Relaciones Ejercicios adicionales - comisi´

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(1)

Versi´

on del 17/09/2012

Juntamos todas las definiciones

Relaci´on binaria entre A y B: subconjunto de A×B.

Relaci´on inversa: si R ⊆A×B, entonces R−1 B×A, y R−1 ={(b, a)/(a, b)∈R}.

Relaci´on funcional: R ⊆A×B es funcional sii se cumplen estas dos condiciones

        

∀x:x∈A→(∃x∈B : (x, y)∈R

| {z }

f(x)=y

) existencia

∀x:∀y1 :∀y2 : ((x, y1)∈R ∧ (x, y2)∈R

| {z }

f(x)=y1=y2

)→y1 =y2 unicidad

Relaci´on definida en A: subconjunto de A×A.

Una relaci´onR definida en A es reflexiva sii ∀x:xRx.

sim´etrica sii ∀x:∀y :xRy →yRx.

antisim´etrica sii ∀x:∀y : (xRy ∧ yRx)→x=y. transitiva sii ∀x:∀y :∀z : (xRy ∧ yRz)→xRz. de orden sii es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. de equivalencia sii es reflexiva, sim´etrica y transitiva.

Una relaci´on de orden es total si (adem´as de ser de orden, claro), se cumple esta condici´on: ∀x:∀y:xRy ∨ yRx.

Si una relaci´on de orden no es total, entonces se dice que esparcial (te queda a vos escribir la f´ormula de la condici´on de orden parcial, que es negar la de orden total).

Conjunto ordenado: (A, R) es un conjunto ordenado siiR es una relaci´on de orden definida en A.

Si R es un orden total, entonces (A, R) es un conjunto totalmente ordenado.

Elementos particulares: si (A, R) es un conjunto ordenado y B ⊆A, entonces

(2)

cota inferior z es cota inferior de B sii ∀x:x∈B →z R x.

supremo z es el supremo de B sii es la cota superior m´as chica deB, o sea, sii z es cota superior de B y

∀x:x es cota superior de B →z R x.

´ınfimo z es el ´ınfimo de B sii es la cota inferior m´as grande deB, o sea, sii z es cota inferior de B y

∀x:x es cota inferior de B →x R z.

m´aximo z es el m´aximo deB sii z es el supremo de B y z ∈B. m´ınimo z es el m´ınimo de B sii z es el ´ınfimo de B y z ∈B. maximal z es maximal de B siiz ∈B y ¬∃x:x∈B− {z} ∧ z R x. minimal z es minimal de B sii z ∈B y ¬∃x:x∈B− {z} ∧ x R z.

Recordamos que:

• supremo, ´ınfimo, m´aximo y m´ınimo son ´unicos, si existen.

• maximales y minimales pueden no ser ´unicos.

• el supremo es el m´ınimo de las cotas superiores.

• el ´ınfimo es el m´aximo de las cotas inferiores.

Partici´on deA: {Bi}i∈I ={B1, B2, . . .} tales que:

  

Bi 6=∅ para todo i,

Bi∩Bj =∅ sii6=j

A=S

i∈IBi

Cada Bi es un bloque de la partici´on {Bi}i∈I deA.

I es el conjunto de´ındicesde la partici´on.

P.ej. en la partici´on deNentre pares e impares, nos quedaN={B1, B2}dondeB1 y B2 son los conjuntos de n´umeros pares e impares respectivamente, y I ={1,2}.

Cada relaci´on de equivalencia R definida enA genera una partici´on de A.

A la partici´on deA generada porR se la llama A/R, el conjunto cocientedeA por R.

A los bloques de A/R se los llama clases de equiivalencia deA/R.

Para indicar la clase de equivalencia a la que pertenece un elementoa ∈A, notamos cl(a).

Ejercicios

1. Consideremos A un conjunto de personas y B un conjunto de cuadros de f´utbol. ¿Qu´e quiere decir que la relaci´on R definida como

aRb sii a es hincha de b

(3)

2. Consideremos los siguientes conjuntos

A equipos que participaron en un campeonato B partidos de ese campeonato

N0 nuestros amigos los n´umeros naturales, incluyendo el 0.

Para cada una de las siguientes relaciones, indicar en d´onde est´a definida cada una, si es funcional o no, y en los casos en que tenga sentido la pregunta, si son necesariamente reflexivas, sim´etricas, antisim´etricas, y/o transitivas.

Nota: un contrajemplo de un campeonato inventado alcanza para mostrar que una relaci´on no tiene, necesariamente, una propiedad.

a) aRb siia y b son dos partidos que se jugaron el mismo d´ıa. b) aRb sii en el partido a se hicieron m´as goles que en b. c) aRb sii el equipoa jug´o el partido b.

d) aRb sii los partidosa y b tienen, al menos, un equipo en com´un.

e) aRbsii b es la cantidad total de goles que hizo el equipoa en el campeonato. f) aRb sii “a a b” fue el resultado de al menos un partido, o sea, sii en alg´un

partido el local hizoa goles y el visitante hizo b goles.

g) aRb si los equiposa y b ganaron la misma cantidad de partidos. h) aRb sib es la cantidad de goles que se hizo en el partido a.

i) aRb sia es la cantidad de goles que se hizo en el partido b.

3. Consideremos los siguientes conjuntos

A personas que hicieron compras en un negocio. B art´ıculos que se venden en el negocio.

R nuestros amigos los n´umeros reales.

Para cada una de las siguientes relaciones, indicar en d´onde est´a definida cada una, si es funcional o no, y en los casos en que tenga sentido la pregunta, si son reflexivas, sim´etricas, antisim´etricas, y/o transitivas.

a) la que relaciona cada persona con el importe total de las compras que hizo (0 si no hizo ninguna compra).

b) aRb sii hay alg´un art´ıculo que compraron tanto a comob. c) aRb siib es el art´ıculo m´as caro que compr´o a.

d) aRb sii a fue una cantidad mayor o igual de veces al mercado de las que fue b.

e) aRb sii todos los art´ıculos que compr´o a, tambi´en los compr´ob. f) aRb siib es la madre de a.

(4)

h) aRb siia y b son art´ıculos y el precio de los dos es un n´umero par. i) aRb siib es el precio del art´ıculoa.

4. SiA ={a, b, c, d}, indicar para cada una de las siguientes relaciones si son funcio-nales, reflexivas, sim´etricas, antisim´etricas, y/o transitivas. En cada caso que una relaci´on no sea como se pide, indicar un conjunto lo m´as chico posible de pares a agregar y/o quitar para que la relaci´on sea como se pide.

a) {(a, a),(a, b),(b, c)}.

b) {(a, a),(a, b),(a, c),(b, b),(b, c),(d, d)}.

c) {(a, a),(a, b),(a, c),(b, a),(b, b),(b, c),(c, b),(c, c),(d, d)}. d) {(a, a),(b, a),(b, b),(c, c),(d, d)}.

e) {(a, a),(a, d),(b, b),(c, c),(d, a),(d, d)}. f) A×A.

5. Para cada una de las siguientes relaciones: dar tres pares que pertencen y tres pares que no; indicar si son funcionales, reflexivas, sim´etricas, antisim´etricas, y/o transitivas; y definir la relaci´on inversa. Considerar A={1,2,3,4}.

a) en N, aRb siia+b = 11.

b) enN,aRbsii las dos ´ultimas cifras deayb coinciden (p.ej. 1438R738 porque ambos terminan en 38).

c) en N, aRb siib = 2a.

d) en Z, aRb sii a=b2 (p.ej. 9R3 porque 9 = 32). e) en Z, aRb sii |a−b| ≤5.

f) en Z, aRb sii a−b≥5. g) en R, xRy sii x≥4 ∨ y ≥4. h) en R, xRy sii x≥4 ∨ y ≥5. i) en R, xRy sii x≥4 ∧ y ≥4. j) en R, xRy sii x≥4 ∧ y ≥5.

k) en R, xRy sii |x| ≥y. l) en R, xRy sii y≤x≤y+ 2. m) en A,xRy siix=y ∨ x+y= 5.

n) en P(A), xRy sii x∪y=A. ˜

n) en P(A), xRy sii y=A−x.

o) en P(A), xRy sii x∪ {2,3}=y∪ {2,3}.

6. Para evitar que haya corazones rotos por amores no correspondidos, ¿c´omo deber´ıa ser la relaci´on

aRb sii a ama a b

(5)

7. Si Juan es hermano de Ana y Ana es hermana de Lucas, ¿de qui´enes m´as s´e que son hermanos? Esto tiene que ver con que la relaci´on de “ser hermanos” es ¿c´omo?

8. Consideremos A={a, b, c, d}.

a) La relaci´on vac´ıa definida enA, ¿es de orden?, ¿es de equivalencia? Justificar. b) Dar una relaci´on de orden de cardinal m´ınimo, o sea, que no existe una

relaci´on de orden con menos elementos.

c) Dar una relaci´on de equivalencia de cardinal m´ınimo, o sea, que no existe una relaci´on de equivalencia con menos elementos.

d) Dar una relaci´on de orden de cardinal m´aximo, o sea, que no existe una relaci´on de orden con m´as elementos.

e) Dar una relaci´on de equivalencia de cardinal m´aximo, o sea, que no existe una relaci´on de equivalencia con m´as elementos.

9. Si |A|=n, |B|=m, y R es una relaci´on funcional enAxB, ¿cu´al es |R|?

10. Demostrar que si R es sim´etrica y transitiva y aRb para ciertos a y b, entonces aRa y bRb.

11. Dados los siguientes conjuntos ordenados a trav´es de diagramas de Hasse, hallar los elementos particulares para cada subconjunto indicado.

a)

j

h i

e f g

b c d

a

B1 ={f, g} B2 ={i, f, c} B3 ={e, f, h} B4 ={a, g, j}

b)

i j

g h

d e f

a b c

(6)

12.

Respecto del diagrama que se muestra al costado, se pide

a) Encontrar un subconjunto de 5 elementos que ten-ga m´aximo, uno de 3 elementos que no tenga m´ axi-mo pero s´ı supreaxi-mo, uno de 2 elementos que no tenga supremo.

b) Agregar un elemento g y relacionarlo con el res-to, de modo tal que en el diagrama modificado, el ´ınfimo de {e, f}sea g, en lugar ded.

e f

c d

a b

13. Se parte de la relaci´onR definida enA ={a, b, c, d, e}cuyo diagrama de Hasse es

d

c

a b

obs´ervese que e est´a relacionado solamente con ´el mismo

Se pide

a. Definir R0 agregando a R pares que relacionen e con otros elementos, de forma tal que {a, b} no tenga supremo pero {a, b, c, e} s´ı.

b. Definir R00 que sea un orden total enA y que verifique que xRy ⇒xR00y.

14. En cada caso, encontrar una relaci´on de orden que cumpla lo pedido

a) En A = {a, b, c, d, e}, un orden total R en el que: a sea el m´aximo de {a, b, d, e}, csea el m´aximo de {a, b, c},dRb, ye sea cota inferior de{c, d, e}.

b) EnA={a, b, c, d, e}, un orden parcial (o sea, no total)Ren el que el supremo de {b, c, d} sea a, que las cotas superiores de {b, c, d} sean {a, e}, y que el m´ınimo de {b, c, d} sea c.

c) En A={a, b, c, d, e}, un orden parcial R en el quec sea tanto el supremo de {d, e}como el ´ınfimo de {a, b}, y en el que {a, b, d, e} no tenga ni m´aximo ni m´ınimo.

d) En A={a, b, c, d, e, f}, un orden parcial R en el que: la ´unica cota superior de {b, c, d, e, f} sea a, los maximales de {b, c, d, e} sean {b, c}, el m´aximo de {b, d, f}seab, el m´ınimo de {b, d, f}seaf, se verifique quef Re, y finalmente que el supremo de {d, e, f} seac.

(7)

f) En A = {a, b, c, d, e, f}, una relaci´on de orden R en la que: el supremo de {e, f} sea d, el supremo de {b, c, d} sea a, el ´ınfimo de {b, c, d} sea c y el subconjunto {c, e, f} tenga tres maximales.

g) En A={a, b, c, d, e, f, g}, una relaci´on de orden R que cumpla con todas las condiciones que siguen:

• sup({d, e, f}) = g • inf({d, e, f}) = d • sup({a, b, c}) =sup({a, c}) =d • sup({a, b}) = b

15. Graficar el diagrama de Hasse y la matriz de una relaci´on de orden en el conjunto A = {a, b, c, d, e, f} que cumpla las siguientes condiciones: {a, b, c} tiene como ´ınfimo a cy no tiene supremo,{d, e, f} tiene como supremo ady no tiene ´ınfimo,

c R d.

16. Algunos de relaciones que s´ı son de orden

a) Se define esta relaci´on de orden enR2: (a, b)R(c, d) sii (a < c) ∨(a=c∧ b≤ d). Mostrar que es un orden total, y encontrar los elementos particulares de {(2,3),(3,4),(2,4),(3,2)}.

b) Se define esta relaci´on de orden enR2: (a, b)R(c, d) sii (a=c b=d) (a+ b < c+d). Encontrar los elementos particulares de{(1,1),(1,2),(2,1),(3,4),(2,5)}. La relaci´on, ¿es un orden total o parcial?

c) Se escribe a//b como la parte entera de a/b; por ejemplo, 328//3 = 109 porque 328/3 = 109,33. . . y del resultado 109,33. . . se toma lo que est´a a la izquierda de la coma. M´as ejemplos: 5//3 = 1, 6//3 = 7//3 = 8//3 = 2, 9//3 = 3.

Se define esta relaci´on de orden enN:aRbsiia =b ∨(a−1)//3<(b−1)//3. Encontrar los elementos particulares de {2,6,13,14}.

Si te anim´as, demostr´a que la relaci´on es de orden.

d) Se define la relaci´on de ordenR enNde esta forma:x R y ssix=y ´oxtiene menos cifras quey. P.ej. 248R248, 248R,1304, 248 6R77, 248 6R304. Se pide

Demostrar que R no es un orden total.

Indicar cu´ales de estos conjuntos tienen m´aximo.

{20,30,200,300} {20,30,200,300,1000} {8,20,30,200,300}

17. Consideremos la relaci´on de orden R definida en N: x R y si y s´olo si x = y o la ´ultima cifra de x es menor estricto a la ´ultima cifra de y. P.ej. los siguientes pares est´an en la relaci´on: (134,27),(134,134),(134,9),(134,305), mientras que ni (134,22) ni (134,481) ni (134,74) est´an en la relaci´on (se destaca la ´ultima cifra de cada n´umero, que es la que hay que mirar para determinar si un par est´a o no en la relaci´on).

(8)

a) mostrar que el orden no es total.

b) indicar cu´ales de los siguientes n´umeros

1000, 103, 65, 27, 12, 9

son cotas inferiores del subconjunto{47,104,33,17}.

c) indicar cu´ales de los siguientes subconjuntos

{16,25,34},{16,25,36},{16,24,34}

tienen m´aximo.

d) obtener un subconjunto de cinco elementos que tenga m´ınimo y tenga exac-tamente dos maximales.

e) indicar cu´ales son los elementos internos del subconjunto{26,35,128,348,507} respecto de R. Decimos quez ∈B es interno si cumple esta condici´on:

(∃x:x∈B ∧ x6=z ∧ xRz) ∧ (∃x:x∈B ∧ x6=z ∧ zRx)

18. Consideremos la relaci´on de orden R definida en N: x R y si y s´olo si x = y o la suma de las cifras de x es menor estricto a la suma de las cifras de y. P.ej. los pares (321,38) y (321,9) est´an en la relaci´on, porque 3 + 2 + 1 = 6<11 = 3 + 8 y 3 + 2 + 1 = 6<9; mientras que ni (321,1000) (66<1 = 1 + 0 + 0 + 0), ni (321,4) (66<4), ni (321,42) (66<6 = 4 + 2) est´an en la relaci´on.

Se pide resolver justificando en cada caso (´ıtem sin justificaci´on no cuenta):

a) mostrar que el orden no es total.

b) dar m´aximo, m´ınimo, 3 cotas superiores y 2 cotas inferiores del subconjunto {412,339,78,704,125}.

c) indicar cu´ales de los siguientes subconjuntos

{385,59,761}, {385,59,762}, {385,59,763}

tienen m´aximo.

d) obtener un subconjunto de seis elementos que tenga exactamente tres mini-males y tenga m´aximo.

e) indicar cu´ales son los elementos internos del subconjunto{126,34,981,425,2122} respecto de R. Decimos quez ∈B es interno si cumple esta condici´on:

(∃x:x∈B ∧ x6=z ∧ xRz) ∧ (∃x:x∈B ∧ x6=z ∧ zRx)

19. Algunos de relaciones que no son de orden.

(9)

b) Se define esta relaci´on en R2: (a, b)R(c, d) sii a+b c+d. Mostrar que esta relaci´on no es de orden.

20. Algunos m´as sobre elementos particulares.

a) En una relaci´on de orden definida en{a, b, c, d, e, f}, sabemos que el supremo de{c, d, e} esb. Demostrar que:{c, d, e} no tiene m´aximo, {b, c, d, e} s´ı tiene m´aximo, el orden es parcial.

b) En una relaci´on de orden R definida en {g, h, i, j, k}, sabemos que los maxi-males de {i, j, k} son {i, k}. Demostrar que: {i, j, k} no tiene m´aximo, i y k no son comparables seg´unR (o sea ni iRk nikRi), el orden es parcial.

Ayuda: en varios casos puede venir bien razonar por absurdo.

21. Completar la siguiente matriz de relaci´on, sabiendo que es de orden. ¿Se trata de una relaci´on de orden total?

2\1 a b c d

a 1

b 0

c 0

d 1 1

22. Algunos de relaciones de equivalencia

a) En el supermercado “Don Manolo”1 se puso el siguiente cartel en la g´ondola de la yerba

Se limita la compra de yerba a 3 paquetes por persona por d´ıa.

Como Don Manolo conoce a sus clientes, puede impedir que hagan trampa comprando m´as de 3 paquetes el m´ısmo d´ıa, yendo varias veces.

En el conjunto A de las personas que hicieron compras en el supermercado en un d´ıa dado, se define la relaci´onR de esta forma: xRy si y s´olo si x e y compraron la misma cantidad de paquetes de yerba ese d´ıa.

Definir el conjunto cociente A/R, teniendo en cuenta que pudo haber gente que no compr´o yerba.

b) En un barrio, se quiere armar una asamblea vecinal con un representante por manzana.

Si definimos A como el conjunto de los habitantes del barrio, definir una relaci´onR de equivalencia enAtal que en la asamblea haya exactamente una persona por cada bloque deA/R.

(10)

c) Definir A/R donde A = P({a, b, c, d, e}) y xRy si y s´olo si {x∩ {a, b, c}}= {y∩ {a, b, c}}.

d) Un equipo de f´utbol tiene un plantel formado por 35 jugadores, de los cuales 4 son arqueros, 14 son defensores, 10 son mediocampistas y 7 son atacantes2. Arquero, defensor, mediocampista y atacantes son las posibles posiciones de un jugador. Decimos queAes el conjunto de jugadores del equipo, y definimos la relaci´on R as´ı: xRy ssi3 xe y juegan en la misma posici´on.

Se pide: definir A/R, e indicar cu´antos elementos de cada bloque tengo que tomar para armar un equipo que se pare 4-4-2 (o sea, con 4 defensores, 4 mediocampistas y 2 atacantes; recordar que un equipo tiene exactamente un arquero).

e) Dentro del conjunto A de los alumnos de una escuela, se define la relaci´on R as´ı: dos alumnos est´an relacionados ssi est´an en el mismo grado y adem´as son, o bien los dos varones, o bien las dos mujeres.

DefinirA/R e indicar qu´e se obtiene tomando un representante de cada clase de equivalencia (clase de equivalencia = bloque) resultante.

f) Dentro del conjunto A de los seres humanos, se define la relaci´onR as´ı: dos personas est´an relacionadas ssi cumplen a˜nos en el mismo d´ıa.

Suponiendo que todos los d´ıas nace al menos una persona, definirA/R, indicar cu´antos bloques hay, y cu´al de ellos en principio deber´ıa tener un cardinal menor al de los otros (ayuda: pensar en los a˜nos bisiestos).

23. Consideremos A =N2 incluyendo el 0 en N, y (x1, x2)R(y1, y2) ssi x1 + 3∗y2 = y1+ 3∗y2.

Se pide:

a) describir cl(9,4) por extensi´on.

b) encontrar el conjunto de ´ındices de la partici´onA/R.

c) encontrar una clase de equivalencia que tenga un solo elemento.

d) a partir de analizar B3, B6, B9, etc., encontrar una f´ormula que permita calcular el cardinal4 de B

n sin es m´ultiplo de 3. Si te anim´as, defin´ıBn por

comprensi´on.

24. ConsideremosA=R2incluyendo el 0, y (x

1, x2)R(y1, y2) ssix1+3∗y2 =y1+3∗y2. Se pide:

a) graficar cl(9,4). Ayuda: es una recta.

b) encontrar I, el conjunto de ´ındices de la partici´onA/R.

2es un equipo conservador

3si y s´olo si

(11)

c) Definir Bi por comprensi´on para cada i en I. Ayuda: va a tener la forma

Bi = {(x1, x2)/x2 = . . .} donde en los puntos suspensivos va una f´ormula, donde conviene usar x1 ei.

25. Algunos m´as conN2.

a) Definir A/R donde A = N2 y (x1, x2)R(y1, y2) ssi (x1 +x2)2 = (y1 +y2)2. ¡Atenci´on! Hay que definir I en forma exacta, no le puede sobrar nada. b) Dados A=N2 incluyendo el 0 enN, y (x

1, x2)R(y1, y2) ssix1−x2 =y1−y2: describir cl(2,5) ycl(5,2), y despu´es definir A/R, pensando bien qui´en es I. Ayuda: conviene definir por un lado los bloques correspondientes a cuando la resta da negativo, y por otro para los casos en que da positivo. Pensar en los pares (0, x) en qu´e bloques pueden estar.

26. En una encuesta hecha a 100 personas sobre los medios de transporte que usan, se descubre que 40 usan el tren, 50 usan el colectivo, y 30 no usan ninguno de los dos.

Se defineAcomo el conjunto de las 100 personas encuestadas, yRcomo la relaci´on en la quex R yssixeyusan, entre tren y colectivo, exactamente los mismos medios (si los dos usan ambos, si los dos no usan ninguno, etc.). LlamemosC al conjunto de las personas que usan el colectivo, y T al conjunto de las personas que usan el tren.

Definir A/R, asociando una f´ormula de conjuntos usando C y T a cada bloque; e indicar el cardinal de cada bloque resultante.

27. Se hace un estudio en 91 comercios, viendo en cu´ales se venden las marcas de jab´on “Lix”, “Dubi” y/o “Verono”. Se obtienen estos datos: en 10 comercios se venden las tres marcas, en 19 “Lix” y “Dubi”, en 50 se vende “Lix”, en 17 se vende “Lix” y ninguna de las otras dos, en 44 se vende “Dubi”, en 15 “Dubi” y “Verono”, en un negocio no se vende ninguna de las tres marcas.

Se define A como el conjunto de los 91 comercios estudiados; llamemos L, D y V a los conjuntos de los negocios que venden “Lix”, “Dubi” y “Verono” respectiva-mente.

(12)

b) Si R0 es la relaci´on en la que x R0y ssix ey venden exactamente las mismas marcas teniendo en cuenta solamente , entre “Lix” y “Verono”, (si los dos venden las ambas marcas, si , si los dos venden “Lix” y no “Verono”, etc.), definir A/R0, asociando una f´ormula de conjuntos usando L, D y V a cada bloque; e indicar el cardinal de cada bloque resultante.

28. Sean A = {a, b, c, d, e, f}, y los predicados p y q cuyas extensiones son p = {a, b, c, d} y q = {b, d, e}. Definimos las relaciones R1 y R2 donde x R1y ssi p(x) ↔ p(y) es verdadera, y x R2y ssi (p(x) ↔ p(y))∧ (q(x) ↔ q(y)) es ver-dadera.

Demostrar que R1 y R2 son de equivalencia, y hallar A/R1 y A/R2, defiiendo en ambos casos cada clase de equivalencia por extensi´on.

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