tanto en su trayectoria no se inclina hacia los dos lados, no presenta ni curvas ni ángulos. Sin embargo, una línea recta analíticamente, es una ecuación lineal de primer grado en dos variables “X” y “Y”. Una recta queda determinada si se conocen dos de sus condiciones: 1). Dos de sus puntos. 2). Un punto y su dirección..

(23) 1.7 APLICAR EL CONCEPTO DE PENDIENTE DE UNA RECTA EN EL CÁLCULO DEL ÁNGULO DE INCLINACIÓN. En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal, por ejemplo:. Pendiente de una carretera. Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "baje hacia la derecha", tiene pendiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente tiende a infinito. La pendiente de una recta es la tangente trigonometrica de su ángulo de inclinación. Por lo tanto, la inclinación de una recta es el ángulo que forma con el eje “X”. Al conocer este ángulo y obtener el valor de la tangente conocemos su pendiente o a través de dos puntos de coordenadas P 1 (X1 , Y1) y P2(X2 , Y2); por medio de la formula:.

(24) ANGULO DE INCLINACION DE UNA RECTA ( ∞ ) Se llama ángulo de inclinación de una recta al formado por la dirección positiva del eje “x” y la recta “L” cuando ésta se dirige hacia arriba, observar la figura siguiente:. Si una recta corta al eje “X” su inclinación es el ángulo que forma con la dirección positiva del eje “X”. El ángulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación: y. Del estudio de la pendiente se puede concluir: 1). Que el ángulo θ solo varia de 0o a 1800. 2). Si el ángulo θ es agudo, la pendiente es positiva. 3). Si el ángulo θ es obtuso, la pendiente es negativa. 4). Si la recta es paralela al eje “x”, el ángulo θ = 00. 5). Si la recta es paralela al eje “y”, el ángulo θ = 900 y la pendiente m = ∞.

(25) Ejemplo 1: Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos: P1 (1 , 6) y P2(5 , - 2).. m=. =. = -2. θ = arctan (- 2) = -63.430. θ = - 63.430 +1800 = 116.570.

(26) Ejemplo2: Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos: P1 (-1, -5) y P2 (5 , 4).. m=. =. = - 2.25. θ = arctan(- 2.25) = -66.030 θ = -66.030 + 1800 = 1140. Ejemplo 3: Demostrar por medio de pendientes que los puntos A(-3 , 4), B(3 , 2) y C(6 , 1), son colineales. Nota: Tres o más puntos son colineales cuando se encuentran sobre la misma línea de acción y sus pendientes deben de ser iguales..

(27) Ejemplo 4:Verifíquese por medio las pendientes que el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son: A(2 ,6) , B(5 , 1) , C(-1 , - 6) y D(- 4 , - 1) , forman un paralelogramo. Nota: Para saber si un cuadrilátero es un paralelogramo, los lados opuestos deben tener pendientes iguales..

(28) 8.- CONDICION DE PARALELISMO Y DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS. 1. Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. Esto resulta claro observando que dos rectas cualesquiera, no horizontales, paralelas entre si cortan el eje x formando ángulos iguales, pues estos son ángulos correspondientes entre paralelas; las dos rectas tienen el mismo ángulo de inclinación y, por tanto, la misma pendiente, pues ésta es la tangente de dicho ángulo. Si a las dos rectas las llamamos L1 y L2, la condición de paralelismo se expresa: L1 = L2 “si solo si” m1 = m2, o sea que: Tan α1 = Tan α2.. 2.- Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son reciprocas y de signo contrario. Obsérvese que si una recta tiene ángulo de inclinación menor que 90o, cualquier recta perpendicular a ella lo tiene mayor que 90 0. En consecuencia, si la primera tiene pendiente positiva, por ser la tangente de un ángulo menor que 900, la otra tienen pendiente negativa por ser la tangente de un ángulo mayor de 900. Por lo que la condición de perpendicularidad es: L1 ╨ L2 “Si solo si” (M1) (M2) = - 1.

(29) Ejemplo: Aplicando el concepto de pendiente, demostrar que los puntos. A (- 3, 1),. B(4 , - 2) y C(2 , 3) ; son los vértices de un triangulo rectángulo y comprobar su perpendicularidad. Nota: Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando dos de sus pendientes son reciprocas y de signo contrario.. AC = m1 = Y2 – Y1 / X2 – X1 = 3 – 1 / 2 – (-3) = 2/5 BC = m2 = Y2 – Y1 / X2 – X1 = 3 – (-2) / 2 – 4 = - 5/2. Comprobación: (m1) (m2) = - 1 (2/5) (- 5/2) = - 10/10 = -1. Respuesta: Las rectas AC y BC si son perpendiculares; porque sus pendientes son reciprocas, como puede observarse en su comprobación..

(30) Ejemplo 2: Por medio de la pendiente de la recta determina si la recta A(- 3 , 5), B(- 2 , - 5) y la recta C(0 , 4), D(1 , - 6) son perpendiculares o paralelas entre sí.

(31) CALCULO DEL ÁNGULO DE INCLINACIÓN ENTRE DOS RECTAS A PARTIR DEL CONCEPTO DE PENDIENTES.. Definición: Sean las rectas L1 y L2 cuyas pendientes son m1 y m2 respectivamente. Y el ángulo formado por la recta AB y el eje “x” igual a la recta BC con el mismo eje igual a. y el ángulo formado por. El ángulo formado por las letras AB y. BC lo designaremos como ángulo θ. θ.. L2. L1. θ.. .. ∞1. ∞2. A. C. Observando el triangulo ABC, el ángulo determina como:. ∞ 2 = ∞1 +. ∞2. θ. Donde: θ = ∞2. es el ángulo exterior y se. - ∞1. Por la formula de la tangente trigonométrica de la diferencia de ángulos resulta que: Tan θ =. .. Y por otra parte sabemos que la Tan ∞1 = m1 y la Tan ∞2 = m2, por lo que sustituyendo en la fórmula trigonométrica queda:. Tan θ =.

(32) Ejemplo1: Sabiendo que el ángulo formado por las rectas L 1 y L2 es de 450, y que la pendiente m1 de L1 de 2/3 . Calcular la pendiente m2 de L2. Solución: De la formula de la tangente dejamos a m 2:. Tan θ =. :. Tan θ = Tan 450 = 1= 1(1 + m2.m1) = m2 – m1 (1 + m2.m1) = m2 – m1 (1 + m2. m1) – m2 = - m1 (1 + 2/3 m2) – m2 = - 2/3 2/3 m2 – m2 = - 2/3 – 1 Factorizando queda: m2 (2/3 – 1) = -5/3 m2 (- 1/3) = -5/3 m2 = m2 = 5. =. =5.

(33) Ejemplo 2: Hallar los ángulos interiores del triangulo cuyos vértices son:. A (- 3, -2),. B (2, 5) y C (4, 2). Aplicando la definición de ángulo entre dos rectas.. Problema: 3 Dados los siguientes puntos A (5, - 1) y B (-2, – 5) de la recta L1 y C (0, 4) y D(1 , - 6) de la recta L2 . Comprobar si estas rectas se cortan entre sí, y calcular el valor de sus ángulos.. 2.1.- ECUACIONES DE LA RECTA.

(34) OBJETIVOS PARTICULARES: -. Determinar la ecuación de una recta. -. Encontrar la forma simplificada de una recta. -. Transformar una ecuación a su forma general. -. Aplicar la forma simétrica de una recta a problemas. -. Encontrar la forma normal de una recta. -. Calcular la distancia que hay de un punto a una recta.. Recordando que la que la ecuación de una recta es una expresión algebraica en dos variables “X” y “Y” y que además representa un lugar Geométrico; la cual puede ser:. La Ecuación punto pendiente La ecuación que pasa por dos puntos La Ecuación de pendiente y ordenada al origen La Ecuación simétrica La Ecuación general y La Ecuación en su forma normal.. 2.2. LA ECUACION PUNTO PENDIENTE: Si; A(x, y) es un punto por el cual pasa una recta “L” y “m” es la pendiente de ésta recta, su ecuación está dada por la siguiente expresión:. Es la ecuación ordinaria de la recta, la cual también se puede escribir en su forma general: A x + B y + C = 0.

(35) Ejemplo 1: Hallar la ecuación ordinaria y general de la recta que pasa por el punto A (2, - 4) y que tiene una pendiente de - 1/3. Y + 4 = - 1/3(x – 2) 3y + 4 = - x + 2 x + 3y +4 = 2 x + 3y +2 =0. Ejemplo2: Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la recta que pasa por el punto P (4, - 1), sabiendo que tiene un ángulo de inclinación de 1350.. Sabiendo que la pendiente es igual a: m = Tan θ = 1350, entonces: m = - 1 ; por lo tanto: y – y1 = m (x – x1) y – (-1) = -1 (x – 4) y + 1 = - x + 4; Ec. Ordinaria. Resolvemos para la Ec. General. X + y +1 – 4 = 0 X + y – 3 = 0 ; Ec. Gral..

(36) Ejemplo3: Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la recta que pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación de 1200. Sabiendo que m = Tan 1200.. Solución: m = Tan 1200 m= - 1.73 y – y1 = m (x – x1) y – 0 = - 1-73 (x – 0). y = - 1.73 x Ec. Ordinaria. Para la Ec. Gral resolvemos:. 1.73 x +y = 0; Ec. Gral. Para encontrar el otro el otro punto le damos Valores a “X”; por ejemplo: X=2, y sustituimos: Y = - 1.73 X Y = - 1.73 (2) Y = - 3.46 Por lo tanto los puntos son: P1 (0, 0) y el P2 (2 , - 3.46). Ejemplo 4: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(5 , 7) sabiendo que tiene una pendiente m = – 3/2..

(37) Ejemplo 5 Obtener la ecuación ordinaria y general de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene pendiente m = 3/2. Construir su gráfica.. Ejemplo 6: Escribe la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene un angulo de inclinación de 120o..

(38) ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.. La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2), está dada por la siguiente expresión:. - Donde X1 ≠ de X2 Porque si X1 = X2 la recta es paralela al eje “Y”.. Ejemplo1: Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la recta que pasa por los puntos P1 (- 2 , - 3) y P2(4 , 2).. Solución: Y – Y1 = Y2 – Y1 /X2 – X1 (X – X1) Y – (-3) = 2 – (-3) / 4 – (- 2) (X – (- 2) Y + 3 = 2 +3 / 4 + 2 (X + 2) Y +3 = 5 /6(X + 2); Ec. Ordinaria 6(Y +3) = 5(X +2) 6y + 18 = 5X +10 5X – 6Y +10 -18 = 0 5X -6Y – 8 = 0, Ecuación General..

(39) Ejemplo2: Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la recta que pasa por el punto P (-3 ,1) y es paralela a la recta determinada por los puntos: A (0, -2) y B (5 , 2).. Solución: Como se conoce un punto de la rectaPedida L1, solamente es necesario – Obtener su pendiente la cuál es la – Misma que la de la recta paralela L2. m= Y2 – Y1 / X2 – X1 m = 2 – (-2) / 5 – 0 m=2+2/5 m=4/5. Ahora aplicamos la fórmula de la recta que pasa por dos puntos y sustituimos: Y – Y1 = Y2 - Y1 / X2 – X1 Y – 1 = 4/5 (- (-3)) Y - 1 = 4 / 5 (X + 3); Ecuación Ordinaria.. Para encontrar la ecuación general de resolvemos la ecuación ordinaria: 5(Y – 1) = 4(X + 3) 5Y – 5 = 4X +12 4X – 5Y + 12 + 5 = 0 4X - 5Y + 17 =0.

(40) Problema 3: Obtener las ecuaciones ordinaria y general de los tres lados de un triangulo cuyos vértices son: A ( 4 , 2) , B (-5 , 7) y C (2 , 5)..

(41) Problema 4: Obtener las ecuaciones ordinaria y general de los tres lados de un triangulo cuyos vértices son: A (0 , 0) , B (2 , 4) y C (6 , 3)..

(42) 2.4 ECUACION DE LA RECTA DE PENDIENTE “m” Y ORDENADA AL ORIGEN “b”. (Es decir la intersección de la recta con el eje “Y”). Esta forma de la ecuación de la recta se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. La ecuación de la recta de pendiente “m” y ordenada al origen “b” está dada por la siguiente expresión: Y=mx+b. Ejemplo1: Obtener las ecuaciones ordinaria y general de la recta, sabiendo que su ordenada al origen es b = 7 y tiene de pendiente m = -13, con los datos que se tienen, construir su gráfica. Utilizamos la ecuación: Y=mx+b Y = -13 x + 7; Ecuación ordinaria Para la ecuación general resolvemos: Y = - 13 x + 7 Y + 13 x -7 = 0; ecuación general. Para encontrar el otro punto le damos Valores a “x”, por ejemplo: x = 1, y los Sustituimos en la ecuación ordinaria: Y = - 13 x + 7 Y = -13(1) + 7 Y = - 13 + 7 Y = -6 Por lo que el otro punto es: B (1, - 6), con el cual se traza la gráfica..

(43) Ejemplo 2: Determinar el ángulo de inclinación y la ordenada al origen de la recta 5X + 2Y – 6 =0.. Solución: De la ecuación dada, Despejamos a “Y”. 5x + 2y – 6 = 0 2y = - 5x +6 Y = - 5x / 2 + 6 / 2 Y = - 5 / 2 X +3 Del despeje anterior podemos Observar que m = - 5/2 y b = 3 Como el valor de “m” es negativo, La recta forma un ángulo obtuso. Θ = ang tan (m) Θ = ang tan (- 5/2) Θ = - 68.190 + 1800 = 111.80. Para encontrar el otro extremo de la recta le damos valores a “x”, por ejemplo; X = 2; y lo sustituimos en la ecuación original: 5x + 2y – 6 = 0 5(2) + 2y – 6 = 0 2y = 6 -10 Y = - 4 / 2 = - 2; El otro punto es: P (2 , -2) ..

(44) Problema 3: Obtener las ecuaciones ordinaria y general de la recta, que tiene una pendiente m = 3/2 y que determina sobre el eje “Y” a la altura de -9..

(45) 2.5 ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA La forma simétrica es la forma donde la recta toca a dos puntos de los ejes sea abscisa o sea ordenada es decir a y b. Lo cual puede apreciarse en la siguiente figura:. L a e xp r e s i ó n q u e d et e r m i n a u n a ec u a c i ó n d e l a r e c t a e n s u f o r m a s i m é t r i c a e s l a s i g u ie n t e :. a = x = I nte rse cc ión c on e l e je “x ” o l a a bs c is a e n el ori ge n d e l a r e c t a.. b = y = E s l a i nte rs e cc i ón c on e l e je “ y” o l a orde nada e n el or i ge n d e l a r e ct a .. E JE MP L O : 1 Da d a la e cua ció n d e la re ct a 3 x – 4 y + 2 = 0 , E n con t ra r l o s p u n to s de in te rse cció n do n de co rta a lo s e je s co o rde n ad a s, u t iliza n d o la f o rm a sim é t rica d e la rect a . S o lu ció n: P a sa nd o a l se gu n do m iem bro e l t é rm in o in d epe n d ien t e y d i vid ie n d o to d a la e cua ció n e n t re el m ismo : 3x – 4y + 2 = 0 3x – 4y = 2. L o s p u n to s son :. 3x / 2 – 4y / 2 = 2 / 2. A (1. 5 , 0 ) y B (0 , -2 ). 3 / 2 X -2 Y = 1 a =1 . 5 , b = - 2.

(46) E je m pl o 2 : A n a liza la s sigu ie n t e graf ica , y e n cue n t ra la e cua ció n d e la re ct a en su f o rma sim é t rica , a sí co mo su e cu a ción ge ne ra l.. S o lu ció n: X = a = 2 Y = b = 4. L a e cu a ción a u t iliza e s:. +. = 1 E c. S im ét rica. = 1. = 1 4 x + 2 y = (1 )(8 ) 4 x +2 y = 8 4 x + 2 y – 8 = 0 , Ec. G e ne ra l.. E je m pl o3 : A n a liza la s sigu ie nt e gra f ica , y e n cuen t ra la e cu a ció n de la re cta e n su f o rm a sim é t rica , a sí co mo su ecu a ció n ge n e ra l.

(47) E je mp lo 4 : Da d a la e cua ció n d e la re ct a 5 x – 2 y – 10 = 0 ; E n con t ra r lo s p u n to s de in te rse cció n do n de co rta a lo s e je s co o rde n ad o s, u t iliza n d o la e cu a ció n en su f o rma sim é t rica d e la re ct a.. S ol uc i ón : De la ecu a ció n d ad a , p a sa m o s A l 2 0 m iem b ro e l té rm in o in d ep en d ien t e : 5 X – 2 Y – 10 = 0 5 X - 2 Y = 1 0 , y d ivid im o s t o da la e c. 5 x/ 1 0 – 2 y/ 1 0 = 1 0/ 1 0. -. = 1; d e d on d e: a = 2 ,. b = - 5.

(48) Ejemplo6: Dada la ecuación 3x – 4y +2 = 0 , encontrar los puntos por donde corta a los ejes coordenados, utilizando la ecuación en su forma simétrica.. Ejemplo 7: Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área del triángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 6 unidades cuadradas La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de lados a y b, Siendo (a, 0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes. En nuestro caso. . Entonces:. y. .. Utilizando la forma de la ecuación simétrica de la recta es queda:.

(49) 2.6 ECUACION GENERAL DE LA RECTA: Hasta el momento hemos estado estudiando las diferentes formas de la ecuación de la recta y en todos los casos hemos llegado a obtener lo que se llama ECUACION GENERAL DE LA RECTA, en su forma: A x + B y + C = 0, la cual es una ecuación de primer grado respecto a sus coordenadas (x, y). Además de la forma general de la recta podemos obtener los datos de la pendiente (m) y las intersecciones con los ejes “x” y “y” las cuales se presentan a continuación: m = tan θ = -. (pendiente). a=-. (abscisa en el origen). b = -. (ordenada al origen). Donde: a = Intersección con el eje “x”. b = Intersección con el eje “y”. FORMA NORMAL: Para cambiar de la Ecuación General de la recta A x + B y +C a su Forma Normal la cual se presenta a continuación;. Se utilizan las siguientes formulas:.

(50) Cos α =. Sen α =. P=. DONDE: W = ángulo de inclinación de la recta P = Distancia del origen a la recta. Con estos valores se calcula el ángulo de inclinación de la recta y su distancia al origen, obteniéndose las siguientes expresiones:. Donde:. P=. K. El signo que precede al radical será el signo contrario al término C para encontrar la forma normal: K es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal de la recta: X cos w + Y sen w – p = 0 Cabe aclarar que una aplicación de la forma normal de la ecuación de la recta es calcular la distancia de un punto a una recta, siendo las coordenadas del punto P1 (x1, y1) y la ecuación de la recta A x + B y + C = 0..

(51) EJEMPLO: 1 Transformar la ecuación de la recta 4x – 7y – 27 = 0, a su forma normal. Solución:. Paso 1. Se calcula el valor del radical con la siguiente expresión: K. =. =. =. 8.06. El signo del radical debe ser contrario al signo de C, en este caso -27, por lo que: K = 8.06. Paso 2. Se divide toda la ecuación entre el valor del radical:. -. -. =0. 0.49 x - 0.86 y – 3.34 = 0. Cos. = 0.496. sen. = 0.868. = cos (0.496). = sen (0.868). = 60.650. = 60.220. P = 3.34. Finalmente la ecuación normal es: X cos 60.650 – Y sen 60.220 – 3.34 = 0.

(52) Ejemplo: 2 Transformar la ecuación de la recta 10x + y - 4 = 0 a su forma normal:. Solución:. Paso 1: Se calcula el valor del radical con la formula ya conocida:. El signo del radical debe ser contrario al signo del término C, en éste caso (- 4), Por lo que: K = 10.04.. Paso2: Se divide toda la ecuación general entre el valor del radical:. Finalmente, la ecuación en su forma normal es:.

(53) Ejemplo: 3 Dada la pendiente m = 4/7, y un punto P ( 5 – 1) por donde pasa; obtener la ecuación en su forma general y transformarla a su forma normal de la recta..

(54) Ejemplo: 4 Calcular la distancia de la recta 5x -3y -15 = 0, al punto P (6, -1). Y grafica tus resultados.. Solución: Se aplica directamente la formula: d=. d=. d. =. d. =. d. =. d = 3.08. = 3.08.

(55) Ejemplo 5: Encuentra la forma normal de las ecuaciones: a). 2X + 3Y – 5 =0.. b). 3X – y + 5 = 0. Ejemplo 6: Calcula la distancia entre la recta 4X + 3y +3 = 0 y el punto C (2, 3). Y Grafica tus resultados..

(56) APLICACIONES DE LAS FUNCIONES LINEALES. DESIGUALDADES: Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, la cual relaciona los siguientes símbolos:.  Que se lee mayor que < Que se lee menor que ≥ Que se lee mayor que ≤ Que se lee menor que. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES QUE DEBES CONOCER:. 1.- Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no cambia; por ejemplo: Si. a > b; sabiendo que: a = 5 , b = 4 , c = 3. a +c > b +c. a–c > b-c. 5 + 3 > 4 +3. 5–3 > 4-3. 8 > 7. 2 > 1. 2.- Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía; por ejemplo: Si. a > b; sabiendo que: a = 5,. b = 4,. c=3. a . c > b .c. a/c > b/c. (5)(3) > (4)(3). 5/3 > 4/3. 15 > 12. 1.6 > 1.3. 3.- Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia, por ejemplo: Si a > b; sabiendo que a = 5. b= 4. c = -3. (a)(-c) < (b)(-c). (a) / (-c) < (b) / (-c). (5)(-3) < (4)(-3). (5) / (-3) < (4) / (-3). -15 < -12. -1.66 < -1.33.

(57) Ejemplo1: Resolver la siguiente desigualdad (inecuación) encontrando el límite que le corresponde: 2x – 3 > x + 5 2x – x > 5 + 3 x > 8. comprobando para un valor mayor que 8 y menor que 8 2x – 3 > x + 5. 2x -3 > x + 5. 2(7) – 3 > 7 + 5. 2(9) – 3 > 9 + 5. 14 – 3 > 12. 18 – 3 > 14. 11 > 12. 15 > 14. Ocho es límite inferior de “x”; es decir que la desigualdad dada solo se verifica para los valores de “x” mayores que ocho.. Ejemplo 2: Resolver la siguiente desigualdad (inecuación) encontrando el límite que le corresponde: (x +3) (x – 3) < (x – 1)2 + 3x. (x + 3)(x – 1)< (x -1)2 3; comprobando para valores menores y mayores que 4: (x +3)(x – 1) <(x -1)2 + 3x. (x + 3)(x – 1) < (x -1)2 + 3x. x2 - x + 3x - 3 < x2 -2x +1 +3x. (4 +3)(4 – 1) < (4-1)2 + 3(4). x2 –x2 – x +3x +2x -3x < 1 +3. (7)(3) < (3)2 + 12. x<4. 21 < 21. (x + 3)(x – 1) < (x -1)2 + 3x (3 +3)(3 – 1) < (3 -1)2 +3(3) (6)(2) < (3)(9) 12 < 27 Cuatro es el límite superior de “x”, es decir que; la desigualdad dada solo se verifica para valores de “x” menores que cuatro.

(58) 3.- Resolver las siguientes desigualdades encontrando el límite que les corresponde: a). 6(x2 + 1) – (2x – 4) (3x + 2) < 3(5x + 21).. b).. >. 4.- Hallar los valores de “x” que satisfacen las inecuaciones mencionando el límite que le corresponde a cada sistema:.

(59) a). 3x – 4 > 6 3x + 5 > 14. b). 3x +4 < 16 -6–x>-8. c). 5x -10 > 3x -2 3x +1 < 2x +6.

(60) 5.- Dada la siguiente desigualdad 2x – 5y + 7. 0, encontrar el área solución:. Primero: Para resolver ésta inecuación, el símbolo de la desigualdad se cambia por el signo de igualdad, quedando la forma general de la recta: 2x -5y +7 = 0. Segundo: Se aplican las formulas para calcular las intersecciones con los ejes “x” y “y”, o sea:. a=-. = -. = - 3.5. b=-. = -. = 1.4. Tercero: Con los valores de “a” y “b” se localizan en el plano cartesiano y se traza la recta:. Cuarto: Se toma un punto abajo y arriba de la recta; por ejemplo: (-3 , 3) y (0 ,0) y se sustituyen en la desigualdad. x – 5y +7 ≤ 0. 2x – 5y +7 ≤ 0. 2(-3) -5(3) + 7 ≤ 0. 2(0) – 5(0) ≤ 0. - 6 – 15 + 7 ≤ 0. 0. - 14 ≤ 0. - 0. ≤0. 0≤0. Quinto: El punto que cumple con la desigualdad es (-3, 3), por lo tanto, todos los puntos que están de ése lado dan solución a la desigualdad..

(61) 6.- Dada la siguiente desigualdad 4x + 5y – 5 ≥ 0, Encuentra el área solución..

(62) UNIDAD 2. SECCIONES CONICAS: UN CASO GENERAL OBJETIVO: El estudiante relacionará la forma de las curvas cónicas con su modelo algebraico en su forma particular y general y conocer{a las aplicaciones geométricas y físicas más importantes, a través de la revisión de la forma geométrica de las mismas, de la diferencia entre función y relación y la deducción algebraica de dicha expresión, para determinar algunas de sus propiedades y conocer la forma en que estos modelos se aplican en la solución de problemas de ésta y otras disciplinas como mecánica y óptica, entre otras.. EXPLORANDO LAS CÓNICAS.. Durante toda la historia de la matemática los conceptos han sido mucho más importantes que la terminología utilizada. Sin embargo, la influencia de Apolonio sobre las secciones cónicas tiene una importancia mayor a la usual. Durante aproximadamente 150 años, se refirieron a ellas por la forma común a como habían sido descubiertas: secciones de un cono agudo, secciones de un cono rectángulo, y secciones de un cono obtuso. Arquímedes continuó utilizando estos nombres, aunque según parece también uso ya el nombre de parábola como sinónimo para una sección de un cono rectángulo. Sin embargo, fue Apolonio, posiblemente, siguiendo los consejos de Arquímedes, quien hablo o nombró por primera vez, las secciones cónicas como "elipse" e "hipérbola". Los nombres dados no eran nuevos, sino que adaptados de un uso anterior, posiblemente obtenidos de los pitagóricos, como la solución de ecuaciones cuadráticas por el método de aplicación de áreas. Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas.

(63) LA CIRCUNFERENCIA. Objetivos Específicos: Determinar la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria y general con centro: a).- En el origen. b).- En fuera del origen Determinar las coordenadas del centro y la longitud del radio dada la ecuación de la circunferencia. Analizar, si toda ecuación de la forma; representa siempre a una circunferencia.. X2 + Y2 + DX + EY + F = 0;. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. La Circunferencia es un elemento geométrico de mucha importancia. Esta muy a diario en todas partes, gracias a este se pueden realizar muchas técnicas de gran precisión con productos como los CDS, los relojes, etc. También podemos decir que gracias a esto, tenemos mucha más seguridad a la hora de comprar cosas como una bicicleta ya que sabemos que en ella han trabajado Ingenieros que conocen muy bien a la Circunferencia y aprovechan al máximo todo lo que esta les puede entregar..

(64) ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA: Centro: El punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; Radio: El segmento que une el centro con un punto de la circunferencia; Diámetro: El mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro; Cuerda: El segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros; Recta secante: La que corta a la circunferencia en dos puntos; Recta tangente: La que toca a la circunferencia en un sólo punto; Punto de tangencia: El de contacto de la tangente con la circunferencia.  DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA A PARTIR DE CONDICIONES DE CENTRO Y RADIO.. Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos variables. Ahora bien; no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia, solo en determinadas condiciones es cierto..

(65) Por conveniencia se designa (h, k) a las coordenadas del centro (C) de la circunferencia para distinguirlo de cualquier otro punto P (x , y) del plano cartesiano.. Ecuación Ordinaria de la Circunferencia. La Ecuación Ordinaria de la circunferencia de centro C (h, k) y radio ( r ), se llama así porque se encuentra sin resolver y está dada por la expresión:. (x – h)2 + (y – k)2 = r2; Y para su estudio se presentan dos casos: I). CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y II). CIRCUNFERNCIA CON CENTRO EN “FUERERA DEL ORIGEN” DEL PLANO CARTESIANO.. I). PRIMER CASO: Si el centro de la circunferencia es el origen “O” entonces: h = 0; k = 0 Y su ecuación se transforma en: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 (x – 0)2 + (y – 0)2 = r2. Resolviendo la ecuación anterior se reduce a: X2 +Y2 = r2 y su gráfica es:.

(66) II). SEGUNDO CASO: Circunferencia con centro en fuera del origen (forma general de la circunferencia). Sea una circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas (h, k) y de radio (r), la ecuación se deduce a partir de la ecuación ordinaria: (x – h)2 + (y- k)2 = r2. Resolviendo la ecuación anterior se llega a la ecuación en su forma general: X2 + Y2 + DX +EY + F =0.

(67) Ejemplo 1: Escribir las ecuaciones de la circunferencia de centro en el origen y radio 7. Dar por lo menos cuatro puntos por donde pasa la curva y obtener sus ecuaciones ordinaria y general. Solución: El centro de la circunferencia es el origen: C (0, 0); y su r = 7 Aplicamos directamente la ecuación ordinaria: (x –h)2 + (y – k)2 = r2 (x – 0)2 + (y – 0)2 = (7)2 X2 + y2 = 72 Para obtener la ecuación general terminamos de resolver: X2 + Y2 = 49 X2 + y2 – 49 =0; ecuación general. Pero nosotros sabemos que la ecuación general de la circunferencia es: X2 + Y2 + DX + EY + F = 0 Por lo que: DX = 0,. EY = 0,. F=0. Comprobación: Tomando cualquier punto por donde pasa la circunferencia; por ejemplo el punto P (7, 0), y lo sustituimos en la ecuación general: X2 + Y2 – 49 = 0 (7)2 + (0)2 – 49 = 0 49 – 49 = 0 0=0. Idéntico.. Representación grafica:.

(68) EJEMPLO: 2 Escribir las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro es C (7, - 6) y que pasa por el punto A (2, 2).. Solución: C (7, - 6). PA (2, 2). En este caso, como no tenemos el radio lo podemos calcular analíticamente mediante la siguiente fórmula: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 donde: r = r= r= r=. =. Una vez teniendo el radio, ya podemos encontrar las ecuaciones que se piden: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 (x – 7)2 + (y – (-6))2 = (x - 7)2 + (y + 6)2 = 89. Ecuación ordinaria.. Para la ecuación general resolvemos: X2 – 2(x)(7) + (7)2 + y2 + 2(y)(6) + (6)2 = 89 X2 – 14x +49 +y2 +12y +36 = 89 X2 +y2 -14x +12y +49 +36 – 89 = 0 X2 +y2 -14x +12y +85 -89 = 0 X2 +y2 -14x +12y – 4 = 0. Ecuación general..

(69) Ejemplo3: Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia de centro C (-3, 3) y que pasa por el punto de intersección de las rectas: L1 = 3x + 4y + 6 = 0 L2 = 5x + 6y + 8 = 0 Nota: El punto de intersección de las rectas L1 y L2, es por donde pasa la circunferencia, y se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones dado: Resolviendo por el método por suma y resta: L1 = 3x + 4y + 6 = 0. 3x +4y = -6. 15x + 20y = -30. L2 = 5x + 6y + 8 = 0. 5x +6y = -8. -15x – 18y = 24 0. 2y = - 6 Y = - 6 / 2 = -3. Para encontrar el valor de “x”, solo sustituimos el valor de “Y” en la ecuación de L1:. 3x + 4y + 6 = 0 3x +4(- 3) + 6 = 0 3x – 12 + 6 = 0 3x – 6 = 0 3x = 6 X = 6/3 = 2,. Por lo que el punto de intersección es: Pi (2, - 3). Teniendo el punto de intersección por donde pasa la circunferencia y el centro de la misma, solo falta calcular el radio; C (-3, 3), y el Pi (2, -3): (x – h)2 + (y – k)2 = r2 donde: r =. r=. = =. .. =. =.

(70) Finalmente; teniendo el centro C (2, - 3) y el radio r = valores para las ecuaciones ordinaria y general: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 (x – (-3))2 + (y – 3)2 = ( (x +3 )2 + (y – 3)2 = (. )2 )2. X2 + 2(x)(3) + (3)2 + y2 - 2(y)(3) + (3)2 = ( X2 + 6 x +9 + y2 -6 y + 9 = 61 X2 + y2 +6 x - 6 y +9 +9 = 61 X2 + y2 +6 x - 6 y +18 – 61 = 0 X2 + y2 + 6 x -6 y – 43 = 0, Ecuación General.. )2. sustituimos estos.

(71) Ejemplo 4: Escribir las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia de radio r =5 que tiene de centro el punto de intersección de las rectas: L1 = 2x + 7y +9 =0. y. L2 = 3x – 2y - 24 = 0. Nota: Sabiendo que la intersección de las rectas de L1 L2 es el centro de la circunferencia, resolvemos por el método de suma y resta el siguiente sistema de ecuaciones: L1 = 2x + 7y +9 =0 L2 = 3x – 2y - 24 = 0.

(72) Ejemplo 5: Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia de centro C (-1, 2), y que es tangente a la recta L = 3x - 4y - 4 = 0 Nota: En este caso, el radio es la distancia del centro “C” a la recta, por lo que aplicaremos la formula de la distancia de un punto a una recta para obtener este dato.. Solución: En éste caso, el radio es la distancia del centro “C” a la recta; por lo que aplicaremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta, la cual está definida por:. d=.

(73) Ejemplo 6: Encuentre las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia de centro C (-4 ,3), la cual es tangente al eje de coordenadas “Y”. Nota: En este caso el radio “r” es igual a la distancia del centro “C” al punto de tangencia “T” cuyas coordenadas son (0, 3)..

(74) Ejemplo 7: Los puntos extremos de uno de los diámetros de una circunferencia son: A (-3, 5) y B(7 , -3). Hallar sus ecuaciones ordinaria y general y representarla gráficamente. Nota: En este caso, no se conoce ni el centro ni el radio de la circunferencia, pero por geometría elemental se sabe que el centro “C” es el punto medio del diámetro AB..

(75) Ejemplo 8: Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro es C (5, -2) y que pasa por el punto P (-1 ,5). Nota: En este caso no se conoce el radio, pero éste es igual a la distancia del centro de la circunferencia al punto P..

(76) 3.3 ANALISIS DE LA FORMA GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA Hasta ahora hemos estudiado las ecuaciones de la circunferencia tanto ordinaria como en su forma general, la cual puede escribirse: X2 + Y2 + DX + EY + F = 0 . A continuación vamos analizar si toda ecuación de la forma general representa siempre a una circunferencia, para lo cuál nos apoyaremos en la ecuación ordinaria definida por: (x – h)2 + (y – k)2 = r2. EJEMPLO: 1 Por el método de completando cuadrados; indique si la ecuación general representa a una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico: X2 + y2 +8x – 14y +66 =0 PASO1: Agrupamos términos en “X” y en “Y” pasando el termino independiente al lado derecho: (x2 + 8x + ) + (y2 – 14y + ) = - 66 PASO2: Completamos cuadrados en “X” y en “Y” ( x2 +8x + 16 ) + (y2 – 14y + 49 ) = - 66 +16 + 49 (X2 +8x + 16 ) + (y2 – 14y + 49 ) = - 1 PASO3: Factorizando los trinomios: (x +4)2 + (y - 7)2 = - 1 PASO4: Identificamos el centro y el radio de la circunferencia cambiándole de signo a los valores obtenidos o sea: C (-4, 7) y el r = -1. Nota: De acuerdo a los resultados obtenidos, el radio es negativo, lo cual nos indica que no existe ningún lugar geométrico; es decir; no tiene grafica.. EJEMPLO: 2 Por el método de completando cuadrados; indique si la ecuación general de la circunferencia representa a una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico: X2 +y2 -10x +10y +50 = 0 PASO1: Agrupamos términos en “x” y en “y”, pasando el termino independiente al segundo miembro: (x - 10x ) + (y +10y + ) = - 50.

(77) PASO2: Completamos cuadrados en “X” y en “Y” y sumamos al 20 miembro: (x - 10x + 25) + (y +10y + 25) = - 50 +25 +25 (x - 10x + 25) + (y +10y + 25) = 0. PASO3: factorizar los trinomios (x – 5)2 + (y + 5)2 = 0 PASO4: Identificamos el centro y el radio de la circunferencia cambiándoles de signo a los valores obtenidos, o sea: C (5,-5) y r= 0 Nota: De acuerdo a los resultados obtenidos; el radio se anula o sea que r =0, la grafica se reduce a un punto C (5, -5), por lo que se tiene una circunferencia puntual. EJEMPLO 3: Por el método de completando cuadrados; resolver la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (-3 ,5) y es concéntrica a la ecuación dada: X2 + Y2 + 14X – 10Y - 26 = 0. Encontrando el centro y el radio e indicar el tipo de curva a la que pertenece. PASO1: Agrupamos términos en “x” y en “y” , pasando al 20 miembro el termino independiente: (X2 +14x + ) + (Y2 – 10y + ) = 26. PASO2: Completamos cuadrados en “X” y en “Y” y sumamos al 20 miembro: (X2 +14x + 49) + (Y2 – 10y +25) = 26 +49 +25 (X2 +14x + 49) + (Y2 – 10y +25) = 100 X2 +14x + 49) + (Y2 – 10y +25) = PASO3: Factorizamos los trinomios y extraemos raíz cuadrada al 20 miembro: (X +7)2 + (Y -5)2 = (X +7)2 + (Y -5)2 = 10 PASO4: Identificamos el centro y el radio cambiándoles de signo a los valores obtenidos, o sea: C (-7, 5), y el radio r = 10. Nota: De acuerdo a los resultados obtenidos, se trata de una circunferencia real..

(78) 3.4 PARABOLA: Objetivos específicos: Definir que es una parábola y describir sus elementos. Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen. Determinar la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen. Determinar la forma general de la ecuación de una parábola Determinar los elementos de una parábola dada su ecuación.. Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco (F) y la recta fija directriz (ddl).. ELEMENTOS DE UNA PARABOLA:.

(79) DIRECTRIZ (ddl): Recta fija que sirve para definir la parábola. EJE DE LA PARABOLA (AAl): Es la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz (ddl). VERTICE DE LA PARABOLA (V): Es el punto (V) de intersección de la parábola con su eje y además es el punto medio entre el foco y la directriz.(ddl). LADO RECTO O ANCHO FOCAL DE LA PARABOLA (LLl): Es el segmento de recta perpendicular al eje que pasa por el foco o eje de simetría. PARAMETRO (P): Es la distancia dirigida del vértice (V) al foco (F). Parábolas Horizontales con centro en el origen:. o. Abriendo hacia la. Abriendo hacia la. Derecha sobre el Eje X.. Izquierda sobre el eje X..

(80) Parábolas Verticales, con centro en el origen:. O. O. Abriendo hacia arriba.. Abriendo hacia abajo.. “Eje de las Y”. Eje de las Y”. ECUACIONES UTILIZADAS CUANDO LAS PARABLAS SE ENCUENTRAN EN EL ORIGEN DEL PLANO CARTESIANO.. Ec. de la parábola horizontal:. Ecs. de la parábola eje vertcal. Vértice: V (0, 0). Vértices: V(0, 0). Focos: F (p, 0), F´(- p, 0).. Focos: F (0, p), F´(0, -p). Directriz: x = - p. Directriz: y = - p. Ec. Y2 = 4px. Ec: X 2 = 4Py. Lr = 4p. Lr = 4p.

(81) ECUACIONES DE LA PARABOLA CUANDO SE ENCUENTRA FUERA DEL ORIGEN. 1.- Si el eje de la parábola es paralelo al eje “X” las ecuaciones son de la forma: (y - k)² = 4p(x - h) Ecuación de la parábola y sus elementos son: Foco (h + p, k) Directriz x = h – p ; para p > 0 X = h + p ; para p < 0 Lado recto: Lr = 4p Eje focal y = k Donde: Lr = |4 p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vértice. Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha. Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.. Eje focal.

(82) 2.- Si el eje de la parábola es paralelo al eje “Y” las ecuaciones son de la forma: (x - h)² = 4p (y - k) Ecuación de la parábola y sus elementos son:. Foco (h, k + p). Directriz y = k – p ; para p > 0 Y = k + p ; para p < 0. Lado recto: Lr = 4p. Eje focal x = h. Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba. Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.. Eje focal.

(83) Ejemplo 1: Hallar la Ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto F (4, 0) y V (0, 0). Solución: Dado que la parábola abre hacia la derecha aplicaremos la formula que le corresponde: Y2 = 4 PX. La ecuación de la directriz es:. Y2 = 4 (4) X, o sea:. X=-P. Y2 = 16X. X=-4. La ecuación del lado recto es: Lr =. = 16. Lr =.

(84) EJEMPLO 2: Una parábola tiene su vértice en el origen, V (0, 0) y su foco tiene de coordenadas F (0, - 7/2). Encuentre sus ecuaciones y todos sus elementos necesarios para construir su grafica: Solución: Por las coordenadas del foco podemos observar que la parábola abre hacia abajo, por lo que aplicaremos la siguiente fórmula: X2 = 4PY. Primero determinamos el parámetro P, es decir; la distancia dirigida del vértice al foco, que es igual a. - ; y sustituimos en la ecuación:. X2 = 4 PY X2 = 4 (-. Y=-. Y;. Donde: X2 = -14 Y; o sea: X2 + 14Y = 0.. La ecuación de la directriz dd es: Y = - P; o sea: Y = - (La longitud del lado recto es: L r = =. ==. = 14. ) =.

(85) Ejemplo 3: A partir de la formula General; obtener todos los elementos de la parábola – Y2 – 12X – 6Y + 33 = 0; y construir su grafica: Solución: Observa el término cuadrático; Cuando el termino cuadrático es “Y” la parábola es horizontal, por lo tanto utilizamos las siguientes formulas; para determinar: h, k, p: D = -12. h=-. E=-6. h=-. F = 33. h=6. p=-. k=. p=-. k=. p = 1.5. k=-. = = - 0.5. De los resultados anteriores; las coordenadas del vértice son: V (h, k), y la distancia del vértice al foco es p = 1.5. Las coordenadas del foco son: F (h + p, k) = (6 + 1.5, - 0.5) = (7.5, - 0.5) La ecuación de la directriz es: X = h – p = 6 – 1.5 = 4.5. La ecuación del lado recto es: L r =. =. 6.

(86) 3.5 ELIPSE. Objetivos elementales: Definir el concepto de elipse y describir sus elementos. Determinar la ecuación horizontal de la elipse con centro en el origen. Determinar la ecuación vertical de la elipse con centro el origen. Determinar la ecuación de la elipse con centro en cualquier punto del plano cartesiano. Determinar la ecuación general de la elipse.. Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos es igual a una constante positiva. Los puntos fijos son los focos FF1 y la constante positiva.. Elementos de la Elipse: a = semieje mayor b = semieje menor c = distancia del centro al foco F = foco de la elipse V = vértice de la elipse Lr = Lado recto C = centro de la elipse FF1 = Distancia focal o distancia entre los focos = 2C.

(87) VV1 = Distancia entre los vértices o eje mayor cuya longitud es = 2 a. BB1 = Eje menor acotado por las intersecciones de la elipse con la recta perpendicular al eje mayor que pasa por el centro y tiene de longitud = 2b. Finalmente es importante mencionar la relación pitagórica que existe entre las constantes a, b, c; para el cálculo de algunas distancias, donde a es la mayor de las tres y está dada por: a 2 = b2 + c 2 b2 = a2 - c2 c2 = a2 - b2 E x c e ntric i da d de l a e li ps e L a e xce n t ricid ad es o t ro e le me n to imp o rt a nt e re la cio n ad o con la e lip se , y se def in e co mo la ra zó n que h a y e nt re la s con st a nt e s c y a , qu e d e te rm inan la conf igu ra ció n d e la m ism a , y e stá d ad a p o r:. e =. ; y e s un n um e ro com p rend id o e n t re 0 y 1 .. 3 . 6 De duc c i ón de l a ec ua ci ón de la e l i pse c on c e ntro e n e l or i ge n: E l i ps e hori z onta l. E l ips e ve rti c a l. C (0 , 0 ). C (0, 0 ). V (a , 0 ), V ´ (-a , ). V (0, a ), V ´ (0 , -a ). F(c, 0 ), F ´ (-c, 0 ). F(0, c), (0 , -c). a2 = b2 + c2 e =. < 1. Lr =. +. a 2 = b 2 +c 2. < 1. e =. Lr =. = 1. +. = 1.

(88) E je m pl o1 : E n cu en t ra la e cuació n de la e lip se co n vé rt ice e n e l o rige n V (4 , 0 ) y u n e xt re m o d e su e je me n o r e n B ´ (0 , -2 ). S o lu ció n: Da do que su vé rt ice e stá so b re e l e je “X” se a p lica la sigu ie n t e f ó rm u la:. De lo s da t o s d e l en u n ciad o te ne mo s qu e : a = 4. b =2. a2 = 16. b 2 =4. S u st it u ye n do en la e cu a ció n te n emo s:. +. = 1. 4X2 + 16Y2 = 64. ó. 4X2 + 16Y2 – 64 = 0.

(89) Pr o ble ma 2 :. Da d a la e cua ció n re d u cida de la e lip se. ,. Ha lla r la s. co o rd en a da s de los vé rt ice s d e lo s f o co s y la e xce n t ricid a d . S o lu ció n:.

(90) Problema 3: Hallar la ecuación de la elipse de foco F (7, 2), con vértice en los puntos A (9, 2) y de centro C (4, 2).. Problema 4:. Da d a la e lip se d e e cu a ción ce n t ro , sem ie je s, vé rt ice s y f o co s.. Solución:. , ha lla r su.

(91) 3.7 FORMULAS DE LA ELIPSE CON CENTRO EN FUERA DEL ORIGEN: Elipse horizontal. Elipse vertical. C (h, k). C (h, k). V (h +a, k),. V´(h – a, k). V(h, k +a),. F (h +c, k),. F´(h –c, k). F(h, k +c),. a2 = b2 + c2. F´(h, k- c). a 2 = b 2 +c 2. Lr =. e =. V(h, k-c). Lr =. < 1. +. e =. =1. < 1. +. =1. Problema 5: Re p re se nt a gráf ica m en t e y d e t e rm ina la s coo rd en a da s d e lo s f o co s, d e lo s vé r t ice s y la e xce n t ricid a d ..

(92) Problema 6: Re p re se nt a gráf ica m en t e y d e t e rm ina la s coo rd en a da s d e lo s f o co s, d e lo s vé rt ice s y la e xce n t ricid a d ..

(93) G ráf ica .. 3.8 HIPERBOLA. Objetivos particulares: Definir a la hipérbola y describir sus elementos. Deducir la ecuación de la hipérbola. Determinar la ecuación de la hipérbola con centro en cualquier punto del plano cartesiano. Determinar la ecuación general de la hipérbola. L a hi pé rbol a e s e l lu ga r ge o m é t rico d e lo s p u nt o s d e l p la n o cu ya d if e re n cia d e d ist an cia s a lo s p un t o s f ijo s llam ad o s f o cos e s co n st an t e..

(94) E LE ME NTO S DE LA HI P É RBO L A:. Fo co s; son lo s p unt o s f ijo s: F y F' E je f o ca l: E s la rect a qu e p a sa p o r lo s f o co s. E je se cu n da rio o im a gin a rio : E s la me d ia t riz d e l se gm en t o Ce n t ro : E s e l p u n to d e in t e rse cció n d e lo s e je s. V é rt ice s: L o s p u n to s A y A' so n lo s pu n t o s d e in t e rse cció n de la h ip é rb o la con e l e je f o ca l. L o s pu n to s B y B ' se o bt ie n en como in t e rse cción de l e je im a gin a rio con la circu n f e re n cia qu e t ie n e p o r ce n t ro un o de lo s vé rt ice s y d e ra d io c. Ra d io s ve ct o re s: So n lo s se gm en t o s qu e va n d e sde un p u n to de la h ip é rbo la a lo s f o co s: P F y P F'.

(95) Dist a n cia f o ca l: E s e l se gm en t o. d e lon git u d 2 c.. E je ma yo r: E s e l se gm e n to. d e lon git u d 2a .. E je me no r: E s e l se gm e n to. d e lon git u d 2b .. E je s d e sim et ría : S o n la s re ct a s qu e co n t ien e n a l e je re a l o a l e je ima gin a rio . A sín t o t a s: S on la s re ct a s de e cu a cion e s:. Relación entre los semiejes :. E x c e ntric i da d de l a hi pé rbola : La e xc e ntri ci da d mi de l a a be rtura ma yor o me nor de l as r a m a s de la hi pé rbol a :.

(96) PROBLEMA 1: Ha lla r la e cua ció n d e un a h ip é rbo la de e je f o ca l 8 y d ist a n cia f o ca l 10 .. P RO B L E MA 2 : Ca lcu la r la e cu a ció n re du cid a d e la h ip é rb o la cu ya d ist a n cia f o ca l e s 3 4 y la d ist a n cia d e u n f o co a l vé rt ice m á s p róxim o e s 2..

(97) 3.9 ECUA CI ÓN GEN ERA L DE L A H I PÉRBOL A :. S i e l c e ntro d e la h ip é rb o la e s C(x 0 , y 0 ) y e l e je p rin cip a l e s p a ra le lo a O X, lo s foc os t ien en de co o rd e na d a s F(X 0 +c , y 0 ) y F' (X 0 -c , y 0 ). Y la e cu a ción de la h ipé rb o la se rá :. Re so lvie n d o la E cu a ció n a n te rio r qu it a n do d en om in ado re s y d e sa rro lla r la s e cu a cion e s se obt ie n e , e n gen e ra l, u n a e cu a ción de la f o rm a : Do n d e A y B ti e ne n s i gnos opues tos :.

(98) 3 . 1 0 E CU ACI Ó N D E L A HI P É RBO L A DE E J E V E RT I C AL:. S i e l c e ntro d e la h ip é rb o la C(x 0 , y 0 ) y e l e je p rin cip a l e s p a ra le lo a O Y, lo s foc os t ie n en d e co o rde na d a s F(X 0 , y 0 +c ) y F' (X 0 , y 0 -c ). Y la e cu a ción de la h ipé rb o la se rá :. A l qu it a r d e no m ina d o re s y d e sa rro lla r la s e cu a cion es se o b t ien e , e n ge ne r al, u n a e cua ció n d e la f o rm a :. Do n d e A y B ti e ne n s i gnos opues tos ..

(99) P RO B L E MA 3 : Re p re se nt a gráf ica m en t e y d e te rm in a la s coo rd e na d as d e l ce n t ro , de lo s f o cos, d e lo s vé rt ice s y la e xce n t ricid a d d e la sigu ie n t e h ipé rb o la :. 4 (X 2 – 2 X + 1 ) – 4 – 3 Y 2 – 8 = 0 4 (X – 1 ) 2 – 3 Y 2 = 12 =. 1;. Do n d e :. a2 = 3; a =. b2 = 4;. b = 2. c =. E l ce n t ro C(1 , 0 ) L o s ve rt ice s so n : A (1 + L o s f o co s so n : F (1 +. L a E xc e n t r i c i d a d e s:. , 0) , 0). =. A '(1 F'(1,. , 0) , 0). =.

(100) P RO B L E MA 4 : Re p re se nt a gráf ica m en t e y d e te rm in a la s coo rd e na da s d e l ce n t ro , de lo s f o co s, d e lo s vé rt ice s y la e xce n t ricid a d d e la sigu ie n t e h ipé rb o la :. (Y 2 – 4Y + 4 ) – 4 – 2 (X 2 +2 X +1 ) + 2 = 0 (Y -2 ) 2 – 2 (X +1 ) 2 = 2 - (X + 1 ) 2 = 1 ; Do nde : A2 =2,. a =. b2 =1,. b = 1. c2 =. c=. El ce ntr o e s C ( - 1 , 2 ). L o s ve r tice s so n: A (-1 , 2 + L o s f o co s so n : F ( -1 , 2 +. L a e xce n t ricid ad es:. e =. ). ). A '( -1 , 2 -. F'( -1 , 2 -. =. ). ).

(101) TERCERA EVALUACIÓN SUMATIVA MATEMÁTICAS IV EXAMEN TIPO A Nombre del alumno:________________________________________________________ Apellido paterno, materno nombre(s) Plante No______ Grupo:_________ Fecha de Aplicación:__________ Calificación:__________ Nombre del profesor(a):______________________________________________________ ___. PROPÓSITO: El examen que a continuación resolverás, tiene la finalidad de evaluar el aprendizaje de los contenidos correspondiente a la unidad III. La calificación que obtengas en la solución de este tiene un valor del 70 % de la calificación parcial. INSTRUCCIONES GENERALES: Lee cuidadosamente y resuelva correctamente lo que se le indica; efectuando el procedimiento y escriba a tinta sus respuestas. 1. Sea una circunferencia con centro en C (-1, 2) y que pasa por el punto (-2, -3). I. Realiza la gráfica. II. Obtén la ecuación de la circunferencia en forma general..

(102) 2. Sea una circunferencia cuyos extremos del diámetro son los puntos A (3, 2) y B (5, -6). I. Realiza la gráfica. II. Obtén la ecuación de la circunferencia en forma general.. 3.- Sea la ecuación de la parábola en forma general y2 + 12x + 4y – 44 = 0. I. Encuentra las coordenadas del vértice, foco, ecuación de la directriz y lado recto de la parábola. II. Realiza la gráfica..

(103) 4.- Sea la ecuación de la parábola en forma general x2 – 2x – 12y + 73 = 0. I. Encuentra las coordenadas del vértice, foco, ecuación de la directriz y lado recto de la parábola. II. Realiza la gráfica..

(104) FORMA DE EVALUACIÓN.. Se realizarán tres evaluaciones sumativas, el instrumento que se empleará es prueba objetiva.. Las tres evaluaciones constan de los siguientes criterios:. Prueba objetiva (examen). 70%. Participaciones. 15%. Tareas. 15%. Participaciones:. Se tomarán en cuenta la resolución de problemas en el pizarrón y en el cuaderno en forma de equipos para su ponderación en la calificación total.. Tareas:. Para cada evaluación se tienen consideradas de ocho a diez tareas(ejemplos tipo), las cuales entregará el alumno resueltas. Le corresponde a este rubro el 15% para cada evaluación sumativa..

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